curso de ecuaciones diferenciales
-
Upload
isaias-corza -
Category
Documents
-
view
216 -
download
0
Transcript of curso de ecuaciones diferenciales
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
1/82
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-
geo/laplace/index.html
y Introducciny Propiedades de la Transformada de Laplacey La transformada inversa de Laplacey Teoremas de traslacin
o Funcin escalny Convolucin y transformadasy Funciones peridicasy Funcin impulso unitarioy Funcin Gammay Aplicaciones y transformada de Laplace
o Solucin de ecuaciones diferencialeso Sistemas mecnicoso Ecuaciones Integrales
y Circuitos L-R-Co Sistemas de ecuaciones diferenciales
Introduccin
En el modelo matemtico de un sistema fsico, como el de una masa sujeta a unresorte o el de un circuito elctrico en serie, el lado derecho de la ecuacin diferencial
es una funcin que representa una fuerza externa o un voltaje . Hasta ahorahemos resuelto problemas para los cuales estas funciones eran continuas.Sin embargo,
no es raro encontrarse con funciones continuas a trozos; por ejemplo, en circuitos
elctricos son muy comunes los voltajes dientes de sierra o escaln. Es difcil, pero noimposible, resolver la ecuacin diferencial que describe el circuito en este caso, pero la
transformada de Laplace1.1
es una valiosa herramienta para resolver problemas de estetipo.
Usaremos la transformada de Laplace en la solucin de ecuaciones integrales, desistemas de ecuaciones diferenciales y tambin la aplicaremos al clculo de integrales.
En el captulo anterior trabajamos con el operador derivacin , el cual es un casoparticular de funciones ms generales llamadas transformaciones lineales. Ahora
estudiaremos una nueva transformacin lineal que es un caso especial de una clase de
transformaciones lineales de especial inters, llamadas transformaciones integrales.
Para comprender en qu consisten, consideremos funciones definidas en un
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
2/82
intervalo finito o infinito y tomemos una funcin fija de variable y
parmetro . Entonces, en general una transformacin integral tiene la forma
La funcin se llama ncleo de la transformacin . Claramente es lineal, sin
importar la naturaleza de la funcin . El estudio de estas transformaciones
integrales generalizadas a conducido al anlisis de ciertas transformaciones especficasque han resultado de mucha utilidad al abordar ciertos problemas. Una de estas
transformaciones especiales se obtiene haciendo , y ,
como vemos en la siguiente definicin.
Definicin[Transformada de Laplace]
Suponga que la funcin est definida para y la integral impropia
converge para . Entonces la transformada de Laplace de existe
para y est dada por
Antes de dar alguna teora que nos facilite el trabajo, vamos a calcular la transformada
de Laplace de algunas funciones, usando esta definicin.
Ejemplo
Calcule .
Solucin
Por definicin
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
3/82
para .
Ejemplo
Calcule .
Solucin
Usando la definicin
Observacin: no resulta difcil intuir a partir de estos ejemplos la siguiente
transformada
para y . Dejamos al lector la comprobacin de esta frmula (sugerencia
use induccin matemtica).
Ejemplo
Calcule .
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
4/82
Solucin
Usando la definicin
para .
Un par de transformadas particularmente tiles son las de las funciones trigonomtricas
y , que calculamos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Calcule y .
SolucinUsando la definicin
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
5/82
Por otro lado
De donde concluimos que
para .
Y retomando la transformada de
para .
Observacin: podemos calcular la transformada usando su representacin
compleja. Como
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
6/82
tenemos que
De forma anloga usando
podemos calcular .
Ejemplo
Calcule , donde
Solucin
Por definicin
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
7/82
Propiedades de la Transformada de Laplace
Como la transformada de Laplace se define en trminos de una integral impropia quepuede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada,
incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tenertransformada; entonces, bajo qu condiciones una funciones tienen transformada de
Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunasdefiniciones.
Definicin[Funciones continuas a trozos]
Decimos que una funcin es continua a trozos si
1. est definida y es continua en todo , salvo en un nmerofinito de puntos , para .
2. Para cada los lmites
existen. Note que, solamente uno de estos lmites es pertinente si
es uno de los extremos de .
