Definición de derivadaLa derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.

La definición de derivada es la siguiente:

Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primera práctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen en la formula anterior.

Derivadas de funcionesPOR DEFINICION:

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).

Ejemplos

Determinar la función derivada de f(x) = x2 − x + 1.

Calcular f'(−1), f'(0) y f'(1)

f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3

f'(0) = 2(0) − 1 = −1f'(1) = 2(1) − 1 = 1

Derivada en un punto

La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental  cuando el incremento de la variable tiende a

cero.

Ejemplos

1.- Calcular la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.

Hallar la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.

2.- Calcular la derivada de   en x = −5.

3.- Hallar la derivada de   en x = 1.

4.- Determinar la derivada de   en x = 2.

5.- Calcula el valor de la derivada   en x = 2.

6.- Hallar la derivada de   en x = 3.

Cómo se calcula la derivada de una función en un punto?

Puesto que la derivada es un límite, calculémoslo. Veamos un ejemplo:

Sea la función f (x) = x2  vamos a calcular su derivada en el punto x0 = 3

h =x

 Si sustituimos el punto x0 = 1 obtendremos que:

f '(1) = 2 · 1 = 2

Por lo tanto la pendiente de la recta tangente es positiva y tiene un valor de 2 .

Ejercicios de la definición de derivada

Calcula, mediante la definición de derivada, la derivada de las funciones en los puntos que se indican:

1.-f(x) = 3x2 en x = 2.

2.-f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.

3.-f(x) = x2 − x + 1 en x = −1, x = o y x = 1.

4.-  en x = -5.

5.-  en x = 1.

6.-  en x = 2.

7.-  en x = 3.

8.-  en x = 2

REGLA DE LA DERIVACIONA continuación te mostraremos algunos ejemplos para que notes cómo se van desarrollando las reglas de derivación.

La derivada de una constanteSegún lo que hemos descubierto anteriormente la derivada de una constante es cero. Veamos un ejemplo.

f(x) = 7

f '(x) = 0

La derivada de una potencia entera positivaComo ya sabemos, la derivada de xn es n xn-1, entonces:

f(x)= x5

f '(x)= 5x4

f(x) = x6 ; g(x) = x−5 ; h(x) = x5/3

Solución:F`(x) = 6x5 g`(x) = −5x−6 h`(x) =5/3x2/3

Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x5, aún no podemos derivar la función porque no sabemos cuál es la regla para derivar ese tipo de expresiones.

La derivada de una constante por una función.Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su derivada es la constante por la derivada de la función, ocf'(x), por ejemplo:

f(x)= 3x5

f '(x)= 3(5x4) = 15x4

La derivada de una sumaTampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla para la derivada de una suma es (f+g)'= f'+g', es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces:

Regla de la suma

Teorema 4.1. (Derivada de la suma) Sean las funciones U = f(x) y V = g(x).Entonces

[f(x) + g(x)]` = f`(x) + g`(x)

[u + v]` = u` + v`

Ejemplo 4.1. Hallar las derivadas de

f(x) = x3 + x4 g(x) = x2 − x−3

Solucion:

F`(x) = 3x2 + 4x3 g`(x) = 2x + 3x−4

Ejercicio 2. Calcular las derivadas.a) f(x) = 3 x2 − 5 x−3 b) f(x) = x2 − 3 x5

c) f(x) = x10 + x−10

La derivada de un productoAún no hemos dicho cual es la regla para derivar un producto de funciones, la regla para la derivada de un producto es (fg)' = fg'+f'g. En español esto se interpreta como "la derivada de un producto de dos funciones es la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".

f(x)= (4x + 1)(10x2 - 5)f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x2 - 5)

f(x)= 2x3 + x         f '(x)= 6x2 + 1

REGLA DEL PRODUCTO

Teorema 4.2. (Derivada del producto) Sean las funciones u = f(x) y v =g(x). Entonces

[f(x)g(x)]` = f`(x)g(x) + f(x)g`(x)

[u · v]0 = u` · v + u · v`

EJEMPLOS

La derivada de un cocienteAhora daremos la regla para la derivada de un cociente.

Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda) entre la segunda al cuadrado.

Derivada de una raíz

La derivada de la raíz enésima  de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.

Derivada de la raíz cuadrada

La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raíz.

Ejemplos

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

La regla de la cadenaLas reglas de derivación que hemos definido hasta ahora no permiten encontrar la derivada de una función compuesta como (3x + 5)4, a menos que desarrollemos el binomio y luego se apliquen las reglas ya conocidas. Observa el siguiente ejemplo.

f(x) = (3x + 5)2 = 9x2 + 30 x + 25

f '(x) = 18x + 30 = 6(3x + 5)

f(x) = (3x + 5)3 = 27x3 + 135x2 + 225x + 125

f '(x) = 81 x2 + 270x + 225 = 9(3x + 5)2

f(x) = (3x + 5)4 = 81x4 + 540x3 + 1350x2 + 1500x + 625

f '(x) = 324x3 + 1620x2 + 2700x + 1500 = 12(3x + 5)3

f(x) = (3x + 5)5

= 243x5 + 2025x4 + 6750x3 + 11250x2 + 9375x + 3125

f '(x) = 1215x4 + 8100x3 + 20250x2 + 22500x + 9375

= 15 (3x + 5)4

Observa que después de factorizar la derivada, en cada caso se obtiene la misma función pero con el exponente disminuido en 1, multiplicada por un factor que es igual al producto del exponente original por la derivada de la función base.

La derivada de una potencia entera de una función f.Sea y= [f (x)]n, entonces:y ' =n[f(x)](n-1) f '(x)

Ejemplo:

f(x)= (2x + 3)3

f '(x)= (3)(2x + 3)2(2) = 6(2x + 3)2

Ahora que ya has visto cómo se van construyendo las reglas de derivación, veremos un último ejemplo.

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Si   es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como: 

 para   en el dominio   de  . 

Si para algunos valores   existe el   se dice que existe la segunda derivada

de la función   que se denota por   o  , que equivale a . O sea, la segunda derivada de la función   se obtiene derivando la primera derivada de la función. 

Ejemplos: 

1. Si   entonces: 

 y 

 

2. Si   entonces: 

 y derivando nuevamente 

 

 

 

Por tanto   

Similarmente podemos decir que la derivada de   respecto a "x" es la tercera derivada de   

respecto a "x" que se denota   o  . 

La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada   y así podríamos continuar

sucesivamente hasta la enésima derivada de   que se denota por  o  . Generalmente se

habla del orden de la derivada; así la primera derivada es la derivada de primer orden, la segunda es la de segundo orden, la enésima derivada es la derivada de orden n. 

Ejemplos: 

1. Determinar  , donde   

Solución: 

Obtenemos primero   

 

Luego: 

 y se tiene que: 

 

Ejemplo #1

Encontrar la 2da derivada de 

 

Encontramos la 1ra derivada. 

 

Derivamos f'(x). 

Ejemplo # 2 Ejemplo # 3

Ejemplo # 4 Ejemplo # 5