Cuadro Latino y grcolatino
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El agrupamiento de las unidades experimentales en dos direcciones
(filas y columnas) y la asignación de los tratamientos al azar en las
unidades, de tal forma que en cada fila y en cada columna se encuentren
todos los tratamientos constituye un diseño cuadrado latino.
CARACTERÍSTICAS•Las unidades experimentales se distribuyen en grupos, bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra forma. •En cada fila y en cada columna, el número de unidades es igual al número de tratamientos.•Los tratamientos son asignados al azar en las unidades experimentales dentro de cada fila y dentro de cada columna.
Diseño Cuadrado Latino
•El numero de filas= al número de columnas= al número de tratamientos.
•Los análisis estadísticos T-student, Duncan, Tuckey y en pruebas de contraste se procede como el diseño completo al azar y el diseño de
bloques.
•La desviación estándar de la diferencia de promedios y la desviación estándar del promedio, están en función del cuadrado medio del error
experimental.
Formación del Cuadrado
Latino
Suponga 4 tratamientos A,B,C y D, con estos tratamientos se pueden formar 4 cuadros diferentes llamadas típicas o estándar (en la primera fila y en la primera columna se tiene la
misma distribución).
De cada cuadro se obtienen 144 formas diferentes, en total se tienen 576 cuadros diferentes.
La siguiente tabla permite relacionar el número de cuadros en función del tamaño.
n = tamaño del cuadro.
ASIGNACIÓN DE TRATAMIENTOS
os tratamientos deben asignarse empleando uno de los cuadros de los posibles, es decir si son cuatro tratamientos, escoger entre los 576 posibles.
MODELO ESTADÍSTICO
Y
X 1 2 3 4
1 A B C D
2 B C D A
3 C D A B
4 D A B C
Tanto la hipótesis nula como la alternativa, siguen siendo las mismas, a saber:
H0 : 1 = 2 =..........= a
H1 : i = j para al menos un par ij
En este diseño, tenemos ahora, o queremos estudiar, cuatro fuentes de variación, la debida al Factor X, la debida al Factor Y, la causada por el
Bloque(o Factor) Latino y la del error, por lo que nuestro modelo se puede expresar como:
Yij = La i-esima observación
= Un parámetro General para todas las observaciones, llamado Media Global
i = El efecto del factor X
j = El efecto del BloqueY
k = El efecto del bloque Latino
ij = El error experimentalContinuando con la metodología utilizada hasta aquí, reescribamos estas
fuentes de variación, en términos de sumas de cuadrados:
Sstotales = SSX + SSY + SSLatino + SSerror
EJEMPLO
Un experimentador, desea probar en un arreglo cuadrado por bloques, que efecto tienen el factor lote de materia prima y el operador que prepara Dinamita, en la
respuesta Explosividad de la misma. También desea bloquear el arreglo con la Formulaque se utiliza para preparar la dinamita, para esto considera a el bloque Formula como
su Factor o Bloque Latino. El arreglo queda como sigue (desea también probar 5
niveles): Un experimentador, desea probar en un arreglo cuadrado por bloques, que efecto tienen el factor lote de materia prima y el operador que prepara Dinamita, en la respuesta Explosividad de la misma. También desea bloquear el arreglo con la Formulaque se utiliza para preparar la dinamita, para esto considera a el bloque Formula como
su Factor o Bloque Latino. El arreglo queda como sigue (desea también probar 5 niveles):
Operador
Lote 1 2 3 4 5 Totales Promedio
1 24 20 19 24 24 111 22.2
2 17 24 30 27 36 134 26.8
3 18 38 26 27 21 130 26
4 26 31 26 23 22 128 25.6
5 22 30 20 29 31 132 26.4
Totales 107 143 121 130 134 635 Gran total
Promedio 21.4 28.6 24.2 26 26.8
A E D C B
B
C
D
E
C
C
C
D
D
E D
E
B A E
A
B A
A B
Tenemos pues, que la suma de cuadrados totales es:
SST = SSLote + SSOperador + SSFomula + SSerror
Entonces:
SSTotales = ijkj
b
i
a
k N
c
yy2
11
2
1
. . .
Lote 1 2 3 4 5 ∑ Promedio
1 24 20 19 24 24 111 22.2
2 17 24 30 27 36 134 26.8
3 18 38 26 27 21 130 26
4 26 31 26 23 22 128 25.6
5 22 30 20 29 31 132 26.4
∑ 107 143 121 130 134 635
21.4 28.6 24.2 26 26.8
Operador
Promedio
SSTotales =
SSTotales = 242 +202 +192 +242 +242 + 172 +.............+ 292 +312 -
2
635
25
SSTotales = 676
ijkj
b
i
a
k N
c yy2
11
2
1. . .
SSLote=
2
1
2i
b
Y
i
a
YN
.. ... 𝑺𝑺𝒍𝒐𝒕𝒆 =1112+1342+1302+1282+1322
5−
6352
25
Bien, para calcular la suma de cuadrados del factor latino, utilizaremos el mismo mecanismo, solo que, como este factor latino se mueve de una manera diferente, necesitamos primero calcular los totales por nivel.
Val Val2
A 143 20449
B 101 10201
C 112 12544
D 149 22201
E 130 16900
La suma de cuadrados del error, lo calculamos por diferencia:
Sserror = SSTotales - SSLote -SSOperador -SSFórmula = 676.0 - 68.0 - 150.0 - 330.0 = 128
Ahora que ya se han calculado las sumas de cuadrados para cada una de las fuentes de variación, se puede calcular la tabla ANOVA:
Fuente de variación
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Grados de Medios
Fo
Lote 68 4 17 1.59
Operador 150 4 37.5 3.52
Formula 330 4 82.5 7.73
Error 128 12 10.67
Totales 676 24 147.67
Utilizando un nivel de confianza del 95%, consultemos la F de las tablas de la distribución Fisher:
Fa, 1, 2 -= F0.05, 4, 12 = 3.26, y esta es la misma para comparar contra la F calculada
de las tres fuentes de variación, ya que estas tienen los mismos grados de libertad.
