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Diseño en Planta

DISEÑO EN PLANTA

El alineamiento en Planta de una carretera consiste enel desarrollo geométrico de la proyección de su ejesobre un plano horizontal.

Dicho alineamiento está formado por tramos rectos(tangentes) enlazados por curvas (circulares simples,circulares compuestas y espirales de transición )

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DISEÑO EN PLANTA

CURVAS ESPIRALES DE TRANSICIÓN

Curvas de Transición

Este tipo de curvas , debería utilizarse en la totalidadde las carreteras ya que permiten pasar del tramode las carreteras , ya que permiten pasar del tramorecto a la curva, en forma gradual , proporcionandocomodidad a los usuarios y evitando el peligropotencial de accidentes. Da cumplimiento a las señales.

Como curvas de transición pueden citarse la clotoide oComo curvas de transición pueden citarse la clotoide oespiral de Euler, la espiral cúbica, la lemniscata deBernoulli y la parábola cúbica.

La más empleada en nuestro medio es la “clotoide”

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Que es una Curva de Transición ?

Son alineaciones de curvatura variable con surecorrido

Objetivos ?

Suavizar las discontinuidades de la curvatura y elperalte

Evitar con ellas un cambio brusco de la aceleraciónradial

Disponer de longitudes suficientes, que permitanestablecer peraltes y sobreanchos adecuados

Para que?

Cuando un vehículo pasa de un alineamiento recto auno curvo, siente la fuerza lateral actuando sobre el ylos pasajeros, asi las curvas de transición se diseñanpara que la fuerza centrífuga aparezca de formagradual y el volante sea accionado de manera uniforme

Los conductores sobre todo aquellos que circulan por elcarril exterior , por comodidad tienden a cortar la curvacircular .

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Trayectoria de un vehículo

Se generan debido a que los vehículos el entrar en lacurva circular experimentan la fuerza centrifuga quetiende a desviarlos de su carril de circulación

Curva de transición

No se experimenta cambios bruscos en la trayectoria delvehículo, pasa paulatina de radio infinito del alineamientorecto al radio constante de la alineación circular

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Diferencia de enlace de curvatura

Tipos de Espirales

En el desarrollo de nuevas tecnologías aplicadas aldi ñ d í hdiseño de carreteras en países europeos se hanutilizado tres tipos de espirales:

1. Clotoide o Espiral de Euler

R x L = A2R x L = A

2. La lemniscata de Bernoulli

3. La parábola cúbica

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ME

DE E

MP

ALM

TIP

OS

D

Curvas de Transición con empalmes tipo 1, 2, 3

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Curvas de Transición con empalmes tipo 4, 5, 6

www.85a.ndirect.co.uk/ martweb/gs_geometry.htm

Curvas de Transición

con empalmes tipo 7, 8, 9, 10, tipo 7, 8, 9, 10,

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Que se busca al espiralizar?

1. Comodidad – fuerza centrífuga progresiva

2. Peralte – desarrollo adecuado3. Estética

Se sabe que un vehículo que se mueva a

Espiral de Euler como curva de transición

una velocidad uniforme V sobre una curvade transición de radio uniforme R,experimenta una aceleración radial ocentrifuga ac cuyo valor es:

RVac

2

=

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RcVdaRcR

aRR

Vda

c

c

c

2

2

0

=⇒=

=⇒∞=

=

Aceleración Centrífuga encualquier punto de la curvaespiral

ee

c

LRcVd

La

*

2

=Variación de la Aceleración Centrífuga por unidad de longitud de la espiral

Aceleración Centrífuga en cualquier VdVdLa 22* ⎞⎛Aceleración Centrífuga en cualquier punto de la curva espiral

RVdL

LRcVd

LLa

ee

c

**

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

RVdL

LRcVd 22

*=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 22 **** VdLRcRLVd e=

22** oAKRcLRL e ==

RLRc e ⎠⎝

Pero el producto se lo puede llamar K2 o A2

2KRL =

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Es la ecuación de la clotoide o Espiral deEuler.

