Derivada : Las reglas de la derivación · del curso, en la que también conoceras las derivadas de...

Derivadas:Las reglas de la derivación__________________________

Derivada : Las reglas de la derivación

Una derivada se calcula mediante la operación de diferenciación o derivación. Los teoremas quepermiten efectuar este cálculo sobre funciones algebraicas se establecen y demuestran en esta partedel curso, en la que también conoceras las derivadas de orden superior.Una función que tiene derivada se dice diferenciable y en nuestra proxima sección estudiaremos larelación entre diferenciabilidad y continuidad y sus aplicaciones.En esta parte del curso estableceremos, como ya se dijo, las reglas de la derivación y los procesosque nos permitirán simplificarlos.La forma de internalización de estas reglas se sustenta en efectuarejercicios como única forma de comprensión para poder aplicarse con posterioridad en las cienciasde la economía, de la administración o de la ingeniería.

Contenidos

- Derivadas. Definición.

- Reglas de derivación.

- Derivadas de funciones algebraicas.

- Derivadas de funciones compuestas. Regla de la cadena.

- Derivadas de orden superior.

- Derivadas de funciones implícitas.

Definición 1 : (Derivada de una función).

La derivada de la función f es aquella función, denotada por f ′, tal que su valor en

un número x ∈ ℜ del dominio de f está dado por:.

f ′x =h→0lím f x + h − f x

hsi éste límite existe

ANOTACIONES RESPECTO A LA DERIVADA EN EL USO DE ESTA DEFINICIÓN:

La derivada de la función y = fx se ha dicho que se escribe como f ′x se acostumbra a

utilizar, además, las siguientes notaciones:

f ′x =h→0lím f x + h − f x

h= y ′ = df

dx= dy

dx= D x fx = D x y

El proceso del cálculo de la derivada de una función a partir de la definición es, en algunasocasiones, muy extenso, por ello se estudiarán diversos teoremas que nos permitirán encontrarlas derivadas con mayor facilidad. Estos teoremas se demostrarán a partir de la definición y en elenunciado de ellos se emplea la notación de Lagrange para la derivada y la conclusión se expresaen términos de D x fx y en palabras

___________________________1Departamento de Economía y AdministraciónProf. Fredi Veas Marín

Derivadas:Las reglas de la derivación__________________________En nuestras demostraciones utilizaremos las siguientes abreviaciones:

Fx = fx; Fx + h = fx + hGx = gx; Gx + h = gx + h.

Teorema 01 : (Derivada de la función constante).

La derivada de la función fx = c en que c ∈ ℜ , c es una constante, es:

D xc = 0

Demostración :Sea Fx = fx = c tenemos que: Fx + h = fx + h = cya que se trata de la función constante al sustituir dichos valores en la definición de derivada,nos queda:

f ′x = D x c =h→0lím f x + h − f x

h=

h→0lím c − c

h=

h→0lím 0

h= 0

Por lo tanto, D x c = 0

Es decir, la derivada de una constante es cero.

Ejemplo 1 : Sea la función y = −5 determine y’=?

Solución : Tenemos que y = −5 entonces y ′ = D x −5 = 0.entonces: y ′ = 0.

Teorema 02 : (Derivada de la función potencial).

La derivada de la función fx = xn en que n ∈ ℵ es:

D x xn = n xn−1

Demostración :

Sea Fx = fx = xn tenemos que: Fx + h = fx + h = x + h n

al sustituir dichos valores en la definición de derivada, resulta:f ′x = D x xn =

h→0lím f x + h − f x

h=

h→0lím x + h n − x n

h

Por el teorema del binomio tenemos que:

x + hn= xn+nxn−1h + nn−1

2!xn−2h2+. . .+nxhn−1+hn

Luego: f ′x = D x xn =h→0lím x + h n − x n

h=

=h→0lím

x n+nx n−1 h+ nn−12!

x n−2 h 2+...+nxh n−1+h n − x n

h=

h→0lím

nx n−1 h+ nn−12!

x n−2 h 2+...+nxh n−1+h n

h

=h→0lím

h nx n−1+ nn−12!

x n−2 h+...+nxh n−2+h n−1

hsimplicando por h

=h→0lím nxn−1 + nn−1

2!xn−2h +. . .+nxhn−2 + hn−1 = nxn−1

Por lo tanto, D x xn = nxn−1

Es decir, la derivada de una potencia es igual al exponente de la potencia multiplicada por la baseelevada al exponente menos uno.



Ejemplo 2 : Sea la función y = x2 determine y’=?

Solución : Tenemos que y = x2 entonces y ′ = D x x2 = 2x2−1 = 2x.

entonces: y ′ = 2x.


Solución : Tenemos que y = x3 entonces y ′ = D x x3 = 3x3−1 = 3x2 .

entonces: y ′ = 3x2 .


Solución : Tenemos que y = x11 entonces y ′ = D x x11 = 11x10 .


Teorema 03 : (Derivada de una constante por una función derivable).

La derivada de la función y = cfx en que c ∈ ℜ es:

D x cfx = c f′x

Demostración :Sea Fx = cfx tenemos que: Fx + h = cfx + h sustituyendodichos valores en la definición dada para la derivada de una función, entonces:

f ′x = D x cfx =h→0lím c f x + h − c f x

h=

h→0lím

c f x + h − c f x

h

= ch→0lím f x + h − f x

h= c f ′x

Por lo tanto, D x c fx = c f′c

Es decir, la derivada de una constante por una función derivable es igual a la constante multiplicadapor la derivada de la función.

Ejemplo 5 : Sea la función y = 4x5 determine y’=?

Solución : Tenemos que y = 4x5 entonces:y ′ = D x 4x5 = 4D x x5 = 4 ⋅ 5x4 = 20x4 .


Ejemplo 6 : Sea la función y = −3x8 determine y’=?

Solución : Tenemos que y = −3x8 derivando la función dada, nos resulta:y ′ = D x −3x8 = −3 ⋅ D x x8 = −3 ⋅ 8x7 = −24x7 .

entonces: y ′ = −24x7 .

Teorema 04 : (Derivada de la suma de funciones derivables).

La derivada de la función y = fx + gx es:

D x fx + gx = f′x + g ′x

Demostración :



Sea Fx = fx + gx tenemos que: Fx + h = fx + h + gx + h sustituyendodichos valores en la definición de derivada, nos resulta:

f′x = D x fx + gx =

h→0lím

f x + h + g x + h − fx + gx

h

=h→0lím

f x + h − f x + g x + h − g x

h=

=h→0lím f x + h − f x

h+ lím g x + h − g x

h= f ′x + g ′x

Por lo tanto, D x fx + gx = f′x + g ′x

Es decir, la derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de lasfunciones.

Este resultado se puede extender para un número mayor de sumando mediante la inducciónmatemática.

Ejemplo 7 : Sea la función y = 6x3 + 5x2 determine y’=?

Solución : Tenemos que y = 6x3 + 5x2 derivando la función dada, nos resulta:y ′ = D x 6x3 + 5x2 = 6 ⋅ D x x3 + 5 ⋅ D x x2 = 6 ⋅ 3x2 + 5 ⋅ 2x = 18x2 + 10x.

entonces: y ′ = 18x2 + 10x.

