Cuaderno Ejercicios 4º Año Ciencias

Prof. Luis. E. Camacho

PROLOGO

Lf 03220035101806X

1

Prologo

El cuaderno de ejercicios que utilizarán los alumnos de 4º Año de Media General, refleja en forma sencilla ypráctica los

objetivos básicos del programa de Matemática .

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un instrumento de desarrollo que,

mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje dentro y fuera del aula.

Los Teques, Enero del 2005

2

Contenido

.- Vector en el plano........................................................................................................................................3,4,5,6,7,8

.- Rotaciones, sistema sexagésima, Funciones trigonométricas en el círculo trigonométrico.....................................9

.- Triángulos rectángulos, ángulos notables..............................................................................................................10

.- Razones trigonométricas.........................................................................................................................................11

.- Identidades trigonométricas........................….........................................................................................................12

.- Suma y diferencia de ángulos..................................................................................................................................13

.- Ángulos dobles y medios.......................................................................................................................…...............14

.- Simplificar Identidades trigonométricas.........................................................................................................….....15

.- Ley del seno y Ley del Coseno.......................................................................................................................…......16

.- Funciones directas e inversas.........................................................................................................................…......17

.- Sistema de coordenadas, función real.............................................................................................................….....18

.- Funciones continuas y discontinuas............................................................................................................….........19

.- Función exponencial ......................................................................................................................................….....20

.- Función Logaritmo .......................................................................................................................................…..21,22

.- Ecuaciones Exponenciales...........................................................................................................................….........23

.- Números complejos..........................................................................................................................….....24,25,26,27

.- Sucesión en R................................................................................................…………………………….....28,29,30,31

3

Vectores4) Hallar el componente de los siguientes vectores:

a = (3,7) b = (2,-4)

2) Hallar el componente de los siguientes vectores:

a = (1,-2) b = (3,-3)


a = (4,-8) b = (1,-2)


a = (3,7) b = (2,-4)

4

Vectores5) Resuelve la siguiente suma de vectores:

a = (2,4) b = (-3,-7)

6) Resuelve la siguiente suma de vectores:

a = (5,7) b = (-6,-4)

7) Aplica la Identidad conmutativa en los vectores:

a = (3,-9) b = (4,7)

8) Aplica la Identidad asociativa en los vectores:

a = (-4,8) b = (3,6) c = (-1,5)

5

Vectores9) Aplica el elemento neutro en el vector:

a = (3,6)

10) Hallar el vector opuesto en el vector:

a = (5,7)

11) Hallar la sustracción de los vectores:

a = (7,9) b = (-5,-8)

12) Hallar la sustracción de los vectores:

a = (2,-4) b = (-1,5)

6

Vectores4) Hallar el producto en el vector:

a = (-4,7) . Haler: 2 . a

14) Hallar el producto en el vector:

b = (-4,-6) . Haler : -5 . b


c = (2/3,-4) . Haler : 3 . c


d = (-5,0) . Haler : -6 . d

7

Vectores

17) Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las fórmulas de

vectores:

a . b = 32

/ a / = 6

/ b / = 7

α = x


vectores:

3) a . b = x 4) a . b = x

/ a / = 4 / a / = 9

/ b / = 7 / b / = 3

α = 45° α = 30°


vectores:

a . b = x

/ a / = 9

/ b / = 3

α = 30°

20) Con los siguientes puntos, hallar los componentes, módulos y

representación gráfica:

a(4,3) , b(-3,6) , c(2,-5)

8

Vectores

21) Con los siguientes puntos, hallar los componentes, módulos y

representación gráfica: a(3-6) , b(-4,-2) , c(4,2)

22) Hallar el modulo de los vectores siguientes:

a = ( 3/√13,2/√13

23) Hallar el modulo del vector siguiente:

a = (3,9)

24) Hallar el modulo del vector siguiente:

a = (√15,1)

9

Circulo Trigonométrico

1.- Transformar a radianes 26° 2.- Transformar a radianes 32° 3.- Transformar a radianes 45°

4) Hallar las funciones trigonométricas de

150°


45°


60°

7) Transformar a grados 0,3452 π 8) Transformar a grados 0,5678 π 9) Transformar a grados 0,1238 π

