Criterio de Áreas Iguales
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SISTEMAS DE POTENCIA IIEstabilidad
Francisco M. González-Longatt, [email protected] © 2007
Capítulo 2Ecuación de Oscilación y
Consideraciones Mecánicas
Prof. Francisco M. Gonzá[email protected]
http://www.giaelec.org/fglongatt/SP2.htm
ELC-30524Sistemas de Potencia II
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SISTEMAS DE POTENCIA IIEstabilidad
Francisco M. González-Longatt, [email protected] © 2007
Ecuación de Oscilación
Consideraciones Mecánicas
Sistemas de Potencia II
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SISTEMAS DE POTENCIA IIEstabilidad
Francisco M. González-Longatt, [email protected] © 2007
Introducción• El estudio de estabilidad en régimen transitorio de un
sistema de potencia, acarrea consigo una serie de consideraciones sobre algunas propiedades de carácter mecánico de las máquinas del sistema;
• Debido a que después de un reajuste de potencia, los rotores han de ajustar sus ángulos relativos para satisfacer las condiciones de carga impuestas.
• Los fenómenos originados son de naturaleza eléctrica y mecánica, y es necesario tener presente ambos en el estudio de estabilidad.
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SISTEMAS DE POTENCIA IIEstabilidad
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Introducción• Debido a la necesidad de comprender los transitorios
mecánicos en las máquinas, se hace necesario establecer una serie de consideraciones mecánicas.
jX
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SISTEMAS DE POTENCIA IIEstabilidad
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Consideraciones Mecánicas• El estudio de un sistema de potencia para establecer
su estabilidad en régimen transitorio, acarrea consigo una serie de consideraciones sobre algunas propiedades de carácter mecánico de las máquinas del sistema
• Los fenómenos originados son de naturaleza eléctrica y mecánica, y es necesario tener presente ambos en el estudio de estabilidad
jX
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WPotenciaWatt (W)Potencia
J o W.sTrabajoJoule (J)Trabajo
N-m o J/radTorqueNewton (N)Fuerza
Rad/s2Aceleración angularm/s2Aceleración
Rad/sVelocidad angularMetro/segundo (m/s)Velocidad
Kg.m2Momento de InerciaKilogramo (Kg)MMasa
Radianes (rad)
Desplazamiento angularMetro (m)sLongitud
Unidades MKS
Símbolo/EcuaciónCantidadUnidades MKSSímbolo/Ec
uaciónCantidad
RotaciónMovimiento lineal
Consideraciones Mecánicas
θ
dmrJ ∫= 2
dtdsv =
dtdθω =
dtdva =
dtdωα =
MaF = αJT =
∫= FdsW ∫= θTdW
dtdWp =
dtdWp =
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Consideraciones Mecánicas
• En esencia un cuerpo movimiento posee asociado una cierta energía cinética (Ec), que puede ser expresada para el caso del movimiento lineal:
Mv
2
21 MvEc =
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Consideraciones Mecánicas• En esencia un cuerpo en rotación posee asociado una
cierta energía cinética (Ec), que puede ser expresada por:
• Siendo I el momento total de inercia del cuerpo rotante [Joule-sec2/rad2], y la velocidad angular con que rota el cuerpo [rad/sec].
2
21 ωIEc =
ω
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Consideraciones Mecánicas
• La cantidad de movimiento (P), en el caso del movimiento lineal viene dado por:
Mv
MvP =
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Consideraciones Mecánicas• El dual giratorio de la cantidad de movimiento, es el
momento angular [Mega-Joule-sec/rad].
• Generalmente se expresa como el producto del momento de inercia I y la velocidad angular ω.
ωIM =
ω I
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• El momento angular M, se suele confundir con otro cierto término, denominado constante de inercia, H, esta se define como la energía almacenada por una máquina a la velocidad sincrónica por la potencia en régimen de la máquina.
