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"Cruzando Ríos": juego para construir nociones de probabilidad en niños de grado sexto Vivian Carolina Herrera Espinosa Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Bogotá, Colombia 2018
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"Cruzando Ríos": juego para construir nociones de probabilidad
en niños de grado sexto
Vivian Carolina Herrera Espinosa
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Bogotá, Colombia
2018
"Cruzando Ríos": juego para construir nociones de probabilidad
en niños de grado sexto
Vivian Carolina Herrera Espinosa
Trabajo final de maestría presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Directora:
Dra. Emilse Gómez Torres
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Bogotá, Colombia
2018
A mi adorada madre.
Contenido VI
Agradecimientos
Antes que nada todo mi agradecimiento es para mi adorada madre Esperanza, que ha sido
mi principal motivación para ser un mejor ser humano en todos los aspectos de mi vida y
que día a día da lo mejor de sí para que yo pueda ser feliz.
A la Universidad Nacional de Colombia por abrirme sus puertas para crecer personal y
profesionalmente en el campo de la educación y así contribuir al servicio de mi comunidad,
especialmente a la profesora Emilse que con su inmensa paciencia y dedicación permitió
que se ejecutara este proyecto.
A mis amigos Jerson y Leonardo que desde hace más de 10 años han estado apoyándome
y motivándome en tiempos de dificultad. Gracias al Gimnasio Los Andes y al Colegio
Victoria por brindarme el tiempo, el espacio y los recursos económicos para cursar esta
maestría.
Resumen
Este trabajo presenta el diseño y la aplicación de un conjunto de actividades para promover
en estudiantes de primer año de educación básica secundaria la construcción de algunas
nociones de probabilidad. En cuanto al diseño, el juego Cruzando Ríos constituye el eje
articulador de las actividades que se proponen en este trabajo. En cuanto a la aplicación,
la propuesta didáctica se implementó en un curso con 23 estudiantes, sus producciones
escritas, durante cada una de las actividades, se analizaron teniendo en cuenta
herramientas del “enfoque Ontosemiótico” (EOS) y resultados de investigaciones previas.
Estos análisis permitieron evaluar el conocimiento adquirido por los estudiantes en cuanto
a su aproximación a la probabilidad desde el enfoque frecuencial e identificar dificultades
durante el proceso. Entre las conclusiones de este trabajo se destacan el efecto positivo
que generó el juego en la construcción de las nociones previstas y la calidad de las
discusiones entre los participantes a medida que las clases se desarrollaban.
Palabras clave: probabilidad, enfoque frecuencial, enfoque clásico, juego como
estrategia didáctica, sesgos y dificultades en el razonamiento probabilístico.
Abstract
This paper presents the design and application of a set of activities to promote in sixth
grade students (11-12 years-old) the construction of some notions of probability. About the
design, the game Crossing Rivers constitutes the axis of the proposed activities. With
regard to application, this pedagogical purpose was carried out in a class of 23 students.
Their written productions, during each of the activities, were analyzed, taking into account
tools of the "Ontosemiotic Approach" (OSA) and results of previous researches. Those
analysis allowed to assess the knowledge acquired by the students regarding their learning
of probability through the approach of frequency, and to identify difficulties during the
process. Among the conclusions, the positive effect generated by the game in the
construction of the expected notions and the quality of discussions among participants
stand out.
Keywords: probability, frequency approach, classical approach, game as
pedagogical strategy, biases and difficulties in probabilistic reasoning.
TABLA DE CONTENIDO
Agradecimientos ............................................................................................................ 6
Resumen ......................................................................................................................... 7
Lista de figuras ............................................................................................................. 10
Lista de tablas .............................................................................................................. 11
Introducción ................................................................................................................. 12
1. CAPÍTULO I: CONTEXTUALIZACIÓN .................................................................... 14 1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ................................................................14 1.2 OBJETIVOS ......................................................................................................15
1.2.1 General .......................................................................................................... 15 1.2.2 Específicos .................................................................................................... 15
1.3 POLÍTICAS EDUCATIVAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA PROBABILIDAD EN COLOMBIA ..................................................................................................................16 1.4 METODOLOGÍA ...............................................................................................17
2. CAPÍTULO II: REFERENTES TEÓRICOS ............................................................... 19 2.1 EVOLUCIÓN HISTÓRICA DE LA PROBABILIDAD ...........................................19 2.2 LA PROBABILIDAD COMO OBJETO MATEMÁTICO Y DIDÁCTICO ...............21 2.3 DESARROLLO DEL RAZONAMIENTO PROBABILÍSTICO EN EL NIÑO .........26 2.4 ANTECEDENTES CON RESPECTO A LA ENSEÑANZA DE LA PROBABILIDAD CLÁSICA Y FRECUENCIAL .............................................................28
2.4.1 Sesgos y dificultades en el razonamiento probabilístico ................................. 29 2.4.2 Enseñanza de la probabilidad a través del juego ........................................... 30
2.5 HERRAMIENTAS DEL EOS PARA EL ANÁLISIS DIDÁCTICO .........................31
3. CAPÍTULO III: DISEÑO DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA ...................................... 33 3.1 DISEÑO DE LA PRUEBA DIAGNÓSTICO ........................................................34 3.2 EL JUEGO: CRUZANDO RÍOS .........................................................................46
4. CAPÍTULO IV: IMPLEMENTACIÓN DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA ................... 59 4.1 DESCRIPCIÓN DE LA REALIZACIÓN DE LAS CLASES .................................59 4.2 ANÁLISIS DE LAS PRODUCCIONES DE LOS ESTUDIANTES EN LA PRUEBA DIAGNÓSTICO ............................................................................................................60 4.3 ANÁLISIS DE LAS PRODUCCIONES DE LOS ESTUDIANTES EN EL DESARROLLO DEL JUEGO .......................................................................................66
4.3.1 Descripción de las respuestas a las preguntas previas al juego (Experimento simple) ..................................................................................................................... 66 4.3.2 Análisis de las preguntas durante las partes 1 a 3 del juego .......................... 67 4.3.3 Análisis parte 4: actividad de cierre ................................................................ 75
5. Capítulo V: CONCLUSIONES ................................................................................. 85 5.1 CONCLUSIONES CON RESPECTO A LOS OBJETIVOS ................................85 5.2 RECOMENDACIONES PARA LA APLICACIÓN DE LA SECUENCIA ...............89
Lista de figuras
Pág.
Figura 1: Astrágalos ........................................................................................................19
Figura 2: Los dados de Efron. Tomado de Dunn (2005, p.38 ##) ....................................30
Figura 3: Pregunta 1- prueba diagnóstico ........................................................................36
Figura 4: Pregunta 2 prueba diagnóstico .........................................................................39
Figura 5: Pregunta 3 prueba diagnóstico .........................................................................41
Figura 6: Tablero y tabla de resultados ............................................................................44
Figura 7: pregunta 4 instrumento diagnóstico. .................................................................44
Figura 8: Tablero para el juego Cruzar el Río - Gallardo et al (2007, p. 202) ...................47
Figura 9: astrágalos y fichas del juego propuesto ............................................................50
Figura 10: Representación Río 1 .....................................................................................51
Figura 11: Dados de 10 caras. ........................................................................................51
Figura 12: Representación Río 2 .....................................................................................51
Figura 13: Representación del Río 3. ..............................................................................52
Figura 14: Ejemplo de la regla de Laplace para calcular probabilidades simples. ............61
Figura 15: Ejemplo de comparación entre el tamaño del espacio muestral ......................61
Figura 16: Ejemplo de respuesta errónea en el cálculo de probabilidad simple. ..............62
Figura 17: Ejemplo de sesgo de equiprobabilidad. ..........................................................62
Figura 18: Ejemplo cálculo y comparación de probabilidades. .........................................63
Figura 19: Ejemplo de la comparación de frecuencias absolutas .....................................63
Figura 20: Ejemplo de equiprobabilidad. ..........................................................................63
Figura 21: Ejemplo de comparación proporcional ............................................................64
Figura 22: Ejemplo incorrecto de comparación de probabilidades. ..................................64
Figura 23: Ejemplo de comparación de frecuencias absolutas ........................................65
Figura 24: Ejemplo de comparación gráfica. ....................................................................65
Figura 25: Ejemplo del sesgo falacia del jugador .............................................................68
Figura 26: Ejemplo registro de lanzamientos en el Río 1 .................................................68
Figura 27: Ejemplo del cálculo de la frecuencia relativa...................................................69
Figura 28: Ejemplo gráfica de resultados río 1 .................................................................71
Figura 29: Ejemplo del cálculo del espacio muestral evento compuesto. .........................72
Figura 30: Ejemplo cálculo incorrecto del espacio muestral .............................................72
Figura 31: Ejemplo registro de lanzamientos Río 3 ..........................................................73
Figura 32: Ejemplo de sesgo de equiprobabilidad (Lecoutre 1992)..................................74
Figura 33: ejemplo de creencias personales ...................................................................74
Figura 34: ejemplo de atribuciones flexibles. ...................................................................75
Figura 35: Gráfica de resultados observados en el río 1, agregando progresivamente la
información dada por cada grupo ....................................................................................77
Figura 42: Ejemplo acumulación de lanzamientos. ..........................................................82
Figura 43: ejemplo de creencias previas en el comportamiento de resultados. ...............82
Figura 44: Ejemplo de conclusión próxima a la probabilidad frecuencial .........................83
Figura 45: Ejemplo de conclusión diferenciación experimento simple y compuesto. ........83
Figura 46: ejemplo de conclusión sesgada por creencias personales ............................ 84
Lista de tablas
Pág.
Tabla 1: Análisis a priori pregunta 1- prueba diagnóstico. ................................................37
Tabla 2: Análisis pregunta 2- prueba diagnóstico. ...........................................................39
Tabla 3: Análisis pregunta 3- prueba diagnóstico. ...........................................................41
Tabla 4: Análisis a priori pregunta 4- prueba diagnóstico. ................................................44
Tabla 5: Organización de la primera sesión de clase .......................................................49
Tabla 6: Organización segunda sesión de clase ..............................................................50
Tabla 7: Preguntas propuestas y su propósito en cada una de las secciones del juego. 53
Tabla 8: Objetos matemáticos primarios involucrados en la secuencia didáctica del juego
Cruzando Ríos. ...............................................................................................................58
Tabla 9: Categorías de análisis: comparación de probabilidades simples. .......................61
Tabla 10: Categorías de respuesta comparación de probabilidades. ...............................62
Tabla 11: Categorías de análisis comparación proporcional ............................................63
Tabla 12: Categorías de análisis asignación de frecuencias absolutas y relativas. ..........64
Tabla 13: Categorías de análisis cálculo de probabilidad desde tabla de frecuencias. ....65
Tabla 14: Categorías de análisis espacio muestral ..........................................................67
Tabla 15: Categorías de análisis cálculo de frecuencia relativa .......................................69
Tabla 16: Categorías de análisis evento compuesto. .......................................................69
Tabla 17: Categorías de análisis predicción de resultados. .............................................70
Tabla 18: Categorías de análisis espacio muestral en experimento compuesto. .............71
Tabla 19: Categorías de análisis para sucesos imposibles ..............................................73
Tabla 20: Categorías de análisis predicción de probabilidades. .......................................74
Tabla 21: Categorías de análisis características del dispositivo aleatorio ........................75
Tabla 22: Categorías de análisis similitudes entre las gráficas ........................................78
Tabla 23: Categorías de análisis comparación de gráficas ..............................................79
Tabla 24: Categorías de análisis preguntas 2 y 3- análisis de gráficas ............................81
Tabla 25: Categorías de análisis cantidad de lanzamientos ............................................81
Tabla 26: Categorías de análisis para las conclusiones. ..................................................82
12
Introducción
Un cambio importante que se ha producido en el currículo de educación matemática en las
últimas décadas es la incorporación de contenidos de probabilidad desde los primeros
años de la vida escolar (por ejemplo, en MEN, 2003). La principal razón que apoya este
cambio es formar ciudadanos competentes en el campo de la educación estadística, ya
que, en la cotidianidad y en diferentes contextos, se encuentran diversidad de datos y el
ciudadano requiere de una buena interpretación de la información para una toma de
decisiones asertivas. En este sentido, autores como Gal (2005) define la alfabetización
probabilística de los ciudadanos, como el conjunto de conocimientos, capacidades y
actitudes que permiten a una persona desenvolverse frente a los fenómenos aleatorios con
los que se encuentra, es por ello que, desde los primeros años escolares, se pretende
preparar a los niños para que desarrollen habilidades que les permitan afrontar dichas
situaciones y tomar decisiones correctas.
La enseñanza de la probabilidad no es una tarea sencilla, especialmente en la infancia de
escolaridad. Por ejemplo, Fischbein (1975) resaltó que los niños desde antes de iniciar su
proceso escolar, construyen unas intuiciones probabilísticas primarias sobre la
aleatoriedad, intuiciones que resultan determinantes al momento de construir el
pensamiento probabilístico, pues de no ser desarrolladas con una instrucción adecuada,
dificultarán el proceso de aprendizaje.
En tal sentido, uno de los retos en el trabajo docente consiste en valorar la idoneidad y
pertinencia del tipo de actividades que se llevan al aula, hacerlas más cercanas y
significativas para los estudiantes, con el fin de proporcionar espacios de experimentación
y análisis que les permitan construir objetos probabilísticos significativos. Desde la
Didáctica de la Matemática se destaca el interés que puede suscitar el estudio de la
probabilidad trabajando con diversos recursos didácticos. Batanero y Serrano (1995)
sugieren secuenciar el trabajo con “materiales manipulativos con propiedades de simetría
como dados o monedas, para pasar progresivamente al estudio de materiales que no
tengan estas propiedades –ruletas con áreas desiguales; chinchetas-;” (p. 26). Uno de los
recursos que permite generar estos espacios se relaciona con actividades de aprendizaje
basadas en juegos, pues estas permiten al estudiante involucrarse de manera directa y
vivenciar experiencias reales o simuladas en las que interviene el azar.
13
La propuesta que se describe a continuación se redactó con el fin de proporcionar un
recurso al docente de educación secundaria interesado en experimentar con una
herramienta que le permita potenciar el pensamiento aleatorio en sus estudiantes. Para
ello, en cada una de las secciones del trabajo se encuentran puntualizados aspectos
disciplinares, epistemológicos, didácticos y metodológicos fundamentales, que articulan la
propuesta.
El documento está organizado en cinco capítulos. El primero presenta la contextualización
del problema, incluye su planteamiento, los referentes curriculares, los objetivos y la
metodología que se utilizó para el desarrollo del análisis de las producciones de los
estudiantes en las clases. En el segundo capítulo se muestran los referentes teóricos que
fundamentan esta propuesta, entre ellos se presentan antecedentes epistemológicos,
históricos, disciplinares y didácticos relacionados con la probabilidad.
En el tercer capítulo se expone el diseño de las actividades incluyendo un análisis a priori
para cada una, así como la articulación entre dichas actividades. En el cuarto capítulo se
describe una implementación de esta propuesta y se analizan sus resultados, a través de
las producciones de los estudiantes. El capítulo cinco da a conocer las conclusiones
relacionadas con los objetivos del trabajo, también algunas ventajas y limitaciones de la
propuesta. Finalmente, las guías construidas para las actividades implementadas se
presentan en los anexos, de manera que si un docente está interesado en replicar esa
experiencia de aula, tenga acceso directo al material guía.
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1. CAPÍTULO I: CONTEXTUALIZACIÓN
A continuación se describe el planteamiento del problema, del cual se parte para el diseño
y aplicación de la propuesta, los objetivos del trabajo, los fundamentos curriculares sobre
la enseñanza de la probabilidad en Colombia, y la metodología desarrollada.
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
En el campo de la educación matemática se ha reconocido la importancia de formar a los
estudiantes de educación básica y media, para tomar decisiones en situaciones de
incertidumbre, azar, riesgo o ambigüedad (MEN, 2002), debido a que son múltiples las
áreas del conocimiento y los fenómenos de la naturaleza en que este conocimiento se
puede aplicar. Por ejemplo, en medicina para emitir un diagnóstico clínico correcto cuando
hay varias posibles enfermedades o para determinar el posible efecto de una vacuna, se
requiere el análisis fundamentado de una situación de incertidumbre. En el mundo físico,
cuando se estudia la duración, intensidad y extensión de diferentes fenómenos climáticos
y sus posibles consecuencias. En el mundo económico, cuando se invierte en un seguro o
se compran acciones en una inversión de negocio expuestas a cambios y variaciones en
el tiempo, se deben construir modelos que permiten hacer predicciones sobre estos
fenómenos aleatorios.
En el colegio The Victoria School, institución ubicada en la localidad de Suba, al norte de
Bogotá, los estudiantes de grado sexto presentan dificultades para abordar situaciones de
tipo aleatorio porque les cuesta reconocer nociones básicas de probabilidad como azar,
frecuencia y estimación de posibilidades, entre otras. Una posible causa de esta dificultad
tiene que ver con la carencia de espacios de experimentación y análisis que han tenido los
estudiantes en su formación, pues en muchas ocasiones, los profesores abordan estos
temas enfocándose en el planteamiento de definiciones o en la enseñanza de fórmulas o
procedimientos algorítmicos, dejando de lado la oportunidad de experimentar, analizar y
construir (Ortiz, Batanero, & Serrano, 2007). Además, la enseñanza de la probabilidad
suele ubicarse al final del programa, lo que dificulta realizar un proceso significativo con
los estudiantes.
15
En este sentido se resalta la importancia que tiene el trabajo del docente, al decidir el tipo
de actividades que llevará al aula, la intención de cada una de ellas y el objetivo a alcanzar.
Todo esto con el fin de hacer el trabajo escolar mucho más cercano y significativo para los
estudiantes, y así proporcionar espacios de experimentación y análisis que les permitan
construir nociones de probabilidad. Uno de los recursos que permite proporcionar este tipo
de espacios es el juego, pues a través de él los estudiantes pueden experimentar de
manera directa diferentes acciones, que mediante reflexiones constantes, encaminan al
estudiante a la construcción de nociones de probabilidad básicas, cercanas a su vida real.
Al proponer este trabajo, una pregunta que surgió para abordar el problema descrito es:
¿ Cómo se construyen y articulan los elementos fundamentales de probabilidad en un
juego motivante y formativo para estudiantes de grado sexto?
Para responder a la pregunta se diseñó, aplicó y analizó una secuencia didáctica cuyo
propósito se describe a continuación.
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 General
OG: Diseñar una secuencia didáctica basada en un juego que promueva en los estudiantes
de grado sexto la comprensión de algunas nociones de probabilidad.
1.2.2 Específicos
O1: Identificar los conocimientos previos de los estudiantes de grado sexto respecto
a algunas nociones de probabilidad, en experimentos simples y compuestos de dos
etapas, desde el punto de vista intuitivo, clásico y frecuencial.
O2: Construir un juego como eje articulador de la secuencia actividades que
permita introducir las nociones básicas a trabajar.
O3: Aplicar la secuencia didáctica diseñada a un grupo de estudiantes de grado
sexto.
O4: Evaluar ventajas y limitaciones de la propuesta.
16
1.3 POLÍTICAS EDUCATIVAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA PROBABILIDAD EN COLOMBIA
En los Lineamientos Curriculares de Matemáticas (MEN, 1998) se organiza el desarrollo
del pensamiento matemático a través de cinco tipos de pensamiento y sus respectivos
sistemas, de tal forma que el conocimiento enseñable llegue de manera integral al
estudiante:
• Pensamiento numérico y sistemas numéricos
• Pensamiento espacial y sistemas geométricos
• Pensamiento métrico y sistemas de medidas
• Pensamiento aleatorio y los sistemas de datos
• Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
En dicho documento el MEN ubica la probabilidad dentro del pensamiento aleatorio y los
sistemas de datos, propone la estadística como la rama de las matemáticas que domina,
describe y maneja la incertidumbre, con el fin de desarrollar en los ciudadanos la capacidad
de tomar decisiones en situaciones de la vida cotidiana donde esté presente el azar.
