Curvas en El Plano Polar

TEMA 2TEMA 2CURVAS EN EL PLANO CURVAS EN EL PLANO

POLARPOLAR

OBJETIVO

El alumno obtendrá ecuaciones en forma polar de curvas en el plano y determinará las caracterís-ticas de éstas a partir de sus ecuaciones en for-ma polar.

CONTENIDO

2.1 Sistema de coordenadas polares. Simetría de puntos en coordenadas polares.

2.2 Transformación de coordenadas cartesianas a polares y de polares a cartesianas.

2.3 Ecuaciones polares de curvas. Cardiodes, lemniscatas, rosas de tres pétalos.

2.4 Análisis de una curva representada por una ecuación polar.

SISTEMAS DE REFERENCIASISTEMAS DE REFERENCIADEFINICIÓN:Un sistema de referencia es un conjunto de ele-

mentos geométricos que permiten la localización de un punto en una recta, en un plano o en el es-pacio.

COORDENADAS POLARES: Consiste en un eje denominado eje polar y un punto fijo en él llamado polo.

DEFINICIÓN:Se llama semieje de medición a la parte del eje po-lar

que va del polo hacia donde indica el sentido del eje.

0 polo

Sentido de medición

Eje polar

DEFINICIÓN:

El radio vector de un punto es un segmento de recta que va desde el polo hasta el punto.

Se puede utilizar indistintamente el término de radio vector o longitud del radio vector.

DEFINICIÓN:

Un argumento de un punto es el ángulo que for-man el semieje de medición y el radio vector.

P(r, θ)

θ

0 (polo)Eje polar

r

De acuerdo a las dos últimas definiciones las co-ordenadas del punto P se pueden especificar co-mo: P(r, θ); donde r es la longitud del radio vector y θ es el argumento.

En la definición del argumento se habla de sólo un argumento, ya que pueden haber varios argumen-tos (θ ± 2π) si se mantiene el mismo signo positivo en el radio vector. O bien si se le cambia el signo al radio vector, cambia de dirección y se puede obte-ner la misma coordenada del punto P(r, θ), si al ar-gumento se le varía como (θ ± π).

DEFINICIÓN:DEFINICIÓN:

Si un punto tiene coordenadas polares P(r, θ), dicho punto se puede representar también por:

i) P(-r, θ ± π) o en general P(-r, θ ± (2n -1 )π)

ii) P(r, θ ± 2π) o en general P(r, θ ± 2nπ) n Є N

EJERCICIOS:

1.- Represente en el plano polar el punto A que tiene coordenadas polares A(3, 45º)

2.- Represente gráficamente el punto B que tiene por coordenadas polares B(-2, -30º).


Se llama eje copolar al eje a 90º (π/2) al eje per-pendicular al eje polar y que pasa por el polo.

Eje copolar o eje a 90º (π/2)

Eje polar0 (polo)

3.- Represente gráficamente el punto C que tiene por coordenadas polares C(-1, π)

EJERCICIO:

Encuentre las coordenadas principales del punto M(-√7, 55π/6)

Dado que un punto P en el plano polar tiene un número infinito de representaciones, es necesario hacer la siguiente:


Se le llaman coordenadas polares principales de un punto P a aquellas en donde el radio vector tie-ne longitud positiva y el argumento varía entre: 0 ≤ θ ≤ 2π.

REPRESENTACIÓN POLAR DE UNA CURVAREPRESENTACIÓN POLAR DE UNA CURVA

Dado que un punto en un plano de coordenadas polares tiene un número infinito de representa-ciones, una curva en este sistema coordenado puede tener varias representaciones, por lo que es necesario establecer la siguiente definición:


Se llaman ecuaciones polares equivalentes a aque-llas que representan al mismo lugar geométrico.

Hay ecuaciones polares que muestran su equi-valencia al realizar un procedimiento algebra-íco o trigonométrico que comprueba la igual-dad, como se muestra en los siguientes ejem-plos:

2r = 4 cos θ ……...(1) y

r = 2 cos θ ……..…(2)

o bien:

r² = 4 (cos² θ – sen² θ) ……(1) y

r² = 4 cos 2θ ....…………….(2)

Cuando no se encuentra equivalencia entre las ecuaciones polares mediante procedimientos algebraicos o trigonométricos, se hace necesario establecer lo siguiente:

Sean las ecuaciones r = f1(θ) …(1) y r = f2(θ)...(2), Son equivalentes si representan el mismo lugar geométrico, lo cual se demuestra si las coordena-das de un punto P(r, θ), al sustituirse en cualquie-ra de las siguientes ecuaciones, cumplen con la igualdad:

i) P(r, θ ± 2nπ) ; ó

ii) P(-r, θ ± (2n-1)π)

(Con “n” perteneciendo a los números naturales)

EJERCICIO: EJERCICIO:

Determine si las siguientes ecuaciones son equi-valentes.

r = 3 y r = - 3

En ambas ecuaciones θ adquiere cualquier valor

ANÁLISIS MATEMÁTICOANÁLISIS MATEMÁTICO

Aplicando el criterio i) a la ecuación (1) no me resuelve la equivalencia

r = 3

Aplicando el criterio ii) a la ecuación (1)

-r = 3 → r = -3,

La ecuación transformada de (1) es igual a la ecuación (2), por lo tanto, son equivalentes las

ecuaciones (1) y (2)

A2

1 r = 3 … (1) r = -3 .. (2)

Eje polar 0 1 2 3 A1

r

EJERCICIOS: EJERCICIOS:

Determine si las siguientes ecuaciones son equi-valentes.

r = θ + 2π … (1) y r = -θ + 3π … (2)


Dado que hay un signo negativo en la ecuación (2) se le aplica el criterio ii)

-r = -[θ ± (2n - 1)π] + 3π

Multiplicando ambos miembros de la ecuación anterior por menos uno

r = θ + (2n - 1) π - 3π

Desarrollando términos:

r = θ + 2nπ - π - 3π = θ + 2nπ - 4π

Ecuación transformada de (2)

Comparando la ecuación anterior

con la ecuación (1)

2π = 2nπ - 4π

¿Con cuál valor de “n” se cumple la igualdad?

