5/24/2018 Curso de Relatividad General, Gravitacin y Cosmologa-Los Diferentes Tensores y Escalares de La Relatividad General

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Curso de relatividad general, gravitacin y cosmologa/Los diferentes tensores y escalares de la Relatividad General 1

Curso de relatividad general, gravitacin y

cosmologa/Los diferentes tensores y escalares de

la Relatividad General

La derivada covariante

Uno de los conceptos esenciales sobre el que gira toda la Teora de la Relatividad General es el de derivada

covariante (tambin llamada conexin afn), que fue definida por primera vez por el matemtico italiano Tullio

Levi-Civita y que puede ser considerada tanto desde una perspectiva fsica como desde otra matemtica.

Los cuerpos en cada libre (como las naves en rbita)

son sistemas inerciales en los que la derivada

covariante de su velocidad es nula ( ).Por ello, no experimentan ningn tipo de aceleracin

inercial provocada por la "fuerza gravitatoria". Sin

embargo, un observador externo, como un astrnomo

situado en la Tierra, puede observar cmo dicho cuerpo

en cada libre se aproxima a la Tierra con una

aceleracin creciente (de ah que la derivada ordinaria

de la velocidad en este caso sea diferente a cero -

-)

Desde un punto de vista fsico, la derivada ordinaria de la

velocidad es la aceleracin de un cuerpo medida por un

observador externo en reposo respecto a un campo gravitatorio

(por ejemplo, un astrnomo situado sobre la superficie terrestre).En este caso el observador se mantiene a una distancia r constante

del centro de masas, pero no as el objeto observado, que

progresivamente se va aproximando al origen del campo

gravitatorio.

Por el contrario, la derivada covariante de la velocidad

[2]) es la aceleracin medida por un observador comvil, es

decir, que est en reposo respecto al cuerpo en cada libre (por

ejemplo, el piloto de un avin en cada libre o los tripulantes deuna nave espacial con sus motores apagados).

En resumidas cuentas, la derivada ordinaria se utiliza para

computar la aceleracin ordinaria de un cuerpo, mientras que

la derivada covariante es empleada para calcular su

aceleracin inercial. Segn la mecnica galileana y newtoniana

estos dos tipos de aceleracin son idnticos, y en base a este

axioma se desarrollaron nuevos principios mecnicos como el

Principio de d'Alembert. Sin embargo, del principio de

equivalencia de Einstein se deduce que cuando un cuerpo est

sometido a un campo gravitatorio, su aceleracin ordinaria cambia, pero no su aceleracin inercial. De ah que paraEinstein fuera absolutamente necesario introducir en su teora el concepto de derivada covariante.

Desde un punto de vista estrictamente matemtico, el clculo de la derivada covariante tiene lugar a travs de un

sencillo procedimiento. Se procede en primer lugar al cmputo de la derivada parcial covariante y luego se

generaliza sta.

La derivada ordinaria se aplica exclusivamente sobre los componentes de un vector, mientras que la derivada

covariante se aplica tambin sobre las bases del espacio vectorial:

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Dice la leyenda apcrifa que fue la manzana de un

rbol la que provoc que Newton se diera cuenta que

los objetos caen y por lo tanto aceleran como

consecuencia de la gravitacin universal. Y es que los

objetos en reposo sobre la superficie terrestre

experimentan, como consecuencia de lafuerza

aparente gravitatoria, una aceleracin inercial de

(y por lo tanto la derivada covariante de

su velocidad tambin tiene ese valor[1]

). Sin embargo, dichos objetos,

puesto que estn en reposo, tienen una aceleracin

relativa nula respecto a un observador terrestre (es

decir, la derivada ordinaria de su velocidad es cero (

)

Sobre esta ecuacin procedemos a aplicar la regla del producto (o

de Leibniz),

Llegados a este punto introducimos una nueva notacin, los

smbolos de Christoffel, que pueden ser definidos como el

componente de la derivada parcial de respecto a :

. De este modo:

Realizamos un intercambio de ndices ( por ) en el ltimo

trmino del segundo miembro de la ecuacin:

Y obtenemos con ello los componentes de la derivada parcial

covariante de la velocidad, que equivalen a la expresin entreparntesis:

Generalizamos dichos componentes multiplicndolos por el

componente de la tetravelocidad ( ) y obtenemos

con ello la derivada covariante de la velocidad:

Puesto que para un observador inercial (p.e. un cuerpo en cada libre) , esta ltima ecuacin toma la

siguiente forma:

Estas frmulas reciben el nombre de ecuacin de las lneas geodsicas, y se utilizan para calcular la aceleracin

gravitatoria de cualquier cuerpo.

