Vernica Bonilla M. A60914

Anlisis de Sistemas IM-0300Laboratorio #12 Miguel ngel Segura Monge. - Carn A76135 Fecha de entrega: 19 de noviembre del 2011

Modelado de sistemas controlados CORRELACIONES EMPRICASPARA SELECCIN DE CONSTANTES DE CONTROL PID

1. Descripcin del modeloEn este laboratorio se trabaj con una serie de funciones transferencia utilizadas para la descripcin de diversos tipos de planta. Este anlisis se desarroll para analizar el comportamiento de las mismas antes y despus de ser controladas y moduladas por un controlador tipo Proporcional-Integral-Derivativo. La descripcin de estos sistemas fue realizada gracias al software Matlab y su componente Simulink. Los sistemas modelados correspondan a las siguientes funciones:..................................................................(1)

......................................................................(2)

................................................(3)

.........................................................................(4)La funcin P1 corresponde a la descripcin de un sistema masa-resorte-amortiguador convencional. La funcin P2 corresponde a un motor elctrico. P3 es la descripcin de un sistema que posee dos masas, dos resortes y dos amortiguadores. Por ltimo, la funcin P4 es la que describe un sistema compuesto por una masa que gira y se traslada libremente por una tabla que se balancea sobre un cilindro.Para efectos del laboratorio, las constantes se muestran a continuacin en la siguiente lista de ecuaciones:..........................................................................(5)

.........................................................................(6)

............................................................................(7)

......................................................(8)

............................................................................(9)2. Anlisis de ResultadosDurante la experiencia realizada en laboratorio se trataron diferentes modelos. A cada uno de estos se les realiz un anlisis del comportamiento de su salida. El primero de estos sistemas modelados y analizados fue el de un sistema masa-resorte-amortiguador. Este fue probado en dos ocasiones donde se variaron las constantes que describan al sistema. El primero de estos fue el sistema que se muestra en la ecuacin P1A, el cual se trata de un sistema subamortiguado. El anlisis del mismo se muestra en las siguientes figuras.

Figura 1. Posicin para la funcin 1A con entrada escaln unitario

El grafico mostrado anteriormente es la descripcin de la posicin del sistema durante los 50 segundos simulados para una entrada de escaln unitario. Esta se funcin comenz con un valor de 0 para luego cambiar rpidamente a 1. Este grafico se realiz con el nico fin de poder determinar del mismo los valores necesarios para realizar el mtodo de seleccin emprica de constantes ZNE. El primer paso fue realizar el clculo de la derivada de la funcin de posicin anterior. Esta se muestra a continuacin.

Figura 2. Derivada de la funcin de posicin con entrada escaln unitario

Con la derivada de la funcin principal calculada y graficada es ms simple la determinacin de los valores necesarios para el clculo de las constantes requeridas por el PID. El siguiente paso en el proceso de seleccin de las constantes fue encontrar el punto de inflexin en la curva de posicin, lo que es equivalente al punto mximo de la derivada graficada en la figura 2. En este caso el valor del punto de inflexin, o valor mximo de la derivada, fue Xpmax = 0,25. Este se dio en el tiempo tXPmax = 1 y en la posicin XtPmax = 4,8295e-015. Con estos valores se determinaron x0 = 0,25 y T0 = 1, valores necesarios para la determinacin de las constantes del PID en este mtodo. Los valores de estas constantes fueron determinados y son Kp = 4,8, Ki = 2,4 y Kd = 2,4.

Figura 3. Sistema 1A controlado con Ki, Kd y Kp.

Como podemos ver, en la figura 3 se muestra la descripcin de la posicin del sistema una vez que este se ha unido al controlador del tipo PID. Los valores de las constantes son los que se mencionaron anteriormente. Este grafico se acerca mucho al comportamiento deseado, ya que si llega a estabilizarse en un valor muy cercano a 1. El inconveniente con este grafico es el inicio del mismo. Podemos como inicia con un salto que no alcanza el valor deseado, para luego descender y ascender nuevamente y llegar a la estabilizacin mencionada. Este resultado no es el ms recomendable aunque si es aceptable.Para corregir este comportamiento un poco errtico, se opt por la modificacin del las constantes determinadas mediante el mtodo ZNE. Esta modificacin se realizar al multiplicar o dividir por mltiplos de 10. Luego de este proceso se realiz la grafica que se muestra a continuacin.