Posteriormente, en 2006, esta misma entidad presenta los Estándares Básicos de
Competencia Matemática [EBCM]. En este otro documento se sigue el mismo enfoque
presentado en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas y se amplía la idea de
pensamiento aleatorio, el cual también es llamado pensamiento probabilístico o
estocástico. Además, se afirma que “el azar se relaciona con la ausencia de patrones o
esquemas específicos en las repeticiones de eventos o sucesos, y otras veces con las
situaciones en las que se ignora cuáles puedan ser esos patrones” (MEN, 2006, p. 65).
A nivel internacional, el National Council of Teacher Mathematics (NCTM) en el año 2000
propuso los estándares para la enseñanza de las matemáticas en Norteamérica. En
Análisis de Datos y Probabilidad se plantea la probabilidad como el medio que permite
realizar inferencias de un conjunto de datos, por ende es necesario que el estudiante sea
capaz de identificar la relación entre la estadística y la probabilidad, por medio de la
formulación de preguntas de su entorno cuya respuesta no sea obvia, y al tratar de
resolverlas lo lleven a recoger y organizar datos a partir de encuestas o simulaciones, esto
con el fin de realizar inferencias o conclusiones sobre las preguntas planteadas sin
desconocer que hay incertidumbre en dichas conclusiones. Además resaltan que las
17
conclusiones del estudiante se pueden basar en datos recolectados por él mismo o
suministrados por otros.
Finalmente, en ese documento se resalta que Análisis de Datos y Probabilidad es un medio
que le permite al estudiante establecer conexiones en contextos cotidianos entre algunas
ramas de las matemáticas y entre matemáticas y otras ciencias del conocimiento. Por
ejemplo, dicha relación se muestra de manera explícita en “utilizar la proporcionalidad y
una comprensión básica de la probabilidad para formular y comprobar conjeturas sobre los
resultados de experimentos y simulaciones.” (NCTM, 2003, p. 252).
1.4 METODOLOGÍA
La propuesta se implementa a partir de un enfoque cualitativo (Hernández, Fernández y
Baptista, 2014). En el diseño de la secuencia, la formulación de las preguntas buscó
orientar a los estudiantes hacia la descripción, comprensión e interpretación de diferentes
fenómenos aleatorios, explorando sus percepciones y significados emergentes, a la par
que construyen una noción frecuencial de la probabilidad. En la aplicación de las
actividades, la recolección de los datos (respuestas) está orientada a proveer de un mayor
entendimiento los significados y experiencias que perciben los estudiantes mientras
participan en el juego.
Como se verá en el Capítulo 3, en cada una de las sesiones del juego se proponen
preguntas abiertas, que tienen como propósito permitir que el estudiante reflexione sobre
el experimento aleatorio en el cual está participando, identifique similitudes y diferencias
frente a otros experimentos (simples y compuestos), así como tendencias y regularidades
comunes.
El juego, al ser una actividad motivante para los estudiantes, permite vincular intereses
personales (ser el ganador del juego) en un contexto natural. Es por ello que el docente se
concentra en analizar las vivencias de los participantes tal como fueron (o son) sentidas y
experimentadas (Sherman y Webb, 1988).
Patton (2011) define el enfoque cualitativo como descripciones detalladas de situaciones,
eventos, personas, interacciones, conductas observadas y sus manifestaciones. El
proceso de indagación que caracteriza la investigación cualitativa es más flexible y se
mueve entre las respuestas y el desarrollo de la práctica del juego y la reflexión posterior
18
al mismo. Las conclusiones a las que se llegan son resultado de una valoración natural de
las discusiones generadas por los estudiantes a partir de su propia experiencia (Corbetta,
2003).
En consecuencia, los análisis que se presentan en el capítulo 4 serán más descriptivos
que cuantitativos, pues aunque se realiza un conteo de las categorías emergentes para
cada pregunta, el verdadero análisis se centra en realizar una descripción muy detallada
de las producciones de los estudiantes, con el fin de identificar procesos de argumentación
a partir de las situaciones y discusiones propuestas.
2. CAPÍTULO II: REFERENTES TEÓRICOS
En este capítulo se tratarán aspectos relacionados con la fundamentación de los conceptos
de probabilidad que se abordarán en el juego propuesto. Inicia con la evolución histórica
de la probabilidad (2.1) para luego abordar la probabilidad como objeto matemático y
didáctico (2.2), continúa con el desarrollo de la intuición probabilística en el niño (2.3), las
consideraciones didácticas sugeridas por diversos autores que se han tenido en cuenta
para el diseño y aplicación (2.4), los antecedentes relacionados con la investigación del
desarrollo de razonamiento probabilístico (2.5) y algunos elementos del enfoque
ontosemiótico que sustentan el diseño de la propuesta (2.6).
2.1 EVOLUCIÓN HISTÓRICA DE LA PROBABILIDAD
Civilizaciones como los Sumerios y Asirios empleaban un hueso extraído del talón de un
animal, como una oveja o un ciervo, denominado "astrágalo" (ver Figura 1), el cual tallaban
para que pudiera caer en cuatro posiciones distintas, éste es considerado el precursor de
los dados. En el caso de la civilización egipcia, algunas pinturas encontradas en las tumbas
de los faraones muestran astrágalos y tableros para el registro de los resultados.
Con frecuencia se consideran Figura 1: Astrágalos Pascal y Fermat (siglo XVII)
como los iniciadores del cálculo de probabilidades.
Pascal se interesó en este tema motivado por los juegos de azar que le proponía el
caballero de Meré. Esto podría indicar que el origen del cálculo de probabilidades, se
encuentra estrechamente ligado a los juegos de azar. Aunque algunos marcan sus inicios
cuando Cardano escribió alrededor de 1520, El Libro de los Juegos de Azar (que no fue
20
publicado hasta 1660) y es, hasta esta fecha, que comienza a elaborarse una teoría
aceptable sobre los juegos.
Una etapa de notable desarrollo sobre la formación de una teoría de probabilidad se inicia
hacia mediados del siglo XVII. Entre los autores de ella se encuentra Leibniz, quien en
1666 publica su De Arte Combinatoria, y establece de una manera sistemática la teoría
combinatoria sobre una base científica. Luego, Jaques Bernoulli escribe Ars conjectandi,
obra póstuma plubicada por Nicolas Bernoulli, que contiene la primera formulación de la
ley de los grandes números (teorema de Bernoulli), cuya demostración fue aceptada en su
época como un apoyo al carácter objetivo de la probabilidad. Dicho teorema indica que la
probabilidad de que la frecuencia relativa de un experimento, repetido en las mismas
condiciones, se acerque tanto como sea posible a la probabilidad teórica, sin más que
aumentar el número de pruebas (Díaz, 2002).
En esta visión se define la probabilidad como el número hipotético hacia el cual tiende la
frecuencia relativa al estabilizarse asumiendo la existencia teórica de dicho límite, cuya
frecuencia relativa observada es un valor aproximado. Autores como Gnedenko y
Kolmogorov se entusiasmaron con esta definición y hallaron en ella el verdadero sentido
de la probabilidad. Sin embargo en este enfoque surge un problema que tiene que ver con
que nunca se obtiene un valor exacto de la probabilidad sino una estimación. Además, en
ocasiones, resulta imposible realizar los experimentos exactamente bajo las mismas
condiciones y saber con certeza cuál es el número de experimentos que se debe realizar
para aceptar la estimación (Batanero, 2005).
La primera definición formal se atribuye a de Moivre (1718) en The Doctrine of Chances
(como se cita en Díaz, 2003):
Si constituimos una fracción cuyo numerador es el número de chances
(posibilidades) con la que el suceso podría ocurrir y el denominador el número
de chances con las que puede ocurrir o fallar, esta fracción será una definición
propia de la probabilidad de ocurrencia (p. 33).
Se observa que ninguno de los libros citados hasta ese momento fue un tratado de
probabilidades en sí mismo. Es Laplace quien en 1814 publica un texto sobre este tema,
en el cual estableció la definición que actualmente conocemos como probabilidad clásica
o regla de Laplace. Desde ese momento, se considera la probabilidad como un objeto de
estudio en sí misma. Para este autor, la probabilidad de un suceso es “como una fracción
21
cuyo numerador es el número de casos favorables y cuyo denominador el número de todos
los casos posibles” (p. 28). Esta definición, desde su comienzo, no estuvo ajena a la
controversia (Díaz, 2002).
Desde sus orígenes, la principal dificultad para poder considerar la probabilidad como una
rama de la matemática fue la elaboración de una teoría suficientemente precisa como para
que fuese aceptada como una teoría matemática. A principios del siglo XX, el matemático
ruso Andrei Kolmogorov la definió de forma axiomática y estableció las bases para la teoría
moderna de la probabilidad, que en la actualidad es parte de una teoría más amplia como
es la teoría de la medida.
2.2 LA PROBABILIDAD COMO OBJETO MATEMÁTICO Y
DIDÁCTICO
Dada la naturaleza didáctica de la propuesta y teniendo en cuenta que este documento
podrá ser consultado por profesores de educación básica secundaria que deseen
implementar el juego, los objetos probabilísticos se definen en esta sección desde una
perspectiva didáctica y epistemológica. Los conceptos que aparecen son aquellos que se
consideran básicos para introducir en grado sexto la probabilidad desde el enfoque
frecuencial.
Aleatoriedad
Según Batanero y Díaz (2004) la principal razón para introducir el estudio de las
situaciones aleatorias y las nociones básicas sobre probabilidad en la enseñanza en los
primeros niveles es que tales situaciones sean frecuentes en la vida cotidiana. Además,
“el concepto de aleatoriedad es central para la educación estocástica por la simple razón
de que este concepto, contrapuesto a otras teorías y conceptos matemáticos, es la
característica específica de la teoría de la probabilidad", según Harten y Steinbring (1983,
p. 363, como cita Ortiz, 2002).
Batanero, Serrano y Green (1998) indican que el concepto de aleatoriedad es fundamental
en el estudio de la probabilidad, de ahí que sea necesaria la comprensión de éste para
avanzar en el cálculo de las probabilidades (Citados en Ortiz, 2002). Desde esta
perspectiva, el primer paso en la enseñanza de la probabilidad es, según Batanero (2001),
22
asegurarse de que los estudiantes sean capaces de diferenciar situaciones aleatorias y
deterministas, lo que indica que se deben apreciar algunas características básicas de la
aleatoriedad.
En consecuencia, la aleatoriedad no tiene un significado sencillo, análisis epistemológicos
y psicológicos muestran una contradicción en la explicación de las dificultades de su
comprensión. Por una parte, la aleatoriedad indica que cualquier resultado posible puede
ocurrir y, por otra parte, muchas veces no se admite una secuencia de resultados como
aleatoria si aparece un patrón al observar dicha secuencia (Serrano et al. 1999). En
adición, la aleatoriedad tiene variadas interpretaciones lo que favorece la existencia de
sesgos en la percepción de la misma (Batanero & Serrano., 1995), uno de ellos es el tener
la creencia de que solo los “resultados desordenados" son ejemplos apropiados de la
aleatoriedad (Hawkins et al., 1992, citado en Ortiz, 2002).
El concepto de aleatoriedad se puede separar en dos componentes: el proceso de
generación de los resultados aleatorios (experimento aleatorio) y la secuencia de
resultados obtenida (secuencia de resultados aleatorios). Desde el punto de vista del
proceso, el experimento aleatorio más simple posible es aquél que sólo presenta dos
resultados, es repetible en las mismas condiciones y los resultados de pruebas sucesivas
son independientes (Serrano et al.y cols., 1991).
Una característica primordial de las situaciones aleatorias es su impredecibilidad, el hecho
de que no se pueda conocer con seguridad cual es el resultado. Esta propiedad es también
señalada por Green (1989) como una de las fundamentales en la idea de la aleatoriedad,
indicando que un suceso es aleatorio cuando su ocurrencia no es segura ni tampoco
imposible. Batanero y Serrano (1995) afirman que para el cálculo de probabilidades solo
se tiene interés en un experimento aleatorio que sea posible repetir en idénticas
condiciones, al menos en la imaginación, en esta exigencia de repetitividad está implícita
la concepción frecuencial de la probabilidad (Fine et al., 1970, citado en Ortiz, 2002).
Según Godino y Batanero (2001) una característica particular de los experimentos
aleatorios es su carácter irreversible, lo que impide un apoyo directo del material concreto
para el estudio de fenómenos aleatorios. Una repetición de la experiencia aleatoria, debido
a su mismo carácter, no puede servir para comprobar un resultado, cosa que sí ocurre, por
ejemplo, con las operaciones aritméticas. Establecer un sistema de registro que permita
23
reflexionar sobre las experiencias y plantear otras nuevas relacionadas -como proponen,
por ejemplo, Bruni y Silverman (1986) y Godino y cols (1987)- es esencial. (Citados por
Godino et al.1998).
Espacio muestral:
Según Feller (1973) (Como se cita en Ortiz, 2002), el espacio muestral brinda un modelo
del experimento ideal, en el sentido de que cada resultado posible queda completamente
descrito por uno y sólo un punto muestral, Hawkins et al. (1992) indican que en la definición
del experimento aleatorio hay dos aspectos claves que son: La clara formulación de las
condiciones del experimento y la enumeración del espacio muestral correspondiente al
mismo. “Estos dos aspectos están ligados entre sí ya que el espacio muestral de un
experimento dependerá de las condiciones supuestas para el mismo.” (Ortiz, 2002, p.68)
“La construcción de un modelo probabilístico comienza habitualmente con la descripción
de todos sus posibles resultados o espacio muestral” (Ortiz, 2002, p.67). El concepto de
espacio muestral estuvo ligado históricamente a la idea de equiprobabilidad, dado el primer
desarrollo de la probabilidad en relación con los juegos de azar.
Según Ortiz (2002), dentro de las actividades básicas respecto a la idea de espacio
muestral se consideran las siguientes: Enumerar los elementos de un espacio muestral a
partir de la descripción del experimento, en esta se pide el listado de todos los sucesos
elementales en un espacio muestral, este proceso es de naturaleza combinatoria es por
ello que si el experimento es complejo y el estudiante no posee “una capacidad suficiente
de enumeración sistemática” presentará dificultades.
Estos dos tipos de actividades son de naturaleza combinatoria más que probabilística, pero
son fundamentales para que el alumno adquiera la idea de espacio muestral, además
permiten establecer una conexión entre probabilidad y combinatoria, que es considerada
fundamental por autores como Heitele (1975) y Fischbein (1975) (Citado en Ortiz, 2002).
Para Freudenthal (1973) el interés en probabilidad casi nunca se centra en un solo espacio
muestral, sino más bien en la interrelación de varios espacios muestrales. Una herramienta
especialmente útil es construir el producto cartesiano de dos o más espacios muestrales
para obtener el espacio muestral del experimento compuesto.
24
Sucesos
La teoría de la probabilidad además de ocuparse del conjunto de todos los resultados de
un experimento (espacio muestral) y de sus elementos (sucesos), se ocupa de los sucesos
asociados a un experimento. Ortiz (2002). El álgebra de sucesos es una de las ideas
estocásticas fundamentales, según Heitele (1975 en Ortiz, 2002). “Las operaciones con
los sucesos dotan de una estructura que es la que hace posible la posterior definición de
probabilidad y construir una axiomática satisfactoria”. (Ortiz 2002, p.75).
En la teoría de las probabilidades sólo se consideran aquellos experimentos aleatorios en
los cuales cualquier suceso representa una suma de todos los sucesos elementales que
conducen a la aparición del suceso mencionado (Koroliuk, 1981citado en Ortiz, 2002). Un
suceso es una descripción verbal de los resultados de un experimento y puede ocurrir o
no como resultado de este. Tiene sentido cuando se puede decir si para el resultado del
experimento el suceso ha ocurrido o no (Ortiz 2002). La colección de todos los puntos
muestrales que representan los resultados que han ocurrido, describen el suceso.
Frecuencia relativa
Ortiz et al. (1996) consideran que los conceptos de frecuencia absoluta y relativa de un
suceso y las propiedades de las frecuencias relativas son base importante para el estudio
de la probabilidad esencialmente porque: las propiedades de las frecuencias relativas que
pueden observarse empíricamente son base de la definición axiomática de la probabilidad,
la idea de frecuencia relativa es base de la concepción frecuencial y sirve de puente entre
la probabilidad y la estadística; y los teoremas de limite en el cálculo de probabilidades
están basados en admitir la posibilidad de repetición de un experimento y en las
frecuencias relativas o en la distribución de frecuencias.
A continuación se enuncian las propiedades de la frecuencia relativa para fenómenos
aleatorios, que sirven como base intuitiva para la definición de los axiomas de la
probabilidad de Kolmogorov:
1. La frecuencia relativa con que aparece un resultado 𝐴 en una repetición de de
experimentos, ℎ(𝐴), es un número comprendido entre 0 y 1.
25
2. Para cualquier número 𝑛 de realizaciones del experimento, y un evento 𝐸 que
pertenezca al espacio muestral, ℎ(𝐸) = 1, el suceso seguro aparece con frecuencia
relativa uno.
3. Para cualesquiera sucesos excluyentes, A y B, asociados a un mismo experimento,
ℎ(𝐴 ∪ 𝐵) = ℎ(𝐴) + ℎ(𝐵).
4. Cuando aumentamos el número de repeticiones, la frecuencia relativa de un suceso
tiende a estabilizarse alrededor de un valor fijo. Este valor es el que, en la
concepción frecuencial, se define como probabilidad del suceso. Este hecho es
conocido como ley de estabilidad de las frecuencias o ley de los grandes números.
El profesor debe considerar atentamente el estudio de la frecuencia relativa y el uso de
experimentos aleatorios por parte de los estudiantes, precisando en la comprensión de los
mismos y en la repetibilidad de los experimentos, que según Serrano y cols. (1996, como
se cita en Ortiz, 2002) no es siempre fácil para los estudiantes. Un problema didáctico que
según Ortiz (2002) se puede presentar en la utilización de las frecuencias relativas para el
cálculo de probabilidades es que las secuencias experimentales realizadas en clase con
propósito de demostración no siempre converjan con la rapidez que se desea, o que debido
a su carácter aleatorio, pueden mostrar un resultado contrario al que se espera,
contribuyendo a reforzar las intuiciones incorrectas de los alumnos. Por ello, los docentes
deben prestar cuidado a su estudio.
En la secuencia propuesta en este trabajo, durante el juego se pide analizar el posible
patrón en las frecuencias relativas de ciertos sucesos en una repetición de ensayos con
relación a la probabilidad teórica del suceso. En esta actividad se originan prácticas como
la recogida y el análisis de datos, que permiten confrontar los valores esperados con los
observados mostrando la variabilidad asociada a los experimentos. En las partes finales
del juego se llega a obtener la estimación de la probabilidad a partir de una repetición de
experimentos elevada. Cada una de estas podrá dar lugar según Ortiz (2002) a prácticas
significativas en la comprensión de la idea de convergencia, en este caso introduciendo
informalmente la ley de los grandes números.
Noción de probabilidad desde una concepción frecuencial
26
Respecto a la concepción frecuencial de la probabilidad, Ortiz (2002) propone las
siguientes actividades: análisis de experimentos simples en los que se pueda aplicar y no
se pueda aplicar esta concepción, asignación de probabilidad a sucesos elementales o
compuestos mediante experimentación, reflexión sobre el carácter aproximado de esta
concepción.
Este tipo de actividades pueden permitir una buena aproximación al valor teórico de la
probabilidad si se dispone de suficiente información de tipo estadístico; mediante la
realización de experimentos, el cálculo de frecuencias relativas y la asignación de
probabilidades, se puede concienciar al estudiante de las limitaciones del carácter
aproximado de la concepción frecuencial.
