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CATALUA / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO

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Aclaraciones previas: A continuacin encontrar el enunciado de cuatro cuestiones y dos problemas. Debe responder slo a tres de las cuatro cuestiones y resolver slo uno de los problemas (puede escoger las cuestiones y el problema que quiera). En las respuestas que d tiene que explicar siempre que es lo que quiere hacer y por qu. Puntuacin: cada cuestin: 2 puntos. Total cuestiones: 3 2 = 6 puntos. Problema: 4 puntos. CUESTIONES 1. Considere la curva de ecuacin xxxf -= 3)( . a) Calcule los puntos en donde la grfica de f(x) corta el eje de abscisas y explique

razonadamente dnde es positiva y dnde es negativa f(x). b) Halle el rea del recinto limitado por la parte positiva de la grfica de f(x) y el

semieje negativo de abscisas. Puntuacin: Cada apartado vale 1 punto. Total: 2 puntos. 2. El lado BC de un tringulo est sobre la recta de ecuacin 3x -- 2y + 1 = 0. El

vrtice A tiene coordenadas (2, -- 1). Determine el pie de la altura relativa a A. Puntuacin: Planteo: 1 punto. Determinacin del pie de la altura: 1 punto. Total: 2 puntos. 3. Determine para qu valor del parmetro ll el siguiente sistema:

=+-=+-

=+-

lzyxzyx

zyx

9115

1242

253

es compatible y, en ese caso, resolverlo. Puntuacin: Determinacin de ll : 1 punto. Resolucin dl sistema: 1 punto. Total: 2 puntos. 4. Al comenzar el ao 2001, el nmero de refugiados amparados por ACNUR

(organismo de la ONU) era de 12,10 millones. a) Durante el ao 2000 el nmero de refugiados aument un 4 %. Cuntos

refugiados haba a principios del 2000? b) Durante el ao 2001 el nmero de refugiados aument un 10 %. Cuntos

refugiados haba a finales de 2001? c) Suponiendo que a partir del 2002 haya una disminucin regular del 10 % anual,

en qu ao llegar a haber menos de un milln de refugiados?



Puntuacin: Apartados a) y b): 0,5 puntos cada uno. Apartado c): 1 punto. Total: 2 puntos. PROBLEMAS 5. Considrese la funcin xbaxxxf sin2002)( 2 +++= , donde a y b son reales.

Calcule los valores de los parmetros a y b para que f pase por el punto (0, 3) y tenga un extremo relativo en dicho punto. Explique razonadamente qu tipo de extremo tiene f en ese punto.

Puntuacin: Planteo: 1 punto. Determinacin de a y b: 2 puntos,: Determinacin del tipo de extremo: 1 punto. Total: 4 puntos. 6. Un entusiasta de la salud desea tener un mnimo de 36 unidades de vitamina A al

da, 28 unidades de vitamina C y 32 unidades de vitamina D. Cada pastilla de la marca 1 cuesta 0,03 y proporciona 2 unidades de vitamina A, 2 de C y 8 de D. Cada pastilla de la marca 2 cuesta 0,04 y proporciona 3 unidades de vitamina A, 2 de C y 2 de D. Cuntas pastillas de cada marca habr de comprar para cada da si desea cubrir las necesidades bsicas con el menor coste posible.

Puntuacin: Total: 4 puntos.



Soluciones: Cuestin 1. a) )1()( 23 -=-= xxxxxf La funcin corta al eje OX en x = -1, x = 0 y x = 1. Si x < -1, 0)1()( 2 0 Positiva. Si 0 < x < 1, f(x) < 0 Negativa. Si x > 1, f(x) > 0 Positiva. Un esbozo de la grfica de f es:

b) El rea pedida es la sombreada. Su valor es:

41

21

41

24)(

0

1

240

1

3 =+-=

-=-=

--

xxdxxxA

Cuestin 2. El pie de la altura es el punto P, corte de la recta dada con la recta perpendicular a ella desde el punto A.

Perpendicular a 3x - 2y + 1 = 0 por el punto A = (2, -1): 2(x - 2) + 3(y + 1) = 0 2x + 3y - 1 = 0

Punto de corte: solucin del sistema

=-+=+-

0132

0123

yx

yx x = -1/13, y = 5/13.

El pie de la altura es el punto P = (-1/13, 5/13).



Cuestin 3. Lo resolvemos aplicando el mtodo de Gauss:

---

l1

2

9115242

531

153

122

FF

FF

--

--

--

-

103

2

1640820

531

l

223 FF -

---

-

43

2

000820

531

l

Por tanto, la tercera ecuacin queda: 0z = l - 4 si l = 4 el sistema es compatible indeterminado; en caso contrario es incompatible. Si l = 4, el sistema es:

=+-=+-

1242

253

zyx

zyx

-=--=-

zyx

zyx

2142

523

=+-=+-=

tz

ty

tx

42/3

72/5

Cuestin 4. a) Si a principios de 2000 haba x refugiados, se cumple que:

1,04 x = 12,10 x = 11,635 millones b) A finales de 2002 habr: 1,10 12,10 = 13,31 millones c) Disminuir anualmente un 10 % equivale a multiplicar por 0,9. La expresin que da el nmero de refugiados en funcin del tiempo es: ttR )9,0(31,13)( = , t contada a partir de 2002 Si

1)9,0(31,13 =t 31,13

1log9,0log =t

31,13log9,0log -=t t = 24,568



Deben transcurrir 24,568 aos. Por tanto, habr un milln de refugiados en el ao 2002 + 24,568 = 2026,568; esto es, a mediados del 2026. Problema 1.

xbaxxxf sin2002)( 2 +++= xaxxf cos4004)( ++=

xxf sin4004)( -= Por pasar por el punto (0, 3): 3 = 0 + b + sin 0 b = 3 Por extremo relativo en (0, 3): f (0) = 0 0 = a + cos 0 a = -1 Como f (0) = 4004 > 0, en el punto (0, 3) se tiene un mnimo. Problema 2. Es un problema de programacin lineal. Con los datos anteriores se obtiene:

Cantidad Vita. A Vita. C Vita. D Coste Marca 1 x 2x 2x 8x 0,03x Marca 2 y 3y 2y 2y 0,04y Necesidades 36 28 32

El objetivo es minimizar el coste: C(x, y) = 0,03x + 0,04y Restringido por: 2x + 3y 36

2x + 2y 28 8x + 2y 32

x 0; y 0 Estas restricciones generan la regin factible dada en la figura siguiente.



Si trazamos las rectas de nivel, cuya ecuacin es 0,03x + 0,04y = k (3x + 4y= k) y se trasladan, vemos que el primer punto de contacto con la regin factible es el vrtice R, cuyas

coordenadas son la solucin del sistema

=+=+

2822

3632

yx

yx R = (6, 8).

El coste mnimo pedido es: 0,03 6 + 0,04 8 = 0,50 euros.

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