Indica que el radio de curvatura R esinversamente proporcional a la longitud Linversamente proporcional a la longitud L,recorrida a lo largo de la curva a partir de suorigen

2

LKR =

Para cualquier punto P sobre la curva, elproducto del radio de curvatura R por sulongitud desde el origen hasta el punto esigual a una constante K2

Clotoide de Parámetro K =8

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Elementos que definen geométricamente la Espiral

x, y coordenadas cartesiana de un punto cualquiera

θ Angulo correspondiente a P

θe Angulo de la Espiral

θp Angulo paramétrico

Rc Radio de la curva simple

dL elemento diferencial de arco

dθ elemento diferencial de ángulo

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Curvas espirales o de transición

2

2222 1;;;;

Kl

rRKL

lKr

LKRcKRL

ce

e

=====

ldldLee

=∫∫ θθ

rddl = θ

2

2

20

20

2)*(2

2

RcL

RcLL

KL

Kd

e

e

ee

ee

==

=

=∫∫

θ

θ

θ

2Kldld

rdld

rddl

=

=

=

θ

θ

θ

2

2

2

22

22

2

RcK

KRcK

RcL

ee

ee

=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

=

θθ

θ

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Curvas espirales o de transición

2

2

2KL

=θ El ángulo θ estaexpresado en radianesR

L2

=θ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛°=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛°=

°⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

LRL

KL

KL 2

2

2

2

2 90901802 πππ

θ

El ángulo θ expresado en gradossexagesimales es:

⎠⎝⎠⎝⎠⎝ ecLRKK2 πππ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛°

=°

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

RL

RL

ππθ 90180

2

2

RLK =2

El parámetro K se obtiene haciendo R=L:

LRKLRKLRcomo

====

=222

El parámetro de la clotoide es igual al radiode la clotoide en aquel punto para el cual elradio y la longitud de la espiral desde el origenhasta él son también iguales

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Coordenadas cartesianas del punto P

dysen

dLdx

=

=

θ

θcos

dL

De donde las coordenadas cartesianas (x, y) delpunto P serán:

( ) ( )dLsendydLdx θθ == ;cos

( )

( )∫

∫

=

=

L

L

dLseny

dLx

0

0

cos

θ

θ

punto P serán:

Coordenadas cartesianas del punto P

El desarrollo de la serie de cosenos es :

Cos θθ θ θ θ

= 1 -2!

+4!

-6!

+8!

.......2 4 6 8

El desarrollo de la serie de senos es :

θθ θ θ θ

Sen θ = -3!

+5!

-7!

+9!

.......3 5 7 9

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Xθ θ θ θ

= 1 -2!

+4!

-6!

+8!

.......2 4 6 8

∫L

0

2

2

2KL

=θ

dL

Reemplazando el valor de θ según se tiene :2K

De la ecuación se deduce θ2KL =2

2

2KL

=θ 22KPor lo tanto x en función del parámetro K es:

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θθ θ θ θ

Sen θ = -3!

+5!

-7!

+9!

.......3 5 7 9

L

El desarrollo de la serie de senos es :

( )∫= dLseny0

θ

Reemplazando en y:

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Clotoide definida por su longitud L :

Las ecuaciones de la clotoide, referidas al sistema decoordenadas x ,y pueden ser expresadas de las dossiguientes maneras (θ expresado en radianes):

Clotoide definida por su parámetro K :Clotoide definida por su parámetro K :

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Elementos geométricos de la curva espiral

Se parte de algunos datos conocidos:

El < de deflexión entre las tangentes principales ∆El radio de la curva circular Rc ( según Vd)La Jerarquía de la carreteraTipo de terrenoLongitud de la espiral Le

Los demás elementos se calculan de la siguientemanera:

Elementos geométricos de la curva espiral

Parámetro de la espiral: K

Angulo de deflexión principal de un punto p: θ

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Angulo de deflexión de la espiral: θeSi L=Le:

Angulo central de la curva circular: ∆c

Coordenadas cartesianas del EC: (Xc, Yc)

Reemplazando a L por L y a θ por θe quedan lascoordenadas en función de Le :

Las coordenadas en función del parámetro K:

Coordenadas cartesianas PC desplazado (k, p):

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Tangente de la curva espiral – circular-espiral : Te

Externa de la curva espiral – circular-espiral : Ee

Tangente larga y corta de la espiral : TL y TC

Coordenadas cartesianas del centro de la curvacircular :(Xo, Yo)

Cuerda larga de la Espiral : CLe

Deflexión de cualquier punto p de la espiral : ϕ

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ϕ Es igual a :

Z esta expresada en segundos, es una pequeñaió d i bl l d θ 16ºcorrección , despreciable para valores de θ < 16º:

ó áDeflexión del EC o ángulo de la cuerda Larga: ϕc

ϕc Es igual a :

Longitud de la curva circular: Ls, Lc,

Por el sistema arco:

Por el sistema cuerda :

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Longitud mínima de la espiral de transición

La longitud de la curva de transición Le o elLa longitud de la curva de transición Le o elparámetro de la espiral K no deberán ser inferioresa un Valor mínimo.Con el objeto de que cumpla ciertas condicionesde tipo dinámico, geométrico y estético.