Ejemplo 8 : Sea la función y = 23x3 + 5

2x2 − 4x − 3 determine y’=?

Solución : Tenemos que y = 23x3 + 5

2x2 − 4x − 3 entonces al derivar la función, nos resulta:

y ′ = D x23x3 + 5

2x2 − 4x − 3 = 2

3⋅ D x x3 + 5

2⋅ D x x2 − 4 ⋅ D x x − 3D x 1 =

y ′ = 23⋅ 3x2 + 5

2⋅ 2x − 4 ⋅ 1 − 3 ⋅ 0 = 2x2 + 5x − 4.

entonces: y ′ = 2x2 + 5x − 4.

Ejemplo 9 : Sea la función y = −6x4 − 47x3 + 7x2 − 14 determine y’=?

Solución : Tenemos que y = −6x4 − 47x3 + 7x2 − 14 entonces derivando, nos queda:

y ′ = D x −6x4 − 47x3 + 7x2 − 14 = −6 ⋅ D x x4 − 4

7⋅ D x x3 + 7 ⋅ D x x2 − 14D x 1 =

y ′ = −6 ⋅ 4x3 − 47⋅ 3x2 + 7 ⋅ 2x − 14 ⋅ 0 = −24x3 − 12

7x2 + 14x.

entonces: y ′ = −24x3 − 127

x2 + 14x.

Teorema 05 : (Derivada de un producto de funciones derivables).

La derivada de la función y = fx ⋅ gx es:

D x fx ⋅ gx = f′x ⋅ gx + fx ⋅ g ′x

Demostración :Sea Fx = fx ⋅ gx tenemos que: Fx + h = fx + h ⋅ gx + h sustituyendo dichosvalores en la definición de derivada, nos queda:

f′x = D x fx ⋅ gx =

h→0lím

f x + h ⋅ g x + h − fx ⋅ gx

h

=h→0lím f x + h ⋅g x + h − f x ⋅g x + f x + h ⋅g x − f x + h ⋅g x

h=

=h→0lím f x + h ⋅g x + h − f x + h ⋅g x + f x + h ⋅g x − f x ⋅g x

h=

=h→0lím

f x + h g x + h − g x

h+

h→0lím

g x f x + h − f x

h=

=h→0lím f x + h ⋅

h→0lím g x + h − g x

h+ gx


h=

= fx ⋅ g ′x + gx ⋅ f ′x



Por lo tanto, D x fx ⋅ gx = f′x ⋅ gx + fx ⋅ g ′x

Es decir, la derivada de un producto de funciones es igual al producto entre la derivada de la primerafunción por la segunda función más el producto de la primera función por la derivada de la segundafunción.

Ejemplo 10 : Sea la función y = 4x3 − 6x2 − 7x + 2 2x4 − 3x2 − 6 determine y’=?

Solución : Tenemos que y = 4x3 − 6x2 − 7x + 2 2x4 − 3x2 − 6 derivando, nos queda:

y ′ = D x 4x3 − 6x2 − 7x + 2 2x4 − 3x2 − 6 =y ′ = 2x4 − 3x2 − 6 ⋅ D x 4x3 − 6x2 − 7x + 2 + 4x3 − 6x2 − 7x + 2 ⋅ D x 2x4 − 3x2 − 6 =y ′ = 2x4 − 3x2 − 6 12x2 − 12x − 7 + 4x3 − 6x2 − 7x + 2 8x3 − 6x .

entonces: y ′ = 2x4 − 3x2 − 6 12x2 − 12x − 7 + 4x3 − 6x2 − 7x + 2 8x3 − 6x .

Teorema 06 : (Derivada de un cuociente de funciones derivables).

La derivada de la función y = fx

gxcon gx ≠ 0 es:

D xfx

gx= gx ⋅ f

′x − fx ⋅ g ′ x

gx 2

Demostración :Sea Fx = fx

gxtenemos que: Fx + h = fx+h

gx+hreemplazando en la definición de la

derivada:

f′x = D x

fx

gx=

h→0lím

f x + h g x + h

− f x gx

h=

h→0lím

f x + h gx − fx g x + h gx g x + h

h

=h→0lím f x + h ⋅g x − f x ⋅g x + h − gx fx+ gx fx

h gx g x + h =

=h→0lím f x + h ⋅g x − f x ⋅g x − f x ⋅g x + h + f x ⋅g x

h gxgx+h=

=h→0lím 1

gx g x + h gx


h− fx

h→0lím

g x + h − g x

h=

= 1

gx 2gx ⋅ f

′x − fx ⋅ g ′x = gx ⋅ f

′x − fx ⋅ g ′ x

gx 2

Por lo tanto, D xfx

gx= gx ⋅ f

′x − fx ⋅ g ′ x

gx 2

Es decir, la derivada de un cuociente de funciones es igual a la fracción que tiene como denominador elcuadrado del denominador original, y como su numerador al denominador por la derivada del numeradororiginal menos el numerador original por la derivada del denominador original, si estas derivadas existen.

Ejemplo 11 : Sea la función y = 2x 3−4x+5

x 3−x 2−3determine y’=?

Solución : Tenemos que y = 2x 3−4x+5

x 3−x 2−3, derivando la función nos queda:

y ′ = D x2x 3−4x+5

x 3−x 2−3=

x 3 − x 2 − 3 D x 2x 3 − 4x + 5 − 2x 3 − 4x + 5 D x x 3 − x 2 − 3

x 3 − x 2 − 32

y ′ = x 3 − x 2 − 3 6x 2 − 4 − 2x 3 − 4x + 5 3x 2 − 2x

x 3−x 2−32 =

entonces:



y ′ = x 3 − x 2 − 3 6x 2 − 4 − 2x 3 − 4x + 5 3x 2−2x

x 3 − x 2 − 32 = − 2x 4 + 8x 3 − 22x 2 + 10x + 12

x 3 − x 2 − 32 .

Teorema 07 : (Derivada de una potencia de exponente negativo).

Si fx = x−n , donde −n es un número negativo y x ≠ 0 entonces:

D x x−n = −nx−n−1

Demostración :Sea y = x−n entonces: y = 1

x n

luego, aplicando el teorema de la derivada de un cuociente:f′x = D x

1

x n= x n ⋅ 0 − 1 ⋅ nx n−1

x n 2

Por lo tanto, D x x−n = −nxn−1−2n = −nx−n−1

OBSERVACIÓN RESPECTO A LAS POTENCIAS:

Tenemos que por definición se puede transformar una expresión radical en una expresión

potencial de exponente fraccionario, es decir, si: n x m = xmn .

En este caso si denominamos a r = mn entonces podemos escribir lo siguiente

y = n x m = xmn = x r y su derivada será: y ′ = r x r−1

que al sustituir el valor de r en la expresión resultante para la derivada de y, nos queda

la derivada de la siguiente forma:

y ′ = m

nx

mn

−1= m

nx

m − nn

Ejemplo 12 : Sea la función y = 4 3 x2 determine y ′ = ?