Si n = 3

2π = (2)(3)π - 4π = 2π

nЄN / que la ecuación transformada de (2) es igual a (1) entonces las ecuaciones (1) y (2) son

equivalentes.

E


Determine si las siguientes ecuaciones son equivalentes.

r = 4senθ … (1) y r = - 4senθ … (2)


Dado que la ecuación (2) tiene signo negativo, se Dado que la ecuación (2) tiene signo negativo, se le aplica el criterio ii)le aplica el criterio ii)

-r = -4sen[-r = -4sen[θθ + (2n - 1) + (2n - 1)ππ]]

Multiplicando la ecuación anterior por menos uno

r = 4sen[[θθ + (2n - 1) + (2n - 1)ππ] Ec. transformada de (2)] Ec. transformada de (2)

De la identidad trigonométrica sen((αα + + ββ))

sen(sen(αα + + ββ) = sen) = senααcoscosββ + sen + senββcoscosαα

En donde En donde αα = = θθ; y ; y ββ = = (2n - 1)(2n - 1)ππ], queda:], queda:

sensenθθcos(2n – 1)cos(2n – 1)ππ + sen(2n – 1) + sen(2n – 1)ππcoscosθθ

Sustituyendo esta ecuación en la Ec. Sustituyendo esta ecuación en la Ec. Transformada (2), se tiene que:Transformada (2), se tiene que:

r = 4[[sensenθθcos(2n – 1)cos(2n – 1)ππ + sen(2n – 1) + sen(2n – 1)ππcoscosθθ]]

Para que la ecuación transformada de (2) sea Para que la ecuación transformada de (2) sea igual a la Ec. (1), se tiene que cumplir que:igual a la Ec. (1), se tiene que cumplir que:

r = 4senθ =senθ =


Con n=1/2; aplicado a la ecuación anterior


Con este valor de “n” se obtiene que la ecuación Con este valor de “n” se obtiene que la ecuación Transformada (2) se reduce a r = 4senTransformada (2) se reduce a r = 4senθθ, que es , que es

igual a la ecuación (1)igual a la ecuación (1)

PERO n = ½ , NO ES UN NÚMERO NATURAL, PERO n = ½ , NO ES UN NÚMERO NATURAL, POR TANTO, POR TANTO, NO HAY EQUIVALENCIA ENTRE NO HAY EQUIVALENCIA ENTRE

LAS EC. (1) Y (2LAS EC. (1) Y (2))

0 0

senθ 0

DISCUSIÓN DE LA ECUACIÓN DISCUSIÓN DE LA ECUACIÓN POLAR DE UNA CURVAPOLAR DE UNA CURVA

Sea la curva r = f(θ), donde f no significa necesa-riamente que se tenga una relación funcional y en donde se ha despejado “r” por comodidad, pero no es imprescindible, aunque si recomendable, se analizan: INTERSECCIONES:

a)Con el eje polar

b)Con el eje copolar

A)A) CON EL EJE POLARCON EL EJE POLAR

Cualquier punto que esté alojado en el eje polar debe tener como argumento:

θ = zπ con z = entero

de manera que para investigar si la curva corta al eje polar debe sustituirse θ por zπ, con z entero y obtener los valores correspondientes de “r”.

EJERCICIO:

Obtener las coordenadas de los puntos de intersec-ción con el eje polar de la curva:

r = 4 2cosθ – senθ

Pto Z θ r

A 1 π -2

B 2 2π 2

C 3 3π -2

D 4 4π 2

π

I (2,0)Eje polar

A (-2,π)B (2,2π) C (-2,3π) D (2,4 A (-2,π)

0

B) CON EL EJE COPOLARB) CON EL EJE COPOLAR

Aun cuando el eje copolar no es esencial en el sis-tema de coordenadas polares, es conveniente conocer los puntos de intersección de una curva con este eje, por lo que θ se sustituye por:

± (2n - 1)π

2

y determinar el valor de “r”, donde nєN

EJERCICIO: determinar las coordenadas de los puntos de intersección con el eje copolar de la curva

r = 5

cosθ

Pto n θ r

A 1 π/2 -

B 2 3π/2 -

C 3 5π/2 -

0Eje polar

No hay intersección con el eje copolar

π/2

SIMETRÍASSIMETRÍAS

A)A)SIMETRÍA CON RESPECTO AL EJE POLARSIMETRÍA CON RESPECTO AL EJE POLAR

Si la curva representada por la ecuación r = f(θ) es simétrica con respecto al eje polar, esto significa que cualquier punto que pertenezca a ella, tiene un punto simétrico con respecto a dicho eje que también pertenece a la curva. Un punto simétrico a P(r, θ) con respecto al eje polar es:

Q(r, -θ) ó Q(-r, π - θ).

TEOREMA.

