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CONTROL I UNIDAD I CONCEPTOS BÁSICOS DE CONTROL. 1.1.-DEFINICIONES…………………………………………..……………………..3 Entrada, Salida , Planta , Sistema, Control, Sistema de Control, Linealización , Lazo Abierto ,Lazo Cerrado ,Sistema Lineal , Sistema No Lineal ,Variable Controlada , Variable Manipulada , Histeresis , Fricción , Linealización , Función de Transferencia , Diagramas a Bloques y Flujo de Señal. UNIDAD II MODELADOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS. 2.1.-ELECTRICOS……………………………….…………………………….……16 2.2.-MECANICOS: Traslación y Rotación………………………………….………17 2.3.-HIDRÁULICOS……………………………………………………….………..25 2.4.-NEUMÁTICOS…………………………………………………………………27 2.5.-FUNCION DE TRANSFERENCIA Y ANALOGICAS………………….…….29 UNIDAD III ANÁLISIS DE RESPUESTA EN EL TIEMPO. 3.1.-DEFINICIONES…………………………………………………………………32 Respuesta Transitoria, Respuesta Estacionaria, Señales de Entrada ( Impulso Unitario, Escalón Unitario, Rampa Unitaria ). 3.2.-SISTEMAS DE PRIMER ORDEN……………………………………………..37 3.3.-SISTEMAS DE SEGUNDO GRADO…………………………………………..40 3.4.-SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR…………………………………………..47 UNIDAD IV MODOS DE CONTROL 4.1.- MODOS DE CONTROL: On-Off ,On-Off con Brecha Diferenciada , P , I , D, P-I ,P-D , P-I-D…………………………………………………………….48 4.2.- SINTONIZACIÓN Y OPTIMIZACIÓN……………………………………….54

2

UNIDAD V ESTABILIDAD 5.1.-CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ…….………………57 5.2.-LUGAR DE LAS RAICES……………………………………………………..60 UNIDAD VI ANÁLISIS DE ERROR 6.1.-ERRORES ESTÁTICOS Y DINÁMICOS…….………………………………..62 6.2.-SENSIBILIDAD…………………………………………………………………63 TABLAS Transformadas de Laplace………………………………..…………………………..64 Algebra de bloques……………………………………………………….…………..66 Bibliografía Ingeniería de control moderna Katsuhiko Ogata Prentice hall 4ta edición Ing. de control analógica y digital Rina Navarro MC. Graw Hill Introducción a la Ing. de control automático Rodrigo Ávila MC Graw Hill Sistemas de Control Automático Benjamin C. kuo ed. Prentice hall.

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UNIDAD I CONCEPTOS BÁSICOS DE CONTROL. 1.1.-DEFINICIONES Introducción a los sistemas de control. El control automático ha desempeñado una función vital en el avance de la ingeniería y la ciencia debido a los avances en la teoría y la practica del control automático. Son muchas las áreas de la industria beneficiadas como por ejemplo las áreas espaciales, automotrices, médicas, etc. Ya que ya que un desempeño optimo de los sistemas dinámicos han mejorado la productividad y aligeran la carga de muchas operaciones manuales y repetitivas. Conceptos de sistemas de control. Variable controlada: Es la cantidad o condición que se mide y controla, por lo común la variable controlada es la salida del sistema. Controlar significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para corregir la desviación. Variable manipulada: Es la cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada. Sistema: Es la combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivo determinado. Planta: Es el elemento físico que se desea controlar. La planta puede ser un motor, un horno, un sistema de navegación etc. Señal de salida: Es la variable que se desea controlar (posición, velocidad, presión, Temp.) También se le llama variable controlada.

4

Unidad de control Motor V(t) E (t) Y(t)

C(t) Sensor Motor de 12 volts – 1100 R/M La variable manipulada seria el voltaje por que lo manipulamos para obtener la velocidad angular. La velocidad seria la señal de salida o variable controlada. Un tacogenerador conectado con el motor o planta , el tacogenerador seria el sensor y nos detectara la variable manipulada y poder hacer la relación por ejemplo: 0 volts = 0 R/M 6 volts = 550 R/M 12 volts = 1100 R/M Sistemas de control Sistema de control realimentado o sistema de lazo cerrado: Es un sistema que mantiene una relación preescrita entre la salida y la entrada de referencia comparándola y usando la diferencia como medio de control. Sistema de control de lazo abierto: En estos sistemas de control la señal de salida no es monitoreada para generar una señal de control. En cualquier sistema de control de lazo abierto, la salida no se compara con la entrada de referencia. Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con los sistemas en lazo abierto: Como se podrá observar en las definiciones el control de lazo cerrado nos da en nuestra planta un comportamiento automático, sin necesidad de un operador humano. En cambio, en un sistema de lazo abierto, todo el proceso de control se hace en base a un operador humano, toda operación es manual. Señal de referencia: Es el valor que se desea que alcancé la señal de salida.

K Planta

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Error: Es la diferencia entre la señal de referencia y la señal de salida real. Señal de control: Es la señal que produce el controlador para modificar la variable controlada de tal forma que se disminuye o elimine el error. Perturbación: Es una señal que tiende a afectar la salida del sistema desviándola del valor deseado. Control realimentado: Se refiere a una operación que en presencia de perturbaciones, tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia y lo continúa haciendo en base a esta diferencia. Ejemplo de lazo abierto:

Ejemplo de control de lazo cerrado:

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Diagrama a bloques Nivel deseado

Sistemas lineales Un sistema lineal se define como aquel cuyo comportamiento puede describirse con un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales ordinarios de primer orden. También se denomina lineal si se aplica el principio de superposición Principio de superposición: Este principio establece que la respuesta producida por la aplicación simultanea de 2 funciones de excitación o entradas diferentes, es la suma de 2 respuestas individuales.

Sistema de control invariante en el tiempo: Es un sistema de control de coeficientes constantes, es aquel en el que los parámetros no varían en el tiempo. La respuesta del sistema es independiente del tiempo en el que se aplica la entrada. Se refiere al controlador, debe de tener una condición la entrada con el controlador deben ser iguales esta en sincronía. Sistema de control variante en el tiempo: Es aquel en el cual los parámetros varían con el tiempo, su respuesta dependen del tiempo en el que se aplica una entrada. Sistemas dinámicos: Es aquel si su salida en el presente depende de una entrada en el pasado. Sistema estático: Es aquel si su salida en curso depende solamente de la entrada en curso.

Controlador Válvula neumática

Flotador

Nivel de agua Tanque de agua

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Sensoru(t)

y(t) c(t) e(t) r(t) K Planta

Diferencias entre sistema dinámico y sistema estático: La salida de un sistema estático permanece constante si la entrada no cambia, cambia solo cuando la entrada cambia. En el sistema dinámico la salida cambia con el tiempo cuando no esta en su estado de equilibrio. Modelo matemático de sistemas lineales. Introducción: Un modelo matemático de un sistema dinámico, se define como un conjunto de ecuaciones que presentan la dinámica del sistema. Un modelo matemático no es único para un sistema determinado; Puede representarse en muchas formas diferentes, por lo que puede tener muchos modelos matemáticos. Función de transferencia: La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo se define como: “El cociente entre la transformada de Laplace de salida (Función respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (Función de excitación) cuando las condiciones iniciales son cero”.

