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7/25/2019 Curva elstica.docx

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Curva elsticaLa curva elsticao elsticaes la deformada porflexindel eje longitudinalde una vigarecta,la cual se debe a la aplicacin de cargas transversales en el plano xy sobre la viga.

ndice

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1Ecuacin de la elstica

o 1.1Ejemplo

!lculo de deformaciones en vigas

o .1"#todo de integracin

o ."#todo de superposicin

$%eferencia

&'#ase tambi#n

Ecuacin de la elstica[editar]

La ecuacin de la elstica es la ecuacin diferencial (ue, para una viga de eje recto, permiteencontrar la forma concreta de la curva elstica. !oncretamente la ecuacin de la elstica esuna ecuacin para el campo de despla)amientos (ue sufre el eje de la viga desde su formarecta original a la forma curvada o flectada final. *ara una viga de material elstico linealsometido a pe(ue+as deformaciones la ecuacin diferencial de la elstica viene dada por

-1

/onde

representa la flec0a, ordenada -eje y o despla)amiento vertical, respecto de la posicinsin cargas.

es la abscisa -eje sobre la viga.

es el momento flector sobre la abscisa .

es el segundo momento de reao momento de inercia de la seccin transversal.

es el mdulo de elasticidaddel material.

La ecuacin -1 constituye slo una aproximacin, en la (ue se 0a supuesto (ue lasdeformaciones son muy pe(ue+as con respecto a las dimensiones de la viga y, por tanto, se0a aproximado el giro de una seccin de la viga con la derivada primera de la flec0a. *aradeformaciones mayores se obtiene la ecuacin ms exacta -12

-12
https://es.wikipedia.org/wiki/Flexi%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Flexi%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Eje_longitudinalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Vigahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1sticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Ecuaci.C3.B3n_de_la_el.C3.A1sticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Ejemplohttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#C.C3.A1lculo_de_deformaciones_en_vigashttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#M.C3.A9todo_de_integraci.C3.B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#M.C3.A9todo_de_superposici.C3.B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Referenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#V.C3.A9ase_tambi.C3.A9nhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Curva_el%C3%A1stica&action=edit&section=1https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Eqnref_1https://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1reahttps://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1reahttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Equation_1https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Equation_1.27https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Eqnref_1.27https://es.wikipedia.org/wiki/Eje_longitudinalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Vigahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1sticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Ecuaci.C3.B3n_de_la_el.C3.A1sticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Ejemplohttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#C.C3.A1lculo_de_deformaciones_en_vigashttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#M.C3.A9todo_de_integraci.C3.B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#M.C3.A9todo_de_superposici.C3.B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Referenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#V.C3.A9ase_tambi.C3.A9nhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Curva_el%C3%A1stica&action=edit&section=1https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Eqnref_1https://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1reahttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Equation_1https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Equation_1.27https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Eqnref_1.27https://es.wikipedia.org/wiki/Flexi%C3%B3n_mec%C3%A1nica


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La ecuacin de la elstica -1 puede ser reescrita en funcin de la carga distribuida q-x sobrela viga

-

Esta 3ltima ecuacin es interesante por(ue su generali)acin a elementos bidimensionalesesprecisamente la ecuacin fundamental de gobierno de placas o ecuacin de Lagrange paraplacas delgadas

/onde es larigide)de una placa delgada en flexin.

Ejemplo[editar]

'iga deformada por flexin.

