CONTROL ESTADSTICO DEL PROCESO

DISTRIBUCION NORMALLa notacin para una variable aleatoria que se distribuye normalmente es x N ( , 2 ), la forma de la distribucin es simtrica, unimodal y en forma de campana. Las reas entre diferentes desviaciones estndar son:

168.26% 295.46% 399.73%-3 +3

Fig. 2.1Curva de distribucin normal

La poblacin incluye todos los datos, la muestra es una porcin de la poblacin.

La distribucin normal estndar

El valor de z

Determina el nmero de desviaciones estndar entre algn valor X y la media de la poblacin . Para calcular el valor de Z usamos la siguiente frmula.

(2.1)

La distribucin de probabilidad f (Z) es una distribucin normal con media 0 y desviacin estndar 1; esto es Z se distribuye normalmente con media cero y desviacin estndar = 1 Z~N(0,1): La grfica de densidad de probabilidad se muestra en la figura.

La distribucin f (Z) se encuentra tabulada en la tabla de distribucin normal estndar. En esta tabla podemos determinar los valores de Z o la probabilidad de determinado valor Z.

NOTA: Cuando las tablas acumulativas de distribucin normal slo dan valores a la izquierda de valores positivos de z, utilizando la propiedad de simetra se pueden evaluar probabilidades o reas a la izquierda de valores negativos de z.P (x >= a) = 1 P (x = -a) = P (x a) = 0.05.

En la tabla se encuentra que para P( z=3 o 4, condiciones propicias para el control estadstico de los procesos.PRUEBAS DE HIPTESIS

Se pueden cometer dos tipos de errores cuando se prueban hiptesis:

Error tipo I, se rechaza Ho cuando es verdadera.Error tipo II, no se rechaza Ho cuando es falsa.

Las probabilidades de esos dos tipos de errores son: = P(error tipo I) = P(error tipo II)

donde la potencia de la prueba es

Potencia = 1 - = Probabilidad de rechazar correctamente Ho.

Alfa a veces se denomina riesgo del productor, denotando la probabilidad de que un lote bueno o un proceso que produce partes aceptables en relacin a una caracterstica de calidad sean rechazados.

Beta a veces se denomina riesgo del consumidor denotando la probabilidad de aceptar lotes de calidad pobre, o permitiendo que un proceso contine operando de manera insatisfactoria respecto a una caracterstica de calidad.

El procedimiento general para pruebas de hiptesis es especificar una probabilidad de error tipo I o , y disear un procedimiento de prueba que minimice la probabilidad de error tipo II.

Conforme se incrementa el tamao n de muestra, se reduce la probabilidad de error tipo II.

PROBABILIDAD DE ERROR TIPO II

Tomando como estadstico de prueba Zc, y asumiendo que sigue una distribucin normal N(0,1).

(2.6)Para encontrar la probabilidad de error tipo II, se debe asumir que Ho es falsa y entonces hallar la distribucin de Zc. Suponiendo que la media de la distribucin realmente es:

1 = 0 + con > 0

La hiptesis alterna H1 es verdadera y bajo esta suposicin, el estadstico Zc es:

BAJO H0 BAJO H1

- Z/20 Z/2 Zc = Fig. 2.2 La distribucin de Zc bajo Ho y H1

La probabilidad del error tipo II es la probabilidad de que Zc se encuentre entre - Z/2 y Z/2 dado que la hiptesis alterna es verdadera.

Para evaluar esta probabilidad, se evaluan F(Z/2) ) F(-Z/2), donde F es la distribucin acumulativa normal estndar. La probabilidad de error tipo II es (funciona igual para cuando < 0):

(2.7)

Ejemplo 2.7: si los estndares especifican que la media de una lata de caf es de 16.0 oz., y de acuerdo a la experiencia se sabe que la desviacin estndar del contenido es de 0.1 oz. Las hiptesis son:Ho: = 16.0Ho: 16.0Asumiendo una probabilidad de error tipo I de 0.05 y tomando una muestra de 9 latas, se tiene que el estadstico de prueba es:

Se rechaza Ho si Zo > Z0.025 = 1,96

Suponiendo que se desea encontrar la probabilidad del error tipo II si el valor verdadero de la media es 1 =16.1 implicando que = 16.1 16.0 = 0.1, se tiene:

= (- 1.4 ) - ( -4.96 ) = 0.1492

Es decir que la probabilidad de no rechazar Ho si la media es 16.1 oz. Es de 0.1492, o que la potencia de la prueba es de 1 - = 1 0.1492 = 0.8508.

De la ecuacin anterior para , se observa que es una funcin de n, y de , tomando como 0.05 y graficando contra d = / , se obtienen las curvas caractersticas de operacin (OC).

(ver grfica de curva OC)

En las curvas OC se observa que:

1. Entre mayor sea el valor de , se reduce la probabilidad de error tipo II para una n y dadas. Es decir que la prueba detecta ms fcilmente grandes diferencias.2. Conforme se incrementa n, la probabilidad de error tipo II es ms pequeo para una y dadas. Es decir que la prueba se hace ms potente si se incrementa el tamao de muestra.

HERRAMIENTAS PARA CONTROL DEL PROCESO

Para que un producto cumpla especificaciones del cliente en forma consistente, debe ser producido por un proceso estable y repetible, con poca variacin alrededor del valor nominal de las caractersticas de calidad del producto. El Control Estadstico del Proceso es una serie de herramientas para la solucin de problemas enfocados a lograr la estabilidad del proceso y mejorar su habilidad, a travs de la reduccin de su variabilidad. Las herramientas principales son:

1. Histograma o grfico de tallos-hojas2. Hojas de verificacin3. Grfica de Pareto4. Diagrama de causa-efecto5. Diagrama de concentracin de defectos6. Diagramas de dispersin7. Cartas de control

Las cartas de control fueron desarrolladas por el Dr. Walter A. Shewhart de los Bell Telephone Labs., se denominan Cartas de Control de Shewhart y se usan para el monitoreo del proceso en lnea. A continuacin se explica la teora de variabilidad de Shewhart.

2.2 CAUSAS COMUNES Y CAUSAS ESPECIALES

La variabilidad natural siempre existe en cualquier proceso de produccin, no importa que tan bien diseado est. Esta variabilidad natural es denominada causas comunes o aleatorias de variabilidad, un proceso que opera en estas condiciones se dice que est en control estadstico.

Existen otras fuentes de variabilidad que pueden ser causadas por mquinas, errores de operadores o materiales defectuosos. Esta variabilidad es muy grande en relacin con la variabilidad natural y es originada por causas especiales o asignables haciendo que el proceso opere fuera de control estadstico (ver pgina siguiente).

De la figura cuando el proceso est en control, la mayor parte de la produccin se encuentra dentro de los lmites de control (LSC y LIC). Sin embargo cuando el proceso est fuera de control, una gran proporcin del proceso se encuentra fuera de estos lmites.

El Objetivo del CEP es la deteccin oportuna de la ocurrencia de causas especiales para tomar acciones correctivas antes de que se produzcan unidades defectivas o no conformes, para esto se utilizan las cartas de control en lnea, permitiendo tambin la estimacin de la capacidad o habilidad del proceso y la reduccin continua de la variabilidad hasta donde sea posible.