F.T = G(s) = ( )

( ) nsnns

ns

msmms

ms

s

s

Entrada

Salida

aaaabbbb

xy

LL

++++++++

=−

−−

−

1)1(

1)(

0

1)1(

1)(

0

)(

)(

0 ..........

A partir de la F.T, es posible representar la dinámica de un sistema mediante funciones algebraicas en “S”. Si la potencia más alta de “S” en el denominador de la función de transferencia es igual a n, el sistema se denomina de n-esimo orden. Sistema en el dominio de tiempo (ec. dif.)

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SensorU(s)

Y(s) C(s) E(s) R(s) K Planta

r(t) = señal set point ó referencia e(t) = señal error c(t) = señal de control y(t) = señal de salida u(t) = señal del sensor Sistema en el dominio de la frecuencia. (Función transferencia) Diagrama a bloques Un diagrama a bloques de un sistema, es una representacion grafica de las funciones que lleva acabo cada componente, así como también el flujo de señales. Estos diagramas muestran las relaciones existentes entre los diversos componentes. A diferencia de la representación matemática abstracta, un diagrama a bloques tiene la ventaja de indicar en forma más realista el flujo de las señales del sistema real. En diagrama a bloques se enlazan una con otra todas las variables de sistema, mediante bloques funcionales. Un bloque funcional o “bloque”, es un símbolo para representar la operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir la salida. Las funciones de transferencia de los componentes por lo general se introducen en bloques correspondientes, que se conectan mediante flechas para indicar la dirección de flujo de señal.

Bloque funcional ó “Bloque”

- Observe la punta de flecha que señala al bloque; que indica la “entrada” y la punta de flecha que se aleja del bloque representa la “salida”. Las flechas se les llama “señales”. Las ventajas de la representación mediante diagrama a bloques de un sistema estriban en que es muy fácil de formar el diagrama a bloques general de todo el sistema, con solo conectar los bloques de los componentes de acuerdo con el flujo de señales y que es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño general del sistema.

F.T G(s)

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C(s)

C(s)

Simbología:

• Bloque ó bloque funcional.

Entrada Salida (señal) (señal)

• Punto suma ó diferencia: Es un círculo con una cruz, es el símbolo que indica una operación de suma. El signo (+) ó (-) en cada punta de la flecha indica si la señal debe sumarse ó restarse. Es importante que las cantidades que se sumen o resten tengan misma direcciones o unidades.

• Punto de ramificación: Es aquel a partir del cual, la señal de un bloque va de modo concurrente a otros bloques ó punto suma.

Tipos de conexiones en bloques:

• Conexiones serie

Estos bloques se multiplican

F.T = XZ = G1(s) G2(s)

X(s) Z(s) G2(s)

Y(s)G1(s)

G1(s) G2(s) X(s) Z(s)

G(s)

b

a-b a

10

G1(s) X(s) Y(s)

G2(s)

• Conexiones paralelos:

+

+

Estos bloques se suman

Regla de transformación

Sistema original Sistema equivalente

1 Conexión en serie

2 Conexión en paralelo

3 Retroalimentación (negativo ó positivo)

4 Mover el punto de separación “después” de un bloque

5 Mover el punto de separación “antes” de un bloque

b

b

G a

G

b

b

Ga

G

aG1

b a

a

Ga b

G

Hb

b

GH1G

±a b

G1+G2 a b

G1(s)+G2(s) X Y

a G1 G2

bG1G2

a b

G1

G2

a b

11

6 Mover el comparador antes de un bloque

7 Mover el comparador después de un bloque

8 Cambiar el orden del comparador

Sistemas básicos: son 2 los importantes C(s) = E(s) G(s) E(s) = R(s)-C(s)

C(s) = E(s) G(s) E(s) = R(s)-B(s) B(s) = C(s) H(s)

B(s)

C(s) E(s) R(s) G(s)

H(s)

c

b

aa+b-c

a+b-c

b

c

a c a a+b-c

b

b

G c

b

a

G1

Ga

b

c

G

G

a

b

c G

b

ca

C(s) E(s) R(s) G(s)

12

Obtener la F.T del bloque (1)

F.T = in

outRC

s

s =)(

)(

C(s) = E(s) G(s)………1 E(s) = R(s)-C(s)………2 Sustituir la función 2 en 1 C(s) = [R(s)-C(s)] G(s) C(s) = R(s)G(s)-C(s)G(s) C(s) + C(s)G(s) = R(s)G(s) C(s) [1+G(s)] = R(s)G(s)

)1( )(

)(

)(

)(

s

s

s

s

GG

RC

+= Función de transferencia del modelo básico

Obtener, encontrar la F.T

F.T = )(

)(

s

s

RC

C(s) = E(s) G(s) ………1 E(s) = R(s)-B(s) ………2 B(s) = C(s) H(s)………3 La ec. 3 sustituir en ec. 2 E(s) = R(s) – [C(s)H(s)] Sustituir la ec. 2 en ec. 1 C(s) = [R(s)-C(s)H(s)] G(s) C(s) = R(s)G(s)-C(s)H(s)G(s)

C(s) E(s) R(s) G(s)

B(s)

C(s) E(s) R(s) G(s)

H(s)

13

C(s) + C(s)H(s)G(s) = R(s)G(s) C(s) [1+H(s)G(s)] = R(s)G(s)

]1[ )()(

)(

)(

)(

ss

s

s

s

GHG

RC

+= F.T

Reducción de diagrama a bloques. Es importante señalar que los bloques pueden conectarse en serie solo si la entrada de un bloque no se ve afectada por el siguiente bloque. Si hay efectos de carga entre los componentes es necesario combinarlos en un bloque único. Cualquier cantidad de bloques en cascada que represente componentes sin carga pueden sustituirse con un solo bloque cuya función de transferencia sea simplemente el producto de las función de transferencia individuales, un diagrama de bloques complicado que contenga muchos lazos de realimentación se simplifican mediante un reordenamiento paso a paso mediante las reglas de algebra de bloques de los diagramas a bloques. La simplificación de un diagrama a bloques mediante reordenamiento y sustituciones reduce de manera considerable la labor necesaria para el análisis matemático subsecuente. Sin embargo, debe señalarse que conforme se simplifica el diagrama a bloques, las funciones de transferencia de los bloques nuevos se vuelven más complejas debido a que se generan polos y ceros nuevos. Al simplificar un diagrama a bloques recuerde lo siguiente: 1.- El producto de las funciones de transferencia en la dirección de la trayectoria directa debe ser el mismo. 2.- El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe ser el mismo.

Aplicamos reglas de algebra DAB hacemos que se pase al otro lado.

