Copo de Nieve de Von Koch
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Mini-Exploración:
El Copo de Nieve de
von KochANDRES
:
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Índice de Contenidos
Portada
Índice
Introducción
Historia de la curva
Definición
Construcción de la curva
Objetivos de la exploración
Investigación del perímetro de Copo de von Koc
a! Perímetro de " " " #
b! $abla con datos obtenidos
c! Perímetro
d! Perímetro de Copo de von Koc
Investigación del %rea de Copo de von Koc
a! &órmula %rea de
b! 'rea " " " #
c! $abla con datos obtenidos
d! 'rea
e! 'rea de Copo de von Koc
Conclusión
C1 C
2 C
3 C
4 C
5
Cn
C1
C1 C
2 C
3 C
4 C
5
Cn
2
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Introducción(
)l Copo de nieve de von Koch" tambi*n llamada Curva de von Koch, es una figuraideada por el matem%tico +ueco ,iels Helge von Koc -./012.345!" aparecida porprimera ve6 en .315 en una publicación llamada 7)n una curva continua sin tangentes"construible por la geometría elemental -$itulo original en franc*s( 7Sur une courbe
continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire” !
)sta figura corresponde a una de las primeras curvas fractales de las 8ue se tieneregistro9
Por fractal" se entiende por cual8uier objeto geometrico" #a sea fragmentada oirregular" en la cual su estructura b%sica se repite a diferentes escalas9
Para la construcción del Copo de ,ieve de von Koc" se debe empe6ar con untri%ngulo e8uilatero:
;uego se divide cada lado en < partes iguales # en la parte central se constru#e untri%ngulo e8uil%tero" pero se borra el segmento central
3
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=l repetir el proceso anterior" el tercer 7copo> tiene el siguiente aspecto:
= la tercera iteración del proceso #a mencionado" la figura obtenida es:
4
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)l resto de los 7copos> se constru#en de manera an%loga9
=l reali6ar estos pasos" se obtiene una secuencia de 7copos>" a los cuales" por
conveniencia" se les referir% como " " " "etc9" # el Copo de ,ieve de von
Koc corresponde a
)l objetivo de esta exploración matem%tica es investigar el perímetro # el %rea de lacurva de von Koc9
Investigación del perímetro del Copo de von Koch
Con el fin de evitar dificultades en el c%lculo # la escritura de los mismos" en primer
lugar" se supondr% 8ue cada lado" representado como 7 ”, tiene un valor igual a ." #
segundo" los perímetros de cada 7copo> ser%n representados como " " " etc9
a! Primero" allar* el valor de los perímetros de " " " # 9
I! Por lo 8ue sabemos" corresponde a un tri%ngulo e8uil%tero" es decir 8ue
todos sus lados poseen un mismo valor" tiene un =1. De modo 8ue para
calcular su perímetro se debe multiplicar este por <:
C1 C
2 C
3 C
4
C∞
L
P1 P
2 P
3
C1 C
2 C
3 C
4 C
5
C1
L
L
P1=1×3
P1=3
5
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II!Para la segunda figura" es decir " es necesario un c%lculo ligeramente m%s
complejo: aora se debe dividir en < partes id*nticas" # en base al tercio
ubicado en el centro de cada " se crea un nuevo tri%ngulo e8uil%tero" para
luego eliminar dico segmento:
III!)n " se repite el proceso anterior en cada uno de los nuevos lados del
7copo>9 Por lo 8ue se debe reali6ar nuevamente de cada lado por
I?! ;a construcción de es an%loga con respecto a la construcción #a
explicada de 9 De modo 8ue el c%lculo correspondiente es:
C2
L
L
P2=3×
1
3L×4
P2=1×4
P2=4
C3
1
3×4
P3=3×
1
3L×4×
1
3×4
P3=3×
1
32×4
2
P3=
1
3×4
2
P3=16
3
C4
C3
6
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?! ;a construcción de es an%loga con respecto a la construcción de 9 De
modo 8ue el c%lculo correspondiente es:
b!$abla con los resultados obtenidos:
Copo
Perímetro
P4=3×
1
3L×4×
1
3×4×
1
3×4
P4=3×
1
33×4
3
P4=
1
9×64
P4=
64
9
C5
C4
P5=3×
1
3L×4×
1
3×4×
1
3×4×
1
3×4
P5=3×
1
34 ×4
4
P5=3×
1
81×256
P5=
1
27×256
P5=
256
27
C1
C2
C3
C4
C5
P1=3 P
2=4
P3=16
3P
4=
64
9P
5=
256
27
7
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c!Con el fin de evitar los c%lculos con una gran cantidad de cifras" se buscar% unaecuación general para el c%lculo del perímetro de los 7copos>" es decir" se calcular%
el perímetro de - !:
+i anali6amos los resultados anteriores" descubriremos 8ue estos valores cumplencon la estructura de una progresión geom*trica9 )sto puede ser comprobado a
trav*s de la definición general de las progresiones geom*tricas( " donde
corresponde a cual8uier t*rmino dentro de la secuencia" es el sucesor de
este mismo" # es la ra6ón constante de todos los t*rminos sucesivos de la
progresión9
;a comprobación es la siguiente(
I!