2.3 BASES ESTADSTICAS DE LAS CARTAS DE CONTROL

Una carta tpica representando un proceso en control estadstico se muestra a continuacin. Contiene una lnea central que representa el valor promedio de la caracterstica de calidad correspondiente al estado en control y dos lneas adicionales llamadas lmites inferior y superior de control (LIC y LSC), los cuales se seleccionan de tal forma que casi la totalidad de los puntos se encuentren dentro de ellos, si esto ocurre no se requiere tomar ninguna accin.

LSC

LC

LIC Tiempo

Fig. 2.3 Carta de control de Shewhart

Un punto que se encuentre fuera de los limites de control mostrar evidencia que el proceso est fuera de control y ser necesario una investigacin de la causa especial y la accin correctiva necesaria para eliminarla. Tambin se tendr un alto riesgo de situacin fuera de control si los puntos se agrupan es forma sistemtica dentro de los lmites de control o muestran una tendencia.

Por ejemplo, la carta de control de medias prueba la hiptesis de que la media del proceso est en control y tiene un valor 0 si un valor de media muestral cae dentro de los lmites de control; de otra forma se concluye que el proceso est fuera de control y que la media del proceso tiene un valor diferente del de 0, por decir 1, donde 1 0.

Se puede decir que las probabilidades de los errores tipo I y tipo II de la carta de control, son esquemas de prueba de hiptesis para analizar el desempeo de las cartas de control.

La probabilidad del error tipo I de la carta de control se presenta cuando se concluye que el proceso est fuera de control cuando en realidad no lo est.

La probabilidad de error tipo II de la carta de control se presenta cuando se concluye que el proceso est en control cuando en realidad est fuera de control. La curva caracterstica de operacin (OC), con en el eje vertical, indica la capacidad de la carta para detectar corridas de la media o rango del proceso de diferentes magnitudes.

Ejemplo 2.8: Para el caso de pistones, evaluando la caracterstica de calidad de dimetro interno del anillo. Si la media del proceso es 74 y la desviacin estndar es de 0.01mm, con un tamao de muestra de n=5, se tiene:

La desviacin estndar de las medias es:

Asumiendo que el proceso est en control y de acuerdo al teorema del lmite central se asume que las medias se distribuyen normalmente, se debe espera que el 100(1- )% se encuentren entre 74 Z/2 (0.0045).

Si se escoge arbitrariamente a Z/2 = 3, se obtienen los lmites de control a 3 sigma:LSC = 74 + 3 (0.0045) = 74.0135LIC = 74 3 (0.0045) = 73.9865

74.0135

74

74.9865Tiempo

Fig. 2.4 Carta de Control tpica

El ancho de los lmites de control es inversamente proporcional al tamao de muestra n, para un mltiplo de sigma dado., La seleccin de los lmites de control es equivalente a preparar la regin crtica para probar la hiptesis en el tiempo:H0 : = 74 H1 : 74Con = 0.01 conocida.

Se puede definir un modelo general para una carta de control, si w es un estadstico muestral que mide alguna caracterstica de calidad de inters y asumiendo que su media es w con desviacin estndar w se tiene:

LSC = w + Lw (2.8)LC = w LIC = w - LwDonde L es la distancia de los lmites de control a partir de la lnea central expresada en unidades de desviacin estndar.

El uso ms importante de la carta de control es la mejora del proceso, a travs de su monitoreo, al principio se observar que los procesos no estn en control estadstico, sin embargo con las cartas de control se podrn identificar causas especiales que al ser eliminadas, resulten en una reduccin de la variabilidad mejorando el proceso.

DISTRIBUCIONDISTRIBUCIONCOMPORTAMIENTO DEL PROCESODE LOS VALORESDE LAS MEDIASLSC = 74.0135, LC = 74, LIC = 73.9865

INDIVIDUALES =.01

Fig. 2.5 Comparacin de la variabilidad de la poblacin y la de las medias y operacin de la carta de control

El proceso de mejora usando la carta de control requiere la accin de la supervisin, operador e ingeniera, la carta de control slo detecta causas especiales o asignables.

Para identificar y eliminar las causas asignables, es importante encontrar las causas raz del problema y atacarlas para lo cual se puede utilizar el Plan de accin para situaciones fuera de control OCAP, activado con la ocurrencia de cada evento. Incluye Puntos de chequeo que son causas potenciales asignables y terminadores que son las acciones que resuelven la situacin fuera de control. Este documento OCAP es un documento vivo que debe ser actualizado constantemente.

ENTRADAPROCESOSALIDA

SISTEMA DE EVALUACIN

VerificacinDeteccin de causay seguimiento asignable

ImplantarIdentificar causaAccinraz del problemaCorrectiva

Fig. 2.6 PROCESO DE MEJORA USANDO LA CARTA DE CONTROL

La carta de control es un dispositivo de estimacin de parmetros del proceso una vez que exhibe control estadstico, se puede estimar la media, varianza, proporcin, etc. que pueden ser utilizados para determinar la capacidad de los procesos para producir productos aceptables, base de decisiones gerenciales y contractuales.

Las cartas de control pueden ser clasificadas en dos clases: por atributos y por variables dependiendo de cmo se evale la caracterstica de calidad.

Si la caracterstica de calidad se puede evaluar y expresar como un nmero real en alguna escala de medicin continua, se denomina una variable. En tales casos se utilizan cartas de control de medias, que describan la tendencia central y cartas de control basadas en rango o desviacin estndar para controlar la variabilidad del proceso.

Muchas caractersticas de calidad no pueden ser medidas en una escala continua, en esos casos se puede juzgar cada producto como conforme o como no conforme sobre la base de que posea o no ciertos atributos, o se pueden contar el nmero de no conformidades o defectos que aparecen en una unidad de producto. Las cartas de control para tales caractersticas de calidad, se denominan cartas de control por atributos.

Un factor importante en la aplicacin de cartas de control es su diseo, es decir la seleccin de tamao de muestra, lmites de control y frecuencia de muestreo. Para la carta de control por variables del ejemplo se utiliz una muestra de 5 partes, lmites de control a 3-sigma y una frecuencia de muestreo cada hora.

Si se incrementa el tamao de muestra, decrece la probabilidad del error tipo II, aunque el diseo de la carta de control tambin debe tomar consideraciones econmicas considerando los costos de muestreo, prdidas por fabricar productos defectuosos y costo de investigar indicaciones fuera de control que son falsas alarmas.

Otra consideracin en el uso de cartas de control es el tipo de variabilidad exhibida por el proceso:

1. Procesos estacionarios: los datos del proceso varan alrededor de una media fija de una manera fija y estable. Es decir se tiene un proceso en control de acuerdo a Shewhart es el rea de aplicacin de las cartas de control ms efectivo.

2. Procesos con datos no correlacionados: las observaciones dan la apariencia de haberse extrado de una poblacin estable (normal u otra), en anlisis de series de tiempo se denomina ruido blanco. En este caso los datos pasados histricos no dicen nada en relacin a predecir su comportamiento futuro.

3. Procesos estacionarios con datos correlacionados: las observaciones sucesivas de en estos datos son dependientes; es decir un valor por arriba de la media tiende a ser seguido por otro valor arriba de la media y viceversa, esto produce corridas lentas y largas en algn lado de la media.

4. Procesos no estacionarios: ocurren en los procesos qumicos e industrias de proceso, los procesos son muy inestables y tienen corridas inestables alrededor de una media fija. En estos casos se estabiliza el desempeo de los procesos por medio de control automtico por retroalimentacin.

