De Una Partida de Billar Al Martirio de Boltzmann

Caricatura de Ludwing Boltzman hecha por K. Przibram, mostrando a Boltzman durante una clase.

De una partida de billar al martirio de BoltzmannRicardo Pérez

Resumen

Cuando nos hablan de física clásica, se puede pensar en fenómenos como la

colisión de dos objetos masivos, algo que explica la mecánica clásica. Cuando se

menciona la mecánica cuántica debemos andar con más cuidado, ya que en los

fenómenos cuánticos intervienen objetos que no vemos en el mundo

macroscópico y no pueden ser explicados de forma clásica. Para transitar de la

física clásica a la cuántica, el estudio de los gases ayudó a establecer un puente.

Una partida de billar

Se encontraba el campeón mundial de billar en algún lugar perdido del mundo,

1Qué es un gas para un físico, el martirio de Boltzmann / CIENCIORAMA

bebía cerveza y taco en mano sin perder estilo hacía jugadas que parecían de

fantasía. De pronto entró un hombre vistiendo un saco negro hasta las rodillas

ajustado al torso y se hacía más amplio de la cintura para abajo, las mangas eran

anchas con ribete en los extremos. Debajo del saco llevaba un chaleco negro y

una camisa sin cuello con una gorgera blanca de finos encajes. Sus pantaloncillos

negros llegaban un poco por debajo de las rodillas y usaba medias blancas.

Calzaba zapatos oscuros de tacón con hebilla y punta cuadrada. Casi nadie le

prestó atención pues la luz del lugar alumbraba en mayor parte la mesa de billar.

Aquel hombre de peluca rizada y blanca hasta los hombros, pidió un gin tonic.

Observó al campeón por algún momento y dirigió sus pasos hacia él, hubo un

diálogo tenso entre ambos y finalmente el hobre dijo: “soy Sir Isaac Newton,

mejor conocido como el padre de la mecánica clásica y sé más acerca de este

juego que usted, cree dominar”.

Hay que saber pegarle a la bola

En el billar tenemos 15 bolas extremadamente duras sobre una mesa

cuadrangular. El juego consiste en impactar la bola blanca con el taco y dirigirla

contra las demás para meterlas en las buchacas. Quien se jacte de jugar muy

bien debe saber golpear la bola de cierto modo para conseguir efectos en su

trayectoria; pero estos golpes calculados y aprendidos a base de experiencia, se

pueden anticipar utilizando las leyes de la mecánica.

Si un día un físico lo reta a jugar billar, será mejor que tome en cuenta que al

golpear la bola blanca con el taco, la ponemos en movimiento con cierta

velocidad y además sabemos que la bola tiene masa. Con estas dos cualidades se

define una propiedad que sirve para describir el movimiento de los cuerpos, nos

referimos al momento lineal, que es el producto de la velocidad de un cuerpo por

su masa (mv). El momento se transfiere al haber una colisión, si una bola impacta

a otra en reposo sobre la mesa, habrá transferencia de momento, y de este modo

la bola en reposo comenzará a moverse. El momento es una cantidad que se debe

mantener constante. En la colisión frontal entre dos bolas, la que impacta perderá

velocidad y la otra en reposo ganará tanto como pierda la primera; por tanto el

momento al final de la colisión entre las dos bolas se mantendrá constante. Al

igual que el momento, la energía debe mantenerse constante.


Conservación de momento en el choque de dos bolas de billar.

La energía de un sistema mecánico tiene dos componentes: por un lado está la

energía cinética relacionada directamente con la velocidad de un cuerpo, y por

otro la energía potencial; un ejemplo de ésta lo encontramos cuando subimos un

objeto a cierta altura; debemos vencer la fuerza de gravedad que actúa sobre él y

aumenta la energía potencial del sistema Tierra-objeto. Al soltar el objeto cae

acelerándose por acción de la fuerza de gravedad terrestre. La energía cinética

aumenta y la potencial disminuye con la altura, de modo que la energía total es

constante. Este principio lo vemos en una montaña rusa, al subir se adquiere

energía potencial y al bajar el carro comienza a acelerarse aumentando su

velocidad y con esto su energía cinética; pero la energía potencial disminuye.

