UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA – FACULTAD DE CIENCIAS NATURALESESCUELAS DE RECURSOS NATURALES Y AGRONOMIA

Cátedras

MATEMÁTICA I

ELEMENTOS DE MATEMÁTICA (Módulo I)

Carreras

Ing. en Recursos Naturales y Medio Ambiente.

Ingeniería Agronómica

2003

MODULO NIVELATORIO

Nivelación

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Responsables de Cátedra

Prof. Socorro del Valle ChagraIng. Juan Martín Torres

Elaboración y diseño de cartilla

Prof. Mónica AriasIng. Juan Martín TorresProf. Rolando Vera

Colaboraron en la elaboración de los Trabajos Prácticos

Prof. Socorro del Valle ChagraProf. Margarita NievaIng. José PayProf. Elizabeth Quiroga

Nivelación

A los Estudiantes

Los Docentes de la Cátedra de Matemática, queremos acompañarte en la primera parte de tu nueva etapa educativa brindándote las herramientas básicas para que puedas desempañarte satisfactoriamente en los estudios específicos de tu formación como Ingeniero.

Es nuestra intención apoyarte también en la etapa previa al ingreso a las aulas, por ello diseñamos actividades que te permitan reflexionar sobre tus conocimientos matemáticos y la necesidad de actualizarlos. Aspiramos a que te sientas seguro y preparado para avanzar exitosamente en la carrera de tu elección

El conjunto de tareas que te planteamos en los prácticos incluidos en esta cartilla, tienen como fin orientarte acerca de los elementos matemáticos que necesitarás para trabajar en forma independiente y efectiva en la materia. Al mismo tiempo queremos brindarte algunas informaciones que consideramos conveniente conocer y que están relacionadas con los: Contenidos de la Materia, Horarios de clases, Fechas de las evaluaciones y Requisitos para regularizar la materia.

Los conocimientos básicos de matemática que debes poseer, se recordarán y/o fijarán con las actividades que desarrollarás en el Trabajo Práctico 0 y en los prácticos correspondientes al Módulo Nivelatorio.

El Trabajo Práctico 0 contiene ejercicios que te conducirán a la aplicación de técnicas y métodos para resolver ejercicios algebraicos y numéricos. El desarrollo de este Trabajo Práctico no será realizado en las clases del Módulo Nivelatorio, por lo que te recomendamos traerlo totalmente resuelto a tu primera clase. Si surgen dudas en su resolución, te sugerimos consultar libros de textos de EGB 3 y Polimodal. También nuestra cátedra ha dispuesto horarios de consulta para el mes de febrero en los Boxes 3 y 4 de planta baja del edificio de Agronomía; dichos horarios figuran en el transparente del Box 4.

La realización de los Trabajos Prácticos 1 y Trabajo Práctico 2 contaran con al orientación del docente en las clases destinadas al Módulo Nivelatorio, debemos decirte que el trabajo individual y extra clase es muy importante para lograr seguridad e independencia en tus estudios.

En cada práctico te proponemos situaciones problemáticas que debes resolver aplicando conceptos matemáticos utilizando sus distintas representaciones (gráfica, algebraica, numérica) de manera coherente y lógica.

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Nivelación

1) CONTENIDOS DE LA MATERIA

Contenidos del Módulo Nivelatorio

Sistemas numéricos. La recta real.

Elementos de geometría. Cálculo de áreas y de perímetros de distintas figuras.Cálculo de volumen de diferentes cuerpos.

Expresiones algebraicas. Operaciones.

Ecuaciones e inecuaciones lineales. Intervalos. Representación de la recta real.

Sistemas de ecuaciones lineales. Interpretación geométrica de la solución para el caso de 2x2.

Contenidos para el Primer Parcial

Variable real. Función real de una variable real: Concepto. Dominio y Rango Sistema de coordenadas cartesianas ortogonales.

Funciones algebraicas: Función lineal y recta. Función cuadrática y trinomio de segundo grado. Ecuación de segundo grado: naturaleza de las raíces. Inecuación de segundo grado.

Recta: Distintas ecuaciones. Perpendicularidad y paralelismo.

Cónicas: Circunferencia. Elipse. Hipérbola. Elementos. Gráficas. Sistemas mixtos.

Contenidos para el Segundo Parcial

Función exponencial y logarítmica: Propiedades y gráficas. Gráfica en papel logarítmico.

Funciones trigonométricas: Definición. Dominio. Variación. Representación gráfica. Seno y coseno de la suma de ángulos (Enunciado). Teoremas del seno y del coseno. (Enunciado). Aplicaciones.

