Control de ejecucion de trayectorias para un robot holonomico omnidireccional

8/9/2019 Control de ejecucion de trayectorias para un robot holonomico omnidireccional

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IntroduccionSolucion del Problema

ResultadosConclusiones

Control de ejecucion de trayectorias para un robot

holonomico omnidireccional

Josue R. Rabadan Martin1

1Laboratorio de Robotica Movil y Sistemas AutomatizadosEscuela de Ingenierıa, Universidad La Salle

Universidad La Salle Josue R. Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 1/30

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Panorama

1 IntroduccionMotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema

2 Solucion del ProblemaModelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos

3

ResultadosSimulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3DComparacion por estrategia


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Panorama



3



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Panorama



3



I d i´

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MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema

Motivacion

Sobre los robots F-180....Robot movil autonomo.Conectado vıa inalambrica a una unidad de proceso central.Hasta el momento los grupos participantes se han enfocado enresolver el problema de comportamiento cooperativo bajo el

paradigma de multi-agentes.


I t d i´

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Motivacion




Introduccion

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Motivacion

En la literatura cientıfica sobre robotica movil existen algunosartıculos publicados.

“Near-optimal dynamic trajectory generation and control of an omnidirectional vehicle.” [1]

“Trajectory generation for four wheeled omnidirectionalvehicles.” [2]


IntroduccionM i i´

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Motivacion





IntroduccionM ti i´

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Solucion del ProblemaResultados

Conclusiones


Motivacion





IntroduccionMotivacion

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Conclusiones


Motivacion

En estos artıculos...no se da una descripcion completa del estado del robot

se enfocan en optimizar exclusivamente el tiempo de ejecucion

La solucion que nosotros proponemos es mucho mas versatil.


Introduccion Motivacion

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Conclusiones


Motivacion





IntroduccionS

Motivacion

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Conclusiones


Motivacion





IntroduccionS l i´ d l P bl

Motivacion

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Conclusiones


Definiciones

Region objetivo


IntroduccionS l i´ d l P bl

Motivacion

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Conclusiones

DefinicionesPlanteamiento del problema

Definiciones

Segmento



Motivacion

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Conclusiones


Definiciones

Trayectoria por segmentos



Motivacion

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Conclusiones


Definiciones

Alcanzar region objetivo



MotivacionD fi i i

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Conclusiones


Planteamiento del problema

Controlar el robot dentro de la cancha y de algun modo hacerque este siga una determinada trayectoria.

La solucion que proponemos consiste en que al robot se leespecifique una secuencia de regiones objetivo.

El robot alcanzara estas regiones en una secuenciadeterminada.



MotivacionD fi i i

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Conclusiones








MotivacionDefiniciones

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En cada una de las regiones objetivo se especifican ademas lavelocidad y orientacion deseadas al llegar a dicha region.Podemos decir que el algoritmo es “libre” de escoger la formacon la que cubre las distancias entre estas regiones

intermedias.




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intermedias.



R l d


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intermedias.



R lt d


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intermedias.



Resultados


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intermedias.



Resultados

MotivacionDefinicionesPl i d l bl

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intermedias.



Resultados

MotivacionDefinicionesPl t i t d l bl

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ConclusionesPlanteamiento del problema


Cada una de las regiones objetivo tiene un diametro paraindicar la importancia de la precision deseada de la trayectoriaal pasar por dicho punto.



Resultados


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Resultados


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IntroduccionSolucion del ProblemaResultados

C l i


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Concl siones




Conclusionesp




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Conclusiones




Conclusiones





Conclusiones


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Co c us o es


Desarrollamos un algoritmo de control optimo por segmentosel cual esta basado en LQR (regulador cuadratico lineal, porsus siglas en ingles). Esto significa que para cada segmento dela trayectoria se resuelve un problema de control optimo LQR.



Conclusiones


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Con este fin nosotros propusimos un modelo dinamico en elespacio de estado para robots omnidireccionales.



Conclusiones


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Objetivos

Plantear modelo en el espacio de estado de la dinamica delrobot.

Desarrollar un controlador que permita al robot viajar de una

region inicial a una region final con velocidad y orientacionespecificadas siguiendo una trayectoria determinada.

El controlador debera tener la versatilidad para cambiar elcriterio de optimalidad de una manera eficiente y ası poderaplicar una estrategia distinta entre cada segmento.