C(s) R(s) G1

H1

G2 G3

H2

14

C(s) R(s) G1G2G3 1-H1G1G2

H2/G1

C(s) R(s) G1G2 1-H1G1G2

G3

H2/G1

C(s) R(s) G1G2

H1

G3

H2/G1

C(s) R(s) G1

H1

G2 G3

H2/G1

15

( )

( )( )( ) 322211

321

322211211

211321

211

322211

211

321

211

322

211

321

2111

3221

211

321

211

321

1

2

211

321

1111

11

1

11

1

11

1

11

1

GGHGGHGGG

GGHGGHGGHGGHGGG

GGHGGHGGH

GGHGGG

GGHGGHGGH

GGG

GGHGGGHG

GGHGGG

GGHGGG

GH

GGHGGG

+−=

+−−−

=

−+−

−=

=

−+

−=

−+

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−

Modelo básico )1( )(

)(

)(

)(

s

s

s

s

GG

RC

+=

322211

321322211

322211

321

322211

321

322211

321

)(

)(

11

1

11

1

GGHGGHGGGGGHGGH

GGHGGHGGG

GGHGGHGGG

GGHGGHGGG

RC

s

s

+−++−

+−=

+−+

+−=

( )

( )( )321322211322211

322211321

)(

)(

111

GGGGGHGGHGGHGGHGGHGGHGGG

RC

s

s

++−+−+−

=

321322211

321

)(

)(

1 GGGGGHGGHGGG

RC

s

s

++−=

C(s) R(s) G1G2G3 1-H1G1G2+H1G1G2

C(s) R(s) G(s)

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UNIDAD II MODELADOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS. Sistemas dinámicos Son aquellos sistemas físicos no estáticos y que siempre nos representa variables, por ejemplo: sistemas eléctricos – electrónicos, el movimiento de los electrones (relación voltaje – corriente); sistemas mecánicos, engranes, bandas, poleas, etc.; en los sistemas hidráulicos, movimiento de fluidos a través de un control de flujo o recipientes. En la mayoría de los sistemas de control contienen componentes tanto mecánicos como eléctricos, aunque algunos sistemas tienen elementos neumáticos e hidráulicos. Desde el punto de vista matemático, la descripción de los elementos mecánicos y eléctricos son análogos, de hecho se puede demostrar, que dado un dispositivo eléctrico normalmente existe una contraparte matemática-mecánica, análoga y viceversa. 2.1.- ELÉCTRICOS Sistema eléctrico

Obtener F.T

)()(

sIsV

i

Ecuación diferencial:

)()()( 0 tItItI Ci +=

)()()( 0 tItItI iC −=

)()()(0 tItI

dttdVC i −= ………(1)

RtVtI )()(0 = ………(2)

Ecuación Laplace:

)()()( 0 sIsIsCSV i −=

Ic Ii(t) RV(t)

I0(t) Ii(t)

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RsVsI )()(0 =

Sustituir I0(s)

RsVsIsCSV i)()()( −=

)()()( sIRsVsCSV i=+

)(1)( sIR

CSsV i=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

RCSsI

sVi 1

1)()(

2.2.- MECÁNICOS: TRASLACIÓN Y ROTACIÓN. Sistemas mecánicos Movimiento de traslación: Se define como un movimiento que toma lugar a lo largo de una línea recta, sus variables son la aceleración, desplazamiento y la velocidad, donde la segunda ley de Newton establece:

“F = m a” ó “Σ F = m a” Masa: Es la propiedad de un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de traslación, como comentario podemos decir que la masa es análoga a la inductancia en un circuito eléctrico. Si w = peso del cuerpo

gwm =

Donde g: es la aceleración de la caída libre de un cuerpo debido a la gravedad g = 9.80 m/seg2

Unidades Masa (m) Aceleración Fuerza S.I. Kilogramos (Kg.) m/s2 Newton (N)

Británicas slug pies/s2 Libra (lb-fza) Resorte lineal: Es considerado como un modelo de resorte real o como una banda o cable. Es un elemento que almacena energía potencial (es la energía que tienen los cuerpos capaces

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de realizar un trabajo mecánico debido a la posición que ocupa dentro de un campo de fuerza); es análogo al capacitor en un circuito eléctrico. El comportamiento de un resorte con deformación pequeña se aproxima a la relación:

F(t) = K y(t) Donde K = constante de resorte (rigidez)

Unidades Cte. de resorte KS.I. N/m

Británicas Lb/pies

f(t) = K y(t) Esta ecuación implica que la fuerza que actúa en el resorte directamente proporcional (deformación) del resorte.

Sistema fuerza - resorte Si el resorte es precargado con una tensión (T), la ecuación:

f(t) – T = K y(t)

K

y(t)

F(t)

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Relación Fza.-Velocidad, Fza.-desplazamiento e Impedancia para resorte masa, amortiguador traslacional.

Componente Fuerza-velocidad Fuerza-desplazamiento

Impedancia

)()()( sX

sFsZm =

Resorte

∫=t

dttVKtf0

)()( )()( tKxtf = K

Amortiguador

b = f v b = coeficiente de fricción viscosa

)()( tbVtf = dt

tdxbtf )()( = bs

B = fricción

Masa

dttdV

mtf)(

)( = 2

2 )()(dt

txdmtf = ms2

Podemos observar entonces que el resorte es análogo al capacitor, el amortiguador es análogo a la resistencia y la masa es análoga al inductor. En consecuencia sumar fuerzas escritas en términos de velocidad es análogo a sumar voltajes escritos en términos de corriente y las ecuaciones diferenciales mecánicas resultantes son análogas a las ecuaciones de malla. Si las fuerzas se escriben en términos de desplazamiento, las ecuaciones resultantes se asemejan pero no son análogas a las ecuaciones de malla. El sistema mecánico solo requiere de una ecuación diferencial, llamada ecuación del movimiento, para poder describirlo, empezaremos por su poner una dirección positiva de movimiento, por ejemplo a la derecha. Esta supuesta dirección positiva de movimiento es semejante a suponer una dirección de corriente en un circuito eléctrico. Mediante el uso de nuestra dirección supuesta de movimiento positiva, primero dibujamos un diagrama de cuerpo libre colocando en el cuerpo todas las fuerzas que actúan sobre este, ya sea en dirección de movimiento o en sentido opuesto a este, a

f(t)

x(t)

f(t)

x(t)

f(t)

x(t)

m

20

f(t)

m

K

X(t) b

f(t)

m

K

X(t) b

fm

K

b

K y b son directamente proporcionales

continuación usamos la ley de Newton para formar una ecuación diferencial, al sumar las fuerzas y hacer las sumas igual a cero, suponiendo condiciones iniciales a cero, posteriormente convertimos estas ecuaciones a Laplace para obtener la función de transferencia. Modelo mecánico masa-resorte-amortiguador

f = fuerza aplicada k = constante del resorte m = masa del cuerpo b = coeficiente del amortiguador (fricción viscosa) x = desplazamiento

• Si aplicamos la 2da derivada del desplazamiento (x)

nos da la aceleración (a). • Si aplico la 1ra derivada al desplazamiento (x) nos da

la velocidad (v). • K(x)b(v)maF ++=

Diagrama cuerpo libre Obtener la F.T. La fuerza esta en función del desplazamiento

Entrada: la fuerza aplicada F(s) Salida: el resultado del desplazamiento X(s)

)()(F.T

sFsX

=

KXb(v)maF ++=

Ecuación diferencial:

)()()()(2

tKXdt

tdxVdt

txdmtf ++=

Ecuación en Laplace

21

KX(s)bSX(s)sXmSsF ++= )()( 2

( )KbSmSsXsF ++= 2)()(

KbSmSsFsX

++= 2

1)()( Función de transferencia.