Matrices: Concepto. Operaciones. Matrices equivalentes. Matrices cuadradas: Casos particulares. Determinantes y sus propiedades. Matriz inversa. Aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

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Nivelación

2) Inicio de clases.Día: 3 de marzo de 2003.Hora: 8.00

3) Horarios de Clases y Fechas de Evaluaciones para las carreras de Ing. Agronómica e Ing. en Recursos Naturales y Medio Ambiente.

Carga horaria semanal: Seis horas. Teoría: Dos horas.Práctica: Cuatro horas.

TURNO MAÑANA:

MartesTeoría Práctica

08:00 a 10:00 10:00 a 12:00

JuevesPráctica

10:00 a 12:00

TURNO TARDE:

MartesTeoría Práctica

16:00 a 18:00 18:00 a 20:00

JuevesPráctica

18:00 a 20:00

Nota: El alumno asistirá a un solo turno

EVALUACIONES

Evaluación del Módulo Nivelatorio 26 / 03 / 03

Primer Parcial 26 / 04 / 03

Segundo Parcial 1º semana de junio

Recuperaciones 21 / 06 / 034) Reglamento de la Materia

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Nivelación

Para obtener la regularidad los alumnos deberán cumplimentar los siguientes requisitos:

Asistencia: Cumplir con el 80% de asistencia a las clases prácticas para poder acceder a

cualquier evaluación parcial.

Evaluaciones: Aprobar los parciales programados por la cátedra o sus respectivas

recuperaciones. Cada evaluación parcial se aprueba con una nota mínima de 60 puntos (escala de 0 a 100)

Rendir la Evaluación del Módulo Nivelatorio. Si aprueba esta evaluación con un mínimo de 60 puntos, se otorgarán 10 puntos para incrementar el puntaje obtenido en el primer parcial.

Justificaciones: Las inasistencias por enfermedad a cualquier evaluación parcial, se justificarán con

Certificado Médico, que será presentado dentro de las 48 horas posteriores a la evaluación.

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Nivelación

TRABAJO PRÁCTICO 0

Ejercicio 1: Aplique propiedades de potenciación y/o radicación para escribir en forma sencilla las siguientes expresiones.

Ejercicio 2: Si y obtenga el valor de las expresiones:

Ejercicio 3: Considere los polinomios: , y

.

Realice las operaciones indicadas entre ellos.

Ejercicio 4: Mariana afirma que el cociente y resto de la división entre los polinomios y son y respectivamente.

¿Es verdadera dicha afirmación? Justifique.

Ejercicio 5: Factorice las expresiones

Ejercicio 6:Factorice y simplifique las expresiones:

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Nivelación

Ejercicio 7: Resuelva las siguientes ecuaciones y verifique la solución.

Ejercicio 8: Indique si cada afirmación es verdadera ó falsa.

a) es solución de la ecuación

b) es solución de la ecuación

c) es solución de la ecuación

d) es solución de la ecuación

e) es solución de la ecuación

Ejercicio 9: En el álgebra generalmente se utilizan para representar cantidades. Por ejemplo, para referirnos al consecutivo de un número entero escribimos

.Escriba cada uno de los enunciados en forma algebraica.

a) Veinticuatro sumado a la cantidad de naranjas que tiene Mario. b) El cociente entre ocho y algún número.c) El anterior de un número cualquiera.d) La suma de dos edades consecutivas en años.e) La suma de dos números consecutivos múltiplos de cuatro. f) El doble de la diferencia de un número y su tercera parte.g) La diferencia entre el cuadrado de un número y cinco.h) La suma del cubo de un número y el triplo de ese número.i) El cuadrado de la diferencia entre la tercera parte de un número y uno.

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Nivelación

Ejercicio 10: Exprese matemáticamente cada situación y resuelva.a) La octava parte de un número menos la cuarta parte del mismo es igual al igual al

número disminuido en 18. ¿Cuál es el número?

b) El número de varones en el club de tenis es 10 más que la mitad del número de las mujeres. Si hay 30 varones, ¿cuántas personas, entre varones y mujeres, hay en el club?

c) Tres personas se quieren repartir $ 2000, de manera que la primera reciba $ 100 más que la segunda y ésta, $ 200 más que la tercera. ¿Cuánto le corresponde a cada una?

