Ctalge 4s Iip
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J.E.C.”VICTOR HAYA DE LA TORRE”-ROCCHACC-ONGOY
ÁLGEBRA
4º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2008
III. PRODUCTOS NOTABLES1. DEFINICIÓN:Son los resultados de la multiplicación que se obtienen de polinomios, que tienen características especiales y necesidad de realizar la multiplicación.
2. PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES:
2.1. Binomio al Cuadrado:
a) (a b)2 = a2 2ab+b2
Nota: (a-b) 2 = (b-a) 2
Corolario : "Identidades de Legendre"
b) (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2)
c) (a+b)2 - (a-b)2 = 4ab
2.2. Diferencia de Cuadrados:
a) (a+b)(a-b) = a2-b2
2.3. Trinomio al Cuadrado:
a) (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
2.4. Binomio al Cubo:
a) (a + b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 = a3+b3+ 3ab(a + b)
b) (a -b)3 = a3-3a2b + 3ab2 - b3 = a3- b3-3ab(a-b)
2. 5. Suma y Diferencia de Cubos:
a) (a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3
c) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3
2.6. Trinomio al Cubo:
a) (a+b+c) 3 = a3+b3+c3+3a2(b+c)+3b2(c+a)+ 3c2(a+b)+6abcTambién:
b) (a + b + c) 3 = a3+b3+c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)
c) (a + b + c) 3 = 3(a+b+c) (a2+b2+c2) - 2(a3+b3+c3) + 6abc
d) (a + b + c) 3 = a3+b3+c3 + 3(a + b + c) (ab + bc + ca) - 3abc
2.7. Producto de Binomios con un Término Común:
a) (x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab (Identidad de Stevin)
b) (x+a)(x+b)(x+c) = x3+ (a + b + c)x2 +(ab + bc + ca)x + abc
2.8. Identidad Trinómica (Argand):
a) (x2n+xnym+y2m) . (x2n-xnym+y2m) = x4n+x2ny2m+y4m
Casos Particulares:
b) (x2+xy+y2)(x2-xy+y2) = x4+x2y2+y4
c) (x2+x+1)(x2-x+1) = x4+x2+1
2.9. Identidad de Lagrange:
a) (a2+b2)(x2+y2) = (ax+by) 2+(ay-bx) 2
b) (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) = (ax+by+cz)2 +(ay-bx)2+(bz-cy)2+(cx-az) 2
2.10. Identidades Adicionales:
a) ½ (a+b+c)[(a–b)2+(a-c)2+(b-c)2] = a3+b3+c3–3abc (Ident. Gauss)
b) a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2 -ab-ac-bc) (Ident. Gauss)
c) a2+b2+c2-ab-ac-bc = 1/2{(a-b) 2 +(b-c) 2 + (c-a) 2}
d) (a + b)(b + c)(c + a) + abc = (a + b + c) (ab + bc +ca)2.11. Igualdades Condicionales:
Si:a + b + c = 0,entonces se cumplen:
a) a3 + b3 + c3 = 3abc
b) a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ca)
c) (ab) 2+(bc) 2+(ca) 2=(ab+bc+ca) 2
d) (a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2
e) a 2 +b 2 +c 2 . a 3 +b 3 +c 3 = a 5 +b 5 +c 5 2 3 5
f) a 2 +b 2 +c 2 . a 5 +b 5 +c 5 = a 7 +b 7 +c 7 2 5 7
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ÁLGEBRA
4º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2008
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Si: a+b = 2 y ab = 1
Halla: a5+b5
Solución :
a + b = 2 ab= 1
(a+b)2=22 (a+b)3=a3+b3+3(a+b)(ab)
a2 + b2 + 2ab = 4
a2+b2+2(1)=4 8=a3+b3+3(2)(1)
a2 + b2 = 2 a3 + b3= 2
Luego : (a2 + b2) (a3 + b3) = 2 x 2
a5 + (ab)2 (a+b) + b5 = 4
a5 + 12 (2) + b5 = 4
a5 + b5 = 2
2) Si : a + 2b + 3c = 7x
Halla:
Solución:
E =
E =
E =
E = 1
3) Reduce :
Solución :a + b + c + d = x
a – b – c – d = y
x2 + y2 + 2xy – 3a2
(x + y)2 – 3a2
(a+b+c+d+a - b – c – d)2 - 3a2
4a2 – 3a2 = a2
4) Efectúa :
E=(x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)-x16
Solución :
Utilizamos diferencias de cuadrados.
(x + 1) (x – 1) = x2 – 1
E=(x2–1)(x2+1)(x4+1)(x8+1) - x16
E = (x4 – 1) (x4 + 1) (x8 + 1) - x16
E = (x8 – 1) (x8 + 1) - x16
E = x16 – 1 – x16
E= -1
5) Calcula :
R = ( -1)5
Solución :Ordenando :
R =
R =
R = (3 - 2 )2 ( - 1)
R = (9 - 2 +8) ( -1)
R = (17 - 12 ) ( - 1)
R=17 -17-12 2+12
R=17 -17-24+12
R = 29 - 41
6).- Si : a + b + c = 6
a3 + b3 + c3 = 24
Calcula : E=(a+b) (b+c) (a+c)
Solución:
(a + b + c)3 = 63
a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(a+c) = 216
8 72 24 + (a+b)(b+c)(a+c) = 216
(a+b) (b+c) (a+c) = 64
E = 64
7) Reduce : H=(3z+4)2+(4–3z)2
Solución :
E = (3z + 4)2 + (4 –3z)2
E = (3z + 4)2 – (3z - 4)2
E = 4(3z) (4) (propiedad)
E = 48z
8) Si se cumple :
Halla :
Solución :
x + y + x = 0
pero x3 + y3 + z3 = 3xyz
= 3
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 03
NIVEL I :1).- Reduce :
E=(x+2)3 - (x+3) (x+2) (x+1) – x
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
2).- Reduce:
E = (a+b+c) (a-b+c)+(b+a-c)(b-a+c)
a) 2ab b) 4abc c) 4bcd) 6ab e) 4ac
3).- Calcula “M”.
