La potenciación es el producto de varios factores iguales. Para abreviar la escritura, se escribe el factor que se repite y en la parte superior derecha del mismo se coloca el número de veces que se multiplica.

                        

                     

DefiniciónPotenciar es multiplicar un número por si mismo una cantidad de

veces.

La potenciación es un caso particular de la multiplicación con varios factores.

Propiedades:

        si se cumple que       

Primera

Es una forma indeterminada00

Potencia de exponente 0

Segunda:

ejemplo

Tercera:

ejemplo

Cuarta:

ejemplo6

42

77

7

Producto de potencias de igual base

Potencia de exponente 1

División de potencias de igual base

Quinta:

ejemplo

Sexta:

ejemplo

Séptima:

5 4 20(9 ) 9

Potencia de una potencia

Potencia de un producto

4 4 4(10) 5 2Producto de potencias de base distinta

Octava:Es distributiva respecto a la multiplicación y la división

Novena:

Propiedad distributiva

No es distributiva respecto a la adición y a la sustracción

Potencia de exponente negativo

1nn

aa

Ejercicios

En cada uno de los siguientes ejercicios simplifique y elimine cualquier exponente negativo:

4

6

101)

10

4 5

6 7

2 32)

2 3

4 6 7

11 8 9

( )3)

( )

a b

a b

114 6 7

11 8 9

( )4)

( )

a b

a b

13114 6 7

11 8 9

154 6 12

11 8 7

( )( )

5)( )( )

a ba b

b ab a

Problema

La pregunta inoportuna:

En una visita al santuario del Señor de los Milagros en Buga, cinco amigos compraron cinco medallas de precios diferentes: $5, $25, $125, $625 y$3125. Al salir del establecimiento observaron que sólo les quedaron:$1 a Juan, $2 a Pablo, $3 a Pedro, $4 a Jaime y $5 a Claudio.

Jaime (el matemático) exclamó: “Si multiplicamos cada cantidad gastada por la cantidad restante y sumamos los cinco productos resulta 9615”.

Sandra (la esposa de Pablo) preguntó: “Qué precio han pagado cada uno de ustedes por su medalla?”.

Pablo, como siempre tan comprensivo, le dijo: “Deje de hacer preguntas Inoportunas y dedúzcalo usted misma”.

¿Pudo determinar Sandra cuál es el precio de cada medalla?.

Sean:

X= la cantidad restante del que pagó $5 por su medalla.y = la cantidad restante del que pagó $25 por su medalla.z= la cantidad restante del que pagó $125 por su medalla.w= la cantidad restante del que pagó $625 por su medalla.r= la cantidad restante del que pagó $3125 por su medalla.

Entonces:

Cancelando 5 obtenemos:

Luego:

Como por hipótesis se tiene que , entonces x=3 ya que éste es el único de estos números tal que 1923-x es divisible por 5. Por lo tanto:

2 3 4 55 5 5 5 5 9615x y z w r

2 3 45 5 5 5 1923x y z w r 2 35( 5 5 5 ) 1923y z w r x

{1,2, 3, 4, 5}x(1)

Solución:2 3 4 55 25, 5 125, 5 625, 5 3125 Observe que:

Además de (1) se deduce que:

Como por hipótesis se tiene que , entonces y=4 ya que éste es el único de estos números tal que 384-y es divisible por 5. Por lo tanto:

25( 5 5 ) 384z w r y

{1,2, 3, 4, 5}z

Pedro pagó $5 por su medalla

{1,2, 3, 4, 5}y

Jaime pagó $25 por su medalla

(2)

de (2) se deduce que:

Como por hipótesis se tiene que , entonces z=1 ya que éste es el único de estos números tal que 76-z es divisible por 5. Por lo tanto:

5( 5 ) 76w r z (3)

Juan pagó $125 por su medalla

de (3) se deduce que:

Como por hipótesis se tiene que , entonces w=5 ya que éste es el único de estos números tal que 15-w es divisible por 5. Por lo tanto:

5 15r w

{1,2, 3, 4, 5}w

Claudio pagó $625 por su medalla

Finalmente se tiene que:

Pablo pagó $3125 por su medalla

2 3

2 3 1

1

1

1 ...

