D E F L E X I Ó N

En análisis estructural, se considera a las deflexiones, como la respuesta

estructural, por que expresa, un momento de parámetros, que responde, a una

acción de cargas aplicadas, las deflexiones son en cantidades no visibles.

Se entiende por deflexión aquella deformación que sufre un elemento por el

efecto de las flexiones internas.

Concepto General:

Las deformaciones que acompañan a la flexión son tales que se

producen desviaciones con respecto a la posición original de la viga sin carga,

a estas desviaciones se les llama Deflexión.

Para el cálculo de las deflexiones se toma la desviación de la línea

neutra, a la forma que toma la línea neutra deformada a la cual se le conoce

como Curva Elástica.

Características:

Describe una curva uniforme a lo largo de los puntos de una sección

de viga, además un ángulo y su arco respectivo.

Se cumple la ley de Hooke, también es aplicable para materiales

linealmente elásticos.

Sus rotaciones son pequeñas.

Las secciones transversales del elemento permanecen planas de

modo que el ángulo entre ellas es dθ.

M (-)

Curva

negativa

M

(+)

Curva positiva

EIM

1 1

EIxM )(1

2

Fig. 1.1a

EIxP )(1

DEFORMACION DE UNA VIGA BAJO CARGA TRANSVERSAL.

Cuando una viga está sometida a carga transversal, se dice que una viga

prismática sometida a flexión, se flexiona en forma de arco y que dentro del

rango elástico, la curvatura de la superficie neutra puede expresarse como:

Se anotó que esta ecuación es válida para cualquier sección transversal de una

viga bajo carga transversal se rige el principio de Saint-Venant. Sin embargo, el

momento flector y la curvatura variarán en las diversas secciones. Si x es la

distancia de la sección al extremo izquierdo de la viga se tiene:

Considérese, por ejemplo, una viga en voladizo AB de longitud L sometida a

una carga concentrada de P en su extremo libre (ver figura 1.1a). Se tiene

que M(x) = -Px, y sustituyendo en

1

La cual muestra que la curvatura de la superficie neutra varía linealmente con x,

desde 0 en A, donde es infinito, hasta −PLEI en B, donde

|ρB|=EIPL (ver

Fig. 1.1b)

Considérese ahora la viga AD (ver Fig. 1.2a) que sostiene dos cargas

concentradas, como se muestra.

Del diagrama de cuerpo libre de la viga (ver figura 1.2b) se tiene que las

reacciones en los apoyos son RA = 1kN RC = 5kN

Fig. 1.1b

Fig. 1.2a

Fig. 1.2b

DESARROLLO

Como podemos observar que los valores para RA=1 kN y RC=5 kN

respectivamente, y se dibuja el diagrama de momento flector correspondiente

(ver Fig. 1.3a)

Nótese que My, por tanto, la curvatura se anula en ambos extremos de la viga y

también en el punto E situado en . Entre A y E el momento flector es

positivo y la viga es cóncava hacia arriba; entre E y D el momento flector es

negativo y la viga es cóncava hacia abajo (ver Fig. 1.3b)

Obsérvese también que el máximo valor de curvatura (es decir, el mínimo valor

del radio de curvatura) ocurre en el apoyo C, donde |M| es máximo.

Fig. 1.3b

Fig. 1.3a

∑M A=0

−4(3 )+RC (6)−2(9 )=0

−12+RC (6 )−18=0−30+RC (6 )=0 ⇒ RC (6)=30 ⇒ RC

306

⇒ RC=5 kN

RA−6+5=0 ⇒ RA−1=0 ⇒ R A=1 kN

RA−4+5−2=0RA−6+5=0 ⇒ RA−1=0 ⇒ R A=1 kN

DEFLEXION MAXIMAL

Cuando una viga colgante apoyada simplemente soporta una carga asimétrica,

la deflexión máxima, por lo general, no ocurre en el centro de la viga.

Para determinar la máxima deflexión de una viga como la descrita, se debe

localizar el punto K de ella en el que la tangente es horizontal, y calcular la

deflexión en dicho punto.