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
8/82
En general, el requisito de que estos lmites sean finitos en todos los puntos implica
que las nicas discontinuidades de son discontinuidades de salto, del tipo que
aparecen el la figura 1.2.
Figura 1.2
Intuitivamente podramos pensar que las funciones continuas a trozos son casi continua
o que no son demasiado discontinua.
Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de
Laplace es que entendemos porqu una funcin no crezca demasiado rpido.
Definicin[Funciones de orden exponencial]
Decimos que la funcin es de orden exponencial si
existen nmeros , y tales que
para
Intuitivamente esto significa que la funcin esta por debajo de una funcin
exponencial, como se muestra en la 1.3.
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
9/82
Figura 1.3
Observacin: algunas veces, para verificar que una funcin es de orden exponencial,
conviene calcular el siguiente lmite:
para algn valor de . Si es finito, entonces puede ser cualquier nmero mayor
que (y este determina ). Por otro lado, si , no es de orden exponencial.
Ejemplo
Compruebe que es de orden exponencial.
Solucin
Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de L'Hpital
para cualquier nmero positivo . Por lo tanto, si es suficientemente grande
, y as es de orden exponencial.
Ejemplo
Compruebe que la funcin es de orden exponencial para cualquier valor de
.
Solucin
Calculando el lmite
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
10/82
siempre y cuando . De donde, para grande.
Observacin: no es difcil comprobar que cualquier polinomio de grado o funcin
trigonomtrica como Sen(bt), Cos(bt), con constante, son de orden exponencial, as
como, las sumas y productos de un nmero finito de estas funciones. En general, si
y son de orden exponencial la suma y el producto son de
orden exponencial.
Ejemplo
Compruebe que la funcin no es de orden exponencial.
Solucin
Calculando el lmite tenemos que
para cualquier valor de , con lo cual la funcin no es de orden exponencial.
El siguiente resultado enuncia un resultado que parece obvio.
Teorema[Funciones acotadas]
Sea una funcin acotada, entonces es de orden
exponencial.
Demostracin
Como es acotada para todo . Entonces
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
11/82
para cualquier , con lo cual es de orden exponencial.
Observacin: como y son acotadas, son de orden exponencial.
Una vez definidos los conceptos de funcin continua a trozos y funcin de orden
exponencial ya estamos listos para enunciar una condicin necesaria para la existencia
de la transformada de Laplace.
Teorema[Existencia de la transformada]
Sea una funcin continua a trozos y de orden
exponencial, entonces la transformada de Laplace de existe. Es decir,
existe un nmero tal que existe para .
Demostracin
Por ser de orden exponencial existen nmeros no negativos , y tales que
, para . As que
La primera integral
es una integral definida, por tanto existe. Para la segunda integral note que
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
12/82
Ahora, como
siempre y cuando , tenemos que la integral
existe y con ello la transformada.
Observacin: el teorema anterior enuncia una condicin suficiente y no necesaria para
la existencia de la transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de una funcin
que no cumpla las hiptesis del teorema, pero an as tenga transformada, como lomuestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Compruebe que la transformada
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
13/82
existe, an cuando no cumple las hiptesis del teorema de existencia
anterior.
Solucin
Claramente tiene una discontinuidad infinita en , con lo cual no es
continua a trozos en el intervalo ; pero
Para calcular esta ltima integral sea
con lo cual
Ahora note que
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
14/82
Figura 1.4
Donde es el cuadrado de lado , que se muestra en la figura 1.4 Observe que si y
son las regiones que se muestran en la figura 1.4 entonces
Con lo cual, tomando el lmite
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
15/82
Y as, . Por lo tanto
El siguiente ejemplo muestra una funcin para la cual no existe la transformada de
Laplace.
EjemploCompruebe que
no existe.
Solucin
Usando la definicin
Y puesto que la integral impropia
diverge, la transformada no existe.
Observacin: la otra integral
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
16/82
es convergente para , pues
La integral
diverge, pues, por el criterio de comparacin
para toda , con lo cual ambas integrales convergen o divergen; pero
diverge.
Ahora vamos a enunciar algunos propiedades de la transformada.
Teorema [Linealidad de la transformada]
Si y existen entonces
para cualquier constante real .
Demostracin
Es una consecuencia directa de la convergencia de la suma en integrales impropias.
