Ecuaciones De Euler Para El Cuerpo Rıgido.

Mecanica Analıtica.

Semestre 2015-I

Universidad Nacional Autonoma de Mexico, Ciudad Universitaria, 04510, D.F., Mexico.

Noviembre, 2014

1. Ecuaciones De Euler

Un cuerpo rıgido es un sistema idealizado de unconjunto de partıculas, en el cual las distancias entreuna partıcula y otra es siempre constante, matemati-camente puede expresarse como:

ri,j − ai,j = 0 (1)

con i 6= j.La descripcion de un cuerpo rıgido se logra me-

diante las siguientes ecuaciones:

~F =d~p

dt(2)

~N =d~L

dt(3)

Donde ~p = m~v, con ~v la velocidad del centro demasa, el momento angular puede expresarse como~L = I · ~ω, con I el tensor de inercia y ~ω la velocidadangular al rededor del origen.

Notese que si ~N , esta medida desde un sistema dereferencial inercial fijo (que por conveniencia se to-mara con el origen coincidente con el origen de losejes principales del cuerpo), la derivada temporal de~L medida desde el sistema de referencial inercial fijo,debe contener un termino medido desde el sistemade los ejes principales (sistema no inercial que ro-ta), mas la derivada temporal del momento angularmedida en el mismo sistema, es decir:

~N =

(d~L

dt

)fijo

=

(d~L′

dt

)rota

+ ~ω × ~L′ (4)

Donde L′es el momento angular medido desde el sis-

tema de referencial inercial fijo al cuerpo (eje princi-pal), en este sistema, el momento angular tiene unaexpresion simple: L

′= I · ~ω, donde I tiene la forma:

I =

I1 b 00 I2 00 0 I3

Escribiendo estas ecuaciones para cada compo-nente de ~N , se tiene:

N1 = I1ω + (I3 − I2)ω3ω2 (6)

N2 = I2ω + (I1 − I3)ω1ω3 (7)

N3 = I3ω + (I2 − I1)ω2ω2 (8)

Las ecuaciones (6), (7) y (8), son conocidas como lasecuaciones de Euler para el cuerpo rıgido.

2. Ejemplo 1:

Considerese dos masas m1 y m2 unidas por unalambre inextensible y de masa despreciable, con-sideres que el sistema rota con velocidad angular ~ω,de tal forma que el alambre siempre forma un angu-lo α con el eje de rotacion. Encontrar el momentoangular y la torca necesaria para mantener el movi-miento.

2.1. Solucion

Figura 1: Sistema de dos masas unidas por un alam-bre que rota formando un angulo α con el eje derotacion.

1

Tomese el origen de coordenadas fijo en el cuer-po (sistema compuesto por las dos masas), tal queel origen se encuentre en el eje de simetrıa, x3, justoa la mitad del alambre, ası ‖~r1‖ = ‖~r2‖ = r.

Dado que el momento angular ~L es perpendicularal eje de simetrıa, tomese el eje x2, a lo largo de ~L,de tal forma se puede escribir:

~L = L2e2 (9)

Dado α el angulo que forma en eje de simetrıa con eleje de rotacion, las componentes la velocidad angularse pueden escribir como sigue:

ω1 = 0 (10)

ω2 = ωsen(α) (11)

ω3 = ωcos(α) (12)

Mientras que los momentos de inercia principalesson:

I1 = (m1 +m2)b2 (13)

I2 = (m1 +m2)b2 (14)

I3 = 0 (15)

Utilizando las ecuaciones anteriores, se escribe el mo-mento angular como:

L1 = I1ω1 = 0 (16)

L2 = I2ω2 = b2ωsen(α)(m1 +m2) (17)

L3 = I3ω3 = 0 (18)

Hay que notar, que la velocidad angular es una cons-tante, por tanto su derivada temporal es cero, de taalforma que las ecuaciones de Euler toman la forma:

N1 = −(m1 +m2)b2ω2sen(α)cos(α) (19)

N2 = 0 (20)

N3 = 0 (21)

Por lo que la torca necesaria para mantener el mo-vimiento, esta dirigida en la direccion del eje x1.

3. Ejemplo 2:

Calcular la torca necesaria para que el disco deradio a y masa m, gire con velocidad angular cons-tante ~ω, en una direccion que forma un angulo θ conel eje vertical. Calcular la preceson al eje vertical.

Figura 2: Disco de radio a y masa m que gira con unangulo θ con respecto a la vertical.

3.1. Solucion:

Sean los ejes x, y, z los ejes principales del disco,de forma que ~ω este contenido en el plano y − z. Lavelocidad angular se puede poner como:

ω1 = 0 (22)

ω2 = ωsen(θ) (23)

ω3 = ωcos(θ) + φ (24)

Donde φ, es la precesion en torno al eje vertical.

El momento de inercia del disco respecto al eje ver-tical esta dado como:

I3 =1

2ma2 (25)

El teorema de los ejer perpendiculares dicta que paraun cuerpo solido plano, se tiene:

I3 = I1 + I2 (26)

Dado que el disco posee simetrıa en el eje x y y,entonces I1 = I1, por lo cual se tiene:

I1 = I2 =1

2I3 =

1

4ma2 (27)

Debido a que ~ω es constante, de las ecuaciones deEuler se obtiene:

N1 =1

4ma2ωsen(θ)(ωcos(θ) + φ) (28)

N2 = 0 (29)

N3 = 0 (30)

Notese que el momento angular viene dado por:

L1 = 0 (31)

L2 =1

4ma2ωsen(θ) (32)

L3 =1

2ma2(ωcos(θ) + φ) (33)

2

Dado que θ y las componentes de ~ω son constantes,las componentes de ~L sobre los ejes moviles del discotambien lo son. En el eje z, ~L varıa en el tiempodebido a la precesion respecto a este eje, por lo quese cumple que:

