Introducción al Control Difuso

Introducción

Para la mayoría de sistemas en ingeniería, hay dos fuentes importantes de información: los sensores que proveen medidas

numéricas de variables, y los expertos humanos que proveen

instrucciones y descripciones lingüísticas acerca del sistema.

La información numérica que la proveen los sensores, es la fuente única de información en las aproximaciones

convencionales a problemas de ingeniería, mientras que

difícilmente incorporamos la información lingüística. Debido a

que hay gran cantidad de conocimiento almacenado en términos

lingüísticos, es muy importante incorporarlo dentro de los problemas de ingeniería de manera sistemática y eficiente,

máxime cuando corresponde a una forma muy cercana de

describir el conocimiento humano.

Una aproximación a la forma como manejamos la información y la procesamos los humanos, fue presentada por Lofti Zadeh por

medio de su Lógica Difusa, la cual permite incluir el razonamiento

impreciso y el manejo de la incertidumbre, desde su misma

concepción, bajo una connotación de procesamiento de datos aproximado y con palabras.

¿Por qué la información lingüística puede ser representada

usando Lógica Difusa?

Conjuntos Difusos

En 1964 Zadeh propone por primera vez la noción de conjuntos difusos en un memorando interno de investigación.

En 1965, la revista "Informationand Control" publica el memorando anterior, como el artículo "Fuzzy Sets".

Controladores Difusos

En 1974, el Británico Ebrahim Mandani, demuestra la aplicabilidad de la lógica difusa en el campo del control. desarrolla el primer sistema de Control Difuso práctico: La Regulación de un Motor de Vapor.

Modelado Difuso

El modelado difuso fue propuesto con el sistema Takagi Sugeno y a través de él podemos intentar acercar los paradigmas matemáticos y lingüísticos para describir un problema o un sistema.

Fuzzy Boom

� Los japoneses empiezan a explotar la lógica difusa de forma masiva, mientras que los occidentales asumen una actitud reacia, frente a estos nuevos desarrollos.

� Aparece toda una serie de investigadores japoneses en el campo de la lógica difusa tales como Sugeno, Togai, Bart Kosko.

� En 1986, Yamakawa, "Fuzzy Controller hardware system". Desarrolla controladores fuzzy en circuitos integrados.

� En 1987, en el Japón se inaugura el tren subterráneo de Sendai, lo que representa un gran hito en la historia de los sistemas difusos, pues el tren es controlado y guiado por us sistema difuso, siendo famosa su suavidad para los pasajeros, sobretodo en el frenado.

� En 1987, aparece el concepto de “Fuzzy Boom", ya que se comercializa una multitud de productos basados en la lógica difusa, sobretodo en el Japón, pero ya para son bien conocidos productos como las cámaras de fotografía y video con ajuste de imagen difusos, entre otros.

Modelado Neuro-Difuso

El modelado difuso fue propuesto con el sistema Takagi Sugeno y en él se integran las potencialidades de los sistemas difusos y las redes neuronales artificiales. El primero aporta la claridad en cuanto a la descripción del modelo y las segundas su capacidad de adaptación gracias al aprendizaje.

Lógica Difusa Tipo 2

Aunque esta nueva forma de modelar el conocimiento impreciso fue propuesta en 1975 por Zadeh, solo a partir del año 2000 se ha empezado a formular una serie de aplicaciones en el ámbito del control de procesos, procesamiento digital de señales y robótica.En este nuevo paradigma la imprecisión se intenta modelar de una manera más ajustada a la realidad recurriendo a generación de niveles de pertenencia también imprecisos.

Conceptos de Lógica Difusa

Conjunto Binario vs. Conjunto Difuso

Conjunto Binario Conjunto Difuso

150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Altura (cm)150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

¿Cómo podemos representar matemáticamente un conjunto difuso?