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
17/82
Ejemplo
Calcule .
SolucinComo
por la propiedad de linealidad
Con la idea de aplicar la transformada de Laplace a la solucin de ecuaciones
diferenciales necesitamos calcular la transformada de una derivada.
Teorema[Transformada de una derivada]
Si es continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo ,
entonces
Demostracin
Integrando por partes
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
18/82
Con un argumento similar podemos demostrar que
EjemploUse el resultado anterior para calcular
Solucin
Haciendo , tenemos que
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
19/82
y de aqu concluimos que
El siguiente resultado generaliza la transformada de una derivada.
Definicin[Transformada de una derivada]
Si son continuas a trozos y de orden exponencial en el
intervalo , entonces
El siguiente teorema trata sobre el efecto que tiene en una transformada la escalacin de
una funcin .
Teorema[Propiedad de escalacin]
Sea una funcin continua a trozos y de orden exponencial en ,
si , entonces
Demostracin
Para comprobar esta propiedad basta hacer un cambio de variable,
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
20/82
Ejemplo
Si
calcule .
Solucin
Usando la propiedad de escalamiento
La transformada inversa de Laplace
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
21/82
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacin diferencial la convertimos en una
ecuacin algebraica, la cual podemos resolver para , es decir, .
Ahora, como si pudiramos devolvernos obtendramos la solucin
que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa , para
hallar la funcin
Entonces definamos la transformada inversa.
Definicin[Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcin continua , es
decir, , entonces la transformada inversa de Laplace de
, escrita es , es decir,
Ejemplo
Calcule
Solucin
Puesto que
tenemos que
Observacin existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa,
puede no ser nica. En efecto, es posible que , siendo .
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
22/82
Para nuestro propsito esto no es tan malo como parece, pues, si y son continuas y
de orden exponencial en y , entonces ; pero, si
y son continuas y de orden exponencial en y , entonces
se puede demostrar que las funciones y son casi iguales; esto quiere decir, que
pueden diferir slo en puntos de discontinuidad.
Ejemplo
Calcule , donde esta dada por
Qu se puede concluir ?
Solucin
Usando la definicin de transformada
Pero, anteriormente hemos comprobado que
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
23/82
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada, de este modo, latransformada inversa de
no es nica.
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito.
Teorema[Comportamiento de en infinito]
Sea una funcin continua a trozos y de orden
exponencial en , entonces
Demostracin
Puesto que es continua a trozos en necesariamente es acotada en este
intervalo; o sea, para todo . De donde
y as cuando , de modo que cuando .
Observacin: el resultado anterior es vlido independientemente de que sea
continua a trozos o de orden exponencial, basta con que existe.
Ejemplo
Porqu no existe una funcin tal que ?
Solucin
Suponga que existe, entonces por el teorema anterior
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
24/82
lo cual es falso; por lo tanto no existe tal funcin.
Observacin: con un argumento similar podemos concluir que no existen una funcin
tal que , , , , es decir, estas
funciones no tienen transformada inversa. Por otro lado, una funcin racional
es la transformada de alguna funcin si el grado del numerador
es menor que la del denominador .
Los siguientes resultados son tiles en anlisis de sistemas de control automtico,
especialmente cuando se trazan grficas.
Teorema[Del valor inicial]
Si y existe y es igual a ,
entonces
Demostracin:Como
y
siempre y cuando sea continua a trozos y de orden exponencial. Tenemos que
siempre y cuando sea continua por la derecha en .
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
25/82
Ejemplo
Si , calcule .
SolucinUsando el teorema del valor inicial
Note que no fue necesario calcular .
Teorema[Del valor final]
Si y el lmite existe, entonces
Demostracin:
Anloga a la anterior.
El siguiente teorema establece la linealidad de la transformada inversa.
Teorema[Linealidad de la transformada inversa]
Sean y funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el
intervalo tales que y , entonces
Ejemplo
Calcule
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
26/82
Solucin
Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primerodebemos expandir
en fraciones parciales
ahora s
El siguiente ejemplo ilustra el proceso que vamos a usar en la solucin de ecuaciones
diferenciales mediante Laplace. Es un ejemplo que puede ser resuelto de manera ms
eficiente con las tcnicas ya estudiadas, pero el objetivo es aplicar algunas de las
propiedades enunciadas hasta ahora e introducir la tcnica de solucin de ecuaciones
diferenciales.