Presentar los resultados por medio de una serie de pruebasdentro de un ambiente virtual.



Conclusiones


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Objetivos








Conclusiones


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Objetivos








Conclusiones

Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos

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Dinamica de un robot movil omnidireccional

La dinamica del robot puede ser modelada de la siguiente forma

ax

ay R ω

=

1

M

− sin θ1 . . . − sin θ4

cos θ1 . . . cos θ4MR 2

I . . . MR 2

I

f 1f 2f 3f 4

(1)

Donde

(ax , ay ) = Aceleracion con la que se transladael robot



Conclusiones


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ax

ay R ω

=

1

M

− sin θ1 . . . − sin θ4


I . . . MR 2

I

f 1f 2f 3f 4

(1)

Donde

ω = Aceleracion con la que rota elrobot



Conclusiones


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ax

ay R ω

=

1

M

− sin θ1 . . . − sin θ4


I . . . MR 2

I

f 1f 2f 3f 4

(1)

Donde

θi = Posicion angular del motor i re-specto a un punto de referencia enel robot



Conclusiones


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ax

ay R ω

=

1

M

− sin θ1 . . . − sin θ4


I . . . MR 2

I

f 1f 2f 3f 4

(1)

Donde

f i = Fuerza escalar aplicada por cadamotor i





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ax

ay R ω

=

1

M

− sin θ1 . . . − sin θ4

cos θ1 . . . cos θ4M R 2

I . . . M R 2

I

f 1f 2f 3f 4

(1)

Donde

M = Masa del robot





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ax

ay R ω

=

1

M

− sin θ1 . . . − sin θ4


I . . . MR 2

I

f 1f 2f 3f 4

(1)

Donde

I = Momento de inercia del robot





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ax

ay R ω

=

1

M

− sin θ1 . . . − sin θ4

cos θ1 . . . cos θ4M R 2

I . . . M R 2

I

f 1f 2f 3f 4

(1)

Donde

R = Radio del cuerpo del robot





M d l Di ´ i V i bl d d

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Modelo Dinamico: Variables de estado

z ≡

x y β x y β µ1 . . . µ4T

(x , y ) = Posicion del robot respecto al la cancha





M d l Di ´ i V i bl d d

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z ≡

x y β x y β µ1 . . . µ4T

β = Posicion angular del robot respecto al la cancha





M d l Di ´ i V i bl d t d

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z ≡

x y β x y β µ1 . . . µ4T

(x , y ) = Vector de velocidad del robot respecto a la cancha





M d l Di ´ i V i bl d t d

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z ≡

x y β x y β µ1 . . . µ4T

β = Velocidad angular del robot respecto a la cancha





M d l Di ´ i V i bl s d st d

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z ≡

x y β x y β µ1 . . . µ4T

(µ1, . . . , µ4) = Posicion angular de las ruedas






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z ≡ (x y β x y β z1

µ1 . . . µ4 z2

)T

Particion del vector de estado


Introduccion


Conclusiones



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z ≡ (x y β z11

x y β z12

µ1 . . . µ4 z2

)T

Particion del vector de estado


Introduccion


Conclusiones


Modelo Dinamico: Variables de control

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Modelo Dinamico: Variables de control

u ≡1

M

f 1 f 2 f 3 f 4

T f i = fuerza escalar aplicada por cada rueda i tangente al piso de la

cancha


Introduccion


Conclusiones


Modelo Dinamico: Ecuacion del Espacio de Estado

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La ecuacion del espacio de estado del robot puede ser escrita de la

siguiente manera:z1

z2

=

A11 A12

A21 A22

z1

z2

+

B 1B 2

u (2)

Donde

A11 =

03×3 I3×3

03×3 03×3


Introduccion


Conclusiones



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siguiente manera:z1

z2

=

A11 A12

A21 A22

z1

z2

+

B 1B 2

u (2)

Donde

A12 = 06×6


Introduccion


Conclusiones



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siguiente manera:z1

z2

=

A11 A12

A21 A22

z1

z2

+

B 1B 2

u (2)

Donde

B 1 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

− sin θ1 − sin θ2 − sin θ3 − sin θ4

cos θ1 cos θ2 cos θ3 cos θ4MR I

MR I

MR I

MR I


Introduccion


Conclusiones



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siguiente manera:z1

z2

=

A11 A12

A21 A22

z1

z2

+

B 1B 2

u (2)

