Formulas de Radiopropagacion en Decibelios.

Juan J. Murillo-Fuentes

DTSC, Esc. Tec. Sup. Ingenieros, Universidad de Sevilla.

Paseo de los Descubrimientos sn, 41092 Sevilla, Spain.

E-mail : murillo@esi.us.es

29 de enero de 2007

1. Introduccion

El presente texto es una version “Beta” de lo que podrıa llamarse “Tratado de decibelios pararadiocomunicaciones”. Se presentan algunas definiciones de dB y sobre todo se expresan todas lasexpresiones de radiopropagacion en dB, reflejando los pasos de unidades naturales a logarıtmicas.

Por otra parte, se proporcionaran las formulas basicas necesarias para la resolucion de losproblemas del tema 7 de la asignatura de Radiacion y Radiocomunicacion. La nomenclatura quese seguira es la definida a traves de la Figura 2.14 [pp 80] del libro [0] que aquı se reproduce en laFig. 1.

2. El concepto de dB

El lector se puede preguntar por que si tenemos las unidades naturales nos complicamos lavida con los decibelios (de aquı en adelante dB). La respuesta es doble, se pueden utilizar los dBcomo un cambio en la escala de medida de forma que cambios en las magnitudes se traduzcan endiferencias significativas. El ejemplo mas claro lo tenemos en la representacion de la tasa de errorde bit (BER) frente a la relacion Eb/N0. Se representa esta relacion en dB para poder observarque es en esta escala donde se aprecian bien los cambios en la BER. El segundo motivo por el queutilizar dB es por comodidad. Aunque al principio pueda parecer algo complicado, al final resultamuy comodo sumar magnitudes y ganancias en vez de multiplicarlas.

Los dB para una magnitud1 p de energıa o potencia se suelen definir como

P = 10 log10(p/ref) (1)

donde ref es una referencia con la que comparar nuestra magnitud. Ası, si p es potencia, sepueden tener las siguiente situaciones:

ref = 1w =⇒ P (dBW ) = 10 log10(p/1w) = 10 log10(p en Watios) (2)

ref = 1mw =⇒ P (dBm) = 10 log10(p/1mw) = 10 log10(p en Miliwatios) (3)

ref = 1kw =⇒ P (dBk) = 10 log10(p/1kw) = 10 log10(p en Kilowatios) (4)

1Mientras no se especifique explıcitamente lo contrario, las magnitudes estaran en valor eficaz (RMS).

1

Tx

CIRCUITO

DE

ACOPLO

CIRCUITO

DE

ANTENA

T T’ AT Rx

FR

GRX

CIRCUITO

DE

ACOPLO

CIRCUITO

DE

ANTENA

RR’AR

pet

PT

p’tpt

Ltt Lat Dt Lb Dr

prp’r

pdr

PR

LtrLar

GtGr

PIRE

F

Figura 1: Esquema de Tx-Rx.

Para una magnitud a que sea una amplitud

A = 10 log10(a2/ref) = 20 log10(a/ref) (5)

y de igual forma ref es una referencia que permite definir, por ejemplo, para tension2:

ref = 1V. =⇒ A(dBV ) = 20 log10(a/1V ) = 10 log10(a en V) (6)

ref = 1µV. =⇒ A(dBµV odBu) = 20 log10(a/1µV ) = 10 log10(a en µ V) (7)

Para campo electrico tenemos las mismas definiciones quedando las unidades en dB, respectiva-mente, dBV/m y dBµV/m.

Para una relacion o cociente, adimensional, los dB se definen de igual forma, donde el valor refes el denominador de la relacion. Ası, para una relacion entre potencias o energıas g:

G(dB) = 10 log10(g) (8)

Para una relacion entre amplitudes ga:

Ga(dB)G = 20 log10(ga). (9)

2En otras referencias se define dBu como “unloaded” dB y la definicion es diferente.

2

Ni que decir tiene que de esta forma, cuando se multiplique una magnitud por una ganancia, loque tenemos en dB es la suma de la magnitud y la ganancia:

p2 = p1 · g =⇒ P2(dBw) = 10 log10(p1 · g) = P1 + G (10)

A2 = A1 · gv =⇒ A2(dBw) = 20 log10(a1 · g) = A1 + Gv (11)

Los pasos entre medidas en dBw, dBk o dBm se pueden hacer pensando lo siguiente. Si tenemos,por ejemplo, P dBk y lo pasamos a dBw, pues esta claro que tendremos una cantidad mayor y porotro lado que la diferencia son 1000 en unidades naturales que son 30 en dB

P (dBk) = 10 log10(p en kw) =⇒ P (dBk) + 10 log10(1000) =

= P (dBk) + 30 = P (dBw) = 10 log10(p en w) (12)

A patir de aquı cualquier cambio de unidades es inmediato. En las siguientes secciones se presentade forma mas concreta.