Esferas de Newton. Dispositivo con el que se muestra la conservación de momento y de la

energía. Cuando una bola en los extremos se levanta, al caer, choca con la esfera contigua en

reposo; se transmite entonces una fuerza a través de las esferas estacionarias y la esfera del

extremo opuesto se eleva. Cuando esta esfera cae se repite el proceso de forma inversa y así

sucesivamente (imagen wikipedia)


Billar con 6x10²³ bolas

El juego de billar sirvió para entender los gases de forma sencilla. Imaginemos

una mesa de billar con muchas bolas chocando unas con otras y rebotando en las

bandas. Si en vez de tenerlas en una mesa las tuviéramos en una caja donde no

existiera la fuerza de gravedad, las veríamos chocando sin parar. Podemos

imaginar así a los átomos y moléculas del gas, como esferas duras moviéndose

libremente.

La existencia de los átomos la propuso Leucipo de Mileto en el año 450 A.C., ya

entonces se intentaba dilucidar la composición de la materia, casi 2000 años

después, en 1803, esta idea fue retomada por Dalton. El paso del atomismo como

especulación filosófica a una teoría física comprobable experimentalmente fue un

largo proceso, y el desarrollo tanto teórico como experimental sobre la teoría de

los gases fue dando pistas para demostrar la existencia de los átomos.

El primer concepto que permitió un acercamiento experimental a los gases fue la

presión. Galileo registró el efecto de la presión atmosférica en 1638 al operar una

bomba de agua, ésta no puede impulsar el líquido a través de una tubería por

más de 10.5 metros. En 1643, Evangelista Torricelli realizó el mismo experimento,

pero en lugar de agua empleó mercurio, un elemento aproximadamente 14 veces

más denso que el agua, y encontró que la altura necesaria de la columna de

mercurio necesaria para equilibrar el peso del aire era de 760 mm. Éste fue

probablemente el primer instrumento para medir la presión atmosférica.


Barómetro de mercurio. Para realizar este experimento se llena un tubo de ensayo largo con

mercurio. Luego se voltea en una placa de petri y la altura del mercurio alcanzará los 760 mm

equilibrando la presión atmosférica que actúa sobre la superficie del mercurio en la placa de petri.

Ya se tenían observaciones fenomenológicas acerca de la presión, pero fue Robert

Boyle quien obtuvo la primera relación matemática entre la presión y el volumen

ocupado por un gas: a temperatura ambiente, el producto de la presión (P) que

ejerce un gas por el volumen (V) que ocupa, es una cantidad constante

(PV=constante). Ésta es la ecuación de estado de un gas ideal a una temperatura

fija. La ecuación de estado describe el estado termodinámico de un sistema (por

ejemplo un gas) dado por los valores de la presión, el volumen y la temperatura.

Ahora se sabe que la constante hallada por Boyle es NkT, donde N es el número

de Avogadro (N=6x10²³), k la constante de Boltzmann y T la temperatura del gas.

Newton en los Principia, publicados en 1687, propuso que los gases estaban

compuestos por átomos, y supuso una fuerza repulsiva entre ellos para explicar la

relación obtenida por Boyle. En su hipótesis imaginó a los átomos como pequeños

resortes en contacto unos con otros, por lo que el gas se resistía a ser

comprimido, tal como lo haría un resorte de metal. Años después, en 1738, Daniel

Bernoulli supuso que los gases estaban formados por esferas duras como bolas de

billar, pero su idea fue tomada como una sobresimplificación y pasaron

aproximadamente 100 años para que este modelo fuera retomado, para esto fue

necesaria la caída de la “teoría del calórico”, con la que se explicaba en esos

tiempos el calor en los cuerpos.


Esquema del modelo de Newton, quién pensaba a los gases formados por átomos que se repelían

como resortes cuando se comprimía el gas.