El análisis debe comenzar con la determinación de una tangente de referencia

en uno de los apoyos. Si se selecciona el apoyo A. la pendiente θA se obtiene

con el método en la sección precedente, es decir, con el cálculo de la

desviación tangencial del apoyo B con respecto A y dividiendo dicha

cantidad entre la distancia L entre los dos apoyos.

Como la pendiente en el punto K es cero (Fig. 1.4a), debe cumplirse que

Fig 1.4a

Se concluye que el punto K puede determinarse con la medición bajo el

diagrama (M/EI) de un área igual a (Fig. 1.4b)

Como la observación de que la deflexión máxima es igual a la desviación

tangencial del apoyo A con respecto a K (Fig. 1.4a), se obtiene con el

calculo del primer momento del área A entre A y K respecto al eje vertical que

pasa por A (Fig.1.4b)

ECUACION DE LA CURVA ELASTICA

Para obtener las ecuaciones generales de la curva elástica de una viga, se

considera la viga en voladizo AB mostrada en la Fig. 2.1a. Se toma el origen de

las coordenadas en el extremo fijo, con el eje x dirigido a la derecha y el eje y

dirigido hacia abajo. Como en las explicaciones previas, se supone que el plano

xy es un plano de simetría y que todas las cargas actúan en este plano; luego,

el plano xy es el plano de flexión. La deflexión v* de la viga en cualquier punto

m1 a una distancia x del origen (Fig. 2.1a) es la traslación (o desplazamiento) de

ese punto en la dirección y, medida desde el eje x hasta la curva de deflexión.

Así para los ejes que hemos seleccionado, una deflexión hacia abajo es positiva

y una deflexión hacia arriba es negativa. Cuando v se presenta como una

función de x se tiene la ecuación de la curva de deflexión.

El ángulo de rotación θ del eje de la viga en cualquier punto m1 es el

ángulo entre el eje x y la tangente a la curva de deflexión (Fig. 2.1b). Este

ángulo es positivo en el sentido de las manecillas del reloj, siempre y cuando los

ejes x y y tengan las direcciones indicadas.

Fig. 2.1 Curva elástica de una

viga

dsd

1(2.1)

Considérese ahora un segundo punto m2, localizado sobre la curva de deflexión

a escasa distancia ds más adelante sobre la curva y a una distancia x + dx

(medida paralela al eje x) desde el origen. La deflexión en este punto es v + dv,

donde dv representa el incremento en deflexión conforme se pasa de m1 a m2.

También el ángulo de rotación en m2 es donde es el incremento

en el ángulo de rotación. En los puntos m1 y m2, se pueden trazar líneas

normales a las tangentes de la curva de deflexión.

La intersección de estas normales representa el centro de curvatura O´, y la

distancia desde O´ a la curva es el radio de curvatura . En la figura se

aprecia que = ds; por lo que, la curvatura (igual al recíproco del

radio de curvatura) está dada por la siguiente ecuación:

Obsérvese que una curvatura positiva corresponde a un valor positivo de

lo que significa que el ángulo se incrementa conforme se recorre

longitudinalmente la viga en la dirección x positiva.

La pendiente de la curva de deflexión es la primera derivada dv/dx,

según lo indica el cálculo. De la Fig. 2.1b se aprecia que la pendiente es igual a

la tangente del ángulo de rotación , ya que dx es infinitesimalmente pequeño;

luego,

o sea ec. 2.2ab

Muchas vigas sufren únicamente pequeñas rotaciones cuando se cargan; por

tanto, sus curvas de deflexión son muy planas con curvaturas extremadamente

pequeñas. En estas condiciones, el ángulo es una cantidad muy pequeña,

por lo que se pueden hacer algunas aproximaciones que simplifiquen el trabajo.