Movimiento de rotación Se define como el movimiento alrededor de un eje fijo. La ley de Newton para el movimiento de rotación establece:

ΣFuerzas = J α J = Inercia α = aceleración angular

Las otras variables que se usan generalmente para describir el movimiento de rotación son: par (T) torsión y la velocidad angular (W) así como el desplazamiento angular (θ). Inercia: la inercia (J) se considera a la propiedad de un elemento de almacenar energía cinética de movimiento de rotación. La inercia de un elemento dado, depende de la composición geométrica alrededor del eje de rotación y su densidad. Por ejemplo la inercia de un disco circular ó eje alrededor de su eje geométrico esta dado por:

J = ½ m r2 Cuando un par es aplicado a un cuerpo con inercia “J”, como se muestra en la figura:

dt

tdJtJtT )()()(2θ

α ==

Sistema par-inercia

En donde: θ(t) = Desplazamiento angular W(t) = Velocidad angular α(t) = Aceleración angular

Unidades Inercia Par-Torsión Desplazamiento Angular S.I. Kg-m2 N-m rad

θ(t) T(t)

J

22

Conversión entre movimientos de traslación y rotación. En sistemas de control de movimiento a menudo ó casi siempre es necesario convertir movimiento de rotación en movimiento de traslación. Por ejemplo, una carga (peso) se puede controlar para que se mueva a lo largo de una línea recta mediante un motor giratorio junto con un tornillo sin fin.

2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

πL

gWJ

W = Peso del cuerpo L = Distancia lineal que viaja el peso por las revoluciones/min. g = Aceleración de la gravedad

Sistema de control de movimiento rotatorio a lineal (tornillo sin fin) Sistema de control cremallera – piñón

22 rg

WmrJ ==

Trenes de engranes, palancas mecánicas, bandas Un tren de engrane, una palanca o una banda sobre una polea son dispositivos mecánicos que transmiten energía desde una parte del sistema a otro en forma tal que se alteran la fuerza, el par torsión, la velocidad y el desplazamiento. Estos dispositivos considerados de acoplamiento son empleados para lograr la máxima transferencia de potencia.

Engrane recto

X(t) T(t) θ(t)

Motor W

Tornillo sin fin

r

X(t)

T(t)

θ(t)

W

Engrane recto ó cremallera

Piñón

Motor de manejo

T1θ1

N2

N1

T2θ2

23

La unión de engrane-engrane produce más potencia, que un mecanismo de una polea a un engrane. En este tren de engranes se presentan 2 engranes acoplados en este caso la fricción y la inercia son despreciables. Las relaciones entre los pares T1 y T2, los desplazamientos angulares θ1 y θ2 así como los números de dientes N1 y N2, se obtiene los siguiente: 1.- El numero de dientes sobre la superficie de los engranes es proporcional a los r1 y r2 delos engranes, esto es:

R1N2 = R2N1 2.- La distancia sobre la superficie que viaja cada engrane es la misma, por tanto:

θ1r2 = θ2r1

3.- El trabajo realizado de un engrane es igual al que realiza otro ya que se supone no hay perdidas.

T1θ1 = T2θ1 En la practica los engranes, trenes, inercia y fricción entre los dientes de loe engranes acoplados que no se pueden despreciar. En la práctica no se desprecia la fricción y temperatura. Bandas y poleas Las bandas y poleas sirven para el mismo propósito que el tren de engranes, excepto que permiten transferencia de energía sobre una distancia mayor sin utilizar un numero excesivo de engranes.

Los mecanismos son piezas cilíndricas de material sólido con ranuras simétricas a su alrededor. Los engranajes transmiten un movimiento giratorio de un eje a otro. Engranaje recto: Se emplean para conectar árboles cuyos ejes son paralelos.

r1

T1θ1 T2θ2

r2

24

Funciones de transferencia en sistema mecánico rotacional Los sistemas mecánicos rotacionales se manejan en la misma forma que los sistemas mecánicos traslacionales, excepto que un par sustituye a la fuerza y un desplazamiento angular sustituye al desplazamiento lineal. Los componentes mecánicos para los sistemas rotacionales son los mismos que para los sistemas traslacionales, salvo que los componentes experimentan rotación en lugar de traslación.

Componentes Par-velocidad angular

Par-desplazamiento angular

Impedancia Zm=T(s)/θ(s)

Resorte

∫= dttWKtT )()( )()( tKtT θ= K

Amortiguador

)()( tDWtT = dt

tdDtT )()( θ= Ds

Inercia

dttdWJtT )()( =

dttdJtT )()(

2θ= Js2

Unidades del sistema mecánico rotacional T(t) = N-m (Newton – metros) θ(t) = Desplazamiento angular rad (radianes) W(t) = Velocidad angular (rad/seg) K = Constante del resorte (N m/rad) D = Coeficiente del amortiguador rotacional (N m s/rad) I = Inercia (momento de) (Kg-m2)

J

T(t) θ(t)

θ(t) T(t)

θ(t) T(t)

K

25

2.3.- HIDRÁULICOS Sistema dinámico hidráulico (nivel de líquido) Flujo laminar: Es cuando las capas adyacentes del fluido viscoso fluyen en forma suave una sobre otra y permanece una línea de corriente de flujo estable. Flujo turbulento: Es cuando cambia el flujo laminar a un movimiento irregular y aleatoria del fluido. Sistema hidráulico

q = Flujo h = Nivel de liquido o altura C = Capacidad del tanque R = Válvula o resistencia al flujo

Hidráulico Hidráulico

q = Flujo h = Nivel C = Capacidad R = Válvula

Sistema hidráulico

Obtener la F.T

)()(

sQsH

i

Analogía

dttdvCtic )()( =

h q R

q0(τ)

R

h

qi(τ)

C

R

q0(τ) h

qi(τ)

C

26

Ecuación diferencial:

ττττ

ddhCqqi

)()()( 0 =− ………(1)

Rhq )()(0

ττ = ………(2)

Ecuación Laplace:

)()()( 0 sCSHsQsQi =−

RsHQ )()(0 =τ

Sustituir Q0(s)

)()()( sCSHR

sHsQi =−

RsHsCSHsQi)()()( +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

RCSsHsQi

1)()(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

11

1

11

)()(

RSC

sQsH

i

27

2.4.- NEUMÁTICOS

28

29

f(t)

m

K

V(t)

+

+

2.5.- FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y ANALOGÍAS. Analogía de sistema eléctrico-mecánico. Como hemos visto ya, los sistemas mecánicos pueden representarse por circuitos eléctricos equivalentes. Existe similitud en las leyes de Kirchoff para sistemas eléctricos y las ecuaciones de movimiento de los sistemas mecánicos. Veamos el análisis comparativo de un circuito eléctrico analizado en malla, que nos da un circuito análogo-serie.

Analogía Mecánica Eléctrica

(m) Masa (L) Inductor (K) Resorte (C) Capacitor (b) Amortiguador (R) Resistencia

Sistema mecánico

La fuerza esta en función de la velocidad.

Obtener la F.T

)()(

sFsV

Ecuación diferencial:

)()()()( tbVdt

tdVmtVKtf ++= ∫

Ecuación en Laplace

bV(s)smSVS

V(s)KsF ++= )()(

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++= bmS

SKsVsF )()(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=bmS

SKsF

sV 1)()(

30

f(t)

m

K

X(t) b

Sistema eléctrico

El voltaje en función de la corriente

Obtener la F.T

)()(

tEsI

Ecuación diferencial:

)()()(1)( tRidt

tdiLdttiC

te ++= ∫

Ecuación en Laplace

RI(s)sSLISCI(s)sE ++= )()(

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++= RSL

SCsIsE 1)()(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=RSL

SCsEsI

11

)()(

Sistema mecánico.

