Definición. Transformada de Laplace:efinición

Arriba  Existencia

Existencia de la transformada de Laplace:

Antes de proceder a deducir la transformada de Laplace para una función f en particular hay que estar seguros que para esa clase de funciones existe la trnasformada. Antes de enunciar el teorema de existencia debemos conocer dos conceptos en los que sustenta el teorema: Función continua por tramos y función de orden exponencial.

  T

Teorema. Condiciones suficientes para la existencia:Existenacia

  Corolario

Corolario:

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  Unicidad de la transformada

Unicidad de la transformada de Laplace:

Propiedades operacionales de la Transformada de Laplace:No es necesario recurrir cada vez a la definición para hallar la transformada de Laplace de una función f(t) dada, en algunas ocasiones este trabajo innecesario es muy laborioso. Para facilitar las

cosas es conveniente conocer y aplicar ciertas propiedades de las transformadas.  Linealidad

Teorema. Propiedad de Linealidad:

La transformada de Laplace de una combinación lineal de funciones es igual a la combinación lineal de sus transformadas y se extiende a una combinación lineal finita de trnasformadas de Laplace.

Arriba  Tabla de transformadas de Laplace

Tabla de transformadas de Laplace:

F u n c i ó n T r a n s f o r m a d a D o m i n i o

1

t

Arriba  Transformada inversa de Laplace

Transformada de Laplace inversa:

  Linealidad de la transformada de Laplace inversa:

Linealidad de la transformada de Laplace inversa:

Arriba  Transformadas de derivadas:

Transformadas de derivadas:

  Teorema.  Transformada de una derivada

Teorema.  Transformada de una derivada:

Arriba  Ejer

Ejercicio 1: 1

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  Ejercicio2

Ejercicio 2:

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  Ejercicio 3

Ejercicio 3:

Arriba

  Ejercicio4

Ejercicio 4:

Arriba

  Ejercicio 5

Ejercicio 5:

Arriba

  Ejercicio 6

Ejercicio 6:

Arriba

  Ejercicio 7

Ejercicio 7:

Arriba

  Ejercicio 8

Ejercicio 8:

Esta transformada así como la de coskt también se pueden deducir aplicando directamente la definición y aplicando dos veces integración por partes. Precisamente en el siguiente ejercicio se

halla la transformada de Laplace de f (t) = coskt por el segundo método.

Arriba

  Ejercicio 9

Ejercicio 9:

Arriba

  Apendice

Apéndice:  Funcion gamma

Definición. La función gamma:

Arriba  Continua por tramos

Definición. Función continua por tramos:

   Orden exponencial

Definicón. Función de orden exponencial:

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lsb

> restart; with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

Señales discontínuas. Escalón, rampla, impulso.

Se pueden modelar funciones definidas en segmentos mediante la función piecewise .

Se especifican los rangos y las expresiones asociadas al rango.

> f:= piecewise( t<0, 0, t<=1, t, t<=2, 2-t, t>2, 0 );

> plot( f, t=-1..3, thickness=3, scaling=constrained );

La derivada de un gráfico definido por segmentos puede expresarse simbólicamente mediante Diff

> dfi :=Diff(f,t);

La expresión df para la derivada de una función respecto a una variable, se obtiene con: diff

> df :=diff(f,t);

> plot( df, t=-1..3, thickness=3, scaling=constrained );

La integral de un gráfico definido por segmentos puede expresarse simbólicamente mediante Int.

> Int(df,t=0..T);

La expresión if1 para la integral definida de una función, se obtiene con: int

> if1:=int(df,t=0..T);

> plot( if1, T=-1..3, thickness=3, scaling=constrained );

Para la señal triangular, definida antes, la integral

> Int(f,t=0..T);

Puede expresarse según:

> if2:=int(f,t=0..T);

> plot( if2, T=-1..3, thickness=3, scaling=constrained );

Puede definirse una función por segmentos con un valor para el resto de los intervalos no definidos, que se coloca al final.

> f := t -> piecewise(t<0, 2, t<1, 0, t<2, 1, 3);

> plot( f(t), t=-1..3);

Escalón unitario.

La función escalón unitario u(t) en Maple está definida como Heaviside(t) . La función Heaviside(t) está definida como cero para t < 0, y con valor 1 para t > 0 y no está definida en cero.