La curva representada por r = f(θ) es simétrica con respecto al eje polar si al sustituir

i) θ por -θ ó

ii) r por -r y θ por π – θ

La ecuación no cambia o se transforma en una ecuación equivalente.

senθ = y/r

cosθ = x/r

r = f1(θ) …(1)

r = f2(θ)

ii) r → -r

θ → π-θ

r θ

-θ

Eje polar

Si θ = ππ/6/6y = rsenθ =(r)/2;x = rcosθ = 0.86rP(r,θ), P(0.86r, r/2)

0

π/2

y = rsen(-θ) = -r/2x = rcos(-θ) = 0.86rQ(r, -θ), Q(0.86, -r) 2

i) θ → -θ

EJERCICIO:EJERCICIO:

Determine si la curva r = 2sen2θ es simétrica con respecto al eje polar.

r = 2sen2θ … (1)

Aplicando el criterio i) θθ por – por –θθ a la Ec. (1) a la Ec. (1)

r = 2sen2(-θ) = -2sen2θ… (2) Ec. Transformada

NOTA: sen(-θ) = -sen(θ) de Trigonometría

Dado que la Ec. Transformada (2) tiene signo negativo, se le aplica el criterio de equivalencia

ii) P(r, θ) → P(-r, θ ± (2n - 1)π)

Quedando la siguiente ecuación:

-r = -2sen2[θ + (2n - 1)π]; o bien

-r = -2sen[2θ + 2(2n - 1)π]


r = 2sen[2[2θθ + 2(2n - 1) + 2(2n - 1)ππ] Ec. Transformada de (2)] Ec. Transformada de (2)



En donde En donde αα = 2 = 2θθ; y ; y ββ = 2 = 2(2n - 1)(2n - 1)ππ], quedando:], quedando:

sen2sen2θθcos2(2n – 1)cos2(2n – 1)ππ + sen2(2n – 1) + sen2(2n – 1)ππcos2cos2θθ


r = 2[[sen2sen2θθcos2(2n – 1)cos2(2n – 1)ππ + sen2(2n – 1) + sen2(2n – 1)ππcos2cos2θθ]]


r = 2sen2θ … (1)sen2θ … (1)

sea igual a la sea igual a la Ecuación Transformada…(2)


Con n = 1; aplicado a la ecuación anterior


Con n = 1, la ecuación Transformada (2) se Con n = 1, la ecuación Transformada (2) se reduce a r = 2sen2reduce a r = 2sen2θθ, que es igual a la ecuación (1), que es igual a la ecuación (1)

COMO n = 1, Y ES UN NÚMERO NATURALCOMO n = 1, Y ES UN NÚMERO NATURAL

HAY EQUIVALENCIA ENTRE LAS EC. (1) Y SU HAY EQUIVALENCIA ENTRE LAS EC. (1) Y SU TRANSFORMADA (2)TRANSFORMADA (2)

POR TANTO, LA CURVA: POR TANTO, LA CURVA: r = 2sen2θ, ES SIMÉTRICA ES SIMÉTRICA CON RESPECTO AL EJE POLARCON RESPECTO AL EJE POLAR

1 0

sen2θ 0


Determinar si la curva r = 4senθ es simétrica con respecto al eje polar.

r = 4senθ … (1)

Aplicando el criterio i) θ por –θ a la Ec. (1)

r = 4sen(-θ) = -4senθ… (2) Ec. Transformada

NOTA: sen(-θ) = -sen(θ) de Trigonometría


ii) P(r, θ) → P(-r, θ ± (2n - 1)π)


-r = -4sen[θ + (2n - 1)π];

Que es la Ecuación Transformada (2) de la ecuación original, denominada Ec. (1)


r = 4sen[[θθ + (2n - 1) + (2n - 1)ππ] Ec. transformada de (1)] Ec. transformada de (1)



En donde En donde αα = = θθ; y ; y ββ = = (2n - 1)(2n - 1)ππ], queda:], queda:





r = 4senθ =senθ =


Con n=1/2; aplicado a la ecuación anterior


Con este valor de “n” se obtiene que la ecuación Con este valor de “n” se obtiene que la ecuación Transformada (2) se reduce a r = 4senTransformada (2) se reduce a r = 4senθθ, que es igual , que es igual

a la ecuación (1)a la ecuación (1)

PERO n = ½ , NO ES UN NÚMERO NATURAL, POR PERO n = ½ , NO ES UN NÚMERO NATURAL, POR TANTO, TANTO, NO HAY EQUIVALENCIA ENTRE LAS EC. NO HAY EQUIVALENCIA ENTRE LAS EC.

(1) Y SU EC. TRANSFORMADA (2(1) Y SU EC. TRANSFORMADA (2), LO QUE ), LO QUE INDICA QUE LA CURVA INDICA QUE LA CURVA r = 4senr = 4senθθ, NO ES , NO ES

SIMÉTRICA CON RESPECTO AL EJE POLARSIMÉTRICA CON RESPECTO AL EJE POLAR

0 0

senθ 0

B) SIMETRÍA CON RESPECTO AL EJE COPOLAR

TEOREMA

La curva representada por la ecuación r = f(θ) es simétrica con respecto al eje copolar si al sustituir:

i)θ por π - θ óii)ii) r por -r y θ por –θ

La ecuación no cambia o se transforma en una ecuación equivalente.

Simetría con respecto al eje copolar

i) θ → π-θ

P(r,θ)

θ

-θ

Q (r,π-θ)

Q’ (-r,-θ)

Eje polar

π/2


Determinar si la curva de ecuación polar r = θ + 2π es simétrica con respecto al eje copolar.

Considerando que la ecuación original es la ecuación (1):

r = θ + 2π … (1)

Aplicando el criterio de simetría copolar

i) θ por π - θ a la Ec. (1), se tiene:

r = π – θ + 2π = – θ + 3π …(2)

Que es la Ecuación Transformada (2) de la Ec. (1)

Para determinar si la curva de Ec.(1) es simétrica con respecto al eje copolar, se debe verificar que

las ecuaciones (1) y (2) son equivalentes.

Dado que hay un signo negativo en la ecuación (2) se le aplica el criterio de equivalencia ii) a la

Ecuación Transformada (2), como se indica a continuación:

-r = -[θ ± (2n - 1)π] + 3π

Multiplicando ambos miembros de la ecuación anterior por menos uno y considerando sólo el

signo positivo:

r = θ + (2n - 1) π - 3π

Desarrollando términos:

r = θ + 2nπ - π - 3π = θ + 2nπ - 4π … (2)

Ecuación transformada de (2)

Comparando la ecuación anterior

con la ecuación (1)

r = θ + 2π … (1)

r = θ + 2nπ - 4π … (2)

Para que sean iguales, se requiere que:

2π = 2nπ - 4π

¿Con cuál valor de “n” se cumple la igualdad?