Donde

B 1(β ) =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

− sin(θ1 + β ) − sin(θ2 + β ) . . . − sin(θ4 + β )cos(θ1 + β ) cos (θ2 + β ) . . . cos(θ4 + β )

MR I

MR I

MR I

MR I


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Introduccion


Conclusiones







siguiente manera:z1

z2

=

A11 A12

A21 A22

z1

z2

+

B 1B 2

u (2)

Donde

A21(β ) =1

r

04×3 A212(β )

A212(β ) = 1r

sin(θ1 + β ) − cos(θ1 + β ) −R

sin(θ2 + β ) − cos(θ2 + β ) −R sin(θ3 + β ) − cos(θ3 + β ) −R

sin(θ4 + β ) − cos(θ4 + β ) −R


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Introduccion


Conclusiones





p


siguiente manera:z1

z2

=

A11 A12

A21 A22

z1

z2

+

B 1B 2

u (2)

Donde

A22 = 04×4


Introduccion


Conclusiones



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p


siguiente manera:z1

z2

=

A11 A12

A21 A22

z1

z2

+

B 1B 2

u (2)

Donde

B 2 = 04×4


Introduccion


Conclusiones



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p

Ahora podemos expresar la ecuacion del espacio de estados de lasiguiente forma:

z1z2

= A11 06×4A21(β ) 04×4

z1z2

+ B 1(β )04×4

u (3)

Claramente este es un modelo dinamico no lineal dado que loscoeficientes de las matrices A21(β ) y B 1(β ) dependen de β , la cual

es una de las variables del espacio de estado del sistema.


Introduccion


Conclusiones



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Ahora podemos expresar la ecuacion del espacio de estados de lasiguiente forma:

z1z2

= A11 06×4A21(β ) 04×4

z1z2

+ B 1(β )04×4

u (3)

Claramente este es un modelo dinamico no lineal dado que loscoeficientes de las matrices A21(β ) y B 1(β ) dependen de β , la cual

es una de las variables del espacio de estado del sistema.


Introduccion


Conclusiones


Linealizacion del Modelo

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Para linealizar el modelo vamos a necesitar un cambio devariable.

La unica razon por la cual el modelo es no lineal es porque ladirecion del vector de fuerza resultante aplicado por las cuatro

ruedas depende de la posicion angular β .


Introduccion


Conclusiones



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Introduccion

Solucion del ProblemaResultadosConclusiones



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Introduccion




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Digamos que F = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 es el vector de fuerzaresultante aplicado a por las ruedas del robot cuando este estaen una posicion β .


Introduccion




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Digamos que u sera nuestro vector de control el cualproducira el mismo vector de fuerza resultante F cuando el

robot este en la posicion angular β = 0.


Introduccion


Modelo Dinamico

LinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos


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Introduccion


Modelo Dinamico



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Introduccion


Modelo Dinamico







robot este en la posicion angular β = 0.Entonces los vectores de control u y u se relacionan de lasiguiente forma

sin(θ1) . . . sin(θ4)

u =

sin(θ1 + β ) . . . sin(θ4 + β )

u

cos(θ1) . . . cos(θ4)

u

=

cos(θ1 + β ) . . . cos(θ4 + β )

u1 1 1 1

u =

1 1 1 1

u


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Introduccion


Modelo Dinamico





Este sistema de tres ecuaciones no esta completamentedeterminado porque u es de 4 dimensiones

Por lo tanto requerimos una cuarta ecuacion para tener unatransformacion de rango completo de u a u.


Introduccion


Modelo Dinamico



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Universidad La Salle Josue R Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 15/30

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Introduccion


Modelo Dinamico







La transformacion lineal de rango completo que mapeabiyectivamente de u a u es entonces

sin(θ)cos(θ)

1 1 1 11 −1 1 −1

u =

sin(θ + β )cos(θ + β )

1 1 1 11 −1 1 −1

u


Introduccion


Modelo Dinamico



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Digamos que Ω(β ) esta definido como

Ω(β ) =

sin(θ)cos(θ)

1 1 1 1

1 −1 1 −1

−1


1 1 1 1

1 −1 1 −1


Introduccion


Modelo Dinamico



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Ω(β ) =

sin(θ)cos(θ)