II!
III!
Cn P
n
Un+1
Un
= r
Un
Un+1
r
C4
C.
=5
<
C<
C4
=.@ <
5
C<
C4
=5
<
C5
C<
=@5 3
.@ <
C5
C<
=5
<
8
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I?!
=ora 8ue se a comprobado 8ue los perímetros obtenidos son" en efecto" una seriegeom*trica" podemos acer uso del teorema general de las series geom*tricas" 8ue
permite identificar cual8uier t*rmino de dica progresión9 )l teorema es( "
donde corresponde a un t*rmino cual8uiera de la progresión geom*trica" es el
primer t*rmino de la progresión geom*trica" en este caso <" es el valor de la
posición del t*rmino en cuestión dentro de la progresión # es la ra6ón constante de
todos los t*rminos sucesivos de la progresión9
Por lo tanto" la ecuación correspondiente a es:
d! &inalmente" se intentar% calcular el valor del perímetro del Copo de von Koc9)ntonces" siguiendo el ra6onamiento anterior" el valor del perímetro de dico copo
correspondería a 9
,o obstante" a pesar de 8ue existe un teorema para calcular la suma de todos lost*rminos" de una progresión geom*trica" este sólo es valido si la ra6ón de dicaprogresión es menor a . # ma#or a 2." pues da como resultado un valor finito9 Pero"
CA
C5
=4A@ 40
@5 3
CA
C5
= 5
<
U
n =U × r n−.
Un U
n
r
Pn
Pn= 3×
4
3
÷
n−1
P∞
9
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como se puede apreciar claramente en los c%lculos anteriores" la ra6ón en esta
progresión es ma#or a ." por lo 8ue se deduce 8ue tiene un valor infinito9
Investigación del área del Copo de Nieve de von Koch
Con el fin de evitar dificultades en el c%lculo # la escritura de los mismos" en primer
lugar" se supondr% 8ue cada lado" representado como 7 ”, tiene un valor igual a ." #
segundo" las %reas de cada uno de los 7copos> ser%n representadas como 7 >" de
modo 8ue ser%n " " " etc9
a! )l %rea de un tri%ngulo e8uil%tero corresponde al producto entre la base" 8ue eneste caso" como #a se a mencionado" tiene un valor igual a ." # la altura9
P∞
L
A
A1 A
2 A
3
10
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;a formula para el %rea de un tri%ngulo e8uil%tero de lado es (
b!