*ara una viga elstica en la (ue se aplican slo momentos M1y M, la forma de la curvaelstica depende slo de dos parmetros independientes, la forma aproximada de ladeformada depender del valor y signo relativo de estos momentos, siendo un caso t4pico elmostrado en la figura adyacente. Escribiendo la ley de momentos flectores para los puntosintermedios de la viga y escogiendo las condiciones de contornos llegamos a la ecuacindiferencial siguiente

La solucin anal4tica de ecuacin anterior con cual(uiera de los dos posibleselecciones de contorno, se obtiene como
https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Equation_1https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Eqnref_2https://es.wikipedia.org/wiki/Placas_y_l%C3%A1minashttps://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez#Rigideces_en_placashttps://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez#Rigideces_en_placashttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Curva_el%C3%A1stica&action=edit&section=2https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Equation_1https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#Eqnref_2https://es.wikipedia.org/wiki/Placas_y_l%C3%A1minashttps://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez#Rigideces_en_placashttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Curva_el%C3%A1stica&action=edit&section=2


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Clculo de deformaciones en vigas[editar]

Mtodo de integracin[editar]

Este m#todo consiste en la integracin de la ecuacin descrita en la seccin anterior.Es necesario obtener primero la ley de variacin del momento flectorpara la vigaestudiada, tal como se 0i)o en el ejemplo anterior. 5na ve) conocida la ley de

momentos flectores, se procede por integracin directa.

6i se conoce para un punto concreto, digamos por ejemplox = a, el despla)amientovertical y el ngulo girado por la curva elstica alrededor de ese punto respecto a laposicin original el resultado de la deformacin el resultado de la integracin directaes simplemente1

E(uivalentemente la expresin anterior puede reescribirse mediante integracin porpartescomo una integral simple

El llamado mtodo del rea-momento, es en realidad una versin en t#rminosgeom#tricos del m#todo de integracin. /e acuerdo con esta versin la doble integralen la ecuacin anterior puede calcularse del siguiente modo

1. 6e calcula la superficie del rea bajo la curva Mz7EI.

. 6e calcula la distancia centroide del rea anterior medida a partir del eje de laviga.

$. La segunda integral buscada es el producto de las dos magnitudes anteriores.
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Curva_el%C3%A1stica&action=edit&section=3https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Curva_el%C3%A1stica&action=edit&section=4https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Curva_el%C3%A1stica&action=edit&section=4https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_flectorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Momento_flectorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_por_parteshttps://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_por_parteshttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Curva_el%C3%A1stica&action=edit&section=3https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Curva_el%C3%A1stica&action=edit&section=4https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_flectorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_por_parteshttps://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_por_partes


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Mtodo de rea momentoDe la ecuacin general de flexin tenemos:

Integrando:

tengamos presente que curvatura de un elemento viga.Teorema 1:

El rea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y es igual al cambio en las pendientesentre esos dos puntos sobre la curva elstica.


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!e puede usar para vigas con EI variable.

: ngulo tangente en medido desde la tangente en A.!e mide en radianes."reas positivas indican que la pendiente crece.

Teorema 2:

#or teor$a de los ngulos peque%os tenemos:

& si sumamos todos los despla'amientos verticales obtenemos la desviacin verticalentre las tangentes en A y .


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momento de primer orden con respecto a A del rea bajo la curva de entre A( .El teorema es: )*a desviacin de la tangente en un punto A sobre la curva elstica con respecto a la tangente

prolongada desde otro punto & es igual al momento del rea bajo la curva entre los puntos Ay conrespecto a un eje A.!e cumple siempre cuando en la curva no +aya discontinuidades por aarticulaciones.Esta desviacin siempre es perpendicular a la posicin original de la viga y se denomina flec+a.Ejemplo:

Determinar las flec+as en los puntos y , y la pendiente elstica en el punto .E& I constantes.

#asos a reali'ar:-. Encontrar el diagrama de momentos.. Dividir / por EI y tra'ar la curva elstica tentativa.0. #ara encontrar fijar un punto inicial al cual se le cono'ca la pendiente e integrar el diagrama de

curvatura entre el punto inicial de referencia y el punto pedido.,ambio en 1 rea bajo /2EI

3. #ara encontrar flec+as& tomar un punto inicial al que se le cono'ca su flec+a& preferiblemente unapoyo.El cambio de la flec+a se calcula como el primer momento del rea bajo el diagrama de /2EI con

respecto al punto sobre el que se va a encontrar la deflexin. 4 5"rea bajo la curva de /2EI

midiendo desde el punto al que se le va a +allar la deflexin6.