10

Triángulos Rectángulos. Ángulos Notables

4) En el triángulo rectángulo de la figura, calcular los lados

AC

y BC

B 50 cm

40° 20´ A C

2) Resuelve el siguiente triángulo:

a) B

40 cm Haler: BC y AC

38° 2’ C A

4) Resuelve el siguiente triángulo:

b) B Haler: BC y AC

36 cm

30° 15’ C A

4) Resuelve el siguiente triángulo

B allar: AB y AC

30 cm Aplica : Cotg y Csc

40° 26’ A C

11

Razones Trigonométricas4) En el siguiente triángulo hallar los valores de las seis

razones trigonométricas de los ángulos indicados en ellos:

Z4

α

5

4) En el siguiente triángulo hallar los valores de las seisrazones

trigonométricas de los ángulos indicados en ellos:

Z β √3

√5



1

α

y√7



x

α

10 12

12

Identidades Trigonométricas

1)Demostrar que :Cos2 = (1 + Sen x) . (1 – Sen x) 2) Demostrar que Cos4x – Sen4x = Cos2A 3) Demostrar que Cosx . Tgx = Sen

4) Demostrar que Senx + Cosx = 1 Cscx Secx

5) Demostrar que Tgx = Secx Senx

6) Demostrar que Tgx . Cosx . Cscx = 1

7) Demostrar que Senx . Secx = Tgx 8) Demostrar que Cscx = Cosx Tgx + Ctgx

9) Demostrar que Senx + Cotgx = Senx . Cotgx Tgx + Cscx

13

Suma y diferencia de ángulos

1) Dado SenA = 3/5 (A en el II cuadrante),

calcular Sen(30°+A)

2) Dado SenA = 3/5 y CosB = 5/6 ; Calcular

Cos(A-B), sabiendo que A y B son agudos .

3) Dado TgA = ¾ . Hallar Sen(A+B).

4) Dado CosA = 1/2 (A en el I cuadrante).Hallar : Tg(A-60°)

5) Dado SenA = 2/3 y CosB = ¾ ; Calcular

Cos(A + B), sabiendo que A y B son agudos.

6) Dado SenA = 2/4 (A en el II cuadrante),

calcular Sen(45°+ A)

14

Ángulos Dobles y Medios

1) Dadas la siguiente función, hallar susángulos dobles:Dado SenA = 4/5. CalcularTg 2A.

2) Dadas la siguiente función, hallar susángulos dobles:Dado SenA = 3/5 y CosA = ½. Hallar Sen2A.

3) Dadas la siguiente función, hallar susángulos dobles:Dado CosA = 2/3 y SenA = 2/4. Hallar Cos2A.

4) Resuelve los siguientes ejercicios:Dado SenA/2 = 1/3 . Calcular Cos A/2 yTgA/2

5) Dado TgA/2 = √3 . Calcular SenA,CosA y TgA.

6) Dado Sen2A = ½ . Calcular SenA.

15

Simplificar Expresiones Trigonométricas

1) Simplificar la expresión Cos arc sen 7/8 2) Simplificar la expresión Ctg arc cos 1/2

3) Simplificar la expresión Sen arc cos √3/2 4) Simplificar la expresión Cos arc sen √3/2

16

Ley del Seno y Coseno

1) En el triángulo se cumple:a = 10mb = 5 √2 mα B = 30°Hallar: α A

2) Resuelve aplicando la ley del Seno: a = 20 mb = 50 mα = 68° 20’Calcular αB y αC

3) Resuelve aplicando la ley del Seno: a = 34 m b = 25 m αB = 23°56’ Hallar SenA

4) Hallar el producto a . b, dónde : / a /= 4 ; / b / = 5 , dirección inclinada 60°con la horizontal y sentido ascendentehacia la derecha

5) Dado a . b = 20, dónde / a / = 5 y / b / = 8. Calcular el ángulo queforman los vectores.

6) Calcular a . b = 45°, sabiendo que c .

d = 90° ; / a / = 5 / b / = 6 ; / d / = 4

; / c / = 5

17

Ecuaciones Trigonométricas Inversas:

1) Resolver Cos x = 1/2 ; 0 < x < 90° 2) Resolver Sen x = 1/2

150° 30°

3) Resolver Cos x = √2/2 0° < x < 90° 4) Resolver Sen x = √3/2 0° < x < 90°

18

Funciones Reales

1) Representa la siguiente función real:

f(x) = 3x –1 donde x = {-2,-1,0,1,2}

x

y

2) Representa la siguiente función real:

f(x) = x2+ 3 donde x = {-2,-1,0,1,2}

x

y

19

El Dominio en Funciones Continuas y Discontinuas

1) Determinar el dominio f(x) = 2 x + 1

2) Determinar el dominio f(x) = √ x + 3

3) f(x) = 4x - 2 3x – 6

20

Función Exponencial

x

1) f(x) = 2x donde x =1,2,3,4

y

x

2) f(x) = (1/2)x donde x = 2,1,0,1

y

21

Función Logaritmo

1) 25 = 52 2) 1000 = 103 3) 27 = 33

4) Hallar lgax en x = ab2

c35) lgax en x = n3. m2. p5

m6) lgax en = x2 . y4 + √m3

m

7) lgax en x =√p . (r3 . p4)2 8) ) lgax en x = (m2 . n4) + p2. n3 9) lgax en x = {r3.p7+(s2.r6)2}