Las cartas de control han sido muy populares por las siguientes razones:

1. Son una herramienta probada para mejorar la productividad. Su aplicacin exitosa ayuda a reducir desperdicios y retrabajos, que son factores que reducen la productividad (productos buenos por hora).2. Son efectivas como herramientas de prevencin de defectos. Apoyan el concepto de hacerlo bien a la primera vez, es ms costoso seleccionar productos buenos en un lote con productos defectuosos, que fabricarlos bien desde el principio.3. Evitan que se hagan ajustes innecesarios en el proceso. Apoyan el concepto de si no esta mal, no lo arregles, ya que identifican las causas comunes de las especiales, evitan que se hagan ajustes cuando slo se estn teniendo variaciones aleatorias en el proceso.4. Proporcionan informacin de diagnstico. Proporcionan un patrn de puntos que permite la toma de decisiones para la mejora del proceso, al operador o al ingeniero experimentado.5. Proporcionan informacin acerca de la capacidad o habilidad del proceso. Proporcionan informacin acerca de los parmetros importantes del proceso y de su estabilidad con el tiempo, permitiendo la estimacin de la capacidad del proceso para producir dentro de especificaciones.

SELECCIN DE LOS LMITES DE CONTROL

Abriendo los lmites de control decrece riesgo de error tipo I (falsa alarma) sin embargo se incrementa el riego de error tipo II y viceversa. Con lmites de control de 3-sigma la probabilidad de error tipo I es de 0.0027. Si se selecciona el nivel de riesgo de error tipo I en 0.002 o 0.001 en cada lado, se tienen los lmites de control a una distancia de 3.09-sigmas y los lmites de control sern:

LSC = 74 + 3.09 (0.0045) = 74.0139LIC = 74 3.09 (0.0045) = 73.9861

Estos lmites de control se denominan lmites probabilsticos a 0.001. A continuacin se presenta una comparacin entre lmites.+3.09 +3.0 LC-3.00 -3.09 Fig. 2.7 Lmites de control de Shewhart y Europeos

Los lmites de control a 0.001 se utilizan en pases europeos.Algunos analistas sugieren el uso de lmites preventivos trazados a 2-sigmas de la lnea central, para el caso de lmites de control a 3-sigmas y a 0.025 de probabilidad para lmites de control a 0.001. Estos lmites aumentan la sensibilidad de la carta de control para identificar corrimientos de la media del proceso, en forma ms rpida. Si un punto cae fuera de los lmites preventivos, Una desventaja es que crean confusin con el personal y se incrementa el riesgo de error tipo I (falsas alarmas).

TAMAO DE MUESTRA Y FRECUENCIA DE MUESTREO

Al disear una carta de control, se debe especificar tanto el tamao de muestra como la frecuencia de muestreo, tamaos de muestra grandes permiten detectar pequeas corridas en la media del proceso como se observa en las curvas caractersticas de operacin.

Para la frecuencia de muestreo, la prctica industrial sugiere tomar muestras pequeas frecuentes, principalmente en produccin masiva o cuando existe la posibilidad de que existan muchas causas especiales, actualmente con las computadoras esto es cada vez ms fcil.

Otra forma de determinar la frecuencia de muestreo y el tamao de muestra, es a travs de la longitud media de racha de la carta de control (ARL), que es el nmero de puntos que deben ser graficados antes de que un punto indique una condicin fuera de control.

(2.9)

donde p es la probabilidad de que un punto exceda los lmites de control. Para el caso de 3-sigma p=0.0027 y el ARL0 = 370. Es decir que si el proceso est en control, se generar un punto fuera de control como falsa alarma cada 370 puntos.

Si se toman muestras en intervalos fijos de tiempo en horas (h), entonces aparecer una falsa alarma cada tiempo promedio de indicacin (ATS) en horas.

(2.10)

En el ejemplo si se toman muestras cada hora, se genera una falsa alarma cada 370 horas.

Para evaluar que tan efectiva es la carta para detectar corrimientos en la media del proceso, se utilizan las curvas caractersticas de operacin. Por ejemplo, si n=5 y la media se corre de 74.015mm, la probabilidad de que un punto caiga dentro de los lmites de control es aproximadamente 0.50, por tanto utilizando p=0.50, se puede calcular el ARL1 para una situacin fuera de control como sigue:

Esto significa que el proceso requiere 2 muestras antes de detectar el corrimiento. Si el muestreo se hace cada hora, el ATS = 2 h, si esto fuera inaceptable, se podran tomar muestras ms frecuentes por ejemplo cada media hora o incrementar el tamao de muestra. Si n=10, de la curva caracterstica de operacin se observa que p=0.9 y el ARL1 = 1.11 y el ATS = 1.11 h, lo cual puede ser ms aceptable.

En resumen las dos alternativas siguientes dan un resultado similar:

Diseo 1Diseo 2n = 5n = 10Frec. Cada horaFrec. cada hora.

Las muestras se toman de manera ms frecuente a la ocurrencia de cambios en el proceso registrados en bitcoras (cambio de turno, cambio de materiales, ajustes, fallas, etc.), con objeto de detectar las causas de situaciones fuera de control.

SUBGRUPOS RACIONALES

La idea fundamental en las cartas de control es colectar los datos de la muestra de acuerdo al concepto de subgrupo racional es decir que el subgrupo debe seleccionarse de tal forma que si estn presentes causas asignables, la diferencia entre los subgrupos sea maximizada, minimizando la diferencia dentro del subgrupo. El tiempo en que se tomen las muestras es una buena base para formar subgrupos, evitando que algunas observaciones se tomen al final de un turno y las restantes al inicio del siguiente ya que ocasiona diferencias dentro del subgrupo.

Por lo anterior se recomienda tomar productos consecutivos de produccin para formar la muestra (cuyo tamao puede ser entre 4 y 6), minimizando diferencias dentro del subgrupo. En algunos procesos como los qumicos, es suficiente tomar una sola unidad de producto como muestra, dado que existe homogeneidad.

ANALISIS DE PATRONES EN CARTAS DE CONTROL

Una carta de control indicar una condicin fuera de control cuando uno o ms puntos caigan ms all de los lmites de control o cuando los puntos graficados formen un patrn no aleatorio de comportamiento.

En general una racha o corrida es una secuencia de observaciones del mismo tipo. Adems de las corridas ascendentes o descendentes, se encuentran las que estn por debajo o sobre la media.

Dado que una corrida de 8 o ms puntos tiene una probabilidad de ocurrencia muy baja, se considera que una racha o corrida con una longitud de 8 puntos indica una condicin fuera de control.

Fig. 2.8 Proceso fuera de control por tendencias o corridas

Otro patrn de inestabilidad se presenta cuando el comportamiento del proceso muestra patrones cclicos.

Para reconocer un patrn de comportamiento no slo se requiere conocer las tcnicas estadsticas, sino tambin es necesario tener un conocimiento profundo del proceso.

En el libro de la Western Electric (1956) se recomiendan las reglas siguientes para detectar patrones no aleatorios en las cartas de control:

1. Un punto fuera de los lmites de control de 3-sigma.2. Dos de tres puntos consecutivos sobre los lmites preventivos a 2-sigma.3. Cuatro de cinco puntos consecutivos que se encuentren a una distancia de 1-sigma o ms all a partir de la lnea central.4. Ocho puntos consecutivos graficados hacia un lado de la lnea central.