> plot([Heaviside(t),(1/2)*Heaviside(t-3)], t=-1..4,y=0..1.2,color=[red,blue]);

> plot([Heaviside(t+2),(1/2)*Heaviside(-(t-3))], t=-3..4,y=0..1.2,color=[red,blue]);

Mediante la función escalón unitario pueden definirse funciones por secciones:

> f3:=t*(Heaviside(t)-Heaviside(t-1))+(-t+2)*(Heaviside(t-1)-Heaviside(t-2));

> plot(f3 , t=-1..3, thickness=3, scaling=constrained );

> plot(diff(f3,t) , t=-1..3, thickness=3, scaling=constrained );

La segunda derivada de f3 resulta:

> diff(f3,t,t);

> simplify(diff(f3,t,t));

Impulso.

La función   -Dirac   está definida por el siguiente par de propiedades:

 para todo   y   .

En t=0 tiene singularidad.

Las propiedades de la función   -Dirac pueden obtenerse como el límite del área de una figura cuya área tiende a uno, a pesar que su ancho tiende a cero y

su altura a infinito. La función   -Dirac realmente no es una función sino que una distribución.

Un ejemplo sencillo es un área rectangular unitaria cuyo ancho tiende a cero y cuya altura tiende a infinito, consideremos:

con:

Para todo   > 0,   tiene la propiedad que : 

y para todo   , se tiene la propiedad: 

La siguiente es la definición del área rectangular:

> h:= Delta->1/(2*Delta) * ( Heaviside(t+Delta) - Heaviside(t-Delta) );

Se muestran tres rectángulos con base 2, 1 y 1/2 en el siguiente diagrama:

> plot([h(2),h(1),h(0.5)],t=-4..4,color=[red,blue,green]);

Comprobamos que para cualquier ancho del rectángulo el área se mantiene unitaria:

> Int( h[Delta], t=-infinity..infinity ) = int( h(Delta), t=-infinity..infinity );

Y también que el límite de   tiene a cero.

> Limit( h[Delta], Delta=0, right ) = limit( h(Delta), Delta=0, right );

En Maple no existe representación visual de la función   -Dirac.

> plot(Dirac(t),t=-1..1);

Pero puede representarse su aproximación. Mediante diagramas manuscritos, se dibuja una flecha en el tope de la ordenada que tiende a infinito.

> plot(h(.001),t=-1..1);

Entonces la derivada de un escalón unitario, es la función   -Dirac

> diff(Heaviside(t),t);

La integral de la función   -Dirac es un escalón unitario

> idelta:=int(Dirac(t),t=-infinity..T );

El diagrama muestra la integral de la función   -Dirac.

> plot(idelta,T=-1..+2,y=0..1.5,scaling=constrained );

Rampla unitaria.

> r:=t->t*Heaviside(t);

> plot([r(t),r(t-2)],t=-2..3,title="Rampla Unitaria");

La derivada de la rampla es un escalón unitario; la integral de un escalón unitario es la rampla unitaria.

> plot([diff(r(t),t),int(Heaviside(t),t)],t=-2..2,color=[red,blue]);

> plot([2*r(t),4*r(t),6*r(t)],t=-2..4,color=[red,blue,black]);

> plot([3*r(t-2),2*r(-(t-2)),r(2*t),2*r(t-1)],t=-2..4,color=[red,blue,black,orange]);

Función signum.

> plot( signum(t),t=-4..4,-1.2..1.2,title="Función signo");

> plot( signum(cos(x)),x=-9..9,-1.2..1.2,title="Onda cuadrada par");

> plot( int(signum(cos(x)),-9..x),x=-9..9,title="Onda cuadrada par");

> plot( signum(sin(x)),x=-9..9,-1.2..1.2,title="Onda cuadrada impar");

> plot( Heaviside(signum(sin(x))),x=-12..12,0..1.2,title="Cuadrada rectificada");

> plot(trunc(t),t=-2..2);

> plot(floor(t),t=-2..2);

> plot(ceil(t),t=-2..2);

> plot(round(t),t=-2..2);

> plot(frac(t),t=-2..2);

> plot(abs(t),t=-2..2);

>