Función logarítmica-y-ecuaciones-exponenciales-y-logarítmicas
Demostración de la derivada de la función logarítmica
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Demostracin de la derivada de la funcin logartmica Hola amigos de fsica, hoy vamos a demostrar la derivada de la funcin logartmica. Para ello utilizaremos la definicin de derivada, como sabemos:
La derivada del logaritmo dice:
Siendo una funcin. Para simplificar los clculos, pondremos que necesario estar multiplicando por independiente x es 1: es decir , . Tenemos que:
, as no es
puesto que la derivada de la variable
Bien, comencemos. Sea nos queda:
, sustituyendo en la definicin de derivada
Una de las propiedades de los logaritmos dice: El logaritmo de un cociente es igual a el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. Matemticamente:
Si aplicamos esta regla tenemos:
Ahora, si hacemos que:
,sustituyendo nos queda:
Si multiplicamos el denominador por estamos multiplicando por 1:
no modificamos la expresin puesto que
Reescribiendo:
Una de las propiedades de los lmites, dice que:
Aplicando eso:
Otra de las propiedades del logaritmo es la del cambio de base. Dice as: El logaritmo en base a de un nmero se puede obtener a partir de logaritmos en otra base. Matemticamente:
Si hacemos un cambio de base y cambiando la base
por , tenemos:
Otra de las propiedades de los logaritmos es la del logaritmo de una potencia:
El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia. Matemticamente: Aplicando esa propiedad a la inversa:
Ahora, aplicaremos el lmite de un cociente:
La expresin
la podemos reescribir como:
. Sustituyendo:
Ahora, aplicamos la propiedad del lmite del logaritmo:
Aplicamos esta propiedad:
Con la definicin del nmero tenemos:
Y eso es precisamente lo que tenemos
Sustituyendo :
Y ahora,
, entonces queda demostrado que:
Que generalizando para el logaritmo de una funcin nos queda:
, con la regla de la cadena
Ntese que en el caso de que nos pidan la derivada de
, nos sale:
Espero haber sido claro y no haber cometido errores. Cualquier duda o sugerencia, no duden en comentar. Saludos!