Los pasos entre cantidades en voltios, voltios/m, etc se realizan de igual forma pero teniendoen cuenta que estan al cuadrado. Ası, en vez de multiplicar/dividir por 1000 cada cambio de orden3 en la escala se multiplica/divide por el cuadrado. Lo que se traduce en sumar/restar 60 dB envez de 30.

Resulta muy util conocer el valor de algunos pasos de unidades naturales a dB. Los dos massignificativos son 3, 0 y 10 dB. El primero porque es aproximandamente 10 log10(2). Ası, si semultiplica por dos en unidades naturales una magnitud de potencia o energıa la cantidad en dBsera la original mas 3 dB. Si estamos trabajando con una amplitud se sumaran 6 dB. Por otro lado0 dB es 1 en unidades naturales. De forma que si es una ganancia, al sumarsela a una magnitudesta queda igual. Y si es una magnitud sabemos que es 1 unidad. Y si tenemos 10dB significa quetenemos, en unidades naturales, una ganancia de 10 o 10 unidades.

Por ultimo, y modo de recomendacion, se insta al lector a que cuando no vea claro algo con dBpase todo a unidades naturales, opere allı y luego devuelva el resultado a dB. Cuando haga esto unpar de veces entendera las ventajas de los dB y empezara a utilizarlos.

3. Unidades de potencia y campo

Una potencia en watios P (W ) en unidades logarıtmicas queda

P (dBW ) = 10 log10(P ) (13)

En RF es habitual expresarla en dBm, definida como la potencia sobre un miliwatio pasada aunidades logarıtmicas,

P (dBm) = 10 log10(P/1mW ) = 10 log10(P/10−3) (14)

A veces interesa expresar la potencia sobre un Kilowatio, tenemos ası los dBk:

P (dBk) = 10 log10(P/1KW ) = 10 log10(P/103) (15)

La relacion entre estas cantidades queda

P (dBk) = 10 log10(P/103) = 10 log10(P ) − 30 = P (dBW ) − 30 (16)

3

yP (dBm) = 10 log10(P/10−3) = 10 log10(P ) + 30 = P (dBW ) + 30 (17)

Por otro lado la tension V en Voltios, y por tanto el campo electrico E en (V/m), se suelenexpresar en tension sobre un microvoltio pasada a unidades logarıtmicas:

E(dBµV/m) = 20 log10(E/1µV/m) = 20 log10(E/10−6) = E(dBV/m) + 120 (18)

V (dBµV ) = 20 log10(V/1µV ) = 20 log10(V/10−6) = V (dBV ) + 120 (19)

Queda por ultimo relacionar tension (campo) y potencia. Para relacionar ambas se recurre a laimpedancia. Esto es, a la potencia disipada por una impedancia de valor R (ohmios) La potenciase puede expresar como

P = V · I = V 2/R (20)

que en unidades logarıtmicas

P (dBW ) = V (dBV ) − 10 log10 R (21)

P (dBm) − 30 = V (dBµ) − 120 − 10 log10 R (22)

P (dBm) = V (dBµ) − 10 log10 R − 90 (23)

4. Ganacias de Antenas

La ganancia de una antena se suele medir como la relacion entre el maximo del vector depoynting promedio (o intensidad de radiacion) puesto en el aire y el vector de poynting de laantena isotropa, cuando a ambas se le entrega la misma potencia:

G(dBi o dB) = 10 log10(maxθ,φ < P >

< Piso >) = 10 log10(g/giso) = {giso = 1} = 10 log10(g). (24)

Se le denota por dBi, denotando ası ganancia respecto a la antena isotropa. Este valor se puedeexpresar en relacion a otra antena de referencia. Basta restar el valor de la ganancia de la antenade referncia respecto a la antena isotropa. Veamos el caso en el que la antena de referencia es eldipolo λ/2:

G(dBi) = 10 log10(g/giso) = 10 log10(g · gdipλ/2

giso · gdipλ/2

)

= 10 log10(g

gdipλ/2

) + 10 log10(gdipλ/2

giso) = G(dBd) + Gdipλ/2(dBi) (25)

G(dBd) = G(dBi) − Gdipλ/2(dBi) = G(dBi) − 2,15. (26)

5. Relacion SNR y Eb/No

Es inmediato [pp398] establecer la relacion entre c/n y eb/no,

c = eb/Tb (27)

n = no/Ts (28)

4

donde Tb y Ts son los perıodos de bit y sımbolo respectivamente,

c

n=

eb

no· Ts

Tb= log2 M · eb

no(29)

done eb es la energıa media de bit.