En la Fig. 2.1b se aprecia que:

ds= dxcos θ

dxds (a)

dxd

1 (2-3)

(b)dxdv

tan

2

2

dxvd

dxd

(c)

dxd

12

2

dxvd

(2-4)

Como cos θ≈ 1cuando es pequeño, se obtiene

Por lo tanto, la Ec. (2-1) resulta

También, dado quetan θ≈ θcuando es una cantidad pequeña, se puede

aproximar la Ec. (2-2a) como sigue:

Luego, para pequeñas rotaciones de una viga, el ángulo de rotación y la

pendiente son iguales. (Nótese que el ángulo de rotación se mide en radianes.)

Tomando la derivada de con respecto a x, se obtiene:

Ahora, combinando esta ecuación con la Ec. (2-3), se obtiene:

Esta ecuación relaciona la curvatura con la deflexión v de la viga. Es válida para

una viga de cualquier material, siempre y cuando las rotaciones sean pequeñas.

Si el material de la viga es linealmente elástico y cumple con la ley de

Hooke, la curvatura es:

(2-5)κ=1ρ=− M

EI

x

CdxxMdxdy

EI0 1)(

(2-7)

Figura 2.3

)(tan xdxdy

Donde M es el momento flexionante y EI es la rigidez a flexión de la viga.

Nótese que la Ec. (2-5) es válida tanto para rotaciones grandes como pequeñas.

Combinando la Ec. (2-4), que se limita a rotaciones pequeñas con la Ec. (2-5)

se obtiene

que es básicamente la ecuación diferencial de la curva elástica de una viga.

Esta ecuación puede integrarse en cada caso particular para determinar el

ángulo de rotación o la deflexión v, siempre y cuando se conozca el momento

flexionante M.

El producto EI se conoce como la rigidez a flexión y si varía a lo largo de la viga,

como en el caso de una viga de sección variable, debe expresársele como

función de x antes de integrar la ecuación (2-6) sin embargo, para una viga

prismática, que es el caso considerado aquí, la rigidez a flexión es constante.

Puede multiplicarse ambos miembros de la ecuación (2-6) por EI e integrar en x.

Se escribe

Siendo C1 una constante de integración. Si θ(x) es el ángulo en radianes

que la tangente a la curva elástica forma con la horizontal en Q (véase la Fig.

2.3) y recordando que este ángulo es pequeño, se tiene

(2.6)dθdx

=d2vdx 2

=− MEI

20 0 1)( CdxCdxxMyEIx x

(2-8)

20 10)( CxCdxxMdxyEI

xx

En consecuencia la ecuación (2-7) puede escribirse en la forma alternativa

Integrando los dos miembros de la ecuación (2-11) en x, se tiene

en donde C2 es una segunda constante y el primer término del miembro derecho

es la función de x obtenida integrando dos veces en x el momento flector M(x)

sino fuera porque C1 y C2 permanecen indeterminadas, la ecuación (2-8)

definiría la deflexión de la viga en cualquier punto dado Q y la ecuación (2-7) o

la ( 2-7´) definirían del mismo modo la pendiente de la viga en Q.

Los constantes C1 y C2 se determinan de las condiciones de frontera o,

más precisamente, de las condiciones impuestas en la viga por sus apoyos.

Limitando el análisis en esta sección a vigas estáticamente determinadas, es

decir, a vigas apoyadas de tal manera que las reacciones pueden obtenerse por

estática, obsérvese que aquí pueden considerarse tres tipos de vigas (véase la

Fig. 2.4): a) la viga simplemente apoyada, b) la viga de un tramo en voladizo y

c) la viga en voladizo.

En los primeros dos casos los apoyos son de segundo género en A y de

primero en B y todos requieren deflexión cero. Haciendo x = xA, y = yA = 0 en la

ecuación (2-8) y luego x = xB, y = yB = 0 en la misma, se obtienen dos

ecuaciones que pueden resolverse para C1 y C2. En el caso del voladizo (véase

la figura 2-4 c), se nota que tanto la pendiente como la deflexión en A deben ser

cero. Haciendo x = xA, y = yA = 0 en la ecuación (2.8) y, x = xA, = A = 0

en la ecuación (2-7´) se obtienen de nuevo dos ecuaciones que pueden

resolverse para C1 y C2.