Solución : Tenemos que y = 4 3 x2 = 4 x23 transformando el radical en una

potencia de exponente fraccionario:

entonces su derivada será: y ′ = 4 ⋅ 2

3x− 1

3 .

los ejercicios propuestos a continuación, obtenga la derivada de la función mediante los

teorema establecidos:

01. y = 4x2 + x + 1

Solución : Tenemos que y = 4x2 + x + 1 entonces su derivada será:



y ′ = D x 4x2 + x + 1 = 4 ⋅ D x x2 + D x x + D x 1 =y ′ = 4 ⋅ 2x + 1 + 0 = 8x + 1.

entonces: y ′ = 8x + 1.

02. fx = 3x4 + 5x2 + 103. gx = 1

8x8 − x4

04. hx = x7 − 2x5 + 5x3 − 7x

Solución : Tenemos que y = x7 − 2x5 + 5x3 − 7x entonces su derivada será:y ′ = D x x7 − 2x5 + 5x3 − 7x = D x x7 − 2D x x5 + 5D x x3 − 7D x x =y ′ = 7x6 − 10x4 + 15x2 − 7.

entonces: y ′ = 7x6 − 10x4 + 15x2 − 7.

05. Ft = 14t4 − 1

2t2

06. vr = 43πr 3

07. Gy = y10 + 7y5 − y3 + 108. Fx = x2 + 3x + 1

x 2

Solución : Tenemos que y = x2 + 3x + 1x 2 derivando dicha función, nos resulta:

y ′ = D x x2 + 3x + 1x 2 = D x x2 + 3D x x − D x x−2 =

y ′ = 2xD x x + 3D x x − 2x−3D x x = 2x + 3 − 2x 3 , en este caso D x x = 1

entonces: y ′ = 2x + 3 − 2x 3 .

09. fx = x 3

3+ 3

x 3

10. gx = 4x4 − 14x 4

11. fx = x4 − 5 + x−2 + 41x−4

12. gx = 3x 2 + 5

x 4

Solución : Tenemos que y = 3x 2 + 5

x 4 entonces su derivada será:

y ′ = D x3x 2 + 5

x 4 = 3 ⋅ D x x−2 + 5 ⋅ D x x−4 =

y ′ = −6 ⋅ x−3 − 20 ⋅ x−5 = − 6

x 3− 20

x 5.

entonces: y ′ = − 6

x 3− 20

x 5.

13. hs = 3 s 3 − s 2

14. px = 2x2 + 5 4x − 1

15. gx = 2x4 − 1 5x3 + 6x

Solución : Tenemos que y = 2x4 − 1 5x3 + 6x al derivar debemos aplicar la regla de la

derivación de un producto, entonces:y ′ = D x 2x4 − 1 5x3 + 6x = 2x4 − 1 ⋅ D x 5x3 + 6x + 5x3 + 6x ⋅ D x 2x4 − 1 =y ′ = 2x4 − 1 15x2 + 6 + 5x3 + 6x 8x3 = 70x6 + 60x4 − 15x2 − 6.

entonces: y ′ = 70x6 + 60x4 − 15x2 − 6.

16. fx = 4x2 + 3 2

17. gs = 7 − 3y3 2

18. Ft = t3 − 2t + 1 2t2 + 3t

19. Gx = x2 − 3x + 2 2x3 + 1

20. Fx = 2x

x + 3

Solución : Tenemos que y = 2x

x + 3al derivar debemos aplicar la regla para derivar un cuociente

de funciones,entonces:



y ′ = D x2x

x + 3=

x + 3 D x 2x − 2x D x x + 3

x + 32 =

y ′ =2 x + 3 − 2x

x + 32 = 6

x + 32 .

entonces: y ′ = 6

x + 32 .

21. hx = x

x − 1

22. fy = 2y + 1

3y + 4

23. fx = x 2 + 2x + 1

x 2 − 2x + 1

24. gx = 4 − 3x − x 2

x − 2

25. ft = 5t

1 + 2t2

26. fx = x 4 − 2x 2 + 5x + 1

x 4

Solución : Tenemos que y = x 4 − 2x 2 + 5x + 1

x 4entonces debemos derivar un cuociente de

funciones, de donde aplicando la regla correspondiente, nos queda:

y ′ = D xx 4 − 2x 2 + 5x + 1

x 4=

x 4 D x x 4 − 2x 2 + 5x + 1 − x 4 − 2x 2 + 5x + 1 D x x 4

x 4 2 =

y ′ =x 4 4 x 3 − 4x + 5 − 4 x 3 x 4 − 2x 2 + 5x + 1

x 8= 4 x 5 − 15 x 4 − 4 x 3

x 8

y ′ =x 3 4 x 2 − 15 x − 4

x 8= x − 4 4x + 1

x 5

entonces: y ′ = x − 4 4x + 1

x 5.

27. hy = y 3 − 8

y 3 + 8

28. hs = s 2 − a 2

s 2 + a 2

29. qx = 2x + 1

x + 53x − 1

Solución : Tenemos que y = 2x + 1

x + 53x − 1 entonces utilizando las reglas adecuadas para la

derivación de la función dada, nos queda :

y ′ = D x2x + 1

x + 53x − 1 = 2x + 1

x + 5⋅ D x 3x − 1 + 3x − 1 ⋅ D x

2x + 1

x + 5=

y ′ = 2x + 1

x + 5⋅ 3 + 3x + 1 ⋅

x + 5 ⋅ D x 2x + 1 − 2x + 1 ⋅ D x x + 5

x + 52 =

y ′ = 6x + 3

x + 5+ 3x + 1 ⋅ 2x + 10 − 2x − 1

x + 52 = 6x + 3

x + 5+ 3x + 1 ⋅ 9

x + 52 =

y ′ =6x + 3 x + 5 + 9 3x + 1

x + 52 = 6x 2 + 60 x + 24

x + 52 =

6 x 2 + 10 x + 4

x + 52

. entonces: y ′ =6 x 2 + 10 x + 4

x + 52 .

30. fx = x 3 + 1

x 2 + 3x2 − 2x−1 + 1



Teorema 09 : (Derivada de la función seno).

Si fx = sin x , entonces:

D x sin x = cos x

Demostración :Sea Fx = sin x tenemos que: Fx + h = sin x + h reemplzando en la definición dadade derivada, nos queda:f ′x = D x sin x =

h→0lím sin x + h − sin x

h= por identidad trigonométrica se tiene:

sinα − sinβ = 2cos α+β2

sin α−β2

f ′x =h→0lím sin x + h − sin x

h=

h→0lím

2cos 2x+h2

sin h2

h=

h→0lím

cos 2x+h2

sin h2

h2

=

=h→0lím cos 2x + h

2h→0lím

sin h2

h2

= cos 2x

2⋅ 1

Por lo tanto, D x sin x = cos x

Teorema 10 : (Derivada de la función coseno).

Si fx = cos x , entonces:

D x cos x = − sin x

Demostración :Sea Fx = cos x tenemos que: Fx + h = cos x + h reemplazando en la definición dederivada,entonces:f ′x = D x cos x =

h→0lím cos x + h − cos x

h= por identidad trigonométrica se tiene:

cosα −cosβ = −2sin α+β2

sin α−β2

f ′x =h→0lím cos x + h − cos x

h=

h→0lím

−2sin 2x+h2

cos h2

h= −

h→0lím

sin 2x+h2

sin h2

h2

=

= −h→0lím sin 2x + h

2h→0lím

sin h2

h2

= − sin 2x

2⋅ 1

Por lo tanto, D x cos x = − sin x

Teorema 11 : (Derivada de la función tangente).