2.3 DESARROLLO DEL RAZONAMIENTO PROBABILÍSTICO EN EL NIÑO
Piaget e Inhelder (1951) y Fischbein (1975) han planteado diferentes perspectivas sobre
el desarrollo de la cognición probabilística. El trabajo de Piaget se enfocó en las
observaciones obtenidas bajo el marco del modelo conceptual, centrándose en el sentido
clásico laplaciano. Por su parte Fischbein, explora los fundamentos intuitivos y precursores
del conocimiento probabilístico, concediendo una gran importancia a la intuición, ya que la
complejidad de situaciones cotidianas a las que se ven enfrentados los sujetos, los induce
a adoptar continuamente un comportamiento probabilístico (la necesidad de tomar
decisiones obliga a hacer estimaciones intuitivas de posibilidades).
La intuición del azar en el periodo de las operaciones concretas
A través de la adquisicion de operaciones espacio-temporales y lógico-matemáticos, los
niños de esta edad adquieren la capacidad de distinguir entre el azar y lo deducible. Por
ejemplo son consientes de que al realizar el lanzamiento de 15 monedas será muy difícil
obtener 15 caras. Sin embargo, este proceso no se concreta durante este periodo, puesto
que el pensamiento está todavía muy ligado a lo concreto. No obstante, la representación
del azar se convierte en una estructura conceptual distinta y organizada, después de los 7
años. El azar, en el sentido de lo no determinado, se comprende explícitamente como
oposición a lo deducible. El niño comienza a comprender la interacción de cadenas
causales que conducen a sucesos impredecibles, y la irreversibilidad de los fenómenos
aleatorios.
27
La intuición de la frecuencia relativa
La intuición de la frecuencia relativa de sucesos, puesta de manifiesto a través de
experimentos de aprendizaje probabilístico, mejora con la edad. Si la intuición se ve como
el resultado cognitivamente fijado de experiencias acumuladas, parece razonable que la
intuición de la frecuencia relativa se desarrolle de un modo natural como resultado de las
experiencias del niño, con situaciones que implican sucesos aleatorios, en los cuales las
respuestas deben expresar una estimación correcta de las frecuencias relativas de los
fenómenos.
Recursos para la enseñanza de la probabilidad
La enseñanza de la probabilidad se puede favorecer con el uso del material manipulativo,
aunque para dar un uso adecuado a este material es importante considerar la situación
problemática y el contexto de organización de la clase.
Un uso característico del material para obtener una estimación de la solución de los
problemas probabilísticos es la simulación, que según Godino (1998) corresponde a
sustituir un experimento aleatorio difícil de observar en la realidad, por otro equivalente.
Esta cobra un papel importante ya que permite al estudiante identificar diferencias entre la
probabilidad experimental y la teórica. Dentro de los recursos más utilizados en el estudio
de las situaciones aleatorias, conceptos y técnicas probabilísticas se encuentran los
generadores aleatorios, entre ellos los dados, las bolas de urnas, las ruletas y las barajas
de cartas.
Los dados pueden considerarse como cualquier objeto que presente un número finito de
posiciones distintas, estos concretizan el experimento aleatorio más simple posible:
cuando el espacio muestral es finito y los resultados son equiprobables, ó al ser cargados,
pueden evidenciar resultados que no siempre han de ser equiprobables.
28
2.4 ANTECEDENTES CON RESPECTO A LA ENSEÑANZA DE LA PROBABILIDAD CLÁSICA Y FRECUENCIAL
La interpretación frecuencial de la probabilidad se apoya en fenómenos en los cuales es
posible repetir indefinidamente ensayos idénticos, aquí se considera que la probabilidad
se calcula a partir de las frecuencias relativas observadas en cada uno de los diferentes
resultados en repeticiones (Serrano, Batanero & Ortiz, 1996). Al respecto, Ortiz et al.1996,
consideran que un punto clave para lograr el éxito en la enseñanza de la probabilidad
desde su acepción frecuencial es la comprensión de la idea de frecuencia relativa y de
convergencia a algún valor que representa la probabilidad.
Frente al estudio de las frecuencias relativas y sus propiedades Malara (1989) (como se
cita en Ortiz et al.,1996) considera algunos objetivos que deben contemplarse en la
enseñanza, entre ellos el conocimiento del hecho que puede observarse empíricamente
una estabilización gradual de las frecuencias relativas en repeticiones suficientemente
grandes; la comprensión intuitiva de la idea teórica de convergencia y de las posibilidades
de la obtención de valores aproximados para las probabilidades, a partir de la observación
o simulación de fenómenos aleatorios; el estudio de las ventajas y limitaciones de las
estimaciones experimentales de la probabilidad y el análisis de las regularidades
observadas.
Como indica Konold (1995), no es suficiente pedir a los alumnos que hagan previsiones y
las comparen con los datos experimentales para cambiar sus concepciones incorrectas,
porque raramente se recogen suficientes datos para revelar los patrones probabilísticos.
Es importante concienciar al alumno de esta limitación y proponerle actividades de
discusión sobre este carácter aproximado o comparación de resultados de otros
compañeros. La identificación de actividades didácticas fundamentales para la adecuada
comprensión de un concepto es un paso fundamental en la elaboración de nuevas
propuestas curriculares orientadas a la construcción del conocimiento de los alumnos.
29
2.4.1 Sesgos y dificultades en el razonamiento probabilístico
Son varias las dificultades asociadas a estos conceptos, Ortiz et al. (1996) indica que una
de las dificultades comunes en la interpretación frecuencial es que los estudiantes no
interpretan la repetición de un experimento aleatorio como parte de una secuencia de
ensayos, consideran que cada una de las repeticiones es aislada, él denomina esta
conducta como el enfoque en el resultado aislado. En consecuencia, la persona interpreta
las preguntas sobre probabilidad en forma no probabilística.
Otros errores comunes en el razonamiento probabilístico, que están documentados en
investigaciones psicológicas relacionadas con la toma de decisiones bajo incertidumbre,
son:
1. Juicios sobre frecuencias (Lichtenstein, Slovic, Fischhoff, Layman y Combs 1978, citado
en Díaz 2003): este sesgo se hace presente en situaciones aleatorias en las que la mayoría
de personas tiende a subestimar las frecuencias altas y a sobreestimar las bajas.
2. Calibración de juicios (Hope y Kelly, 1983, citado en Díaz 2003): se dice que el juicio de
probabilidad de esta persona está bien calibrado cuando se le pregunta su estimación de
la probabilidad de un suceso y esa estimación personal coincide con la obtenida a partir
de datos reales. Cuando la persona tiene un exceso de confianza sobre sus propios juicios,
su estimación de probabilidades falla de manera sistemática, debido a una sobrevaloración
de las creencias iniciales, es decir la persona no tiene en cuenta lo que puede estar en
contra de esas creencias iniciales.
3. Sesgo de equiprobabilidad (Lecoutre, 1992): cuando se presenta este sesgo, el sujeto
considera siempre que todos los sucesos son igualmente probables en cualquier
experimento aleatorio. Según el autor, este error conceptual se debe tanto a fallos en
razonamiento combinatorio como a la dificultad de la persona para asociar modelos
combinatorios a situaciones donde interviene el azar.
4. Enfoque en el resultado o “Outcome approach” (Konold, 1991, citado por Ortiz, 1996):
Cada repetición de un experimento aleatorio se considera de manera aislada, con interés
en el resultado observado y sin guardar relación alguna entre repeticiones. Las preguntas
relacionas con probabilidad se interpretan de manera no probabilística, dado que la
persona cree que no se quiere llegar a la probabilidad de ocurrencia de un suceso sino a
predecir exitosamente el resultado de un ensayo simple.
30
2.4.2 Enseñanza de la probabilidad a través del juego
Varios autores han diseñado herramientas didácticas para potenciar el aprendizaje de
conceptos de probabilidad en niños, a continuación se describen tres que son relevantes
en el diseño del juego propuesto y en el análisis de los resultados observados.
Un ejemplo de estos diseños es el juego de "Dados sesgados" de Gelman y Nolan (2002)
en el que usan un experimento simple para crear dados sesgados. Les proporcionan a
pequeños grupos de estudiantes un troquel de madera y un trozo de papel de lija y les
piden que modifiquen el dado como ellos quieran, posteriormente realizan lanzamientos y
hacen un análisis de los resultados arrojados en los diferentes dados. Los autores
concluyen que esta actividad además de ser de gran interés para los estudiantes, les
ofrece la oportunidad de crear un dado sesgado, observar y analizar los resultados que se
obtienen en sus lanzamientos. De esta propuesta se retoma la idea de incluir en el juego
un dispositivo aleatorio diferente, como los astrágalos y los dados de diferentes caras, ya
que resultan motivantes para los estudiantes.
Otra propuesta es la llamada "Los dados de Efron" (citado por Dunn, 2005), inventados por
Bradley Efron, que consiste en cuatro cubos como se muestra en la figura 2.
Figura 2: Los dados de Efron. Tomado de Dunn (2005, p.38 ##)
En esta propuesta los estudiantes se dan cuenta del papel que juega el dispositivo en un
experimento aleatorio. Para este caso particular, la propiedad de los dados de Efron es
que P (A le gane a B) = 2/3, P (B le gane a C) = 2/3, P (C le gane a D) = 2/3, y aún P (D le
31
gane a A) = 2/3. El carácter imprevisible de los resultados arrojados por los dados es casi
siempre inesperado y despierta curiosidad en los estudiantes.
Otro trabajo de interés es el realizado por Gallardo et al. (2007). Los autores proponen
varios juegos, como recurso didáctico en el aula de matemáticas, con el fin de introducir
algunos conceptos de probabilidad en secundaria e incitar a los alumnos a plantearse
numerosas cuestiones que les ayuden a comprender los diversos problemas donde el azar
está inmerso. Los autores señalan que los enfoques prácticos propuestos son útiles para
revelar la naturaleza impredecible del azar puesto que posibilitan la aproximación, de forma
intuitiva, a algunas de las ideas básicas de la probabilidad y proveen un contexto
significativo en el que nociones teóricas propias del estudio de la probabilidad pueden ser
introducidas. Su idea del juego del puente motiva el diseño de “Cruzando Ríos”, como se
verá en la sección 3.2 ellos plantean un juego sencillo con el fin de que los estudiantes
identifiquen únicamente eventos imposibles, igual de posibles y seguros.
2.5 HERRAMIENTAS DEL EOS PARA EL ANÁLISIS DIDÁCTICO
En el siguiente apartado se mencionarán algunas consideraciones sobre los elementos
fundamentales del Enfoque Onto-Semiótico (EOS, Godino, 2011), el cual provee bases
teóricas para la realización del diseño, la ejecución y el análisis de los conocimientos
didáctico-matemáticos inmersos en la enseñanza de la probabilidad, específicamente
abordados en este trabajo.
Significados institucionales y personales
En este enfoque se asume como práctica matemática a " toda actuación o manifestación
(lingüística o no) realizada por alguien para resolver problemas matemáticos,
comunicar a otros la solución, validar la solución y generalizarla a otros contextos
y problemas” (Godino y Batanero, 1994, p. 334, en Godino, 2002).
Dichas prácticas pueden ser idiosincrásicas de una persona o compartidas por una
institución. Por institución se entiende un colectivo de personas involucradas en una
misma clase de situaciones problemáticas, que al ser abordadas, desarrollan prácticas
32
sociales que suelen tener rasgos particulares, y son generalmente condicionadas por los
instrumentos disponibles en la misma, sus reglas y modos de funcionamiento.
En el análisis del proceso de aprendizaje de las matemáticas, es importante considerar
los sistemas de prácticas operativas y discursivas, que se ponen de manifiesto en el
momento en que una persona actúa para resolver un problema específico.
Objetos matemáticos primarios
Desde el EOS, el significado de un objeto matemático está determinado por los sistemas
de prácticas, activados por personas o instituciones, cuando se enfrentan a un tipo de
situaciones problemáticas de las cuáles surge este objeto (Godino, 2003 en Gómez, 2014).
En el caso de la probabilidad, desde su naturaleza epistemológica se reconocen diversos
significados institucionales, entre ellos el intuitivo, el clásico, el frecuencial y el subjetivo.
En el entorno educativo, Godino (2003, en Gómez, 2014) identifica cinco tipos de
significado a nivel institucional: el holístico (sistema de prácticas en el sentido más amplio),
el referencial (sistema de prácticas base), el pretendido (sistema de prácticas para la
planificación de un proceso de enseñanza), el implementado (sistema de prácticas
implementado por el docente), y el evaluado (subsistema que utiliza el docente para valorar
los aprendizajes). En este trabajo, un primer paso será realizar la búsqueda de los
lineamientos curriculares para grado sexto, que corresponde a un significado referencial
de la institución escolar. La secuencia didáctica propuesta debería responder a las
sugerencias curriculares, pues corresponde a una parte del significado pretendido.
Cada significado institucional se caracteriza, entre otros elementos, por los siguientes
objetos matemáticos primarios (Godino, Batanero y Font, 2007):
• Situaciones problema: entendidas como las aplicaciones extra-matemáticas,
ejercicios, problemas, que inducen una actividad matemática.
• Elementos lingüísticos: corresponde a términos, expresiones, notaciones, gráficos
que se utilizan para representar los datos del problema, las operaciones con estos
datos y las soluciones encontradas. Algunos ejemplos serían los símbolos,
diagramas en árbol, tablas o histogramas de frecuencias.
• Conceptos: hace referencia a la definición de los objetos matemáticos, implícitos y
expliciticos que el estudiante ha de recordar al abordar una situación.
33
• Proposiciones: son enunciados sobre relaciones o propiedades de los conceptos.
Por ejemplo, la frecuencia relativa ℎ(𝐴) con que aparece un mismo resultado 𝐴 en
una secuencia de experimentos bajo idénticas condiciones es un número
comprendido entre 0 y 1.
• Procedimientos: comprender el conjunto de algoritmos, operaciones, técnicas de
cálculo que los estudiantes aplican al resolver el problema. Algunos procedimientos
que se enseña a los estudiantes son la estimación de probabilidades a partir de
frecuencias relativas (ya sea por recolección de datos o por simulación) y el cálculo
de probabilidades con un modelo de distribución de probabilidades.
• Argumentos: enunciados usados para validar o explicar proposiciones y
procedimientos, o bien la solución de los problemas. Pueden ser deductivos,
inductivos, formales o informales.
3. CAPÍTULO III: DISEÑO DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA
Una de las motivaciones de este trabajo fue brindar una herramienta a los profesores de
educación básica secundaria para iniciar a los estudiantes en la construcción de nociones
de probabilidad, tomando como contexto una actividad motivante para ellos, como lo es el
juego. Este capítulo da cuenta de ese propósito, explicando al profesor cada paso del
diseño con el fin de facilitar su aplicación o su adaptación para estudiantes de otro contexto
socio-cultural.
La secuencia didáctica que se propone en este trabajo consta de cuatro actividades
articuladas (ver Anexo), previendo para su aplicación cuatro sesiones de clase de 60
minutos cada una. Una parte de su diseño estuvo definida por los resultados de una
actividad inicial (descritos en la sección 4.2), a manera de prueba diagnóstico. En la
sección 3.1 se observa que esta prueba se planteó como un cuestionario de pregunta
34
abierta (ver Anexo 1), con el objetivo de identificar los desempeños de los estudiantes,
previos a la experimentación de la propuesta en el aula, relacionados con enfrentar y
resolver situaciones bajo incertidumbre, en las cuales se espera que apliquen de manera
formal o informal probabilidad clásica y frecuencial.
Para el diseño del juego (sección 3.2) se consideró parcialmente el desarrollo histórico de
la probabilidad, en particular la experimentación con astrágalos, previo a la aparición de
dados de diferentes caras, y la aproximación hecha por Bernoulli a la primera ley de los
grandes números. Las tres actividades didácticas relacionadas con el juego (anexos 2 a 4)
incluyeron preguntas sobre la forma del dispositivo y su relación con los posibles
resultados. La secuencia de las preguntas se originó desde la experimentación en el juego
hasta la interpretación de los resultados del experimento aleatorio, teniendo en cuenta los
posibles obstáculos potenciales ligados a sesgos y que podrían surgir según los
antecedentes consultados.
La secuencia finaliza con una actividad de cierre (Anexo 5), que busca que los estudiantes
reflexionen y realicen conclusiones sobre los resultados obtenidos en el juego. En esta
actividad se buscará consolidar la construcción del concepto de probabilidad desde la
noción frecuencial, a través de la proyección y análisis de los resultados de los
lanzamientos obtenidos por todos los estudiantes (ver final de la sección 3.2).
3.1 DISEÑO DE LA PRUEBA DIAGNÓSTICO
En primera instancia se considera necesario diseñar una “actividad diagnóstico”, cuyo
propósito fundamental es indagar por las concepciones del estudiante alrededor de la
probabilidad. Esta actividad metodológicamente sitúa al profesor, permite saber cuáles son
los puntos de partida que tiene el estudiante y cómo ubicarlo en el nivel de desarrollo real
(el nivel desarrollo real se mide en la zona de desarrollo próximo, ZDP). En ese momento
inicial, el profesor considera qué mirar y cómo mirar los desempeños del estudiante. Se
trata de construir un perfil de entrada con las características de los significados personales,
previamente construidos por el estudiante. La categorización de la información y análisis
de resultados a la luz de los referentes teóricos permitirá, entre otras cosas, caracterizar
35
mejor la problemática, los aprendizajes alcanzados por los estudiantes y ajustar los
indicadores de evaluación.
La primera pregunta es adaptada del libro Proyecto Sé 5 (Osorno y Alfonso 2012). En ella
se busca identificar si el estudiante compara eventos simples equiprobables a través del
establecimiento de la comparación de proporciones (regla de Laplace).
La segunda pregunta abarca nociones sobre probabilidad simple con asignación clásica
(comparación de probabilidades con razonamiento proporcional), variable aleatoria y
esperanza matemática (juego equitativo). Adaptado de Fischbein y Gazit (1984), se
propone para evaluar probabilidades simples del significado clásico (comparación
proporcional).
La tercera pregunta, adaptada de Fischbein y Gazit (1984), evalúa conceptos sobre
probabilidad simple con asignación frecuencial, percepción de la aleatoriedad, sesgo de
equiprobabilidad y variable aleatoria, denotando la pregunta en un contexto cotidiano, el
juego de amigo secreto.
Finalmente, la cuarta pregunta se adapta de la pregunta 34 del cuadernillo liberado de
pruebas Saber 2014 para grado quinto (ICFES, 2014). Pretende corroborar si el estudiante
realiza una interpretación de las frecuencias de los datos registrados, estableciendo
relaciones de mayor o menor grado de probabilidad de ocurrencia, únicamente a través de
la interpretación de los conteos representados en una tabla.
Es sumamente importante conocer el estado inicial de los estudiantes en cuanto a
nociones previas sobre probabilidad, ya que sólo así se puede diseñar la propuesta
atendiendo a las necesidades arrojadas en las producciones de los estudiantes, además
los resultados de esta prueba permiten organizar y delimitar los alcances de la misma y las
consideraciones didácticas que se deben tener en cuenta para su ejecución.
A continuación se presenta un análisis a priori de la prueba. Primero se expone cada ítem
con una posible forma de solución, los contenidos probabilísticos que los constituyen por
medio de la guía de reconocimiento de objetos matemáticos primarios según EOS,
propuesta por Godino, Batanero y Font (2007).
Las guías entregadas a los estudiantes se encuentran en el anexo 1. En todas las
actividades la profesora hizo énfasis en que argumentaran las respuestas, ya fuera que
36
1. La figura muestra dos ruletas que tienen agujas que una vez giradas se detienen y apuntan
a un color. ¿Con qué disco es más fácil obtener el color azul?
