Control automàtico informe final

8/8/2019 Control automàtico informe final

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE

CHIMBORAZO

FACULTAD DE INFORMÁTICA Y ELECTRÓNICA

ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

CARRERA DE CONTROL Y REDES INDUSTRIALES

TEMA: TRANSFORMACIÓN DE CONTORNOS EN EL PLANO s Y TEOREMA

DE NYQUIST

Profesor: Ing. Pedro Infante

Fecha: 2010-06-07

Semestre: Sexto A Control

Integrantes:

Sofía Asadobay 245820

Liliana Caiza 245824

Magaly Olivo 245963

Katherine Castro 245848

José Luis Cortés 245854

Carlos Ruiz 245835

Leonardo Asqui 245830

José Tonato 245177

Cristian Toalombo 245597



OBJ ¡

¢ VOS

a) General

y Analizar la estabilidad de un sistema de control de lazo cerrado en el

dominio de la f recuencia.

b) Específicos

y Establecer los pasos requeridos para la transformación de los contornos

en el plano s y su debida aplicación en el análisis del criterio de Nyquist.

y Encontrar el contorno de Nyquist aplicando los criterios determinado en

el teorema para llevar un sistema a la estabilidad.

IN£

¤

ODUCCIÓN

La determinación de la estabilidad de un sistema de control es de vital importa ncia en

el diseño y análisis del mismo. En el caso de que sea estable, f recuentemente es necesario determinar la estabilidad relativa, que puede definirse como la propiedad

medida por la parte real relativa de cada raíz o par de raíces de la ecuación

caracterí stica; es decir, depende de la localización de las raíces que pueden hallarse

por el Método del lugar de las raíces o el criterio de Routh-Hurwitz, que establece con

relativa facilidad la estabilidad relativa pero su aplicación es muy lenta, ya q ue

requiere un empleo repetido del mismo.

Anteriormente, se ha descrito la respuesta y el funcionamiento de un sistema en

términos de la variable compleja s=+j y la localización de polos y ceros en el plano s ¥

Un camino alternativo muy práctico en el análisis de un sistema es el método de

respuesta en f recuencia. La respuesta en f recuencia de un sistema representa la

respuesta en estado estacionario a una entrada senoidal y proporciona suficiente

información para determinar la Estabilidad Relativa, dado que la respuesta de

f recuencia de un sistema puede obtenerse f ácilmente por medios experimentales

excitando el sistema con señales de entrada sinusoidales, se puede utilizar para

investigar la estabilidad relativa del sistema cuando los valores de los parámetros no

se han determinado, también es posible obtener la función de transf erencia de un

sistema con una señal de entrada Escalón, pero a dif erencia de la señal senoidal, la

obtención es más compleja.

Sería útil un criterio de la estabilidad para determinar el enfoque adecuado que

permita modificar un sistema con el ob jeto de aumentar su Estabilidad Relativa.

H. Nyquist desarrolló un criterio de caracterí sticas semejantes, que se mantiene como

un método fundamental para el análisis de la estabilidad, que presenta varias venta jas

a los anteriores métodos ya que proporciona información sobre la estabilidad tanto

absoluta como relativa del sistema, sin la necesidad de calcular las raíces.



Dic ¦ § criterio se basa e ̈ la teor© a de la función de variable compleja.El Teorema de

Cauc¦ y está relacionado con la transformación de los contornos en el plano s

complejo.

Para determinar la estabilidad relativa de un sistema de lazo cerrado, se debe

investigar la ecuación caracter©

stica del sistema.

F(s)=1+L(s)=0

Para el siguiente sistema de control con lazo único

L(s)=G(s)H(s)

Para un sistema de lazos múltiples, la ecuación caracter© stica es:

Donde es el determinante. L(s) es una función racional de s. Para garantizar la

estabilidad, se debe estar seguro de que todos los ceros de F(s) caigan en la parte

izquierda del plano s. Para investigar esto Nyquist propuso una transformación de la

parte derec¦

a del plano s en el plano F(s).

