Convergencia Newton
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M´ etodos Computacionales - Inform´ atica Aplicada El siguiente teorema muestra condiciones suficientes para que la sucesi´on obtenida por la iteraci´on del M´ etodo de Newton sea convergente y que el orden de converegencia sea R =2, si la aproximaci´on inicial est´a suficientemente cerca de la ra´ ız. Teorema - Convergencia Local del M´ etodo de Newton Sea f una funci´ on C 2 [a, b] y sea p ∈ (a, b) tal que f (p)=0y f ′ (p) = 0. Entonces existe un intervalo J tal que si p 0 ∈ J y p n = p n−1 − f (p n−1 ) f ′ (p n−1 ) , n =1, 2,... resulta que l´ ım n→∞ p n = p y si E n = p − p n l´ ım n→∞ E n+1 E 2 n = − f ′′ (p) 2f ′ (p) . Demostraci´ on Dado que f es C 2 [a, b], si p y p n est´anen(a, b) podemos aplicar la F´ormula de Taylor para f , f (p)= f (p n )+ f ′ (p n )(p − p n )+ 1 2 f ′′ (α n )(p − p n ) 2 , como f (p) = 0 resulta 0= f (p n )+ f ′ (p n )(p − p n )+ 1 2 f ′′ (α n )(p − p n ) 2 (1) donde α n est´aentre p y p n . Como f ′ (p) =0y f ′ es continua en [a, b], existe δ> 0 tal que si x ∈ I δ =[p − δ, p + δ ] ⊂ [a, b], es f ′ (x) = 0. De (1) obtenemos f ′ (p n )(p − p n )= −f (p n ) − 1 2 f ′′ (α n )(p − p n ) 2 , y si p n ∈ I δ , p = p n − f (p n ) f ′ (p n ) − f ′′ (α n ) 2f ′ (p n ) (p − p n ) 2 entonces p − p n+1 = − f ′′ (α n ) 2f ′ (p n ) (p − p n ) 2 . (2) A continuaci´ on veamos que los valores de |f ′′ (α n )| 2|f ′ (p n )| est´anacotados en I δ para todo n ∈ N. Dado que |f ′′ | es continua en I δ , existe M = m´ ax{|f ′′ (x)| : x ∈ I δ } y |f ′′ (x)|≤ M para todo x ∈ I δ . 1
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Hipotesis para la convergencia del método de Newton-Raphson. Demostración matemática.
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Metodos Computacionales - Informatica Aplicada
El siguiente teorema muestra condiciones suficientes para que la sucesion obtenida porla iteracion del Metodo de Newton sea convergente y que el orden de converegencia seaR = 2, si la aproximacion inicial esta suficientemente cerca de la raız.
Teorema - Convergencia Local del Metodo de Newton
Sea f una funcion C2[a, b] y sea p ∈ (a, b) tal que f(p) = 0 y f ′(p) 6= 0.
Entonces existe un intervalo J tal que si p0 ∈ J y pn = pn−1 −f(pn−1)
f ′(pn−1), n = 1, 2, . . .
resulta quelımn→∞
pn = p
y si En = p− pn
lımn→∞
En+1
E2n
= −f ′′(p)
2f ′(p).
Demostracion
Dado que f es C2[a, b], si p y pn estan en (a, b) podemos aplicar la Formula de Taylorpara f ,
f(p) = f(pn) + f ′(pn)(p− pn) +1
2f ′′(αn)(p− pn)
2,
como f(p) = 0 resulta
0 = f(pn) + f ′(pn)(p− pn) +1
2f ′′(αn)(p− pn)
2 (1)
donde αn esta entre p y pn.
Como f ′(p) 6= 0 y f ′ es continua en [a, b], existe δ > 0 tal que si x ∈ Iδ = [p− δ, p+ δ] ⊂[a, b], es f ′(x) 6= 0. De (1) obtenemos
f ′(pn)(p− pn) = −f(pn)−1
2f ′′(αn)(p− pn)
2,
y si pn ∈ Iδ,
p = pn −f(pn)
f ′(pn)−
f ′′(αn)
2f ′(pn)(p− pn)
2
entonces
p− pn+1 = −f ′′(αn)
2f ′(pn)(p− pn)
2. (2)
A continuacion veamos que los valores de|f ′′(αn)|
2|f ′(pn)|estan acotados en Iδ para todo n ∈ N.
Dado que |f ′′| es continua en Iδ, existe M = max{|f ′′(x)| : x ∈ Iδ} y
|f ′′(x)| ≤ M para todo x ∈ Iδ.