Ejemplo
Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial
Solucin
Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacin diferencial
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
27/82
Ahora debemos de aplicar transformada inversa para hallar
Observacin: est ecuacin diferencial puede resolverse como una ecuacin lineal con
factor integrante .
Teoremas de traslacin
No es adecuado utilizar la definicin cada vez que se quiera calcular una transformada,
por ejemplo, la integracin por partes involucrada al calcular , es
bastante tediosa. Por esta razn vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran trabajo
en el clculo de este tipo de transformadas.
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
28/82
Si conocemos que , podemos calcular la transformada de
como una traslacin, de a , como lo enuncia el siguiente teorema.
Teorema[Primer teorema de traslacin]
Si es un nmero real y existe, entonces
donde .
Forma inversa del primer teorema de traslacin:
Demostracin
La prueba es inmediata apartir de la defincin
Observacin: si consideramos a como una variable real, entonces la grfica de
es la misma de trasladada unidades sobre el eje . Si , la
grfica de se desplaza unidades a la derecha, mintras que, si , la grfica
se traslada unidades a la izquierda. Para enfatizar en la traslacin se acostumbra
escribir
donde significa que se sustituye por en .
Ejemplo
Calcule
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
29/82
Solucin
Usando el primer teorema de traslacin
Ejemplo
Use la forma inversa del primer teorema de traslacin para calcular
Solucin
Ejemplo
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
30/82
Calcule
Solucin
Para usar la forma inversa del primer teorema de traslacin debemos completar el
cuadrado en el denominador
Funcin escaln
En ingeniera es comn encontrar funciones que corresponden a estados de so no, o
bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que acta sobre un sistema
mecnico o una tensin elctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspendersedespus de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas
conviene introducir una funcin especial llamada funcin escaln unitario.
Definicin[Funcin de Heaviside]
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
31/82
La funcin escaln unitario o funcin de Heaviside1.2
se define como
Observacin: la funcin de heaviside se definio sobre el intervalo ,
pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido ms
general para .
Ejemplo
Trazar la grfica de la funcin .
Solucin
La funcin est dada por
y su grfica se muestra en la figura 1.5
Figura 1.5
Cuando la funcin de Heaviside se multilplica por una funcin , definida
para , sta funcin se desactiva en el intervalo , como muestra en siguiente
ejemplo.
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
32/82
Ejemplo
Trazar la grfica de la funcin .
Solucin
La funcin est dada por
Figura 1.6
La funcin de Heaviside puede utilizarse para expresar funciones continuas a trozos de
una manera compacta, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Use la funcin de Heaviside para reescribir la funcin
Solucin
Para reescribir la funcin basta usar la definicin de la funcin Heaveside
Observacin: la funcin
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
33/82
se escribe usando la funcin de Heaviside como
Teorema [Transformada de la funcin Heaviside]
La transformada de la funcin de Heaviside es
DemostracinUsando la definicin de transformada
En el primer teorema de traslacin nos permito calcular la transformada de una funcin
al ser multiplicada por una funcin exponencial , el segundo teorema de
traslacin nos permitir calcular la trasformada de una funcin que es multiplicada
por una funcin escaln.
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
34/82
Teorema [Segundo teorema de traslacin]
Si y , entonces
Forma inversa del segundo teorema de traslacin:
DemostracinUsando la definicin
Observacin: podemos usar el segundo teorema de traslacin para calcular la
transformada de Laplace de la funcin haciendo :
Ejemplo
Calcule
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
35/82
Solucin
Para poder usar el segundo teorema de traslacin debemos completar a
Ejemplo
Calcular , donde
Solucin:
Observe que la funcin puede reescribirse como
con lo cual
Ejemplo
Calcule
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
36/82
Solucin
Para poder usar el segundo teorema de traslacin debemos completar de forma adecuada
el trmino
Como lo muestran los ejemplos anteriores algunas veces es necesario sumar y restaralgunos trminos con la idea de poder usar el segundo teorema de traslacin. Pero existe
una forma alternativa que nos evita el tener que hacer esto.