I!=l ser un tri%ngulo e8uil%tero con igual a ." sólo se necesita la fórmula
anterior:
II! Para calcular el %rea de se debe sumar a el %rea #a existente de " el %rea
de < tri%ngulos e8uil%teros de lado con un valor correspondiente un tercio dellado del tri%ngulo de la figura anterior9 Por lo 8ue la ecuación es:
A2=
3
4×1
2+ 3
4×
1
3
÷
2
×3
a
3
4×a
2
C1
L
A1=
3
4×1
2
A1=
3
4
C2
A2=
3
4× 1+
3
9
÷
A2=
3
3
11
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c! $abla con resultados obtenidos
Copo C1
C2
C3
C4
C5
'rea
d! Con el fin de evitar los c%lculos con una gran cantidad de cifras" se buscar%una ecuación general para el c%lculo del perímetro de los 7copos>" es decir" se
calcular% el %rea deCn - !
=ora" a diferencia de cómo se calculó el perímetro deCn" a trav*s de los
resultados obtenidos" me gustaría desviar la atención a la estructura del calculode las %reas:
I!
II!
III!
I?!
+i se anali6a los valores 8ue se encuentran dentro de los par*ntesis" seencuentra una suma" pues" como se estableció anteriormente" el calculo sebasaba en la suma de las figuras dentro del copo en cuestión9 +in embargoesta suma tiene exactamente la misma estructura de la sumatoria de una
progresión geom*trica" eco 8ue se probar% mediante la definición de lasprogresiones geom*tricas9
A1=
3
4 A
2=
3
3 A
3=
10 3
27 A4=94 3
243 A5=862 3
2187
An
A2= 3
4× 1+ 3
9
÷
A3=
3
4× 1+
3
9+
12
81
÷
A4=
3
4× 1+
3
9+
12
81+
48
729
÷
A5=
3
4× 1+
3
9+
12
81+
48
729+
192
6561
÷
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;a definición es: " donde es un t*rmino cual8uiera de la progresión"
es su sucesor" es igual al valor de la posición de dico t*rmino # r es la
ra6ón constante de todos los t*rminos sucesivos de la progresión9
I!
II!
III!
192
6561
48
729
= r
Un+1
Un
= r Un
Un+1
n
12
81
3
9
= r
r = 4
9
48
729
12
81
= r
r = 4
9
r =4
9
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;uego de 8ue se a comprobado 8ue existe una progresión geom*trica" # alsaber 8ue para calcular el %rea total se deben sumar todos los resultados" sededuce 8ue esto es una sumatoria geom*trica" la cual posee una formula:
Uk =k =1
n
∑U
×
1− r n
1− r
)n la formula" todos los símbolos poseen el mismo significado #a explicado"
mas" aoraU
representa el primer termino de la progresión9
)mpero" el calculo del %rea de los copos no se restringe a esta progresión"
pues esta comien6a a partir deC29 Por lo tanto" al reempla6ar los valores" #
agregando las variantes ajenas a la progresión" la ecuación para calcular
sería:
B
3
41+ 3
9× 1−
4
9
n−1
1−4
9
÷÷÷÷
÷÷÷÷
e! para finali6ar la investigación del %rea de los copos" allar* el %rea del Copo
de von Koc" es decir
A∞
9)n el calculo del perímetro de la misma figura" se llegó a la conclusión de 8uesería imposible calcularlo" pues el radio de la progresión geom*tricacorrespondiente al perímetro es ma#or a ." situación 8ue no se presenta en el
%rea" dónde el radio tiene un valor de
4
9
" de modo 8ue
A∞
posee un valor finitocalculable usando la siguiente formula:
Uk
k =1
∞
∑ =
U
1− r
An
An
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Por lo 8ue el calculo de
A∞
es:
A∞ = 3
41+
3
9
1−4
9
÷÷÷
÷÷÷
A∞ =
3
41+
3
5
÷
A∞=
3
4×8
5
A∞ =
2 3
5
Conclsión!
)sta exploración matem%tica nos a permitido estudiar de manera detenida una curvafractal" 8ue" no solo inclu#e progresiones geom*tricas" materia sobre la cual emosestado estudiando recientemente" cosa 8ue nos a#uda a poner a prueba lo 8ue emosaprendido" sino 8ue logramos aprender sobre esta curiosa figura" 8ue nos presenta lasiguiente paradoja: un copo 8ue posee un %rea o superficie finita" pero el perímetro deesta misma es infinita9
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