CURSO DE VARIOGRAMA
Transcript of CURSO DE VARIOGRAMA
ContenidoContenido
• VARIOGRAMA EXPERIMENTAL
• VARIOGRAMA TEÓRICO
• Propiedades básicas• Definición
• Estudio de modelos de variograma
• Cálculo a partir de los datos• Características básicas
• Definición
• Ajuste de modelos de variograma
Variograma Teórico-DefiniciónVariograma Teórico-Definición
Es una herramienta que permite analizar el comportamiento espacial de una propiedad o variable sobre una zona dada
Detectar direcciones de anisotropía
Ejemplo:
Zonas de influencia y su extensión (correlación espacial)
Variabilidad con la distancia
15
37
98
24
6 12
34
56
78
9
A B
MEDIA = 5
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4
Distancia
Vario
gram
a
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4
Distancia
Vario
gram
a
VARIANZA=50/9
HISTOGRAMAS IGUALES
Variograma Teórico-DefiniciónVariograma Teórico-DefiniciónContinuidad espacial
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0 2 4 6 8 10
Distancia
Vari
ogra
ma
0
0,20,4
0,60,8
1
0 5 10 15 20 25Ubicación
Varia
ble
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1 2 3 4 5 6 7
Distancia
Vari
ogra
ma
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Ubicación
Varia
ble
Variograma Teórico-DefiniciónVariograma Teórico-DefiniciónContinuidad espacial
00,0020,0040,0060,008
0,010,012
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Distancia
Vario
gram
a
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
Ubicación
Varia
ble
Variograma Teórico-DefiniciónVariograma Teórico-DefiniciónContinuidad espacial
Variograma Teórico-DefiniciónVariograma Teórico-DefiniciónCurva de proporción vertical
Unidad 2 Unidad-5
Unidad 1 Unidad-4
Variograma Teórico-DefiniciónVariograma Teórico-DefiniciónCurva de proporción vertical
2)]()([21 hxZxZE
)]()([21)( hxZxZVarh
nn RhRx ,
)(xZ es estacionaria o intrínsecaSi
Variograma Teórico-DefiniciónVariograma Teórico-Definición
• depende del módulo y de la dirección del vector h
Variograma Teórico-CaracterísticasVariograma Teórico-Características
2)]()([21 hxZxZEh
• Valor promedio de la diferencia al cuadrado de los valores de la propiedad en dos puntos separados por una distancia |h|
• es independiente de la localización x
hxZ
1hx
h
1h
1hxZ
hx
2
21 )]()([ hxZxZEh
xZx
Detección de características
que varían según la dirección y la
distancia
Variograma Teórico-CaracterísticasVariograma Teórico-Características
Distancia
Vario
gram
a
Distancia
Var
iogr
ama
Variograma Teórico-CaracterísticasVariograma Teórico-Características
Variograma Experimental-definición Variograma Experimental-definición
2
21 )]()([ hxZxZEh Variograma Teórico
Variograma Experimental
hxx
ji
ji
xzxzhN
h 2* ))()((2
1)(
ZZZZ
basetope
base
Variograma Experimental-definición Variograma Experimental-definición Coordenadas estratigraficas
La correlación espacial se debe calcular dentro de la misma unidad estratigráfica
hxx
ji
ji
xzxzhN
h 2* ))()((2
1)(
• Se escoge una dirección
• Se escoge una distancia o lag h