Si n = 3

2π = (2)(3)π - 4π = 2π

COMO n = 3 Y ES UN NÚMERO NATURALCOMO n = 3 Y ES UN NÚMERO NATURAL

HAY EQUIVALENCIA ENTRE LAS EC. (1) Y SU HAY EQUIVALENCIA ENTRE LAS EC. (1) Y SU TRANSFORMADA (2) Y POR TANTOTRANSFORMADA (2) Y POR TANTO

LA CURVA: r = LA CURVA: r = θθ + 2 + 2ππ SI ES SIMÉTRICA CON SI ES SIMÉTRICA CON RESPECTO AL EJE COPOLARRESPECTO AL EJE COPOLAR


Determine si las siguientes ecuaciones son equivalentes.

r = 4senθ … (1) y r = - 4senθ … (2)

ANÁLISIS MATEMÁTICO

Dado que la ecuación (2) tiene signo negativo, se Dado que la ecuación (2) tiene signo negativo, se le aplica el criterio ii)le aplica el criterio ii)

-r = -4sen[-r = -4sen[θθ + (2n - 1) + (2n - 1)ππ]]

C) SIMETRÍA CON RESPECTO AL POLO

TEOREMA

La curva, una de cuyas ecuaciones polares es

r = f(θ),

es simétrica con respecto al polo si al aplicar cual-quiera de los dos siguientes criterios:

Al cambiar:

i) θ por π + θ ó

ii) r por –r

La ecuación no se altera o resulta una ecuación equivalente.

TEOREMA

Si la curva r = f(θ) es simétrica con respecto a los ejes polar y copolar, entonces también lo es con respecto al polo.

En efecto, si se sustituye θ por –θ, r = f(-θ) como la curva es simétrica con respecto al eje polar

r = f(θ) = f(-θ) son equivalentes.

Si se sustituye r por -r y θ por -θ entonces -r = f(θ), con lo que es simétrica con respecto al eje copolar, y estas tres ecuaciones son equivalentes por lo que se cumple la simetría de la curva con respecto al polo.

r θ

-θ

Eje polar

P(r,θ)

0

π/2

Q (r, π-θ)

Q’ (-r,-θ)

P’(-r, θ)P’(r, π+θ)

Q (r, -θ)

Q’ (-r, π-θ)


Determine si la curva r = 6sen4θ es simétrica con respecto al polo.

r = 6sen4θ … (1)

Aplicando el criterio de simetría con respecto al polo ii) r por –r a la Ec. (1), queda

-r = 6sen4θ

Multiplicando por menos uno ambos miembros de la ecuación, se tiene

r = -6sen4θ… (2) Ec. Transformada


ii) P(r, θ) → P(-r, θ ± (2n - 1)π)


-r = -6sen4[θ + (2n - 1)π]; o bien

-r = -6sen[4θ + 4(2n - 1)π]


r = 6sen[4[4θθ + 4(2n - 1) + 4(2n - 1)ππ] Ec. Transformada de (2)] Ec. Transformada de (2)



En donde En donde αα = 4 = 4θθ; y ; y ββ = 4 = 4(2n - 1)(2n - 1)ππ], quedando:], quedando:





r = 6sen4θ … (1)sen4θ … (1)

sea igual a la sea igual a la Ecuación Transformada…(2)


Con n = 1; aplicado a la ecuación anterior


Con n = 1, la ecuación Transformada (2) se Con n = 1, la ecuación Transformada (2) se reduce a r = 6sen4reduce a r = 6sen4θθ, que es igual a la ecuación (1), que es igual a la ecuación (1)

COMO n = 1, Y ES UN NÚMERO NATURALCOMO n = 1, Y ES UN NÚMERO NATURAL

HAY EQUIVALENCIA ENTRE LAS EC. (1) Y SU HAY EQUIVALENCIA ENTRE LAS EC. (1) Y SU TRANSFORMADA (2)TRANSFORMADA (2)

POR TANTO, LA CURVA: POR TANTO, LA CURVA: r = 6sen4θ, ES ES SIMÉTRICA CON RESPECTO AL POLOSIMÉTRICA CON RESPECTO AL POLO

1 0

sen4θ 0

OTRAS CARACTERÍSTICASOTRAS CARACTERÍSTICAS

a) LA CURVA CONTIENE O NO AL POLO

Dado que las coordenadas del polo son O(0, θ), con θЄR, al tener un valor singular la curva r = f(θ) cuan-do pase por este punto, se pueden obtener θ sin es-pecificar el módulo de r, por lo cual es importante determinar los valores de θ para los cuales r es nulo.


Determinar si la curva: r = √6cosθ - √2senθ contiene al polo.

A) INTERSECCIÓN CON EL EJE POLAR θ → Zπ

Pto Z θ r

A 1 π -√6

B 2 2π √6

C 3 3π -√6

D 4 4π √6

0 1 2

π

2π

A

B

C

(-√6, π)

(√6, 0)

B) INTERSECCIÓN CON EL EJE COPOLAR

θ → (2n – 1)π

2

Pto Z θ r

A’ 1 π/2 -√2

B’ 2 3π/2 √2

C’ 3 5π/2 -√2

D’ 4 7π/2 √2

Eje polar

π/2

π/2

0θ = 3π/2

B’(√2, 3π/2) A’(-√2, π/2)

Si hacemos nulo el radio vector

r = 0 = √6cosθ - √2senθ = 0

Despejando:

√6cosθ = √2senθ

Reacomodando términos:

senθ = √6

cosθ √2

tanθ = 6 = √3

2

θ = ángtang√3 = 60°

√

Eje polar0

π/2

60°

b) LA CURVA ES CERRADA O ABIERTA.