La fuerza en función del desplazamiento.

Obtener la F.T

)()(

sFsX

Ecuación diferencial:

dttdXb

dttXdmtKXtf )()()()(

2

++=

C

RL

e(t) i(t)

31

Ecuación Laplace

bSX(s)sXmSKX(s)sF ++= )()( 2

[ ]bSmSKsXsF ++= 2)()(

bSmSKsFsX

++= 2

1)()(

Sistema eléctrico

El voltaje en función de la carga.

Obtener la F.T

)()(

tEsQ

Ecuación diferencial:

dttqdL

dttdqRtq

Cte )()()(1)(

2

++=

Ecuación en Laplace

Q(s)LSsRSQsCQsE 2)()()( ++=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++= 21)()( LSRSC

sQsE

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=21

1)()(

LSRSC

sEsQ

En los movimientos mecánicos el número de ecuaciones de movimiento necesarias, es igual al número de movimientos linealmente independientes. La independencia lineal implica que en un punto de movimiento de un sistema todavía se pueda mover si todos los otros puntos de movimiento se mantienen inmóviles. Otro nombre para el número de movimientos linealmente independiente es el número de grados de libertad. Este análisis no implica que estos movimientos no están acoplados entre si; en general lo están.

C

RL

e(t) q(t) q(t)

q(t)

32

UNIDAD III ANÁLISIS DE RESPUESTA EN EL TIEMPO. 3.1.- ANALISIS A LA RESPUESTA TRANSITORIA. En esta unidad nos enfocaremos a la respuesta de los sistemas debido a una señal de entra conocida la cual puede ser:

f(t) F(t)

Impulso δ(t) 1

Escalón unitario µ(t) ? S1

Rampa t 21S

Exponencial e-at aS +

1

En la unidad anterior cómo se recordara se llego a la F.T por diferentes métodos (alg bloques, grafico de flujo) con esto pudimos llegar a la F.T de los sistemas físicos sin importar que voltaje de entrada tenia dicho sistema, ahora nuestro sistema tendrá un voltaje de entrada conocido aplicado, por ejemplo:

110

+=

RSCVV

i

t

RV0

Vi

33

Vamos a dejar al operador “S” solo, para eso dividimos numerador y denominador entre RC.

F.T1

1

1

1

1

1

110 =

+=

+=

+=

÷÷

+=

RCS

RC

RCRCRCS

RC

RCRCS

RCRCRC

RSCVV

i

Si aplicamos un S

tVi1)( = = µ

despejamos V0 = Vi [F.T]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

RCSS

RC

RCS

RCS

V1

1

1

11

0

Pero antes, veamos la definición de la respuesta transitoria. Para la mayoría de los sistemas de control, la evaluación final del desempeño del sistema se basa en la respuesta al tiempo.

Respuesta transitoria

Es la parte de la respuesta que se hace cero cuando el tiempo tiende a infinito

Respuesta en el tiempo del sistema de control Respuesta en estado

estable

Es la parte de la respuesta total que permanece después de que la respuesta transitoria se ha desvanecido.

• Todos los sistemas de control presentan un fenómeno transitorio antes de alcanzar la

respuesta de estado estable. • La respuesta transitoria es importante ya que es una parte significativa del

comportamiento dinámico del sistema y la desviación entre la respuesta de salida y la entrada se debe controlar antes de alcanzar el estado estable.

• La respuesta de estado estable es importante, ya que indica en donde termina la

salida cuando el tiempo se hace grande. • Error de estado estable: si la salida no coincide exactamente con la referencia

deseada, se dice que el sistema tiene un error de estado estable.

34

(t) = yt(t) + yss(t) Respuesta Estado Transitoria estable Pregunta: ¿Cuál es el propósito de un sistema control en el dominio del tiempo? Respuesta: Es llegar lo antes posible a la respuesta de estado estable lo más rápido y reducir la respuesta transitoria. Repaso de matemáticas transformada de Laplace Fracc. Parciales - Polos distintos - Polos múltiples - Polos complejos conjugados Polos distintos

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) =

+++++

=++

+++=

++

+=

+++

=−

212

2112

21213)(1

SSBBSAAS

SSSBSA

SB

SA

SSSsLf

[ ] [ ]

( )( )212++

+++=

SSBABAS

Comparamos A + B =1 2A+ B =3 Sacar valor de A 2A + B = 3 A + B = 1 A + 0 = 2 A = 2 Sacar valor de B A + B = 1

yss(t)

Respuesta transitoria

Estado estable

35

2 + B = 1 B = 1 - 2 B = -1

21

12

21

12

)(1

+−

+=

+−

++

=−

SSSSL sf

21

12 11

)(1

+−

+= −−−

SL

SLL sf

Comparamos en la tabla

21

12 11

)(1

+−

+= −−−

SL

SLL sf

tt eetf 22)( −− −=

Polos múltiples

( ) ( )( )[ ] [ ]

( ) =−

+−+−=

−++=

−−+

=−

111

1122

2

2

22

2

)(1

SSCSSBSSA

SC

SB

SA

SSSSL sf

( )( ) ( )

( )11 2

2

2

22

+−−++=

++−+−

SSBABSCAS

SSCSBBSASAS

A + C = 1 B – A = 2 -B = -2 B = 2 B – A = 2 2 – A = 2 -A = 2 – 2 A = 0 A + C = 1 C = 1

( )1120

2)(1

−++=−

SSSL sf

( ) ( )1112

1120 1

211

211

)(1

−+=

−++= −−−−−−

SL

SL

SL

SL

SLL sf

Tabla

36

( )1112 1

21

)(1

−−= −−−

SL

SLL sf

tettf += 2)(

Polos complejos conjugados Lo identificamos con un S2 multiplicando en los polos.

( ) ( )443

424)( 22

2

22

22

++

=+

++=

SSS

SSSSsF

( )( )[ ] [ ] [ ]

( ) =+

+++++=++++=

++=−

444

4443)( 22

222

2222

21

SSSDCSSBSSA

SDCS

SB

SA

SSSsLf

( )[ ] [ ]

( )444

444

22

23

22

2223

++++++

=+

++−+−SS

BASDBSCASSS

DSCSBBSASAS

A + C = 0 B – D = 3 4A = 0 4B = 4 B = 1 B + D = 3 1 + D = 3 D = 3 – 1 = 2 4A = 0 A = 0 C = 0

( )2221

221

21

211

)(1

221

421

42010

++=

++=

++

++= −−−−−−

SSL

SSL

SS

SL

SLL sf

Tabla

( )221

21

)(1

221

++= −−−

SL

SLL sf

tsenttf 2)( +=

37

3.2.- RESPUESTA TRANSITORIA DE 1er. Orden

Obtener la R.T. V0(s) = Vi(s) [F.T]

RCS

RCVV

si

s

1

1

F.T)(

)(0

+==

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

RCSS

RC

RCS

RCS

V1

1

1

11

220

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=−

RCSS

RCsLV1

1

)(012

Polo múltiple por lo tanto tendrá 3 constantes.

