Curso Mecánica del Medio Deformable

Barra rectangular colganteBarra rectangular colgante

En el caso de una barra rectangular colgante es un buen ejemplo para la combinación de las ecuaciones que gobiernan la deformación elástica en el marco de condiciones que simplifican el sistema: esfuerzos nulos salvo los verticales.

Barra antes de deformarse: Barra deformada por su propio peso (vista en plano):

Vista en plano: Esfuerzos laterales nulos

Mayores esfuerzos verticales en el tope

Desplazamiento vertical esférico

Mayores desplazamiento lateral en la base

Definición de ejes coordenados Cartesianos

X1

X2

X3

Dimensiones antes de deformarse

a

c

biijij uF ,

Por la ecuación de equilibrio,

0

y la condición de esfuerzos laterales y de corte nulos,

11,1 1 0F

Donde es la aceleración de gravedad

1F g

El medio es uniforme.

Integrando respecto a x1 y tomando en cuenta la condición de borde

11 2 3( , , ) 0a x x 11 1 2 3 1( , , ) ( )x x x g a x


X1

X2X3


a

c

b

Utilizamos la relación esfuerzo - deformación en su forma inversa para un medio elástico isotrópico,

11 11

22 11

33 11

12 13 23

/

/

/

0

E

E

E


Estiramiento vertical

1(1 )ij ij kk ijE

11 1

22 1

33 1

12 13 23

( ) /

( ) /

( ) /

0

g a x E

g a x E

g a x E

Acortamiento horizontal

No hay cizalla

Todas las deformaciones son mayores en el tope y se anulan en la base


X1

X2X3


a

c

b

Utilizamos la relación deformación – desplazamiento

integramos primero los desplazamientos en los ejes X2 y X3,


Como en el plano central, x2=0, no hay desplazamiento lateral perpendicular, u2=0, por simetría el termino adicional es nulo,

Siguiendo el mismo razonamiento,

ijjiij uu ,,2

1

2,2 1( ) /u g a x E

2 1 2 1 3( ) / ( , )u g a x x E f x x 0

1 3( , ) 0f x x

3 1 3( ) /u g a x x E

Dados estos campos de desplazamientos,

3,1 3

2,1 2

/

/

u g x E

u g x E

Y para conservar las deformaciones de corte nulas requerimos

1,3 33,1 3,1 1,3

2,1 2,1 1,2 1,2 2

1 /0 ( )21

0 ( ) /2

u g x Eu u

u u u g x E


X1

X2X3


a

c

b

En resumen para integrar el desplazamiento en X1 tenemos las tresderivadas parciales


Agrupando términos,Donde la constante es nula para tener desplazamiento vertical cero en el tope del eje central.

21 3 1 2/ 2 ( , )u g x E f x x

Integrando,

1,3 3

1,2 2

11 1

/

/

( ) /

u g x E

u g x E

u g a x E

2 21 3 2 1/ 2 / 2 ( )u g x E g x E g x

2 21 3 2

21 1

/ 2 / 2

( / 2) /

u g x E g x E

g a x x E cons

0

2 21 1 1 2 3( / 2 ) ( )

2

gu a x x x x

E

En particular en la base, x1= a 2 2 21 2 3( ( )

2

gu a x x

E

Es mayor en el centro y crece con el cuadrado de la longitud de la barra

La situación de esfuerzos planosLa situación de esfuerzos planos

Decimos que los esfuerzos son planos o bidimensionales si tenemos,

Y además los esfuerzos en el plano X1 y X2 son independientes de x3

Placas delgadas con caras libres de esfuerzo.

Desplazamiento vertical nulo

33 32 31 0

11,3 22,3 12,3 0

Este caso tiene aplicación para una serie de situaciones practicas como

Bordes con esfuerzo

Esfuerzos independientes de x3

X3

Componentes del esfuerzo perpendiculares a X3

Aplicando la relación deformación esfuerzo para medios elásticos e isotrópicos (Ley de Hooke inversa),

Estiramiento en el plano X1 X2

33 32 31 0


Bordes con esfuerzo


X3


11 11 22

22 22 11

12 12

33 11 22

13 23

1( )

1( )

1

( )

0

E

E

E

E

1(1 )ij ij kk ijE

Acortamiento a lo largo del eje X3

Sustituyendo los esfuerzos en la cuarta ecuación,

33 11 22( )1

Obtenemos la deformación axial como función de las deformaciones orientadas en el plano.

Las tres componentes de la deformación en el plano están relacionadas por la ecuación de compatibilidad, . Derivando las tres expresiones obtenidas para estas deformaciones y sustituyendo en la ecuación,

Es la ecuación de compatibilidad para los esfuerzos planos.