La termodinámica entra en escena

Se asumía al calórico como una especie de fluido compuesto de partículas que se

repelían entre sí y eran atraídas por la materia ordinaria, capaz de difundirse en

sus intersticios. Su densidad aumentaba con la temperatura y como resultado, los

cuerpos se expandían. Por otro lado, si un cuerpo era comprimido, el calórico salía

por la superficie en forma de calor volátil o vapor. Esta teoría debió desecharse

para dar paso a la teoría cinética de los gases. Hoy en día se sabe que el calor es

una forma de energía en vez de una sustancia como el calórico. En el siglo XIX,

hubo varias aportaciones importantes en el conocimiento del comportamiento de

los gases y sobre el calor; por los años de 1840, gracias a Mayer, Joule y

Helmholtz, se desarrolló el principio general de la conservación de energía, y a

comienzos de 1850 Clausius, Thomson y Rankine lograros formular las leyes de la

termodinámica.

Sin embargo se mueven

Después de haber sido olvidada por muchos años, la teoría cinética volvió a ser

de interés gracias a Karl Kröning. En 1856, Kröning consideró nuevamente a los

átomos como esferas duras, todos con la misma velocidad, lo cual no es muy

realista en términos físicos, pero bajo esta suposición pudo establecer en términos


matemáticos la relación entre presión, volumen y temperatura para un gas ideal

—a esta relación se le conoce como ecuación de estado—. Al imaginar al gas

formado por esferas duras, donde todas las partículas chocan entre sí y con las

paredes del contenedor, sus velocidades tienden a tornarse aleatorias; es decir,

que cada partícula tiene una velocidad arbitraria. El número de partículas dentro

del gas es del orden de 6x10²³ (número de Avogadro) y si quisiéramos conocer la

velocidad exacta de cada una de las partículas tendríamos demasiada

información y sería extremadamente difícil manejarla; por esta razón es más fácil

pensar que cada valor posible de la velocidad tiene una cierta probabilidad de

aparecer en el conjunto de partículas, como si fuera una lotería.

Átomos en un gas considerados como esferas duras dentro de una caja.

De cómo nació la mecánica estadística

No todas las velocidades poseen la misma probabilidad de presentarse en el

conjunto de partículas dentro del gas. Por ejemplo, sería imposible encontrar

alguna con velocidad cero, por lo que su probabilidad sería nula. Por otro lado, la

probabilidad para velocidades muy grandes disminuye rápidamente. James Clerk

Maxwell propuso una distribución para la probabilidad de las partículas según su

velocidad —distribución de velocidades de Maxwell—. El trabajo de Maxwell,

junto con el de Boltzmann, ayudó a establecer lo que ahora se conoce como

mecánica estadística.


Distribución de velocidades de Maxwell para un gas de hidrógeno a diferentes temperaturas. P(v)

es la probabilidad de encontrar una partícula con velocidad v, y la velocidad esta dada en m/s.

Cada una de las curvas presenta un valor máximo de P(v), que representa la velocidad más

probable de las partículas en el gas.

El fin de la visión mecanicista del mundo

En 1866 Boltzmann comenzó a estudiar la relación entre la mecánica clásica y la

segunda ley de la termodinámica. La segunda ley establece el hecho de que un

sistema termodinámico tiende a ir a algún estado de equilibrio. El equilibrio

termodinámico en un gas se alcanza cuando las cantidades termodinámicas como

la presión, el volumen y la temperatura se mantienen constantes después de un

tiempo. Más aún, esta ley establece que el proceso nunca se invierte. Por

ejemplo, en un gas que se expande libremente dentro de una habitación, nunca

veremos que después de algún tiempo se vuelva a concentrar en una esquina de

forma espontánea, para ello deberíamos realizar trabajo (ver en Cienciorama “La

termodinámica del bolillo”). La entropía es una cantidad que caracteriza esta

tendencia y depende del volumen, de la temperatura y además del número de

partículas en el gas.

La entropía se entiende como una medida del desorden en un sistema. En el

ejemplo del gas, cuando está concentrado ocupa menos volumen y podemos

pensar que este estado es más ordenado. Al expandirse, las moléculas tienen más

espacio para desplazarse y podemos encontrar muchas configuraciones


diferentes del gas que resulten en un mismo estado macroscópico del sistema —

las configuraciones dependen de las posiciones y velocidades de las partículas—.