y se denota:G = régimen de la máquina en MVA
GH = Energía almacenada en MegaJoulio
Consideraciones Mecánicas
ω
MVAen maquina la deregimen sincronica velocidada almacenada Energia
=H
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Consideraciones Mecánicas• Si la energía almacenada en una parte giratoria, se
encuentra en forma de energía cinética, se puede decir:
2
21 ωIEc =
ω
GHEc =
2ωMEc =
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• Si se considera en estos instantes, que la parte giratoria, corresponde al rotor de una máquina que gira a una velocidad ω en grados eléctricos por segundo, entonces, se puede estimar la velocidad en función de la frecuencia ω=2πf, siendo f la frecuencia en ciclos por segundo (Hz)
Ecuación de Oscilación
221 2 ωω MIGHEc ===
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• Se puede realizar la observación que el momento angular M, depende del tamaño y tipo de máquina, mientras que H, no varía mucho con el tamaño
Consideraciones Mecánicas
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
=
Electricos GradosJoule-Mega
180
2360
fGHM
fMGH
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Consideraciones Mecánicas
• y se denota :G = régimen de la máquina en MVA
• Utilizando la notación antes establecida se reduce:
GH = Energía almacenada en MegaJoulio
MVAen maquina la deregimen sincronica velocidada almacenada Energia
=H
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Consideraciones MecánicasValores típicos de H
Rotor Liso 4 a 6Rotor de polos Salientes 3 a 5
Construcción de tipos de rotores (a) rotor cilíndrico (b) rotor de polos salientes
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Consideraciones Mecánicas
0.91.289.9875SC2
0.31.23025SC1
47.03.5146981340N8
2.823.67281.776.8N1
7.876.15787128CF1-LP
3.052.38305128CF1-HP
22.652.492265911F21
11.154.131115270F11
1.255.02125.425F1
31.75.153166615H18
2.382.7123386H9
0.2352.6123.59H1
Hsys=MWsec/100Hmach=MWS/Srate
d
MWsecSrated (MVA)Unidad
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Ecuación de Oscilación
Ecuacion de Oscilacion
Sistemas de Potencia II
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fE
aR sjX
tI+ +
−
tV
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Ecuación de Oscilación• Suponga ahora, una máquina sincrónica conectada a
una barra de potencia infinita:
∞dX TX LTX
G T LT
Barra de potencia infinita
Barra de potencia infinita
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Ecuación de Oscilación• Suponga ahora, una máquina sincrónica conectada a
una barra de potencia infinita: ∞dX TX LTX
G T LT
Se obtiene una reactancia equivalente
Se obtiene una reactancia equivalenteLTTds XXXX ++=
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Ecuación de Oscilación• Suponga ahora, una máquina sincrónica conectada a
una barra de potencia infinita, que durante su operación esta puede entregar una potencia que viene dada por:
δsensXVE
P =
+ +E
∞V
djXTjX LTjX
I
LTTds XXXX ++=
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• Si no se considera:– el par originado por el rozamiento
mecánico,– el rozamiento del aire, – pérdidas en el núcleo, – pérdidas por corrientes de Focault en los
arrollados amortiguadores,• entonces cualquier diferencia entre la
potencia mecánica (Pmec) y la eléctrica (Pelec) debe actuar sobre la máquina como
Ecuación de Oscilación
elecmecacel PPP −=
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• Esta potencia acelerante es causada por una diferencia entre el torque mecánico y el electromagnético.
• En función de la energía cinética del rotor, la potencia acelerante queda expresada por:
• Incluyendo la relación entre el torque de aceleración y el momento de inercia :
Ecuación de Oscilación
ωacelacel TP =
αITacel =
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Ecuación de Oscilación• Si se aplica la segunda Ley de Newton
aplicada a los torques, resulta:
acelelecmecmec TTT
dtdIT =−==∑ 2
2θ
elecT mecT
ω
+-
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Ecuación de Oscilación• En donde , es la aceleración angular. En el
rotor de la máquina, se hacen presentes dos torques, Telec el torque electromagnético y Tmecel torque mecánico.
• Si se aplica la segunda Ley de Newton aplicada a los torques, resulta:
acelelecmecmec TTT
dtdIT =−==∑ 2
2θ
elecTmecT
ω
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Ecuación de Oscilación• El torque acelerante, será positivo, si el torque
mecánico supera al electromagnético, con lo que la máquina se acelera; caso contrario pierde aceleración
• Sea θmec el ángulo de rotor medido respecto a una referencia ωs, la velocidad sincrónica de la máquina y δ el desplazamiento angular del rotor respecto a un eje que gira a velocidad sincrónica.
