CONTROL BLOQUE 1 2ºBACH Materia: FÍSICA

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NOTA

INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN

La prueba consta de una opción, que incluye cuatro preguntas. Se podrá hacer uso de calculadora científica no programable. CALIFICACIÓN: Cada pregunta debidamente justificada y razonada con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. Cada apartado tendrá una calificación máxima de 1 punto. TIEMPO: Una hora. Pregunta 1.- Un satélite describe una órbita circular alrededor de un planeta desconocido con un periodo de 24 h. La aceleración de la gravedad en la superficie del planeta es 3,71 m∙s-2 y su radio es 3393 km. Determine:

a) El radio de la órbita. b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta.

Pregunta 2.- La estación espacial internacional (ISS) describe una órbita prácticamente circular alrededor de la tierra a una altura h = 390 km sobre la superficie terrestre, siendo su masa m= 4,15∙105 kg. Calcule:

a) Su periodo de rotación y su velocidad orbital. b) Energía necesaria para llevarla desde su órbita actual a otra a una altura doble. Datos: Masa de la Tierra, MT = 5,98·1024 kg; Radio de la Tierra, RT = 6,37·106 m. Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10-11 Nm2kg-2

Pregunta 3.- Cuatro masas puntuales e idénticas de 6 kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de lado igual a 2 m. Calcule:

a) El campo gravitatorio que crean las cuatro masas en el centro de cada lado del cuadrado. b) La energía potencial que adquiriría una masa de 0,5 kg situada en el centro del cuadrado. Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10-11 Nm2kg-2

Pregunta 4.- Teniendo en cuenta la masa de la Tierra, su distancia media al Sol y su periodo, determina:

a) El valor de su momento angular de traslación respecto al Sol. b) La velocidad areolar del movimiento de traslación terrestre. Datos: Masa de la Tierra, MT = 5,98·1024 kg; Distancia media Tierra-Sol, dT-S = 1,49·108 km;

Periodo de traslación de la Tierra, TT = 365 días.

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NOTA

Pregunta 1.- a) Datos: T = 24 h = 86400 s g = 3,71 m/s2 rp = 3,393∙106 m ¿r? Aplicamos la tercera ley de Kepler y despejamos el radio de la órbita:

22 3 23

2

44

p

p

GmT r r T

Gm

No conocemos la masa del planeta ni la constante de Gravitación Universal, pero podemos calcular su producto a través de la expresión de la intensidad del campo gravitatorio:

22 p

p pp

mg G Gm gr

r

Sustituimos esto en la expresión de r y sustituimos los datos:

22 2

22 2 73332 2 2

3,71 3,393 10686400 2 10

4 4 4

p p DatosGm gr ms m

r T T r s m

72 10 r m

b) ¿ve? La velocidad de escape es la velocidad necesaria para que un cuerpo escape de la atracción gravitatoria de un planeta. Para deducir su expresión utilizamos el principio de conservación de la energía, que dice que en ausencia de fuerzas no conservativas la energía mecánica de un cuerpo se conserva:

0A Bno cons M M MF E E E

donde el punto A se encuentra en la superficie del planeta y el punto B en el infinito. Suponiendo que al infinito se llega con velocidad nula y que allí se encuentra el origen de potenciales, la energía mecánica del cuerpo será nula en dicho punto.

0 0

A B BP C PE E E E

Desarrollando lo anterior se llega a la expresión de la velocidad de escape:

21 02

pe

p

m mG mv

r

2 p

ep

Gmv

r

donde mp y rp representan la masa y el radio del planeta respectivamente. 2

2 6 12 22 2 3,71 3,393 10 5015,57 p p Datos

e p ep p

Gm grv gr v ms m ms

r r

15015,57 v ms

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NOTA

Pregunta 2.- a) Datos: h = 390 km = 3,9∙105 m m = 4,15∙105 kg ¿T? ¿v?

Aplicamos la tercera ley de Kepler y despejamos el periodo: 2 2 2

2 3 3 33 34 4 4

T T T

T r T r rGm Gm Gm

2 36 5

23 11 24

2

4 6,37 10 3,9 10 5529,51 6,67 10 5,98 10

T sNm kgkg

5529,51 T s

Para calcular la velocidad orbital hay dos opciones: - Deduciendo la expresión a partir de la segunda ley de Newton aplicada al movimiento de la ISS:

F ma

La fuerza que actúa sobre la ISS es la fuerza gravitatoria, que viene dada por la Ley de Gravitación Universal:

2

T ISSm mF G

r

Como esta es una fuerza central, genera una aceleración normal o

centrípeta en el planeta, cuya expresión es 2

cvar

.

