DEFINICIÓN VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Se dice que una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1,x2,x3,…..xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,…..pn., Es decir que sólo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 +…+ pn=1. En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x)se entenderá la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X. Esta función recibe el nombre de función de la probabilidad. Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire. Los sucesos elementales del experimento, «que salga cara», «que salga cruz», no vienen representados por los números, por lo que casa suceso elemental se le hace corresponder un número real. Así al suceso elemental «que salga cara» se le hace corresponder el número “1” y al suceso elemental «que salga cruz» se le hace corresponder el número “2”. La variable aleatoria será: X = (1,2).

Se trata de una variable aleatoria discontinua o discreta

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

• Las distribución binomial parte de la distribución de Bernouilli: La distribución de Bernouilli se aplica cuando se realiza una sola vez un experimento que tiene únicamente dos posibles resultados (éxito o fracaso), por lo que la variable sólo puede tomar dos valores: el 1 y el 0 La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número”n” de veces el experimento de Bernouilli, siendo cada ensayo independiente del anterior. La variable puede tomar valores entre: 0: si todos los experimentos han sido fracaso n: si todos los experimentos han sido éxitos Ejemplo: se tira una moneda 10 veces: ¿cuantas caras salen? Si no ha salido ninguna la variable toma el valor 0; si han salido dos caras la variable toma el valor 2; si todas han sido cara la variable toma el valor 10 La distribución de probabilidad de este tipo de distribución sigue el siguiente modelo:

EJEMPLO• ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? “ k “ es

el número de aciertos. En este ejemplo “ k “ igual a 6 (en cada acierto decíamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces k = 6) “ n” es el número de ensayos. En nuestro ejemplo son 10 “ p “ es la probabilidad de éxito, es decir, que salga “cara” al lanzar la moneda. Por lo tanto p = 0,5 La fórmula quedaría:

• Luego, P (x = 6) = 0,205 • Es decir, se tiene una probabilidad del 20,5% de obtener 6 caras al lanzar 10 veces

una moneda. • Se utiliza para determinar la probabilidad de obtener un número o cantidad

determinada de éxitos, en experimentos completamente aleatorios o de Bemoulli. • En este caso “X” se define como el éxito en un experimento. • Se requieren 3 valores, la cantidad designada de éxitos o X; el numero de ensayos,

observaciones o experimentos (n) y la probabilidad de éxito de cada ensayo. • Una variable aleatoria discreta X definida en un espacio de probabilidad: representa

el numero de éxitos en n repeticiones de un experimento de Bernoulli, entonces: • n = cantidad de ensayos o experimentos • x = cantidad de éxitos • p = probabilidad de éxito • q = probabilidad de fracasos (1-p)

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA

• Características: a) a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan más de dos tipos de resultados. b) b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados no son constantes. c) c) Los ensayos o repeticiones del experimento no son independientes entre sí. d) d) El número de repeticiones del experimento n, es constante.

• Entonces en este caso se tienen más de dos tipos de objetos, por lo que la fórmula a utilizar sería:

• donde: N = x + y + z = total de objetos a = total de objetos del primer tipo b = total de objetos del segundo tipo c = N-a-b = total de objetos del tercer tipo n = objetos seleccionados en la muestra x = objetos del primer tipo en la muestra y = objetos del segundo tipo en la muestra z = n-x-y = objetos del tercer tipo en la muestra

• Ejemplos: 1.En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5 productos de este lote, determine la probabilidad de que a) 3 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores, b) 4 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores.

• Solución: a)N= 20+3+2 =25 total de artículos a=20 productos sin defectos b= 3 productos con defectos menores N-a-b= 2 productos con defectos mayores n= 5 productos seleccionados en la muestra x = 3 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestra y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la muestra z = n-x-y = 5–3−1 = 1 producto con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra

• b)N= 25 a=20 productos sin defectos b= 3 productos con defectos menores N-a-b= 2 productos con defectos mayores n= 5 productos seleccionados en la muestra x = 4 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestra y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la muestra z = n-x-y = 5–4−1 = 0 productos con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra

• 3.Un club de estudiantes extranjeros tiene en sus listas a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y 2 alemanes. Si se selecciona aleatoriamente un comité de 4 estudiantes, encuentre la probabilidad de que: a)estén representadas todas las nacionalidades, b)estén representadas todas las nacionalidades, excepto la italiana.

• Solución: a) N = 12 estudiantes a = 2 Canadienses b = 3 Japoneses c = 5 Italianos N-a-b-c = 2 Alemanes n = 4 estudiantes seleccionados para formar comité x = 1 estudiante Canadiense en el comité seleccionado y = 1 estudiante Japonés en el comité seleccionado z = 1 estudiante Italiano en el comité seleccionado n-x-y-z = 1 estudiante Alemán en el comité seleccionado

• b) N = 7 estudiantes quitando a los Italianos a = 2 Canadienses b = 3 Japoneses N-a-b = 2 Alemanes n = 4 estudiantes seleccionados para formar comité x = 1 o 2 estudiantes Canadienses en el comité seleccionado y = 1 o 2 estudiantes Japoneses en el comité seleccionado n-x-y= 1 o 2 estudiantes Alemanes en el comité seleccionado p(estén representadas todas las nacionalidades, excepto la italiana)

• Distribución hipergeométrica Por claridad, consideremos el siguiente ejemplo: Tenemos una baraja de cartas españolas (N=40 naipes), de las cuales nos vamos a interesar en el palo de oros (D=10 naipes de un mismo tipo).