Si fx = tan x , entonces:

D x tan x = sec2 x

Demostración :Sea y = tan x = sin x

cos x, aplicando el teorema de la derivada de un cuociente de funciones,

nos queda:f ′x = D x tan x = D x

sin x

cos x= cos x cos x − sin x − sin x

cos 2 x=

f ′x = cos 2 x + sin 2 x

cos 2 x= 1

cos 2 x= sec2x

Por lo tanto, D x tan x = sec2 x



Teorema 12 : (Derivada de la función cotangente).

Si fx = cot x , entonces:

D x cot x = −csc2 x

Demostración :Sea y = cot x = cos x

sin x, aplicando el teorema de la derivada de un cuociente de funciones,

entonces:f ′x = D x cot x = D x

cos x

sin x= sin x − sin x − cos x cos x

sin 2 x=

f ′x = − sin 2 x + cos 2 x

sin 2 x= − 1

sin 2 x= −csc2x

Por lo tanto, D x cot x = −csc2 x

Teorema 13 : (Derivada de la función secante).

Si fx = sec x , entonces:

D x sec x = sec x tan x

Demostración :Sea y = sec x = 1

cos x, aplicando el teorema de la derivada de un cuociente de funciones,

entonces:f ′x = D x sec x = D x

1

cos x= cos x ⋅ 0 − − sin x

cos 2 x=

f ′x = sin x

cos 2 x= sin x

cos x

1

cos x= tan x sec x

Por lo tanto, D x sec x = sec x tan x

Teorema 14 : (Derivada de la función cosecante).

Si fx = csc x , entonces (csc x=cosecante x=cosec x):

D x csc x = −csc x cot x

Demostración :Sea y = csc x = 1

sin x, ordenando algebraicamente para aplicar el teorema de la derivada de

una potencia, quedará:f ′x = D x csc x = D x

1

sin x= D x sin x

−1= −1 sin x

−2cos x =

f ′x = − cos x

sin 2 x= − cos x

sin x

1

sin x= −cot x csc x

Por lo tanto, D x csc x = −csc x cot x

los ejercicios dados determine la derivada de la función mediante las reglas deducidas.


Derivadas:Las reglas de la derivación__________________________01. y = cos x − 2tan x

Solución : Tenemos que y = cos x − 2tan x entonces derivando, queda:y ′ = D x cos x − 2tan x = − sin x ⋅ D x x − 2sec2 x ⋅ D x x =

y ′ = − sin x − 2sec2x.entonces: y ′ = − sin x − 2sec2x.

02. fx = sin x + cos x03. gx = x csc x04. y = csc x cot x

Solución : Tenemos que y = csc x cot x entonces derivando, queda:y ′ = D x csc x cot x = csc x ⋅ D x cot x + cot x ⋅ D x csc x =

y ′ = csc x ⋅ −csc2 x + cot x ⋅ −csc x cot x = −csc3 x − csc x cot 2 x.

entonces: y ′ = −csc x csc2 x − cot 2 x = −csc x.

ya que: csc2 x − cot2 x = 105. y = sin x

1 + csc x

Solución : Tenemos que y = sin x

1 + csc xentonces:

y ′ = D xsin x

1 + csc x=

1 + csc x ⋅ D x sin x − sin x ⋅ D x 1 + csc x

1 + csc x2 =

y ′ =1 + csc x cos x − sin x ⋅ − csc x cot x

1 + csc x2 =

y ′ = cos x + csc x cos x + sin x csc x cot x

1 + csc x2 = cos x + csc x cos x + cot x

1 + csc x2

ya que sin x csc x = 1

y ′ = cos x + csc x cos x + cot x

1 + csc x2

entonces: y ′ = cos x + csc x cos x + cot x

1 + csc x2 .

06. y = tan x

x

07. y = tan x − 1

sec x

08. y = x

sin x + cos x

09. y = 2x x − cot x

Solución : Tenemos que y = 2x x − cot x derivando la función dada mediante las

reglas de derivación adecuada, queda:

y ′ = D x 2x x − cot x = 2x ⋅ D x x − cot x + x − cot x ⋅ D x 2x =

y ′ = 2x ⋅ 1

2 x− −csc2 x + x − cot x ⋅ 2 =

y ′ = x

x+ 2xcsc2 x + 2 x − 2 cot x = x

x+ 2xcsc2 x + 2 x − 2 cot x

y ′ = x + 2xcsc2 x + 2 x − 2 cot x.

entonces: y ′ = 3 x + 2xcsc2 x − 2 cot x

10. y = x−3 sin x tan x11. y = x sin x cos x

12. y = x 2 tan x

sec x

13. y = 2 cos x

x + 1



Solución : Tenemos que y = 2 cos x

x + 1aplicando la regla de derivación de un cuociente a la

función dada, queda:

y ′ = D x2 cos x

x + 1=

x + 1 D x 2 cos x − 2 cos x D x x + 1

x + 12 =

y ′ = −2 x + 1 sin x − 2 cos x

x + 12 = − 2 x sin x − 2 sin x− 2 cos x

x + 12 .

entonces: y ′ = −2 x sin x + sin x + cos x

x + 1 2.

14. y = sin x

1 − cos x

15. y = x + 4

cos x

16. y = tan x

cos x − 4

17. y = cot x

1 − sin x

Solución : Tenemos que y = cot x

1 − sin xaplicando la regla de la derivación del cuociente a la

función dada, queda:

y ′ = D xcot x

1 − sin x=

1 − sin x D x cot x − cot x D x 1 − sin x

1 − sin x2 =

y ′ =1 − sin x − csc 2 x + cot x cos x

1 − sin x2 = − csc 2 x + sin x csc 2 x + cot x cos x

1 − sin x2

y ′ = csc 2 x + csc x + cot x cos x

1 − sin x2 .

entonces: y ′ = csc 2 x + csc x + cot x cos x

1 − sin x2

18. y = 1 + sin x

1 − sin x

19. y = sin x − 1

cos x + 1

20. y = 2csc x − 1

csc x + 2

21. y = tan x + 1

tan x − 1

Teorema 15 : (Derivada de la función logarítmica).

Si fx = ln x , entonces:

D x ln x = 1

x

Demostración :Sea Fx = ln x tenemos que: Fx + h = ln x + h sustituyendo dichos valoresen la definición de definición, nos resulta:

f ′x = D x ln x =h→0lím ln x + h − ln x

h=..

por propiedad de los logaritmos, tenemos que: ln x + h − ln x = lnx + h

x

f ′ x =h→0lím

ln x + hx

h=

h→0lím 1

hln x + h

x=

=h→0lím 1

xxh

ln 1 + hx = 1

x lnh→0lím 1 + h

xxh =

por propiedad de existencia del número e tenemos que e =h→0lím 1 + h

xxh

f ′ x = 1x ln e pero, ln e = 1, queda:

Por lo tanto, D x ln x = 1x



Si desearamos calcular la derivada de la función y = log x , de acuerdo al teorema del cambiode base y aplicando la derivada de la función logaritmo neperiano: log x = log e ln xf′x = D x log x = D x log e ln x = log e D x ln x = 1

xlog e

Por lo tanto, D x log x = 1

xlog e

Teorema 16 : (Derivada de la función exponencial en general).