Corolario [Forma alternativa al segundo teorema de traslacin]
Sea una funcin continua a trozos y de orden
exponencial en , entonces
Demostracin
Usando la definicin
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
37/82
EjemploCalcule
SolucinUsando la forma alternativa del segundo teorema de traslacin
Los siguientes ejemplos muestran el uso del segundo teorema de traslacin en su forma
inversa.
EjemploCalcule
Solucin
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
38/82
En este caso y
con lo cual
Ejemplo
Calcule
Solucin
Primero hallemos la descomposicin en fraciones parciales
con lo cual
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
39/82
Ejemplo
Calcule
Solucin
Como el discriminante de es negativo, no es factorizable en y
debemos completar el cuadrado.
En este punto debemos usar el primer teorema de traslacin para calcular cada una de
las transformadas inversas de la siguiente forma:
y
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
40/82
Y de aqu
Ejemplo
Calcule
Solucin
Este ejemplo combina los dos teoremas de traslacin
Teorema [Multiplicacin por .]
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
41/82
Sea una funcin continua a trozos y de orden exponencial
en , entonces
Ejemplo
Calcule
Solucin
Aplicando el teorema anterior para , tenemos que
El siguiente ejemplo muestra una combinacin del primer teorema de traslacin y el
teorema anterior.
Ejemplo
Calcule
Solucin
Primero aplicamos el teorema de multiplicacin por y luego el de traslacin
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
42/82
Ejemplo
Calcule el valor de la siguiente integral
Solucin
Por el teorema de multiplicacin por , tenemos que
De donde obtenemos que
y tomando
Existe un caso especial del teorema anterior, cuando , que es muy til en el
clculo de transformadas inversas.
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
43/82
Corolario [Multiplicacin por .]
Si , entonces
EjemploCalcule
Solucin
Si
por el corolario tenemos que
Teorema [Divisin por .]
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
44/82
Sea una funcin continua a trozos y de orden
exponencial en tal que el lmite
existe, entonces
Demostracin
Sea
entonces aplicando transformada de Laplace a ambos lados tenemos que
Integrando
es decir,
Observacin: la constante de integracin debe escogerse de forma de tal que
.
El siguiente ejemplo muestra una aplicacin de este teorema.
Ejemplo
Calcule
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
45/82
Solucin
Tenemos que
con lo cual
Ejemplo
Calcule el valor de la siguiente integral
Solucin
Si
entonces
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
46/82
De donde
y tomando el lmite cuando , tenemos que
Convolucin y transformadas
Como hemos visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir, la transformada deuna suma es la suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tiene algo
similar para el producto, la respuesta es no. En general la transformada no conmuta con
la multiplicacin ordinaria, o sea, la transformada de un producto no es el producto delas transformadas, pero podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el cual
esto es cierto.
Definicin[Convolucin]
La funcin , donde es el conjunto de funciones
continuas en el intervalo dada por
se conoce como la convolucin de y .
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
47/82
La convolucin tiene muchas de las propiedades de la multiplicacin ordinaria, como
veremos en el siguiente teorema.
Teorema[Propiedades de la convolucin]
Sean y funciones continuas en el intervalo , entonces
1. (ley conmutativa)2. (ley distributiva)3. (ley asociativa)4.
Demostracin
La demostracin de estas propiedades es muy simple. Haremos la primera de ellas y
dejamos las restantes al lector.
Observacin: sin embargo, existen algunas propiedades de la multiplicacin ordinaria
que la convolucin no tiene. Por ejemplo, no es cierto en general que ; para
ver esto, note que
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
48/82
Ejemplo
Calcule la convolucin de y .
Solucin
Usando la definicin e integracin por partes, tenemos que
Ejemplo
Calcule la convolucin de las funciones y .
Solucin
Usando la definicin e integracin por partes
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
49/82
Observacin: para calcular la integral
del ejemplo anterior, hemos usado la identidad
Otras identidades que pueden ser tiles en el clculo de integrales similares son
El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia terica y prctica,
como veremos.
Teorema[Teorema de convolucin]
Si y existen para , entonces
Observacin: La forma inversa del teorema de convolucin
es muy importante en la solucin de ecuaciones diferenciales, pues nos puede evitar el
clculo de fraciones parciales complejas.