DEFINICIÓN: Una curva es cerrada si al expresar a “r” o “r²” en términos de θ, el primer miembro de la ecuación existe para cualquier valor de θ.

EJERCICIO:

Determinar si las curvas expresadas por las sigui-entes ecuaciones, son cerradas o abiertas:

a) r = cosθ ;

2cosθ + 1

b) r² = 25cos2θ

RESOLUCIÓN a):

Analizar la ecuación polar de la curva, las posibilidades de que «r» no exista se tienen

cuando el denominador es nulo; esto es:

2cosθ + 1 = 0

Como sí existen valores de θ para los cuales esta igualdad se satisface, se concluye que la curva es abierta. La siguiente figura muestra la expresión gráfica de la cura y en ella puede apreciarse que la curva, a pesar de ser abierta, sí encierra una

región con uno de sus lazos.

Eje polar1/3

-1

Eje copolar

RESOLUCIÓN b):

Si se determinan los puntos de intersección de la curva con los ejes, ninguno de ellos es el polo. Por otra parte, si se hace cero el primer miembro de la

ecuación (1):

5 = 0

2cosθ + 7senθ

Es claro que la ecuación anterior no se satisface para ningún valor de θ, por lo que la curva no

contiene al polo.

LA CURVA ES CERRADA O ABIERTA

En algunas de las aplicaciones de las curvas es conveniente saber si la curva encierra una región y poder calcular áreas, longitudes, o cualquier otro requerimiento.

El problema aquí es ponerse de acuerdo en lo que es una curva cerrada o abierta, ya que no se tiene precisión al respecto. La mayoría de los autores que tratan este asunto definen a una curva cerra-da si al expresar «r» en la función de θ, «r» existe para cualquier valor de θ.

Es conveniente hacer algunas aclaraciones sobre la definición anterior:

i) La definición comúnmente expresada por los diversos autores menciona que «r» debe escri-birse en función de θ, pero sin exigir la relación funcional.

ii)En la definición se habla sobre la existencia de «r» para cualquier valor de θ, pero esta existencia incluye la posibilidad de que «r» sea un número complejo. Es decir, de acuerdo con la definición, una curva es cerrada aunque para algunos valores

de θ los valores de «r» sean complejos. Una situación así se presenta, por ejemplo, con la lemniscata de ecuación

r² = 25cos2θ.

Si θ = π/3,el valor del módulo es complejo; sin embargo, la curva de acuerdo con la definición es cerrada. La gráfica de la lemnniscata se presenta de la siguiente forma.

5 eje polar

eje copolar

iii) Varios autores llaman al análisis de la curva pa-ra ver si es cerrada la «extensión» de la curva. La palabra nos es la más adecuada para expresar lo anterior, de manera que en estas líneas no se usará.

Como puede observarse son varios los convenien-tes de la definición de curva cerrada, por lo que adoptarán como características de curva cerrada o abierta las descritas en las siguientes definiciones.

2.3 ECUACIONES POLARES DE CURVAS. 2.3 ECUACIONES POLARES DE CURVAS. CARDIOIDES, LEMNISCATAS, ROSAS DE “N” CARDIOIDES, LEMNISCATAS, ROSAS DE “N” PÉTALOS.PÉTALOS.

2.4 ANÁLISIS DE LA CURVA REPRESENTADA.2.4 ANÁLISIS DE LA CURVA REPRESENTADA.

ECUACIONES POLARES Y GRÁFICASECUACIONES POLARES Y GRÁFICAS

La gráfica de una función en coordenadas polares es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación dada a la que se le denomina la ecuación polar de la gráfica.

ECUACIÓN POLAR DE LA CARDIOIDEECUACIÓN POLAR DE LA CARDIOIDE

En general, la gráfica de una ecuación polar de la forma :

r = a ± bcosӨ o r = a ± bsenӨ

con a > 0 y b > 0 es una cardioide si a = b

EJERCICIO:

Identificar la curva representada polarmente por

r = 4(1 – senӨ) ….(1)

RESOLUCIÓN:

a)a) INTERSECCIONES CON EL EJE POLARINTERSECCIONES CON EL EJE POLAR

Si Ө = 0 se tiene que r = 4, de manera que un punto es A(4, 0).

Si Ө = π, de nuevo se obtiene r = 4; entonces, otro punto es B(4, π).

Cualquier otro valor de Ө = ± zπ; nєN lleva a los mismos puntos. Entonces, los puntos de inter-sección de la curva con el eje polar son A y B, los cuales se representan en la siguiente figu-ra.

eje copolar

eje polar

AB

4 4

B) INTERSECCIONES CON EL EJE COPOLARB) INTERSECCIONES CON EL EJE COPOLAR

Si Ө = π/2, entonces r = 0; por lo que el punto es

π

Las coordenadas de C indican que la curva pasa por el polo y que el valor del ángulo muestran que la curva incide en el polo a 90º, es decir, el punto C es el polo.

Al asignar al argumento el siguiente valor:

Ө = 3π r = 8:

2C 0,

2

Con lo que se obtienen las coordenadas del punto:

3π

Éstos son los únicos puntos de intersección con el eje copolar, porque la función coseno es periódica. En la siguiente figura se grafican los puntos obtenidos hasta ahora:

2D 8,

eje copolar

eje polar

AB

C

D

8

C) SIMETRÍA CON RESPECTO AL EJE POLAR C) SIMETRÍA CON RESPECTO AL EJE POLAR Y AL POLO Y AL POLO

No se requiere efectuar este análisis, ya que se observa que los puntos C y D son los únicos de intersección con el eje copolar, y no existe si-metría con respecto al eje copolar. Por la misma razón no es necesario efecturar el análisis de la simetría con respecto al polo.

d) Simetría con respecto al eje copolard) Simetría con respecto al eje copolar

Como los puntos A y B son simétricos con respec-to al eje copolar, puede existir dicha simetría para toda la curva, por lo que se hace necesario realizar el análisis de simetría con respecto al eje copolar.