Ejercicio 11: Dada la expresión calcule:

a) El valor de cuando y

b) El valor de cuando y

c) El valor de cuando y

Ejercicio 12: Despeje de cada igualdad, la variable indicada:

Ejercicio 13: Escriba la fórmula para el perímetro y el área de cada figura en función de las variables indicadas.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

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Nivelación

Ejercicio 14: Considere los datos y las figuras. r = 3,5 cm x = 5,5 cm y = 7cm z = 10 cm

a) Escriba la expresión matemática del perímetro y área de cada una.b) Calcule el perímetro y área de cada figura con los datos que corresponda

i) ii)

iii) iv) v)

Ejercicio 15: Determine la superficie de las regiones sombreadas con los datos indicados.

Ejercicio 16: Se quiere construir los siguientes cuerpos.a) ¿Cuántos metros de alambre se necesita para armar la estructura (los bordes) de cada

uno?b) ¿Qué cantidad de cartón se necesita para armar cada cuerpo?c) ¿Cuál es el volumen de cada uno de ellos?

i)

ii)

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Nivelación

iii)

iv)

Ejercicio 17: Determine el volumen, la superficie lateral y total de:a) Un cubo cuya arista mide 15 cm.b) Un cilindro que tiene una altura de 20 cm y un diámetro de 24 cm.

Ejercicio 18: Obtenga la solución de los siguientes sistemas:

a) b) c)

Ejercicio 19: Exprese simbólicamente y resuelvaa) La suma de un número con el doble de otro es 50. La diferencia del primero con el

segundo es -6. ¿Cuáles son los números?

b) Si el numerador de una fracción se aumenta en 2, ésta se transforma en . Si al

denominador se le disminuye en 5, se convierte en . ¿Cuál es la fracción?

c) La suma de la base y de un lado de un triángulo isósceles es igual a 39 cm y la

suma de los de la base con los del lado es igual a 22 cm. Calcule el perímetro

del triángulo.d) La suma de un número con el doble de otro es 50. La diferencia del primero con el

segundo es -6. ¿Cuáles son los números?

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Nivelación

TRABAJO PRÁCTICO 1

Temas: Ecuaciones e inecuaciones de primer grado.Prerrequisitos. Operaciones con expresiones algebraicas. Figuras y cuerpos geométricos.Duración: Tres clases

Ejercicio 1: Considere las figuras para resolver cada situación

1) El perímetro de la figura es 64 cm.a) Exprese matemáticamente el perímetrob) Calcule la longitud de cada lado.c) Indique el conjunto numérico al que pertenecen

las medidas de los lados.d) Obtenga la superficie de la figura.

2) La suma de los perímetros de las figuras es 80 cm, siendo el diámetro de la circunferencia igual a la altura del rectángulo.a) Escriba la ecuación que indica la suma de los perímetros.b) Determine la longitud de cada lado del rectángulo y del radio del círculo.c) Indique el conjunto numérico al que pertenece la medida de los lados y del radio.

Ejercicio 2: Para cada problema, realice las actividades que se indican.

1) Carlos tiene una tabla de 70 cm de longitud y la corta transversalmente en tres partes. La parte más larga es el doble que la de tamaño mediano, y la parte más pequeña es 10 cm más corta que la de tamaño mediano.a) Realice un dibujo que represente la situación.b) Plantee una ecuación que le permita relacionar las longitudes.c) ¿Cuánto mide cada parte?d) ¿A qué conjunto numérico pertenecen las medidas anteriores?e) Ubique en la recta numérica el valor de la longitud de cada parte.

2) La superficie de un terreno de forma rectangular es 217 m2 y uno de los lados mide 14 m. a) Ilustre la situación.b) Construya una ecuación y determine matemáticamente la medida del otro lado.c) ¿A qué conjunto numérico pertenece la medida anterior?d) ¿Cuántos metros de alambre se necesitan para cercar el terreno?

3) Don Marcos, productor del Valle de Lerma, tiene una finca de forma rectangular en la cual produce tabaco Virginia, Burley y Criollo. La quinta parte del total de la finca está destinada a la producción de Virginia, un tercio del total se destina para Burley, la sexta parte del total para Criollo y en el resto, que son catorce hectáreas, no se produce nada.

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a) Realice un croquis de la finca en el que se observen las partes destinadas a cada clase de tabaco.

b) Exprese matemáticamente la situación.c) ¿Cuántas hectáreas se destinan a cada tabaco?d) ¿A qué conjunto numérico pertenecen esos valores?e) Ubique en la recta numérica los valores de cada parte.