...

:

1

1

1

n

n

n

n

S a a a a

aS a a a a

al restar se obtiene

S aS a

luego

aS

a

Observación:

Ejemplos: 12 3 11 2

1) 1 2 2 2 ... 2 2 11 2

nn n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

1 2

21 2

22 2

21 2 2

31 2

32

22

1 12 3 1 10 10 1

1) 1 10 10 10 ... 101 10 9

n nn

Problema

Una interesante suma:

Observa que:

1=11+11=121+11+111=1231+11+111+1111=12341+11+111+1111+11111=12345

¿Puedes encontrar en general, el valor de la suma:

1+11+111+1111+ … +111 … 1 ?

(¿Quién es?)

Solución:2 3 1 10 1

11...1 1 10 10 10 ... 109

nn

2 310 1 10 1 10 1 10 11 11 111 ... 11...1 ...

9 9 9 9

n

Como

luego

2 311 11 111 ... 11...1 (10 10 10 ... 10 )

9n n

2 1110 1 10 10 ... 10

9n n

1 10 110

9 9

n

n

1110 10 9

81n n

La operación inversa de la potenciación se denomina radicación.

Si x y r son números reales no negativos y n es un entero positivo,o x y r son números reales negativos y n es un número entero positivoImpar, se define:

nn x r si y sólo si r x

Propiedades:

1) ( )nn x x

| |2) ( )n x si n es imparnx si n es parx

Sean m y n enteros positivos y x e y números reales. Entonces:

3) n n nx y xy

4)n

nn

x x

yy

5) m n mnx x

Siempre y cuando los radicales representen números reales

Ejercicios

En cada uno de los siguientes ejercicios simplifique las respectivas expresiones:

4

412

101)

10

15 9

36 12

32)

2

b

a

4 6 7

511 4 8

( )3)

( )

a b

a b

44 6 7

3 811 8 9

( )4)

( )

a b

a b

4 64

312 82

4 62

611 84

( )

( )5)

( )

( )

a b

a b

b a

b a

La palabra ecuación viene del latín aequatio que significa igualdad. Los primeros vestigios que existen de ellas, se remontan alrededor del año 2000 a.c. periodo en el cual aparece el Libro de Cálculo de Axmés en donde se presentan las ecuaciones de primer grado, a los Babilónicos se debe la resolución de ecuaciones de segundo grado, los griegos se limitaron a redescubrir las fórmulas babilónicas en términos geométricos, pero fueron Herón (alrededor del año 100) y Diofanto de Alejandríıa (siglo III) quienes lo hicieron en forma algebraica.

               

               Herón el Viejo de Alejandría

POLINOMIOS

Un polinomio de grado n en la variable x , es cualquier expresión de la forma

En donde n es un entero no negativo, y i=1,2, … ,n son números reales.

Ejemplos:

0na ia

Ejemplos:

1) El polinomio es un polinomio de grado cero y se denomina polinomio

constante.

2) El polinomio es un polinomio de primer grado y se denomina polinomio lineal.

3) El polinomio es un polinomio de tercer grado y se denomina polinomio cúbico.

1 1( ) 0op x a x a con a

0( ) 0op x a con a

22 1 2( ) 0op x a x a x a con a

Ejemplos:

Las siguientes funciones no son polinomios:

22 1 1

14 3 34 3 2 1 2

4 3 34 3 2 1 2

4 3 2 14 3 2 1

4 34 3 2 1 3

2 3 34 3 2 1

1) ( ) 0

2) ( ) 0

3) ( ) 0

4) ( ) 0

5) ( ) 0

6) ( )

o

o

o

o

o

o

p x a x a x a con a

p x a x a x a x a x a con a

p x a x a x a x a x a con a

ap x a x a x a x a con a

x

p x a x a x a x a x a con a

p x a x a x a x a x a con a

4 0

COMBINACIÓN Y PERMUTACION. 