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Los principios de general covariancia y acoplamiento mnimo

El artculo principal de esta categora esPrincipio de acoplamiento mnimo.

En un espacio-tiempo curvo, las leyes de la fsica se modifican mediante el Principio de acoplamiento mnimo, que

supone que las ecuaciones matemticas en cuya virtud se expresan aquellas experimentan las siguientes

modificaciones:

La derivada ordinaria es sustituida por la derivada covariante.

La mtrica de Minkowski es sustituida por una formulacin general del tensor mtrico.

De este modo, la ecuacin galileana de los sistemas inerciales se transforma en virtud de dicho principio en la

ecuacin relativista de las lneas geodsicas:

Ley de conservacin de la energa:

Sin embargo, en virtud del principio de simetra de los smbolos de Christoffel, las leyes electromagnticas en

general no experimentan modificaciones debidas a la curvatura gravitatoria:

Alteracin de las leyes fsicas producida por la curvatura

Objeto o ley fsico-matemtica Espacio-tiempo llano Espacio-tiempo curvo Se produce

alteracin

por la curvatura?

Ley de conservacin

de la energa

S

Tensor electromagntico No

Ecuaciones de Maxwell No

Velocidad de la luz No

Ecuacin de un sistema inercial S

Aceleracin S

Volumen S

Ecuacin lneas geodsicas

El tensor de Riemann y la curvatura de las lneas de universo

Como es sabido la relatividad general explica los campos gravitatorios como un efecto geomtrico de la curvatura

del espacio-tiempo. Eso significa que el espacio-tiempo en el que vivimos no es plano, y por tanto el tensor de

curvatura del mismo es diferente de cero. En teora de la relatividad general la curvatura queda completamente

caracterizada por un el tensor de Riemann asociado al tensor mtrico que sirve para medir las distancias, ngulos,

superificies y volmenes. La relacin entre las componentes coordenadas del tensor de curvatura de Riemann y los

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smbolos de Christoffel directamente calculables a partir del tensor mtrico es:

Como puede verse esta expresin depende de manera no lineal tanto de los smbolos de Christoffel como de la

mtrica asociada. Esto tiene importantes consecuencias, entre otras que las ecuaciones bsicas de la relatividad

general no sean lineales y por tanto sea dificil encontrar soluciones exactas de las mismas, a diferencia de lo quesucede por ejemplo con las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagntico.

Supongamos que:

Pero:

Entonces:

Bien:

Transporte paralelo:

Regla del producto de Leibniz:

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El significado fsico del tensor de Ricci

Segn la teora de la gravitacin universal, una masa esfrica de gas reduce su volumen (como consecuencia de la

atraccin recproca de sus molculas) con una aceleracin equivalente a :

En la ilustracin se reproducen los efectos del tensor de Ricci

(concretamente su componente sobre un volumen

tridimensional esfrico: conforme aumenta el tiempo, dicho volumen

se reduce. l autor de la imagen se ha permitido la siguiente licencia:

Aunque los ejes de coordenadas representan dos dimensiones

espaciales y una temporal, el volumen de la esfera est definido por

tres dimensiones espaciales.

Es evidente, que dicha ecuacin no es compatible con

la relatividad especial, por las razones reseadas

anteriormente: 1) El parmetro , que mide la

densidad de masa, ha de ser sustituido por el tensor de

energa-tensin , que permanece invariable ante

las transformaciones de Lorentz y tiene en cuenta los

efectos gravitatorios de la energa y la presin, y no

slo los de la masa. 2) Por otro lado, segn la teora de

la Relatividad General, los efectos gravitatorios no son

causados por ningn tipo de "fuerza misteriosa" sino

por la curvatura del espacio-tiempo.

En este sentido, en un espacio-tiempo curvo, la

aceleracin del volumen viene cuantificada por un

objeto geomtrico especfico, el tensor de Ricci ,

que puede definirse como la aceleracin respecto a

del hipervolumen , normal al vector

unitario . De este modo, el componente

expresa la aceleracin temporal del volumen

tridimensional:

Los tensores de energa-momentum y de Ricci permitan expresar de manera tensorial la frmula de Poisson, y de

ah que originalmente Einstein propusiera las siguientes ecuaciones de universo:

En Relatividad General, el tensor de Ricci tiene la particularidad de representar aquellos efectos gravitatorios que

desaparecen cuando el cuerpo est en cada libre. Es decir, todos menos las fuerzas de marea, que son regidas por el

tensor de Weyl, como veremos ms abajo.