1 1 1 1

1 −1 1 −1

−1


1 1 1 1

1 −1 1 −1

El cambio de variable de u a u puede ahora ser expresadocomo

u

= Ω(β )uu = Ω(β )−1u




Modelo Dinamico



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Ω(β ) =

sin(θ)cos(θ)

1 1 1 1

1 −1 1 −1

−1


1 1 1 1

1 −1 1 −1

Ω(β ) tiene la propiedad de cancelar el efecto no lineal de β enla matriz B 1(β ) ya que B 1(0) = B 1(β )Ω(β )−1




Modelo Dinamico


Modelo Linealizado

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El modelo dinamico del robot puede ser linealizado de lasiguiente forma...

z1

z2

=

A11 06×4

A21(β ) 04×4

z1

z2

+

B 1(β )04×4

u




Modelo Dinamico


Modelo Linealizado

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z1

z2

=

A11 06×4

A21(β ) 04×4

z1

z2

+

B 1(β )04×4

Ω(β )−1u




Modelo Dinamico


Modelo Linealizado

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z1

z2

=

A11 06×4

A21(β ) 04×4

z1

z2

+

B 1(β )Ω(β )−1

04×4Ω(β )−1

u




Modelo Dinamico


Modelo Linealizado

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z1

z2

=

A11 06×4

A21(β ) 04×4

z1

z2

+

B 1(0)04×4

u




Modelo Dinamico


Modelo Linealizado

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z1

z2

=

A11 06×4

A21(β ) 04×4

z1

z2

+

B 1(0)04×4

u

El cual puede ser escrito como

z1 = A11z1 + B 1(0)u

z2 = A21(β )z1(4)

Donde la primer ecuacion es lineal respecto a z1 y u.




Modelo Dinamico


Especificacion de la trayectoria

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La trayectoria del robot es especificada por una secuencia de“regiones objetivo”.




Modelo Dinamico



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Cada region objetivo especifica un valor deseado para cadavariable de estado ademas de un radio para cada region.




Modelo Dinamico



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Tan pronto como el robot entra a la region objetivo este esforzado por el controlador para dirigirse al siguiente objetivo.

U i e sidad La Salle Jos e R Rabada Co t ol de ejec cio de t a ecto ias 18/30



Modelo Dinamico



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Tan pronto como el robot entra a la region objetivo este esforzado por el controlador para dirigirse al siguiente objetivo.

Esto da como resultado una trayectoria suave segmentada queguia al robot por todos los objetivos propuestos.

U i id d L S ll J ´ R R b d´ C t l d j i´ d t t i 18/30



Modelo Dinamico


Control de trayectorias optimas por segmentos

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La secuencia de regiones objetivo debera ser especificada(dinamica o estrategicamente) por una capa superior de“inteligencia” la cual tomara las desiciones sobre latrayectoria.

U i id d L S ll J ´ R R b d´ C t l d j i´ d t t i 19/30



Modelo Dinamico



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La ejecucion de la trayectoria de cada segmento es calculada

como un problema de control LQR independiente.




Modelo Dinamico



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La ejecucion de la trayectoria de cada segmento es calculada

como un problema de control LQR independiente.

La estrategia de control para cada segmento es obtenidaencontrando la matriz de retroalimentacion K para conseguirque u = −Kz 1 minimice el ındice de desempeno J dado por

J = ∞

0(z T 1 Qz 1 + u T Ru )dt




Modelo Dinamico


Especificacion del ındice de desempeno

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El ındice de desempeno J depende de las especificaciones dedos matrices definidas positivas y simetricas Q y R .




Modelo Dinamico



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Para simplificar en nuestra aproximacion Q y R son definidascomo matrices diagonales

Q = diag(w xy , w xy , w β , w v , w v , w β )R = w mI 4×4




Modelo Dinamico



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Donde

w xy : es el costo del peso de la XY posicion del robot




Modelo Dinamico



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Donde

w v : es el costo del peso de la XY velocidad del robot




Modelo Dinamico



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Donde

w β : es el costo del peso de la posicion angular del robot


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Modelo Dinamico








Donde

w m : es el costo del peso del torque de los motores






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Cada region objetivo especifica un conjunto de pesos para elındice de desempeno.

Esto permite aplicar una estrategia de control diferente a cadasegmento.


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De esta forma, por ejemplo,

El robot puede ser forzado a moverse rapidamente ensegmentos donde la trayectoria no requiere tener precision.






