Derivada Direccional Operador NABLA

(

)

Gradiente Dado ( )

(

)

(

)

Divergencia

Dado ( )

(

) ( )

Rotacional

Dado ( )

(

) ( )

||

||

(

)

Laplaciano

(

) (

)

(

)

Dado ( )

(

)

(

)

Ecuacin de Laplace

(

)

Derivada Direccional Si es una funcin diferenciable de , la derivada direccional de ( )

en la direccin de es:

( ) ( )

Es la derivada en la direccin de un vector especfico que nos pidan encontrar.

Si es una funcin diferenciable de , la derivada direccional de ( ) en la direccin de es:

( ) ( )

Observacin:

Sea el ngulo entre y el vector unitario en la direccin en la que queremos sacar ( ):

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

As, la derivada direccional tiene su mximo valor cuando , es decir,

cuando el gradiente de ( ) y el vector estn en la misma direccin.

Si , es decir si tiene direccin opuesta a pero en la misma recta de accin, la derivada direccional tendr su mnimo valor.

Ejercicios

Sea 2222 zxzyyxu

Determinar:

a) dgrau

b) Ecuacin de Laplace

a) dgrau 2222,, zxzyyx

zyxu

dgrau

222222222 2;2;2 zxzyyx

zzxzyyx

yzxzyyx

x

dgrau = zxy 4( , yx 22 2 , )2zx

dgrau = izxy )4( + jyx )22( 2 + kxz )2(

b) 2222

2

2

2

2

22 2,, zxzyyx

zyxu

2222

2222

2

2222

2

22 2,2,2 zxzyyx

zzxzyyx

yzxzyyx

xu

yu 4(2

, 2 , )2

4y+2+2=0

Sea yzxA 3

i 32zy j xyz2 k

Determinar:

a) div A

b) rot A

a) div A

AzAyAxzyx

A ,,,,

div A

xyzz

zyy

yzxx

2323

div A

xyyzyzx 223 32

b) rot A

yzx

x

i

A

3

32

zy

y

j

xyz

z

k

2

rot A

yzxy

zyx

xyzx

yzxz

zyz

xyzy

332332 ,2,2

rot A

),2,32( 3322 zxyzyxzyxz

rot A

= izyxz )32( 22 + jyzyx )2( 3 - kzx )( 3

Ejercicio propuesto:

Si 222222 xzzyyx , V

= ixy )( + jyz )( + kxz )( , calcular:

a) gradrot b) Vrotdiv

a) dgra

dgra 222222222222222222 ,, xzzyyx

zxzzyyx

yxzzyyx

x

dgra = 22 22( xzxy , 22 22 yzyx , )22 22 zxzy

gradrot

22 22

xzxy

x

i

grad

22 22

yzyx

y

j

22 22

zxzy

z

k

gradrot

222222222222 2222,2222,2222 xzxyy

yzyxx

zxzyx

xzxyz

yzyxz

zxzyy

gradrot = )44,44,44( yxyxxzxzzyzy

0

gradrot

222222,, xzzyyxzyx

b) Vrot

xy

x

i

V

yz

y

j

xz

z

k

Vrot

xyy

yzx

xzx

xyz

yzz

xzy

,,

Vrot

),,( xzy

Vrotdiv

xzyzyx

Vrot

,,,,

Vrotdiv

xz

zy

yx

Vrotdiv

= 0

Ejercicios

Hallar la derivada direccional de la funcin xyeyxyxf 2)1(),( en (0,1) en la

direccin hacia (-1,3)

uyxfyxfDu

,),(

xyxyxyxy

xy

xeyxyexeyxeyyxf

eyxyx

yxf

232

2

112,1),(

1,),(

)2,0()1,0(

)1,0(1

f

P

)2,1(

)3,1(

21

2

PP

P

5

52,

5

5

5

2,1

21

21

PP

PPu

uyxfyxfDu

,),(

5

52,

5

5)2,0()1,0(fDu

554),( yxfDu

Hallar la derivada direccional de la funcin xzyzxyzyxf ),,( en el

punto (1,1,1) y en la direccin del vector )1,1,2( a

uzyxfzyxfDu

,,),,(

xyzxzyzyxf

xzyzxyzyx

zyxf

,,),,(

,,),,(

)2,2,2()1,1,1(

)1,1,1(1

f

P

6114

)1,1,2(

a

a

6

6,

6

6,

3

6

a

au

uzyxfzyxfDu

,,),,(

6

6,

6

6,

3

6)2,2,2()1,1,1(fDu

3

62),,( zyxfDu

Sea yx

xyxf

),( en el punto (3,2). Hallar la derivada direccional mnima

y el u

en esa direccin

uyxfyxfDu

,),(

22,),(

,),(

yx

x

yx

yyxf

yx

x

yxyxf

25

3,

25

2)2,3(

)2,3(1

f

P

Si ),( yxfDu es mnima

25

13

25

9

25

4)2,3(

22f

25

13),( min yxfDu

13

133,

13

132

25

13

25

3,

25

2

),(

),(

yxf

yxfu

El cambio de temperaturas correspondientes a los diversos puntos (x, y)

de una placa est dado por 22

),(yx

xyxT

. Hallar la direccin del

mximo aumento de temperatura en el punto (3,4)

uyxfyxfDu

,),(

22222222

22

2,),(

,),(

yx

xy

yx

xyyxf

yx

x

yxyxf

625

24,

625

7)4,3(

)4,3(1

f

P

Si 0 ),( yxfDu es mxima

25

1

625

576

625

49)4,3(

22f

25

1),( min yxfDu

24,725

1

25

1625

24,

625

7

),(

),(

yxf

yxfu