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

++=−

RCSS

CSRC

SBRC

SSA

RCS

CSB

SAsLV

1

11

1)(02

2

21

( )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

++++

RCSS

RCBB

RCASCAS

RCSS

CSRC

BBSRC

ASAS

1

11

1

11

2

2

2

22

A + C = 0

0BRCA

=+

RC1

RCB

=

B = 1

0BRCA

=+

01RCA

=+

A = -RC

RV0(s)

Vi(s)= 21S

C

38

A + C = 0 -RC + C = 1 C = RC

RCS

LRCS

LS

LRC

RCS

RCSS

RCLV s 1111

11 1

211

2)(0

1

+++−=

+++

−= −−−−

Tabla

RCt

t RCetRCV−

++−=)(0 R.T Respuesta transitoria de primer orden con Vi(s) de rampa.

Obtener la R.T. V0(s) = Vi(s) [F.T]

RCS

RC1

1

F.T+

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

RCSS

RC

RCS

RCS

V s 1

1

1

11

)(0

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=−

RCSS

RCsLV1

1

)(01 Polos distintos.

( )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

++=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

++=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

+=−

RCSS

RCABAS

RCSS

BSRCAAS

RCSS

BSRC

SA

RCS

BSAsLV

111

1

1)(01

A + B = 0

RC1

RCA

=

RC1

RCA

=

A = 1

RV0(s)

Vi(s)= S1

C

39

A + B = 0 1 + B = 0 B = -1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−= −−−

RCS

LS

L

RCSS

LV s 111

111 11

)(01

Tablas

RCt

t eV−

−= 1)(0

Obtener R.T V0(s) = Vi(s) [F.T]

RCS

RC1

1

F.T+

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

RCS

RCV s 1

1

1)(0

RCS

LRC

RCS

RCLV s 1111

1

1

)(01

+−=

+=−

Tablas

RCt

t eRC

V−

=1

)(0

RV0(s)

Vi(s)=1

C

40

3.3.- SISTEMAS DE 2do. ORDEN

Forma general (formula base) para

sistemas de 2do. Orden

22

2

2)()(

WnLWnSSWn

sRsC

++=

Wn = frecuencia Natural (rad/seg) L = coeficiente de amortiguamiento - Casos de la respuesta transitoria de 2do. orden. 1.- Subamortiguamiento

0 < L < 1 Respuesta transitoria oscilatoria 2.- Amortiguamiento critico (críticamente)

L = 1 Respuesta inicia oscilación 3.- Sobreamortiguamiento

L > 1 Respuesta nunca oscila 4.- No amortiguamiento

L = 0 Respuesta oscilatoria inestable

L coeficiente de amortiguamiento relativo

Polos Respuesta escalón

L = 0

No amortiguado

Plano S

Jw

-Jw

C(t)

t

V0 SL

SC1

R

Vi

41

0 < L < 1

Subamortiguado

L = 1

Críticamente amortiguado

L > 1

Sobreamortiguamiento

Nota: cuando los polos se encuentran situados en el plano del lado izquierdo este sistema se considera “estable” y va a ser “inestable” cuando los polos estén a la derecha.

( )( )112)()(

22

2

22

2

−−+−++=

++=

LWnLWnSLWnLWnSWn

WnLWnSSWn

sRsC

Wn = Frecuencia Natural Wd = Frecuencia Natural amortiguado

baab = ( ) ( ) ( )2222 1J1111 LLLL −=−−=−−=− & >>>>>?

a b

21 LWnWd −=

21 L

WnWd

−=

-LWn

Jw

-Jw

21 LJwn −

21 LJWn −−

12 −+− LWnLWn

Jw

-Jw

Plano S

12 −−− LWnLWn

Jw

-Jw

-LWn

C(t)

t

C(t)

t

C(t)

t

42

( )( )22

2

11)()(

LWnLWnSLWnLWnSWn

sRsC

−−+−++=

( )( )WdLWnSWdLWnSWn

sRsC

JJ)()( 2

&& −+++= Forma general 2do orden para la condición

0 < L < 1 Encontrar la respuesta transitoria (C(s)) de 2do de un sistema con una R(s) = 1/S para una condición 0 < L < 1

( )( )WdLWnSWdLWnSWn

sRsC

JJ)()( 2

&& −+++=

( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡−+++

=WdLWnSWdLWnS

WnS

sCJJ

1)(2

&&

( )( )[ ]WdLWnSWdLWnSSWnsC

JJ)(

2

&& −+++= (a+b) (a-b) = a2-b2

a b a b

( ) ( )[ ]22

2

J)(

WdLWnSSWnsC

&−+= sacamos a J ( ) 1)1(J 22 =−−−=− &

( ) ( )[ ] ( ) ( )2222

2

)(WdLWnS

CBSSA

WdLWnSSWnsC

++++=

−+=

222 2 WnLSLWnS ++

( ) ( )[ ] [ ]( ) ( )[ ]

[ ] [ ]( ) ( )[ ]22

2222

22

22 2WdLWnSS

CBSSWdWnLSLWnSAWdLWnSS

CBSSWdLWnSA++

+++++=++

++++=

( ) ( )[ ]22

22222 2WdLWnSS

CSBSAWdWnALSLWnAAS++

+++++=

( ) ( )

( ) ( )[ ]22

2222 2WdLWnSS

AWdWnALCLWnASBAS++

+++++=

[ ] [ ] [ ]

( ) ( )[ ]22

2222 2WdLWnSS

WdWnLACLWnASBAS++

+++++=

43

Comparación A + B = 0 2ALWn + C = 0 A[L2Wn2+Wd2] = Wn2 Valor de “A” A[L2Wn2+Wd2] = Wn2

2

2

2

22

2

2

2

2

222

2

1

1

WnWd

WnWnL

WnWn

Wn

WnWdWnL

Wn A+

=⋅+

=

2

22

1

WnWdL

A+

=

Si 21 LWnWd −=

21 LWnWd

−=

22

2

1 LWnWd −=

111

11

22 =∴=−+

= ALL

A

Valor de “B” A + B = 0 1 + B = 0 B = -1 Valor de “C” 2ALWn + C = 0 2LWn + C = 0 C = -2ALWn Sustitución de A, B y C

( )( ) ( ) ( ) ( )2222

1 211211)(WdLWnS

LWnSSWdLWnS

LWnSS

sLC++

+−=++

−+−+=−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+++

+−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

++−=−

2222221 11)(

WdLWnSLWn

WdLWnSLWnS

SWdLWnSLWnLWnS

SsLC

( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+++

+−=−

22221 1)(

WdLWnSLWn

WdWd

WdLWnSLWnS

SsLC

44

( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+++

+−=−

22221 1)(

WdLWnSWd

WdLWn

WdLWnSLWnS

SsLC

Tabla

[ ]senWdteWdLWnWdtetC LWntLWnt −− −−= cos1)(

45

Encuentre C(t) para un sistema de 2do orden con una R(s) =1/S cuya condición es L = 0

22

2

22

2

2)()(

WnSWn

WnLWnSSWn

sRsC

+=

++=

0

[ ]22

2

22

21)(WnSS

WnWnS

WnS

sC+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=

[ ]22

21 )(

WnSSWnsLC

+=−

Tabla

WnttC cos1)( −= Encuentre C(t) para un sistema de 2do orden con una R(s) =1/S cuya condición es L = 1