Ruleta 1 Ruleta 2
explicaran los procedimientos o los razonamientos que seguían para llegar a la respuesta
que consignaban en la guía.
Primera pregunta y su análisis a priori
Este planteamiento (Fig.3) se adaptó de Martínez et al (2012). Para su solución se espera
que el estudiante responda que es más fácil obtener el color azul al girar la ruleta 2.
Figura 3: Pregunta 1- prueba diagnóstico
Con los argumentos dados por los niños a esta pregunta se pretende valorar si ellos logran:
• Identificar el espacio muestral de la experiencia aleatoria “girar la ruleta 1” y “girar
la ruleta 2”.
• Asignar el grado de ocurrencia del evento simple “obtener el color azul” para cada
uno de los experimentos aleatorios (ruleta 1 y 2) teniendo en cuenta el espacio
muestral de cada uno.
• Comparar el grado de ocurrencia de dicho evento en cada una de las ruletas y
expresar, ya sea en palabras o números, en cuál de los dos experimentos es más
fácil obtener color azul.
La tabla 1 contiene el análisis a priori de la primera pregunta respecto a los objetos
matemáticos que se ponen en juego y su significado al ser interpretados por los
estudiantes, utilizando marco EOS (sección 2.5).
37
Tabla 1: Análisis a priori pregunta 1- prueba diagnóstico.
Objetos matemáticos que se ponen en
juego
Significado (Interpretación que se espera
del estudiante)
SITUACIÓN PROBLEMA
Asignar el grado de ocurrencia del evento, para
cada experiencia aleatoria.
Establecer el mayor y el menor grado de
ocurrencia.
Asignar el grado de ocurrencia del evento
“obtener el color azul” para cada ruleta.
Comparar el grado de ocurrencia de dicho
eventos, con el fin de predecir en cuál de los
dos discos es más probable éste se dé.
LENGUAJE
Natural o cotidiano El enunciado se presenta con términos
conocidos para los estudiantes.
Numérico - Simbólico Uso de números naturales o racionales para
abordar la pregunta propuesta.
Íconos La representación icónica de las ruletas busca
facilitar el cálculo del espacio muestral de cada
experimento, y hacer evidente el grado de
ocurrencia del evento, para cada experimento.
CONCEPTOS O DEFINICIONES
Experimento aleatorio Girar cada una de las ruletas y observar el color
que señala la aguja.
Evento simple Obtener color azul en cada uno de los
experimentos.
Espacio muestral Conjunto de todos los posibles resultados que
se pueden obtener al realizar cada uno de los
experimentos.
Probabilidad Establecer una proporción que relacione el
evento “obtener color azul” respecto al total de
posibles resultados, para cada uno de los
experimentos.
PROPIEDADES- PROPOSICIONES
38
Equiprobabilidad Cada uno de los espacios de cada ruleta tiene
la misma área, por tanto la obtención de cada
uno de los colores es equiprobable.
Espacio muestral discreto Conjunto de todos los posibles resultados al
realizar cada uno de los experimentos.
Casos favorables Subconjunto del espacio muestral que
satisface la condición “obtener color azul”.
Casos posibles. Conjunto de todos los posibles resultados que
se pueden obtener al realizar cada uno de los
experimentos.
Regla de Laplace Número de casos favorables del evento
“obtener color azul” respecto al número de
casos posibles.
PROCEDIMIENTOS
Asignar grado de ocurrencia Establecer la proporción de cada evento
respecto al espacio muestral.
Cálculo formal de las probabilidades Aplicar la regla de Laplace.
Comparación de las probabilidades en cada
experimento aleatorio.
Establecer la correspondencia entre el evento
y el espacio muestral de cada ruleta y
comparar la probabilidad con el fin de
establecer en cuál de las dos es más probable
que se dé el evento establecido.
ARGUMENTOS
Deductivo Uso de la representación icónica de cada
ruleta, para la asignación de las probabilidad
del evento en cada experimento.
Deductivo Uso de la regla de Laplace para asignar la
probabilidad del evento y así poder determinar
en cuál de los dos es más fácil que suceda el
evento propuesto.
Segunda pregunta y su análisis a priori
Este planteamiento (Figura 4) fue adaptado de Fischbein y Gazit (1984). Pretende
corroborar si el estudiante realiza una interpretación de las frecuencias de cada dato,
39
Los estudiantes de una clase de matemáticas van a jugar al Amigo secreto. La clase está compuesta
por 13 hombres y 16 mujeres. Para jugar, cada nombre de los alumnos se escribe sobre un trozo
de papel y todos los trozos se ponen en una bolsa. El profesor saca uno de los papeles sin mirar.
Lee con atención cada una de las siguientes afirmaciones y escoge la que consideres verdadera.
I. Es más probable que el nombre sea de un hombre que de una mujer.
II. Es más probable que el nombre sea de una mujer que de un hombre.
III. Es igual de probable que sea un hombre que de una mujer.
Figura 4: Pregunta 2 prueba diagnóstico
estableciendo relaciones de mayor o menor grado de probabilidad de ocurrencia,
únicamente a través de la interpretación del conteo de la tabla.
Se espera que el estudiante escoja la opción II, para ello deberá:
• Calcular el espacio muestral adicionando la cantidad de papeles que tienen escrito
nombres de hombres y mujeres (29)
• Asignar el grado de ocurrencia de cada uno de los eventos mediante la regla de
Laplace (porque los sucesos elementales son equiprobables).
• Comparar la probabilidad de los eventos “es el nombre de un hombre” y “es el
nombre de una mujer”, concluyendo que es más probable que ocurra este último.
Tabla 2: Análisis pregunta 2- prueba diagnóstico.
Objetos matemáticos que se ponen en
juego
Significado (Interpretación que se espera
del estudiante)
SITUACIÓN PROBLEMA
Predecir el evento
experimento simple.
más probable en un Tratar de anticipar el resultado “obtener
nombre de hombre” “obtener nombre de
mujer”, teniendo en cuenta qué es lo más
posible que ocurra.
LENGUAJE
Natural o cotidiano La situación se presenta bajo una actividad
cotidiana. El enunciado se expresa en términos
conocidos para los estudiantes.
Numérico En el enunciado se presentan números
naturales.
40
CONCEPTOS O DEFINICIONES
Experimento aleatorio Escoger de una bolsa con varios papeles, un
papel con el nombre de un estudiante.
Evento simple Conjunto de resultados que satisfacen la
condición “Obtener el nombre de un hombre”
“obtener el nombre de una mujer”.
Espacio muestral Conjunto de todos los posibles resultados que
se pueden obtener al realizar la extracción de
un papel de la bolsa.
Probabilidad Medida de la posiblidad de que el nombre que
salga sea el de un hombre o el de una mujer.
Equiprobabilidad Cada uno de los papeles tiene la misma
probabilidad de salir.
PROPIEDADES- PROPOSICIONES
Espacio muestral discreto Conjunto de todos los posibles resultados al
realizar el experimento.
Casos favorables Subconjunto del espacio muestral que
satisface la condición “es el nombre de un
hombre” o “es el nombre de una mujer”.
Casos posibles. Conjunto de todos los posibles resultados que
se pueden obtener al realizar el experimento.
Cada uno de los papelitos que se introdujeron
en la bolsa.
Regla de Laplace Casos favorables del evento “es el nombre de
un hombre” o “es el nombre de una mujer"
sobre el número de casos posibles.
PROCEDIMIENTOS
Comparar la posibilidad de ocurrencia de cada
evento.
Reconocer el mayor grado de ocurrencia de
cada evento y así identificar que es más
posible obtener el nombre de una mujer que el
de un hombre.
Cálculo formal de las probabilidades Aplicar la regla de Laplace.
Comparación de las probabilidades en cada
experimento aleatorio.
Establecer la correspondencia entre los dos
eventos y el espacio muestral. Comparar la
probabilidad con el fin de establecer en cuál de
41
Santiago tiene en su caja 15 bolas blancas y 30 negras. Lucia tiene en la suya 20 bolas blancas y
40 negras. Juegan una partida sacando bolas al azar. El ganador es el niño que saque primero una
bola blanca. Si ambos sacan simultáneamente una bola blanca o una bola negra, ninguno gana,
devuelven las bolas a las cajas y la partida continúa. Santiago afirma que el juego no es justo porque
en la caja de Lucia hay más bolas blancas que en la suya. ¿Tú crees que el juego es justo o injusto?
¿Por qué?
los dos eventos tiene mayor probabilidad de
ocurrir.
ARGUMENTOS
Deductivo Uso de la regla de Laplace para asignar la
probabilidad del evento y así poder determinar
en cuál de los dos es más fácil que suceda el
evento propuesto.
Tercera pregunta y su análisis a priori
Este planteamiento (Figura 5) fue adaptado de Fischbein y Gazit (1984), se propone para
evaluar probabilidades simples del significado clásico (comparación proporcional).
Figura 5: Pregunta 3 prueba diagnóstico
Se espera que el estudiante responda que el juego es justo porque la probabilidad de
obtener una bola blanca en ambas cajas es de 1. 3
Además puede argumentar que la proporción de la cantidad de bolas blancas respecto al
total de bolas, es el mismo en ambas cajas.
Tabla 3: Análisis pregunta 3- prueba diagnóstico.
Objetos matemáticos que se ponen en
juego
Significado (Interpretación que se espera
del estudiante)
SITUACIÓN PROBLEMA
Asignar el grado de ocurrencia para cada
evento y comparar la posibilidad de ocurrencia
de cada uno.
Asignar el grado de ocurrencia del evento
“obtener una bola blanca” para cada una de las
cajas.
42
Comparar la posibilidad de ocurrencia de dicho
evento, con el fin de predecir en cuál de las dos
cajas es más probable éste se dé.
LENGUAJE
Natural o cotidiano La situación se presenta bajo una actividad
cotidiana realizada por la mayoría.
El enunciado se expresa en términos
conocidos para los estudiantes.
Numérico Utilización de números naturales o racionales
para abordar la pregunta propuesta.
CONCEPTOS O DEFINICIONES
Experimento aleatorio Fenómeno de sacar una bola de una caja que
contiene 15 bolas blancas y 30 negras.
Fenómeno de sacar una bola de una caja que
contiene 20 bolas blancas y 40 negras.
Evento simple Conjunto de resultados que cumple la
condiciones de sacar una bola de color blanco
de cada una de las cajas.
Espacio muestral Para cada caja es el conjunto de todas las
bolas, negras y blancas.
Probabilidad Medida de la posibilidad de que ocurra el
evento "sacar una bola blanca".
Proporción Relación entre el evento “obtener una bola
blanca” en cada una de las cajas, respecto al
total de posibles resultados.
PROPIEDADES- PROPOSICIONES
Espacio muestral discreto Conjunto de todos los aciertos registrados en la
tabla.
Casos favorables Subconjunto del espacio muestral que
satisface la condición “sacar una bola blanca”.
Casos posibles. Conjunto de los aciertos registrados para cada
una de las zonas.
43
Alberto va a participar en un torneo de tiro al blanco con lanzamiento de dardos, utilizando
un tablero como el que aparece en la ilustración. En una de sus prácticas, Alberto registró las veces
que cayó el dardo en cada zona.
Regla de Laplace Número de casos favorables del evento
“obtener una bola blanca” respecto al número
de casos posibles.
PROCEDIMIENTOS
Cálculo formal de las probabilidades Aplicar la regla de Laplace.
Comparación de las probabilidades en cada
experimento aleatorio.
Establecer la correspondencia entre el evento
y el espacio muestral de cada caja y comparar
ambas probabilidades con el fin de establecer
que el evento es igual de probable en cada
experimento.
Simplificación Simplificar cada una de las probabilidades e
identificar que representan el mismo grado de
ocurrencia.
ARGUMENTOS
Deductivo Uso de la regla de Laplace para asignar la
probabilidad del evento y así poder determinar
en cuál de los dos es más fácil que suceda el
evento propuesto.
Cuarta pregunta y su análisis a priori
Este planteamiento (Figura 7) Pretende corroborar si el estudiante realiza una
interpretación de las frecuencias de cada dato, estableciendo relaciones de mayor o menor
grado de probabilidad de ocurrencia, únicamente a través de la interpretación del conteo
de la tabla.
44
a) De acuerdo con las observaciones si el dardo cayó en el tablero, la probabilidad de que
haya caído en la zona E fue:
A. igual que la probabilidad de que haya caído en la zona F o en la H.
B. mayor que la probabilidad de que haya caído en la zona G o en la H.
C. igual que la probabilidad de que haya caído en la zona H.
D. menor que la probabilidad de que haya caído en la zona G.
b) Calcula la probabilidad de que el dardo caiga en la zona E.
Figura 6: Tablero y tabla de resultados.
Figura 7: pregunta 4 instrumento diagnóstico.
En la parte a), se espera que el estudiante reconozca que la probabilidad de que el dardo
haya caído en la zona E es mayor que la probabilidad de que haya caído en las zonas G
o H, a través de la comparación de las frecuencias de los aciertos que se muestran en
cada una de las zonas de la tabla. En la parte b), se espera que el estudiante asocie la
idea de probabilidad con la frecuencia relativa.
Tabla 4: Análisis a priori pregunta 4- prueba diagnóstico.
Objetos matemáticos que se ponen en
juego
Significado (Interpretación que se espera
del estudiante)
SITUACIÓN PROBLEMA
Asignar el grado de ocurrencia de un evento a
partir de las observaciones registradas.
Comparar la posibilidad de ocurrencia de dos o
más eventos.
Asignar el grado de ocurrencia del evento “caer
en la zona E”.
45
Comparar la posibilidad caer en la zona E”,
respecto a las demás posibilidades de cada
evento propuesto, “caer en la zona F, G o H”
LENGUAJE
Natural o cotidiano El enunciado se expresa en términos
conocidos para los estudiantes.
Tabular: lista de resultados observados Lista de aciertos en cada una de las zonas.
NUMÉRICO Las respuestas están expresadas con números
naturales.
CONCEPTOS O DEFINICIONES
Experimento Aleatorio Lanzar un dardo hacia el tablero y observar la
zona en la que cae.
Espacio muestral Conjunto de todos los posibles resultados que
se pueden dar al realizar el experimento
aleatorio.
Evento Subconjunto del espacio muestra definido
como “caer en la zona E” al lanzar el dardo.
Frecuencia absoluta de cada evento Cantidad de veces que el dardo cayó en cada
zona.
Probabilidad frecuencial Número de veces que el dardo cayó en cada
zona respecto al total de lanzamientos
realizados.
PROPIEDADES- PROPOSICIONES
Repeticiones Cantidad de aciertos en cada una de las zonas
del tablero.
Frecuencia relativa que se aproxima a la
probabilidad
Si se aumenta el número de repeticiones, la
frecuencia relativa del evento tiende a
aproximarse a la probabilidad teórica.
PROCEDIMIENTOS
Establecer la frecuencia absoluta Contar el número de aciertos para cada una de
las zonas.
Establecer la frecuencia relativa(B) Calcular la proporción de los aciertos en la
zona E, respecto al total de aciertos.
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Asignación frecuencial de la probabilidad(B) Valor hacia el cual tiende la frecuencia relativa
en cada una de las zonas, dentro de la
secuencia de resultados que aparecen en la
tabla.
Comparar frecuencias absolutas(A) Estimar el grado de posibilidad de ocurrencia
en cada una de las zonas, desde la
comparación de los resultados registrados.
ARGUMENTOS
Deducir Estimar el grado de ocurrencia del evento a
partir del análisis de los registros de la tabla.
Los resultados de la aplicación de esta prueba inicial se describen en la sección 4.2. En
general, los resultados evidenciaron la identificación del espacio muestral en un
experimento simple, y el cálculo y comparación de probabilidades utilizando la regla de
Laplace. Respecto a las interpretación de las frecuencias absolutas, a los estudiantes les
cuesta relacionar la cantidad de aciertos que se han obtenido al realizar el experimento
con la posibilidad de realizar estimaciones sobre lo que es más probable que ocurra en el
futuro, lo cual refleja que el concepto de probabilidad no se ha construido desde un enfoque
frecuencial. Esta información es sumamente importante porque le permite al maestro
ajustar el diseño del juego y la estructura de las preguntas desde las necesidades de sus
estudiantes. En este caso particular, la información de la prueba diagnóstico generó la
estructura de la secuencia presentada a continuación.
3.2 EL JUEGO: CRUZANDO RÍOS
El juego que se presenta en este trabajo está inspirado en la propuesta de Gallardo et al.
(2007), como se citó en la sección 2.4. Los autores proponen diferentes juegos que tienen
como objetivo ayudar a que los estudiantes de secundaria (entre 14 y 16 años) entiendan
distintos objetos de la probabilísticos, entre ellos se encuentra "cruzar el puente", en el cual
han de participar dos jugadores, cada uno de los cuales dispone de 12 fichas. El tablero
de juego es una hoja que tiene impresa la imagen de la Figura 8, la franja central representa
un río. El juego da inicio colocando una ficha de cada jugador en cada una de las doce
casillas que tiene de su lado del rio (quedando una ficha por casilla). El primer jugador
47
lanzará dos dados, sumará los puntos obtenidos en las caras superiores de los mismos y
pasará al otro lado del río la ficha que esté situada en la casilla que tenga el número que
ha obtenido al realizar la suma. A continuación lanzará los dos dados el segundo jugador
quien deberá repetir el mismo proceso. Así se deberá continuar hasta que alguno de los
jugadores pase todas sus fichas al otro lado del río. ¿Es esto posible? No, el objetivo de
pasar todas las fichas no se cumple para la primera posición, nunca pasará el río.
Figura 8: Tablero para el juego Cruzar el Río - Gallardo et al (2007, p. 202).
En primera instancia, a los alumnos se les plantea la actividad con el objetivo (imposible)
que se ha mencionado con anterioridad. Cuando identifiquen la imposibilidad de la
propuesta, los alumnos volverán a jugar buscando el mismo objetivo pero ahora situando
las fichas donde ellos quieran (desde situarlas cada una en un lugar hasta ponerlas todas
en la misma casilla). Realizarán el juego varias veces de manera que ellos mismos puedan
descubrir que hay posiciones desde las que es más fácil pasar al otro lado (mayor
probabilidad de ocurrencia) y posiciones menos probables o imposibles (casilla 1). Los
objetos matemáticos primarios más importantes tratados en este juego son la propiedad
de ausencia de equiprobabilidad, el concepto de suceso imposible y los conceptos de
sucesos más o menos probables.
El juego que se plantea en este trabajo final presenta varias modificaciones al juego antes
descrito, con varias finalidades, en particular, aumentar gradualmente la complejidad de la
situación aleatoria conservando muchas de las características del contexto para promover
que los mismos estudiantes identifiquen patrones y distingan diferencias. La estructura de
este diseño tiene en cuenta las consideraciones didácticas mencionadas en la sección 2.3
respecto a la secuencia de los experimentos aleatorios que han de ser trabajados por los
estudiantes en la construcción de la noción de probabilidad frecuencial.
Cabe notar que el juego original se propone para estudiantes de 14-15 años (quienes
cursarían el 2º grado de Educación Secundaria Obligatoria, según el currículo español),
48
en tanto esta propuesta didáctica se dirige a niños de 11-12 años quienes empiezan su
educación secundaria y en ocasiones previamente no han tenido contacto con la
probabilidad (aunque esté el currículo colombiano de primaria). La compresión de
experimentos aleatorios compuestos requiere cierto nivel de desarrollo en el razonamiento
probabilístico, por lo que se consideró prudente empezar el juego con experimentos
aleatorios simples, utilizando dispositivos que permitieran contrastar las diferencias en los
posibles resultados cuando hay situaciones con equiprobabilidad de los sucesos
elementales y sin esta propiedad.