7. !ignos& un cambio de pendiente positivo osea reas positivas de /2EI indican qque la pendientecrece.Ejercicio

#ara la siguiente viga determinar la deflexin y rotacin en el punto , en funcin de EI.


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adimensional 4radianes6

condicin de apoyo

8lec+a 1 momento de primer orden con respecto a


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si

por no existir momento en ese tramo.

Mtodo de Area de Momentos

Introduccin

El conocimiento del clculo de giros y desplazamiento es necesario para poderentender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga.

El presente trabajo esta basado en uno de los mtodos para calcular el giro ydesplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando eldiagrama de momentos.

Contiene cinco problemas resueltos segn el marco terico que ayudar al lector atener base para la comprensin de temas posteriores y un glosario de palabrastcnicas de uso seguido que facilitar la interpretacin en el desarrollo del trabajo.


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I. GENERALIDADES

. !bjetivos"

El objetivo principal es aplicar los conocimientos previos dediagramacin# en este casodel momento flector# para calcular pendientes y deflexiones en una viga sometida acargas puntuales o distribuidas.

a$ %eorema "

& Entender la relacin de la curvatura con la pendiente de la elstica.

& Establecer las condiciones iniciales# de giros# y utilizar medios diferenciales para elclculo de la pendiente.

b$ teorema '"

& Establecer una relacin entre la curva y la deflexin.

& Calcular el desplazamiento vertical de la elstica usando el diagrama de momentos.

.' (losario


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a$ )dulo de elasticidad" *E$

El mdulo de elasticidad o mdulo de +oung es un parmetro que caracteriza elcomportamiento de un material elstico# segn la direccin en la que se aplica unafuerza. ,iendo una constante independiente del esfuerzo y es siempre mayor que cero.

b$ Eje neutro"

Es la interseccin de la superficie neutra *superficie que no sufre deformacin e-$ conla seccin transversal.

c) Curva elstica:

/lamada tambin Elstica. /a ecuacin de la elstica es la ecuacin diferencial que#para una viga de eje recto# permite encontrar la forma concreta de la curva elstica.Concretamente la ecuacin de la elstica es una ecuacin para el campo dedesplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la formacurvada o flectada final.


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d) Giro ():

0l trazar rectas tangentes a la curva elstica estas forman con la 1orizontal ngulosmuy peque2os# estos ngulos son los ngulos de giro de la curva elstica.

II. ARC! "E#RIC!

$todo De %rea o&ento

Este mtodo se basa en la relacin que existe entre el momento ) y la curvatura yproporciona medios prcticos y eficientes para calcular la pendiente y la deflexin de lacurva elstica de vigas y prticos.


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El mtodo tiene dos teoremas. El primero relaciona la curvatura con la pendiente de lacurva elstica y el segundo la curvatura con la deflexin.

3e la ecuacin general de flexin tenemos"

4ntegrando"

%engamos presente que curvatura de un elemento viga.

'.."eore&a :

El rea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos 0 y 5 es igual al cambio en las

pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elstica.

:6ngulo tangente en 5 medido desde la tangente en 0.,e mide en radianes.6reas positivas indican que la pendiente crece.


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'.' "eore&a ':

7or teor8a de los ngulos peque2os tenemos"

# si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemosla desviacin vertical entre las tangentes en 0 y 5.


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)omento de primer orden con respecto a 0 del rea bajo la curva

de entre 0 + 5.

El teorema es" 9/a desviacin de la tangente en un punto 0 sobre la curva elstica conrespecto a la tangente prolongada desde otro punto 5# es igual al momento del rea

bajo la curva entre los puntos 0y 5 con respecto a un eje 0.,e cumple siempre cuando en la curva no 1aya discontinuidades por articulaciones.Esta desviacin siempre es perpendicular a la posicin original de la viga y sedenomina flec1a.

III. EERCICI!S


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5.- calcular la desviacin total de la viga:

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