Conjuntos Difusos con Universos Discretos

0.9Medellín

0.3San Vicente

0.9Cali

µAx

Ciudad deseable para vivir

{ }{ }{ }( )...3.0,Vicente San,9.0,Medellin,9.0,Cali=A{ } { } { } { }

{ } { } { }

=

1.0,6,2.0,5,3.0,4

,7.0,3,0.1,2,5.0,1,1.0,0A

0.16

0.25

0.34

0.73

1.02

0.51

0.10

µAx

Número aceptable de hijos

Conjuntos Difusos con Universos Continuos

e-((x-30)/2)^2x≥0, x∈Rn

µAX

Edad alrededor de 30 años

20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Edad

Categorización de una variable con conjuntos difusos

Altura de una persona

[180,200]Muy Alta (MA)

[170,190]Alta (A)

[160,180]Normal (N)

[150,170]Baja (B)

[140,160]Muy Baja (MB)

Rango (cm)Etiqueta

X = [140,200] cm

Conjuntos Difusos

Funciones de Pertenencia

−

−

−

−= 01minmax ,

cd

xd,,

ab

ax,b,c,d)trapmf(x;a

−

−

−

−= 0minmax ,

bc

xc,ab

axb,c)trimf(x;a,

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Niv

el de P

ert

enencia

Triangular

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Niv

el de P

ert

enencia

Trapezoidal

Triangular Trapezoidal

(a) (b) (c) (a) (b) (c) (d)

Funciones de Pertenencia

2

2

1

,

−−

= σ

cx

e)cgaussmf(x; σ b

b

cxb,c)gbellmf(x;

2

1

1

−+

=

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Niv

el de P

ert

enencia

Gaussiana

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Niv

el de P

ert

enencia

Campana Generalizada

Gaussiana Campana Generalizada

Operaciones entre Conjuntos Difusos

Conjunto A Conjunto B

Operaciones entre Conjuntos DifusosIntersección

{ }XxBxAxxBAC ∈∀∈∧∈=∩= ,:

( ) ( ){ }xx BABA µµ ,min=∩( ) ( )xx BABA µµµ ⋅=∩

Mínimo Producto

Operaciones entre Conjuntos DifusosUnión

{ }XxBxAxxBAC ∈∀∈∨∈=∪= ,:

( ) ( ){ }xx BABA µµ ,max=∪( ) ( ) ( ) ( )xxxx BABABA µµµµµ ⋅−+=∪

Máximo Suma Algebraica

Operaciones entre Conjuntos Difusos:NOT o Complemento

AA µµ −=1

{ }XxAxxAC ∈∀∉== ,:'

Razonamiento Difuso

El razonamiento difuso está basado en la regla de inferencia Modus Ponens Generalizado (del latín modo que afirma) es una regla de inferencia simple que esta definido como:

Premisa 1: x es A’Premisa 2: SI x es A, ENTONCES y es B

Consecuente: y es B’

Donde A, A’ , B, B’ son conjuntos difusos, x, y son variables lingüísticas. El modus ponems generalizado es usado ya que permite realizar una inferencia cuando el antecedente es parcialmente conocido o cuando es similar pero no igual a A.

Sistemas de Lógica Difusa Puro

MECANISMO DE INFERENCIA DIFUSA

ENTRADA DIFUSA EN U

SALIDA DIFUSA EN V

BASE DE REGLAS DIFUSAS

Un sistema de lógica difusa puro, está compuesto por una base de reglas y un mecanismo de inferencia con los cuales se determina una transformación desde los conjuntos difusos en un universo de discurso de entrada U ∈∈∈∈ Rn, hacia los conjuntos difusos en un universo de discurso de salida V∈∈∈∈Rn. Tienen la desventaja de que sus entradas y salidas son conjuntos difusos, cuando la mayoría de problemas en ingeniería las entradas y salidas son valores numéricos reales. Sin embargo, son útiles para hacer uso sistemático de información lingüística.

Sistemas de Lógica Difusa Takagi Sugeno

En los sistemas de lógica difusa tipo Takagi Sugeno, la base de reglas de inferencia poseen consecuentes de tipo numérico. Podemos considerar que el antecedente de estas reglas es difuso, mientras que el consecuente es determinístico.

Sistemas de Lógica Difusa con Fuzzificador y Defuzzificador

MECANISMO DE INFERENCIA DIFUSA

ENTRADA DIFUSA EN U

SALIDA DIFUSA EN V

BASE DE REGLAS DIFUSAS

FUZZIFICADOR DEFUZZIFICADOR

X EN U Y EN V

Sistemas Difusos

Sistemas Difusos

Takagi-Sugeno-Kang Mamdani

Lingüísticos Aproximados

Inferencia Difusa

Nos han llamado para diseñar un sistema que prediga el número de posibles asistentes a una sala múltiple de cine ubicada en un centro comercial muy popular de nuestra ciudad. Cómo podríamos predecir el público que asistiría a una película en particular, con base en un sistema de inferencia difuso?