Figura 4. Sistema controlado con Ki/10, Kd/100 y Kp*1000

En la figura anterior se puede ver como siempre se presenta un pequeo sobrepaso inicial, sin embargo esta fluctuacin es considerablemente menor a la observada en el primer grafico (figura 3). Luego de este comportamiento errado, el sistema se estabiliza muy cerca del valor deseado pero mantiene ciertas oscilaciones que alteran su posicin. Es importante destacar que la frecuencia de las oscilaciones controlador-planta 83,33 Hz. Esta frecuencia es segura, ya que la frecuencia natural amortiguada del sistema es de apenas 14,51 Hz. Este resultado demuestra que en este caso, un sistema subamortiguado puede llegar a la estabilidad.Por ltimo, en lo que corresponde a esta primera funcin, podemos comprobar la estabilidad de la misma al observar la figura 5, donde se graficaron las races de la funcin. Se puede ver como todas estn del lado real negativo, de donde se puede concluir la estabilidad para el sistema..Figura 5. Estabilidad del sistema 1A

El segundo sistema modelado y analizado fue un sistema masa-resorte-amortiguador similar al del primer caso, pero con una ligera variacin de constantes. Este sistema, el P1B, se trata de un sistema sobreamortiguado. El anlisis del mismo se muestra en las siguientes figuras.

Figura 6. Posicin para la funcin 1B con entrada escaln unitario

Al igual que en el caso anterior, el grafico mostrado anteriormente es la descripcin de la posicin del sistema durante los 50 segundos simulados para una entrada de escaln unitario. Este grafico se realiz con el nico fin de poder determinar del mismo los valores necesarios para realizar el mtodo de seleccin emprica de constantes ZNE. En la siguiente figura se muestra la derivada de la funcin anterior.

Figura 7. Derivada de la funcin de posicin 1B con entrada escaln unitario

Como se dijo para la primera funcin, el tener la derivada de la funcin principal calculada y graficada hace ms simple la determinacin de los valores necesarios para el clculo de las constantes requeridas por el PID. En este caso el valor del punto de inflexin, o valor mximo de la derivada, fue Xpmax = 0,25. Este se dio en el tiempo tXPmax = 1 y en la posicin XtPmax = 4,8295e-015. Con estos valores se determinaron x0 = 0,25 y T0 = 1, valores necesarios para la determinacin de las constantes del PID en este mtodo. Los valores de estas constantes fueron determinados y son Kp = 4,8, Ki = 2,4 y Kd = 2,4.

Figura 8. Sistema 1B controlado con Ki, Kd y Kp.

Como podemos ver, en la figura 8 se muestra la descripcin de la posicin del sistema una vez que este se ha unido al controlador del tipo PID. Los valores de las constantes son los que se mencionaron anteriormente. Este grafico se acerca mucho al comportamiento deseado, ya que si llega a estabilizarse en un valor muy cercano a 1. El inconveniente con este grafico una vez mas es el inicio del mismo. Podemos como inicia con un sobrepaso pronunciado, para luego descender y ascender nuevamente y llegar a la estabilizacin mencionada. Este resultado no es el ms recomendable aunque puede ser aceptable.Para corregir este comportamiento un poco errtico, se opt por la modificacin del las constantes determinadas mediante el mtodo ZNE. Esta modificacin se realizar al multiplicar o dividir por mltiplos de 10. Luego de este proceso se realiz la grafica que se muestra a continuacin.