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

• Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que n ensayos sean necesarios para obtener un éxito es

• para n = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la probabilidad de que haya n fallos antes del primer éxito es

• para n = 0,1, 2, 3,....• En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una secuencia geométrica.• Por ejemplo, supongamos que un dado ordinario es lanzado repetidamente hasta que aparece "1"

por primera vez. La distribución de probabilidad del número de veces que el dado es lanzado se encuentra en el conjunto infinito {1, 2, 3,...} y es una distribución geométrica con p=1/6.

• El valor esperado de una variable aleatoria X distribuida geométricamente es 1/'p y su varianza es (1 − p)/p2;

• Equivalentemente, el valor esperado de una variable aleatoria distribuida geométricamente Y es (1 − p)/p, y su varianza es (1 − p)/p2.

• La función generatriz de probabilidad de X y la de Y son, respectivamente,• Como su continua análoga (la distribución exponencial), la distribución geométrica es sin memoria.

Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de probabilidad condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos. La distribución geométrica es de hecho la única distribución discreta sin memoria.

• De todas estas distribuciones de probabilidad contenidas en {1, 2, 3,... } con un valor esperado dado μ, la distribución geométrica X con parámetro p = 1/μ es la de mayor entropía

• La distribución geométrica del número y de fallos antes del primer éxito es infinitamente divisible, esto es, para cualquier entero positivo n, existen variables aleatorias independientes Y 1,..., Yn distribuidas idénticamente la suma de las cuales tiene la misma distribución que tiene Y. Estas no serán geométricamente distribuidas a menos que n = 1.

DISTRIBUCION MULTINOMIAL

• La distribución multinomial es una generalización de la distribución binomial. En este caso, en un experimento interesa estudiar no la ocurrencia de un único suceso o la de su contrario, sino la de varios sucesos (tres o más). La distribución multinomial, M(n,p1,…,pn) proporciona probabilidades de obtener, en m repeticiones independientes de un experimento, x1 veces el suceso A1, x2 veces el suceso A2,…, xn veces el suceso An, donde dichos sucesos forman una partición del espacio muestral, es decir, tal que para y donde , por tanto, se cumple .

• Así, considerando que Xi es el número de veces que se presenta el suceso Ai en las m repeticiones tenemos que la variable n-dimensional (X1, X2, …, Xn) sigue una distribución multinomial de parámetros n, p1, …, pn y su función de probabilidad es

• Hay que tener en cuenta que si (X1, X2, …, Xn) es una variable multidimensional entonces existe una relación lineal entre sus componentes ya que X1+ X2+ …+ Xn = m, por lo que, una de las variables, por ejemplo Xn, se puede poner como combinación lineal del resto, Xn=m-X1- X2- …- Xn-1. Por tanto, el fenómeno que describe la variable (X1, X2, …, Xn) queda igualmente descrito por una variable de una dimensión menor, (X1, X2, …, Xn-1), sin que esta pérdida de dimensión suponga una pérdida de información.

• Por ejemplo, una variable multinomial de dimensión dos (X1, X2), M(n,p1,p2), se puede describir considerando una cualquiera de sus componentes que tiene una distribución binomial, por lo que en realidad esta variable es unidimensional y no bidimensional.

• Además, cada una de las n variables, Xi, que forman una multinomial M(n,p1,…,pn) siguen distribuciones binomiales B(m,pi), es decir, las distribuciones marginales de una multinomial son binomiales, por tanto, la esperanza y la varianza de cada una de estas variables es, E[Xi]=m•pi y Var(Xi)=mpi(1-pi). Además la covarianza entre dos cualesquiera de sus componentes es, .

• Estos momentos de las variables componentes de una multinomial se pueden agrupar en forma de matriz dando lugar a las denominadas matriz de esperanzas y matriz de varianzas-covarianzas, que recogen las características teóricas principales de la distribución multinomial (medias, varianzas y covarianzas)

• Ejemplo: El entrenador de un equipo de baloncesto opina que los jugadores A, B y C tienen similares aptitudes para ser titulares del equipo en la posición de base. Así, determina que juegen el mismo número de minutos cada partido. Se sabe que el 40% de las canastas son de C, mientras que A y B consiguen un 30% de encestes. Calcular la probabilidad de que en un partido con 9 encestes de dos puntos, A consiguiera dos, B tres y C cuatro.