0>acelT
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Ecuación de Oscilación• Sea θmec el ángulo de rotor medido respecto a
una referencia ωs, la velocidad sincrónica de la máquina y δ el desplazamiento angular del rotor respecto a un eje que gira a velocidad sincrónica.
ω
Refererenciaω
tsmec ωδθ +=
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Ecuación de Oscilación
ω
Refererencia ω
tsmec ωδθ +=
2
2
2
2
dtd
dtd
dtd
dtd
t
mec
smec
smec
δθ
ωδθωδθ
=
+=
+=
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Ecuación de Oscilación• Se deduce que la aceleración absoluta es igual a la
relativa
• multiplicando por la velocidad angular rotorica en ambos lados de la ecuación anterior se reduce :
acelelecmec TTTTdtdI =−== ∑2
2δ
acelelecmec TTTdtdI ωωωδω =−=2
2
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Ecuación de Oscilación• por la definición de momento angular resulta :
• donde M' es por:
acelelecmec PPPdtdM =−=2
2
' δ
s
s
s
MM
IIM
ωω
ωωωω
=
==
'
'
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Ecuación de OscilaciónLa cantidad es conocido como el momento angular a velocidad sincrónica de la máquina. Rescribiendo la ecuación resulta:
se puede realizar la aproximación que
ya que la variación de velocidad es menor al 3%, con lo que resulta
acelelecmecs
PPPdtdM =−=2
2δωω
1=sω
ω
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• El momento angular de M de una máquina, no es constante, puesto que varía la velocidad angular, pero puede considerarse constante,
• Ya que la velocidad de la máquina no varía considerablemente de la velocidad sincrónica, siempre que no se sobrepase el límite de estabilidad.
1≈sω
ωMMsω
ω=' MM ≈'
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Ecuación de Oscilación
• La ecuación anterior recibe el nombre de ecuación de oscilación y caracteriza la reposición del rotor de la máquina sincrónica durante la perturbación.
• La ecuación de oscilación es una ecuación diferencial trascendental de segundo orden y su solución da origen a una integral elíptica
acelelecmec PPPdtdM =−=2
2δ
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Ecuación de Oscilación• La ecuación de oscilación puede ser tratada en
cantidades por unidad :
s
GHJMω
2==
acelelecmecs
PPPdtdGH
=−=2
22 δω
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Ecuación de Oscilación
supóngase que se divide en ambos miembros de la expresión por la potencia base Sbase
acelelecmecs
PPPdtdGH
=−=2
22 δω
base
acel
base
elecmec
s
b
SP
SPP
dtdH
=−
=2
22 δω
[ ]p.u22
2
acels
b PdtdH
=δ
ω
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Ecuación de Oscilación
• donde Hb : es la constante de inercia de la máquina en la nueva base (GH = SbaseHb).
• Se realiza el cambio se obtiene:
[ ]p.u22
2
acels
b PdtdH
=δ
ω
acelb P
dtd
fH
=2
2δπ
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Ecuación de Oscilación• En forma de radianes eléctricos:
δ: Radianes eléctricos.fs : Hertz.
acelb P
dtd
fH
=2
2δπ
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Ecuación de Oscilación• En la forma de grados eléctricos:
δ: Grados eléctricos.fs : Hertz.
acelb P
dtd
fH
=2
2
180δ
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Constantes de Inercia y Aceleración
• Existe una variedad de métodos, con los cuales es posible deducir la entrada eléctrica y la salida de cada máquina como una curva simple potencia ángulo, o una extensión trigonométrica simple con el ángulo entre la Fuerza Electro Motriz (FEM) interna como la variable.
• La potencia acelerante (Pacel) depende de la condición de operación inicial y de la diferencia entre la entrada y la salida, incluyendo el efecto de las pérdidas.
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SISTEMAS DE POTENCIA IIEstabilidad
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Constantes de Inercia y Aceleración• Entonces para un generador la potencia acelerante es
la variable, ΔP es:
• donde: Pi es la entrada mecánica, P0 es la salida eléctrica y L es la pérdida total.
• En un motor sincrónico la ecuación anterior es similar en significado, pero el signo numérico de las fuerzas acelerantes es negativo cuando la entrada es menor que la salida más las pérdidas.
( )LPPP i +−=Δ 0
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Constantes de Inercia y Aceleración
• La inercia de una máquina sincrónica varía a través de un ancho rango dependiendo principalmente de la capacidad y velocidad y en que inercia adicional ha sido intencionalmente agregada.