4) El volumen de un frasco cilíndrico de miel es de 425 cm3 y el radio de la base es la quinta parte de la altura.a) Ilustre la situación.b) Construya una ecuación y determine matemáticamente la medida del radio y de la

altura.c) ¿A qué conjunto numérico pertenecen las medidas anteriores?d) ¿Cuántos cm2 tiene la etiqueta que cubre totalmente la parte lateral del frasco?e) ¿Cuántos cm2 tiene la tapa del recipiente?

5) Una sala tiene doble largo que ancho. Si el largo se disminuye en 6 m y el ancho se aumenta en 4 m, la superficie de la sala no varía. a) Realice un dibujo que represente la situación.b) Escriba la expresión de la superficie de la sala original. ¿Qué nombre recibe esta

expresión?c) Idem para la superficie de la sala final.d) ¿Cuáles son las dimensiones de la sala original?

6) Las edades de dos personas son dos números consecutivos tales que los de la edad de la

persona mayor equivalgan a la edad de la menor disminuida en 4. a) Escriba la expresión que relaciona las dos edades.b) ¿Cuántos años tiene cada persona?

7) Dos automóviles salen desde el mismo lugar, simultáneamente, viajando hacia la localidad de Moldes por la misma ruta. Los dos lo hacen con velocidad constante de

y de respectivamente.

a) Ilustre la situación.b) Escriba la expresión de la distancia que recorre cada automóvil en un tiempo c) ¿En qué tiempo la distancia entre ellos será de 24 km?

8) Un tren sale de Tucumán y viaja hacia el norte a una velocidad de . Al mismo

tiempo otro tren parte del mismo lugar y viaja hacia el sur a .

a) Escriba la expresión que le permite encontrar la suma de las distancias recorridas por cada tren.

b) ¿En cuánto tiempo estarán separados por una distancia de 315 km?

Ejercicio 3:1) Explique con sus propias palabras los pasos empleados para resolver una ecuación.

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2) Aplique lo anterior para encontrar la solución de las siguientes ecuaciones.

a) b)

c) d)

Ejercicio 4: La tabla indica las distintas representaciones del concepto de intervalo.

Tipo de intervalo Notación de conjunto Notación de intervalo Representación gráfica

Intervalo abierto

Intervalo semiabierto

Intervalo cerrado

1) Exprese con notación de conjunto y de intervalo, si corresponde, cada enunciado e interprete gráficamente.a) El tiempo para desarrollar el parcial no supera las dos horas.b) La cantidad de postes para sostener un alambrado olímpico no puede ser menor que 40

ni mayor de 60.c) La temperatura de un objeto es superior a 10 ºC bajo cero e inferior a 0 ºC.d) El número no supera 4,5.

2) Dados los pares de inecuaciones:a) Encuentre gráficamente los valores de x que satisfacen simultáneamente cada par.b) Escriba simbólicamente el conjunto obtenido.

3) Resuelva las inecuaciones en R y grafique el conjunto solución:

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4) Resuelva cada situación realizando las actividades indicadas.a) José es 7 años menor que Guillermo. La suma de sus edades es menor que 49.

i) Escriba la inecuación que relaciona las edades.ii) ¿Qué edad puede tener José?

b) Juan tiene menos de $ 90 para repartirlo entre sus dos hijos, María y Rodolfo. A Rodolfo le da la mitad de lo que le da a María más $ 6. i) Escriba la inecuación que plantea Juan para distribuir el dinero.ii) ¿Cuáles son las posibles cantidades que puede recibir cada uno?

c) Visions y Cia. determina que el costo para producir cassettes para video es de

, mientras que el ingreso producido por la venta de ellas es de (C y R en dólares). i) Determine el menor número entero de unidades x que debe venderse para que el

negocio muestre una ganancia.ii) Sí la fábrica desea obtener una ganancia que oscile entre $ 4900 y $ 5000 ¿qué

cantidad de cassettes debe venderse?

d) Un estudiante obtiene notas de 75, 82, 84 y 71 en sus exámenes (Escala 0 a 100). Él quiere obtener como promedio mínimo 80 puntos y le falta rendir un examen. i) Escriba la expresión matemática que le permite calcular su próxima nota.ii) ¿Cuál debe ser la mínima calificación a obtener en su último examen para lograr el

promedio deseado?

e) En el siguiente razonamiento hay un error. Explique cuál es.

Sean y números, con .Por ejemplo:

Pero la última desigualdad no es posible de acuerdo a la condición inicial.