El tensor de Ricci rige, pues, la mayor parte de los procesos astrofsicos que tienen lugar a amplias escalas:

constituye una medida de la contraccin de nubes moleculares que dan lugar al nacimiento de estrellas y planetas;

cuantifica el colapso de las grandes cuerpos estelares y su conversin en enanas blancas, estrellas de neutrones y

agujeros negros; y proporciona una medida de la expansin del universo.

Del tensor de Ricci, particularmente de la forma en que aparece en los campos gravitatorios esfricos (como las

estrellas estticas),[3] se deriva la llamada Ley de equilibrio hidrosttico, que regula el equilibrio entre la presin del

fluido estelar[4] (que tiende a expandir el volumen de la estrella) y la curvatura gravitatoria (que lo contrae). Este

equilibrio se mantiene durante prcticamente toda la vida de la estrella, y slo se rompe en dos ocasiones diferentes:

1) Cuando la estrella se transforma en una gigante roja, en cuyo caso los efectos de la presin de radiacin [5]

desbordan los del tensor de Ricci. Como resultado, el volumen de la estrella se expande hasta alcanzar una nueva

situacin de equilibrio. 2) Cuando la estrella agota su combustible, desciende la presin del fluido, y la estrella, bien

se transforma en una enana blanca, en una estrella de neutrones, o bien colapsa definitivamente convirtindose en unagujero negro.

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La aceleracin del volumen producida por un campo gravitatorio newtoniano

Reinterpretacin de acuerdo con la relatividad general ---> la reduccin de volumen es causada por el tensor de

Ricci

La enorme influencia del tensor de Ricci en el desarrollo del universo: Formacin de estrellas, tensor de Ricci

como contrapeso de la presin (equilibrio hidrosttico), posible Big Crunch si y contraccin del cosmos si existe

suficiente masa en el universo.

Clculo del tensor de Ricci a partir de las ecuaciones de universo de Einstein.

En la rama de las 3-variedades se encuentra en las ecuacin de flujo de Ricci que permite demostrar la conjetura

de Poincar, entendiendo que los espacios tridimensionales son parte de las posibilidades fsicas de los

3-espacios.

Las ecuaciones de Universo de Einstein

Corriente de chorro emanando del centro de una galaxia

Einstein tuvo pronto que modificar ligeramente sus

ecuaciones de universo, pues estas no eran compatibles

con la ley de la conservacin de la energa. En efecto,

la derivada covariante del tensor de energa momentumde cualquier fluido es cero:

Sin embargo, de las identidades de Bianchi se deduce

que la derivada covariante del tensor de Ricci es

diferente a cero:

Lo que conduce al descarte de cualquier tipo de relacin de proporcionalidad entre el tensor de Ricci y el tensor de

tensin energa:

Todo esto constri a Einstein a modificar sus ecuaciones de Universo, que adquirieron su forma definitiva tras la

publicacin en 1915 del artculo "Aplicacin de la Teora de la Relatividad General al campo gravitatorio":[6]

http://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Archivo%3ARotating_Black_Hole.jpghttp://es.wikibooks.org/w/index.php?title=3-variedad

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Donde es el tensor de Ricci, el tensor mtrico, el escalar de Ricci, la constante de Einstein y

el tensor de tensin-energa.

Donde,

Las ecuaciones de campo son las siguientes:

Las mismas se pueden deducir de la accin de Einstein-Hilbert (sin constante cosmolgica):

donde R{ik}

es el tensor de curvatura de Ricci, R es el escalar de curvatura de Ricci, g{ik}

es el tensor mtrico, es la

constante cosmolgica, T{ik}

es el tensor de energa, c es la velocidad de la luz, G es la constante gravitatoria

universal y g es el determinante de la mtrica, de forma similar a lo que ocurre en la gravedad newtoniana. g{ik}

describe la mtrica de la variedad y es un tensor simtrico 4 x 4, por lo que tiene 10 componentes independientes.

Dada la libertad de eleccin de las cuatro coordenadas espaciotemporales, las ecuaciones independientes se reducen

a seis.

Esquema de la curvatura del espacio-tiempo

alrededor de una masa.