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
50/82
Ejemplo
Calcule
SolucinUsando el teorema de convolucin tenemos que
Observacin: como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado
obtenido anteriormente
como obtuvimos en el ejemplo anterior.
Los siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolucin
para el clculo de transformadas inversas.
EjemploCalcule la siguiente transformada inversa
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
51/82
Solucin
Usando el teorema de convolucin
Observacin: en este ejemplo el uso de fraciones parciales resulta viable, pues
Los siguientes ejemplos muestran situaciones donde el uso de fraciones parciales puedeser realmente complejo, comparado con el uso del teorema de convolucin.
Ejemplo
Calcule la siguiente transformada inversa
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
52/82
Solucin
Usando el teorema de convolucin, tenemos
Observacin: en este ejemplo la expansin en fraciones parciales no es tan simple
Ejemplo
Calcule la siguiente transformada inversa
Solucin
Usando convolucin
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
53/82
El siguiente corolario es til en el clculo de la transformada de una integral.
Corolario
Tomando en el teorema de convolucin tenemos que
donde
Demostracin
Ejemplo
Calcule la siguiente transformada
Solucin
Usando el corolario anterior y el teorema de multiplicacin por , tenemos que
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
54/82
Funciones peridicas
Es muy comn, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos elcticos, la presencia
de una fuerza externa peridica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de
sierra, ondas en escaln, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.
Teorema[Transformada de una funcin peridica]
Sea una funcin continua a trozos y de orden
exponencial en el intervalo . Si es peridica, con perido ,
entonces
DemostracinUsando la definicin
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
55/82
Ejemplo
Calcule , donde es la funcin peridica diente de sierra que se muestra en
la figura 1.7.
Figura 1.7
Solucin
El perido de esta funcin es y su transformada esta dada por
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
56/82
Funcin impulso unitario
Algunos sistemas mecnicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a una
tensin elctrica en el caso de los circutitos elctricos) de gran magnitud, que solamenteacta durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga eltrica podra caer sobre
el ala vibrante de un avin; a un cuerpo sujeto a un resorte podra drsele un fuertegolpe con un martillo, una pelota (de beisbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo,
podra ser enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto
como una bat de beisbol, un bastn de golf o una raqueta de tenis. La funcin impulso
unitario puede servir como un modelo para tal fuerza.
Definicin[Impulso unitario]
La funcin dada por
donde , se conoce como la funcin impulso unitario. La grfica de la
funcin escaln para y se muestra en la figura 1.8.
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
57/82
Observacin: para valores pequeos de , se tiene que es una funcin
constante de gran magnitud que esta activa por un tiempo muy corto alrededor de .
Figura 1.8
Teorema[Area bajo la funcin impulso]La funcin impulso unitario satisface la propiedad
y de aqu su nombre.
Demostracin
En la prctica es conveniente trabajar con otro tipo de impulso llamado funcin de
Dirac1.3
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
58/82
Definicin[Funcin delta de Dirac]
La funcin delta de Dirac esta dada por
Observacin: la funcin delta de Dirac, no es una funcin, realmente es lo que seconoce como una funcin generalizada (o distribucin).
Teorema[Propiedades de la funcin delta]La funcin delta de Dirac satisface las siguientes propiedades
El siguiente teorema establece la transformada de Laplace de la funcin delta de Dirac.
Definicin[Transformada de delta]
Para
Demostracin
Para iniciar la prueba debemos escribir la funcin impulso unitario en trminos de lafuncin escaln unitario
De donde tenemos que
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
59/82
con lo cual
Observacin: a partir de es razonable concluir que
. Esto reafirma el hecho de que no es una funcin ordinaria, puesto
que se espera que cuando .
Ejemplo
Calcule
Solucin
Claramente
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
60/82
Funcin Gamma
Ahora estudiaremos una funcin conocida como la funcin gamma , la cual es de
gran importacia en anlisis y en aplicaciones. Esta funcin se define en trminos de unaintegral impropia, la cual no puede calcularse en trminos de funciones elementales.
Definicin [Funcin Gamma]
La funcin dada por
se conoce como la funcin gamma. Su grfica se muestra en la figura 1.9.