Algunas reglas adicionales recomendadas por la industria son:

5. Siete puntos formando una tendencia creciente o decreciente.6. Quince puntos consecutivos encontrados entre ms menos 1-sigma de la lnea central (adhesin a la media).7. Catorce puntos en un rengln alternndose arriba y abajo.8. Siete puntos que se encuentren ms all de 1-sigma de la lnea central.9. Un patrn no usual o no aleatorio de datos.10. Uno o ms puntos cerca de los lmites preventivos.

Debe tenerse cuidado de no exagerar en la aplicacin de las reglas ya que se pueden tener muchas falsas alarmas quitndole efectividad al programa del CEP.

2.4 EL RESTO DE LAS 7 HERRAMIENTAS ESTADSTICAS

1. HOJA DE VERIFICACIN

2. DIAGRAMA DE PARETO

3. LLUVIA DE IDEAS

4. DIAGRAMA DE ISHIKAWA

5. CARTA DE TENDENCIAS

6. DIAGRAMA DE FLUJO

7. DIAGRAMA DE DISPERSIN

CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES

3.1 INTRODUCCIN

Una caracterstica que se mide en una escala numrica se denomina una variable. Por ejemplo temperaturas, dimensiones, volumen, tiempo, etc. Las cartas de control de son ampliamente utilizadas para monitorear la media y la variabilidad de las variables, con objeto de evitar o minimizar que se tengan productos fuera de especificaciones y estabilizar los procesos.

LIE MEDIA LSE LIE MEDIA LSE LIE MEDIA LSE

MEDIA Y DESV. ESTANDARMEDIA CORRIDADESVIACION ESTANDAREN NIVELES NORMALESMAYOR A LA REQUERIDA

Fig. 3.1 Estados posibles de un proceso en control

3.2 CARTAS DE CONTROL DE MEDIAS-RANGOS

Asumiendo que una caracterstica de calidad est distribuida normalmente con media y desviacin estndar ambas conocidas. Si x1, x2, .... xn forman una muestra de tamao n entonces se puede calcular la media de la muestra .

Ahora como las medias de las muestras estn normalmente distribuidas con media = / , y siendo que la probabilidad 1- de que cualquier media muestral caer entre los lmites:

(3.1)y

Lo anterior ser vlido an si la distribucin de la poblacin no es normal pero si estable.

En la prctica los lmites de control se estiman a partir de 20 o 25 muestras preliminares o subgrupos, el tamao de subgrupo es de 4, 5 o 6 normalmente. Si se tienen m subgrupos, la gran media se calcula como sigue:

(3.2)Representa la lnea central de la carta de medias.

Para estimar la del proceso, se pueden utilizar los rangos de los subgrupos, para cada uno de los subgrupos el rango es calculado como:

R = xmax xmin(3.3)Si R1, R2, ....., Rm , son los rangos de los diferentes subgrupos, el rango promedio es:

(3.4)

DESARROLLO DE LA FORMULA PARA LOS LMITES DE CONTROL

La variable W de rango relativo relaciona al rango con la desviacin estndar como sigue:

W = R / (3.5)

Los parmetros de la distribucin de W son funcin de n. La media de W es d2. Por tanto un estimador de es R / d2 , donde d2 est tabulado para diferentes valores de n, de esta forma si es el rango promedio de las primeras muestras, usando:

(3.6) Los lmites de control de la carta de medias son:

Lmite superior de control (LSC)

Lmite inferior de control (LIC)(3.7)

Lnea central (LC)

Si de define a se tienen las ecuaciones siguientes:

LSC = + A2(3.8)

LIC = - A2

El valor de A2 se encuentra tabulado en una tabla de constantes.

Para el caso de los rangos, la lnea central es . El estimador para R puede hallarse de la distribucin del rango relativo W = R / , si la desviacin estndar de W es d3 en funcin de n, se tiene:

R = W (3.9)La desviacin estndar de R es:R = d3

Como es desconocida, se puede estimar de = / d2, resultando:

(3.10)De esta forma los lmites de control para el rango son:

LSC = + 3= + 3 = [ 1+ 3] = D4(3.11)

LIC = - 3= - 3=[ 1- 3] = D3Donde las constantes A2 , d2 D3 y D4 se encuentran tabuladas en funcin de n para facilitar el clculo de los lmites de control como sigue:

Tabla 3.1 Constantes para lmites de control en cartas X-R n A2D3D4d221.8800.0003.2671.1283 1.0230.0002.5741.6934 0.7290.0002.2822.05950.5770.0002.1152.32660.4830.0002.0042.53470.4190.0761.9242.70480.3730.1361.8642.84790.3370.1841.8162.970100.3080.2231.7773.078

Para valores pequeos de n, el rango es un buen estimador de la varianza tal como lo hace la varianza de la muestra S2. La eficiencia relativa del mtodo del rango a la S2 se muestra abajo:

EficiencianRelativa2 1.0003 0.9924 0.9755 0.9556 0.93010 0.850

Para n >= 10 el rango pierde eficiencia rpidamente ya que ignora los valores intermedios entre xmax y xmin sin embargo para valores pequeos de n (4,5 o 6) empleados en las cartas de control, es adecuado. Para cuando n>10 se utiliza la desviacin estndar en vez del rango.

LIMITES PRELIMINARESSiempre que un proceso este siendo analizado a travs de una carta de control, es muy importante llevar una bitcora registrando todos los cambios (tiempo y descripcin) conforme ocurran, por ejemplo: cambio de turno, cambio de materiales, ajuste de mquina, interrupcin de energa, arranque de mquina, etc. Con objeto de identificar las causas asignables en caso de presentarse para la toma de acciones correctivas.

Al iniciar una carta de control tomando m subgrupos (20 a 25) se calculan y grafican los lmites de control preliminares para determinar si el proceso estuvo en control (ver procedimiento de Grficas de Control). Para probar esta hiptesis, se analizan todos los puntos graficados y se hace un anlisis para identificar si hay puntos fuera de los lmites de control o patrones anormales de comportamiento, si as fuera, los lmites de control preliminares se pueden utilizar para el control futuro del proceso.

Si no se prueba la hiptesis de que el proceso est en control, por algn patrn de anormalidad presente, se determina la causa especial de la anormalidad, se toman acciones correctiva para que no vuelva a presentar, se eliminan los puntos correspondientes al patrn de anormalidad y se re-calculan o revisan los lmites de control. Se analiza la carta de control para observar un comportamiento aleatorio, si aun no se tiene, se repite el proceso anterior hasta lograrlo. Una vez teniendo todos los puntos en control, los nuevos lmites de control ms cerrados que los originales se utilizan para el control futuro del proceso.

Cuando no sea posible encontrar causas especiales para los patrones de anormalidad o puntos fuera de control, no se eliminan y se consideran para la determinacin de los lmites de control revisados para el control futuro del proceso.

INTERPRETACIN DE CARTAS DE CONTROL

Se debe iniciar con la interpretacin de la carta R, identificando causas especiales y despus analizar la carta . Adems de la situacin de un punto fuera de control, se tienen otros patrones de anormalidad como los siguientes:Patrones cclicos: Puede ser ocasionado por cambios ambientales, fatiga del operador, o fluctuaciones en las presiones u otras variables del proceso.