Aplicando estas expresiones a la ISS se tiene: 2

2

T ISS

ISSm m vF G m

r r

Simplificando a ambos lados de la ecuación y despejando:

24

11 16 5

5,98 106,67 10 7681,4 6,37 10 3,9 10

DatosTm kgv G v ms

r

- Utilizando las expresiones del MCU, ya que la ISS describe un movimiento circular:

2 v r r

T 6 5 12 6,37 10 3,9 10 7681,4

86400 Datos v ms

s

b) Datos: h’ = 2∙h = 780 km = 7,8∙105 m ¿∆E? Aplicamos el principio de conservación de la energía:

0A Bno cons M M MF E E E

donde el punto A se encuentra en la órbita inicial y el punto B en la órbita final. Para que la ISS pase de una órbita a otra será necesario aplicar cierta energía ∆E:

1 1

A B B A

T ISS T ISSM M M M T ISS

B A A B

m m m mE E E E E E G G Gm mr r r r

6 5 6 6 5 66,37 10 3,9 10 6,76 10 ; 6,37 10 7,8 10 7,15 10 A Br m r m

F

Órbita

ISS

Tierra

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NOTA

x

y

P

m1

m4 m3

m2

1g

2g

3g4g

2 m

2 m

1 m

11 24 5 116 6

1 16,67 10 5,98 10 4,15 10 6,68 106,76 10 7,15 10

E J

116,68 10 E J Pregunta 3.- a) Las distancias de m2 y m3 al punto P valen, según el teorema de Pitágoras:

2

2 22 2 1 5 2lr l m m m

La expresión que permite calcular la intensidad de campo gravitatorio es:

2

mg Gr

; 2 rmg G ur

N/kg

Aplicando el principio de superposición, el campo total en el punto P puede calcularse sumando los campos gravitatorios que crea cada masa individual en P: 1 2 3 4Pg g g g g

Calculamos la intensidad de campo gravitatorio que crea cada una de las masas en el punto P:

211 10 11

1 1 22 21

6 6,67 10 4 101

Datosm Nm kgg G g Nkgr kg m

2

11 11 122 2 22 2

2

6 6,67 10 8 105

Datosm Nm kgg G g Nkgr kg m

2

11 11 133 3 22 2

3

6 6,67 10 8 105

Datosm Nm kgg G g Nkgr kg m

211 10 14

4 4 22 24

6 6,67 10 4 101

Datosm Nm kgg G g Nkgr kg m

Por simetría: 1 4g g

1 4 0g g . Así, el campo total en P queda 2 3Pg g g

Además, 2 3y yg g

, de forma que: 2 22 2 cosP xg g g

Calculamos el ángulo α:

1 1 25,565º2 2

tg arctg

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NOTA

El campo gravitatorio total en el punto P es:

10 1ˆ1,43 10 i Pg Nkg b) Datos: m’=0,5 kg

¿Epot?

La expresión de la energía potencial es: 'P

mmE Gr

.

La energía potencial total de la masa m’ situada en el centro del cuadrado será:

31 2 4 1 2 3 4

1 2 3 4

'' ' ' '4P TOTAL P P P Pm mm m m m m m mmE E E E E G G G G G

r r r r r

La distancia de cada una de las masas al centro del cuadrado se calcula mediante el teorema de Pitágoras:

2 2

2 21 1 2 2 2l lr m m m

211 10

2

' 6 0,5 4 4 6,67 10 5,65 102

DatosP TOTAL P TOTAL

mm Nm kg kgE G E Jr kg m

10 5,65 10P TOTALE J

Pregunta 4.- a) Datos: MT = 5,98∙1024 kg dT-S = 1,49∙1011 m T = 365 días = 3,1536∙107 s ¿L? El momento angular se define como:

L r p

El módulo del momento angular para un movimiento circular es:

2

90º 2 2

1

290

v r TL r p sen L r p sen r p m v r L m r L m rT

Sustituimos los datos:

224 11 40 2 17

25,98 10 1,49 10 2,645 10 kg3,1536 10

TL kg m m s

s

40 2 -12,645 10 kgm s TL

b) ¿va? La velocidad areolar es el ritmo al cual va barriendo área el radio-vector que une el centro de la Tierra con el satélite. Su valor es constante y depende del módulo del momento angular L.

40 2 115 2 1

24

2,645 10 2,21 10 2 2 5,98 10

Datosa a

dA L kgm sv v m sdt m kg

15 2 12,21 10 av m s