Si: a2+b2+x2 = 16
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ÁLGEBRA
4º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2008
a) 4 b) 8 c) 32 d) 64 e) 48
4) Simplifica :
S =
a) 3 b) 2 c) 0d) 1 e) 4
5).- Reduce :
E=(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a+b-d)(a+b+d)-3(a- b)2+d2-2c2
a) 6ab b) ab c) d2+c2
d) 12ab e) 8abc
6)Reduce:E=(x2+x+3)(x2+x+7)-(x2+x+2)(x2+x+8)
a) 9 b) 5 c) 4 d) 2 e) 6
7).- Reduce:
a) 2a b) 4ab c) 0d) a2+c2 e) -ab
8).- Simplifica:
a) a2 + b2 b) c2 c) 4a2
d) d2 e) c2+d2
9).- Reduce :
a) 1 b) 1/2 c) 0d) –1 e) –1/2
10).- Si:
Calcula:
a) 666 b) 216 c) 512d) 200 e) 375
11).- Efectúa :
a) 9 b) 2 c) 4 d) 2x+2 e) 6
12) Si : a + b = 2
ab = 3
Determina : a3 + b3
a) 20 b) 40 c) 10 d) -20 e) –10
13).- Efectúa :
(x-3)4–x(x-6)(x-4)(x-2)–10x(x-6)+9
a) 90 b) 72 c) 15d) –72 e) -90
14) Si : x + x -1 =
Calcula : x 5 +x –5
a) 14 b)5 c) 16d) 7 e) 5
15).- Reduce :
a) -y2 b) y2 c) z2
d) x2 e) -x2
16).- Reduce :
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0
17).- Si : m = 1998 y n =
Calcula :
a) 9 b) 2 c) 4 d) 2x e) 6
18).- Si : a + b =
a b = 3Halla : a6 + b6
a)25 b)24 c)23 d)26 e)22
19).- Si: x+x-1=5
Calcula :
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
20).- Si : a + b + c = 20
a2 + b2 + c2 = 300
Calcula: E = (a+b)2+(a+c)2+(b+c)2
a) 500 b) 600 c) 700 d) 800 e) 900
NIVEL II
1).- Si: a = - b = -
c = -
Calcula :
a) 6 b) 2 c) 2/3d) –6 e)
2) Reduce:
a) 1x b)-48x c)-38xd) 4x e) –58x
3).- Si :
Calcula:
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
4).- Simplifica
a) 2x b) x c) 3x d) 4x e) 5x
5).- Si: x + y + z = 6
x y z2 2 2
2 4
Calcula :
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a) 60 b) 10 c) 40d) 48 e) 51
6).- Simplifica :
G =
a) 6 b) 5 c) 4 d) 2 e) 167).- Efectúa :
(x2+x+1)(x+1)(x–1)(x2–x+1)-x6
a) x + 1 b) -1 c) x-1d) 1 e) x5
8).- Si : x2 + 3x - = 0
Calcula : x(x+1)(x+2)(x+3)-2
a) 2 b) 7 c) 0 d) 6 e) 73
9).- Si : x2+ ; x > 1.
calcula : V = x -
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10).- Si : (a + b)2 = 4ab, calcula:
a) ab b) a + b c) a2 – b2
d) 1 e) 2
11).- Halla : E =
Si :a + b + c = 0
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
12).-Efectúa:
a) 3 b) 2 c) –5d) –3 e) 1
13).- Simplifica :
E =2b2 + 2ab+
y calcula :
a) a + b b) (a + b)2
c) a – b d) ab e) a2 + b2
14).- Si: a= -1; b=1- ; c= -
Calcula :
a) 1/3 b) 2/3 c) 1/9d) 7/3 e) 1
15).- Si : y =
Calcula : E = (y+3)(y–3)(y2+9)–y4
a) 81 b) –81 c) -27d) 9 e) -9
16).- Efectúa :
(x+1)(x+2)+(x+3)(x+4)-2x(x+5)
a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 111
17).- Luego de operar :
La expresión equivalente es :
a) 6 b) 5 c) 3d) –1 e) –4
18).- Reduce:
R=(a-b-c+d)(a-b+c-d)-(a-b-c-d)(a-b+c+d)
a) 4cd b) ab c) 4abd) cd e) a2+b2
19).- Reduce :
A=[(a+2b)2-(a-2b)2+a2+16b2 ]-(4b-a)2
a) 0 b) 8ab c) 4abd) 16ab e) ab
20).- Si : a + =3.
Halla :
a) 81 b) 240 c) 29d) 243 e) 123
CLAVE DE RESPUESTAS
NIVEL I
1) b 2) e 3) d
4) d 5) d 6) b
7) e 8) b 9) d
10)a 11)b 12)e
13)a 14)b 15)a
16)e 17)b 18)d
19)d 20)c
NIVEL II
1) d 2) b 3) d
4) b 5) a 6) d
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4º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2008
7) b 8) a 9) a
10)e 11)c 12)b
13)a 14)c 15)b
16)b 17)b 18)a
19)d 20)e
20