• Sea la variable tridimensional que recoge el número de encestes de A, de B y de C, respectivamente. Dicha variable es una multinomial con n=9, p1=0.3, p2=0.3 y p3=0.4. Así,

 DISTRIBUCIÓN DE POISSON

• La Distribución de Poisson se llama así en honor a Simeón Dennis Poisson (1781–1840), francés que desarrolló esta distribución basándose en estudios efectuados en la última parte de su vida.

• La distribución de Poisson se emplea para describir varios procesos, entre otros la distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un cruce. Los ejemplos citados tienen un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que asume valores enteros (0,1,2,3,4,5 y así sucesivamente).

• El número de enfermos que llegan a un consultorio en cierto intervalo de tiempo será de 0,1,2,3,4,5 o algún otro número entero. De manera análoga, si se cuenta el número de automóviles que llegan a una caseta de cobro durante un periodo de diez minutos, el número será entero.

• Características de los procesos que producen una distribución de la probabilidad de Poisson. • El número de vehículos que pasan por una caseta de cobro en las horas de mayor tráfico sirve como ejemplo para mostrar las

características de una distribución de probabilidad de Poisson. • El promedio (media) de los arribos de vehículos por hora de gran tráfico puede estimarse a partir de los datos anteriores del

tráfico. • Si dividimos las horas de gran tráfico en periodos (intervalos) de un segundo cada uno, encontraremos que los siguientes

enunciados son verdaderos: • a) La probabilidad de que exactamente un vehículo llegue por segundo a una caseta individual es un número muy pequeño y es

constante para que cada intervalo de un segundo. • b) La probabilidad de que dos o más vehículos lleguen en un intervalo de un segundo es tan reducida que podemos asignarle

un valor cero. • c) El número de vehículos que llegan en determinado intervalo de un segundo es independiente del momento en que el

intervalo de un segundo ocurre durante la hora de gran tráfico. • d) El número de llegadas en cualquier intervalo de un segundo no depende del número de arribos de cualquier otro intervalo

de un segundo. • Ahora bien, podemos generalizar partiendo de las cuatro condiciones que hemos descrito en este ejemplo, si estas condiciones

se cumplen nos apoyaremos en una distribución de probabilidad de Poisson para describirlos. • Cálculo de probabilidades mediante la distribución de Poisson. • La distribución de Poisson, según hemos señalado, se refiere a ciertos procesos que pueden ser descritos con una variable

aleatoria discreta. La letra X suele representar esa variable y puede además asumir valores enteros (0,1,2,3 etc..) . Utilizamos la letra X mayúscula para representar la variable aleatoria y la x minúscula para designar un valor específico que puede asumir la X mayúscula. La probabilidad de exactamente x ocurrencias en una distribución de Poisson se calcula mediante la fórmula:

• P(x) = l x * e-l / x! • l x = Lambda • (número medio de ocurrencias por intervalo de tiempo) elevada a la potencia x. • e-l = e= 2.71828 elevado a la potencia de lambda negativa.•  •  •  • x! = x factorial.

Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los archivos de la policía indican una media de cinco accidentes por mes en él. El número de accidentes está distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 4 accidentes en un mes

determinado. Aplicando la fórmula anterior: P(0) = (5)0 (e-5) /0! = 0.00674 P(1) = (5)1 (e-5) /1! = 0.03370 P(2) = (5)2 (e-5) /2! = 0.08425 P(3) = (5)3 (e-5) /3! = 0.14042 P(4) = (5)4 (e-5) /4! = 0.17552

Para saber cual es la probabilidad en 3 o menos, sumaremos las probabilidades de 0,1,2,3 lo que será igual a : P(0) = 0.00674 P(1) = 0.03370 P(2) = 0.08425

P(3) = 0.14042 P(3 o menos) = 0.26511Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de 0.26511 entonces la probabilidad de que ocurran más

de tres debe ser = 1 –0.26511 = 0.73489. La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución binomial.

Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular las distribuciones binomiales, se puede usar a cambio la de Poisson, pero debe cumplir con ciertas condiciones como :

n=>20 p=<0.05

En los casos en que se satisfacen tales condiciones, podemos sustituir la media de la distribución binomial en lugar de la media de la distribución de Poisson de modo que la fórmula quedaría así:

P(x) = (np) X * e-np /x! Características:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,: - # de defectos de una tela por m2

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc. - # de bacterias por cm2 de cultivo

- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc. - # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

donde: p(x, l) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es l

l = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto e = 2.718

x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es

totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

APROXIMACIÓN DE BINOMIAL POR DE POISSON

• La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución binomial.

• Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular las distribuciones binomiales, se puede usar a cambio la de Poisson, pero debe cumplir con ciertas condiciones como :

• n=>20

• p=<0.05

• En los casos en que se satisfacen tales condiciones, podemos sustituir la media de la distribución binomial en lugar de la media de la distribución de Poisson de modo que la fórmula quedaría así:

• P(x) = (np) X * e-np /x!

• Características:

• En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,:

• Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

• donde:

• p(x, l) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es l

• l = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

• e = 2.718

• x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

• Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

• Ejemplos:

• 1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

• Solución:

• a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ….., etc, etc.