GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA

SESIÓN 2: SISTEMA DE COORDENADAS POLARES. APLICACIONES

CASO 1: APLICACIONES EN LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS

Las coordenadas polares tienen mucha importancia a la ingeniería civil, sobre todo en casos de levantamientos topográficos, pues su uso es por medio del sistema de coordenadas polares.

215/04/2023

Las coordenadas polares son interesantes al estudiar fenómenos relacionado con distancias y ángulos .

Veamos a enumerar algunos:

CASO 2: EN LA NAVEGACIÓN

Ecuaciones de curvas: las coordenadas polares simplifican la ecuación de ciertas curvas.

Navegación marítima: como la navegación marítima se basa en ángulos y distancias la utilización de las coordenadas polares simplifica mucho los cálculos necesarios para realizar dicha actividad.

¿SABÍAS QUE?: En Los micrófonos, la directividad es la característica que nos indica desde qué dirección recoge mejor el sonido.

Micrófonos Unidireccionales. Dentro de esta categoría se encuentra el patrón más extendido y usado en la mayor parte de micrófonos, el cardiode. Como su nombre indica, tiene forma de corazón. Estos micrófonos reciben mejor la señal al hablarles de frente, aunque siempre recogen un poco de sonido por la parte trasera y lateral.

¿cómo calcular el área de un cardiode?

Un ingeniero civil desea construir una piscina en su finca, y quiere el modelo como se muestra en la siguiente figura: Si las únicas medidas que se conocen son las que se señalan en la figura

6 m

PROBLEMATIZACIÓN

¿Habrá alguna curva paramétrica que se aproxime a la curva mostrada?

¿Habrá alguna cónica ya estudiada que le permite aproximar el contorno de la curva?

4m 6m

¿Qué método es más adecuado para graficar una ecuación paramétrica?

RESPONDA A LAS SIGUIENTES INTERROGANTES

¿Cómo transformas una ecuación cartesiana a paramétrica o viceversa?

¿Qué es una ecuación polar?

¿Qué ecuación polar corresponde al contorno de la piscina?

¿Cómo graficas una ecuación polar?

LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión, el estudiante grafica y convierte curvas de coordenadas polares a cartesianas y viceversa, aplicando para ello métodos gráficos por tabulación y/o graficadora a las ecuaciones polares.

Los puntos en coordenadas polares tienen la forma P(r, θ), donde r = radio, es la distancia dirigida desde el origen (0, 0) al punto P, un punto dado en el plano y θ el ángulo. Si el lado móvil del ángulo se mueve en dirección contraria al movimiento de las manecillas del reloj, entonces la dirección del ángulo es positiva.

Si el lado móvil del ángulo se mueve siguiendo el movimiento de las manecillas del reloj, entonces la dirección del ángulo es negativa.

COORDENADAS POLARES

COORDENADAS POLARES

9

A cada punto P(x,y) en el plano se le asignan coordenadas polares (r,θ), como sigue:

r = distancia dirigida de O a P

θ = ángulo dirigido, en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje polar hasta el segmento OP

Ejemplo:

SISTEMA POLAR O ROSETA POLAR O PLANO POLAR

10

• Sistema Polar o Plano Polar consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación.

• Al eje horizontal se llama “eje polar”, y al eje vertical se llama “eje π/2”. El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama “Polo”.

30°

+

-

-

-

Fig: 2,4. Ángulo positivo

0°

90°

180°

60°120°

150°

210°

240°

270°

300°

330°

360°

EJEMPLOS

11

Se muestra tres puntos en el sistema de coordenadas polares y vamos a localizarlos a una retícula de circunferencias concéntricas interceptadas por rectas radiales que pasan por el polo.