Nota: en el libro [0] se utiliza la notacion w = eb/no, al que llama parametro normalizado,

c

n=

eb

no· Ts

Tb= log2 M · w (30)

Tambien se suele utilizar [pp 401]

c

n=

eb/Tb

no · Beq=

eb · Vb

no · Beq(31)

o

w =c

n· Beq

Vb(32)

Por otro lado, y referido a la entrada de un sistema Rx,

w =eb

no=

PrTb

kTofs=

Pr

kTofsVb(33)

con lo que

P ′

r = wkTofsVb (34)

y

Pr′(dBm) = W (dBm) + Fs(dB) + 10 log10 Vb(bits/s) − 174 (35)

6. Potencia radiada por una antena

La potencia radiada por una antena es el producto de la potencia que se le suministra y suganancia. Si la ganancia de la antena se define como la ganancia respecto a una antena idealisotropa, entoces este producto se denomina PIRE:

pire = pt · dt (36)

PIRE = Pt + Dt(dBi) (37)

Como la potencia que se sumunistra a la antena es la potencia entregada por el transmisor pent

menos las perdidas de la seccion de alimentacion o circuito de acoplo,

PIRE = P ′

t + Gt = Pent − Ltr + Gt. (38)

5

6.1. Relacion entre PIRE, PRA y PRAVC

Se recuerda aquı que

PIRE = P ′

t(dBm) + Gt(dB) = P ′

t(dBm) + Gt(dBd) + Gdip(dB) = PRA + Gdip(dB) (39)

donde Gt(dB) es la ganancia respecto de una antena isotropa Gdip es la ganancia de un dipolo enλ/2 (2.15 dB) y Gt(dBd) es la ganancia de la antena transmisora respecto a la ganancia de undipolo en λ/2.

De igual forma

PIRE = P ′

t(dBm) + Gavc(dB) + Gant.ver.cort.(dB) = PRAV C + Gant.ver.cort.(dB) (40)

donde Gavc es la ganancia de la antena respecto de la antena vertical corta y Gant.ver.cort es laganancia de la antena vertical corta.

7. Campo en un punto.

La densidad de flujo de potencia en un punto dado [pp 49], producida por la radiacion de unapotencia p′t en una antena de ganancia gt viene dada por

φ =e2

120π=

p′tgt

4πd2=

pire

4πd2(41)

De esta igualdad se despeja el campo

e2

120π=

p′tgt

4πd2(42)

e =

√

30p′tgt

d2=

√

30pire

d2(43)

En dBµ queda [pp55],

E(dBµ) = 74,7 + PIRE(dBW ) − 20 log10 d(Km) (44)

E(dBµ) = 104,7 + PIRE(dBk) − 20 log10 d(Km) (45)

8. Potencia recibida en un punto

La potencia recibida por una antena de ganancia isotropa gr en ese punto viene dada por [pp71]

p′r = φ · Seq (46)

sustituyendo el valor de φ en (41) y dado que Seq = λ2/4π · gr queda,

p′r =e2

120πSeq =

e2

120π

λ2

4πgr (47)

En dBW,

P ′

r(dBw) = E(dBµ) − 20 log10 f(MHz) − 107,2 + Gr (48)

o en dBm [pp 72]

P ′

r(dBm) = E(dBµ) − 20 log10 f(MHz) − 77,2 + Gr (49)

6

9. Ganancia directiva y ganancia de potencia

Referidas a la Fig. 1, la ganancia de potencia Gt, o Gr, se puede expresar en funcion de laganancia directiva Dt, o Dr como

Gt = Dt − Lat (50)

Gr = Dr − Lar (51)

donde

Lat = −10 log10 ηt (52)

Lar = −10 log10 ηr (53)

con

ηt = pt/p′t (54)

ηr = pr/p′r (55)

10. Formula de Friis en espacio libre

La formula de Friis en espacio libre [pp 72]

p′r = φSeq =p′tgt

4πd2Seq =

p′tgt

4πd2

λ2

4πgr = p′tgt

1(

4πdλ

)2gr = p′tgt

1

lbfgr (56)

donde

lbf =

(

4πd

λ

)2

(57)