11,22 22,11 12,12


Bordes con esfuerzo


X3


11 11 22 11,22 11,22 22,22

22 22 11 22,11 22,11 11,11 11,22 22,11 12,12

12 12 12,12 12,12

1 1( ) ( )

1 1( ) ( ) (1 ) ( ) (1 )

1 1

E E

E E

E E

Adicionalmente tenemos las ecuaciones de equilibrio para el caso de los esfuerzos planos

Estas dos ecuaciones junto a la de compatibilidad son las tres ecuaciones que gobiernan el equilibrio en situación de esfuerzo plano. Estas deben ajustarse a las condiciones de borde para resolver los problemas.

iijij uF ,

011,1 12,2 1

22,2 12,1 2

0

0

F

F

Las tres componentes de la deformación en el plano están relacionadas por la ecuación de compatibilidad, . Derivando las tres expresiones obtenidas para estas deformaciones y sustituyendo en la ecuación,

Es la ecuación de compatibilidad para los esfuerzos planos.

11,22 22,11 12,12


Bordes con esfuerzo


X3


11 11 22 11,22 11,22 22,22

22 22 11 22,11 22,11 11,11 11,22 22,11 22,22 11,11 12,12

12 12 12,12 12,12

1 1( ) ( )

1 1( ) ( ) ( ) ( ) (1 )

1 1

E E

E E

E E

Adicionalmente tenemos las ecuaciones de equilibrio para el caso de los esfuerzos planos

Estas dos ecuaciones junto a la de compatibilidad son las tres ecuaciones que gobiernan el equilibrio en situación de esfuerzo plano. Estas deben ajustarse a las condiciones de borde para resolver los problemas.

iijij uF ,

011,1 12,2 1

22,2 12,1 2

0

0

F

F

Las tres ecuaciones juntas son,

Es la forma mas usada de la ecuación de compatibilidad para los esfuerzos planos.


Bordes con esfuerzo


X3


11,22 22,11 22,22 11,11 12,12

11,1 12,2 1

22,2 12,1 2

( ) ( ) (1 )

0

0

F

F

Donde podemos apreciar el operador Laplaciano en la parte izquierda. Cuando las fuerzas de cuerpo son constantes,

,1111 ,1122 ,22222 0

Derivando las dos ultimas y sustituyendo en la primera

11,22 22,11 22,22 11,11 1,1 2,2(1 )( )F F

11,22 22,11 22,22 11,11 0

Las ecuaciones de equilibrio se satisfacen escogiendo un potencial de esfuerzos, llamado potencial de Airy, tal que,

11 ,22

22 ,11

21 ,21

Quedando unicamente por resolver la ecuación de compatibilidad para el potencial de esfuerzos de Airy,

Una sola ecuación que gobierna el equilibrio para esfuerzos planos.

X1

X2

Torsión de barras cilíndricasTorsión de barras cilíndricasVamos a considerar el caso de una barra de sección uniforme y eje en X3,

que esta sometida a torques externos opuestos en sus extremos. Los extremos no están contenidos de manera que no hay esfuerzos en la dirección X3.

Rotación uniforme en el plano X1X2

Extremos libres

X3

Adoptamos las siguientes presunciones:

1) Dada la simetría cilíndrica de la pieza los desplazamientos en los planos X1X2 se describen por rotaciones de desplazamiento angular uniforme con x3.

X1

X2X2

3 2 1

; 0x x x

donde es el desplazamiento angular

3x

Esfuerzos de corte aplicados solo en las caras externas per-pendiculares al eje

Superficie cilíndrica libre de esfuerzos

Rotación uniforme en el plano X1X2

1 2senu r x

X1

X2

Para desplazamientos angulares pequeñosu1

u2

r2 1cosu r x

Sustituyendo por,

1 3 2u x x

3x

2 3 1u x xformulamos los desplazamientos en el plano X1 X2.

X1

X2

Combeo en dirección X3

Extremos libres

X3

La segunda presunción es :

2) que puede haber desplazamientos longitudinales en dirección X3 (efecto de combeo o warping) pero uniformes para cualquier posición x3.

En síntesis para los desplazamientos,

33 1 2

3

0 ( , )u

u w x xx

1 3 2

2 3 1

3 1 2( , )

u x x

u x x

u w x x

11 22 33 21

13 21

23 12

0

wx

x

wx

x

para las deformaciones.

X2


Extremos libres

X3

Podemos calcular los esfuerzos mediante la ley de Hooke generalizada (directa):

11 22 33 21

13 21

23 12

0

( )

( )

wG x

x

wG x

x

Diferenciando de manera cruzada la segunda y tercera ecuaciones respecto a x2

y x1 y restando obtenemos una ecuación de compatibilidad de los esfuerzos, para la torsión de barras cilíndricas,

σ31

σ32

σ13

σ23

Los cuatro esfuerzos nulos

σ33

σ12

σ22 σ21

σ22

13 23

2 1

2 (1)Gx x

Los cuatro esfuerzos no nulos

X2


X3

Adicionalmente, aplicando la ecuacion de equilibrio en direccion X3

σ31

σ32

σ13

σ23


σ33

σ12

σ22 σ21

σ22

13 23

2 1

2 (1)Gx x

13 23 333

1 2 3

0 (2)Fx x x

0 0

De donde obtenemos un sistema de dos ecuaciones acopladas para las dos componentes no nulas del esfuerzo

13 23

2 1

13 23

1 2

2

0

Gx x

x x


que deben resolverse y ajustarse a las condiciones de borde.