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Nivelación

TRABAJO PRÁCTICO 2

Temas: Sistemas de ecuaciones de primer grado.Prerrequisitos: Resolución de ecuaciones de primer grado. Gráficas de rectas.Duración: Tres clases

Ejercicio 1: Para cada sistema realice las actividades indicadas.

a) Grafique cada par de rectas en un mismo sistema cartesiano. ¿Cómo es la posición de las rectas entre sí?

b) Indique, en caso de existir, las coordenadas del punto de intersección de las rectas. c) Resuelva analíticamente cada sistema de ecuaciones. ¿Qué tipo de solución encontró?

(Solución única, vacía o infinitas soluciones)d) Escriba la relación existente entre la solución analítica y la solución gráfica

encontrada.

i) ii) iii)

iv) v) vi)

Ejercicio 2: Considere en cada caso las gráficas de las rectas y para responder a las siguientes preguntas:

a) ¿Existe, entre ellas, un punto de corte?b) ¿Cómo son sus pendientes?c) ¿En que valor cortan al eje de las ordenadas? d) De acuerdo al análisis realizado en cada caso, escriba las condiciones para que dos

rectas se corten en un punto, sean paralelas no coincidentes o paralelas coincidentes.

i) ii) iii)

Ejercicio 3: Un cantero tiene la forma de un triángulo isósceles, su área mide 12 m2 , su perímetro 16 m y su

altura está dada por la relación: .

a) Escriba la expresión matemática del área y del perímetro de acuerdo a la relación entre lados y altura dada en la figura.

b) Determine la longitud de los lados y de la altura. c) Analice la validez de las dimensiones obtenidas.

Ejercicio 4: Para cada situación problemática:a) Realice un dibujo que la represente en caso de ser

posible. b) Escriba las ecuaciones que relacionan los datos del problema.

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c) Represente gráficamente el sistema y estime la solución.d) Resuelva el sistema y analice la validez de los resultados obtenidos

i) En un terreno rectangular se encuentran sembrados 500 plantines de dos tamaños. Los grandes cuestan cada uno $1.20 y los chicos $0.50. Si se vende toda la plantación se obtiene $404. ¿Cuántos plantines de cada tipo hay sembrados?

ii) Si al numerador de una fracción se añade 5, el valor de la fracción es 2, y si al numerador se resta 2, el valor de la fracción es 1. Determine la fracción.

iii) Los precios de un viaje aéreo, incluido el alojamiento a las Cataratas del Iguazú son $ 400 para una sola persona y $700 para una pareja en habitación doble. En uno de los vuelos se recaudó $ 22400 y viajaron 62 personas en total. ¿Cuántas parejas y cuantas personas solas viajaron?

iv) La suma de la base y de un lado de un triángulo isósceles es igual a 39 cm, y la

suma de los de la base con los del lado es igual a 22 cm. Calcule el área de la

figura.

v) Un tren de carga y un expreso parten de ciudades que se encuentran a 390 kilómetros de distancia y viajan el uno hacia el otro. El tren de carga viaja 30 kilómetros por horas más lento que el expreso. Los trenes se encuentran 3 horas después de haber partido. ¿Cuál es la velocidad de cada tren?.

vi) El perímetro de un rectángulo es igual a 56 cm; agregando 2 cm a la base y sustrayendo 2 cm a la altura, el área del rectángulo disminuye en 12 cm2. Determinar la diagonal del rectángulo.

vii)En un cierto cuadrilátero abcd, el ángulo a es igual a los de b, y d supera en 21º

a c. Calcular la amplitud de cada ángulo interior, sabiendo que b y d son suplementarios

Ejercicio 5: Determine el valor de de forma tal que los siguientes sistemas tengan:

a) Infinitas soluciones:

i) ii)

b) Solución vacía

i) ii)

Bibliografía de consulta

D. Zill - J. Dewar (1996) “Algebra y Trigonometría”. Editorial Mc Graw Hill.

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Earl W. Swokowski. - J. Cole (1996) “Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica”. Grupo Editorial Iberoamérica.

L. M. Johnson. -A. R. Steffensen (1998) “Algebra y Trigonometría con aplicaciones”. Editorial Trillas.

S. Smith - R. Charles - J. Dossey - M. Keedy - M. Bittinger (1998) “Algebra Trigonometría con Geometría Analítica”. Editorial Addison Wesley Longman.

E. Swokowski (1997) “Algebra Universitaria”. Editorial CECSA.

Esta bibliografía puedes consultarla en la biblioteca de la Facultad de Ciencias Naturales.

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