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Ası tambien es libre de rotar en aquellos segmentos en loscuales la orientacion no tiene importancia.






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Ası tambien es libre de rotar en aquellos segmentos en loscuales la orientacion no tiene importancia.

Entonces, este puede limitar su consumo de energıa para solousarla en aquellos objetivos que realmente la requieren.




Simulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3DComparacion por estrategia

Problema de prueba

Se probo nuestra estrategia de control con el siguiente

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problema:Con un robot con la siguiente distribucion de ruedas

θ1 θ2 θ3 θ4

60 135−135

−60





Problema de prueba


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problema:Los parametros del ındice de optimalidad para cada segmento

Par. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

w xy 1 5 5 5 5 1 1 1 5w v 1 1 1 1 1 1 1 0.1 0.1w β 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 1 5 5w β

1 0.1 0.1 0.1 0.1 1 0.1 0.1 0.1

w m 1 1 1 1 1 1 1 1 1





Problema de prueba


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problema:





Experimento de simulacion del modelo en 3D desarrollado

con OpenGL

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Comparacion por estrategia

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Se propuso una serie de tres estrategias distintasNuestro criterio fue el consumo de energia

Alto consumoMedio consumoBajo consumo




Simulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3D



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Se propuso una serie de tres estrategias distintas

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p p g

Nuestro criterio fue el consumo de energia








Se propuso una serie de tres estrategias distintas

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Nuestro criterio fue el consumo de energia







Comparacion por estrategia... Resultados

Estrategia de bajo consumo

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Estrategia de mediano consumo

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C i´ d l id d



Comparacion de velocidades







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Tabla de comparacion por estrategia:

Estrategia Energıa consumida Tiempo del trayecto

Alto consumo 3250000 16.28Mediano consumo 765000 20.32

Bajo consumo 203000 30.48




ConclusionesTrabajo a futuro

References

Conclusiones

Hemos formulado un modelo en el espacio de estado para un

robot mo il omnidireccional de 4 r edas

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robot movil omnidireccional de 4 ruedas.este puede ser facilmente modificado para tener un robot de n

numero de ruedas con n ≥ 3.

El modelo en espacio de estado es no lineal. Sin embargo,mostramos como linealizarlo usando un cambio de variable.

Hemos introducido un algoritmo de control basado en unasecuencia de regiones objetivo.

Cada segmento en la secuencia es calculado como unproblema de control LQR independiente.

Esto permite aplicar una gran variedad de estrategiasdiferentes para cada segmento.





References

Conclusiones


robot movil omnidireccional de 4 ruedas

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References

Conclusiones















References

Conclusiones



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References

Trabajo a futuro

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Dentro del trabajo a futuro se requiere...

Estimar las variables de estado.El desarrollo de una version discreta en el tiempo del modelo yde la estrategia de control.El desarrollo de una capa superior de inteligencia para generardinamicamente la secuencia de objetivos.





References

Trabajo a futuro

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References

Trabajo a futuro

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References

Bibliografia

T. Kalmar-Nagy, R. D’Andrea and P. Ganguly.Near-optimal dynamic trajectory generation and control of an

http://find/

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gy, g yNear optimal dynamic trajectory generation and control of anomnidirectional vehicle.Robotics and Autonomous Systems , 46:47–64, 2004.

O. Purwin and R. D’Andrea.

Trajectory generation for four wheeled omnidirectional vehicles.American Control Conference , 4979–4984, Jun. 2005.

L. F. Lupian and J.R. Rabadan.Segment-wise optimal trajectory exectution control for four-wheeledomnidirectional mobile robots.

IEEE Latin American Robotics Symposium, 2009.


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Resultados

Conclusiones


References

Bibliografia

T. Kalmar-Nagy, R. D’Andrea and P. Ganguly.Near-optimal dynamic trajectory generation and control of an



gy g yNear optimal dynamic trajectory generation and control of anomnidirectional vehicle.Robotics and Autonomous Systems , 46:47–64, 2004.

O. Purwin and R. D’Andrea.

Trajectory generation for four wheeled omnidirectional vehicles.American Control Conference , 4979–4984, Jun. 2005.

L. F. Lupian and J.R. Rabadan.Segment-wise optimal trajectory exectution control for four-wheeledomnidirectional mobile robots.

IEEE Latin American Robotics Symposium, 2009.


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Control de ejecucion de trayectorias para un robot holonomico omnidireccional

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