La solucion se facilita mediante la introducción de un potencial de esfuerzo, ,llamada función de esfuerzo de Prandtl, donde

2 2

2 21 2

2Gx x

y sustituyendo en la primera ecuación

13 23

2 1

13 23

1 2

2

0

Gx x

x x

X2


X3

σ31

σ32

σ13

σ23


σ33

σ12

σ22 σ21

σ22


Mediante la cual se satisface la segunda ecuación del sistema previamente descrito,

13 232 1

;x x

Tenemos que el potencial de Prandtl debe satisfacer la ecuación de Poisson.

X2

X3

Tj

ni

Es vector de esfuerzos Tj=0

X1

Las condiciones de borde prescritas indican que 1) sobre las caras externas cilíndricas no se aplican esfuerzos

El vector de esfuerzos viene dado por,

j ij iT n

3 13 1 23 2 0T n n

n1n2

X2

-n2X1

nisin1

n1n2

Esta condición en términos del vector unitario para un elemento de arco cilíndrico,

11 2

22 1

dxs n

dsdx

s nds

2 13 13 23 0

dx dxT

ds ds

2 13

2 1

0dx dx

Tx ds x ds

3 0d

Tds

Lo que indica que el potencial es constante las caras externas delcilindro.

Se adopta el valor, en la cara cilíndrica externa.

( ) 0S

S

X2

X3

Tj

ni

Es vector de esfuerzos Tj=0

X1

La otra condiciona de borde prescritas indica que 2) sobre las caras externas normales al cilindro se aplican solo esfuerzos de corte que producen torque neto.

El vector de esfuerzos viene dado por,

1 31

2 32

3 0j

T

T T

T

X2

X1r

y el torque total sobre la cara frontal,

31 2 32 1 1 2( )S

T x x dx dx

Tj

S

2 1 1 22 1

( )S

T x x dx dxx x

1 21 2

1 1 2 2

( ) ( );

x xx x

x x x x

2 11 2

2 1

( ) ( )( 2 )

S

x xT dx dx

x x

2 21 2 1 2 1 2

2 2

( ) ( )2

S S S

x xT dx dx dx dx dx dx

x x

0

1 22S

T dx dx

Es la segunda condición de bordesobre el potencial de Prandtl

Porque el potencial es nulo en el perímetro externo

0

X1

X2


Extremos libres

X3

Ejemplo: Caso de sección cilíndrica elíptica

Proponemos como función potencial:2 2

1 22 2

( 1)x x

ka b

Sección elíptica

a

b

la cual cumple con la condición del borde cilíndrico externo:

S

( ) 0S

aplicando el Laplaciano,

2 2

2 2 2 21 2

1 12 ( )k

x x a b

Por lo que cumple con la ecuación de Poisson prescrita si,

2 2

2 2 2 2

1 12 ( ) 2

a b Gk G ka b a b

L

Aplicando la condición de borde en la cara normal al eje,

1 22S

T dx dx

2 22 2

1 21 22 2 2 2

2( 1)

S

x xa b GT dx dx

a b a b

2 22 1

2 2 2 2

2( )I Ia b G

T Aa b a b

de donde,2 22 2

1 22 2 2 2

( 1)x xa b G

a b a b


Momento de la sección elíptica respecto a eje X2

Sustituyendo tenemos la ecuacion que relaciona el torque y la rata de torsion por unidad de longitud,

Integrado para el desplazamiento angular,

3/d dx

X1

X2


Extremos libres

X3

Sección elíptica

ab

SL

recordando,

2 32 1 1 2 4SI x dx dx ba

2 22 1

2 2 2 2

2( )I Ia b G

T Aa b a b

2 31 2 1 2 4SI x dx dx ab

Momento de la sección elíptica respecto a eje X1

1 2SA dx dx ab

Área de la elipse

3 3 2 2

2 2 3 3

( )a b G T a bT

a b a b G

2 2

33 3

( )T a bx

a b G

213 3

2

123 3

1

2

2

Tx

x ab

Tx

x ba

Podemos rescribir el potencial de esfuerzo en términos del torque,

2 21 22 2

( 1)x xT

ab a b


Para el desplazamiento longitudinal de combamiento, recordamos queX1

X2


Extremos libres

X3

Sección elíptica

ab

SL

sustituyendo,

Sustituyendo en equaciones precedentes podemos encontrar los desplazamientos,

2 2

1 2 3 23 3

2 2

2 1 3 13 3

( )

( )

T a bu x x x

a b G

T a bu x x x

a b G

13 21

23 12

( )

( )

wG x

x

wG x

x

132

1

231

2

wx

x G

wx

x G

2 22 22 2

3 2 3 31

2 22 21 1

3 2 3 32

( )2 ( )

( )2 ( )

Tx Txw a bb a

x G ab a G a b

Tx Txw a bb a

x G ba b G a b

integrando,

2 22 11 2 3 3

( , ) ( )Tx x

w x x b aG a b

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