• Las constantes varían a través de un relativamente estrecho margen si ellas son expresadas en términos de la energía almacenada por KVA de capacidad.
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Constantes de Inercia y Aceleración• La relación entre la energía almacenada H y WR2 es
dado por la siguiente expresión:
• donde WR2 es el momento de inercia en libras-pies al cuadrado y ω es la velocidad en revoluciones por minuto (rpm).
SWR
KVAsegKWattH
622 10231.0−×
=−
=ω
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Constantes de Inercia y Aceleración
• Las constates de inercia varía a través de un rango desde menor a uno hasta alrededor de diez kilowatt-segundos por KVA, dependiendo del tipo de aparato y la velocidad.
• Además el control de la inercia es uno de los métodos posibles de aumentar la estabilidad del sistema.
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Constantes de Inercia y Aceleración
• Frecuentemente es conveniente cuando se desprecia las pérdidas reemplazar un sistema de dos máquinas, cada una con inercia finita, por otro sistema consistente de una máquina con una inercia equivalente y una segunda máquina con una inercia infinita.
• Por estos medios, el problema es reducido a un sistema de una sola máquina.
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Constantes de Inercia y Aceleración• Si las energías almacenadas de las máquinas son
HaKVAa y HbKVAb, entonces la constante de inercia equivalente de uno de ellos es Heq(a) es dada por:
bb
aa
aaeq
KVAHKVAH
HH+
=1
)(
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Constantes de Inercia y Aceleración• En este método, la aceleración, velocidad, y fase que
relaciona la máquina seleccionada son obtenidas con relación a la otra máquina como referencia.
• Cuando pérdidas, cargas intermedias, o más de dos máquinas están consideradas, es necesario usar el método más general donde la relación de aceleración absoluta, velocidad y ángulo de cada máquina son separadamente determinada.
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Constantes de Inercia y Aceleración• Con la constante de tiempo, H, y la potencia
acelerante o desaceleante, ΔP, es posible calcular la aceleración por medio de la siguiente ecuación:
• Donde α es la aceleración o desaceleración de ángulos eléctricos por segundo por segundo, f es la frecuencia del sistema en ciclos por segundo, ΔP , es la potencia de aceleración (o desaceleración) en KiloWatt, H es la constante de inercia de inercia en KiloWatt-Segundos/KVA.
HSPfΔ
=180α
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Calculo de H
• Se tiene que la energía almacenado en movimiento giratorio del un cuerpo viene dado por:
Energía almacenada = Energía cinética
• Donde J: Momento de inercia en Kg-m2, ω: velocidad nominal en rad/seg.
[ ]sWJEc .21 2ω=
[ ]sMWJEc .1021 62 −×= ω
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Calculo de H• De tal modo que resulta:
alnoMVAJH
min
62 1021 −×
=ω
alnoMVA
RPMJH
min
62
1060
2
21
−×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=π
( )alnoMVA
RPMJHmin
629 101048.5
−− ×
×=
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Calculo de H
• Algunas veces el momento de inercia del rotor es dado en términos de WR2, lo cual es igual al pero de las partes giratorias multiplicado por el cuadrado de los radianes de giro en lb.ft2.
• Entonces el momento de inercia en slug.ft2=WR2/32.2.
22 356.11
0685.0205.21281.31
mkgftslug
sluglbkgftm
−=−
===
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Calculo de H• Las siguientes relaciones entre las unidades MKS y
las unidades inglesas es útil para convertir de WR2 a J:
22 356.11
0685.0205.21281.31
mkgftslug
sluglbkgftm
−=−
===
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Calculo de H• El momento de inercia J en kg-m2 a WR2 es:
• De modo que resulta:
356.12.32
2×=
WRJ
( ) ( ) [ ]MVAsMWMVA
RPMWRHalno
/1031.2
min
2210−
×=
−
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Amortiguamiento
• El principal factor de amortiguamiento cuando el rotor de una máquina tiende a separarse de la velocidad sincrónica, se debe a los devanados amortiguadores.
• En general el amortiguamiento esta fuertemente relacionado con la velocidad relativa de la máquina. Si la potencia del amortiguamiento es proporcional a la velocidad resulta:
dtdKPamortig
δ0=