( )( )112)()(

22

2

22

2

−−+−++=

++=

LWnLWnSLWnLWnSWn

WnLWnSSWn

sRsC

1 0 1 1 1

( )( ) ( )2

22

)()(

WnSWn

WnSWnSWn

sRsC

+=

++=

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

= 2

21)(WnS

WnS

sC

( ) ( )[ ] ( ) ( )2222

21 )(

WdLWnSCBS

SA

WdLWnSSWnsLC

++++=

−+=−

222 2 WnLSLWnS ++

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )2

222

2

2 2WnSS

CSBSWnBSAWnASWnASWnSS

CSWnSSBWnSA+

+++++=+

++++=

[ ] [ ]

( )2

22 2WnSS

AWnCBWnAWnSBAS+

+++++=

Comparación

46

A + B = 0 2AWn + BWn + C = 0 AWn2 = Wn2 Valor de “A”

12

2

==WnWn A

Valor de “B” A + B = 0 1 + B = 0 B = -1 Valor de “C” 2AWn + BWn + C = 0 2Wn - Wn + C = 0 C = - Wn Sustitución de A, B y C

( ) ( )21 111)(

WnSWn

WnSSsLC

+−

+−=−

Tabla

[ ]WntWnt teWnetC −− −−=1)(

47

3.4.- SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La respuesta del orden superior, es la suma de las respuestas de 1er y 2do orden

48

UNIDAD IV MODOS DE CONTROL 4.1 Acciones básicas de control De acuerdo con la acción de control se pueden clasificar los controles automáticos industriales en: 1.- Control de 2 posiciones OFF-ON (si ó no), (todo ó nada) 2.- Control proporcional. 3.- Control integral. 4.- Control proporcional e integral. 5.- Control proporcional-derivativo. 6.- Control proporcional-integral-derivativo La mayoría de los controles automáticos industriales usan fuentes de potencia como la electricidad, el fluido a presión que puede ser aceite o aire. Los controles pueden clasificarse dependiendo del tipo de energía que utilicen, por ejemplo: controles neumáticos (a base de aire), controles hidráulicos (a base de aceites) y controles electrónicos. Elemento de control automático industrial Un control automático debe detectar la señal de error actuante, que habitualmente se encuentra a un nivel de potencia muy bajo, hay que amplificarla a un nivel suficientemente alto. Por lo tanto se requiere de un amplificador, la salida de control va a actuar sobre un dispositivo de potencia como lo es un motor neumático ó válvula, motor hidráulico, un motor eléctrico.

Entrada referencia

Al accionador elemento final de

control Amplificador

Elemento de medición De la planta

Detector de error

Error actuante

49

Control ON-OFF Es un sistema de control de 2 posiciones el elemento accionador tiene solamente 2 posiciones fijas; conectado ó desconectado. El control On-Off es simple y económico y es muy utilizado en sistemas de control tanto industriales como domésticos.

Acción de control proporcional ( P ) Es un modo de control en que el dispositivo corrector final (ó accionador), tienen un rango continuo de posiciones posibles, con la posición exacta tomada siendo proporcional a la señal de error; esto es la salida del controlador es proporcional a su entrada.

)(

)(

s

s

EU

Kp =

Kp = K

Kp = ganancia proporcional

U(s) = señal de controlador Dominio

de la frecuencia

E(s) = señal de error

)(

)(

s

s

eu

Kp =

Ejemplo: la señal que entra es multiplicada se autoajusta.

Válvula solenoide

LN

Interruptor

Rh

E(s) U(s) = C(s) R(s) Kp

Set Point

e(t) u(t) = C(t) r(t) Kp

50

Ventajas del control proporcional: • Es la acción de control más importante. • Aplicación instantánea. • Facilidad de comprobar los resultados. Desventajas: • Falta de inmunidad al ruido. Acción de control integral ( I ) Es un controlador cuyo valor de salida varía en razón proporcional a la señal del error e(t) acumulado; lo que implica que es un modo de controlar lento. Control integral

)()( tKiedt

du t = ó bien dtteKitut

∫=0

)()(

Ki = ganancia integral Es una constante ajustable, la función de transferencia del control integral es:

SKi

RU

Cis

s ==)(

)(

Si se duplica el valor de e(t), el valor de U(t) (C(t)) varía al doble de la velocidad. Ante un error igual a cero, el valor de U(t) permanece estacionario. En ocasiones la acción de control integral recibe el nombre de control de reposición o restablecimiento. Ejemplo: No va tener valor de control U(t) hasta que exista otro evento (otro valor) en e(t).

10V

1V

Entrada

Kp = 10

Salida

e(t) Valor de la ganancia

U(s) R(s)

Ki/S

51

Acción de control derivativa. ( D ) Esta acción de control se adelanta a la señal de control frente a la aparición de una tendencia de error, esto hace que se anticipe al sistema, puesto que los retardos en controlar lo tienden a inestabilizar. La desventaja del control derivativo es prácticamente inaplicable ante la presencia de ruido, este hace que la variable de control tome valores contrapuestos y máximos. Cuando la pendiente de ruido entra como señal de error. Efectivamente el control derivativo puede efectuar correcciones antes de la magnitud del error e(t) que este sea significativa, ya que actúa en forma proporcional a la velocidad de variación de e(t) “velocidad de variación”. Si la derivada de e(t) es nula no hay acción, por parte del controlador, lo que implica que no tendrá ningún efecto con el error estacionario. También aumenta la amortiguación sobre las oscilaciones del sistema (tiende a estabilizar) permitiendo usar ganancias Kp mas elevadas: Control derivativo:

dttde

Ktu D)(

)( ⋅=

Kd ó KD = ganancia derivativa Función de transferencia:

)()( sESKDsU ⋅⋅= El control derivativo tiene la ventaja de ser previsorio, pero también amplifica el ruido y provoca un efecto de saturación en el actuador. El control derivativo, nunca se usa solo, es eficaz en el periodo transitorio. Acción de control proporcional integral. ( P-I ) Control proporcional-integral Un control P-I se define

dteTiKp

tKpetuT

∫+=0

)()()( τ

Donde: Ti = tiempo integral y es quien ajusta la acción integral. Ti = Ki

12V

10V

52

La F.T del control P-I

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

TiSKpsICP

TiSKp

sEsU 11).(.11)()(

Nota: Kp y Ti son ajustables. Acción de control proporcional derivativo. ( PD ) Control proporcional derivativo Un control P-D se define mediante:

dttdeKpTdtKpetu )()()( +=

Donde: Td = tiempo derivativo Td = Kd Función de transferencia

( )TdSKpsEsU += 1)()(

Nota: Kp y Td son ajustables. Acción de control proporcional-integral-derivativa. ( PID) Control proporcional-integral-derivativa Este sistema reúne los 3 tipos de control, suma las ventajas de cada una de la acciones

Kp Nos da una salida proporcional al error (amplifica la señal). Ki Da una salida proporcional al error acumulativo, nos da una respuesta lenta. KD Se comporta de una manera previsoria.

U(s) R(s) ( )TdSKp +1

U(s) R(s)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

TiSKp 11

53

La ecuación del P.I.D es:

dttdeKpTddte

TiKptKpetU

t )()()()(0

++= ∫ τ

Su función de transferencia:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= TdS

TiSKpCPID

11

En sistemas de control de procesos se tienen controladores de diferentes tipos como lo son los neumáticos, pero en la actualidad todos estos sistemas de control mecánico están siendo reemplazados por controles ó controladores electrónicos. Las aplicaciones más comunes en industria son: Control de presión de líquidos, control de presión de gases, control de caudal, control de nivel de líquidos, control de temperatura, controles de motores eléctricos (velocidad angular y posición angular). Sistema de control de posición.