La ecuacin de campo de Einstein contiene un parmetro llamado

constante cosmolgica que, segn algunos autores, fue originalmente

introducida por Einstein para permitir un universo esttico. Este

esfuerzo no tuvo xito por dos razones: la inestabilidad del universo

resultante de tales esfuerzos tericos, y las observaciones realizadas

por Hubble una dcada despus confirman que nuestro universo es de

hecho no esttico sino en expansin. As fue abandonada, pero de

forma bastante reciente, tcnicas astronmicas encontraron que un

valor diferente de cero para es necesario para poder explicar algunas

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observaciones. Otros autores consideran que la introduccin de la constante cosmolgica por parte de Einstein tiene

que ver con su intento por resolver las paradojas de Mach.

El tensor de Weyl

Es importante notar que, puesto en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el tensor pleno de curvatura contiene

ms informacin que la curvatura de Ricci. Eso significa que las ecuaciones del de campo anteriores, con = 0, noespecifican completamente el tensor de curvatura sino una parte del mismo, el tensor de Ricci. La parte de la

curvatura no especificada por las ecuaciones de Einstein, coincide precisamente con el tensor de Weyl.

La constante cosmolgica

Vase tambin:Constante cosmolgica y Inflacin csmica

Resumen

Significado fsico de los diferentes tensores de la Relatividad general

Tensor Notacin Significado fsico

Derivada ordinaria Aceleracin medida por un observador externo en reposo

Derivada covariante Aceleracin inercial medida por un observador situado en la propia lnea de universo del cuerpo observado

Tensor mtrico Distancia (o, en su caso, intervalo) entre dos puntos (eventos) del espacio-tiempo

Tensor de Riemann Aceleracin recproca de dos lneas de universo

Tensor de Ricci Aceleracin de un volumen (3 dimensiones) o un hipervolumen (4 dimensiones)

Escalar de Ricci Aceleracin de la superficie que encierra dicho volumen o hipervolumen

Tensor de Weyl Fuerzas de marea

Referencias

[1] Escogemos un sistema de coordenadas esfrico, compuesto de tres grados de libertad: Latitud , longitud y

distancia respecto al centro . Los componentes y UNIQ-math-4-2971ab9b8b8f75ff-QINU de la aceleracin

son iguales a cero. La aceleracin gravitatoria tiene lugar exclusivamente en direccin al centro de la Tierra.[2][2] Ambas notaciones son alternativas.

[3] Ms adelante analizaremos con profundidad este tema en el captulo dedicado a la mtrica de Schwarzschild.

[4] En las estrellas de la secuencia principal, la presin viene integrada por dos elementos diferentes: La presin molecular, que es causada por la

energa cintica de los tomos e iones del fluido estelar, y que viene parametrizada por la ecuacin de Boltzmann , y la presin

de radiacin, que es aquella originada por los fotones. Ambos tipos de presin tienden a compensarse en virtud de un proceso fsico

denominadoBremsstrahlung (radiacin de freno). De este modo, los fotones, que en el ncleo del tomo son generados con niveles de energa

correspondientes al especro de los rayos gamma, salen del sol con frecuencias del espectro ultravioleta y sobre todo, del de la luz visible.

[5][5] Dichos efectos se ven incrementados por el desencadenamiento de reacciones termonucleares en todas las capas de la estrella, y no slo en su

ncleo

[6] En alemn: "Anwendung der allgemeinen Relativittstheorie auf das Gravitationsfeld"

http://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Bremsstrahlunghttp://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_de_Boltzmannhttp://es.wikibooks.org/w/index.php?title=M%C3%A9trica_de_Schwarzschildhttp://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Inflaci%C3%B3n_c%C3%B3smicahttp://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Constante_cosmol%C3%B3gicahttp://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Tensor_de_curvatura%23Descomposici%C3%B3n_del_tensor_de_curvatura%23La_curvatura_de_Weylhttp://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Curvatura_de_Riccihttp://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Tensor_de_curvaturahttp://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Curvatura_de_Riccihttp://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Espacio-tiempohttp://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Ernst_Mach

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Fuentes y contribuyentes del artculo 9

Fuentes y contribuyentes del artculoCurso de relatividad general, gravitacin y cosmologa/Los diferentes tensores y escalares de la Relatividad GeneralFuente: http://es.wikibooks.org/w/index.php?oldid=182911Contribuyentes: CommonsDelinker, Fmercury1980, Swazmo, 1 ediciones annimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesImagen:STS-107 crew in orbit.jpgFuente: http://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Archivo:STS-107_crew_in_orbit.jpg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Not known (and willlikely never be known), but as it was taken during the mission and ultimately recovered by NASA, it is in the public domain.

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Imagen:Tensor de Ricci.PNGFuente: http://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Archivo:Tensor_de_Ricci.PNG Licencia: Creative Commons Attribution 2.5 Contribuyentes: Fmercury1980

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