• Se calcula para valores de h,2h, 3h,...,nh
*
• Se grafica versus los valores h,2h, 3h,...,nh
*
0
1
2
3
4
5
6
Distancia
vario
gram
a ex
perim
enta
lVariogramaexperimental
Variograma Experimental-obtención Variograma Experimental-obtención
)(2* ))()((
21)(
hN
1iii hxzxz
hNh
265
254
243
232
221
*
5*21 xzxzxzxzxzxzxzxzxzxzh
264
253
242
231
*
4*212 xzxzxzxzxzxzxzxzh
263
252
241
*
3*213 xzxzxzxzxzxzh
1x 2x 3x 4x 5x 6x
h
Datos Igualmente espaciados:
Variograma Experimental-obtención Variograma Experimental-obtención
h
Datos Igualmente espaciados:
)(
2* ))()((2
1)(hN
1iii hxzxz
hNh
,2,1,0,,0 kkh
,2,1,0,0, kkh
,2,1,0,,, jkjhkh
Variograma Experimental-obtención Variograma Experimental-obtención
Datos Irregularmente espaciados:
• Puede ocurrir que no existan valores de la variable a la distancia h
• Puede ocurrir que no existan valores de la variable en la dirección
Variograma Experimental-obtención Variograma Experimental-obtención
Variograma Experimental-distancia Variograma Experimental-distancia
• Clases de distancia:
Para cada lag h se define una tolerancia y se utilizan únicamente los puntos que se encuentran a una distancia mayor o igual a y menor que
h
hh hh
3xz
h
2h
3h
1xz 2xz
4xz
5xz
Variograma Experimental-distancia Variograma Experimental-distancia
• Clases de distancia:
hEl valor de se escoge como el 50% del valor del
lag h. De esta forma:
• Las clases de distancia no se superponen
• No hay valores de la variable fuera de una clase de distancia
Variograma Experimental-distancia Variograma Experimental-distancia
0 1 2 3 4 5 6
1.20 2.4 2.8 4.9
1.20 2.4 2.8 4.9
5.0h1h
1h1h
1.20 2.4 2.8 4.91.0h
1h
Variograma Experimental-distancia Variograma Experimental-distancia
hh 5.0
hh 5.0
hh 5.0
• Clases de dirección :
Para cada dirección se define una toleranciay se utilizan únicamente los puntos que se encuentran entre las direcciones y
Variograma Experimental-direcciónVariograma Experimental-dirección
puntos descartados
puntos aceptados
Variograma Experimental-direcciónVariograma Experimental-dirección
puntos aceptados
puntos descartados
b
b = ancho de banda
Variograma Experimental-direcciónVariograma Experimental-dirección
Variograma Experimental-distancia & direcciónVariograma Experimental-distancia & dirección
clase de distancia h
h2h
3h
clase de distancia 2h
clase de distancia 3h
z(x)
Variograma Experimental-obtenciónVariograma Experimental-obtención
Variograma Experimental-obtenciónVariograma Experimental-obtención
h: Distancia promedio entre los pozos
A partir del variogram cloud
A partir del variograma omnidireccional
Se escoge como la dirección de anisotropía de la variable. Se puede obtener a partir de:
Información geológica, petrofísica, etc
Mapa de variograma
:
n: Cuando se calcula el variograma sobre un dominio D se escoge n de forma tal que:
n*h < | D | / 2Valor del lag h
Número n de lags
Valor de y
1.20 2.4 2.8 4.9
Lag h muy grande
Lag h pequeño, n muy grande
Variograma Experimental-Variograma Experimental-laglag
1.20 2.4 2.8 4.9
Lag h adecuado, valor de n ?