Si en la Ec. (1) se sustituye P(r, Ө) por P(-r, -Ө), se tiene:

-r = 4[1 – sen(-Ө)]

Que se transforma en:

r = -4(1 + senӨ) …(2)

Para ver si (1) y (2) son equivalentes, en (2) se sustituye P(r, Ө) por P(-r, Ө±(2n-1)π)

Quedando

-r = -4{1 + sen[Ө±(2n-1)π] }

Efectuando los procesos algebraicos y trigonomé-tricos que a continuación se indican:

Empleando la identidad trigonométrica:

sen(α + β) = (senα)(cosβ) + (senβ)(cosα)

Con α = Ө, β=(2n-1)π; sustituyendo en (2) se tiene:

r = 4{1 - [(senӨ)(cos(2n-1)π)+(sen(2n-1)π)(cosӨ)]}

Si n=1; cos(2(1)-1)π = -1; y sen(2(1)-1)π = 0,

Por lo que r = 4(1 - senӨ)

Que es exactamente igual a (2), por lo que la curva es simétrica con respecto al eje copolar.

.

e) La curva es cerrada o abiertae) La curva es cerrada o abiertaDebido a que r existe para cualquier valor de Ө, la

curva es cerrada.

f) Dando algunos valores a f) Dando algunos valores a ӨӨ se tiene se tiene

Ө r

π/2 0

π/3 0.54

π/4 1.17

π/6 2.00

0 4.00

Ө r

0 4.00

-π/6 6.00

-π/4 6.83

-π/3 7.46

-π/2 8.00

Si se llevan estos valores a una gráfica y se toman en cuenta los resultados de intersecciones y si-metrías, además de completar los trazos, la re-presentación geométrica de la curva queda:

Se trata de una cardioide

eje copolar

eje polar

B A

C

D

ECUACIÓN POLAR DE LA ROSA “n” pétalos y “2n” pétalos está dada por:

r = acos(nθ) o r = asen(nθ)

con a > 0 y “n” es entero.

Haga el análisis y obtenga la gráfica de:

r = 2cos2θ

ECUACIÓN POLAR DE LA ROSAECUACIÓN POLAR DE LA ROSA

Para determinar los principales puntos de intersec-ción de la ecuación r = 2cos2Ө, se obtienen los va-

lores de “r” para:

Ө = 0 y Ө = π, obteniendo: r = 2 así como Ө = π/2 y Ө = 3π /2 para los cuales

r = -2,

Las coordenadas de los puntos anteriores son: (2, 0), (-2, π/2); (2, π) y (-2, 3π/2)

En cuanto a la simetría podemos observar que cos2(-Ө) = cos 2(Ө),

por lo cual se concluye que la ecuación no se ve afectada al remplazar “Ө” por “-Ө”, por lo cual la ecuación es simétrica con respecto al eje polar.

Así mismo, si “Ө” se remplaza por:

π-Ө; 2cos2(π - Ө) = 2cos(2π - 2Ө) = 2cos2Ө

lo que indica simetría con respecto al eje π/2.

Después de aplicar las pruebas simétricas con res-pecto al polo, estas no se cumplen, sin embargo, la gráfica es simétrica con respecto al polo ya que es

simétrica con respecto a los ejes polar (eje “x”) y π/2 (eje “y”).

(2, 0)

-2, π 2

-2, π 2

(2,0)

π 4

Ө= Ө= Ө=

Ө=

3π 4

π 4

11π 4

ECUACIÓN POLAR DE LA ECUACIÓN POLAR DE LA LEMNISCATALEMNISCATA

La ecuación general de esta curva es:

r² = asenӨ ó r² = acosӨ con a > 0.

Discuta la gráfica de r² = senӨ.

Las intersecciones son (0, 0), (1, π/2), (-1, π/2) si se remplaza “r” por “-r” se obtiene la misma ecuación, por lo tanto la gráfica es simétrica con respecto al polo, esto es (-r, Ө) está en la

gráfica simétricamente con (r, Ө). De la misma manera sen(π - Ө) = senӨ, por tanto, la gráfica es simétrica con respecto al eje π/2.

Las tangentes al polo son

Ө = 0 y Ө = π.

Así mismo, Ө se incrementa desde 0 a π/2, r², con incrementos de 0 a 1. Esto da la porción de la gráfica a) incrementando Ө desde π/2 hasta π, r² se decrementa desde 1 a 0.

Esto da la gráfica que se muestra en b):

para π < Ө < 2π, r² = senӨ < 0

dado que no hay gráfica para estos ángulos de “Ө”, combinando las gráficas de las figuras a) y b) se observa completa la gráfica de

r² = senӨ, ver C.

GRÁFICA DE LA ECUACIÓN GRÁFICA DE LA ECUACIÓN POLAR DE LA LEMNISCATA:POLAR DE LA LEMNISCATA:

r² = senr² = senӨӨ

1

-1-1

-1

11

a) c)b)

ECUACIÓN POLAR DE

LEMNISCATA

r² = sen θ

ECUACIÓN POLAR DE LA ESPIRAL ECUACIÓN POLAR DE LA ESPIRAL LOGARÍTMICA O CARACOLLOGARÍTMICA O CARACOL

Es la ecuación polar de la forma

θ = n Ln r

Ejemplo r = e θ/5

ECUACIÓN POLAR DE LA CARDIOIDEECUACIÓN POLAR DE LA CARDIOIDEEn general la gráfica de una ecuación polar de la

forma

r = a ± bcosθ ó

r = a ± bsenθ con a > 0 y b >0 es una cardioide si a = b

Ejemplo r = 2 + 2cosθ

ECUACIÓN POLAR DEL LIMAÇONECUACIÓN POLAR DEL LIMAÇON

En general la gráfica de una ecuación polar de la forma

r = a ± bcosθ ó r = a ± bsenθ

con a > 0 y b > 0 es una Limaçon si b > a.