En este orden de ideas se proponen 3 ríos diferentes, los dos primeros representan
experimentos aleatorios simples. En el primero, es posible llevar todas las fichas al otro
lado del río y se utiliza un dispositivo irregular, que simula un astrágalo, con esto se recrea
lo que ocurrió a nivel histórico en cuanto al desarrollo de la probabilidad como campo de
problemas (ver sección 2.1). En el segundo también es posible llevar todas las fichas al
otro lado del río y se cuenta con un dado de diez caras. En el tercero es imposible llevar
todas las fichas al otro lado del río (como sucedía en la Figura 8) y se juega con dos dados
de seis caras, para generar un experimento compuesto.
Otra modificación de esta propuesta con respecto al trabajo de Gallardo et al (2007) tiene
que ver con el uso de diferentes representaciones para registrar los resultados observados,
en distintos momentos, a través de tablas o gráficos, con el fin de favorecer el
reconocimiento del vínculo/conexión entre estadística y probabilidad. En primer lugar, cada
guía para la actividad pide registrar los resultados de cada lanzamiento en tablas que
posteriormente ayudarán a los estudiantes a identificar patrones, en este caso sucesos
que se repiten más o menos que otros, junto con las preguntas orientadoras que buscan
que el estudiante reflexione posteriormente sobre lo que está ocurriendo mientras juega.
Por último, cada guía pide representar gráficamente la información contenida en la tabla.
La última modificación que aporta esta propuesta, está en la cuarta actividad que encamina
las actividades anteriores hacia la institucionalización. En esta parte, se proyecta al grupo
una gráfica por cada río, que recopila y acumula los lanzamientos de todos los estudiantes,
con el fin de que ellos encuentren regularidades y diferencias respecto a los tres
experimentos realizados, y así construyan la noción de probabilidad desde un enfoque
frecuencial.
49
Cabe aclarar que los estudiantes de grado sexto (11-12 años) necesitan un poco más de
orientación en cuanto a los procedimientos que los estudiantes de 14-15 años, porque en
primaria suelen recibir instrucciones paso a paso. Por esta razón todas las guías cuentan
con instrucciones y preguntas orientadoras paso a paso que permiten a los estudiantes
verificar la actividad a realizar y enfocarse en los aspectos relevantes que les permitirán
responder las preguntas.
A continuación se describe desde un punto de vista didáctico la secuencia propuesta. Las
guías de clase para orientar el trabajo de los estudiantes se encuentran en los Anexos 2 a
4.
JUEGO: CRUZANDO RIOS
Objetivo de aprendizaje:
• Estimar el grado de ocurrencia de cada uno de los eventos presentados en el
experimento, desde un enfoque frecuencial.
Objetivo del juego
• Cruzar cada uno de los ríos propuestos, llevando todas las fichas de un lado al otro
en el menor número de movimientos posibles.
Planeación de las clases:
El desarrollo de la propuesta se plantea para 4 sesiones de 60 minutos, que se organizan
en nueve momentos, como se observa en las tablas 5 y 6:
Tabla 5: Organización de la primera sesión de clase.
Momento Tiempo estimado Trabajo a realizar
1 15 minutos Conformación de equipos de
trabajo (parejas) y explicación
del juego.
2 10 minutos Solución de las preguntas
propuestas antes de jugar.
3 20 minutos Experimentación con los ríos 1
2 y registro de los lanzamientos
en las guías de clase.
50
4 15 minutos Resolución de las preguntas
orientadoras después de jugar.
En esa primera sesión se dan las pautas para jugar, se conforman las parejas y se explican
una a una las preguntas propuestas en la guía del estudiante. Es muy importante
corroborar que los estudiantes comprendan que a medida que van jugando deben ir
registrando sus lanzamientos, tanto en la primera como en la última parte.
La segunda sesión tiene como objetivo jugar con la plantilla del río 3, en este punto los
estudiantes ya están familiarizados con la dinámica del juego y con las instrucciones
comunes a las 3 actividades, por tanto se podrá contar con más tiempo para realizar la
actividad de cierre.
Tabla 6: Organización segunda sesión de clase.
Momento Tiempo estimado Trabajo a realizar
1 5 minutos Solución de las preguntas
propuestas antes de jugar.
2 15 minutos Experimentación Río 3
3 10 minutos Resolución de las preguntas
orientadoras después de jugar.
4 10 minutos Proyección de las gráficas a
todo el grupo.
5 20 minutos Elaboración de conclusiones.
DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL MANIPULATIVO E INSTRUCCIONES DEL JUEGO:
RÍO 1
La franja central que se observa en la Figura 10
representa un río y a cada lado 4 casillas que se
diferencian entre sí, por medio de colores. Para este
juego se necesitan 8 fichas, 4 por cada jugador y la
Figura 9: astrágalos y fichas del juego propuesto.
51
imitación de un "astrágalo", que en cada una de sus "caras" tiene plasmado un color que
será acorde con alguna casilla del río 1(ver Figura 9).
Figura 10: Representación Río 1.
En esta parte del juego han de participar dos jugadores; cada uno de los cuales dispone
de 4 fichas. Se debe colocar cada ficha en cada una de las casillas (una ficha por casilla).
El primer jugador lanzará el "astrágalo" y pasará al otro lado del río la ficha que esté situada
en la casilla que tenga la figura que ha obtenido al lanzarlo. El segundo jugador deberá
repetir el mismo proceso. Así se deberá continuar hasta que alguno de los jugadores pase
todas sus fichas al otro lado del río.
RÍO 2
En esta segunda parte del juego cada jugador dispone de 10 fichas que se deben colocar
en cada una de las casillas (una ficha por casilla). El primer jugador lanzará el dado (ver
Figura 11) y pasará al otro lado del río la ficha que esté situada en la casilla que tenga el
número que ha obtenido. El segundo jugador deberá seguir las mismas instrucciones.
Figura 11: Dados de 10 caras.
Figura 12: Representación Río 2.
RÍO 3
52
El último río dispone de 12 casillas (Ver Figura 13), se procede de forma similar a los ríos
anteriores (una ficha en cada casilla), sólo que en este río los movimientos se realizarán
tomando como referencia la suma del lanzamiento de dos dados convencionales, de 6
caras cada uno.
Figura 13: Representación del Río 3.
Descripción de las guías de clase y análisis apriori
Para cada una de las sesiones propuestas se proponen varias preguntas, articuladas de
acuerdo con los objetos del diseño a priori de la sección. Las guías de clase contienen 10
a 12 preguntas orientadoras que promueven la reflexión posterior al juego. El esquema de
estas guías y el propósito de cada una de las preguntas se presentan en la Tabla 7.
Tabla 7: Preguntas propuestas y su propósito en cada una de las secciones del juego.
Propósito de la sección Preguntas en el río 1 Preguntas en el río 2 Preguntas en el río 3
Antes de jugar Reflexionar sobre las
características físicas del
dispositivo y su directa relación
con el conjunto de todos los
posibles resultados.
1. ¿Cómo describirías la forma del astrágalo? 2. ¿Crees que la forma del astrágalo interviene en la posición en la que cae al ser lanzado? 3. ¿Crees que es posible que
algún jugador logre cruzar el río?
¿por qué? ¿cómo lo haría?
1. ¿Qué diferencia encuentras
entre el astrágalo y el dado de
diez caras?
2. ¿Consideras que la forma del
astrágalo y la forma del dado
influyen en el resultado que se
obtiene al lanzar cada uno de
estos?
1. Encuentren todas las posibles
opciones que se pueden dar al
lanzar dos dados de seis caras.
Durante la experimentación del
juego
Completa la tabla registrando los resultados que vas obteniendo, marca una línea cada vez que aparece un color y después realiza el conteo.
Después de jugar Reflexionar sobre el
comportamiento de los resultados
recopilados en casa uno de los
lanzamientos, identificando
sucesos equiprobables y no
equiprobables en cada río.
4.¿Cuántos lanzamientos
realizaste en total?
5.¿Cuál de los colores aparece
con mayor frecuencia? ¿Cuál con
menos frecuencia?
6. ¿Algunos colores aparecen
con la misma frecuencia?
¿Cuáles?
7. ¿Qué parte del total de
lanzamientos corresponde a cada
color?
8. Si pudieras situar las fichas
donde quisieras ¿en qué color las
ubicarías? ¿por qué?
9. ¿Te atreverías a predecir cuál
de los colores se repite más?
10. Representa la información
obtenida en la tabla en una
gráfica.
4. ¿Cuántos lanzamientos
realizaste en total?
5. ¿Cuál de los colores aparece
con mayor frecuencia? ¿Cuál con
menos frecuencia?
6. ¿Algunos colores aparecen
con la misma frecuencia?
¿Cuáles?
7. ¿Qué parte del total de
lanzamientos corresponde a cada
color?
8. ¿En este río, es posible pasar
todas las fichas al otro lado? ¿por
qué?
9. Si pudieras situar las fichas
donde quisieras ¿en qué color las
ubicarías? ¿por qué?
10. ¿Te atreverías a predecir cuál
de los colores se repite más?
11. Representa la información
obtenida en la tabla en una
gráfica
La estructura de las preguntas es
la misma desde la 4. hasta la 11,
adicionalmente se proponen:
12. Ubiquen estratégicamente
sus fichas y jueguen de nuevo.
¿En qué casillas ubicarían las
fichas esta vez, sabiendo que
pueden quedar espacios en
blanco? JUSTIFICA.
13. ¿Encontraron alguna
sorpresa?
Frecuencias relativas observadas en el Río 2 Frecuencia relativa 0,2
0,15
0,1
0,05
0
50 100 150 200 Número 250 de repeticiones
UNO
SEIS
DOS
SIETE
TRES
OCHO
CUATRO
NUEVE
CINCO
DIEZ
ACTIVIDAD DE CIERRE
Para concluir la secuencia, el profesor presentará a los estudiantes gráficas (similares a la
Figura 14) construidas con los resultados de la experimentación en el aula. Esta
agrupación progresiva de resultados es una forma visualizar la ley de los grandes números,
se espera que los niños puedan identificar que hay una estabilización de las frecuencias
relativas alrededor de un valor, como ocurrió históricamente. En este sentido, la
acumulación de las frecuencias, su observación y análisis, llevarán a los estudiantes a
seguir un camino como el recorrido por Bernoulli en el siglo XVIII, cuando originó su teoría
sobre la ley de los grandes números.
El profesor puede hacer notar que esta acumulación de resultados es viable porque a
medida que se va desarrollando el juego aumenta la cantidad de repeticiones en idénticas
condiciones, a tal punto que el número de experimentaciones resulta suficientemente
grande para predecir cuáles eventos son más probables de ocurrencia e incluso estimar la
probabilidad de ocurrencia de cada evento. Además, el profesor puede enfatizar
propiedades de la probabilidad y de las frecuencias relativas, por ejemplo que su valor es
un número comprendido entre cero y uno.
Figura 14: Gráfica de resultados observados en el río 2, agregando progresivamente la información dada por cada grupo.
55
En este punto de la actividad es importante tener en cuenta que las proyecciones de las
gráficas deben ser lo suficientemente nítidas para que los estudiantes relacionen el
comportamiento de las líneas que unen los puntos con las frecuencias que aparecen en el
eje vertical, con el fin de favorecer la reflexión guiada a través de las siguientes cinco
preguntas:
1. ¿Cuál fue la principal diferencia entre los experimentos de la parte 1 y 2, respecto
al de la parte 3?
2. Al observar las frecuencias relativas de las dos primeras gráficas ¿qué encuentras
en común entre ellas?
3. Al observar la última gráfica y compararla con las demás ¿cuál es la principal
diferencia que observas?
4. ¿Crees que la cantidad de lanzamientos que se realizaron tiene que ver con el
comportamiento de las frecuencias relativas?
5. Escribe una conclusión en la que relaciones las respuestas anteriores.
Estos cuestionamientos tienen como fin proponer una discusión sobre los datos reflejados
en las gráficas de Excel, y así llevar a los estudiantes a notar tendencias en el
comportamiento de las frecuencias relativas asociadas con el aumento en el número de
repeticiones del experimento. Esta reflexión ha de contribuir a que los estudiantes
construyan por sí mismos una noción de probabilidad, ligada al enfoque frecuencial, al
notar la estabilización que se presenta en el comportamiento de las frecuencias relativas
observadas.
ANÁLISIS A PRIORI
La situación problema común durante la secuencia propuesta es “Predecir el evento más
probable en un experimento aleatorio (simple o compuesto) de sucesos elementales
equiprobables y no equiprobables”. Esta situación se asocia directamente con el objetivo
del juego: “Cruzar cada uno de los ríos propuestos, llevando todas las fichas de un lado al
otro en el menor número de movimientos posibles” (p. 47), en particular cuando enfrenta
una de las instrucciones, predecir el lugar en el que deben ubicarse cada una de las piezas,
según si su puente es el astrágalo, el dado de diez caras, o los dos dados de seis caras.
Utilizando el marco EOS (sección 2.5), esta situación problema se relaciona con los objetos
matemáticos primarios que se ponen en juego al responder a los cuestionamientos
formulados y su significado al ser interpretados por los estudiantes, como se describe en
56
la tabla 8. Debido a que la secuencia didáctica se encuentra dividida en 4 partes, se anexó
a la tabla una columna que señala en qué parte del juego o actividad se hacen evidentes
dichos significados para los estudiantes. El número representa la pregunta de la guía en
la cual dicho significado está presente.
Objetos matemáticos que se ponen
en juego
Significado (Interpretación que se espera del estudiante) Parte
1 del
juego
Parte 2 del
juego
Parte 3
del
juego
Actividad
de cierre
LENGUAJE
Natural o cotidiano El lenguaje que se utiliza es cotidiano para los estudiantes,
aunque es posible que el término "astrágalo" no lo sea.
(1-10) (1-10) (1-10) (1-5)
Numérico - Simbólico Se utilizan números naturales para indicar el número de
apariciones de cada cara.
3,4 3,4 3 NA
Íconos La posición de cada ficha es indicada por un ícono que
carece de valor numérico. Actúa como un indicativo de la
posición.
3 NA NA NA
Gráfica de barras Realizar un cambio de registro entre la información
recolectada en la tabla y una gráfica de barras.
10 10 10 NA
Gráfica de líneas Identificar la tendencia de las frecuencias relativas al
aumentar el número de repeticiones del experimento.
NA NA NA (1-5)
CONCEPTOS O DEFINICIONES
Experimento aleatorio Lanzar el "dado" y observar la cara en la que cae. (1-10) (1-10) (1-10) NA
Frecuencia absoluta Conteo del total de apariciones de cada una de las caras. 3,5 3 3 NA
Frecuencia relativa Cantidad de apariciones de cada cara respecto al total de
repeticiones del experimento.
7 7 7 (1-5)
Evento Subconjunto del espacio muestral que satisface la condición
de caer en determinada casilla del dado.
3 3 2 (1-5)
58
Evento imposible La probabilidad de ocurrencia del evento es cero. NA NA 2,6 (1-5)
Evento compuesto Unión de dos eventos simples. NA NA 1 3
Independencia La ocurrencia de un evento no afecta la ocurrencia de otro. NA NA 1,2 (1-2)
Espacio muestral Total de las apariciones al realizar el experimento aleatorio. 5 4 3 (1-5)
Probabilidad Grado de ocurrencia de un evento. 9 9 9,10 4
Equiprobabilidad Cada una de las caras de los dados tiene la misma
posibilidad de salir.
3 3 NA (1-2)
Tabla 8: Objetos matemáticos primarios involucrados en la secuencia didáctica del juego Cruzando Ríos.
4. CAPÍTULO IV: IMPLEMENTACIÓN DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA
Este capítulo presenta primero una descripción de la aplicación de la secuencia didáctica
propuesta realizada en Noviembre- Diciembre de 2017 con una muestra intencional, los
estudiantes del curso que tenía a cargo la autora de este trabajo. Posteriormente se
muestra el análisis de las producciones (soluciones) de los estudiantes en la actividad
diagnóstico y de las cuatro partes del juego, exponiendo las categorías de análisis para
cada una.
4.1 DESCRIPCIÓN DE LA REALIZACIÓN DE LAS
CLASES
La aplicación de la secuencia inicia con la actividad diagnóstico, que se aplica a 23
estudiantes de grado sexto del colegio The Victoria School. En esta primera parte se
implementó la prueba diagnóstico de manera individual, cada estudiante tuvo un tiempo
estimado de 80 minutos para responder el cuestionario en su totalidad. En la siguiente
sesión se socializó cada uno de los ítems estipulados de acuerdo a las respuestas
arrojadas por los estudiantes. En este momento se despejaron inquietudes y se corrigieron
errores presentados. Luego de realizar este análisis no se consideró necesario realizar
actividades complementarías antes de proponer el juego Cruzando Ríos, puesto que se
evidenció que la mayoría de los estudiantes obtuvo un desempeño aceptable en la prueba.
Para dar continuidad a la propuesta, se implementó la primera sesión del juego Cruzando
Ríos; en el primer momento se leyó el enunciado con las instrucciones del juego y las
preguntas que se debían responder a medida que éste se desarrollaba. En este instante
se aclararon dudas respecto a las preguntas que debían ser contestadas antes, durante y
después del juego. Cuando se organizaron las parejas de trabajo fue evidente que a
60
algunos les costó entender las reglas del juego, por tal razón se hizo necesario explicar
una y otra vez de manera detallada las instrucciones del mismo.
Al tomar el hilo del juego con el río 1, los estudiantes se mostraron motivados, jugaban una
y otra vez porque querían obtener la “revancha” cuando perdían. Estas circunstancias
ocasionaron una leve modificación en el tiempo que se tenía propuesto, (pasando de 60 a
80 minutos) que resultó ser muy positiva porque la cantidad de lanzamientos aumentaba
a medida que jugaban, y esto favorecía la cantidad de repeticiones que se iban a acumular
en las gráficas. Seguido a ello, cada estudiante respondía las preguntas propuestas, para
cada una de las partes del juego.
Cuando se pasó a la segunda parte a jugar con el río 2, los estudiantes optimizaron mucho
más el tiempo, y se abordaron las demás preguntas de la guía de manera rápida.
En la parte inicial del río 3, fue curioso notar que varios estudiantes seguían jugando sin
percatarse en la imposibilidad de ganar, ya que al ser un experimento compuesto las
condiciones del juego cambiaban. El generar una estrategia de juego diferente, ocurrió
gracias a que la cantidad de lanzamientos realizada cuando se suspendió la
experimentación, permitió a los estudiantes identificar los sucesos que ocurrían con mayor
frecuencia y de esta manera, muchos de ellos tomaron la decisión de posicionar sus fichas
en las casillas 6, 7 y 8.
En la cuarta sesión, la docente solicita los registros de cada uno de los lanzamientos
(frecuencias absolutas de cada posible resultado) de todos grupos, y de manera
simultánea los proyecta en una gráfica en Excel (Ver figura 14) que los acumula. La
observación de estas gráficas permitió que los estudiantes se percataran de la
estabilización de las frecuencias relativas, y aunque no fue el 100% del grupo quien lo
notó, si hubo una gran parte de los estudiantes que señaló esta tendencia en sus
conclusiones.
4.2 ANÁLISIS DE LAS PRODUCCIONES DE LOS
ESTUDIANTES EN LA PRUEBA DIAGNÓSTICO
A continuación se presenta el análisis de las respuestas dadas por los 23 estudiantes de
grado sexto que presentaron la prueba diagnóstico, descrita en la sección 3.1. Dicho
análisis retoma las consideraciones plasmadas en la sección 2.3.
61
PRIMERA PREGUNTA: la intención es observar si el estudiante logra realizar una
comparación de probabilidades en experimentos simples (Ver anexo 1). La siguiente tabla
muestra las categorías de respuesta que se observaron:
Tabla 9: Categorías de análisis: comparación de probabilidades simples.