Inferencia Mamdani

Si x1 es A11 AND x2 es A12 ENTONCES y es B1

Si x1 es A21 AND x2 es A22 ENTONCES y es B2

REGLAS DE

INFERENCIA

X1 X2

MIN

A21

A11

A22

A12A12(X2)

A11(X1)

A21(X1)

A22(X2)

B2

B1

X1 X2AGREGACIÓN

x2x1

COG

x2x1

Inferencia Sugeno

Si x1 es A11 AND x2 es A12 ENTONCES y1=F(x1,x2)

Si x1 es A21 AND x2 es A22 ENTONCES y2=F(x1,x2)

REGLAS DE

INFERENCIA

PROD

X1 X2

A21

A11

A22

A12A12(X2)

A11(X1)

A21(X1)

A22(X2)

W2

W1

X1 X2 AGREGACIÓN

Y1=F(X1,X2)

Y2=F(X1,X2)

21

2211

WW

YWYWY

+

+=

x2x1

x1 x2

Control DifusoEl control difuso es una estrategia que pertenece al Control Inteligente cuyas decisiones las toma utilizando un sistema de inferencia basado en lógica difusa.Un controlador Difuso es por naturaleza no lineal y existen diversos tipos, en general se define un conjunto de estructuras básicas cuyo comportamiento se aproxima a los controladores clásicos del tipo Proporcional (P), Integral (I) o Derivativo (D). Donde estas denominaciones dependen del procesamiento que se realice sobre la señal de error antes de entrar al sistema de inferencia difuso.En este curso estudiaremos los siguientes esquemas:� Controlador P difuso� Controlador PD difuso con Acción de Control

Incremental� Controlador PD difuso con derivada de la salida� Controlador PI difuso� Controlador PID difuso

Control P Difuso

PLANTASISTEMA DE LÓGICA DIFUSAe(k)ENTRADA

+

-

u(k) SALIDA

y(k)

Control PD Difuso

PLANTAe(k)ENTRADA

+

- u(k) SALIDA

y(k)

de/dt

SISTEMA DE LÓGICA DIFUSA

Controlador PD Difuso con Acción de Control Incremental

Controlador PD Difuso con Acción de Control Incremental

Acción de Control luego de la integración

Salida incremental del sistema difuso

Controlador PD Difuso con derivada de la salida

PLANTAe(k)ENTRADA

+

- u(k) SALIDAdy/dt

SISTEMA DE LÓGICA DIFUSA

y(k)

Controlador PI Difuso

PLANTAe(k)ENTRADA

+

- u(k) SALIDA

y(k)

1/s

SISTEMA DE LÓGICA DIFUSA

Controlador PID Difuso

PLANTA

e(k)

ENTRADA+

- u(k) SALIDA

y(k)

de/dt

SISTEMA DE LÓGICA DIFUSA1/s

Control de NivelDefinición del Problema

Como ejemplo vamos a controlar el nivel de un liquido en un tanque usando un controlador difuso, en donde las variables de entrada del controlador corresponden al error en el nivel y a la derivada del nivel.Como variable de salida consideraremos la acción incremental sobre la apertura de la válvula.

Control de NivelConjuntos Difusos

Error

Derivada del Nivel

Acción Incremental

Control de NivelBase de Reglas

AMAMAMAMAMMP

AAAAAMP

CMCQAAMC

CMCCCCN

CMCMCMCMCMMN

ERROR

MPPCNMN

DERIVADA DEL NIVELREGLAS

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

errorderivadactr

l

Control de NivelSimulación del Controlador

t

tiempo

1.5

10s+1

Transfer Fcn

u

To Workspace2

y

To Workspace1

r

To Workspace

SubtractStep

MATLAB

Function

MATLAB Fcn

1

s

Integrator

1.1

Gain2

1.5

Gain1

10

Gain

du/dt

Derivative

Clock

Control de NivelAnálisis de Desempeño

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Refe

rencia

y S

alid

a

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

tiempo

Acció

n d

e C

ontr

ol

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.1

0.2

0.3

0.4

Refe

rencia

y S

alid

a0 50 100 150 200 250 300 350 400

-0.5

0

0.5

tiempo

Acció

n d

e C

ontr

ol