Ejemplo: Analice la grafica de r = 1 + 2cosθ

θ 00 ππ/6/6 ππ/3/3 ππ/2/2 22ππ/3/3 55ππ/6/6 ππ 77ππ/6/6 44ππ/3/3 33ππ/2/2 55ππ/3/3 1111ππ/6/6 22ππ

r = 1 + 2 cos θ 33 1+1+√√33 22 11 00 1-1-√√33 -1-1 1-1-√√33 00 11 22 1+1+√√33 33

(3,0),0)

(1,,ππ/2)/2)

(2,,ππ/3)/3)

(1+√√3,3,ππ/6)/6)

(-1,,ππ))(0,2,2ππ/3)/3)

(1+√√3,113,11ππ/6)/6)

(2,5,5ππ/3)/3)(1,3,3ππ/2)/2)

(3,0),0)θ = 0

ππ

2.2 TRANSFORMACIÓN DE 2.2 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS POLARES A COORDENADAS POLARES A

CARTESIANASCARTESIANAS

Frecuentemente es conveniente y da grandes ventajas transformar las coordenadas o ecua-ciones de la forma rectangular a la polar y vice-versa. Para hacer esto, se debe tomar en cuenta que el origen del sistema coordenado cartesiano coincida con el polo del sistema coordenado polar, al igual que el eje “x” con el eje polar.

EJEMPLO:

Encontrar las coordenadas rectangulares de un punto cuyas coordenadas polares son:

a) (4, π/3);

b) (-2, 3π/4)

c) (-3, 5π/6)

Si P es cualquier punto en el plano con coordenadas cartesianas P(x, y) y polares (r, θ), se cumplen las ecuaciones:

x = rcosθ

y = rsenθ

P(x, y) = P(r, θ)

θ“r”

a) x= 4cos(π/3) =(4)(1/2) = 2

y= 4sen(π/3) = (4)(√3/2) = 2√3

Coordenadas rectangulares P(2, 2√3)

b) x= -2cos(3π/4) =(-2)(-√2/2) = √2 y= -2sen(3π/4) = (-2)(√2/2) = -√2

Coordenadas rectangulares P(√2,-√2)

c) x= -3cos(5π/6) =(-3)(-√3/2) = (3√3/2) y= -3sen(5π/6) = (-3)(-1/2) = -3/2

Coordenadas rectangulares P(3√3/2, -3/2)

Las ecuaciones anteriores pueden ser usadas para transformar coordenadas rectangulares en coor-denadas polares. Con base en la figura anterior y aplicando el Teorema de Pitágoras y la identidad trigonométrica de la tangente:

r² = x² + y²

θ = áng tan(y/x), x≠0

Se debe ser cuidadoso al considerar el valor positivo o negativo de θ, por lo cual en un principio se

recomienda obtener el valor de θ en grados y des-pués transformarlos en radianes, en lo que se ad-quiere práctica para ubicar en que cuadrante se ubica el punto en estudio, ya que θ varia de 0 ≤ θ ≤ 2π y es necesario establecer si “r” es positivo o negativo.

Encuentre las coordenadas polares del punto (4,-4)

r² = 4² + (-4²) = 32 ; r = ± √32 = ± 4√2

tan θ = 4/-4 = -1

por lo tanto

θ = 3π/4 ó θ = 7π/4

P (4, -4) está ubicado en el cuarto cuadrante por lo que

r = -4√2 cuando θ = 3π/4r = 4√2 cuando θ = 7π/4

x

y

θ = 3π/4

x=4y = -4r = -4√2

P(4,-4) = (-4√2, 3π/4)

x

y

θ = 7π/4

x=4y = -4r = 4√2

P(4, -4) = P(4√2, 7π/4)

P P

O bien :

ECUACIONES POLARES DE LAS ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICASCÓNICAS

Las ecuaciones de transformación de coordena-das rectangulares a polares nos permiten trans-formar cualquier ecuación dada en coordenadas cartesianas en la correspondiente ecuación de coordenadas polares o viceversa.

.

CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN

En esta circunferencia h = 0 y k = 0, por lo cual la ecuación se reduce a:

x² + y² = a²

a > 0

r = a

a

X

Y

Aplicando las ecuaciones de transformación:

x = rcosθ, y = rsenθ,

a la ecuación anterior, se tiene:

r²cos²θ + r² sen²θ = a²,

factorizando “r”

r² (cos²θ + sen²θ) = a²

aplicando la primera identidad trigonométrica

pitagórica

cos²θ + sen²θ = 1,

Queda:

r² = a²

por lo tanto:

r = a,

si se toman únicamente los valores positivos, con

lo que queda transformada la ecuación expre-

sada en coordenadas cartesianas en coordena-

das polares.

CIRCUNFERENCIA CON CIRCUNFERENCIA CON CENTRO C(a/2, 0) Y r = a/2CENTRO C(a/2, 0) Y r = a/2

De la ecuación general de una circunferencia:

(x - h)² + (y – k)² = r²;

en donde:

h = a/2; k = 0 y r = a/2,

sustituyendo en la ecuación anterior, queda:

(x – a/2)² + (y – 0)² = (a/2)²;

desarrollando:

x² - 2xa/2 + (a/2)² + y² = (a/2)²

Efectuando operaciones;

x² - ax + y² = (a/2)² - (a/2)² = 0

Simplificando términos:

x² + y² - ax = 0 (forma rectangular)




r²cos²θ + r²sen²θ – arcosθ = 0;

factorizando:

r²(sen²θ + cos²θ) – arcosθ = 0

r(r – acosθ) = 0 ;

por lo tanto:

r = acosθ (forma polar)