Figura 1.9
El siguiente teorema establece una de las propiedades ms importantes de la funcin
gamma.
Teorema[Recursividad de gamma]
Para toda se tiene que
Demostracin
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
61/82
Integrando por partes
Ejemplo
Calcule .
Solucin
El resultado anterior puede generalizarse, como muestra en el siguiente corolario.
Corolario[Recursividad de Gamma]
Para , y se tiene que
Observacin: de los resultados anteriores obtenemos que , por esta
razn se conoce a esta funcin como el factorial generalizado.
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
62/82
Ejemplo
Calcular los valores de , , .
SolucinUsando la propiedad recursiva, tenemos que
y Para :
y Para :
y Para :
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
63/82
De donde
Definicin[Funcin Beta]
La siguiente integral
se conoce como la funcin beta.
El siguiente teorema enuncia algunas de las propiedades de la funcin Beta.
Teorema[Propiedades de la funcin beta]
1. La funcin converge para , .2. .3. Para , se tiene que
4. Para , se tiene que
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
64/82
5. Para , se tiene que
Demostracin
1. Para demostrar que la integral convege, separemos la integral en dos partes
Ahora, observe que la primera integral convwerge si
y de igual manera, la segunda integral converge si
2. Para demostrar esta propiedad basta hacer un cambio de variable
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
65/82
3. Haciendo el cambio de variable
tenemos que
4. Haciendo el cambio de variable
tenemos que
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
66/82
5. La demostracin de este resultado es un tanto ms compleja y se sale de losobjetivos del curso, por esta razn no la haremos.
Ejemplo
Calcule el valor de la siguiente integral
Solucin
Usando los resultados del teorema anterior
Observe que cuando es muy grande es extremadamente difcil calcular , an con la
ayuda de logaritmos. Por ejemplo, la tarea de determinar el nmero de posibles formasde barajar un maso de cartas podra tomar mucho tiempo, pues involucra el calculo de
. El siguiente teorema establece que es una buena aproximacin de, cuando es muy grande.
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
67/82
Teorema[Frmula de Stirling]
Observacin: del la frmula de Stirling1.4
tenemos que
Y por ltimo el siguiente teorema expresa la relacin entre la funcin y la
transformada.
Teorema[Transformada de ]
Para , tenemos que
Demostracin
Usando la definicin de transformada y la sustitucin , tenemos que
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
68/82
Ejemplo
Calcule
Solucin
Usando el teorema anterior
Ejemplo
Calcule
SolucinUsando el primer teorema de traslacin, tenemos que
Ejemplo
Calcule donde es la funcin de Bessel de orden cero dada por la serie
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
69/82
Solucin
Aplicando transformada de Laplace
Observacin: en este ejemplo hemos usado que
para .
Aplicaciones y transformada de Laplace
Solucin de ecuaciones diferenciales
La transformada de Laplace es til para resolver ecuaciones diferenciales que
involucran funciones , peridicas, funciones discontinuas a trozos o deltas de
Dirac, como lo muestran los siguientes ejemplos.
EjemploResuelva el siguiente problema de valor inicial
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
70/82
Solucin
Tomando la transformada a ambos lados, tenemos que
Y al aplicar la transformada inversa
La grfica de la solucin se muestra en la figura 1.10
Figura 1.10
Ejemplo
Resuelva el siguiente problema de valor inicial
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
71/82
donde est dada por
Solucin
La funcin puede interpretarse como una fuerza externa que acta en un sistema
mecnico slo por un tiempo corto, siendo desactivada posteriormente. Aunque este
problema puede resolverse de la forma convencional no es conveniente.
Primero usemos la funcin de Heaviside para reescribir :
Aplicando transformada tenemos que
Al aplicar la transformada inversa obtenemos
La grfica de se muestra en la figura 1.11.
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
72/82
Figura 1.11
Ejemplo
Resolver el siguiente problema de valor inicial
Solucin
En este caso la ecuacin diferencial tiene coeficientes variables, por lo que latransformada de Laplace resulta muy til.
0
0
0
Integrando obtenemos que
De donde obtenemos que
Para determinar el valor de obsrvese que . Con lo cual la
solucin al problema est dada por .