Así, la entropía de forma natural tiende a aumentar con el desorden del sistema y

el proceso se detendrá cuando el valor de la entropía sea el mayor posible en el

sistema completo.

Ejemplificación de la entropía en un gas dentro de un contenedor, al expandirse ocupa todo el

volumen y el desorden aumenta.

El logro de Boltzmann radicó en establecer el puente entre los fenómenos

macroscópicos y el mundo microscópico, con la relación que obtuvo entre la

entropía y las configuraciones posibles de las partículas de, por ejemplo un gas.

Los métodos desarrollados por Boltzman se convirtieron en una herramienta

fundamental en el desarrollo de la mecánica cuántica; Planck hizo uso de estos

métodos estadísticos al estudiar el problema de la radiación de un cuerpo en

función de su temperatura (radiación de cuerpo negro) y estos mismos métodos

se usaron para interpretar el movimiento browniano, fenómeno descubierto por el

biólogo Robert Brown en 1827. Brown observó que al tener partículas de polen en

una solución con agua, éstas se movían aleatoriamente. Einstein y Marian von

Smoluchowski fueron capaces de interpretar el movimiento de las partículas de

polen suspendidas como producto de los choques con las moléculas de agua. La


primera evidencia directa de la existencia de los átomos se estableció en el siglo

XX con los trabajos experimentales del físico francés Jean Perrin, así se comprobó

el trabajo teórico de Einstein-Smoluchowski.

Se reproducen tres trazos del movimiento de partículas coloidales vistas con microscopio, en el

que se muestra el movimiento browniano. Posiciones sucesivas cada 30 segundos, unidas con

líneas rectas. Reproducción del libro de Jean Baptiste Perrin, Les atoms.

Boltzman fue de los últimos defensores de la visión mecanicista que pretendía

explicar todos los fenómenos físicos en la naturaleza y también un fuerte defensor

del atomismo. Por sus ideas Boltzmann tuvo varios detractores; se defendía,

empecinado, de los ataques de los empiristas debido a su creencia en la

existencia de los átomos, y por otro lado contra quienes atacaban su

interpretación mecánico estadística de la segunda ley de la termodinámica.

Estaba atrapado entre dos frentes y contaba con poco apoyo a sus ideas.

Boltzmann sufría de un trastorno depresivo que lo llevó a estar hospitalizado. Dio

su último curso de física teórica en la Universidad de Viena en el semestre de

invierno de 1905-1906, y en el semestre de verano de 1906 fue incapaz de

continuar con sus actividades académicas debido a sus padecimientos. En ese

verano, durante unas vacaciones familiares, mientras su esposa e hija nadaban,

Boltzmann se quitó la vida colgándose. Su hija fue la primera en descubrir el

cuerpo, al regresar a ver por qué su padre que no llegaba nadar con ellas.


Boltzmann no dejó ninguna nota de suicidio; pero en el prefacio de sus lecciones

sobre mecánica que escribió en lo que ahora es Opatija (Croacia), en agosto de

1897, abre con una nota que da una idea de su visión de la vida y la ciencia.

Haz avanzar lo que es cierto,

escribe lo que está claro

¡y pelea por eso hasta el final!

Caricatura de Ludwing Boltzman hecha por K. Przibram, mostrando a Boltzman paseando en

bicileta, actividad que disfrutaba.

Bibliografía

1. Carlos Bosch, El villar no es de vagos: ciencia, juego y diversión, Fondo de cultura económica,

México, D.F. 2009.

2. Giovanni Gallavotti, Wolfang L. Reiter, Jakob Yngvason, editores, Boltzmann's Legacy,

European Mathematical Society, Alemania, 2008.

3. Stephen G. Brush, The kinetic theory of gases, An anthology of classic papers with

historical commentary, Imperial College Press, Londres, 2003.


4. Montroll E. W., Lebowitz J.L., Studies in statistical mechanics, volume VI, North-Holland

Publishing Company, 1976.

5. Jan von Plato, Creating Modern Probability, Its mathematics, physics and philosophy in

historical perspective, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.


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