(2-7´)EI θ ( x )=0xM ( x ) dx+C1

En este trabajo se emplearán estas ecuaciones para determinar deflexiones de

vigas. El procedimiento consiste en integraciones sucesivas de las ecuaciones;

evaluando las constantes de integración resultantes a partir de las condiciones

de frontera de la viga

Los pasos a seguir para aplicar el método de la doble integración son los

siguientes:

1. Se traza un diagrama de cuerpo libre de la viga y las cargas, y se

bosqueja su eje deformado.

2. Se localizan los ejes coordenados.

3. Se toma una sección cualquiera de la viga a una distancia x a partir del

eje de coordenadas y se traza el diagrama de cuerpo libre resultante.

Figura 2.4 Condiciones de frontera para vigas estáticamente determinadas

4. Se escribe una ecuación para el momento flexionante en la viga en

términos de x y de las cargas.

5. Se sustituye esta expresión para M en la ecuación.

6. Se integra la ecuación del paso 5 para obtener la ecuación de la

pendiente dy/dx de la viga.

7. Se calcula la constante de integración aplicando las condiciones de

frontera.

8. Se integra la ecuación de la pendiente para obtener la ecuación de la

deflexión de la viga.

9. Se calcula la constante de integración aplicando las condiciones de

frontera.

Al realizar la doble integración, se obtienen dos constantes de

integración, una para cada una, y se hallan al reemplazar las condiciones de

frontera de la estructura. Cabe anotar que a medida que la configuración de las

cargas que actúan sobre la viga sean más complicadas, el método se vuelve

muy tedioso y poco práctico.

DETERMINACIÓN DIRECTA DE LA CURVA ELASTICA A PARTIR DE LA

DISTRIBUCION DE CARGA.

La ecuación de la curva elástica puede obtenerse integrando dos veces

la ecuación diferencial.

Ec. 3.1

Siendo el momento flector de la viga. Recuerde que cuando una viga

soporta una carga , , se obtiene y en cualquier

punto de la viga. Derivando la ec. 3.1 con respecto a y suponiendo a

constante

Ec. 3.2

Derivando una vez más:

Se concluye que cuando una viga prismática soporta una carga

distribuida w(x) su curva elástica obedece a la ecuación diferencial lineal de

cuarto orden.

Ec. 3.3

Multiplicando ambos miembros de la ecuación 3.3 por la constante EI e

integrando cuatro veces

Las cuatro constantes de integración se determinan de las condiciones

de frontera, ya que éstas incluyen:

a) Las condiciones impuestas en la deflexión o pendiente de la viga por sus

apoyos.

b) La condición de que tanto V como M deben ser cero en el extremo libre

de una viga en voladizo o que el momento flector debe ser cero en

ambos extremos de una viga simplemente apoyada. (ver la siguiente

figura que se presenta a continuación).

Fig. Condiciones de frontera para vigas que soportan cargas distribuidas.

Ya que por medio de este método se puede utiliza eficientemente en voladizos o

vigas simples con cargas distribuidas. En el caso de vigas con dos apoyos y

voladizo, por lo tanto, las reacciones en los apoyos causarán discontinuidades

en la fuerza constante, es decir en la tercera derivada de y, y se requerirán

diferentes funciones para definir la curva elástica en toda la viga.

VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS.

Una viga es estáticamente indeterminada si el número de reacciones

desconocidas es mayor que el número de ecuaciones de equilibrio estático

disponibles. El grado de indeterminación estático, D, es igual a la diferencia

entre el número de reacciones desconocidas, R, y el número de ecuaciones de

equilibrio estático, NEq, es decir:

D = R – NEq

Para analizar las ecuaciones estáticamente indeterminadas se puede hacer

uso de la ecuación de equilibrio de cuarto orden o de la ecuación de momentos

de segundo orden. Si se emplea la ecuación de cuarto orden, se puede de

determinar la deflexión y todas sus derivadas utilizando las condiciones

geométricas así como las condiciones de contorno de fuerza y las condiciones

de continuidad.