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
73/82
Sistemas mecnicos
Ejemplo
Un peso de 16 libras suspendido de un resorte lo estira 2 pies. En el instante el
peso se hala 3 pies por debajo de la posicin de equilibrio y se suelta. Asuma una fuerza
amortiguadora de 4 veces la velocidad instantnea. En el instnte el peso recibe
un golpe seco, desde abajo, que transmite 2 unidades de momentum a la masa; adems,
en el instante se activa una fuerza externa con una magnitud de 4 unidades.
Entonces
1. Determine la ecuacin diferencial y condiciones iniciales que describen elmovimiento.
2. Encuentre la posicin del peso en cualquier instante .3. Cul es la posicin del peso en ?
Solucin
Para hallar la constante del resorte
Con lo cual el modelo matemtico es
Aplicando transformada
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
74/82
El que acompaa a la funcin delta se debe a que el golpe es desde abajo con una
intensidad de 2 unidades, adems recuerde que , pues el peso esta por debajo
de la posicin de equilibrio. Aplicando fracciones parciales
De donde obtenemos que
Y as . La grfica de se muestra en la figura 1.12
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
75/82
Figura 1.12
Ecuaciones Integrales
El teorema de convolucin es til en la solucin de otros tipos de ecuaciones en las
cuales aparecen integrales de una funciones desconocida.
Definicin[Ecuaciones integrales de Volterra]
La ecuacin
donde , son funciones conocidas, es una funcin incgnita
y , un parmetro numrico, se llama ecuacin integral lineal de Volterra
de segunda especie. La funcin se denomina ncleo de la ecuacin
de Volterra. Si la ecuacin integral toma la forma
y se llama ecuacin integral homognea de Volterra de segunda especie.
Ejemplo
Resuelva la siguiente ecuacin integral
Solucin
Aplicando la transformada a ambos lados de la ecuacin integral tenemos
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
76/82
Luego
Circuitos L-R-C
En un circuito L-R-C en serie la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las
cadas de tensin a travs de un inductor, una resistencia y un capacitor es igual a la
tensin aplicada . Sabemos que
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
77/82
y La cada de tensin a travs de un inductor es .y La cada de tensin a travs de la resistencia es .y La cada de tensin a travs de un capacitor es , pero como
con lo cual la cada de tensin a travs de un capacitor esta dada por
donde es la corriente y , y son constantes conocidas como: la inductancia, la
resistencia y la capacitancia, respectivamente.
Figura 1.13
De lo anterior obtenemos que la corriente en un circuito como el de la figura 1.13satisface la ecuacin integrodiferencial
la cual podemos resolver aplicando transformada de Laplace.
Ejemplo
Determine la corriente en un circuito L-R-C en serie para el cual L=0.1H (Henrios),
R=20 (Ohms), C= F (Faradios) y . La tensin aplicada al circuito
es la que se muestra en la figura 1.13.
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
78/82
Figura 1.14
Solucin
Puesto que la funcin se anula para , se puede escribir como
con lo cual la ecuacin diferencial que modela este circuito es
Y al aplicar la transformada a ambos lados de la ecuacin anterior, obtenemos que
de donde obtenemos que
Usando fraciones parciales tenemos que
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
79/82
y al aplicar la transformada inversa
Sistemas de ecuaciones diferenciales
El siguiente ejemplo muestra el uso de la transformada de Laplace en la solucin desistemas de ecuaciones diferenciales.
Ejemplo
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales
con las condiciones , .
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
80/82
Solucin
Si y , entonces
o agrupando
Ahora usemos la regla de Cramer para resolver el sistema anterior
De donde obtenemos que
Ejemplo
Dada la malla elctrica de la figura 1.15, determine el valor de las corrientes y , si
inicialmente valen cero.
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
81/82
Figura 1.15
Solucin
Puesto que la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma algebraica de las cadasde voltaje alrededor de cualquier malla cerrada es cero, tenemos que:
y Para la malla KLMNK
y Y para la malla JKNPJ:
De donde obtenemos el siguiente sistema:
0
Tomando transformada de Laplace y usando las condiciones iniciales,
, obtenemos que
0
-
8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales
82/82
Observe que de la primera ecuacin , de modo que la segunda ecuacin se
transforma en
Entonces
y