LSC

LC

LICFig. 3.2 Patrn de anormalidad cclico

Mezclas de lotes: Se presenta cuando los puntos graficados se localizan cerca o fuera de los lmites de control, con muy pocos puntos cerca de la lnea central, puede ser causada por un sobre control de los operadores sobre el proceso o cuando se toman productos de varias fuentes con diferente media.

LSC

LC

LIC

Fig. 3.3 Patrn de anormalidad con mezcla de lotes

Corrimiento en la media del proceso. Esto puede ser generado por un cambio en mtodos, operadores, materias primas, mtodos de inspeccin, etc.LSC

LC

LIC

Fig. 3.4 Patrn de anormalidad con corrimiento en media

Una tendencia ascendente o descendente: Son causadas por deterioracin gradual de herramientas u otro componente crtico del proceso, en los procesos qumicos puede deberse a la separacin de algn componente.

LSC

LC

LIC

Fig. 3.5 Patrn de anormalidad de tendencia ascendente

Estratificacin: Se muestra como una adhesin a la media, puede ser causado por lmites mal calculados, tomar piezas de procesos diferentes o falta de resolucin del equipo de medicin.

LSC

LC

LIC

Fig. 3.7 Patrn de anormalidad de estratificacin

Por lo general la carta R es ms sensible a cambios en la normalidad de los procesos, por ejemplo cuando n = 4 el error tipo I no es 0.00027 sino 0.00461.

En resumen los patrones de anormalidad ms comunes son: Un punto fuera de los lmites de control Siete puntos formando una tendencia ascendente o descendente Dos de tres puntos a ms de dos sigma de la lnea central en el mismo lado Cuatro de cinco puntos a ms de una sigma de la lnea central del mismo lado. Siete puntos en secuencia sobre o bajo la lnea central Catorce puntos alternndose arriba y debajo de la media Quince puntos dentro de una sigma de la lnea central en ambos lados Cualquier otro patrn de anormalidad

Ejemplo 3.1 Para el caso de anillos de pistones de automvil, se desea establecer un control estadstico para el dimetro interno de los anillos, a travs de una carta de medias-rangos. Se toman 25 subgrupos de 5 piezas cada uno.

El anlisis se inicia con la carta R ya que los lmites para la carta dependen de la variabilidad del proceso, y a menos que esta variabilidad se encuentre en control, esos lmites tendrn poco significado.

De las cartas de control se calcula un rango promedio de 0.023mm (ver tabla de constantes para D3 y D4 con n=5):

LICR = D3 = 0.023 (0) = 0

LSCR = D4 = 0.023 (2.115) = 0.049

Si la carta de control para R se encuentra en control estadstico, se puede ahora calcular los lmites para la carta donde la lnea central es 74.001 (ver tabla de constantes para obtener el valor de A2 con n=5).

LSC = + A2= 74.001 + (0.577) (0.0023) = 74.014

LIC = - A2= 74.001 - (0.577) (0.0023) = 73.988

Si no se observan condiciones fuera de control en la carta. Si ambas cartas estn en control, se puede concluir que el proceso est en control y se pueden adoptar los lmites actuales para el control futuro del proceso.

Ejemplo 3.2: Se toman datos de la dimensin crtica de una parte, con el proceso corriendo normalmente, en 25 subgrupos de tamao n=5, uno cada hora:

X11X12X13X14X15MediasaRangosa Desv. Est.138.1110.8138.7137.4125.4130.0827.912.1019149.3142.1105.0134.092.3124.5457.024.6583115.9135.6124.2155.0117.4129.6239.116.1775118.5116.5130.2122.6100.2117.6030.011.0515108.2123.8117.1142.4150.9128.4842.717.7420102.8112.0135.0135.0145.8126.1243.017.9458120.484.3112.8118.5119.3111.0636.115.2448132.7151.1124.0123.9105.1127.3646.016.6649136.4126.2154.7127.1173.2143.5247.020.1630135.0115.4149.1138.3130.4133.6433.712.3062139.6127.9151.1143.7110.5134.5640.615.8568125.3160.2130.4152.4165.1146.6839.817.8672145.7101.8149.5113.3151.8132.4250.023.1669138.6139.0131.9140.2141.1138.169.23.6363110.1114.6165.1113.8139.6128.6455.023.5081145.2101.0154.6120.2117.3127.6653.621.8355125.9135.3121.5147.9105.0127.1242.915.9772129.797.3130.5109.0150.5123.4053.220.6947123.4150.0161.6148.4154.2147.5238.214.4185144.8138.3119.6151.8142.7139.4432.212.1146.

Los clculos y grficas se hicieron utilizandoel paquete MINITAB y se muestran a continuacin.

Las cartas de control quedan como sigue:El proceso se observa en control estadstico, con estos lmites de control calculados, se contina corriendo el proceso para otros 10 datos con el comportamiento siguiente:

X11X12X13X14X15MediasaRangosa Desv. Est.131.0184.8182.2143.3212.8170.8281.833.2801181.3193.2180.7169.1174.3179.7224.19.0461154.8170.2168.4202.7174.4174.1047.917.5943157.5154.2169.1142.2161.9156.9826.99.9693216.3174.3166.2155.5184.3179.3260.823.2220186.9180.2149.2175.2185.0175.3037.715.2797167.8143.9157.5171.8194.9167.1851.018.8798178.2186.7142.4159.4167.6166.8644.317.1516162.6143.6132.8168.9177.2157.0244.418.3454172.1191.7203.4150.4196.3182.7853.021.5062

tas de control quedan como sigue:

El proceso se observa en control estadstico, con estos lmites de control calculados, se contina corriendo el proceso para otros 10 datos con el comportamiento siguiente:

X11X12X13X14X15MediasaRangosa Desv. Est.131.0184.8182.2143.3212.8170.8281.833.2801181.3193.2180.7169.1174.3179.7224.19.0461154.8170.2168.4202.7174.4174.1047.917.5943157.5154.2169.1142.2161.9156.9826.99.9693216.3174.3166.2155.5184.3179.3260.823.2220186.9180.2149.2175.2185.0175.3037.715.2797167.8143.9157.5171.8194.9167.1851.018.8798178.2186.7142.4159.4167.6166.8644.317.1516162.6143.6132.8168.9177.2157.0244.418.3454172.1191.7203.4150.4196.3182.7853.021.5062

Test Results for Xbar ChartTEST 1. One point more than 3.00 sigmas from center line.Test Failed at points: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

TEST 2. 9 points in a row on same side of center line.Test Failed at points: 27 28 29 30

TEST 5. 2 out of 3 points more than 2 sigmas from center line (on one side of CL).Test Failed at points: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

TEST 6. 4 out of 5 points more than 1 sigma from center line (on one side of CL).Test Failed at points: 22 23 24 25 26 27 28 29 30

TEST 8. 8 points in a row more than 1 sigma from center line (above and below CL).Test Failed at points: 26 27 28 29 30

Test Results for R Chart

Suponiendo que se identificaron las causas asignables responsables de los puntos fuera de control identificados en la carta de medias y que se hicieron ajustes al proceso para corregirlo, se tomaron otros diez datos con los resultados siguientes:

X11X12X13X14X15MediasaRangosa131.5143.1118.5103.2121.6123.5839.9111.0127.3110.491.0143.9116.7252.9129.898.3134.0105.1133.1120.0635.7145.2132.8106.1131.099.2122.8646.0114.6111.0108.8177.5121.6126.7068.7125.286.464.4137.1117.5106.1272.7145.9109.584.9129.8110.6116.1461.0123.6114.0135.483.2107.6112.7652.285.8156.3119.796.2153.0122.2070.5107.4148.7127.4125.0127.2127.1441.3