USO DE FUNCIONES DE SINGULARIDAD PARA HALLAR LA PENDIENTE Y

LA DEFLEXION DE UNA VIGA

Se nota que el método de la integración proporciona un modo

conveniente y efectivo de calcular la pendiente y la deflexión en cualquier punto

de una viga prismática, siempre que pueda representarse el momento flector

por una función analítica única M(x). Sin embargo, si el modo de carga de la

viga existe dos funciones para representar el momento flector, como en la Fig.

4.1, se requieren cuatro constantes de integración y un número igual de

ecuaciones que expresen continuidad en el punto D, y deben usarse

condiciones de frontera en los apoyos A y B, para determinar estas constantes.

Si se requieren tres o más funciones para representar el momento flector, crece

el número de constantes y de ecuaciones adicionales, lo que da como resultado

el uso de cálculos extensos. En esta sección se estudiará cómo pueden

simplificarse los cálculos mediante el uso de funciones de singularidad.

Considere nuevamente la viga y carga de la Fig. 4.1, dibuje el diagrama

de cuerpo libre de esa viga (figura 4.2) .

Fig. 4.2Fig. 4.1

LxPxP

xM41

43

)( Ec. 4.1

LxPxP

dxyd

EI41

43

2

2

Ec 4.2

1

22

41

21

83

CLxPPxdxdy

EIEI Ec.4.3

21

33

41

61

81

CxCLxPPxyEI Ec.4.4

Usando la función de singularidad apropiada para representar la contribución a

la fuerza cortante de la carga concentrada P, se escribe.

V ( x )=3 P4

−P ⟨x− 14L⟩0

Integrando en x y recordando que en ausencia de pares concentrados, la

expresión obtenida para el, momento flector no tendrá términos constantes, se

escribe

Sustituyendo M(x) de (4.1) en la ecuación (2.6)

e integrando en x,

Las constantes C1 y C2 se determinan mediante las condiciones de fronteras

mostradas en la Fig. 5.3. Haciendo x = 0, y = 0 en la ecuación (5.4)

Fig. 4.3

que se reduce a C2 = 0, ya que cualquier paréntesis triangular que contenga una

cantidad negativa es igual a cero. Haciendo ahora x = L, y = 0 y C2 = 0 en la

ecuación (5.4),

Como la cantidad entre paréntesis triangular es positiva, estos pueden

reemplazarse por paréntesis ordinarios. Resolviendo por C1,

se verifica que las expresiones obtenidas para las constantes C1 y C2 son las ya

encontradas antes, pero se ha eliminado la necesidad de las constantes

adicionales C3 y C4 y no hay que escribir ecuaciones que expresen que la

pendiente y la deflexión son continuas en el punto D.

0=18PL3−1

6P ⟨ 34L⟩3

+C1L

METODO DE EL AREA-MOMENTO.

En numerosas aplicaciones de ingeniería en que se deben determinar

deflexiones de vigas, las cargas son complejas y la sección transversal de la

viga puede variar. Esta es la situación usual en ejes de maquinas, donde se

tienen variaciones graduales o por pasos en el diámetro de los ejes para poder

montar rotores, cojinetes, collarines, retenes, etc. Así mismo, se suelen

emplear vigas ahusadas en estructuras aeronáuticas y de puentes.

Interpretando semigráficamente las operaciones matemáticas para resolver la

ecuación diferencial que rija, se ha obtenido un procedimiento efectivo para

obtener deflexiones en casos complicados. Si se utiliza este procedimiento en

alternativa se halla que en problemas con discontinuidades de carga y

variaciones arbitrarias en las características de inercia de aérea transversal de

una viga no tienen mayores complicaciones y requieren solo algo mas de

trabajo aritmético para su resolución. En esta parte del capitulo acerca del

método del aérea del diagrama de momento flexionante, el objetivo será la

resolución de tale problemas.