Variograma Experimental-Variograma Experimental-laglag
Variograma OmnidireccionalVariograma Omnidireccional
Variograma Omnidireccional:
Es aquel que no depende de la dirección
Se obtiene al escoger la tolerancia angular
de forma tal que las direcciones y sean opuestas y perpendiculares a la dirección
Se puede pensar como el promedio del variograma experimental en todas las direcciones posibles
Variograma direccional
Variograma omnidireccional
Variograma OmnidireccionalVariograma Omnidireccional
Variogram CloudVariogram Cloud
hxx
ji
ji
xzxzhN
h 2* ))()((2
1)(
Variogram Cloud:
hxx
ji
ji
xzxzhN 2
))()((1 2
Al graficar el valor de los pares versus la distancia se obtiene el variogram cloud
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7
Distancia
Variogram CloudVariogram Cloud
Variogram Cloud:
Permite detectar valores atípicos o cambios bruscos
Permite escoger un valor inicial del lag
Permite observar la dispersión alrededor del valor de
* 0
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4 5 6 7
Distancia
Variogram CloudVariogram Cloud
Mapa de VariogramaMapa de Variograma
Mapa de Variograma :
Es una herramienta que permite determinar las direcciones de anisotropía de la variable en estudio
0
0
Mapa de VariogramaMapa de Variograma
Definir una malla (2n+1)*(2n+1)
h
Definir el valor del lag h
Asignar a cada bloque el valor de
*
Mapa de VariogramaMapa de Variograma
Variograma Experimental-tolerancia angularVariograma Experimental-tolerancia angular
Tolerancia angular
CARACTERÍSTICAS
BÁSICAS
Variograma-Características Básicas
1) RANGO Y SILL
2) COMPORTAMIENTO A PEQUEÑAS DISTANCIAS
3) COMPORTAMIENTO A GRANDES DISTANCIAS
4) ANISOTROPÍAS
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42
Distancia
Vario
gram
a
Rango:
Distancia a la cual el variograma se estabiliza
Sill :
Valor constante que toma el variograma en distancias mayores al rango
Variograma-Rango & Sill
)]()([)]()([21 22 hxZxZEhxZxZEh
Si para una distancia dada d las variables Z(x) y Z(x+h) son no correlacionas entonces el variograma es constante
2
Rango: Distancia a partir de la cual no hay correlación
Sill:Varianza de la función aleatoria Z
Variograma-Rango & Sill
Variograma-Rango & Sill
COMPORTAMIENTO A PEQUEÑAS DISTANCIAS
Comportamiento
1) DISCONTINUO
2) LINEAL
3) CUADRÁTICO
Permite estudiar cuán rápido puede variar la variable en estudio a pequeñas distancias. Básicamente el variograma presenta las 4 formas siguientes:
4) HÍBRIDOS
Comportamiento discontinuo
)]()([21 hxZxZvarh
00
Puede ocurrir que para distancias cercanas a cero el valor del variograma no se aproxima a cero
Efecto pepita o nugget effect
Comportamiento discontinuo
Interpretación del nugget effect
1) Variable muy irregular a distancias cortas
2)]()([21 hxZxZEh
0h
Z(x) y Z(x+h) difieren mucho
no se aproxima a cero
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0
1,5 3
4,5 6
7,5 9
10,5 12
13,5 15
16,5 18
Distancia
Vario
gram
a Valoresobservados
Valoresreales
Interpretación del nugget effect
2) Errores de medición en las variables
xxZxZobs
2 hh ZZobs
2
Comportamiento discontinuo
Interpretación del nugget effect
Comportamiento discontinuo
3) presencia de estructuras o ausencia de valores en distancias inferiores a las que se tomaron las muestras
Comportamiento Lineal
Comportamiento lineal
Indica que para distancias pequeñas, el variograma tiene un comportamiento lineal.
Representa variables continuas pero no diferenciables. Así, la propiedad puede cambiar rápidamente de un punto a otro. 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
Distancia
Vari
ogra
ma
Comportamiento lineal
La variabilidad de la propiedad dependerá de la pendiente de la recta en el origen
A mayor pendiente, mayor variabilidad
A menor pendiente, menor variabilidad
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Distancia
Vari
ogra
ma
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Distancia
Vario
gram
a
Comportamiento Lineal
Comportamiento Cuadrático
Comportamiento Cuadrático
Indica que para distancias pequeñas, el variograma tiene un comportamiento cuadrático.
