Demostracion estadistica-momentos
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Universidad Técnica de Ambato Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial
Henry Alvarado
De un total de N números, la fracción p son unos, y la fracción q = 1 – p son ceros. Probar que
la desviación típica de ese conjunto de números es √𝑝𝑞
Suponiendo una serie de ceros y unos:
Siendo n el número total de datos, entonces planteando las fracciones:
n
xn
n
x1
n
x
q
p
Calculo de la media:
Realizando la sumatoria para el numero de datos, los ceros son neutros por tanto solo se suman los unos.
n
xx
Realizando el momento 5M
n
n
x0
n
x1
M
x
1i
xn
1i
55
5
n
n
x0xn
n
x1x
M
55
5
n
n
xxn5101051x
M
5
5
55
5
5
4
4
3
3
2
2
5
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
xn
x5
n
x10
n
x10
n
x
n
x5
n
x
n
x
M
2
2
3
3
4
4
5
4
5
5
6
5
6
5
n
xn
x5
n
x10
n
x10
n
x4
M
2
2
3
3
4
4
5
5
1
1
1
0
0
0
p
q
Universidad Técnica de Ambato Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial
Henry Alvarado
n
n
xnxn5xn10nx10x4
M4
4233245
5
5
42332455
n
xnxn5xn10nx10x4M
5
42332455
n
xnxn5xn10nx10x4M
3
32235
n
nxn4nx6x4
n
xn
n
xM
3
32235
n
nxn4nx6x4
n
xn
n
xM
Agrupando para posteriormente expresar en función de p y q
3
3223
3
322
3
32
3
35
n
xnx3xn3n
n
xnx2xn
n
xnx
n
x
n
xn
n
xM
Sabemos que:
n
xp ;
n
xnq ;
3
33
n
xp ;
3
32
2
22
n
xnx
n
xn
n
x
qp
3
322
3
222
2
n
xnx2xn
n
xnx2nx
n
xn
n
xpq
3
32233
3
n
xnx3xn3n
n
xn
q
Por tanto:
32235 qpqqpppqM
Ejemplo:
Tenemos que las fracciones son:
5
2
5
3
p
q
1
1
0
0
0
p
q
Universidad Técnica de Ambato Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial
Henry Alvarado
32235 qpqqpppqM
3223
5
5
3
5
3
5
2
5
3
5
2
5
2
5
3
5
2M
025,0M5
Comprobación:
5
5
21
5
21
5
20
5
20
5
20
M
55555
5
025,0M5