Para el lote:Como la Fo (1.59) < F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces se Acepta
Ho, el lote de material no es fuente de variación para la respuesta.
Para el Operador:Como la Fo (3.52) > F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces se Rechaza
Ho, el operador que prepara la dinamita, si influye en la explosividad de lamisma.
Para la Formula:Como la Fo (7.73) > F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces se Rechaza
Ho, la formula que se utiliza para preparar la dinamita, contribuye a laexplosividad de la misma.
Diseño Cuadrado Grecolatino
En los arreglos por bloques, se pueden analizar 4 factores, introduciendo un cuarto factor o bloque
en un diseño cuadrado latino, siguiendo las mismas reglas utilizadas para introducir un tercer factor en un diseño cuadrado de dos factores. A este cuarto
factor o bloque se le denomina componente griego, ya que se utilizan letras griegas para
identificar sus niveles, a la adición de un diseño cuadrado latino y un cuarto factor, se le llama
Diseño Cuadrado Greco-Latino.
Es un diseño con cuatro factores a k niveles
Se asume que no hay interacciones
Requiere k2 observaciones
El diseño factorial completo requiere k4
Cada nivel de un factor aparece una vez con cada nivel delos otros factores
Superposición de dos cuadrados latinos
Superposición de dos cuadrados latinos
Cada letra griega aparece una vez en cada fila, en
cada columna y una con cada letra latina
El modelo es
donde αi es el efecto fila, βj efecto columna, γk efecto De la letra latina y δl efecto de letra griega La notación yij (kl) indica que k y l dependen de ij.
Tabla ANOVA
Ejemplo
Continuemos con el ejemplo de la formulación de dinamita. El experimentador desea considerar La línea de ensamble en su diseño, ya que sospecha que estas son fuente de variación. Para hacer esto, decide
utilizar un arreglo Cuadrado Greco-Latino, el cual se muestra a continuación (Por razones prácticas, se utilizaran los mismos datos que
en el ejemplo anterior)
O perador
Lote 1 2 3 4 5 Totales Prom edio
1 24 20 19 24 24 111 22.2
2 17 24 30 27 36 134 26.8
3 18 38 26 27 21 130 26
4 26 31 26 23 22 128 25.6
5 22 30 20 29 31 132 26.4
Totales 107 143 121 130 134 635 G ran total
P rom edio 21.4 28.6 24.2 26 26.8
A EDCB
B
C
D
E
C
C
C
D
D
ED
E
BAE
A
BA
A B
Ya que son los mismos datos del ejemplo anterior, los cálculos y resultados para las sumas de cuadrados para los
componentes Lote, Operador, Fórmula y Suma Total son los mismos también:
n=25
635
16805
SSTotales = 676
SSTotales = ijkj
b
i
a
k N
c
yy2
11
2
1
. . .
68SSLote=
2
1
2i
b
Y
i
a
YN
.. ...
= 150SSOperador=
2
1
2.. ...k
a
Y
k
b
YN
Val Val2
A 143 20449
B 101 10201
C 112 12544
D 149 22201
E 130 16900
82295
SSFórmula=
2
1
2. . ...j
c
Y
k
c
YN
2
1
2. . ...j
c
Y
k
c
YN
SSFórmula= (82295/5) – (635²/25) = 330
Para calcular la suma de cuadrados del componente Griego, tendremos que obtener las sumas naturales totales por nivel:
Nivel Griego Total
Y..1. =
Y..2. =
Y..3. =
Y..4. =
Y..5. =
Nivel Griego total total²
135 18225
119 14161
122 14884
121 14641
138 19044
Total= 635 80,955
SSLinea=
330
2
1
2.. . ....k
b
Y
k
b
YN
SSLinea = (80955/5) - = 62
2
635
25
( )
La suma de cuadrados del error, se calcula nuevamente pordiferencia:
SSerror = SSTotales - SSLote -SSOperador -SSFormula - SSLinea
SSerror = 676 - 68 - 150 - 330 - 62 = 66
Una vez calculados todos los componentes de la variación por separado, se puede elaborar la tabla anova:
Fuente de
variacion
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Grados de
MediosFo
Lote 68 4 17 2,06
Operador 150 4 37,5 4,55
Formula 330 4 82,5 10,00
Linea 62 4 15,5 1,88
Error 66 8 8,25
Totales 676 24 160,75
n-1
(n-3)(n-1)
Se divide la suma de cuadrados y
los gl
Error/ grados medios
Como este es también un arreglo cuadrado (todos los factores tienen la misma cantidad de niveles), solo es necesario consultar un F de Fisher para compararse después con las calculadas por
factor y evaluar nuestra hipótesis (que es la misma analizada en el ejemplo anterior), a un 95% de nivel de confianza
Fo, 1, 2 -= F0.05, 4, 8 = 3.84,
Entonces tenemos:
Para el lote:
Como la Fo(2.06) < F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se AceptaHo, el lote de material no es fuente de variación para la respuesta.
Este es el valor de la tabla de la distribución
F. V1 = 4 y V2 = 8
Para el Operador
Como la Fo(4.55) > F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se RechazaHo, el operador es fuente de variación para la respuesta.
Para la Formula
Como la Fo(10.0) > F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces seRechaza Ho, el tipo de formula es fuente de variación para larespuesta.
Para La Línea de ensamble:
Como la Fo(1.88) < F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Acepta Ho, la línea de ensamble no es fuente de variación para la respuesta.