Figura 9. Sistema controlado con Ki/100, Kd/100 y Kp*1000

En la figura anterior se puede ver como el sobrepaso inicial ha sido eliminado, con el inconveniente de que el sistema ahora no llega exactamente al valor deseado, ya que en esta simulacin, el grafico presenta un valor mximo de 0,9997. Es en este punto donde el sistema se estabiliza muy cerca del valor deseado pero mantiene ciertas oscilaciones que alteran su posicin. Es importante destacar que la frecuencia de las oscilaciones controlador-planta 24,39 Hz. Esta frecuencia es segura, ya que la frecuencia natural del sistema es de 0,50 Hz. Este resultado demuestra que en este caso, un sistema sobreamortiguado puede llegar a la estabilidad.Por ltimo, en lo que corresponde a esta primera funcin, en su segunda parte, podemos comprobar la estabilidad de la misma al observar la figura 10, donde se graficaron las races de la funcin. Se puede ver como todas estn del lado real negativo y sin parte imaginaria, de donde se puede concluir la estabilidad para el sistema.

.Figura 10. Estabilidad del sistema 1B

El tercer sistema modelado y analizado fue el correspondiente a la planta 2, descripcin de un motor elctrico. Este sistema, el P2, se trata de un sistema marginalmente estable. El anlisis del mismo se muestra en las siguientes figuras.

Figura 11. Posicin para la funcin 2 con entrada escaln unitario

Al igual que para el sistema anterior, el grafico mostrado anteriormente es la descripcin de la posicin del sistema durante los 50 segundos simulados para una entrada de escaln unitario. Este grafico, una vez ms, se realiz con el nico fin de poder determinar del mismo los valores necesarios para realizar el mtodo de seleccin emprica de constantes ZNE. En la siguiente figura se muestra la derivada de la funcin anterior.

Figura 12. Derivada de la funcin de posicin 2 con entrada escaln unitario

Como se dijo para el primer sistema, el tener la derivada de la funcin principal calculada y graficada hace ms simple la determinacin de los valores necesarios para el clculo de las constantes requeridas por el PID en Matlab. En este caso el valor del punto de inflexin, o valor mximo de la derivada, fue Xpmax = 2,58. Este se dio en el tiempo tXPmax = 50 y en la posicin XtPmax = 82,99. Con estos valores se determinaron x0 = 45,80 y T0 = 17,78, valores necesarios para la determinacin de las constantes del PID en este mtodo. Los valores de estas constantes fueron determinados y son Kp = 0,0262, Ki = 7,3690e-4 y Kd = 0,2329.

Figura 13. Sistema 1B controlado con Ki, Kd y Kp.

Como podemos ver, en la figura 13 se muestra la descripcin de la posicin del sistema una vez que este se ha unido al controlador del tipo PID. Los valores de las constantes son los que se mencionaron anteriormente. Este grafico ciertamente dista del comportamiento pretendido, ya que presenta inflexiones no deseadas y se estabiliza en un valor diferente al deseado. Este resultado no puede ser considerado aceptable.Para corregir este comportamiento completamente errado, se opt por la modificacin del las constantes determinadas mediante el mtodo ZNE. Esta modificacin se realizar al multiplicar o dividir por mltiplos de 10. Luego de este proceso se realiz la grafica que se muestra a continuacin.

Figura 14. Sistema controlado con Ki/1000, Kd*100 y Kp*1000

En la figura anterior es posible observar que ahora el sistema si logra estabilizarse en el valor deseado o por lo menos en un valor muy cercano a este. Siempre se presenta un pequeo sobrepaso adems de que la estabilizacin tarde aproximadamente 5 segundos, sin embargo estas caractersticas no son realmente representativas. Este sistema, unido al controlador PID con las constantes apropiadas si presenta un comportamiento estable.Por ltimo, en lo que corresponde a esta funcin del motor elctrico podemos comprobar la estabilidad de la misma al observar la figura 15, donde se graficaron las races de la funcin. Se puede ver como todas estn del lado real negativo y adems que las lneas que describen las races convergen en 0, de donde se puede concluir la marginalidad en la estabilidad para el sistema.