Si fx = ax , entonces:

D x ax = ln a ⋅ ax

Demostración :Sea y = ax aplicando la función logaritmo neperiano ( ln ), nos queda:

ln y = ln ax entonces por propiedades de los lagaritmos::ln y = x ln a derivando :D x ln y = ln a D x x

1

yy ′ = ln a ⋅ 1

y ′ = y ln ay ′ = ax ln a

Por lo tanto, D x ax = ax ln a

Si desearamos calcular la derivada de la función exponencial y = ex ,f′x = D x ex = ex ln e = ex

Por lo tanto, D x ex = ex

los ejercicios dados determine la derivada de la función mediante las reglas deducidas.

01. y = ln ax + b

Solución : Tenemos que y = ln ax + baplicando la regla de derivada de la función logaritmo, entonces:

y ′ = D x ln ax + b = 1

ax + bD x ax + b = a

ax + b.

entonces: y ′ = a

ax + b.

02. fx = ln ax2 + b

03. gx = ln ax + b 2

04. y = ln axn

05. y = ln x3

06. y = ln3 x07. y = ln 2x3 − 3x2 + 4

Solución : Tenemos que y = ln 2x3 − 3x2 + 4

derivando la dunción mediante la regla adecuada, queda:

y ′ = D x ln 2x3 − 3x2 + 4 = 1

2x 3 − 3x 2 + 42 D x 2x3 − 3x2 + 4 =



y ′ = 6x 2 − 6x

2x 3 − 3x 2 + 42 = 6x x− 1

2x 3 −3x 2+ 42 .

entonces: y ′ = 6x x− 1

2x 3 −3x 2+ 42 .

08. y = log 2

x

09. y = ln x 2

1 + x 2

10. y = ln 9 − 2x2

11. y = ln ax a + x

Solución : Tenemos que y = ln ax a + x

derivando la función dada mediante la regla adecuda, queda:

y ′ = D x ln ax a + x = a + x D x ax − ax D x a + x

ax a+x2 =

y ′ =a a + x − ax

2 a + x

a 2 x 2 a + x= 2a a + x − ax

2a 2 x 2 x + 132

= 2a 2 + ax

2a 2 x 2 x + 132

= 2a + x

2ax 2 x + 132

.

entonces: y ′ = 2a + x

2ax 2 x + 132

.

12. y = x ln x

13. y = ln x + 1 + x2

14. s = ln a + bt

a − bt

Solución : Tenemos que y = ln a + bt

a − bt

derivando la función dada mediante la regla adecuda, queda:

y ′ = D x ln a + bt

a − bt= 1

a + bta − bt

⋅ 1

2 ⋅ a + bta − bt

⋅ a − bt ⋅ b − a + bt ⋅ − b

a − bt2 =

y ′ = 1

2 a + bta − bt

⋅ ab − b 2 t + ab + b 2 t

a − bt2 = 2ab

2 a + bt⋅ 1

a − bt= ab

a + bt a − bt=

y ′ = ab

a 2 − b 2 t2.

entonces: y ′ = ab

a 2 − b 2 t2.

15. fx = x2 ln x2

16. gx = eax

17. y = 10nx

Solución : Tenemos que y = 10nx apliquemos la función logaritmo neperiano a ambos miembrosentonces: ln y = nx ln 10, derivando ambos miembros respecto a x:

1

yy ′ = n ln 10

y ′ = n ln 10 y = n 10nx ln 10. reemplazando el valor de y :

entonces: y ′ = n 10nx ln 10.

18. y = ex 2

19. y = 2

e x

20. y = e t

21. z = b2y

22. u = s es

23. v = e u

u



24. y = ln x

x

Solución : Tenemos que y = ln x

x

aplicando las reglas adecuadas para derivar la función, queda:

y ′ = D xln x

x=

x ⋅ 1x

− ln x

x 2= 1 − ln x

x 2

entonces: y ′ = 1 − ln x

x 2.

25. y = ln x2ex

26. y = e x − 1

e x + 1

27. fx = x2 e−x

28. gx = a

2

exa − e − x

a

Solución : Tenemos que y = a

2

exa − e − x

a

para derivar fácilmente apliquemos la función logarímo neperiano a ambos miebrosde la ecuación dada y derivando mediante las reglas adecuada al problema, queda:

y ′ = D xa

2

exa − e − x

a

= ln a

2⋅ a

2

exa − e − x

a

e xa ⋅ 1

a− e− x

a ⋅ − 1

a=

y ′ = 1

a

a

2

exa − e − x

a

e xa + e− x

a ln a

2

entonces: y ′ = 1

a

a

2

exa − e − x

a

e xa + e− x

a ln a

2.

29. y = e x − e −x

e x + e −x

30. s = ln t2

t2

31. fx = ln x 2 + 1 − x

x 2 + 1 − x

32. y = xx

33. z = x x

34. s = a

t

t

35. y = x3

3x + a

2x + b

36. y = 4 + x 2

x 4 − x 2

37. y = xn a + bx m

38. y = ln a 2 x 2

x

39. y = ln a 2 − x 2

x

40. fx = log x 2 + a 2

x + a

Solución : Tenemos que y = log x 2 + a 2

x + a

derivando la función dada mediante las reglas adecuadas, queda:

y ′ = D x log x 2 + a 2

x + a= 1

x2 + a2

x + a

log e 1

2 x2 + a2

x + a

x + a 2x − x 2 + a 2 1

x + a2 =

y ′ = x 2 + 2ax − a 2

2 x2 + a2

x + ax + a

2 log e = x 2 + 2ax − a 2

2 x 2 + a 2 x + alog e.

entonces: y ′ = x 2 + 2ax − a 2

2 x 2 + a 2 x + alog e.


Derivadas:Las reglas de la derivación__________________________41. y = ln t

2t+3

42. y = e x ln x

43. s = 10 t log t

Solución : Tenemos que y = 10 t log t entonces derivando la función dada, queda:

y ′ = D x 10 t log t = 10 t 1

tlog e + log t ln 10 ⋅ 10 t =

y ′ = 10 t

tlog e + log t ln 10 ⋅ 10 t.

entonces: y ′ = 10 t

tlog e + log t ln 10 ⋅ 10 t.

44. y = ae nx

45. r = 2 s s 2

46. y = x

a

x

Para calcular la derivada de una función compuesta, se aplica en general la Regla de la Cadena,que es tal vez uno de los teorema más importante del Cálculo Diferencial.

Supóngase que deseemos determinar la derivada de la función y = Fx = x3 − 6x + 3Las fórmulas de las derivadas que hemos estudiado no nos sirven para encontrar y ′

Obsérvese que F es una función compuesta.

Si hacemos y = fu = u y u = gx = x3 − 6x + 3entonces podemos escribir y = Fx = fgx, esto es F = f ∘ g.