12

De coordenadas rectangulares a polares

2 2r x y

yarctg

x

De coordenadas polares a rectangulares

cosx r

y rsen

, ,P r P x y

y

x

r

CONVERSIÓN DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS Y VICEVERSA

13

Encuentre las coordenadas polares del punto P(1,1). Solución: Representando el punto en el plano cartesiano, se tiene:

EJEMPLO 1

14

Utilizando las transformaciones:

Además se podría utilizar otras equivalencias polares:

2 2 2 21 1 2

1

1 4

r x y r

yarctgarctg

x

7 5 32, 2, 2, 2,

4 4 4 4

SOLUCIÓN DEL EJEMPLO 1

15

EJEMPLO 2

a) Dado el punto , 2,r

cos 2cos 2

2 0

x r

y rsen sen

Luego, el punto coordenado es: , 2,0x y

b) Dado el punto , 3,6

r

3

3cos6 2

33

6 2

x

y sen

Luego, el punto coordenado es:

3 3, ,

2 2x y

CONVERSIONES DE POLARES A CARTESIANAS

16

EJEMPLO 3

a) Dado el punto en el segundo cuadrante , 1,1x y

3tan 1 arctan arctan 1

4

y y

x x

Luego, el punto coordenado es: , 2,0x y

Como se eligió el ángulo en el mismo cuadrante que , se debe usar un valor positivo para r.

,x y

2 2 2 2( 1) (1) 2r x y

Esto implica que un conjunto de coordenadas polares es 3, 2,

4r

b) Dado que el punto se encuentra en el eje positivo, se elige , y un conjunto de coordenadas polares es

, 0, 2x y , 2

2y r

, 2,2

r

COORDENADAS POLARES DE LASCÓNICAS

•Recta•Circunferencia•Parábola, Elipse, Hipérbola•Cardioide, etc

RECTAS QUE CONTIENEN AL POLO

y

x

y xm

y xm

Resulta, finalmente .

Ejemplo. y

x

3y x

60

3 3y x arctg

r = 3secq r = 3cosecq

RECTAS QUE CONTIENEN AL POLO

RECTAS QUE NO CONTIENEN AL POLO

Del triángulo tenemos:

Por tanto, sería: cos

dr

cosd

r

• La ecuación: r = 2

CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL POLO

CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR EL POLO

Se define a la parábola ( e =1), a la elipse ( 0 < e < 1) y a la hipérbola ( e >1) como el conjunto de puntos del plano tales que:

( , )

( , )

d P Fe

d P l

FORMA GENERAL DE LAS CÓNICAS

De acuerdo a lo mencionado se tiene:

Cónica horizontal derecha

Cónica horizontal izquierda

Cónica vertical arriba

Cónica vertical abajo

PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLA

1 cos

edr

e

1. Si tenemos

2. Si tenemos

3. Si tenemos

4. Si tenemos

0 1 cos

edr

e

1 cos

edr

e

2

1

edr

esen

3

2

1

edr

esen

EL CARDIOIDE

2626Cardioide horizontal Cardioide vertical

Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardioide.

CURVAS IMPORTANTES

Un ingeniero civil desea construir una piscina en su finca, y quiere un modelo como se muestra en la siguiente figura: Si las únicas medidas que se conocen son las que se señalan, diga: 4 m y 6m

6 m

PROBLEMATIZACIÓN: SOLUCIÓN

¿Habrá alguna curva paramétrica que ayude a aproximar la medida del contorno?

¿Habrá alguna cónica ya estudiada que me permite aproximar el contorno?

Solución:

Dada la ecuación de la cardiode de la forma:

6 m

PROBLEMATIZACIÓN: SOLUCIÓN

Ejercicios

1. Graficar los siguientes puntos en un sistema de coordenadas polares: a) b)

2. Determinar la distancia entre los puntos

2,3

33,

2

1 1,P r 2 2,Q r

.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

N° CÓDIGO AUTOR TITULO EDITORIAL AÑO

1 516.3 OROZ OROZCO MAYREN, GILBERTO

Geometría Analítica: Teoría y Aplicaciones Trillas 2007

2 516.182 ESPI/E

ESPINOZA, RAMOS EDUARDO Geometría Vectorial en R3 2004, s.n. 2004

3 516.32ESPI

ESPINOZA RAMOS, EDUARDO

Geometría Analítica Plana : Teórico-Práctico S.n 2007