Representa variables sumamente continuas e infinitamente diferenciables. Así, la propiedad NO puede cambiar rápidamente de un punto a otro. 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37
Distancia
Vario
gram
a
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5 12 13,5 15 16,5 18
Distancia
Vario
gram
a
Comportamiento Híbrido:
Variación más suave a distancias cortas
Variación más fuerte a distancias grandes
Indica presencia de estructuras actuando a diferentes escalas
Comportamiento Híbrido
Comportamiento-grandes distancias
NO TODOS LOS VARIOGRAMAS POSEEN UN RANGO Y UN SILL FINITO
Distancia
Vario
gram
aINDICA LA PRESENCIA DE UNA DERIVA O DRIFT
VARIABLE NO ESTACIONARIA
Comportamiento a grandes distancias :
xmxZE
Drift
22
21
21 xmhxmxZhxZEh
Variograma Teórico
Estimación del variograma
Sesgo
Comportamiento-grandes distancias
D1=E-O
D2=N-S
Comportamiento-grandes distancias
Anisotropías
Anisotropías :
Generalmente cuando el variograma experimental es calculado en distintas direcciones presenta distintos comportamientos con la variación de la distancia.
Anisotropía Geométrica
Anisotropía Zonal
Anisotropía Híbrida
Anisotropía Geométrica
Anisotropía Geométrica :
Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta el mismo sill pero rangos distintos
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0,0 0,9 2,0 3,0 4,1 5,1 6,2 7,2 8,3 9,3 10,4 11,4
Distancia
Vario
gram
aN-SE-OMayor continuidad espacial
en la dirección de mayor rango
Menor continuidad espacial en la dirección de menor rango
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0,0 0,9 2,0 3,0 4,1 5,1 6,2 7,2 8,3 9,3 10,4 11,4
Distancia
Vario
gram
aN-SE-O
Anisotropía Geométrica
Anisotropía Geométrica
Anisotropía Zonal :
Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta el mismo rango pero diferente sill
Presencia de diferentes estructuras
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4
Distancia
Vario
gram
a
Anisotropía Zonal
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4
Distancia
Vario
gram
a
Anisotropía Zonal
Anisotropía Híbrida :
Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta rangos diferentes y distintos sill.
Presencia de diferentes estructuras
Característico de variogramas horizontales y verticales
00,5
11,5
22,5
33,5
44,5
0 0,6 1,2 1,8 2,4 3 3,6 4,2 4,8 5,4 6 6,6 7,2
Distancia
Vario
gram
a
Anisotropía Híbrida
COMENTARIOS
COVARIANZA VS VARIOGRAMA
• El variograma se puede utilizar para modelar fenómenos no estacionarios y la covarianza no, por el desconocimiento de la media.
• Cuando la media es constante pero desconocida no se necesita para el cálculo del variograma, pero si para el de la covarianza.
•Si la función tiene varianza infinita (no estacionaria) la covarianza no está definida en 0, sin embargo el variograma si y es idénticamente nulo
Comentarios
CORRELACIÓN VS VARIOGRAMA
• La correlación estadística usual es calculada a distancia cero (dos observaciones en el mismo punto del espacio) y puede no ser representativa
• El variograma toma en cuenta el espaciamiento y por lo tanto permite ”correlacionar espacialmente”
Fuente información 1
Fuente información 2
LIMITACIONES DEL VARIOGRAMA
• Es un estadístico de 2 puntos
Comentarios
• Utilizar técnicas multipuntos y reconocimiento de patrones
LIMITACIONES DEL VARIOGRAMA
Comentarios
• Es extremadamente sensible a valores extremos
7
10
1112251412132
1198
7
10
111213141213101198
0102030405060
1 2 3 4 5 6
Distancia
Vario
gram
a0
2
4
6
8
1 2 3 4 5 6
Distancia
Vario
gram
a
DEL VARIOGRAMA EXPERIMENTAL AL
MODELO DE VARIOGRAMA
*
Ajustar
POR QUE HAY QUE CONSTRUIR MODELOS DE VARIOGRAMA ?