DEDUCCION DE LOS TEOREMAS DEL AREA DE MOMENTO.

Los teoremas necesarios se basan en las geometría de la elástica y el

diagrama de M/(EI) relacionados. Las condiciones de frontera no intervendrán

en la de deducción de los teoremas, ya que estos se basan únicamente en la

interpretación de integrales definidas. Como se vera mas adelante, se

requieren consideraciones geométricas adicionales para resolver en su

totalidad un problema.

Para deducir los teoremas, d2v/dx2= M/ (EI), se puede escribir en las dos

formas alternativas siguientes:

o

Como se puede ver en la figura (a) la cantidad [(M/(EI)] dx corresponde a un

área infinitesimal en el diagrama de (M/(EI). De acuerdo con esta ecuación esta

área es igual al ángulo entre dos tangentes consecutivas. La contribución de un

ángulo de esta clase en un elemento a la deformación de la curva elástica se

muestra en la figura (b).

Si el ángulo pequeño, para un elemento se multiplica por su distancia x, a un

origen arbitrario, se obtiene una distancia vertical dt, (fig. b). Como solo se

consideran deflexiones pequeñas hay una diferencia despreciable entre el arco

AA’ y el segmento vertical dt. Con base en este razonamiento geométrico se

tiene:

Integrando formalmente las ecuaciones y entre dos puntos cualesquiera tales

como A Y B en la viga se obtiene los dos teoremas del área de momento. El

primero es

Esta expresión dice que el ángulo entre las tangentes (medido en radianes) a

dos puntos A Y B de la curva elástica es numéricamente Igual al área del

diagrama del momento flexionante M/(EI), limitada por las coordenadas

correspondientes A y B. Por tanto, si se conoce la pendiente de la elástica en

un punto, como el A se puede determinar la pendiente en otro punto a su

derecha como en B:

El primer teorema indica que la evaluación numérica del área del diagrama de

M/ (EI), comprendida entre las ordenadas en dos puntos de la elástica, da la

desviación angular entre las tangentes correspondientes. Al efectuar dicha

evaluación (o integración), las áreas que corresponden a momentos

flexionantes positivos se consideran positivas y las correspondientes a

momentos negativos se consideran negativos también. Si las sumas de las

áreas elementales entre dos puntos cualesquiera como A y B es positiva, la

tangente de la derecha en B a girado en sentido contrario de las manecillas del

reloj con respecto a la tangente en A; si dicha suma es negativa la citada

tangente de la derecha habrá girado en el sentido de las manecillas del reloj

en la figura (b).Si el área neta es cero las tangentes son paralelas.

La cantidad dt en la citada figura b1 se debe al efecto de curvatura de un

elemento. Sumando tal efecto para todos los elementos desde A hasta B, se

obtiene la distancia vertical AF. Geométricamente esta distancia representa el

desplazamiento o desviación lineal del punto A con respecto a la tangente a la

curva elástica en un punto B (a la derecha de A). Tal distancia se llama

desviación tangencial del punto A con respecto a la tangente en B y se

designara por tAB. Esto en forma matemática da la expresión del segundo

teorema del área momento:

Lo anterior expresa que la desviación tangencial de un punto A de la elástica

con respecto a la tangente en otro punto B de tal curva es igual al momento

estático (o primer momento) del área limitad en el diagrama de M/EI con

respecto a la vertical que pasa por A. En la mayor parte de los casos la

desviación tangencial no es en si la deflexión por determinar en una viga.

Los dos teoremas anteriores son aplicables entre dos puntos cualesquiera de la

curva elástica continua de una viga con cualquier condición de carga. Se

aplican entre las reacciones y mas allá de ellas en el caso de vigas continúas y

con voladizos sin embargo hay quehacer notar que solo se obtiene

directamente rotaciones relativas de tangentes y las desviaciones tangenciales.

Para determinar deflexiones se necesitan en cada caso consideraciones

adicionales de la geometría de la elástica en los apoyos para incluir las

condiciones de frontera.