Sabemos como diferenciar ambas funciones f y g, así que sería útil encontrar una regla queestablezca cómo la derivada de F = f ∘ g en términos de las derivadas de f y g.

Resulta que la derivada de la función compuesta F = f ∘ g es el producto de las derivadas def y g. Este hecho es uno de los más importantes de las reglas de derivación y se denominaRegla de la Cadena.

En el ejemplo que hemos propuesto, tenemos:

ya que: fu = u , gx = x3 − 6x + 3 entonces:

y ′ = f ′ug ′x = ?f ′u = 1

2 ug ′x = 3x2 − 6

luego: y ′ = f ′ug ′x = 1

2 u3x2 − 6 = 3x 2 − 6

2 x 3 − 6x + 3

Teorema 08 : (Derivada de una función compuesta. Regla de la cadena).

Sea F = f ∘ g la función compuesta definida por Fx = f gx y si las derivadas

g ′x y f’´x existen, entonces F ′x existe y esta dada por el producto

D x f ∘ g x = f ′ gx g ′x



en notación de Leibniz, si y = fu y u = gx son funciones diferenciables,

entonces

dy

dx= dy

du⋅ du

dx

Demostración :La demostración de este teorema para todas las funciones diferenciables essofisticado y se puede encontrar una de éstas demostraciones en el texto"Cálculo", STEWART, James, Segunda Edición, Grupo Editorial Iberoamericano,1991, pág. 150 - 151.

Ejemplo 01 : Sea la función y = 4 3 x2 determine y ′ = ?

Solución : Tenemos que y = 4 3 x2 = 4 x23

derivando la función dada mediante la regla de la derivación de la potencia,

entonces y ′ = 4 ⋅ 2

3x− 1

3 = 8

33

x.

los ejercicios dados determine la derivada de la función mediante la regla de la cadena.

01. y = 2x2 + 1 3

02. fx = 10 − 5x 4

03. gx = x2 + 4x − 5 4

04. hr = 2r 4 + 8r 2 + 1 3

05. Ft = 2t4 − 7t3 + 2t − 1 2

06. Hz = z 3 − 3z 2 + 1 −3

07. Gy = 1 + 4y2

08. Fx = 3 4x2 − 1

09. fx = 1

25 − x 2

10. gx = 5 − 2x2 − 13

Podríamos reescribir las reglas de las derivadas de las funciones reales que hemosdeterminado, enteriormente, mediante la regla de la cadena.

Así:

Si y = fu y u = gx entonces:

01. D x c = 0 02. D x un = nun−1D x u

03. D x cfu = c f′uD x u

04. D x fu + gu = f′uD x u + g ′uD x u



05. D x fu1 ⋅ gu2 = f′u1D x u1 ⋅ gu2 + fu1 ⋅ g ′u2D x u2

06 D xfu 1

gu 2 =

gu 2 ⋅f′u 1 D x u 1 −fu 1 ⋅g ′ u 2 D x u 2

gu 2 2

07 D x u−n = −nu−n−1D x u

En el caso de la funciones trigonométricas, logarítmicas y exponencial siy = fu es una de la funciones dadas y u = gx entonces:

08. D x sin u = cos u D x u 09. D x cos u = − sin u D x u

10. D x tan u = sec2 u D x u 11. D x cot u = −csc2 u D x u

12. D x sec u = sec u tan u D x u

13. D x csc u = −csc u cot u D x u

14. D x ln u = 1

uD x u 15. D x log u = 1

ulog e D x u

16. D x au = au ln a D x u 17. D x eu = eu D x u

los ejercicios dados determine la derivada de la función mediante la regla de la cadena.

01. y = 3x2 − 2 10 5x2 − x + 1 12

Solución :Sea y = 3x2 − 2 10 5x2 − x + 1 12 ,

Derivando:y ′ = 103x2 − 2 9 6x 5x2 − x + 1 12 + 3x2 − 2 1012 5x2 − x + 1 11 10x − 1 .

y ′ = 3x2 − 2 9 5x2 − x + 1 11 60x 5x2 − x + 1 + 123x2 − 2 10x − 1 .

y ′ = 3x2 − 2 9 5x2 − x + 1 11 660x3 − 96x2 − 180x + 24 .

02. ft = 6t2 + 5 3 t3 − 7 4

03. gt = 2t2 − 6t + 1 −8

04. ht = 1

t2 −2t − 5 4

Solución :Sea ht = 1

t2 −2t − 5 4,

Derivando: h ′t = −4 t2 − 2t − 5 −5 2t − 2 = − 8 t − 1

t2 −2t − 5 5.

05. Ft = 3 1 + x

06. Ht = t − 1

t

32



07. Gs = s 3 + 1 s 2 + 1 4

Solución :

Sea Gs = s 3 + 1 s 2 + 1 4 ,

Derivando:

G ′s = s 3 + 1 4 s 2 + 1 32s + s 2 + 1 4 3s 2

2 s 3+1.

G ′s = 8s s 2 + 1 3 s 3 + 1 +3s 2 s 2+1 4

2 s 3+1

G ′s =16s s 2 + 1

3s 3 + 1 + 3s 2 s 2 + 1

4

2 s 3+1

G ′s =s s 2 + 1

319s 3 + 3s + 16

2 s 3+1

08. Fy = y − 6

y + 7

3

09. ft = 4t3 − 1

t3 + 1

10. gz = 1

52z − 1

11. y = 1

7 − 3x

12. y = tan 3x13. y = 4sec 5x14. y = cos x3

15. y = cos3x16. y = 1 + cos2x 6

17. y = tan2x + tan x2

Solución :Sea y = tan2x + tan x2 ,

Derivando: y ′ = 2tan x sec2 x + sec x2 2x = 2sec2 x tan x + x

18. y = cot 3 1 + x2

19. y = cos tan x20. y = sin sin x21. y = sin2cos 4x)

Solución :Sea y = sin2cos4x = sin cos 4x

2,

Derivando: y ′ = 2sin cos4xcos cos4x− sin 4x4y ′ = −8sin cos4xcos cos4x− sin 4x

22. y = sin 1x

23. y = sin 2 x

cos x

24. y = 1 + sin 2x

1 − sin 2x

Solución :Sea y = 1 + sin 2x

1 − sin 2x,

Derivando:

y ′ =1 − sin 2x 2 cos 2x − 1 + sin 2x 2 cos 2x

1 − sin 2x2 =

y ′ = − 4 cos 2x sin 2x

1 − sin 2x2 = − 2 sin 4x

1 − sin 2x2

25. y = x sin 1

x

26. y = tan2 x3

27. y = sin x2 + 12

Solución :___________________________19Departamento de Economía y AdministraciónProf. Fredi Veas Marín


Sea y = sin x2 + 12

,

Derivando:

y ′ = 2 sin x2 + 12 −1

cos x2 + 1 2x

2 x 2+1

y ′ = x 2 cos x 2+1

x 2+1sin x2 + 1

2 − 1

28. y = cos2 1 − x

1 + x

Solución :