Las cartas de control quedan como sigue:

Se identifican las siguientes situaciones anormales:Test Results for Xbar ChartTEST 1. One point more than 3.00 sigmas from center line.Test Failed at points: 26

TEST 2. 9 points in a row on same side of center line.Test Failed at points: 29 30

TEST 5. 2 out of 3 points more than 2 sigmas from center line (on one side of CL).Test Failed at points: 28

TEST 6. 4 out of 5 points more than 1 sigma from center line (on one side of CL).Test Failed at points: 26 27 28 29

Test Results for R Chart

Identificando las causas y tomando acciones preventivas, se eliminan los ltimos cinco puntos que ocasionan que la carta de control de medias salga de control, ahora las cartas quedan en control estadstico como sigue:

Ejemplo 3.3 Se considera otro ejemplo con los datos individuales siguientes, procesados con el paquete Minitab:

X1X2X3X4X5HORAMediasRangos-3050-2010301880050-60-203020110-50102030203680-10-1030-2050487020-40502010512900040-402064800020-20-107-24070-3030-1008121000020-20109240102030105010244040020020111640302030104012263030-30010101346030-1050-10-301468010-10504001518600030-1001644020203030-2017165010-2050301018167050-104020019206050003010201850

La grficas quedan como sigue:

La carta de prueba de rachas queda como sigue, indicando un proceso normal:

.Por las pruebas de normalidad de rangos y medias, se deduce que el proceso est en Control Estadstico..CAPACIDAD O HABILIDAD DEL PROCESO

Una vez que se tiene un proceso en control estadstico, se puede estimar su capacidad o habilidad, tomando como referencia la desviacin estndar del proceso estimada .

Ejemplo 3.3 (continuacin..)

= = = 0.0099Donde el valor de d2 se encuentra en las tablas de constantes para una n=5. Si la especificacin de los anillos de pistones es de 74.000 0.05 mm, se tienen como lmites inferior y superior de especificaciones los siguientes:

LIE = 73.950LSE = 74.0500

Los lmites de tolerancia naturales del proceso inferior y superior (LTNI y LTNS) se encuentran a 3-sigma del proceso por abajo y por arriba de la media del proceso, o sea en:

LTNS = + 3 = 74.001 + 3 (0.0099) = 74.0307

LTNI = - 3 = 74.001 - 3 (0.0099) = 73.9713

LIE LTNI MEDIA LTNS LSEFig. 3.8 Localizacin de Lmites de especificaciones y naturales

Se observa que los lmites de tolerancia naturales del proceso se encuentran dentro de los lmites de especificacin, por tanto en principio no se observa que haya partes fuera de especificaciones.

Otra forma de expresar lo anterior es con el ndice de habilidad potencial Cp (o PCR) siendo:

Cp = (3.12)

Cp = Se pueden presentar tres casos:

Caso 1. Si Cp es menor que 1, implica que la banda entre los lmites de tolerancia naturales es mayor que la banda permitida por los lmites de especificacin.

LTNI LIE LSE LTNS

Caso 2. Si Cp es igual a 1, implica que las bandas para los lmites de tolerancia natural y de especificaciones coinciden (aunque para el caos de 3-sigma aun hayan 2700 ppm fuera de especificaciones).

LIE LSE LNTI LNTS

Caso 3. Si Cp es mayor que 1, implica que la banda entre los lmites de tolerancia natural del proceso, es menor que la banda permitida por las especificaciones.

LIE LTNILTNS LSE

La fraccin de la banda de las especificaciones utilizada por el proceso se estima como sigue:

P = (1 / Cp) 100%(3.13)P = (1 / 1.68) 100% = 59.2%

Es decir que el proceso utiliza aproximadamente el 60% de la banda especificada.

Se puede estimar la fraccin de anillos no conformes producidos, con ayuda de la distribucin normal, como sigue:

p = P { x < 73.950 } + P { x > 74.001 }

= = (-5.15) + 1 - (4.04)

0 + 1 0.99998

0.00002Por lo anterior alrededor de 0.002% o 20 partes por milln (ppm) de los anillos producidos estarn fuera de especificaciones.

Ejemplo 3.2 (continuacin...). Para la carta de control de las medias, despus de haber eliminado las causas especiales y tomado acciones para prevenir su recurrencia, se tiene el clculo de habilidad como sigue:

Ejemplo 3.3. Para las cartas X-R se tiene el clculo de la capacidad o habilidad del proceso, una vez estable:

Para el clculo de otros ndices que toman en cuenta la posicin de la media, revisar el captulo de capacidad del proceso o el procedimiento de cartas X R.

REVISIN O RE-CLCULO DE LA LNEA CENTRAL Y LMITES DE CONTROL

Los lmites de control calculados como lmites preliminares, deben ser revisados en forma peridica que puede ser por semana, mes o cada 25, 50 o 100 puntos dependiendo del proceso en particular.

Lo recomendable en cada revisin es tomar las acciones necesarias para que la media del proceso se acerque cada vez ms a la media de las especificaciones (en caso de ser bilaterales) o se aleje lo ms posible de la especificacin (en caso de ser unilateral).

En cada carta de control o R es necesario identificar las causas especiales que originen condiciones fuera de control, tomar acciones correctivas para prevenir su reincidencia, eliminar esos puntos tanto en la carta como en la carta R y recalcular los lmites de control, para usarse en el control futuro del proceso.

LMITES DE CONTROL, DE ESPECIFICACIN Y DE TOLERANCIA NATURAL

Es importante hacer notar que no existe ninguna relacin matemtica entre los lmites de especificacin y los de control o los de tolerancia natural.

Los lmites de especificacin son establecidos externamente al proceso por ingenieros de manufactura, el cliente o por los diseadores del producto.

SUBGRUPOS RACIONALESPara el caso de la carta de medias-rangos, los subgrupos se seleccionan de tal forma de minimizar la variabilidad entre muestras individuales, observando slo su variabilidad aleatoria y maximizando la posibilidad de detectar corridas en la media del proceso en funcin del tiempo.

De esta forma la carta monitorea la variabilidad entre subgrupos respecto al tiempo y la carta R monitorea la variabilidad interna entre muestras en un tiempo dado.

CAMBIO DE TAMAO DE MUESTRACuando el proceso ya mostr estabilidad durante un periodo largo de tiempo, es posible reducir el esfuerzo y costo de control a travs de reducir el tamao de muestra. Los lmites de control se pueden recalcular sin tomar muestras adicionales como sigue:

rango promedio para el tamao de subgrupo anterior

rango promedio para el tamao de subgrupo nuevonant = tamao de subgrupo anteriornnuevo = tamao de subgrupo nuevod2 ant = factor d2 para el tamao de subgrupo anteriord2 nuevo = factor d2 para el tamao de subgrupo nuevo

Los nuevos lmites de control para la carta son (seleccionando A2 en base al nuevo tamao de subgrupo nnueva , la lnea central no se cambia):

LSCX = + A2 [d2 nuevo / d2 ant ] (3.14)

LICX = - A2 [d2 nuevo / d2 ant ]

Para el caso de la carta R los nuevos lmites de control son (seleccionando D3 y D4 para el nuevo tamao de muestra nnueva):

LSCR = D4 [d2 nuevo / d2 ant ] (3.15)

LCR = [d2 nuevo / d2 ant ]

LICR = max { 0, D3 [d2 nuevo / d2 ant ] }

Si en Ejemplo 3.1 de trabajo se quisiera cambiar de n=5 a n=3, se tendra:

De la tabla de constantes se tiene: d2 ant. = 2.326, d2 nueva = 1.693, A2 nueva = 1.023, por tanto los lmites nuevos son:

LSCX = 74.001 + (1.023) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 74.018LICX = 74.001 - (1.023) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 73.984

Para la carta R, de la tabla de constantes para n=3 se tiene D3 = 0, D4 = 2.578, por tanto:

LSCR = (2.578) ) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 0.043LICR = (0) ) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 0.0LCR = [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 0.017

LIM.SUP.NVO

LIMITES

ANTERIORES CARTA

LIM.INF.NVO.