TRANSFORMACIÒN DE LOS CONTORNOS EN EL PLANO s

Se trata de la transformación o traslado de un contorno del plano s a otro a través de

la relación F(s). Entonces se tiene que dado ques es una variable compleja denotada

por s=+ j, la función F(s) es por sí misma compleja y se puede determinar por

F(s)=u+jv, representándose en un plano F(s) de coordenadas u y v.

F(s)=2s + 1

F(s)= u+jv

F(s)= u + jv = 2s + 1 = 2(+ j) + 1

u + jv= 2 + 2 j+ 1

u=2 + 1



jv = 2 j v= 2

unción Punto A Punto B Punto C Punto D

s=+ j 1+j1 1 1-j1 -j1 -1-j1 -1 -1 j1

F(s)=2s + 1 3+j2 3 3-j2 1-j2 -1-j2 -1 -1+j2 1+2j

Del ejemplo anterior, se ha transformado el contorno por medio de F(s) en otro de idéntica

forma, un cuadrado, con el centro desplazado en una unidad y la magnitud del lado

multiplicada por dos. En particular, éste tipo de transformación mantiene los ángulos del

contorno del plano s en el plano F(s) y se lo conoce como transformación conforme.

Es importante notar que un contorno cerrado en el planos da como resultado un contorno

cerrado en el plano F(s).

Puede indicarse el recorrido de la dirección del contorno del planos por la dirección ABCD, y las flechas mostradas en el contorno. El plano F(s) presenta un recorrido semejante a medida

que se gira en el orden ABCD. Donde se deriva que el recorrido de un contorno en el sentido

del movimiento de las manecillas del relo j es positivo y la superficie cerrada dentro del

contorno está a la derecha.

Teor ema de Cauchy:

Si un contorno s en el plano s rodea Z ceros y P polos de F(s) y no pasa a tr avés de

ningún polo o cero de F(s) cuando el r ecorrido es en la dir ección del movimiento del



EJEMPLOS



LA ESTABILIDAD DE NYQUIST

El criterio de la estabilidad de Nyquist determina la estabilidad de un sistema en lazo cerrado a

partir de la respuesta en f recuencia en lazo abierto y los polos en lazo abierto. Para lo cual

utilizaremos la función de transf erencia en lazo cerrado:

Y(s) = G(s)R(s) 1+G(s)H(s)

Para la estabilidad, todas las raí ces de la ecuación característica:

1 + G(s)H(s) = O

Deben estar en el semiplano izquierdo del plano s. [Se debe se

alar que, aunque los polos y

ceros de la función de transf erencia en lazo abierto G(s)H(s) pueden estar en el semiplano

derecho del plano s, el sistema sólo es estable si todos los polos de la función de transf erencia

en lazo cerrado (es decir, las raí ces de la ecuación característica) están en el semiplano

izquierdo del plano s].

El criterio de Nyquist se relaciona con la transformación de la ecuación característica y el

número de rodeos del origen del plano F(s). De manera alternativa se puede definir la función:

F(s)=F(s)-1=G(s)H(s)=L(s)

Entonces la transformación de s en el plano s se hará a través de la función F(s)=L(s) en elplano F(s). En este caso el número de rodeos en el origen del plano F(s) en el sentido del

movimiento del relo j será igual al número de rodeos en el mismo sentido del punto-1+j0.

El criterio de Nyquist permite determinar la estabilidad de un sistema a lazo cerrado

empleando información a lazo abierto.

El criterio de Routh-Hurwitz también hace algo parecido, pero es bastante complicado

utilizarlo para dise ar un sistema a lazo cerrado, ya que no se tiene información del margen de



Un sistema de control realimentado es estable si, y solo si para el contorno L el

número de rodeos del punto -1+j0 en el sentido contrario al movimiento del relo j es

igual al número de polos de L s) con partes reales positivas. Esto sucede cuando el

número de polos de L s) en la parte derecha del plano s es dif erente de cero.

Análisis De Est bilid d

Al examinar la estabilidad de los sistemas de control lineales mediante el criterio de estabilidad

de Nyquist, se observa que se pueden presentar tres casos.

1. El punto -1 + j0 no está rodeado. Esto implica que el sistema es estable si no hay polos

de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s; de lo contrario, el sistema es

inestable.