Lbf = 92,45 + 20 log10 f(GHz) + 20 log10 d(Km) (58)

En dB quedaP ′

r(dBm) = P ′

t(dBm) + Gt − Lbf + Gr (59)

si se incluyen (ver Fig. 1) las perdidas en circuitos de acoplo o alimentacion Ltt y Ltr y de rendimien-to de antenas Lat y Lar, y si pet es la ”potencia entregada” al alimentador de la antena transmisoray pdr es la ”potencia disponible” a la entrada del receptor entregada por el alimentador de la antenareceptora, la ecuacion de Friis se reformula como

Pdr(dBm) = Pet(dBm) − Ltt − Lat + Dt − Lbf + Dr − Ltr − Lar = (60)

= Pet(dBm) − Ltt − Gt − Lbf + Gr − Ltr (61)

11. Formula de Friis en otro medio cualquiera

Las perdidas se definen en general [pp 75] como

lb =p1

p2

(62)

7

Para cualquier medio se define la atenuacion de campo respecto al espacio libre ae = (eo/e)2

AE = 20 log10

Eo

E= Eo(dBµ) − E(dBµ) (63)

Retomando la definicion de potencia recibida (47)

p′r =e2

120πSeq =

e2

e2o

e2o

120πSeq =

1

ae

e2

120πSeq (64)

Introduciendo la igualdad en (41)

p′r =1

ae

e2

120πSeq =

1

ae

p′tgt

4πd2Seq (65)

y la definicion de Seq, queda

p′r =1

ae

p′tgt

lbfgr (66)

Comparando (66) con la misma formula en el caso de espacio libre (56) se deduce que

lb = lbf · ae (67)

Finalmente,

Pdr(dBm) = Pet(dBm) − Ltt − Lat + Dt − Lb + Dr − Lar − Ltr

= Pet(dBm) − Ltt + Gt − Lb + Gr − Ltr (68)

12. Relacion entre potencia recibida e intensidad de campo en el

receptor

Sustituyendo la ecuacion de Friis

P ′

r(dBW ) = P ′

t(dBW ) + Gt − Lb + Gr (69)

en la ecuacion (48)

P ′

r(dBW ) = E(dBµ) − 20 log10 f(MHz) − 107,2 + Gr (70)

se llega a

Lb = P ′

t(dBW ) + Gt − E(dBµ) + 20 log10 f(MHz) + 107,2 (71)

Lb = PIRE − E(dBµ) + 20 log10 f(MHz) + 107,2 (72)

Lb = PRA − E(dBµ) + 20 log10 f(MHz) + 109,4 (73)

8

13. Campo resultante ante un incremento de potencia

Dadas una potencia de transmision Pt1 y el campo en un punto creado por esta potencia E1, siaumento la potencia a Pt2, ¿Cual es el campo resultante?

De (45),

E1(dBµ) = 104,8 + PIREt1(dBk) − 20 log10 d(Km) (74)

E2(dBµ) = 104,8 + PIREt2(dBk) − 20 log10 d(Km) (75)

De donde

E2(dBµ) − E1(dBµ) = PIREt2(dBk) − PIREt1(dBk) (76)

Y si PIREt1(dBk) = 0

E2(dBµ) − E1(dBµ) = PIREt2(dBk) (77)

Este resultado se aplica tambien en el caso de la PRA o la PRAVC.

14. Fuerza ciclomotriz de un monopolo

Para cualquier monopolo [pp 64]

e(mV/m) = 300

√pt · gavc

d(78)

y la fuerza ciclomotriz es el producto tension por distancia

fcm(V ) = 300√

p′t(kW ) · gavc (79)

En algunas ocasiones se proporciona el valor de la ganancia gavc a traves de la fuerza ciclomotriz.Para ello se asume normalizacion, es decir, se da el valor fcm para potencia transmitida de 1 Kw.

Por otro lado, en algunas graficas para el campo de superficie aparece la formula

E = Ec

√

(1/3p′t(Kw)gt) (80)

Pasando esta ecuacion a dB,

E(dBu) = Ec(dBu) + P ′

t(dBk) + Gt(dBi) + 10log10(1/3) =

= Ec(dBu) + P ′

t(dBk) + Gt(dBi) − 4,77 =

= Ec(dBu) + P ′

t(dBk) + GtAV C =

= Ec(dBu) + PRAV C(dBk) (81)

References

J. M. Hernando Rabanos, Transmision por radio. Madrid: Centro de estudios Ramon Areces,tercera ed., Junio 1998.

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