Categoría de respuesta Fr
Elige el disco 2 con argumento probabilístico. 4
Elige el disco 2 con argumento visual/ no probabilístico. 13
Elige el disco 1 con argumento visual/ no probabilístico. 4
Opta por equiprobabilidad con argumento no probabilístico. 2
TOTAL 23
El 73% de los 23 estudiantes expone que es más fácil obtener el color azul con el disco 2,
manifestando argumentos diferentes. Sólo 4 de esos estudiantes muestran un
razonamiento probabilístico utilizan la regla de Laplace para calcular la probabilidad de que
ocurra cada evento, y comparan las dos probabilidades, como se aprecia en el siguiente
ejemplo:
Figura 14: Ejemplo de la regla de Laplace para calcular probabilidades simples.
13 de los estudiantes que respondieron correctamente muestran comprensión parcial de
la probabilidad, pues utilizan el término “posibilidad” para describir la situación. No estiman
su valor numérico, sino que realizan una comparación entre el tamaño del espacio muestral
en cada experimento, manifestando que entre menos elementos tenga el espacio muestral,
mayor es la probabilidad de que se dé el evento, pues en ambos experimentos hay dos
puntos muestrales que lo satisfacen, como lo muestra la siguiente respuesta:
Figura 15: Ejemplo de comparación entre el tamaño del espacio muestral.
Cerca del 17% del grupo, manifiesta una respuesta errónea, pues señala que es más fácil
obtener el color azul con el disco 1, debido a que el espacio muestral de ese experimento
62
presenta un cardinal mayor al del otro, haciendo los espacios de esa ruleta más pequeños.
Lo anterior es una muestra de que estos estudiantes no establecen la relación entre los
casos favorables, respecto a los casos posibles, como se ilustra en la siguiente respuesta:
Figura 16: Ejemplo de respuesta errónea en el cálculo de probabilidad simple.
Sólo 2 estudiantes señalan equiprobabilidad entre los experimentos, manifestando que en
ambas ruletas existe la misma probabilidad de obtener el color azul, debido a que hay dos
espacios azules en cada una. Estos estudiantes presentan el sesgo de equiprobabilidad
descrito por Lecoutre (1992).
Figura 17: Ejemplo de sesgo de equiprobabilidad.
SEGUNDA PREGUNTA: El objetivo es predecir el evento más probable en un experimento
simple. (Ver anexo 1).
Tabla 10: Categorías de respuesta comparación de probabilidades.
Categoría de respuesta Fr
Compara probabilidades. 1
Compara frecuencias absolutas. 16
Argumenta equiprobabilidad. 6
TOTAL 23
Un solo estudiante calcula la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los eventos
descritos y compara, identificando fácilmente cuál de los dos es el más probable. La figura
18 muestra la respuesta de dicho estudiante:
63
Figura 18: Ejemplo cálculo y comparación de probabilidades.
Cerca del 70% de las respuestas en esta pregunta (16 estudiantes) evidencian una
comparación entre los cardinales de la frecuencia absoluta de cada evento, reconociendo
que entre mayor sea la cantidad de elementos que satisfacen el evento respecto al espacio
muestral, mayor será la probabilidad de ocurrencia del mismo.
Figura 19: Ejemplo de la comparación de frecuencias absolutas.
El 27 % de los estudiantes mencionan que ambos eventos tienen igual probabilidad debido
a que la situación es de azar. Es claro que estos estudiantes presentan el sesgo de
equiprobabilidad, mencionado por Lecoutre (1992):
Figura 20: Ejemplo de equiprobabilidad.
TERCERA PREGUNTA: Calcular probabilidades simples desde el significado clásico
(comparación proporcional) (Ver anexo 1)
Tabla 11: Categorías de análisis comparación proporcional.
Categoría de respuesta Fr
Compara probabilidades. 3
Razonamiento proporcional. 10
Enfoque en casos favorables. 10
TOTAL 23
64
El 57% de los estudiantes señala que el juego es justo porque identifican la relación de
equivalencia que se establece entre las fracciones, sin embargo sólo 3 de ellos plantean
el cálculo y comparación de la probabilidad a través de la regla de Laplace.
Figura 21: Ejemplo de comparación proporcional.
El 43% de los estudiantes considera que el juego es injusto, pues plantean que al aumentar
los elementos del espacio muestral en el segundo experimento, las probabilidades
aumentan. Al parecer estos estudiantes dejan de lado la noción de proporción, ya que
asumen que al contener más elementos la segunda urna, existe una mayor posibilidad de
ocurrencia del evento nombrado.
Figura 22: Ejemplo incorrecto de comparación de probabilidades.
CUARTA PREGUNTA: Asignar y comparar el grado de ocurrencia de cada evento a partir
del análisis de frecuencias absolutas y relativas. (Ver anexo 1)
Tabla 12: Categorías de análisis asignación de frecuencias absolutas y relativas.
Categoría de respuesta - Pregunta a Fr
Identifica y compara las frecuencias absolutas de cada evento. 10
Compara los espacios del dispositivo que se muestra, sin tener en cuenta los
resultados de la muestra.
5
No se tienen en cuenta las frecuencias absolutas de la tabla. 3
No se soluciona la situación. 5
TOTAL 23
El 43% de los estudiantes identifica las frecuencias absolutas en cada uno de los eventos,
las compara y utiliza los datos registrados para comparar la posibilidad de ocurrencia de
cada evento. Estos estudiantes se basan en las repeticiones que arrojó el experimento,
como se muestra a continuación:
65
Figura 23: Ejemplo de comparación de frecuencias absolutas.
El 21% de los estudiantes tiene presente el dispositivo con el cual se realiza el experimento
aleatorio, mas no la tabla de aciertos que aparece, razón por la cual justifican la
probabilidad sólo desde lo que perciben en la gráfica.
Figura 24: Ejemplo de comparación gráfica.
Por otra parte, el 38% de los estudiantes no interpreta los aciertos que aparecen en la
tabla, y por ello no pueden responder la pregunta, por lo que la dejan en blanco. Esto indica
que a estos estudiantes les cuesta relacionar la cantidad de aciertos que se generan al
realizar el experimento con un fenómeno aleatorio, en el cual se pueden realizar
estimaciones sobre lo que ya ha ocurrido.
Tabla 13: Categorías de análisis cálculo de probabilidad desde tabla de frecuencias.
Categoría de respuesta - Pregunta b Fr
Calcula la probabilidad del evento teniendo en cuenta la frecuencia absoluta y la
cantidad de repeticiones del experimento.
4
Calcula la probabilidad teórica del evento aplicando la regla de Laplace, sin tener en
cuenta las repeticiones.
3
Calcula de manera incorrecta la probabilidad del evento. 7
No soluciona el ítem 9
TOTAL 23
66
Solamente 4 de los 21 estudiantes lograron calcular la probabilidad del evento a partir de
la interpretación de los aciertos que aparecían en la tabla. 3 estudiantes calcularon la
probabilidad teórica, basándose en las 4 zonas que aparecían. Es claro que la noción de
probabilidad desde un enfoque frecuencial, no ha sido trabajada con los estudiantes, pues
les cuesta tomar una posición frente a los posibles resultados de un experimento aleatorio.
A manera de conclusión de la aplicación de la prueba diagnóstico se puede establecer que,
los estudiantes de esta muestra identifican el grado de ocurrencia de un evento desde un
enfoque clásico, es decir, aplican la regla de Laplace. Así mismo, los estudiantes pueden
reconocer la equivalencia en el grado de ocurrencia de dos eventos diferentes al establecer
la proporcionalidad que existe entre el evento y el espacio muestral, y la comparación de
los eventos. Respecto a las interpretación de las frecuencias absolutas, es evidente que a
los estudiantes les cuesta relacionar la cantidad de aciertos que se han obtenido al realizar
el experimento con la posibilidad de realizar estimaciones sobre lo que es más probable
que ocurra en el futuro, lo cual refleja que el concepto de probabilidad no se ha construido
desde un enfoque frecuencial.
4.3 ANÁLISIS DE LAS PRODUCCIONES DE LOS
ESTUDIANTES EN EL DESARROLLO DEL JUEGO
A continuación se presenta el análisis de los resultados de los estudiantes en la aplicación
de la propuesta. Debido a la naturaleza de las preguntas formuladas a los estudiantes
antes de iniciar el juego, en la sección 4.3.1 se presenta una descripción detallada de las
respuestas que se obtuvieron. El análisis didáctico de las producciones de los estudiantes
durante la aplicación del juego y posterior a ella, se encuentra en la sección 4.3.2.
4.3.1 Descripción de las respuestas a las preguntas previas al
juego (Experimento simple)
Para la pregunta: ¿Cómo describirías la forma del astrágalo?
Todos los estudiantes utilizan términos muy coloquiales para realizar sus descripciones,
por ejemplo manifiestan que el astrágalo presenta forma de "rectángulo en tercera
dimensión". Utilizan expresiones como "cubo alargado en 3d" para describir su forma.
Señalan que tiene esquinas y medidas inexactas, que forman seis caras irregulares que
son curvas.
67
Para la pregunta: ¿Crees que la forma del astrágalo interviene en la posición en la que
cae al ser lanzado?
En general todos los estudiantes establecen una clara relación entre la forma del astrágalo,
respecto a la posición en la que puede caer, pues manifiestan que sus "curvas" inciden en
la cara en la que pueda quedar.
Para la pregunta: ¿Qué diferencia encuentras entre el astrágalo y el dado de diez caras?
Todos los estudiantes señalan que a diferencia del astrágalo, en el dado las caras son
planas, iguales y presentan la misma forma.
"El dado de 10 caras tiene como diamantes que son iguales, en cambio en el astrágalo las
caras eran muy deformes"
"En el dado de 10 caras hay más opciones de que caiga que en el otro que tenía más
poquitas caras"
Es claro que los estudiantes identifican que el dispositivo que se utilice para realizar el
experimento aleatorio interfiere en los resultados que se obtengan. Tal y como se planteó
en el diseño, en este ítem los estudiantes realizaron un reconocimiento del dispositivo en
cuanto a su forma, y la directa relación que ésta presenta frente a todos los posibles
resultados que se pueden obtener. A partir de sus respuestas se puede inferir que las
“imperfecciones” del dispositivo no generan equiprobabilidad en la obtención de los
resultados, por lo tanto es más posible que observar unos resultados que otros, tal como
lo manifiestan en sus argumentos.
4.3.2 Análisis de las preguntas durante las partes 1 a 3 del juego
Para la pregunta: ¿Crees que es posible que algún jugador logre cruzar el río 1? ¿Por
qué? ¿Cómo lo haría?
Tabla 14: Categorías de análisis espacio muestral.
Categoría de respuesta Fr
Es posible cruzar el río: se mencionan las opciones del dispositivo. 16
No se puede saber con certeza si se cruza o no. 7
TOTAL 23
68
Ante estos cuestionamientos el 70% de los estudiantes afirman que independientemente
de la cantidad de repeticiones, en algún momento uno de los dos jugadores ganará. Es
evidente que ellos identifican que el dispositivo les permitirá obtener los sucesos que
necesitan para poder cruzar el río porque saben que al realizar varios lanzamientos,
obtendrán todos los colores.
Solamente 30% de las respuestas dadas a esta pregunta (7 estudiantes) manifiestan la
imposibilidad de afirmar si se obtendrán todos los resultados que le permitan al jugador
atravesar el río, por ejemplo:
Figura 25: Ejemplo del sesgo falacia del jugador.
Esta respuesta evidencia que existe un reconocimiento de la aleatoriedad en el
experimento que se realiza aunque se manifiesta la imposibilidad de predecir un resultado,
pues se cree que el comportamiento de los resultados puede basarse en rachas favorables
o no favorables, presentando una concepción errónea sobre el azar y evidenciando el
sesgo de la falacia del jugador (Kahneman, Slovic y Tversky, 1982 en Díaz, 2003).
ANÁLISIS POSTERIOR AL JUEGO
Para la instrucción: Completa la tabla registrando los resultados que vas obteniendo,
marca una línea cada vez que aparece una figura y después realiza el conteo.
Figura 26: Ejemplo registro de lanzamientos en el Río 1.
En esta sección se le pide a los niños a realizar conteos para consolidar el concepto de
frecuencia absoluta, a partir de las repeticiones que se dan mientas se va desarrollando el
juego. Este concepto resulta fundamental para construir el de frecuencia relativa, y así
69
poder interpretar la probabilidad desde un enfoque frecuencial. Ortiz et al. (1996)
consideran que los conceptos de frecuencia absoluta y relativa de un suceso, junto con
sus propiedades, son fundamentales para el estudio de la probabilidad esencialmente
porque actúan como el puente entre la probabilidad y la estadística.
Para la pregunta: ¿Qué parte del total de lanzamientos corresponde a cada casilla?
En las partes 1 y 2 del juego (ríos 1 y 2) los resultados fueron:
Tabla 15: Categorías de análisis cálculo de frecuencia relativa.
Categoría de respuesta Fr
Establece la proporción entre cada una de las frecuencias absolutas respecto al
total de lanzamientos.
12
Establece la proporción entre cada uno de los resultados respecto al total. 9
No responde. 2
Total 23
El 52% de los estudiantes establece una proporción representada en forma de fracción,
para mostrar "la parte del total de lanzamientos " por ejemplo:
Figura 27: Ejemplo del cálculo de la frecuencia relativa.
El 39% de los estudiantes responde a partir de una noción clásica de probabilidad, pues
se asume que, como existen 4 casillas, cada una de ellas representa 1/4 del total. Estos
estudiantes no tienen en cuenta las repeticiones, y responden la pregunta desde una
perspectiva clásica, asumiendo, en forma consciente o no, equiprobabilidad en los sucesos
elementales del experimento.
Para la pregunta: Si pudieran situar las fichas donde quisieran ¿en qué casillas las
ubicarían?¿ por qué?
Tabla 16: Categorías de análisis evento compuesto.
Categoría de respuesta Fr
Ubica las piezas teniendo en cuenta las repeticiones del experimento. 20
Ubica las piezas indistintamente basándose en que la situación es de azar. 3
Total 23
70
El 86% de los estudiantes se basa en los resultados propios de cada experimento para
responder la pregunta, como se observa en los siguientes ejemplos:
"Los pondría en el rojo porque si las pongo en el rojo, pues tengo que sacar rojo para poder
cruzar la ficha, y ese color fue el que más me salió"
"Las pondría en el rojo o amarillo porque son los que más cantidad de veces me salieron"
Dadas las respuestas de los estudiantes es claro notar que el desarrollo del juego hasta
este punto les permite tomar decisiones estratégicas, teniendo en cuenta los resultados de
la experiencia que cada uno ha vivido hasta el momento. Este tipo de preguntas permite a
los estudiantes establecer relaciones de repetición de un evento como parte de una
secuencia de ensayos pertenecientes al mismo experimento aleatorio, generando la
posibilidad de reconocer que las repeticiones se relacionan entre sí y no de manera
aislada, como lo plantea Ortiz et al (1996).
Para la pregunta: ¿Podrías predecir qué fichas (número de la casilla) pasarán más rápido
al otro lado?
Tabla 17: Categorías de análisis predicción de resultados.
Categoría de respuesta Fr
Predice basándose en los resultados personales obtenidos al realizar el
experimento.
8
No predice pues las respuestas evidencian un carácter evasivo. 15
Total 23
El 34% de los estudiantes se basa en los resultados obtenidos para predecir el
comportamiento de los resultados, expresando opiniones como:
"En mis lanzamientos me salió mucho el número 5 repetido muchas veces seguidas,
entonces yo pondría mis fichas ahí"
En esta respuesta se evidencia la noción de azar, pues los estudiantes reconocen la
posibilidad de obtener resultados diferentes, sin embargo, el argumento está basado en
rachas, pues se considera que el número 5 es el que se va aparecer mayor cantidad de
veces sobre los demás resultados. Estos estudiantes presentan el sesgo de la falacia del
jugador propuesto por Kahneman, Slovic y Tversky (1982 en Díaz, 2003).
71
El 66% de los estudiantes restantes, manifiestan respuestas como:
"Es imposible saber porque puede salir cualquiera"
"No es posible predecir lo que va a pasar porque uno no conoce el futuro, ni lo que le va a
salir cuando lance el dado"
En este tipo de respuesta se confunde una propiedad de los experimentos aleatorios que
es la impredecibilidad del resultado en una experimentación concreta, con la imposibilidad
de asignar probabilidades a los posibles resultados, o con la posibilidad de identificar el
más probable en el espacio muestral.
Para la instrucción: Representa la información de la tabla en una gráfica.
Figura 28: Ejemplo gráfica de resultados río 1.
En la gráfica de la figura 28 se observa que el estudiante identifica los posibles valores
para cada uno de los ejes, pues ubica las frecuencias en el eje 𝑥 y las variables en el eje
𝑦, sin embargo, desconoce los elementos y etiquetas que debe tener una representación
gráfica (Arteaga, 2009). Al representar las frecuencias absolutas, se identifica una
tendencia en los valores encontrados aunque hasta este momento de la actividad, la
cantidad de lanzamientos era muy reducida para identificar tendencias. Es natural que el
estudiante no logre evidenciar tendencias ni estabilizaciones en las frecuencias.
ANÁLISIS PARTE 3 DEL JUEGO (Experimento compuesto)
Para la instrucción: Encuentren todas las posibles opciones que se pueden dar al lanzar
dos dados de seis caras.
Tabla 18: Categorías de análisis espacio muestral en experimento compuesto.
Categoría de respuesta Fr
Se establece el conjunto de todos los puntos muestrales del experimento. 10
72
Se encuentra correctamente el cardinal del espacio muestral, sin especificar
puntos muestrales.
9
Se calcula de manera incorrecta el cardinal del espacio muestral. 4
Total 23
El 43% de los estudiantes encuentra el conjunto de todos los puntos muestrales del
experimento compuesto (lanzamiento de dos dados de seis caras). Ellos utilizan diferentes
representaciones para exponerlo, por ejemplo:
Figura 29: Ejemplo del cálculo del espacio muestral evento compuesto.
El 39% de los estudiantes calcula de manera correcta el cardinal del espacio muestral,
mas no mencionan los puntos muestrales, identifican la existencia de 36 opciones, pero no
representan el conjunto de todos los posibles resultados.
Solamente 4 estudiantes calculan de manera incorrecta el cardinal del espacio muestral
de este experimento, por ejemplo:
Figura 30: Ejemplo cálculo incorrecto del espacio muestral.
Los estudiantes que utilizan este tipo de justificación para calcular el espacio muestral de
un evento compuesto, reflejan que no se ha alcanzado un nivel de razonamiento
combinatorio suficiente como lo plantean Batanero y Godino (2001), puesto que aunque
existe un reconocimiento del espacio muestral del experimento, como algunos de los
posibles resultados, hacen uso de diagramas o esquemas de representación incorrectos
para mostrar las posibles respuestas.
73
Para la segunda instrucción: Completen la tabla registrando los resultados que van
obteniendo, marquen una línea cada vez que aparece la suma de los dados, después
realicen el conteo total de lanzamientos.
Figura 31: Ejemplo registro de lanzamientos Río 3.
Al analizar la tabla de registros de cada uno de los lanzamientos en el evento compuesto,
los estudiantes lograron identificar los puntos muestrales de mayor y menor frecuencia.
Todos anotan que aparentemente los números 6, 7 y 8 son aquellos que presentan
frecuencias mayores, mientras que reconocen que la casilla 1 será imposible de obtener.
Hasta este punto, aunque las experimentaciones han aumentado, aún son pocas para que
los estudiantes realicen conjeturas sobre el comportamiento de las frecuencias, sin
embargo sí permiten notar regularidades en las repeticiones, acción que es fundamental
en la aproximación de la probabilidad desde el enfoque frecuencial.
Para la pregunta: Si pudieran situar las fichas donde quisieran ¿en qué casillas las
ubicarían?¿ por qué?
Tabla 19: Categorías de análisis para sucesos imposibles.