Sea y = cos2 1 − x

1 + x= cos 1 − x

1 + x

2

,

Derivando:

y ′ = 2cos 1 − x

1 + x− sin 1 − x

1 + x

1 + x − 12 x

− 1 − x 12 x

1 + x2 =

y ′= −sin 21 − x

1 + x

1x

1 + x2 = −

1x

1 + x2 sin 2

1 − x

1 + x= −

sin 2 1 − x1 + x

x 1 + x

29. y = 1 + tan x + 1

x

30. y = cos2 cos x + sin2 cos x

31. y = sin sin sin x

Solución :Sea y = sin sin sin x ,

Derivando:y ′ = cos sin sin x cos sin x cos x

32. y = x + x

Solución :

Sea y = x + x ,

Derivando:

y ′ = 1

2 x+ x

1 + 1

2 x= 1

2 x+ x

2 x + 1

2 x= 2 x + 1

4 x x+ x

y ′ = 2 x + 1

4 x x+ x

33. y = x + x + x

34. y = x3 + 2x − 1 3 3

35. gt = 4 1 − 3t 4 + t4

36. pt = 1 + 2

t

−1+ 3t

−2

Solución :

Sea pt = 1 + 2

t

−1+ 3t

−2,

Derivando:

p ′t = −2 1 + 2

t

−1+ 3t

−3− 1 + 2

t

−2− 2

t2+ 3

p ′t = −2 t + 2

t

−1+ 3t

−3t + 2

t

−2 2

t2+ 3



p ′t = −2 t

t + 2+ 3t

−3 t

t + 2

2 2

t2+ 3

p ′t = −2t + 3t t + 2

t + 2

−32

t + 22 + 3

p ′t = −2 t + 2

3t2 + 7t

3 2 + 3 t + 22

t + 22 = −2 t + 2

3t2 + 7t

3 2 + 3 t + 22

t + 22

p ′t = −2 t + 2 2 + 3 t + 2

2

3t2 + 7t3

37. Ny = y + y + 2y − 98

38. y = sin tan sin x

Sea y = sin tan sin x ,

Derivando:

y ′ = cos tan sin x sec2 sin x 1

2 sin xcos x

y ′ = cos x

2 sin xcos tan sin x sec2 sin x

39. y = cos sin2 x

40. y = cos x

41. y = x 2 − 1

x 3 − x

42. y = cos35x43. y = sin 3x

cos 5x 2

44. y = sin 2 x

1 + cos x

45. y = x 2x + 3x

46. y = cos3 3 x4 + 1

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.

Si f es una función diferenciable, entonces su derivada f′

también es una función, asi que f′

puede tener su propia derivada, denotada por f′ ′

= f′′.

Esta nueva función se denomina segunda derivada de f porque es la derivada de la derivada de f.

De este modo tenemos:f′′x = d

dxf′x = d

dx

d

dxfx = d 2 fx

dx 2

Ejemplo 05 : Sea la función y = 4x6 determine y ′′ = ?

Solución : Tenemos que y = 4x6

entonces y ′ = 24x5

finalmente, y ′′ = 70x4 .

Análogamente se puede obtener la tercera derivada, que es la derivada de la segunda derivadade la función dada f.

En el ejemplo que hicimos anteriormente, tenemos que y ′′′ = 280x3 .

El proceso se puede continuar y obtenemos la cuarta derivada que se anota f 4 en el ejemplo:



y 4 = 840x2 .

Y, podríamos obtener de esta forma la enésima derivada que se escribiráyn = fn = d n y

dx n= d n fx

dx n.

los ejercicios dados determine la segunda derivada de la función mediante la regla de la cadena.

01. y = x4 − 3x3 + 16x02. ft = t10 − 2t7 + t4 − 6t + 8

03. gt = t2 + 1

04. hr = r + 3 r

05. Fs = 3s + 5 8

06. Hu = 1

1 − u

07. Gs = s

1 − s

08. Fy = 1 − y2 34

09. ft = t2

t + 1

10. gz = tan3 2z − 1

11. Fx = csc2 5x

12. fr = sec r

13. gz = z 2 cos z

los ejercicios dados determine la tercera derivada de la función mediante la regla de la cadena.

01. y = ax2 + bx + c

02. ft = 1 − t

1 + t

03. gx = 5t − 1

04. hr = 1

1 + x 2

Obtenga una fórmula para la f nx, mediante la regla de la cadena.

01. fx = x

02. fx = xn

03. fx = 1

1 − x2

04. hr = 1

3x 3

DERIVACIÓN IMPLICITA.

Una ecuación de dos variables x e y puede tener una o más soluciones para y en términos de x,o de x en términos de y.Esta soluciones son funciones definidas en forma implicitas por la ecuación

A veces es muy difícil explicitar en una ecuación una de las dos variables o cualquiera de ellas comopor ejemplo sucede con la curva conocida como Folio de Descartes, cuya ecuación es x3 + y3 = 6xy


Derivadas:Las reglas de la derivación__________________________Para encontrar la derivada, en este tipo de ecuaciones, denominadas funciones implicitas, consiste enderivar ambos miembros de la ecuación respecto a x ( o bien respecto a y y luego resolver laecuación resultante para y ′ (o bien para x’)

Así por ejemplo determinar y ′ en: x3 + y3 = 6xyEn este caso tenemos D x x3 + y3 = D x 6xy

En el primer miembro tenemos la derivada de una suma de funciones, que es la suma de lasderivadas de las funciones. Mientras que en el segundo miembro tenemos la derivada de unaconstante (6) por una función derivable (xy), que es la derivada de un producto de funciones.

D x x3 + D x y3 = 6D x xy3x2D x x + 3y2D x y = 6 xD x y + yD x x

En este caso tenemos que: D x y = y ′; D x x = 1

3x2 ⋅ 1 + 3y2 ⋅ y ′ = 6 x ⋅ y ′ + y ⋅ 1

3x2 + 3y2y ′ = 6xy ′ + 6yreagrupando los términos en y ′ en el primer miembro y los otros términos en el segundo:

3y2 − 6x y ′ = 6y − 3x2

y ′ = 6 y − 3 x 2

3 y 2 − 6 x= 2y − x 2

y 2 − 2x

En resumen, podemos establecer que:

dy

dx= y ′ dx

dy= x ′ dy

dy= 1 dx

dx= 1

dy

dx

dx

dy= 1 ⇔ y ′ ⋅ x ′ = 1 ⇔ y ′ = 1

x ′⇔ x ′ = 1

y ′

los ejercicios dados determine la derivada de la función implicita, según la derivada que se le pide.

01. y2 − x2 = 1 y ′ = ?Solución :

En este caso derivando ambos miembros, tenemos:D x y2 − x2 = D x 1

En el primer miembro tenemos la derivada de una diferencia de funciones, que es la diferencia de lasderivadas de las funciones. Mientras que en el segundo miembro tenemos la derivada de la funciónconstante:

D x y2 − D x x2 = D x 1

2y D x y − 2x D x x = 0En este caso tenemos que: D x y = y ′; D x x = 1

2y ⋅ y ′ − 2x ⋅ 1 = 02yy ′ = 2x

despejando y ′ nos queda:

y ′ = x

y

02. 9x2 + 4y2 = 36 y ′ = ?03. xy = 1 x ′ = ?04. x2 + α 2y2 = 4α 2 ,donde α es una constante x ′ = ?.05. xy2 = x − 8 y ′ = ?06. x2 + 2x2y + 3xy = 0 x ′ = ?