2. El punto -1 + j0 queda rodeado una o varias veces en sentido contrario al de las agu jas

del relo j. En este caso, el sistema es estable si el número de rodeos en sentido

contrario al de las agu jas del relo j es igual al número de polos G(s)H(s) en el semiplano

derecho del plano s; de lo contrario, el sistema es inestable.

3. El punto -1 + J0 queda rodeado una o varias veces en el sentido de las agu jas del relo j.

En este caso el sistema es inestable.

Al unos det lles i po t ntes

Para la aplicación del criterio de Nyquists debemos tener en cuenta lo siguiente!

y Cuando tenemos un polo o cero en el origen tenemos lasiguiente igualdad para realizar el

cambio de plano y poder determinar la nueva grafica: s ; y luego aplicar el limite

cuando tiende a cero

y Cuando queremos obtener la linea que une + y - utilizamos la siguiente igualdad para

realizar la tranformacion de plano: s ; y luego aplicar el limite cuando tiende a

infinito.

y Para facilitar la glos datos para la grafica de 0+ a +, se puede ayudar de la siguiente tabla,

con los pasos indicados a continuación:

Conociendo la función transf erencia de lazo abierto G(s) o G(s) H(s), para trazar el

diagrama polar directo, es conveniente realizar algunas consideraciones particulares que

facilitan el trazado y lo ponen en escala.

Conocida G(s), es necesario:

a) Calcular , lo cual lo podemos realizar mediante

racionalización, o por el método que sea necesario.

b) Calcular los puntos singulares, que corresponden a los valores mostrados en la tabla de la

siguiente figura:



Una vez calculados los valores indicados(con signo de pregunta ) en la tabla de la anterior se

tendrán cuatro puntos en el diagrama polar que permitirán trazar a mano alzada el

gráfico G (j" ). La primera columna de la tabla da el punto de comienzo del gráfico polar

(para f recuencia cero). La segunda columna da el punto de finalización del gráfico polar

(para f recuencia infinita).La tercer columna da la f recuencia y el valor del punto de cruce del

diagrama polar con el eje imaginario. La cuarta columna da la f recuencia y el valor del punto

de cruce del diagrama polar con el eje real.

c) Con los cuatro valores calculados en (b) se puede obtener una razonable aproximación

al diagrama polar. Si fuese necesario habrá que obtener el valor de G (j"

) para algunas

f recuencias adicionales (En general no hará falta).

Una vez calculado esto, para el intervalo de -0 a - no hará falta hacer los cálculos, ya que es

simplemente el conjugado del anterior.

CONCLUSIONES

Si se compara los procedimientos existentes para el cálculo de la estabilidad

relativa de sistemas, tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la

f recuencia, podemos decir que elC

riterio de Routh es de aplicación lenta yrepetitiva, el Método del Lugar de las raíces proporciona además de la

estabilidad la respuesta transitoria pero en sistemas de alto orden su aplicación

es tediosa, sin embargo el criterio de Nyquist proporciona información sobre la

estabilidad sin la necesidad de hallar las raíces.

Todos los ceros de F(s# deben caer en la parte izquierda del plano s para

garantizar la estabilidad, para lograrlo el Criterio de propone una

transformación de la parte derecha del plano s en el plano F(s).

Una transformación conforme es aquella donde al trasladar un contorno del plano s al

F(s) se mantienen los ángulos de mismo. La funciòn F(s) es compleja, de coordenada u

y jv. El criterio de Nyquist se establece para dos casos específicos: cuando el número de

polos de L(s) en la parte derecha del plano s es igual a cero y cuando no lo es.

Se conoce a la trayectoria de Nyquist como un contorno cerrado en el plano s que

encierra todo el semiplano derecho formado por el eje jw completo desde w = - a +

, y una trayectoria semicircular de radio infinito.



Biblio$

%

& fí & :

y DORF, RICHARD C. y BISHOP, ROBERT H. Sistemas de cont' ol moderno (10ª ED.)

y KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de control moderna, 3ra edición

y A.M. MARIANI, Criterio de Estabilidad de Nyquist- Aplicación al análisis de la Estabilidad

de Sistemas de Control continuos y LTI, UTN-FRBA, año 2007

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