1
Como |f ′| es continua en Iδ, existe m = mın{|f ′(x)| : x ∈ Iδ}. Si x ∈ Iδ, m ≤ |f ′(x)| yf ′(x) 6= 0 por lo que m > 0. Entonces
1/|f ′(x)| ≤ 1/m para todo x ∈ Iδ.
De estas observaciones y del hecho que si pn ∈ Iδ, tambien αn ∈ Iδ,
|f ′′(αn)|/|f′(pn)| ≤ M/m si pn ∈ Iδ para n ∈ N.
De la ecuacion (2) tenemos que
|p− pn+1| ≤M
2m(p− pn)
2 si pn ∈ Iδ para n ∈ N.
Si notamos µ = M2m
, si pn ∈ Iδ la formula anterior es
|En+1| ≤ µ|En|2 si pn ∈ Iδ para n ∈ N. (3)
Sea J el intervalo J = {x ∈ Iδ : |p− x| < 1
µ}.
Probamos ahora que si p0 ∈ J entonces pn ∈ J para todo n ∈ N.
Como |E0| = |p− p0| < 1/µ, entonces µ|E0| < 1.
|E1| ≤ µ|E0|2 = (µ|E0|)|E0| < |E0| < 1/µ
(|E1| < |E0| significa que p1 esta mas cerca de p que p0, por lo que p1 ∈ J).
|E2| ≤ µ|E1|2 = µ(µ|E0|
2)2 = µ3|E0|4 < (µ|E0|)
3|E0| < |E0| < 1/µ
(|E2| < |E0| significa que p2 esta mas cerca de p que p0, por lo que p2 ∈ J).
|E3| ≤ µ|E2|2 = µ[(µ|E0|)
3E0]2 = µ7|E0|
8 < (µ|E0|)7|E0| < |E0| < 1/µ
(|E3| < |E0| significa que p3 esta mas cerca de p que p0, por lo que p3 ∈ J).
Analogamente se prueba con razonamineto inductivo que pn ∈ J para todo n ∈ N y
|En| ≤ (µ|E0|)2n−1|E0| < |E0| < 1/µ. (4)
Dado que 0 ≤ µ|E0| < 1 resulta lımn→∞(µ|E0|)2n−1 = 0 y de la desigualdad (4),
lımn→∞ |En| = 0, es decir lımn→∞ |p− pn| = 0 y entonces
lımn→∞
pn = p.
Por otro lado, si n → ∞ resulta pn → p, y como αn esta entre p y pn, tambien αn → ppor lo que hacemos el lımite cuando n → ∞ en (2) y resulta
lımn→∞
En+1
E2n
= −f ′′(p)
2f ′(p).
FIN
2
Repaso de conceptos utilizados en el TeoremaSe sugiere al estudiante lector, identificar en que parte del teorema se utilizan los siguientesconceptos.
DefinicionDado r ∈ N, se dice que f es Cr[a, b] si f y las derivadas de f hasta el orden r inclusiveson continuas en [a, b].
Ejemplos:h(x) = x3/2 es C1[0, 7],g(x) = x5/2 es C2[0, 7] yF (x) = sin x es Cr[a, b], para cualquier r ∈ N y para cualquier intervalo [a, b].
DefinicionUn conjunto A ⊂ R esta acotado si existe un numero K tal que |a| ≤ K para todoa ∈ A.
Formula de TaylorSi f tiene n+1 derivadas en un intervalo I que contiene al numero a, entonces para x ∈ Iexiste c estrictamente entre x y a tal que:
f(x) = f(a) +f ′(a)
1!(x− a) + . . .+
fn(a)
n!(x− a)n +
fn+1(c)
(n+ 1)!(x− a)n+1
Un caso particular del Teorema del Sandwich)Si {an} y {bn} son dos sucesiones tales que 0 ≤ an ≤ bn para todo n ∈ N y limn→∞bn = 0,entonces limn→∞an = 0
TeoremaSi f es derivable en un numero c, entonces f es continua en c.
Teorema del valor extremoSi una funcion h es continua en un intervalo cerrado entones la funcion tiene un valormaximo y un valor mınimo en dicho intervalo.
Teorema de conservacion del signoSi g es continua en un intervalo [a, b], c ∈ [a, b] y g(c) 6= 0, existe un intervalo I quecontiene a c tal que g(x) tiene el mismo signo que g(c) para todo x ∈ I.
0 < x < y ⇒ 1/x > 1/y > 0
0 < p < q ∧ 0 < x < z ⇒ px < qz
lımn→∞ |an − A| = 0 ⇔ lımn→∞(an − A) = 0 ⇔ lımn→∞ an = A
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