.Figura 15. Estabilidad del sistema 2

El cuarto sistema modelado y analizado fue de nuevo un sistema masa-resorte-amortiguador similar al del primer caso, pero con un modificacin importante. En este caso el sistema contaba con 2 de cada uno de estos componentes. Este sistema, el P3, se trata de un sistema subamortiguado. El anlisis del mismo se muestra en las siguientes figuras.

Figura 16. Posicin para la funcin 3 con entrada escaln unitarioAl igual que en los casos anteriormente analizados, el grafico mostrado es la descripcin de la posicin del sistema durante los 50 segundos simulados para una entrada de escaln unitario. Este grafico se realiz con el nico fin de poder determinar del mismo los valores necesarios para realizar el mtodo de seleccin emprica de constantes ZNE. En la siguiente figura se muestra la derivada de la funcin anterior.

Figura 7. Derivada de la funcin de posicin 3 con entrada escaln unitario

Como se dijo para todas las funciones, el tener la derivada de la funcin principal calculada y graficada hace ms simple la determinacin de los valores necesarios para el clculo de las constantes requeridas por el PID. En este caso el valor del punto de inflexin, o valor mximo de la derivada, fue Xpmax = 0,1415. Este se dio en el tiempo tXPmax = 1,50 y en la posicin XtPmax = 0,055. Con estos valores se determinaron x0 = 0,1575 y T0 = 1,1132, valores necesarios para la determinacin de las constantes del PID en este mtodo. Los valores de estas constantes fueron determinados y son Kp = 7,62, Ki = 3,42 y Kd = 4,24.

Figura 18. Sistema 3 controlado con Ki, Kd y Kp.

Como podemos ver, en la figura 18 se muestra la descripcin de la posicin del sistema una vez que este se ha unido al controlador del tipo PID. Los valores de las constantes son los que se mencionaron anteriormente. Este grafico se acerca mucho al comportamiento deseado, ya que si llega a estabilizarse en un valor muy cercano a 1. Sin embargo siempre existe cierto error, ya que como podemos ver le toma un tiempo considerablemente amplio para llegar a la estabilidad. Este tiempo de estabilizacin ronda los 13 segundos. Este resultado ciertamente no es el ms recomendable aunque puede ser aceptable.Para corregir este comportamiento de lenta estabilizacin, se opt por la modificacin del las constantes determinadas mediante el mtodo ZNE. Esta modificacin se realizar al multiplicar o dividir por mltiplos de 10. Luego de este proceso se realiz la grafica que se muestra a continuacin.

Figura 19. Sistema controlado con Ki*10, Kd*10 y Kp*100

Comienza por debajo de 1 para luego ir incrementando su magnitud hasta llegar a un valor muy aproximado al esperado. Presenta ciertas oscilaciones.

Frecuencia de las oscilaciones controlador-planta 8,33 Hz.

En la figura anterior se puede ver como el tiempo que le tarda en acercarse al calor deseado es mucho menor, siendo casi instantneo. Sin embargo siempre se mantiene un error ya que la estabilidad total en el valor deseado se logra hasta el segundo 28 aproximadamente. Sumado a esto se mantiene ciertas oscilaciones en el sistema, que alteran su posicin. Es importante destacar que la frecuencia de las oscilaciones controlador-planta 8,33 Hz. Esta frecuencia se torna insegura, ya que la frecuencia natural del sistema es de 7,86 Hz, valor muy cercano al mencionado anteriormente. Este resultado demuestra que en este caso, un sistema sobreamortiguado puede llegar a la estabilidad.Por ltimo, en lo que corresponde a esta cuarta funcin podemos comprobar la estabilidad de la misma al observar la figura 20, donde se graficaron las races de la funcin. Se puede ver como todas estn del lado real negativo de donde se puede concluir la estabilidad para el sistema.

.Figura 20. Estabilidad del sistema 3

El quinto y ltimo sistema modelado y analizado fue el correspondiente a la planta 4, descripcin de un sistema compuesto por una superficie colocada sobre un cilindro donde se balancea una esfera. Este sistema, el P4, se trata de un sistema inestable. El anlisis del mismo se muestra en las siguientes figuras.