C(t) e(t)

Kp

+Ki

KD

Vp(t)

Preampl. diferencial

+V

+V

Vi(t) +

Vo(t) -

en(t)

Ra

K aS

K+

1

JLKg-m2

θi(t)

Entrada deseada

de angulo

54

Servomecanismo: el objetivo de este sistema es controlar la posición de la carga mecánica de acuerdo con la posición de referencia.

4.2.- SINTONIZACIÓN Y OPTIMIZACIÓN.

C1

N3 carga

N1

N2

Ra +12V

ia

Ampl..

JL

+12V

La θ N1, N2 = r1, r2

55

56

57

UNIDAD V ESTABILIDAD 5.1.- CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ Criterios de estabilidad de Routh. El problema importante del control lineal tiene que ver con la estabilidad, es decir en que condiciones se vuelve inestable el sistema, si es inestable ¿cómo se estabiliza? La mayoría de los sistemas lineales en lazo cerrado tienen funciones de transferencia:

)()(

.....

.....)()(

11

10

11

10

sAsB

aSaSaSabSbSbSb

sRsC

nnnn

mmmm

=++++++++=

−−

−−

A y B son constantes y los exponentes m ≥ n Un criterio simple como el criterio de Routh permite determinar la cantidad de polos de lazo cerrado que s e encuentran en el semiplano derecho del plano “S” sin tener que factorizar el polinomio.

Procedimientos para encontrar la estabilidad de Routh. 1.- Escribe el polinomio S de la forma siguiente:

nn

nn aSaSaSa ++++ −−

11

10 ..... Donde los coeficientes son cantidades reales. 2.- Si alguno de los coeficientes es “cero” o “negativo”, ante la presencia de al menos un coeficiente “positivo” es sistema no es estable (inestable). La condición necesaria para la estabilidad es que todos los coeficientes tengan un signo positivo. 3.- Se ordenan los coeficientes del polinomio en filas y columnas de acuerdo al patrón siguiente:

Sn a0 a2 a4 a6 ….Sn-1 a1 a3 a5 a7 ….Sn-2 b1 b2 b3 b4 ….Sn-3 c1 c2 c3 c4 ….

X X X X X X X X X X X X Sist. Inestable

Sist. Estable

58

Sn-4 d1 d2 d3 d4 ….. . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

S2 e1 e2 S1 f1 S0 g1

El proceso de formar filas, continua hasta que nos quedan más elementos (el numero total de filas es n +1). Los coeficientes b1, b2, b3, etc. se evalúan del modo que sigue:

1

30211 a

aaaab

−=

1

30412 a

aaaab −=

1

70613 a

aaaab −=

Las evaluaciones de las “b” continúan hasta que todas las restantes son “ceros”. Se sigue el mismo patrón de multiplicación cruzada de los coeficientes de las 2 filas anteriores al evaluar las “c”, las “d”, las “e”, etc., es decir:

1

21311 b

baabc −=

1

31512 b

baabc −=

1

41713 a

baabc −=

.

.

.

.

1

21211 c

cbbcd −=

1

31312 c

cbbcd −=

Determine la estabilidad del siguiente sistema:

Modelo básico.

)()(

)(

1F.T

ss

s

HGG

+=

Y(s) R(s)

44

2 +S

33+S

59

1.- Sacar F.T.

( )( )( )( )( )( )34

12344

4

34121

44

33

441

44

)()(

2

2

2

2

2

2

2

++++

+=

+++

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+++

+=

SSSS

S

SS

S

SS

SsRsY

( )( )[ ]

( ) ( )( )[ ]( )

( )( )( )

12124334

123434

12344344

)()(

23222

2

+++++

=+++

+=

++++++

=SSS

SSS

SSSS

SSsRsY

( ) )(

244334

)()(

23 sFSSS

SsRsY =

++++=

2.- Obtener la ecuación característica.

2443 23 +++ SSS a0 a1 a2 a3

3.- Colocar filas y columnas.

( )( ) ( )( ) 4312

324143

1

30211 −=−=−=−=

aaaaab

1

30412 a

aaaab −=

4.- El sistema es “Inestable”. Ejercicio:

1.- ( )12522910

110)( 234 +++++=

SSSSSsF

2.- a0 a1 a2 a3 a4 3.- Colocar filas y columnas.

( )( ) ( )( ) 8.2310

52129101

30211 =−=−=

aaaaab

( )( ) ( )( ) 8.6

105211210

1

30412 =−=

−=

aaaaab

( )( ) ( )( ) 14.49

8.238.610528.23

1

21311 =−=

−=

bbaabc

4.- El sistema es “Estable”.

S 3 a0 a2 1 4

S 3-1 a1 a3 3 24

S 3-2 b1 b2 -4

S 4 a0 a2 a4 1 29 12

S 4-1 a1 a3 10 52

S 4-2 b1 b2 23.8 6.8

S 4-3 c1 49.14

60

5.2.- LUGAR DE LAS RAICES. Análisis del lugar de las raíces. La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema de lazo cerrado se relaciona estrechamente con la localización de los polos. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica, si esta tiene un grado superior a 3 es muy laborioso encontrar sus raíces y se requiera una solución por computadora, si el sistema tiene una ganancia de lazo variable la localización de los polo en lazo cerrado depende del valor de la ganancia elegida. Para K = 0, ¼, 1

Modelo básico.

)(

)(

1 s

s

GG+

aacbbS

242

2,1−±−

=

Obtener la F.T

( )

( )

( )( )

( )( ) KSS

KKSS

K

SSKSS

SSK

SSK

SSK

sRsC

++=

++=

+++

+=

++

+= 211

11

11

1)()(

S2 + S + K = 0 a b c a = 1 b = 1 c = K

aacbbS

242

2,1−±−

=

( ) ( ) ( )( )( )12

1411 2

2,1KS −±−

=

2411

2,1KS −±−=

Para K = 0

C(s) R(s) K

S(S+1)

61

( )21

21

211

20411

2,1 ±−=±−=−±−

=S

021

21

1 =+−=S

121

21

2 −=−−=S

Para K = ¼

( )2

012

411 41

2,1±−=

−±−=S

21

1 −=S

21

2 −=S

Para K = 1

( )2

321

21411

2,1−±−=

−±−=S 3Jó31 &−

4/3J21

23J

21

2,1&

&±−=±−=S

Se eleva al cuadrado

43

1 J21 &+−=S

43

2 J21 &−−=S

Para K = 0 S1 = 0 S2 = -1 Para K = ¼ S1 = -½ S2 = -½ Para K = 1

43

1 J21 &+−=S

43

2 J21 &−−=S

El sistema es Estable

-½

JW

Real Real

-JW

43

43

-1

62

UNIDAD VI ANÁLISIS DE ERROR. 6.1.- ERRORES ESTATICOS Y DINAMICOS.

63

6.2.- SENSIBILIDAD. La sensibilidad de un sistema, es la relación del cambio en la función de transferencia del sistema respecto al cambio en la función de transferencia del proceso o parámetro para un cambio incremental pequeño.

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