E i t t it i l d t i ió d lExisten tres criterios en la determinación de lalongitud mínima o parámetro mínimo.

Adoptándose como parámetro de diseño el mayorvalor determinado por cada uno de los criterios

Criterios para la determinación de la Longitud mínima de una Espiral

1. Longitud mínima de la espiral deacuerdo a la variación de la aceleracióncentrifuga

2. Longitud mínima de la espiral deacuerdo a la transición del peraltep

3. Longitud mínima de la espiral a porrazones de percepción y estética

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Curvas espirales o de transición

cxxx maPF =−Fx=F cosa

F

Criterio I. Variación uniforme de la fuerza centrífuga (J),

αα

αα

cos

cos

cx

cx

maPtgF

maPsenF

=−

=−

P

Py=P cosa

Px=P senaFy=F sena

F

a

maePF =− *

1.0e

cx

cxc

cxc

cx

aegRc

Vd

aegamaemgma

maePF

=−

=−=−

*

**

2mgPmaF c

==

RcVda

etg

c

2

=

=α

Criterio I. Variación uniforme de la fuerza centrífuga (J),

Vd 2 Vd *2

Supuesto de diseño: el vehículo tarda un tiempo t en recorrer la longitud Le a una velocidad uniforme Vd y

cxaegRc

Vd=− *

VdLet

ta

t

egRc cx

=

=− *

J es la variación de la aceleración centrífuga por unidad de tiempo.

d

e

d

ta

VL

egRcV

J cx

*2

−==

Vd

tacxJ =

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− egRVe *

2

Criterio I. Variación uniforme de la fuerza centrífuga (J),

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

==

egRcV

JVL

VL

gRcJ

eee

e

et

ax

*2

Supuesto de diseño: expresando Ve en Km/h Rc en metros y e en tanto por uno tenemos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≥ e

RcV

JVL ee

e *127656.46

2

Criterio I. Variación uniforme de la fuerza centrífuga (J),

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−≥ eVVL ee *1272

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

≥ eRcJ

Le 127656.46

Donde:Ve : Velocidad específica, (km/h)Rc : Radio de cálculo de la clotoide, (m).J : Variación de la aceleración centrífuga, en (m /s2)/se : Peralte de la curva en tanto por unoSe adoptan para J, los valores específicos dados en la tabla 3.3.6.

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Criterio II. Limitación por transición del peralte

%sΔ

2a

ACBCs =Δ

BD

BCD

CDBCe

sBCAC

AC

=

Δ=

A

C

A

sCDeAC

CDeBCCD

Δ=

=

*

*

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BD

aCDLeAC

==

A

C

saeLe

Δ=

*

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Criterio II. Limitación por transición del peralte

saeLe

Δ≥

*

Donde:e : Peralte de la curva, (%).a : Ancho del carril + berma, (m).2a : Ancho de la calzada, (m).Bn : Bombeo normalΔs : Inclinación de la rampa de peraltes, (%).

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Criterio III. Condición de percepción y de estética

Criterio III.1. Se asume el disloque mínimo de 0.25 m.)( RΔ

RcLe 6≥Criterio III.2. Angulo de giro de la espiral mínimo de 3 grados

θe

Le*Rc

radianes= ≥ ° =2

3 0 05236.

)( eθ

Donde:Rc : Radio de cálculo de la clotoide, (m)L : Longitud de la clotoide, (m).θe : Angulo de giro de la espiral

Le *Rc≥ 0 10472.

TRANSICIÒN DE PERALTE

•En tramos rectos, la sección de la calzada normalmente tiene di l l i f ili l d jpendientes transversales que le sirven para facilitar el drenaje

de las aguas lluvias hacia las cunetas a esta pendiente se le denomina bombeo normal y varia entre 2% y 4%

Tipo de Rodadura Bombeo %

Muy buena 2Buena 2, 3Regular a Mala 2 , 4

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TRANSICIÒN DE PERALTE

•Si existen espirales la transición de peralte se hace sobre lai lcurva espiral

•Si no existe espiral la transición se puede introducir a lacurva central el PC y el PT deben tener el 70% del peraltetotal, el tercio central debe tener peralte constante

•La transición puede hacerse:

•Rotando la calzada alrededor del eje

•Rotando la calzada en el borde interno

•Rotando la calzada en el borde externo