~N =d~L

dt= φe3 × ~L (34)

Calculando se tiene:

φe3 × ~L =

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e30 0 φL1 L2 L3

∣∣∣∣∣∣ = −φL2e1 + φL2e2

Dado que la unica componente de la torca que es no-nula es N1, al igualar se tiene la condicion que tieneque satisfacer la precesion:

1

4ma2ωsen(θ)(ωcos(θ) + φ) = −1

4ma2ωφsen(θ)

(36)La cual se reescribe como:

ωcos(θ) + φ = −φ (37)

Resolviendo para φ se tiene:

φ = −1

2ωcos(θ) (38)

Si se sustituye esta ultima ecuacion en la ecuacionpara la componente no nula de la torca, se tiene que:

N1 =1

8ma2ω2sen(θ)cos(θ) (39)

4. Trompo Simetrico

El trompo simetrico es un cuerpo para el cual secumple que I1 = I2. Tiene un movimiento de pivoteal rededor de un punto fijo O, colocado en la puntadel cuerpo como en la imagen:

Figura 3: Trompo simetrico y coordenadas.El centro de masa G se encuentra a un distancia

l del origen O sobre el eje de simetrıa. Las fuerzasexternas son las fuerzas de ligadura en O y el peso.

Para tratar este problema, se escribe el lagrangianopara el trompo como L = T − V , donde T se es-cribe de la siguiente manera en el sistema de ejesprincipales:

T =1

2I1ω

21 +

1

2I2ω

22 +

1

2I3ω

23 (40)

Las componentes de la velocidad angular ~ω, se expre-san en funcion de las componentes de los ejes prin-cipales como:

ω1 = θcos(ψ) + φsen(θ)sen(ψ) (41)

ω2 = −θsen(ψ) + φsen(θ)cos(ψ) (42)

ω3 = ψ + φcos(θ) (43)

Tomando en cuenta que I1 = I2, la energıa cineticase puede escribir como:

T =1

2I1θ

2+1

2I1φ

2sen2(θ)+1

2I3(ψ+φcos(θ))2 (44)

Por lo que:

L =1

2I1θ

2+1

2I1φ

2sen2(θ)+1

2I3(ψ+φcos(θ))2−mglcos(θ)

(45)Dado que L no depende explıcitamente de φ, ψ y t,φy ψ son ignorables, entonces se tienen tres cantidadesconservadas, por tanto tres integrales de movimien-to:

pψ = I3(ψ + φcos(θ)) (46)

pφ = I1φsen2(θ) + I3cos(θ)(ψ + φcos(θ)) (47)

E =1

2I1θ

2 +1

2I1φsen

2(θ) +1

2I3cos(θ)(ψ + φcos(θ))

+mglcos(θ)

(48)

El problema se puede resolver por el metodo de laenergıa. Si se toma u = cos(θ), se puede obtener:

u2 = f(u) = (2E−I−13 p2ψ−2mglu)1− u2

I1−(pφ − pψu

I1

)(49)

Donde f(u) es un polinomio cubico en u, y sus dosraıces entre −1 y 1 determinan la inclinacion deleje del trompo en su movimiento. A continuacionse prensentan tres casos particulares de la funcionf(u), las cuales estan determinadas por las condicio-nes iniciales y determinan el movimiento que realizael trompo.

3

Figura 4: Raıces de f(u), caso generico.En este caso, hay dos raıcaes en el intervalo [−1, 1],

y tercera es mator que 1. El eje del trompo oscila en-tre las inclinaciones por esas dos raıces.

Figura 5: Presecion uniforme.Este caso corresponde a una inclinacion constan-

te del eje del trompo, llamado presecion uniforme,caracterizado por f(u0) = 0 y f ′(u0) = 0.

Figura 6: Trompo dormido.Este caso corresponde al caso del trompo dor-

mido estable, en el cual el eje del trompo perma-nece vertical y esta caracterizado por f(1) = 0 yf ′(1) = 0.

Si se visualiza el trompo siguiendo el centro de masa,el cual se mueve sobre una esfera, se tienen tres casosposibles: El primero en el cual φ > 0, en el segundoφ = 0, se anula en el punto mas alto y en el terceroφ y cambia de signo entre las inclinaciones maximasy mınimas del eje del trompo.

Figura 7: Movimiento del centro de masa del trompo.

4.1. Ejemplo:

Un trompo con momento de inercia dados, se co-loca en movimiento con su eje vertical hacia arriba.Con su movimiento de spin s, tal que pψ = I3s. De-terminar la condicion para que el movimiento seaestable.SOLUCION:Empleando las condiciones iniciales (θ = 0)se tieneque:

s = ψ + φcos(θ) = constante (50)

pφ = I1φsen2(θ) + I3scos(θ) = I3s (51)

De tal forma se puede escribir la energıa como:

E =1

2I1θ

2 +1

2I1sen

2(θ)φ2 +mglcos(θ) +1

2I3s

2

= mgl +1

2I3s

2

(52)

Sustituyendo en la expresion para f(u) se llega aque:

f(u) =(1− u)2

I1

(2mgl(1 + u)− I23s

2

I1

)(53)

La cual tiene dos raıces repetidas u = 1, y la terceraraız esta dada como:

u3 =I23s

2

2mglI1− 1 (54)

Notese que si la tercera raız fuera menor que uno,entonces el eje del trompo se moverıa entre θ = 0 yel valor de cos(θ) = u3. Para que esto no ocurra, esdecir, que el trompo este estable, debe ocurrir queu3 > 1, por lo tanto se tiene que la condicion paraque el trompo sea estable debe ser:

I23s2

2mglI1> 2 (55)

4