LIMITE SUP. ANT.LIMITE SUP.NVO.CARTA R0

Fig. 3.9 Revisin de lmites de control cambiando de n=5 a 3

Como se puede observar el efecto de reducir el tamao de muestra hace que se incremente el ancho de los lmites de control en la carta X (porque es ms pequeo con n=5 que con n=3) y se reduzca la media de R y su lmite superior en la carta R.

LA CURVA CARACTERSTICA DE OPERACIN

La habilidad de las cartas de control para detectar corrimientos en la media del proceso es indicada por su curva caracterstica de operacin (OC). Su determinacin se muestra a continuacin.

Si en la carta para se conoce la desviacin estndar del proceso y es constante, cuando la media del proceso 0 cambia a otro valor 1 = 0 + k , la probabilidad de no detectar el cambio en la primera muestra subsecuente es el riesgo , donde:

= P { LIC 10.

LONGITUD DE CORRIDA MEDIA

La longitud de corrida media para la carta de Shewhart cuando el proceso est en control es:

ARL = 1 / P ( un punto fuera de control) = ARL0 = 1 / (3.21)

Cuando el proceso est fuera de control es:

ARL1 = 1 / ( 1 - )(3.22)

De las grficas de ARL anexas, se observa que para detectar un corrimiento de 1.5 con n=3, se requiere un ARL1 = 3. Se puede reducir el ARL1 a 1 si se incrementa la n=16.

3.3 CARTAS DE CONTROL PARA y S

Estas cartas de control son recomendadas cuando:

1. El tamao de muestra es moderadamente grande n>10 o 12 (donde el rango pierde eficiencia por no tomar en cuenta valores intermedios).2. El tamao de muestra es variable.

Su construccin es similar a la de la carta de medias-rangos, excepto que en lugar del rango R en cada subgrupo se calcula la desviacin estndar S.

S2 es un estimador insesgado de la varianza poblacional 2 sin embargo S no es un estimador insesgado de . Si la distribucin es normal, entonces S estima a c4 donde c4 es una constante que depende del tamao de muestra n. Adems la desviacin estndar de S es .

(3.18)

CASO DE n CONSTANTE

Con esta informacin se pueden establecer los lmites de control para la carta y S, cuando se conoce el valor de dado que existe un historial.

Para la carta S se tiene:Para la carta X se tiene:

LSCs = c4 + 3 = B6 LSCX = + A(3.20)LCs = c4LC =

LICs = c4 - 3 = B5 LICX = - A

Los valores para las constantes se encuentran tabuladas para diferentes valores de n en la tabla de constantes.

En el caso de que no se conozca la desviacin estndar de la poblacin, se puede estimar utilizando diversas muestras m con datos histricos, donde se obtenga la desviacin estndar en cada una de ellas y se promedien.

(3.21)

(3.22)

Como el estadstico /c4 es un estimador insesgado de , los parmetros de la carta sern los siguientes:

LSCs = = B4(3.23)

LCs =

LICs = = B3

Para el caso de la carta , cuando /c4 se una para estimar los lmites de control para esta carta son:

LSCx = + = + A3 (3.24)

LCx =

LICx = - = - A3

Todas las constantes c4, As y Bs se encuentran tabuladas en funcin de n en la tabla de constantes, como sigue:

Tabla 3.2 Constantes para lmites de control en cartas X-Snc4AA3B3B4B5B6 .50.94001.3421.42702.08901.96460.95151.2251.2870.0301.9700.0291.87470.95941..1341.1820.1181.8820.1131.80680.96501.0611.0990.1851.8150.1791.75190.96931.0001.0320.2391.7610.2321.707100.97270.9490.9750.2841.7160.2761.669110.97540.9050.9270.3211.6790.3131.637120.97760.8660.8860.3541.6460.3461.610130.97940.8320.8500.3821.6180.3741.585140.98100.8020.8170.4061.5940.3991.563150.98230.7750.7890.4281.5720.4211.544160.98350.7500.7630.4481.5520.4401.526170.98450.7280.7390.4661.5340.4581.511180.98540.7070.7180.4821.5180.4751.496190.98620.6880.6980.4971.5030.4901.483200.98690.6710.6800.5101.4900.5041.470210.98760.6550.6630.5231.4770.5161.459220.98820.6400.6470.5341.4660.5281.448230.98870.6260.6330.5451.4550.5391.438240.98920.6120.6190.5551.4450.5491.429250.98960.6000.6060.5651.4350.5591.420

CASO DE n VARIABLE

En el caso de tamao de muestra variable, se utiliza el promedio ponderado de las medias y de las desviaciones estndar como sigue:

(3.25)

(3.26)Ejemplo 3.4 Para una carta X-S con lmites variables, se tomaron los datos siguientes, corriendo en Minitab:X21Subndice74.030174.002174.019173.992174.008173.995273.992274.001273.998374.024374.021374.005374.002374.002473.996473.993474.015474.009473.992574.007574.015573.998574.014574.009673.994673.997673.985673.995774.006773.994774.000773.985874.003873.993874.015873.998874.008973.995974.009974.005973.9981074.0001073.9901074.0071073.9951073.9941173.9981173.9941173.9951173.9901174.0041274.0001274.0071274.0001273.9961273.9831374.0021373.9981374.0061473.9671473.9941474.0001473.9841474.0121574.0141573.9981574.0001673.9841674.0051673.9981673.9961673.9941774.0121773.9861774.0051774.0061874.0101874.0181874.0031874.0001873.9841974.0021974.0031974.0051973.9971974.0002074.0102074.0132073.9982174.0012174.0092174.0052173.9962174.0042273.9992273.9902274.0062274.0092274.0102373.9892373.9902374.0092374.0142374.0152474.0082473.9932474.0002474.0102473.9822573.9842573.9952574.0172574.013 25.Test Results for S ChartTEST 1. One point more than 3.00 sigmas from center line.Test Failed at points: 22 Debe identificarse la causa y tomar accin preventiva.

Ejemplo 3.5 Otro ejemplo con n variable, la = 74.001 y la = 0.0098, por tanto los lmites de control son:

LSCX = 74.015LCX = 74.001LICX = 73.987

Para la carta SLSCS = 0.020LCS = 0.0098LICS = 0

Como mtodo alterno para n variable se puede utilizar la si no hay mucha variacin entre los diferentes tamaos de muestra (dentro de 25%).

ESTIMACIN DE

El valor de la desviacin estndar puede ser estimado del valor de como sigue:

Para el ejemplo:

= 0.0094 / 0.94 = 0.01, tomando el valor de c4 para n=5.