Categoría de respuesta Fr
Ubica las piezas teniendo en cuenta las repeticiones del experimento. 22
Ubica las piezas indistintamente basándose en que la situación es de azar. 1
Total 23
Del grupo de estudiantes, 22 señala que ubicaría sus fichas en las casillas "de la mitad" es
decir en las casillas 6,7 y 8, argumentando que son las casillas que mayor número de
repeticiones obtuvieron. A pesar de que las repeticiones no han sido suficientemente
grandes, los resultados empiezan a marcar una tendencia que es evidente para los
estudiantes, quienes toman una decisión a partir de lo que están observando en las
repeticiones.
74
Sin embargo un solo estudiante responde indistintamente de los resultados que ha
obtenido, manifestando el sesgo de equiprobabilidad (Lecoutre,1992) escribiendo:
Figura 32: Ejemplo de sesgo de equiprobabilidad (Lecoutre 1992).
Para la pregunta: ¿Podrían predecir qué fichas (número de la casilla) pasarán más rápido
al otro lado?
Tabla 20: Categorías de análisis predicción de probabilidades.
Categoría de respuesta Fr
Predice basándose en los resultados personales obtenidos al realizar el
experimento.
20
No predice pues las respuestas evidencian un carácter evasivo. 3
Total 23
El 86% de los estudiantes predice que las fichas que pasarán al otro lado más rápido son
las que se encuentran en las casillas 6, 7 y 8. Cabe anotar que haciendo una comparación
entre el experimento anterior (con menor cantidad de repeticiones), solamente el 34% de
los estudiantes se atrevía a predecir, mientras que en esta ocasión, al parecer la mayor
cantidad de repeticiones ha dotado de "confianza" las decisiones de los estudiantes para
ubicar sus fichas.
Solamente 3 estudiantes manifiestan inseguridad frente a proponer una predicción sobre
lo que va a pasar, como se evidencia en esta respuesta:
Figura 33: ejemplo de creencias personales.
Para la pregunta: ¿Encontraron alguna sorpresa?
Al responder esta pregunta todos los estudiantes manifestaron en términos generales que
en esta parte del juego era imposible que alguien ganara si no se podían acomodar las
casillas en una distinta a la casilla 1. De estos estudiantes, 22 argumentaron que ubicarían
75
sus fichas en las casillas mencionadas anteriormente (6,7,8), aún sin estar seguros de que
esa fuera la estrategia ganadora.
Solamente un estudiante responde que no encontró sorpresas en el juego, pues manifiesta
que las repeticiones sobre una misma casilla son producto de "la suerte" que tiene el
jugador. Dicho estudiante se basa su argumento en una creencia personal (Truran, 1994,
citado en Sharma 2006) puesto que se intenta manipular el resultado de un experimento
aleatorio a partir de creencias personales o mitos.
Figura 34: ejemplo de atribuciones flexibles.
4.3.3 Análisis parte 4: actividad de cierre
A partir de la observación y discusión generada en la clase sobre el comportamiento de las
gráficas que se estaban proyectando, los estudiantes concluyeron:
Para la primera pregunta: ¿Cuál fue la principal diferencia entre los experimentos de la
parte 1 y 2, respecto al de la parte 3?
Tabla 21: Categorías de análisis características del dispositivo aleatorio.
Categoría de respuesta Fr
Las características físicas de los dispositivos (color, forma, tamaño). 10
Los resultados que arroja cada uno de los dispositivos. 5
La cantidad de repeticiones que se realizó en cada una de las etapas del juego. 8
Total 23
Las respuestas del 43% de los estudiantes estuvieron enfocadas en señalar que las
diferencias radicaban en las características físicas de los dispositivos, señalando por
ejemplo que el astrágalo era deforme y los dados utilizados en la segunda y la tercera
parte, no.
76
E1: "La diferencia es que el astrágalo tenía curvas y estaba mal diseñado, en cambio los
dados estaban bien y era más justo"
El 21% de los estudiantes expresó que la principal diferencia entre las partes 1 y 2 respecto
a la tercera, se encontraba en los resultados que arrojaba cada dispositivo. Ellos señalan
que al tener más cantidad de caras, las posibilidades de obtener cada cara se reducen:
E2: "La diferencia es que con los dos dados va a ser más difícil que usted gane porque
como tienen más caras que los otros, pues tiene que esperar a que le salgan todas las
combinaciones, es más fácil ganar con los dados solos"
Este tipo de argumentos evidencia que el estudiante está reconociendo la diferencia entre
un evento simple y uno compuesto a través de los dispositivos aleatorios empleados.
Por último, el 36% de los estudiantes señala que la diferencia radica en la cantidad de
repeticiones en cada una de las partes del juego:
E3: "La diferencia es que en la primera parte se lanzaron los dados más poquitas veces y
en la última tocó lanzarlos muchas más veces y era más demorado ganar, aunque como
uno las podía poner donde uno quería pues depende de la estrategia"
El anterior es un ejemplo de que el estudiante está reconociendo una diferencia radical
entre los resultados arrojados en un experimento simple frente a uno compuesto, pues
nota la diferencia tanto en los resultados obtenidos, como en la cantidad de lanzamientos
necesarios para ganar. Al hablar de la "estrategia" se evidencia que el estudiante distingue
que los eventos de la última parte no eran equiprobables, y por tanto la probabilidad de
ganar dependía de una habilidad para saber dónde ubicar sus fichas.
Para la segunda pregunta: Al observar las frecuencias relativas de las dos primeras
gráficas ¿qué encuentras en común entre ellas?
En esta parte de la implementación los estudiantes respondían las preguntas a partir de la
proyección de las gráficas construidas con los datos de todo el grupo. A continuación se
muestran las gráficas construidas en la sesión de clase:
77
Figura 35: Gráfica de resultados observados en el río 1, agregando progresivamente la información dada por cada grupo
Figura 37: Gráfica de resultados observados en el río 3, agregando progresivamente la información dada por cada grupo.
Número
De
Repeticiones
SEIS
DOCE
CINCO
ONCE
CUATRO
DIEZ
TRES
NUEVE
DOS
OCHO
UNO
SIETE
1050 1150 1250 1350 950 850 750 650 550 450 350 250
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
Frecuencias relativas Río 3 Frecuencia relativa
Frecuencia
Relativa 0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
25
Frecuencias relativas Río 1
75 125 175 225 275 325 375 425 475
AZUL ROJO VERDE MORADO Número
De repeticiones
78
Al observar las frecuencias relativas de las dos primeras gráficas ¿qué encuentras en
común entre ellas?
Tabla 22: Categorías de análisis similitudes entre las gráficas.
Categoría de respuesta Fr
Reconocimiento numérico de una tendencia en el comportamiento de las
frecuencias.
11
Reconocimiento gráfico de una tendencia en el comportamiento de las líneas. 7
Descripción de las características físicas de las gráficas sin interpretación de
datos.
5
Total 23
El 79% de los estudiantes logró identificar en las gráficas una tendencia en el
comportamiento de las frecuencias relativas. De ellos, el 48% (11 estudiantes) lograron
establecer el valor hacia el cual tendían las frecuencias relativas, por ejemplo:
Figura 37: Ejemplo de similitudes entre las gráficas proyectadas.
En esta categoría se encuentran respuestas de estudiantes quienes establecen el valor
hacia el cuál tiende cada una de las frecuencias a partir de la construcción colectiva de
cada gráfica (Figura 38), la observación y la discusión de los resultados que se iban
generando. En el ejemplo anterior, el estudiante observa que las frecuencias que aparecen
en la gráfica del río 1, tienden hacia el valor 0,25 y para el caso del río 2, hacia el valor 0,1.
Este grupo de estudiantes se encuentra en el nivel "leer dentro de los datos" (Cursio, 1989)
pues realizan una interpretación e integración de los datos en el gráfico que les permite
realizar una inferencia, por ejemplo notar que esas tendencias se generan a medida que
aumenta el número de repeticiones del experimento.
De los estudiantes que reconocieron una tendencia en las gráficas, 7 (30%) señalaron una
tendencia en el comportamiento de las frecuencias, como en la siguiente respuesta:
79
Figura 38: Ejemplo de tendencia en las gráficas.
Este grupo de estudiantes señala que a medida que se iban acumulando las frecuencias
de todos los grupos, estas tendían a estabilizarse de cierta manera, se "acercaban" más
entre ellas, sin embargo, no lograron identificar hacia qué valor se aproximaba esa
tendencia.
Para responder esta pregunta el 21% de los estudiantes se enfocó únicamente en las
características básicas que se reflejaban en las gráficas (ver figura 39).
Figura 39: Ejemplo de descripción de las gráficas.
Es claro notar que estos estudiantes no realizaron una interpretación de las gráficas, pues
se centraron en realizar una descripción de la misma, sin notar alguna tendencia o extraer
alguna conclusión. Este grupo de estudiantes se encuentra en el nivel de comprensión
"leer entre los datos" (Cursio, 1989), ya que las respuestas evidencian una lectura literal
del gráfico, sin una interpretación del contenido que se presenta en el mismo.
Para la tercera pregunta: Al observar la última gráfica y compararla con las demás ¿cuál
es la principal diferencia que observas?
Tabla 23: Categorías de análisis comparación de gráficas.
Categoría de respuesta Fr
Reconocimiento de la ausencia de equiprobabilidad. 11
Reconocimiento de una tendencia general sobre el comportamiento de las
frecuencias.
10
Descripción de las características físicas de la gráfica sin interpretación de datos. 2
Total 23
Aproximadamente el 48% de los estudiantes identifican que las probabilidades de cada
uno de los sucesos son diferentes en comparación con los experimentos anteriores puesto
que reconocen la ausencia de equiprobabilidad en el comportamiento de los gráficos de
80
líneas que unen las frecuencias relativas. Reconocen sucesos con mayor y menor
probabilidad de ocurrencia y sucesos imposibles, además, establecen sucesos igualmente
probables dentro del experimento compuesto, como se muestra en el siguiente ejemplo:
Figura 40: Ejemplo de estabilización de las frecuencias en experimento compuesto.
El 43% de los estudiantes reconoce una tendencia en el comportamiento de las gráficas al
establecer una asociación de frecuencias similares o cercanas, sin señalar el valor hacia
el cual se acercan, como se observa en los siguientes ejemplos:
E1: "Pues que hay unas que se parecen, es como si se formaran como parejas, las
frecuencias se van pareciendo, pero hay unas que no."
E2: "Que unas frecuencias se parecen porque están cerca, pero no todas y la casilla 1 la
frecuencia es cero."
Este grupo de estudiantes identifica implícitamente que los sucesos en este experimento
no son equiprobables, pues hay unas frecuencias más altas que otras, además identifican
la imposibilidad del suceso "obtener 1" con dos dados.
Solamente 2 estudiantes se enfocaron en realizar una descripción básica de los elementos
propios de cada una de las gráficas, como lo muestra la siguiente respuesta:
Figura 41: Ejemplo de descripción de la gráfica en el experimento compuesto.
Realizando un análisis conjunto de las respuestas dadas frente a las preguntas 2 y 3, se
encuentra que las tendencias y regularidades son percibidas en las gráficas, por los
mismos estudiantes.
81
Tabla 24: Categorías de análisis preguntas 2 y 3- análisis de gráficas.
Categorías de respuestas a pregunta 3
Categorías de
respuestas a
pregunta 2
Descriptivo Reconocimiento
gráfico
Reconocimiento
gráfico
Total
Descriptivo 2 3 5
Reconocimiento
gráfico
7 7
Reconocimiento
gráfico
11 11
Total 2 10 11 23
A partir de los resultados de la tabla 24 se puede afirmar que en las percepciones de los
estudiantes frente a las gráficas se encontraron tres grandes categorías:
• 11 estudiantes logran identificar un patrón en el comportamiento de las gráficas, y
además estiman el valor de tendencia de cada secuencia de frecuencias relativas.
• 10 estudiantes observan una tendencia en el comportamiento de las gráficas, y
aunque su apreciación no es numérica, sí perciben esa regularidad visualmente.
• Sólo 2 estudiantes realizan una descripción de las representaciones gráficas. Su
razonamiento probabilístico se caracteriza por el reconocimiento del azar y los
tipos de eventos, pero se desconocen las características fundamentales para
realizar una aproximación de la probabilidad cercana a la real, ya que la
interpretación que se realiza de la información omite un proceso de análisis,
observan las generalidades pero no realizan inferencias sobre el comportamiento
futuro de los experimentos. Estas respuestas contienen datos informativos obvios,
los cuales han sido extraídos directamente de la gráfica.
Para la pregunta: ¿Crees que la cantidad de lanzamientos que se realizaron tiene que ver
con el comportamiento de las frecuencias relativas?
Tabla 25: Categorías de análisis cantidad de lanzamientos.
Categoría de respuesta Fr
La cantidad de lanzamientos influye en el comportamiento de las frecuencias. 21
La cantidad de lanzamientos no influye en el comportamiento de las frecuencias. 2
Total 23
82
El 91% de los estudiantes señala que la cantidad de lanzamientos es determinante a la
hora de identificar la tendencia de comportamiento en cada una de las frecuencias, y
aunque en sus respuestas no lo manifiestan explícitamente, se reconoce que ellos notan
que la cantidad de repeticiones debe ser suficientemente grande como para que se dé la
tendencia:
Figura 42: Ejemplo acumulación de lanzamientos.
Sin embargo 2 estudiantes plantean que el comportamiento de las frecuencias no tienen
nada que ver con la cantidad de lanzamientos registrados, sino que le atribuyen este hecho
a la suerte. Es de notar que estos dos estudiantes son los mismos que en el análisis de
las gráficas realizan una descripción muy general, sin realizar inferencias o
interpretaciones sobre el comportamiento de los datos que allí se reflejan.
Figura 43: ejemplo de creencias previas en el comportamiento de resultados.
Para la instrucción: Escribe una conclusión en la que relaciones las respuestas
anteriores.
Tabla 26: Categorías de análisis para las conclusiones.
Categoría de respuesta Fr
Se mencionan los dispositivos, los resultados, la cantidad de lanzamientos y la
tendencia de las frecuencias.
18
Se mencionan los dispositivos empleados y la diferencia entre el experimento
simple y compuesto.
4
Se presenta el sesgo de … Creencias 1
Total 23
El 78% de los estudiantes concluye que los resultados que se pueden obtener varían de
acuerdo al tipo de dispositivo que se utilice, no solo a su forma o cantidad de caras, sino a
la cantidad de repeticiones que se realicen con el mismo. Comprenden la importancia de
83
realizar una cantidad considerable de lanzamientos para lograr identificar la tendencia en
la estabilización de las frecuencias.
Figura 44: Ejemplo de conclusión próxima a la probabilidad frecuencial.
Este grupo de estudiantes señala una clara diferencia entre la estabilización de las
frecuencias en un experimento simple, frente a uno compuesto, pues anotan que en el
simple es fácilmente observable el valor hacia el cual tienden las frecuencias, y por el
contrario en el compuesto, es más complicado establecer el valor, pues para cada punto
muestral, el grado de ocurrencia es distinto, sin embargo, logran identificar algunos
sucesos con la misma frecuencia, así como las frecuencias más altas, más bajas y nulas.
El 17% de los estudiantes escriben sus conclusiones comparando los dispositivos
empleados y realizan una asignación y comparación de probabilidades, al señalar que es
más probable ganar cuando se juega con un sólo dado que cuando se juega con dos.
Igualmente señalan que la cantidad de repeticiones juega un papel fundamental en la
estabilización de las frecuencias, y que dicha estabilización varía totalmente cuando el
experimento es compuesto.
Figura 45: Ejemplo de conclusión diferenciación experimento simple y compuesto.
84
Solamente un estudiante al escribir su conclusión no tuvo en cuenta el comportamiento de
las frecuencias analizadas en cada gráfica. Además en sus argumentos atribuye el
comportamiento de los resultados a la suerte, basando su argumento en una creencia
personal (Truran, 1994, citado en Sharma 2006) al considerar que las secuencias
aleatorias no presentan algún patrón.
Figura 46: ejemplo de conclusión sesgada por creencias personales.
En términos generales, a través de las actividades propuestas a lo largo del desarrollo del
juego, los estudiantes lograron caracterizar la probabilidad desde un enfoque frecuencial
a partir de su propia experiencia al recolectar datos que ellos mismos obtenían mientras
jugaban. Las gráficas empleadas para proyectar los datos y las preguntas propuestas,
permitieron a los estudiantes identificar la diferencia entre un experimento simple y uno
compuesto, pues descubrieron la variación de las frecuencias relativas para cada caso.
5. Capítulo V: CONCLUSIONES
En el presente capítulo se darán a conocer las conclusiones derivadas de cada uno de los
apartados que se realizaron en el trabajo, específicamente en cuanto al diseño de las
actividades, su aplicación y los resultados finales de la implementación. Además se
abordará el efecto que generó en los estudiantes participar en el juego propuesto en cuanto
al desarrollo de algunas nociones de probabilidad simple y frecuencial.
Posteriormente se darán a conocer algunas recomendaciones de aplicación para
profesores interesados en replicar esta propuesta, a partir de las observaciones
evidenciadas durante la implementación, observaciones que permitieron evidencias las
ventajas y limitaciones de la propuesta.
5.1 CONCLUSIONES CON RESPECTO A LOS
OBJETIVOS
El objetivo general del trabajo, (sección 1.3.1) el cual era "Diseñar una secuencia didáctica
basada en un juego que promueva en los estudiantes de grado sexto la comprensión de
algunas nociones de probabilidad" se concluye que fue alcanzado, ya que a lo largo del
documento, especialmente en los capítulos 3 y 4, se evidencian las actividades diseñadas
y el análisis de las producciones escritas de los estudiantes que participaron en la
implementación del juego. También se verifica el cumplimiento de los tres objetivos
específicos que se propusieron (ver sección 1.3.2), como se muestra a continuación.
El primer objetivo específico de este trabajo era "Identificar los conocimientos previos de
los estudiantes de grado sexto respecto a algunas nociones de probabilidad, en
experimentos simples y compuestos de dos etapas, desde el punto de vista intuitivo,
clásico y frecuencial". Para abordar este objetivo se diseñó un cuestionario inicial (ver
86
anexo 1) y sus resultados se describen y analizan en la sección 3.1, concluyendo de
manera general que a) para los estudiantes es mucho más sencillo abordar situaciones de
azar desde un enfoque clásico, aplican la regla de Laplace y reconocen que entre mayor
sea la cantidad de elementos que satisfacen el evento respecto al espacio muestral, mayor
será la probabilidad de obtener dicho evento; b) los estudiantes identifican la equivalencia
entre el grado de ocurrencia de dos eventos diferentes al establecer la proporcionalidad
que existe entre el evento y el espacio muestral de cada uno, y su posterior comparación;
c) la mayoría de los estudiantes no interpreta las frecuencias relativas en un experimento,
pues les cuesta relacionar la cantidad de aciertos que se han obtenido al realizar el
experimento con la posibilidad de realizar estimaciones sobre lo que es más probable que
ocurra en el futuro.
El juego Cruzando Ríos evidencia el cumplimiento del segundo objetivo "Construir un juego
como eje articulador de la secuencia actividades que permita introducir las nociones
básicas a trabajar". Se diseñó el juego constituido de cuatro partes ( las dos primeras
basadas en experimentos de probabilidad simple, la tercera sobre probabilidad compuesta
y la última como actividad de cierre) con el fin de llevar a los estudiantes a experimentar a
través del juego, las nociones involucradas en el juego, trabajando con materiales
manipulativos que permitieron crear una experiencia propia de simulación.
El análisis de las producciones escritas de los estudiantes que participaron en la
implementación de la secuencia, permiten cumplir con el último objetivo específico “Evaluar
ventajas y limitaciones de la propuesta”. Se observaron diferentes niveles de aprendizaje,
tanto al experimentar con el juego, como al concluir posterior a la discusión, lo que había
ocurrido en su transcurso. A continuación se describen los hallazgos en relación con las
nociones probabilísticas que se abordaron, y posteriormente con relación a la aplicación
de la secuencia.
