Coordenadas polares marzo del 2014
-
Upload
aaepantonio -
Category
Documents
-
view
256 -
download
1
description
Transcript of Coordenadas polares marzo del 2014
0
2014
Armando Escalona
1
HISTORIA DE LAS COORDENADAS POLARES
Sistema de coordenadas polares con varios ángulos medidos
en grados.
Si bien existen ejemplos de que los conceptos de ángulo y radio se
conocen y manejan desde la antigüedad, no es sino hasta el siglo XVII,
posterior a la invención de la geometría analítica, en que se puede
hablar del concepto formal de sistema coordenadas polares.
En tiempos modernos, Grégoire de Saint-Vincent y
Bonaventura Cavalieri introdujeron de forma independiente
el concepto a mediados del siglo XVII en la solución de
problemas geométricos. Saint-Vincent escribió sobre este
tema en 1625 y publicó sus trabajos en 1647, mientras que
Cavalieri publicó sus escritos en 1635 y una versión
corregida en 1653. Cavalieri utilizó en primer lugar las
coordenadas polares para resolver un problema relacionado
con el área dentro de una espiral de Arquímedes. Blaise
Pascal utilizó posteriormente las coordenadas polares para
calcular la longitud de arcos parabólicos. A continuación
localizamos varios puntos en el plano polar.
Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de
coordenada polar se debe a Sir Isaac Newton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736,
introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para resolver problemas relativos a
tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de coordenadas polares. En el periódico Acta Eruditorum Jacob
Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un punto en una línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las
coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ángulo respecto al eje polar. El trabajo de Bernoulli
sirvió de base para encontrar el radio de curvatura de ciertas curvas expresadas en este sistema de coordenadas.
El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores
italianos del siglo XVIII. El término aparece por primera vez en inglés en la traducción de 1816 efectuada por George
Peacock del Tratado del cálculo diferencial y del cálculo integral de Sylvestre François Lacroix, mientras que Alexis
Clairault fue el primero que pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.
Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias se relacionan con aplicaciones a la
navegación y el estudio de la bóveda celeste. El astrónomo Hiparco (190-120 a.C) creó una tabla trigonométrica que
daba la longitud de una cuerda en función del ángulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para
establecer la posición de las estrellas.[1] En Sobre las espirales, Arquímedes describe la espiral de Arquímedes, una
función cuyo radio depende del ángulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacían uso de un sistema de coordenadas
como medio de localizar puntos en el plano, situación análoga al estado de la geometría antes de la invención de la
geometría analítica.
2
LAS COORDENADAS POLARES
Las coordenadas polares consisten de una distancia dirigida y la medida de un ángulo en relación a un punto
fijo y un rayo fijo (o semirecta). El punto fijo se denomina polo u origen y se representa mediante la letra . El rayo fijo
recibe el nombre de eje polar (o recta polar), la cual se denota por . El rayo usualmente se dibuja horizontal y se
prolonga indefinidamente hacia la derecha.
Sea cualquier punto del plano diferente de . Sea la medida en radianes del ángulo dirigido , positivo
cuando se mide en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj y negativo en el caso contrario, que tiene como
su lado inicial el rayo y como su lado final el rayo . Si es la distancia no dirigida de a (esto es, | ̅̅ ̅̅ |),
un conjunto de coordenadas de está dado por y , y se denotan estas coordenadas como ( )
3
Gráfica de una ecuación polar.
Definición. Es el conjunto de puntos tales que cada uno tiene al menos, un par de coordenadas polares
que satisfacen la ecuación.
Trazado de curvas en coordenadas polares.
La construcción de curvas en coordenadas polares constará de los seis pasos siguientes:
1. Determinación de las intersecciones con el eje polar y el eje normal.
2. Determinación de la simetría de la curva con el eje polar, el eje normal y el polo.
3. Determinación de la extensión del lugar geométrico.
4. Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos para obtener una gráfica adecuada.
5. Trazado de la gráfica.
6. Transformación de la ecuación polar a rectangular.
Criterios de simetría
Una gráfica es
i. Simétrica con respecto al eje polar si se obtiene una ecuación equivalente cuando ( ) se
sustituye por ( ) ( )
ii. Simétrica con respecto al eje
si se obtiene una ecuación equivalente cuando ( ) se sustituye
por ( ) ( )
iii. Simétrica con respecto al polo si se obtiene una ecuación equivalente cuando ( ) se sustituye
por ( ) ( )
4
La mariposa es el emblema de la transformación, el simbolismo de la libertad en diferentes formas. La
sabiduría que nos da la vida a lo largo de las diferentes etapas por las que atravesamos. Todas nos
aportan ese granito de arena que se queda en nuestras vidas. Estas hermosas especies se pueden
representar matemáticamente usando coordenadas polares.
5
¿Por qué los osos blancos se disuelven en agua?
Porque son polares.
¿Qué es un oso polar?
Un oso rectangular, después de un cambio de coordenadas.
En mitad de una conferencia de matemáticas, un participante levanta la mano y dice:
- Tengo un contraejemplo para ese teorema!
A lo que el conferenciante responde:
- No importa, yo tengo dos pruebas.
Le preguntan a un matemático: - Tú qué harías si vieras una casa ardiendo y justo enfrente
una manguera sin conectar a una boca de riegos? La conectaría, obviamente. Y si la casa no
estuviese ardiendo, pero la manguera estuviese conectada? Quemaría la casa, desconectaría
la manguera y luego usaría el método anterior
¿En qué se diferencian un oso polar y un oso rectangular? —En que uno se mide en coordenadas polares, el otro en rectangulares.
6
Gráficas polares especiales
Varios tipos importantes de gráficas tienen ecuaciones que son más simples en forma polar
que en forma rectangular. La ecuación polar de un círculo de radio y centro en el origen es
simplemente . Se muestran abajo algunos tipos de gráficas cuyas ecuaciones son más
simples en forma polar.
7
8
9
Área limitada por una curva en coordenadas polares
Para encontrar el área limitada por una curva ( ) con [ ] (continua en ese
intervalo) se van a utilizar sectores circulares cuyas áreas aproximarán el área total.
Recordemos que: área de un sector circular de radio y ángulo que subtiende es
Si se hace una partición del intervalo [ ] y
[ ]
[ ( )]
( )
( )
Ahora haciendo la suma de las
áreas
∑
∑
( )
Si se hace | (que en este caso equivale a hacer | ) entonces
∫ ( )
De lo anterior:
Ejemplo:
Encuentre el área en el interior de la circunferencia r = 1 y en el exterior del cardioide r = 1 – cosθ.
10
[
∫ [ ( ) ]
]
∫ [ ( )]
∫ [
]
|
[ (
) ]
(
)
( )
( )
( )
(
)