Para la aplicación de este método de área de momento siempre es necesario

un croquis de la elástica trazado cuidadosamente. Puesto que ninguna

deflexión es posible en una articulación o en un apoyo de rodillo, la elástica se

traza pasando por tales soportes. En un empotramiento no se permite un

desplazamiento ni una rotación de la tangente a la elástica, de manera que tal

curva se debe trazar tangente de la dirección del eje descargado de la viga. Al

dibujar un croquis de la elástica en la forma anterior, se acostumbra exagerara

las deflexiones previstas en tal dibujo la deflexión de un punto de una viga se

suele indicar arriba o debajo de su posición inicial, sin dar mucha importancia a

los signos.

METODO DE SUPERPOSICION

Como método suplementario para la evaluación de pendiente y ordenadas de la

elástica se pueden utilizar los resultados de algunos tipos sencillos de cargas,

para obtener, por suma de efectos, las soluciones correspondientes a cargas

mas complicadas. Este procedimiento, llamado método de superposición,

determina la pendiente y la deflexión en un punto de una viga por suma de las

pendientes o de las deflexiones producidas, en ese mismo punto, por cada una

de las cargas cuando estas actúan por separado. La única restricción o

condición impuesta para poder aplicar este método es que cada carga aislada

no debe producir un cambio apreciable en la forma inicial o en la longitud de la

viga, esto es, la actuación de cada carga no debe influir en la forma de actuar

de las demás.

La aplicación del método de superposición presenta notables ventajas, sobre

todo cuando las cargas son una combinación de los tipos que aparecen en la

tabla G. Para cargas parcialmente distribuidas, el metro requiere una integraron.

En tales casos, es preferible el método de la doble integración. Si de lo que se

trata es de calcular deflexión o la pendiente en un punto determinado, lo mejor

es el método del área de momentos.

Las ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión de una viga son

ecuaciones diferenciales lineales; esto es, todos los términos que contienen la

deflexión v y sus derivadas están elevados a la primera potencia únicamente.

Por lo tanto, las soluciones de las ecuaciones para varias condiciones de carga

pueden superponerse. Luego, la deflexión de la viga causada por varias cargas

diferentes que actúan simultáneamente puede determinarse mediante la

superposición de las deflexiones ocasionadas por cada carga actuando en

forma separada. Por ejemplo, si v1 representa la deflexión debida a una carga

q1 y si v2 representa la deflexión debida a una carga q2 la deflexión total

producida por q1 y q2 actuando simultáneamente es v1 + v2.

Para ejemplificar esta idea, considérese la viga en voladizo mostrada en

la figura 5.1. Esta viga soporta una carga uniforme de intensidad q sobre una

porción del claro y una carga concentrada P que actúa sobre su extremo libre.

Supóngase que se desea calcular la deflexión b en el extremo libre. Cuando la

carga P actúa sola, la deflexión en B es PL3/3EI, también, la deflexión debida a

la acción de la carga uniforme es qa3 (4 L−a) /24 EI . Por lo que la deflexión

b debida a la carga combinada es

La deflexión y el ángulo de rotación en cualquier punto de la viga pueden

determinarse mediante este procedimiento.

El método de superposición es muy útil cuando el sistema de carga sobre

la viga puede subdividirse en condiciones de carga que producen deflexiones

que son ya conocidas para su uso conveniente en problemas de este tipo se

incluyen tablas de deflexiones de vigas. Mediante estas tablas y el método de

superposición, podemos determinar deflexiones y ángulos de rotación para

muchas condiciones de carga diferentes para viga.