Solución :En este caso, calculamos y ′ = ? derivando ambos miembros, tenemos:



D x x2 + 2x2y + 3xy = D x 0

En el primer miembro tenemos la derivada de una suma de funciones, que es la suma de lasderivadas de las funciones. Mientras que en el segundo miembro tenemos la derivada de la funciónconstante:

D x x2 + D x 2x2y + D x 3xy = D x 0

2x D x x + 2 y D x x2 + x2 D x y + 3 y D x x + x D x y = 0

2x ⋅ 1 + 2 2y ⋅ x + x2 ⋅ y ′ + 3 y ⋅ 1 + x ⋅ y ′ = 0

2x + 4xy + 2x2y ′ + 3y + 3xy ′ = 0y ′ 2x2 + 3x + 2x + 4xy + 3y = 0

y ′ 2x2 + 3x = − 2x + 4xy + 3y


y ′ = − 2x + 4xy + 3y

2x 2 + 3x

entonces x ′ = − 2x 2 + 3x

2x + 4xy + 3y

07. 4x3 + 7xy2 = 2y3 y ′ = ?08. x2y = 1 + xy2 x ′ = ?

09. 5xy + 2y = y2 + xy3 y ′ = ?Solución :

En este caso aplicamos la función derivada a ambos miembros de la ecuación, entonces:

D x 5xy + 2y = D x y2 + xy3

En el primer miembro tenemos la derivada de una suma de funciones, que es la suma de lasderivadas de las funciones. Y, tenemos lo mismo en el segundo miembro:

D x 5xy + D x 2y = D x y2 + D x xy3

1

2 5xy5 y D x x + x D x y + 2 D x y = 2y D x y + y3 D x x + x D x y3

1

2 5xy5 y + xy ′ + 2y ′ = 2yy ′ + y3 + 3xy2y ′ / 2 5xy

5y + 5xy ′ + 4y ′ 5xy = 4yy ′ 5xy + 2y3 5xy + 6xy2y ′ 5xy

5x + 4 5xy − 4y 5xy − 6xy2 5xy y ′ = 2y3 5xy − 5y


y ′ = 2 y 3 5xy −5y

5 x + 4 5xy − 4y 5xy − 6xy 2 5xy

10. x y + 1 = xy + 1 x ′ = ?

11. xy + sin xy = 1 x ′ = ?Solución :

En este caso calculamos y ′ = ?aplicando la función derivada a ambos miembros de la ecuación,tenemos:

D x xy + sin xy = D x 1


D x xy + D x sin xy = D x 1

y D x x + x D x y + cos xy y D x x + x D x y = 0

y + xy ′ + y + xy ′ cos xy = 0y + xy ′ + ycos xy + xcos xy y ′ = 0

x + xcos xy y ′ + y + ycos xy = 0

x + xcos xy y ′ = − y + ycos xy


y ′ = − y + y cos xy

x + x cos xy

entonces x ′ = − x + x cos xy

y + y cos xy



12. cos xy 2 = y2 + x y ′ = ?13. xcos y + ycos x − 1 = 0 x ′ = ?14. x3 + y3 = 8xy y ′ = ?15. 1

x+ 1

y= 1 x ′ = ?

Solución :En este caso calculamos y ′ = ?aplicando la función derivada a ambos miembros de la ecuación, queda:

D x1

x+ 1

y= D x 1


D x1

x+ D x

1

y= D x 1

− x−2 D x x − y−2 D x y = 0− 1

x 2− y ′

y 2= 0

− y2 − x2y ′ = 0− x2y ′ = y2


y ′ = − y 2

x 2

x ′ = − x 2

y 2

16. x + y = 4 y ′ = ?Solución :

En este caso aplicando la función derivada a ambos miembros, tenemos:

D x x + y = D x 4


D x x + D x y = D x 4

1

2 xD x x +

1

2 yD x y = 0

1

2 x+ y ′

2 y= 0 / 2 xy

y + x y ′ = 0despejando y ′ nos queda:

y ′ = − y

x

17. 2x3y + 3xy3 = 5 y ′ = ?18. x2y2 = x2 + y2 x ′ = ?19. 2x + 3 4 = 3y4 x ′ = ?

20. y − cosx − y = 0 y ′ = ?Solución :

En este caso tenemos:D x y − cosx − y = D x 0

En el primer miembro tenemos la derivada de una diferencia de funciones, que es la diferencia de lasderivadas de las funciones. Mientras que en el segundo miembro tenemos la derivada de la funciónconstante:

D x y − D x cos x − y = 0

D x y + sin x − yD x x − y = 0y ′ − sinx − y 1 − y ′ = 0

1 + sin x − y y ′ − sinx − y = 0


y ′ = sin x−y

1 + sin x−y



21. x − sinx + y = 0 y ′ = ?22. sec2x + csc2y = 4 x ′ = ?23. cos xy + xy = 0 y ′ = ?24. xsin y + ycos x = 1 x ′ = ?25. cos x + y = ysin x y ′ = ?

26. 3 x − y = x + y y ′ = ?

27. Demuestre que si xy = 1 en (1,1) , entonces: d 2 y

dx 2

2= 4

Solución :En este caso tenemos:

D x xy = D x 1En el primer miembro tenemos la derivada de un producto funciones. Mientras que en el segundomiembro tenemos la derivada de la función constante:

x D x y + y D x x = D x 1xy ′ + y = 0


y ′ = − y

x

Calculando la segunda derivada de y’:

y ′′ = − x y ′ − y

x 2= y − x y ′

x 2

reemplazando en y” el valor de y’:

y ′′ =y − x − y

x

x 2= 2y

x 2

en (1,1), entonces y ′′ = 2 ⇒ y ′′ 2 = 4

28. Dado que x2 + y2 = 1 , demuestre que d 2 y

dx 2= − 1

y 3

29. Se x 12 + y 1

2 = 2 , pruebe que d 2 y

dx 2= 1

x32

30. Si x3 + y3 = 1 , muestre que d 2 y

dx 2= − 2x

y 5

31. Sea x2 + 25y2 = 100 , demuestre que d 2 y

dx 2= − 4

25 y 3

BIBLIOGRAFÍA:1. GRANVILLE,SMITH,LONGLEY,"Cálculo diferencial e integral",Editorial Uteha,

México, 1980.2. LEITHOLD,"El cálculo",Editorial Oxford University Press, Séptima edición, 1999.3. STEWARD, James,"Cálculo", Segunda edición, Grupo Editorial Iberoamericano, 1994.4. FRALEIGH, John,"Cálculo con geometría analítica", Primera edición, Fondo Educativo

Interamericano,1984.5. EDWARDS y PENNEY,"Cálculo con geometría analítica", Cuarta edición, Prentice

Hall-Pearson, 1994.6. PURCELL, VARBERG, RIGDON,"Cálculo",Octava edición, Prentice Hall,2001.7. BITTINGER,Marvin, "Cálculo para ciencias económico-administrativa", Séptima edición,

Addison Wesley, 2002.


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