Figura 21. Posicin para la funcin 4 con entrada escaln unitario

Al igual que para todos los sistemas anteriores, el grafico mostrado anteriormente es la descripcin de la posicin del sistema durante los 50 segundos simulados para una entrada de escaln unitario. Este grafico, una vez ms, se realiz con el nico fin de poder determinar del mismo los valores necesarios para realizar el mtodo de seleccin emprica de constantes ZNE. En la siguiente figura se muestra la derivada de la funcin anterior.

Figura 22. Derivada de la funcin de posicin 4 con entrada escaln unitario

Xpmax = 3,1780e+6. tXPmax = 50. XtPmax = 3,9233e+7. x0 = 1,1967e+8. T0 = 37,66. Kp = 1,0028e-8. Ki = 1,3315e-10. Kd = 1,8880e-7.

Como se dijo para los primeros sistemas, el tener la derivada de la funcin principal calculada y graficada hace ms simple la determinacin de los valores necesarios para el clculo de las constantes requeridas por el PID en Matlab. En este caso el valor del punto de inflexin, o valor mximo de la derivada, fue Xpmax = 3,1780e+6. Este se dio en el tiempo tXPmax = 50 y en la posicin XtPmax = 3,9233e+7. Con estos valores se determinaron x0 = 1,1967e+8 y T0 = 37,66, valores necesarios para la determinacin de las constantes del PID en este mtodo. Los valores de estas constantes fueron determinados y son Kp = 1,0028e-8, Ki = 1,3315e-10 y Kd = 1,8880e-7.

Figura 23. Sistema 4 controlado con Ki, Kd y Kp.

Como podemos ver, en la figura 23 se muestra la descripcin de la posicin del sistema una vez que este se ha unido al controlador del tipo PID. Los valores de las constantes son los que se mencionaron anteriormente. Este grafico muestra un comportamiento completamente diferente al esperado. En primer lugar no se estabiliza en ningn momento y adems tiene un comportamiento creciente, tpico de los sistemas inestables. Este resultado no puede ser considerado aceptable.Para corregir este comportamiento completamente errado, se opt por la modificacin del las constantes determinadas mediante el mtodo ZNE. Esta modificacin se realizar al multiplicar o dividir por mltiplos de 10. Luego de este proceso se realiz la grafica que se muestra a continuacin.

Figura 24. Sistema controlado con Ki*100, Kd*10 y Kp*10

En la figura anterior es posible observar que el sistema no alcanza la estabilidad ya que nunca llega al valor deseado. Fueron probadas diversas combinaciones de las constantes y en ninguna se obtuvo el resultado deseado o algo similar. El comportamiento ms cercano fue el que se muestra y an as es muy distante al esperado. Este sistema, unido al controlador PID con las constantes probadas no presenta un comportamiento estable.Por ltimo, en lo que corresponde a esta funcin podemos comprobar la inestabilidad de la misma al observar la figura 25, donde se graficaron las races de la funcin. Se puede ver como existen races en los 4 cuadrantes, lo que incluye races del lado real positivo, la que implica inestabilidad en el sistema.

Figura 25. Estabilidad del sistema 4Cdigo fuente MATLAB utilizado3.1 Archivo principal lab12.mfigure(1)plot(tout,Xt) figure(2)plot(tout,derXt) figure(3)plot(tout,IntXt) Xss=Xt(length(Xt))[Xpmax,pos]=max(derXt)tXPmax=tout(pos)XtPmax=Xt(pos) x0=Xpmax*tXPmax-XtPmaxT0=x0/Xpmax Kp=12/(10*x0)Ki=6/(10*x0*T0)Kd=6*T0/(10*x0) figure(4)plot(tout,poscontrolada) figure(5)rlocus([980], [6 0 0 0 0], [0:1:100])

3.2 Definicin funcin lab12simu.mdl

Figura 26. Diagrama general de bloques.