• Es evidente que los estudiantes identifican la importancia que desempeña el
dispositivo que se utiliza para realizar el experimento aleatorio, pues éste infiere
directamente en los resultados que se puedan obtener. El reconocimiento de las
“imperfecciones” del astrágalo generó la primera idea de no equiprobabilidad en la
obtención de los resultados, previniendo de cierta manera la aparición del sesgo de
equiprobabilidad (Lecoutre, 1992).
87
• El hecho de utilizar dos dados en el último experimento, les permitió notar la
diferencia entre un experimento simple y uno compuesto, a la hora de notar las
convergencias en el comportamiento de las gráficas, además de hacerles notar la
diferencia entre el espacio muestral de un experimento simple, frente a uno
compuesto.
• El registro de los lanzamientos en las tablas permitió que los estudiantes
consolidaran la noción de frecuencia absoluta, la cual resulta ser fundamental para
comprender el concepto de frecuencia relativa, y luego interpretar la probabilidad
desde un enfoque frecuencial. En este sentido el juego propuesto logró establecer
esa conexión, que autores como Ortiz et al. (1996) consideran base importante
para el estudio de la probabilidad porque esta relación actúa como puente entre la
probabilidad y la estadística.
• El trabajo con los dispositivos aleatorios (astrágalos y dados de diferentes caras)
permitió reafirmar consideraciones presentadas por Godino, Batanero, Cañizares
y Vallecillos (1998) acerca de la relevancia del material que se emplea en la
enseñanza de la probabilidad, ya que éste actúa como fuente de producción de los
resultados y simulación del experimento, durante la aplicación de la secuencia se
concluyó que estos dispositivos fueron pertinentes, en la medida que permitieron
realizar la actividad.
• El sesgo de equiprobabilidad estuvo presente, confirmando que es difícil para
algunos estudiantes comprender que los diversos sucesos que se presentan en un
experimento aleatorio pueden tener probabilidades distintas, quizá esto sea
consecuencia de una asociación inadecuada entre azar y equiprobabilidad, como
citan Batanero y Serrano (1995). Sin embargo un solo estudiante mantuvo presente
dicho sesgo a lo largo de todas las actividades, pues en cada una de sus respuestas
e intervenciones asumió una posición que dotaba de fuerza a conceptos como la
suerte. Esta persistencia de las creencias, a pesar que la evidencia muestre lo
contrario es documentada por Amir y Williams (1994) quienes proponen que las
creencias parecen ser los elementos de cultura con mayor influencia en el
pensamiento probabilístico.
88
• El juego propuesto permitió que el 90% de los estudiantes identificaran una
tendencia en el comportamiento de las frecuencias relativas, a través de las
gráficas.
Como lo indica León (1984) incluir el juego en la propuesta de aprendizaje de la
probabilidad simple como base de las situaciones fundamentales permitió generar
acciones de interés y expresiones de alegría y satisfacción, por parte de los estudiantes,
además de un desarrollo de la creatividad y también la necesidad de aceptar que las
actuaciones de los participantes en la actividad están enmarcadas en el respeto a un
sistema de reglas; concibiendo el juego una estrategia didáctica que aportó en el objetivo
del trabajo. Este juego permitió a los estudiantes aproximarse de forma intuitiva a algunas
ideas básicas de la probabilidad y proveer un contexto diferente en el que nociones propias
del estudio de la probabilidad pudieron ser introducidas.
Las preguntas orientadoras que se realizaron durante la construcción de las gráficas,
varios estudiantes lograron notar la tendencia de estabilización de las frecuencias en cada
uno de los casos (Río 1, 2 y 3). Si bien no todos se atrevieron a expresar numéricamente
hacia qué valor se aproximaba la tendencia de dicha estabilización, si hubo una clara
evidencia de que se construyó una primera aproximación a la probabilidad desde el
enfoque frecuencial, pues los argumentos de los estudiantes señalan una relación directa
entre el número de veces que se tuvo que repetir el experimento para que dicha
estabilización ocurriera.
Solamente dos estudiantes mantuvieron el sesgo de atribuciones flexibles durante las
actividades trabajadas en las sesiones. Los argumentos de estos estudiantes estuvieron
permeados constantemente por creencias y concepciones personales sobre la suerte y el
carácter imprevisible del futuro. Ninguna de las intervenciones o discusiones generadas en
clase, les permitió encontrar regularidades o patrones en el comportamiento de las
frecuencias. Se concluye que tratar de cambiar las creencias de estos estudiantes requiere
más actividades que las que aquí se proponen, en las que se brinden diferentes contextos
y materiales para que los estudiantes eliminen los sesgos que tienen la respecto.
89
Una de las hipótesis que se había propuesto tenía que ver con el hecho de que el juego
debía resultar lo suficientemente atractivo y motivante para permitir que los estudiantes
realizaran gran cantidad de repeticiones, y así obtener una muestra lo suficientemente
grande como para que se notara la convergencia en la estabilización de las frecuencias, y
al aplicar la propuesta se notó que los estudiantes participaron activamente en la
implementación del juego, a tal punto de querer seguir jugando una y otra vez.
Con la implementación de la propuesta se esperaba que los estudiantes identificaran la
probabilidad desde un enfoque frecuencial con datos que fueran producto de sus propios
experimentos, y que a través de la interpretación de las gráficas, notaran la estabilización
de las frecuencias. El resultado de esta aplicación evidencia que se logró este propósito,
ya que el 92% de los estudiantes manifestó la existencia de una tendencia común en cada
uno de los experimentos propuestos, y aunque no todos identificaron el valor específico
hacia el cual tendía cada secuencia, si observaron y describieron la estabilización de las
frecuencias desde la gráfica.
El diseñar el juego partiendo de experimentos simples para posteriormente trabajar en
experimentos compuestos permitió que los estudiantes diferenciaran las características
propias de cada uno de éstos, de manera natural, ya que en el análisis de las gráficas, las
distinciones entre un tipo de experimento y otro eran muy evidentes; los estudiantes
descubrieron un comportamiento especial en la estabilización de las frecuencias en el
experimento compuesto, además de notar sucesos imposibles o más o menos probables
que otros.
5.2 RECOMENDACIONES PARA LA APLICACIÓN DE LA SECUENCIA
Es importante tener en cuenta que al proponerse un juego como eje articulador de la
propuesta, se deben contemplar aspectos importantes como el manejo del tiempo para
cada una de las partes del juego, pues en esta implementación se notó que los estudiantes
se dejan llevar por la emoción y quieren seguir jugando, lo cual resulta por una parte muy
90
positivo porque se están recolectando mayor cantidad de datos, pero negativo porque hubo
que realizar una modificación en el tiempo que se tenía propuesto.
La claridad y proyección de las gráficas presentadas al grupo es fundamental, pues ésta
se convierte en la herramienta fundamental para que los estudiantes puedan identificar la
estabilización de la frecuencias, y si careciera de claridad posiblemente podría impedir la
interpretación que se pretende realizar de la misma.
Es recomendable que los estudiantes que participen en la aplicación de esta secuencia
hayan tenido previamente la oportunidad de interpretar gráficas, identificar cada uno de los
ejes y aplicarlos a diferentes situaciones, ya que resulta fundamental tener esa habilidad
para hacer la lectura de un gráfico.
91
BIBLIOGRAFÍA
Amir, G. & Williams, J. (1999). Cultural Influences on Children’s Probabilistic Thinking.
Journal of Mathematical Behavior, 18(10), 85-107.
Batanero, C & Godino, J. (2002): Estocástica y su didáctica para maestros: Proyecto
Edumat-Maestros .Granada: Universidad de Granada.
Batanero, C., (2005). Significados de la probabilidad en la educación secundaria. Revista
Latinoamericana de investigación en matemáticas educativa, Vol 8, número 003. México.
Batanero, C & Godino, J. (2002): Estocástica y su didáctica para maestros: Proyecto
Edumat-Maestros .Granada: Universidad de Granada.
Corbetta, P (2003). Metodología y técnicas de investigación social. McGraw-Hill.
Díaz, C (2003). Heurísticas y Sesgos en el Razonamiento Probabilístico. Implicaciones
para la Enseñanza de la Estadística. Congreso Nacional de Estadística e Investigación
Operativa. Facultad de Psicología. Universidad de Granada, España. Recuperado el 20 de
noviembre del 2015 de http://web.udl.cat/usuaris/esi2009/treballs/P1_44.pdf
Dunn, P. (2005) Teaching Statistics. Volume 27, Number 2. Original Article Title We Can
Still Learn About Probability by Rolling Dice and Tossing Coins. University of Southern
Queensland, Australia. Blackwell Publishing.
Fischbein, E. (1975). The intuitive sources of probabilistic reasoning in children. Dordrech:
Reidel.
Fischbein, E. & Gazit, L. (1984) Exploring Probability in School: Challenges for Teaching
and Learning. Ed Graham, J. 2005.
Gal, I. (2005). Towards “probability literacy” for all citizens: Building blocks and instructional
dilemmas. En G. A. Jones (Ed.), Exploring probability in school: Challenges for teaching
and learning (pp. 39–63). Nueva York, NY: Springer.
Gallardo, S, Cañadas, M, Martinez-Santaolallana, M & Molina M, (2007). Jugando con la
probabilidad. Investigación en el aula de matemáticas: estadística y azar.(pp 200- 207).
Granada.
Gelman, A., & Nolan, D. (2002) Blackwell Publishing, Ltd. Oxford, UK TESTeaching
Statistics 0141-982X © Teaching Statistics Trust 2004 271Original Article TitleWe Can Still
Learn About Probability by Rolling Dice and Tossing Coins. Teaching Statistics. Oxford
Godino, J. D. Batanero, C. & Font, V. (2007). The onto-semiotic approach to research in
mathematics education. ZDM. The International Journal on Mathematics Education, 39 (1-
92
2), 127-135. Recuperado el 2 de enero del 2016 de
https://core.ac.uk/download/pdf/12341183.pdf "
Godino, J.D, Batanero, C , Cañizares, M.J. & Vallecillos A. (1998). Recursos para el
estudio de los fenómenos estocásticos. Seminario sobre Recursos para el aprendizaje en
el aula de matemáticas. Elaboración y uso de material didáctico. Granada.
Gómez, E. (2014). Evaluación y Desarrollo del Conocimiento Matemático para la
Enseñanza de la Probabilidad en Futuros Profesores de Educación Primaria (Tesis de
doctorado). Departamento de Estadística. Universidad de Granada. Granada.
Guzman, M. (1993) Tendencias Innovadoras en Educación Matemática. Organización de
Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura. Editorial Popular
Hernandez, R, Fernandez, C., & Baptista, P. (2014). Metodología de la investigación. Sexta
edición. Maw Grall Hill. México.
Instituto Colombiano para la Educación Superior (ICFES) (2014) Cuadernillo de preguntas
liberado, prueba saber quinto año 2014.
León, O. Rocha, P & Vergel, R. (1992) El juego, la resolución de problemas y el proyecto
de aula como dispositivos en las didácticas de la matemática y de la estadística.
Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Lipschutz y Schiller. (1999). Introducción a la Probabilidad y la Estadística. Editorial
MacGraw Hill. Madrid.
Martínez Y, Osorno M, Granados A, Gómez R & Valbuena R. (2012) Proyecto Sé.
Ediciones SM. Colombia.
Ministerio de Educación Nacional. (1998). Lineamientos Curriculares de Matemáticas.
Bogotá, D.C., Cooperativa Editorial Magisterio.
Ministerio de Educación Nacional. (2002). Estándares Básicos de Competencias
matemáticas. Bogotá, D.C., Cooperativa Editorial Magisterio.
Ministerio de Educación Nacional. (2006). Estándares Básicos de Competencias
matemáticas. Bogotá, D.C., Cooperativa Editorial Magisterio.
Morales, S & Restrepo, E. (2012) El azar y la probabilidad desde el juego. Décimo
encuentro colombiano de matemática educativa ASOCOLME. Pasto, Colombia.
National Council of Teacher Mathematics (NCTM) (2000) Estándares para la enseñanza
de las matemáticas. Estados Unidos.
93
Ortiz, J., Batanero, C., & Serrano, L. (2007). Modelización y simulación de la estadística y
la probabilidad en los libros de texto de educación secundaria. X Simposio de la Sociedad
Española de Investigación en Educación Matemática 129). Huesca, España.
Ortiz, J.J., Batanero, C. & Serrano L. (2002). El lenguaje probabilístico en los libros de texto
Suma, En prensa.
Patton (2011). Essential of utilization-focused evaluation.Ed Sage, Los Ángeles.
Piaget, J. & Inhelder, B (1951) La genese de lidee de hasard chez l´efant. Press
universataires de France. Paris.
Sharma, S. (2006) personal experiences and beliefs in probabilistic reasoning: Implications
for research. International Electronic Journal of Mathematics Education. Volume 1, Number
1, October 2006.
Sherman & Weeb (1988). Qualitative research in education: A focus. University of Florida.
Gainesville.
94
Anexos
Las guías propuestas para los estudiantes se presentan en orden cronológico de
aplicación.
Anexo 1: Prueba diagnóstico
Anexo 2: Río 1
Anexo 3: Río 2
Anexo 4: Río 3
Anexo 5: Actividad de cierre
95
ANEXO 1: PRUEBA DIAGNÓSTICO
NOMBRE:
CURSO:
A continuación encontrarás una serie de situaciones y preguntas que debes responder a
partir de lo que sabes. Por favor responde justificando detalladamente tu elección.
1. La figura muestra dos discos (ruletas) que tienen agujas que una vez giradas se
detienen y apuntan a un color. ¿Con qué disco es más fácil obtener el color azul?
Disco 1 Disco 2
Es más fácil obtener el color azul con el disco porque:
2. Los estudiantes de una clase de matemáticas van a jugar al Amigo secreto. La
clase está compuesta por 13 hombres y 16 mujeres. Para jugar, cada nombre de
los alumnos se escribe sobre un trozo de papel y todos los trozos se ponen en una
bolsa. El profesor saca uno de los papeles sin mirar.
Lee con atención cada una de las siguientes afirmaciones y escoge la que consideres
verdadera.
IV. Es más probable que el nombre sea de un niño que de una niña.
V. Es más probable que el nombre sea de una niña que de un niño.
VI. Es igual de probable que sea un niño que una niña.
La afirmación verdadera es la porque:
96
Santiago tiene en su caja 15 bolas blancas y 30 negras. Lucia tiene en la suya 20 bolas
blancas y 40 negras. Juegan una partida sacando bolas al azar. El ganador es el niño que
saque primero una bola blanca. Si ambos sacan simultáneamente una bola blanca o una
bola negra, ninguno gana, devuelven las bolas a las cajas y la partida continúa. Santiago
afirma que el juego no es justo porque en la caja de Luís hay más bolas blancas que en la
suya.
¿Tú crees que el juego es justo o injusto? ¿por qué?
3. Alberto va a participar en un torneo de tiro al blanco con lanzamiento de dardos,
utilizando un tablero como el que aparece en la ilustración. En una de sus prácticas,
Alberto registró las veces que cayó el dardo en cada zona.
a) De acuerdo con las observaciones si el dardo cayó en el tablero, la
probabilidad de que haya caído en la zona E fue:
A. igual que la probabilidad de que haya caído en la zona F o en la H.
B. mayor que la probabilidad de que haya caído en la zona G o en la H.
C. igual que la probabilidad de que haya caído en la zona H.
D. menor que la probabilidad de que haya caído en la zona G
Justificación:
b) Calcula la probabilidad de que el dardo caiga en la zona E.
97
ANEXO 2: RÍO 1
Nombre:
RESPONDE ANTES DE JUGAR:
1. ¿Cómo describirías la forma del astrágalo?
2. ¿Crees que la forma del astrágalo interviene en la posición en la que cae al ser
lanzado?
3. ¿Crees que es posible que algún jugador logre cruzar el río? ¿ por qué? ¿cómo
lo haría?
A JUGAR!
4. Completa la tabla registrando los resultados que vas obteniendo, marca una línea
cada vez que aparece un color y después realiza el conteo.
COLOR Conteo Total apariciones
Rojo
Verde
Morado
Amarillo
TOTAL
5. ¿Cuántos lanzamientos realizaste en total?
6. ¿Cuál de los colores aparece con mayor frecuencia? ¿ Cuál con menos frecuencia?
7. ¿Algunos colores aparecen con la misma frecuencia?¿Cuáles?
98
8. ¿Qué parte del total de lanzamientos corresponde a cada color?
9. Si pudieras situar las fichas donde quisieras ¿en qué color las ubicarías?¿ por qué?
10. ¿Te atreverías a predecir cuál de los colores se repite más?
11. Representa la información obtenida en la tabla en un gráfica.
ANEXO 3: RÍO 2
99
Nombre:
RESPONDE ANTES DE JUGAR:
1. ¿Qué diferencia encuentras entre el astrágalo y el dado de diez caras?
2. ¿Consideras que la forma del astrágalo y la forma del dado influyen en el resultado
que se obtiene al lanzar cada uno de estos?
A JUGAR!
3. Completa la tabla registrando los resultados que vas obteniendo, marca una línea
cada vez que aparece una figura y después realiza el conteo.
Casilla Conteo Total
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TOTAL
4. ¿Cuántos lanzamiento realizaste en total?
5. ¿Cuál de las casillas aparece con mayor frecuencia? ¿ Cuál con
menos frecuencia?
6. ¿Algunas casillas aparecen con la misma frecuencia? ¿Cuáles?
7. ¿Qué parte del total de lanzamientos corresponde a cada casilla?
100
8. ¿En este río, es posible pasar todas las fichas al otro lado? ¿por qué?
9. ¿Podrías predecir qué fichas (número de la casilla) pasarán más rápido al otro
lado?
10. Representa la información de la tabla en una gráfica.
101
ANEXO 4: RÍO 3
Nombre: FECHA:
RESPONDAN ANTES DE JUGAR:
1. Encuentren todas las posibles opciones que se pueden dar al lanzar dos dados
de seis caras.
A JUGAR!
2. Completen la tabla registrando los resultados que van obteniendo, marquen una
línea cada vez que aparece la suma de los dados, después realicen el conteo total
de lanzamientos.
Casilla Conteo Total
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
TOTAL
Tabla 3
3. ¿Cuántos lanzamientos realizaron en total?
102
4. ¿Cuál de las casillas aparece con mayor frecuencia? ¿ Cuál con menos frecuencia?
5. ¿Algunas casillas aparecen con la misma frecuencia? ¿Cuáles?
6. En este río ¿qué fichas resulta imposible mover al otro lado? ¿por qué?
7. ¿Qué parte del total de lanzamientos corresponde a cada casilla?
8. Si pudieran situar las fichas donde quisieran ¿en qué casillas las ubicarían?¿ por
qué?
9. ¿Podrían predecir qué fichas (número de la casilla) pasarán más rápido al otro
lado?
10. Ubiquen estratégicamente sus fichas y jueguen de nuevo. ¿En qué casillas
ubicarían las fichas esta vez, sabiendo que pueden quedar espacios en blanco?
JUSTIFICA.
¿Encontraron alguna sorpresa?
ANEXO 5: CIERRE DE LA ACTIVIDAD
103
NOMBRE:
1. ¿Cuál fue la principal diferencia entre los experimentos de la parte 1 y 2, respecto
al de la parte 3?
2. Al observar las frecuencias relativas de las dos primeras gráficas ¿qué encuentras
en común entre ellas?
3. Al observar la última gráfica y compararla con las demás ¿ cuál es la principal
diferencia que observas?
4. ¿Crees que la cantidad de lanzamientos que se realizaron tiene que ver con el
comportamiento de las frecuencias relativas?
5. Escribe una conclusión en la que relaciones las respuestas anteriores:
104