Existe una variante de las cartas de medias-desviacin estndar denominadas cartas de medias-varianza.

3.4 CARTAS PARA LECTURAS INDIVIDUALES

Existen muchas situaciones donde el tamao de muestra es n =1, por ejemplo:

1. Cuando hay inspeccin automtica de piezas individuales.2. La tasa de produccin es muy baja y no es inconveniente tomar muestras de ms de una pieza.3. Las mediciones entre unidades muestra difieren muy poco (slo por errores de medicin de laboratorio) como en procesos qumicos.4. En plantas de proceso como las de papel, el espesor de los acabados tiene una variabilidad muy baja a travs del rollo.

En tales situaciones se utiliza la carta de control por lecturas individuales. Los rangos mviles se empiezan a calcular a partir de la segunda muestra como = .

Para este caso, los lmites de control para la carta X son:

LSCx =

LCx = (3.27)

LICx = n = 2

Ejemplo 3.6 Se toman varios datos de viscosidades y se construye una carta de lecturas individuales, donde el rango se calcula tomando cada dos valores consecutivos, por tanto el valor de n = 2 y habr (m 1) rangos en total. Con m = nmero de subgrupos.

. X-ind.No.Lote33.75133.05234.00333.81433.46534.02633.68733.27833.49933.201033.621133.001233.541333.121433.8415

El proceso est en control estadstico.

3.5 SELECCIN ENTRE CARTAS POR VARIABLES Y POR ATRIBUTOS

Las cartas por atributos tiene la ventaja que consideran varias caractersticas a la vez clasificando la unidad como conforme o no conforme, si no cumple alguna de esas caractersticas. Por otra parte si esas caractersticas se controlan como variables, debe llevarse una carta de control para cada una de esas caractersticas, lo cual es ms laborioso, otra alternativa es el C.E.P. multivariado.

Las cartas por variables proporcionan mayor informacin del proceso que las de atributos, tal como la media del proceso y su variabilidad, tambin proporcionan informacin para realizar estudios de capacidad de los procesos.

Las cartas por variables permiten tomar acciones cuando se presentan situaciones fuera de control, antes de que se produzcan artculos no conformes, lo que no sucede con las cartas por atributos hasta que el proceso genere ms disconformes.

LIE 1 2 3 LSEReaccin de carta X-RReaccin de carta p

Fig. 3.11 Comparacin de sensibilidad entre cartas de control

Tal vez la ventaja ms importante de la carta X-R es que proporciona un indicador de inicio de problemas y permite al personal operativo tomar acciones correctivas antes que se produzcan defectivos realmente, de esta forma las cartas X-R son indicadores gua de falla, mientras que las cartas p (o c o u) no reaccionan a menos que el proceso haya cambiado tanto que se produzcan ms defectivos.

En la figura, cuando la media del proceso esta en 1 se producen pocas no conformidades, si la media del proceso se corre hacia arriba, cuando llegue a 2 la carta X-R habr mostrado un patrn anormal o puntos fuera de control para tomar acciones correctivas, mientras que la carta p no reaccionar hasta que la media del proceso se haya recorrido hasta 3, o hasta que el nmero de unidades no conformes producidas se haya incrementado. Por tanto las cartas X-R son ms poderosas que las cartas p.

Para el mismo nivel de proteccin contra corrimientos del proceso, la carta p requiere un tamao de muestra mayor, la X-R requiere tomar mucho menos unidades aunque las mediciones toman ms tiempo. Esta consideracin es importante para el caso de pruebas destructivas.

Ejemplo 3.8 Si el proceso se controla con una carta , donde el valor medio de la caracterstica de calidad es 50 y la desviacin estndar es 2, para lmites de 3-sigma y especificaciones LIE=44 y LSE=56, cuando el proceso est en control en el valor nominal de 50, la fraccin no conforme es 0.0027.

Suponiendo que la media del proceso del proceso se corre a 52, la fraccin defectiva producida ser aproximadamente 0.0202, si se desea que la probabilidad de detectar este corrimiento en la siguiente muestra subsecuente sea del 0.50, entonces el tamao de muestra en la carta debe ser tal que se cumpla que el LSC sea 52 o sea:

donde n=9,

Si se utiliza una carta p entonces el tamao de muestra requerido para tener la misma probabilidad de detectar el corrimiento es:

Con k = 3, que es el ancho de los lmites de control, p = 0.0027 y es la magnitud de incremento en fraccin defectiva o sea = 0.0202 0.0027 = 0.0175, de esta forma,

n = 79.23 80

Donde se observa que a menos que el costo de medir 9 muestras sea mayor que 9 veces el costo de inspeccin por atributos, las carta es ms econmica de aplicar.

GUA PARA IMPLEMENTAR CARTAS DE CONTROL

Se sugiere lo siguiente:1. Determinar cual es la caracterstica a controlar. 2. Seleccionar un tipo de carta de control.3. Identificar el proceso donde se implantarn las cartas de control.4. Tomar acciones para mejorar el proceso, como resultado de la aplicacin de la carta de control.5. Seleccionar el sistema de coleccin de datos y software de C.E.P.

SELECCIN DE LA CARTA DE CONTROL ADECUADAA. Se prefiere una carta por variables en las situaciones siguientes:1. Se inicia un proceso o producto nuevo.2. El proceso ha estado mostrando un comportamiento inconsistente en forma crnica.3. Se requieren pruebas destructivas.4. Se desea economizar el control cuando el proceso es estable.5. Existen tolerancias muy cerradas u otros problemas de manufactura.6. El operador debe decidir si ajustar el proceso o no, o cuando evaluar el ajuste.7. Se debe presentar evidencia de estabilidad y de capacidad como en industrias reguladas.

B. Se prefiere una carta por atributos en las situaciones siguientes:1. Los operadores controlan las causas asignables y es necesario mejorar el proceso.2. El proceso es una operacin de ensamble compleja y la calidad se evala por la ocurrencia de no conformidades (computadoras, autos, etc.).3. Es necesario un control del proceso, pero no se pueden hacer mediciones.4. Se requiere un historial del desempeo del proceso para revisin ejecutiva.

C. Cartas de control por lecturas individuales

1. Es inconveniente o difcil obtener ms de una medicin por muestra, o la repeticin de muestras slo mostrar errores de medicin de laboratorio, tal como ocurre en proceso qumicos.2. Se cuenta con inspeccin automatizada de cada unidad de producto. Para estos casos tambin se deben considerar las cartas de sumas acumuladas o de media mvil ponderada.3. Los datos disponibles son muy lentos en el tiempo, por ejemplo datos contables mensuales.

3.6 APLICACIN DE CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES

Algunas de las aplicaciones de las cartas de control por variables son:

1. Mejora de procesos de proveedores. Reducir su variabilidad a travs de centrar su proceso y tomar acciones correctivas.2. Seleccin de equipo productivo a travs de demostracin de su capacidad antes de su embarque.3. Corridas cortas en talleres de manufactura. Se controla la desviacin respecto a la media especificada, de una caracterstica especfica de calidad para diferentes productos similares.4. Aplicaciones no manufactureras. En estos casos se tiene que: (1) no hay especificaciones, (2) se requiere ms imaginacin para aplicar las cartas de control. Se usan por ejemplo para reducir el tiempo de proceso de las cuentas por pagar (pago de cheques).