La superposición también puede emplearse para cargas distribuidas

considerando un elemento de la carga distribuida como si fuera una carga

concentrada e integrado a lo largo de la región de la carga. Este procedimiento

puede entenderse fácilmente mediante el ejemplo mostrado en la Fig. 5.2. La

carga sobre la viga simple AB esta distribuida triangularmente sobre la mitad

izquierda de la viga, y supongamos que se desea conocer la deflexión en el

punto medio de la viga. Un elemento q dx de la carga distribuida puede

visualizarse como una carga concentrada. La deflexión en el punto medio

producida por una carga concentrada P que actúa a una distancia x del extremo

izquierdo, es

δ b=PL3

3EI+qa3 (4 L−a)24 EI

)43(48

22 xLEI

Px

)43(48

222/

0xL

EIdxqxL

LEI

LqdxxxL

LEI

q L

240)43(

24

4022/

0

220

la cual se obtiene de la Tabla, sustituyendo q dx por P en esta expresión, y

observando que q=2q0 x /L , obtenemos para la deflexión

Mediante este mismo procedimiento de superponer elementos de cargas

distribuidas podemos calcular el ángulo de rotación en el extremo izquierdo

de la viga. La expresión para este ángulo debido a una carga concentrada P es

En esta expresión debemos reemplazar P por 2q0 x dx /L , a por x y b por

Fig. 5.1 Fig. 5.2

Pab (L+b)6 LEI

L – x; luego

En cada uno de los ejemplos anteriores, se ha utilizado el principio de

superposición para determinar deflexiones de vigas. Este concepto es

ampliamente usado en mecánica y es válido siempre y cuando la cantidad a ser

determinada sea una función lineal de las cargas aplicadas. Bajo tales

condiciones, la cantidad deseada puede determinarse debido a la acción

separada de cada carga, y entonces los resultados pueden superponerse para

obtener el valor total debido a la acción simultánea de todas las cargas. En el

caso de deflexión de vigas, el principio de superposición es válido si el material

cumple con la ley de Hooke y si las deflexiones y rotaciones de la viga son

pequeñas. El requisito de rotaciones pequeñas asegura la linealidad de la

ecuación diferencial de la curva de deflexión, y el requerimiento de deflexiones

pequeñas aseguran que las líneas de acción de las cargas y reacción no varíen

en forma significativa a partir de sus posiciones originales.

θa=0L /2 q0 x dx

3 L2EI( x )(L−x )(2 L− x )=

41q0 L3

2880EI

A N E X O S

B I B L I O G R A F I A

Resistencia de MaterialesNicholás WilliamsMcGraw-HillPrimera Edición, 1981

Mecánica de MaterialesGere – TimoshenkoEditorial IberoaméricaSegunda Edición, 1986

Mecánica de MaterialesF.P. BeerE. Russell Johnston Jr.J.T. DeWolfTercera Edición, 2003

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo de investigación contiene en forma detallada, el

desarrollo de ciertos temas que son considerados de gran importancia en la

mecánica de materiales, especialmente para el diseño de estructuras por lo que

tratamos de presentar nuestros resultados con la mayor claridad posible,

logrando así una comprensión mas fácil y concreta.

La investigación de este documento está basada principalmente en el estudio

de vigas, ya que el cálculo de la deflexión máxima de una viga bajo una carga

dada es de interés particular, ya que las especificaciones de diseño incluyen

generalmente un valor máximo admisible para la deflexión.

Se explicara la forma de calcular las reacciones en los apoyos y

empotramientos (si los hay), cuando tales vigas son estáticamente

indeterminadas.

Los temas que se desarrollan en este trabajo son los siguientes:

Método de Integración.

Método de área-momento

Método de superposición.

Cada uno de estos temas se ha definido teóricamente, dando conceptos

y generalidades, luego se detalla la forma de analizarlos matemáticamente

hablando y por último se presentan problemas resueltos, explicando claramente

los pasos que se dan en el desarrollo de estos.

Cabe mencionar que en el desarrollo de la teoría presentada, hemos

considerado necesario introducir ciertas ilustraciones (figuras) que nos hablan

gráficamente sobre lo que se está tratando o lo que se quiere dar a entender;

por lo que será mas fácil asimilar la teoría y en general nos ayuda a tener una

idea mas concreta y concisa en lo que respecta a esta investigación.