π/2

Eje polar

a>0

r = acosθ

a

a/2

r

CIRCUNFERENCIA CON CIRCUNFERENCIA CON CENTRO C(0, a/2) Y r = a/2CENTRO C(0, a/2) Y r = a/2


(x - h)² + (y – k)² = r²;

en donde:

h = 0; k = a/2 y r = a/2,

Sustituyendo en la ecuación anterior, queda:

(x – 0)² + (y – a/2)² = (a/2)²;

desarrollando:

x² + y² - 2ya/2 + (a/2)² = (a/2)²


x² + y² - ay = (a/2)² - (a/2)² = 0


x² + y² - ay = 0 (forma rectangular)




r²cos²θ + r²sen²θ – arsenθ = 0;

factorizando:

r²(sen²θ + cos²θ) – arsenθ = 0

r(r – asenθ) = 0 ;

por lo tanto:

r = asenθ (forma polar)

π/2

a>0

r= asenθ

Eje polar

a

a/2

CIRCUNFERENCIA CON CIRCUNFERENCIA CON CENTRO C(a/2, a/2) Y r = a/2CENTRO C(a/2, a/2) Y r = a/2


(x - h)² + (y – k)² = r²;

en donde:

h = a/2; k = a/2 y r = a/2,

π/2

Eje polar

a>0

a

a/2

r = acosθ + asenθ (forma polar)

2

a/2r

sustituyendo en la ecuación anterior, queda:

(x – a/2)² + (y – a/2)² = (a/2)²;

desarrollando:

x² - 2xa/2 + (a/2)² + y² - 2ya/2 + (a/2)² = (a/2)²


x² - ax + y² - ay = -2(a/2)² + (a/2)² = 0


x² + y² - ax – ay = -(a/2)² (forma rectangular)



a la ecuación anterior, se tiene

r²cos²θ + r²sen²θ – arcosθ - arsenθ = -(a/2)² ;

factorizando:

r²(sen²θ + cos²θ) – arcosθ - arsenθ = -(a/2)²

r(r – acosθ - asenθ) = (a/2)² = -r² ;

Dividiendo

ambos miembros de la ecuación entre “r”:

(r – acosθ - asenθ) = -(a/2) = -r ;

Acomodando términos:

2r = acosθ + asenθ

despejando “r”:

r = acosθ + asenθ (forma polar)

2

PARÁBOLA, ELIPSE E PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLAHIPÉRBOLA

El siguiente teorema combina las definiciones de la parábola, elipse e hipérbola en una descrip-ción unificada de las secciones de estas tres cónicas.

TEOREMATEOREMA

Sean “F” (un punto fijo llamado foco) y “ℓ” (una rec-ta fija llamada directriz) en un plano, el conjunto de todos los puntos P(r, θ), tales que la razón

PF/PQ es una constante positiva “e” (denominada excentricidad de la cónica), donde PQ es la dis-

tancia de “P” a “ℓ”, es una sección cónica.

La cónica es una parábola si e=1,

una hipérbola si e>1 y

una elipse si 0 < e < 1.

“e” es la excentricidad de la cónica y “F” su foco, la recta “ℓ” su directriz.

F

θ

r

QP(r, θ)

ℓ directriz

D(d, 0)C

Si “e”=1, PF = PQ

que por definición corresponde a una parábola. Se considera que “F” está en el polo y “ℓ” es perpendi-cular al eje polar pasando por el punto D(d, 0), donde d > 0.

Si P(r, θ) es un punto del plano tal que PF/PQ = e<1, de la figura se ve que “P” está a la izquierda de “ℓ”.

Sea “C” la proyección de “P” sobre el eje polar:

PF = r y PQ = FD – FC = d – rcosθ

e = r o bien r = de – ercosθ d - rcosθ

Despejando “r” se obtiene:

r = de

que es la ecuación de la parábola.

1+ ecosθ

De la ecuación r = de – ercosθ;

si r =√x² + y²; y x = rcosθ,

Entonces:

√ x² + y² = de – ex

elevando al cuadrado la ecuación y ordenando los términos :

(1- e²)x² + 2de²x + y² = d²e²

Completando cuadrados y simplificando:

x + de² ² + y² = d²e²1 - e² 1 - e² (1 - e²)²

Dividiendo la ecuación entre d²e² ;se llega:

(x - h) ² + y² = 1

b²a²

(1 - e²)²

Donde h = -de² por lo tanto la ecuación

corresponde a una elipse con centro en

-de² , 0 sobre el eje X con:

(1 - e²)

1 - e²

(1 - e²)²a² = d²e² y b² = d²e²

1 - e²

Como c² = a² - b² = d²e por lo que c = de² esto

demuestra que F es un foco de la elipse.

(1 - e²)² (1 - e²)

TEOREMA. Una ecuación polar que tiene la forma:

r = de o bien r = de 1 ± ecosθ1 ± esenθ

4

Es una sección cónica. La cónica es una parábo-la si e = 1. una elipse si 0 < e < 1, o una hipérbola si e > 1.

EJERCICIO:

Describir la ecuación r = 10

dividiendo el numerador y el denominador entre 3.

3 + 2cosθ

r =10/3

1 + 2/3 cosθPor lo tanto, con e = 2/3 y (e < 1)

Se trata de una elipse con eje mayor sobre el eje polar. Los vértices se obtienen con

θ = 0 y θ = π

esto da:

V1(2, 0) y V2(10, π),

por tanto:

V1V2 = 12 o sea a = 6

ya que:

2 a = V1V2. (segmento de recta)

El centro de la elipse es el punto medio del seg-mento de recta V1V2, es decir, C(4, π).

c = ae, c = (6)(2/3)= 4, por lo tanto,

b² = a² - c² = 36 – 16 = 20,

sacando raíz cuadrada a esta expresión:

b = √20

Curvas en El Plano Polar

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