0
1
2
3
4
5
6
Distancia
vario
gram
a ex
perim
enta
l
Variogramaexperimental
0
1
2
3
4
5
6
Distancia
Variogramaexperimental
Modelo devariograma
El variograma experimental no se puede evaluar en distancias o direcciones intermedias
Una interpolación entre los puntos del variograma experimental no garantiza la existencia y unicidad de la solución del sistema de kriging
La interpolación no satisface las condiciones que todo variograma debe satisfacer
El variograma experimental no satisface las condiciones que todo variograma debe satisfacer
*
Variograma Teórico-propiedades
LOS VARIOGRAMAS TIENEN PROPIEDADES ESPECIALES, CUALQUIER FUNCIÓN QUE DEPENDA DE LA DISTANCIA Y LA DIRECCIÓN NO NECESARIAMENTE ES UN VARIOGRAMA
1) 00
2) hh
El variograma calculado en la dirección de h es igual al variograma calculado en la dirección de -h
h-h
3) Todo variograma es una funcion definida positiva condicional
Para cualquier n, cualesquiera nxxxx ,,,, 321 puntos en el espacio y cualesquiera
n ,,,, 321 valores tales que
n
ii
1
0 se tiene que
01 1
n
i
n
jjiji xx
Esta propiedad permite calcular en forma consistente la varianza de combinaciones lineales de funciones aleatorias
Zvar
Variograma Teórico-propiedades
4) Relación con la función de covarianza
Para funciones aleatorias estacionarias se tiene que hCCh 0
Distancia
Vario
gram
a Variograma
Covarianza
Variograma Teórico-propiedades
02 h
hlimh
4) Si es el variograma de una funcion aleatoria estacionaria o intrínseca entonces
En particular para h suficientemente grande existe una constante c tal que 2hch
Criterio para el comportamiento del variograma a grandes distancias
Criterio para detectar un comportamiento no estacionario
Variograma Teórico-propiedades
4) Combinacion lineal de variogramas
hhhh N ,,,, 321 Si son modelos de variograma y N,,,, 321
son valores positivos entonces
hhn
ii i
1
Permite modelar/ajustar las estructuras imbricadas (nested structures)
Permite modelar la anisotropía zonal
Variograma Teórico-propiedades
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9
+ =
Variograma Teórico-propiedades
Modelar la anisotropía zonal
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4
Distancia
Vario
gram
a h 211 ,hh 32 h
Variograma Teórico-propiedades
MODELOS DE VARIOGRAMA
Modelos de Variograma
Modelos de variograma isotrópicos más comunes:
Modelo Efecto Pepita Puro
Modelo Esférico
Modelo Exponencial
Modelo Gaussiano
Modelo Cúbico
Modelo Seno Cardinal
Modelo Potencia
Modelo Efecto Pepita Puro
S
Distancia
Vario
gram
a
000
hsishsi
h
Este modelo representa a un fenómeno completamente aleatorio, en el cual no hay correlación espacial
No importa cuán cerca se encuentren los valores de las variables, siempre serán no correlacionados
Modelo Esférico
ahsis
ahsiah
ah
s
h
3
3
21
23
Comportamiento lineal en el origen
DistanciaVa
riogr
ama
as /5.1Pendiente igual a
Es uno de los modelos de variograma más utilizados
Rango s y sill a
Representa fenómenos continuos pero no diferenciables
Modelo Exponencial
ah
sh exp1
DistanciaVa
riogr
ama
Sill s que alcanza asintóticamente
Rango aparente igual a a
Rango experimental igual a 3a
as /3Pendiente igual a
Representa fenómenos continuos pero no diferenciables
Comportamiento lineal en el origen
Modelo Gaussiano
ah
sh 2
2
exp1
DistanciaVa
riogr
ama
Sill s que alcanza asintóticamente
Rango aparente igual a a
Rango experimental igual a a3
Comportamiento cuadrático en el origen
Representa fenómenos continuos infinitamente diferenciables (sumamente continuos)
Modelo Cúbico
ahsis
ahsiah