22

Función Logaritmo10) Aplica antilogaritmo

lgx = lgA - lgB

11) Aplica antilogaritmo

lgx = lg4 + lgc – 2lgb

12) Aplica antilogaritmo

lgx = 3lga + 4lgc - 5lgp 5

13) Calcular el cologaritmo del logaritmo

4,252


3,263


2,8603

16) Resolver la ecuación exponencial

5x+3 = 7x-1

17) ) Resolver la ecuación exponencial

3x-2 = 52x+1

18) ) Resolver la ecuación exponencial

2x-5 = 0,003

23

Ecuaciones Exponenciales

1) Resolver la ecuación 3x-5 = 27 2) Resolver la ecuación 5x = 125

3) Resolver la ecuación 6x = 36 4) 0,32x-8 = 0,0081

24

Números Complejos1) Representa los números complejos Z1 =(4,3) ; Z2= (-2,4) ;

Z3 = (3,-2) y

x

2) Representa los números complejos Z1 =(2,-3) ; Z2= (-1,2) ;

Z3 = (-3,-2) y

x

3) Suma de Números Complejos:

Dados Z1 = (3,4) ; Z2 = (-4,1)

4) ) Suma de Números Complejos:

Dados Z1 = (4,-4) ; Z2 = (-3,9)

25

Números Complejos

5) Resta de Números Complejos:

Dados Z1 = (4,0) ; Z2 = (-1,3)

6) Resta de Números Complejos:

Dados Z1 = (2,-4) ; Z2 = (-2,7)

7) Hallar el producto de los N° complejos Z1 = (4,2) ;

Z2 = (-3,1)

8) Hallar el producto de los N° complejos Z1 = (1,3) ;

Z2 = (-2,6)

26

Números Complejos9) División de Números Complejos:

Dados Z1 = (2,4) ; Z2 = (1,0) . Hallar Z1 : Z2

10) División de Números Complejos:

Dados Z1 = (3,-6) ; Z2 = (5,3) . Hallar Z1 : Z2

11) Números Complejos en forma binómica:

(3 + 4i) – (8 +6i) – (5 + 4i)

12) Números Complejos en forma binómica:

(7 – 6i) + (3 – 6i) + (2 – 7i)

27

Números Complejos

13)Transformación de un N° complejo a forma polar o

trigonométrica:

Dado el N° complejo Z = 3 + 3i

14) Transformación de un N° complejo a forma polar o

trigonométrica:

Dado el N° complejo Z = 4 + 2i

15) Transformación de un número complejo en formatrigonométrica a forma binómica.

Z = 1/3 Cis 150°

16) ) Transformación de un número complejo en formatrigonométrica a forma binómica.

Z = 2 Cis 300°

28

Sucesión en R:

1) Calcular la siguiente sucesión: fn = 3n – 1 2) Calcular la siguiente sucesión: fn = n + 4

3) Calcular la siguiente sucesión: fn = 3n + 2 n

4) Calcular el tercer término de una P. A de razón 5 que empieza

en 4.

29

Sucesión en R:

5) Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 7,

termina en 23 y la razón es 2.

6) Calcular la razón de una P. A que empieza en 10, termina en

25 y tiene 16 términos.

7) Calcular el quinto término de una P .G de razón 6 que empiezaen 3.

8)Calcular la razón de una P .G de seis términos que empieza en

5 termina en 56.

30

Sucesión en R:

9) Interpolar 5 medios aritméticos entre los números 4 y 25. 10) Interpolar 3 medios diferenciales entre 1/3 y -2/5.

11) Interpolar 3 medios geométricos entre 5 y 54. 12) Interpolar 7 medios proporcionales entre 2 y 18.

31

Sucesión en R:

13) Interpolar 4 medios geométricos entre 8 y 40. 14) Calcular el término central de una P .G que empieza en 4 y

termina en 12.

15) Calcular la suma de los 10 primeros términos de una P . A

que empieza en ½ y termina en 2/5.

16) Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 4 ,

termina en 100 y la suma vale 520.

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