COMBINACIÓN:Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugaro posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyendicho arreglo. 

PERMUTACIÓN:Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar oposición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

Combinaciones y permutaciones

¿Qué diferencia hay?Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:

En otras palabras:Una permutación es una combinación ordenada.

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas " o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724“ no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

Si el orden no importa, es una combinación.Si el orden sí importa es una permutación.

Definición: El número de permutaciones de n objetos es el número de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en términos de orden.

0! 1

! 1 2 3 0n n si n

El número de permutaciones de n objetos es igual a: n!

El número de permutaciones de 3 objetos es igual a: 6=3!.

abc

acb

bac

bca

cab

cba

Definición:

1) Si un conjunto tiene n elementos: ¿Cuántos subconjuntos con un elemento puedo escoger de él?.

Respuesta: n.

2) Si un conjunto tiene n elementos: ¿Cuántos parejas ordenadas con dos elementos diferentes puedo escoger de él?.

Respuesta:

Por cada escogencia de la primera componente hay n-1 opciones para escoger la segunda, por lo tanto, el número de parejas ordenadas con dos elementos diferentes es n (n-1).

3) Si un conjunto tiene n elementos: ¿Cuántos subconjuntos con dos elementos diferentes puedo escoger de él?.

Respuesta: El número de parejas ordenadas con dos elementos diferentes es n (n-1), pero la pareja (a, b) es distinta de la pareja (b, a) aunque el conjunto {a, b}={b, a}, luego el número de conjuntos con tres elementos diferentes es:

4) Si un conjunto tiene n elementos: ¿Cuántos triplas ordenadas con todos sus elementos diferentes puedo escoger de él?.

Respuesta: Por cada escogencia de la primera coordenada hay (n-1) (n-2) opciones para escoger la pareja integrada las otras dos coordenadas diferentes, por lo tanto, el número de triplas ordenadas con todos sus elementos diferentes es: n (n-1 )(n-2).

( 1)

2

n n

5) Si un conjunto tiene n elementos: ¿Cuántos subconjuntos con tres elementos diferentes puedo escoger de él?.

Respuesta: El número de triplas ordenadas con todos sus elementos diferentes es n (n-1) (n-2), pero las triplas (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b) y (c, b, a) sontodas distintas aunque los conjuntos {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a},{c, a, b} y {c, b, a} son iguales luego el número de conjuntos con tres elementos diferentes que podemos escoger de un conjunto con n elementos es:

( 1)( 2) ( 1)( 2)

6 3!

n n n n n n

6) Si un conjunto tiene n elementos: ¿Cuántos r-uplas ordenadas de elementos diferentes puedo escoger de él?.

Respuesta:

Por cada escogencia de la primera coordenada hay (n-1) (n-2) … (n-r+1)opciones para escoger la r-1-upla integrada las otras r-1 coordenadas diferentes, por lo tanto, el número de r-uplas ordenadas con todos loselementos diferentes que se puede escoger de un conjunto con n elementos es:

n (n-1) (n-2) … (n-r+1).pero: !

( 1)( 2) ( 1)( )!

nn n n n r

n r

!( , )

( )!

nP n r

n r

Este número se acostumbra notar

7) Si un conjunto tiene n elementos: ¿Cuántos subconjuntos con r elementos diferentes puedo escoger de él?.

Respuesta: El número de r-uplas ordenadas con todas sus coordenadas diferentes es

pero de cada conjunto se pueden obtener r! triplas Distintas, luego el número de conjuntos con r elementos diferentes quepodemos escoger de un conjunto con n elementos es:

!

( )!

n

n r

1 2 r{a ,a , ,a }

!

!( )!

n

r n r

Definición:

El término se denomina combinatoria de n, r y se nota: !

!( )!

n

r n r

!( , )

!( )!

nc n r

r n r

Ejemplo:

¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto con n elementos?.

Desarrollo:

0

( ,0) ( ,1) ( , 2) ( , ) ( , )n

k

c n c n c n c n n c n k

Propiedades de la combinatoria

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

TRIÁNGULO DE PASCAL

Ejercicios