ah
ah
ah
s
h
7
7
5
5
3
3
2
2
75.05.375.87
Rango a y sill s
Comportamiento cuadrático en el origen
Representa fenómenos bastante continuos
Distancia
Vario
gram
a
Modelo Seno Cardinal
ah/ah
sh/
seno1
Distancia
Vario
gram
a
Sill s que alcanza asintóticamente
Rango aparente igual a a
Rango experimental igual a 3a
Comportamiento cuadrático en el origen
Se utiliza para representar fenómenos continuos con periodicidades
Modelo Potencia
phsh
Distancia
Vario
gram
a s=2.5, p=0.4
s=0.4, p=1.8
s=1.15, p=1
s se denomina factor de escala
20 p
El comportamiento en el origen depende del valor de p
Representa fenómenos no estacionarios
DE MODELOS ISOTRÓPICOS A MODELOS
ANISOTRÓPICOS
Modelo Anisotrópicos
h1 Variograma isotrópico de sill 1 y rango 1
2
2
2
2
1y
y
x
x
Rh
Rhsh Variograma anisotrópico de sill s con rango xR
en la dirección del eje X y rango yR en la dirección
del eje Y
xR
yR
X
Y Los ejes de anisotropía coinciden con los ejes de coordenadas
X
Y
Modelo Anisotrópicos
Los ejes de anisotropía NO coinciden con los ejes de coordenadas
xR
yR
X’
Y’
1) Transformar los puntos del sistema de coordenadas XY al sistema de coordenadas X’Y’
Rhh ' R= matriz de rotación
T
2) Proceder como antes para ajustar la longitud de los ejes de anisotropía
'Th = matriz para transformar las distancias
3) Evaluar el variograma isotrópico en el resultado.
TRhsh 1
Es un variograma anisotrópico en la dirección
con eje mayor igual a xR y eje menor igual a yR
VARIOGRAMA CRUZADOcomportamiento espacial en conjunto
ZY
Variograma Cruzado
Si Z, Y son funciones aleatorias estacionarias o intrínsecas, el variograma cruzado de ellas se define como :
))]()(())()([(21)( hxYxYhxZxZEhZY
))()(())()((2
1)(*ji
hxxjiZY xyxyxzxz
hNh
ji
Para su estimación se utiliza el variograma cruzado experimental
Variograma Cruzado-propiedades
1) 00 ZY
2) hh ZYZY
3) hh YZZY El variograma cruzado es una función simétrica
4) Relación con la función de covarianza cruzada
hChCCh YZZYZYZY 210)(
YZZY mhxYmxZEhC
4) Desigualdad de Hölder
Variograma Cruzado-propiedades
hhh YZZY 2
El modelo de variograma cruzado no puede ser escogido independientemente de cada uno de los variogramas individuales
Consecuencias:
El producto de cada uno de los sill de los variogramas individuales es mayor que el cuadrado del sill del variograma cruzado
YZZY SSS 2
hwhwhwh
hvhvhvhhuhuhuh
mmYZ
mmY
mmZ
2211
2211
2211
Variograma Cruzado-propiedades
4) Modelo lineal de coregionalización
0ju 0jv 02 jjj wvu
mjj ,,1, modelos de variogramas
Permite modelar en forma consistente el variograma cruzado y los variogramas individuales
VARIOGRAMA DE FUNCIONES INDICADORAS
F
Modelando el comportamiento espacial de Facies
Funciones Indicadoras
La función indicadora de la facies F se define como
nosi
FxsixF
0
1
1
Si se considera la facies F como un conjunto aleatorio entonces su función indicadora es una función aleatoria que puede ser estacionaria o no.
En lo sucesivo asumiremos que la función indicadora de F es estacionaria
2112
1 xhxEh FFF
Funciones Indicadoras
Propiedades
1) 1,0)(1 pFxPxE F
ppxF 11var
2) 5.0hF
El sill de variogramas de funciones indicadoras no puede ser mayor a 0.5
3) Relación con la función de covarianza
hCCh FFF 0
pxphxEhC FFF 11
25.0110 ppxC FF var
2121 hhhh FFF
Funciones Indicadoras
4) Desigualdad Triangular
En particular hh FF 22
Consecuencia :
Un variograma con comportamiento en el origen de la forma 1ph p
no puede ser el variograma de una función indicadora
)( FhxyFxPhF
Funciones Indicadoras
5) Rango y Anisotropías
Distancia
Vario
gram
aR1R2