Continuación
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Proyecto de Matemáticas:Funciones
Presentado por:Jonathan Guberek
Daniel CroitoruMark Guberek
Presentado a:Patricia Caceres
COLEGIO COLOMBO HEBREOAREA DE MATEMATICA
Bogota D.CMayo 2010 Continuación
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GENERALIDADES• Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce
cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha.
• No es una función cuando:• De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.• De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.• Una función se puede representar tanto de forma visual, algebraica,
numérica y verbal.• Una imagen es el conjunto de elementos y para los cuales existe un
elemento x tal que y=f(x).
Continuación
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Punto de corte con YPara hallar el punto de corte con Y, se debe reemplazar en la ecuación a X por 0.Punto de corte con XPara obtenerlo se iguala la función a 0. Soluciono la ecuación hasta obtener el valor de x.
Rango: Conjunto formado por las imágenes.
Dominio: Es el conjunto formado por las pre imágenes
que debe ser igual al conjunto de salida.Continuación
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Función Inyectiva
• En este tipo de función se cumple la condición de que cada valor del conjunto A (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto B. De tal manera que en el conjunto A no pueden haber dos o más elementos con la misma imagen.
Continuación
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Función Sobreyectiva
• Es el tipo de función que cumple la condición de que cada elemento de Y es la imagen de mínimo un elemento de X.
Continuación
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Función Biyectiva• Función dada cuando, se
cumple que es a la vez Sobreyectiva e Inyectiva.
• Cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función Inyectiva y que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la característica de la Sobreyectiva. Continuación
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Función Par
Es un tipo de función que satisface o que cumple la condición de que para todo x que pertenece al dominio. f(x)=f(-X)
Podría ser una función cuadrática o Polinómica de grado par incompleta que solo tiene c . Un ejemplo de esta sería:
f(x) = x4 + 2
Continuación
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f(x) = x4 + 2corte con y 2
mínimo relativo (0,2)eje de simetría x=0
dominio=Realesrango= (2,00
conjunto salida= Realesconjunto llegada= Reales Continuació
n
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Función Impar
• Función en la que todo x perteneciente al dominio
Podría ser una Función cúbica o Polinómica de grado par incompleta que solo tiene c . Un ejemplo de esta sería:f(x) = x3
Continuación
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f(x) = x3 dominio= Realesrango=Realesconjunto salida=Realesconjunto llegada=Realescorte con x= 0corte con y=0 Continuación
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Función PolinómicaGeneralidades
• Según su grado se pueden clasificar como:
Grado Nombre Expresión0 función constante y = a1 función lineal y = ax + b (Binomio, 1er Grado)2 función cuadrática y = ax² + bx + c (Trinomio, 3er Grado)3 función cúbica
Dominio= Conjunto de Salida= RConjunto de llegada=R
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Clases de funciones.
Valor Absoluto
Exponencial
Logarítmica
Racional
Polinómica
Función a Trozos
Función trigonométrica
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Función Cuadrática.
Función Cubica.
Función de Grado par.
Función de Grado impar.
Función lineal.
Función Polinomica.
Constante.
MAPA CLASES FUNCIONES
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Funciones Lineales
Generalidades
Afín
Lineal
Idéntica
Mapa linealesMAPA
POLINÓMICAS
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Función linealGeneralidades
• Y= variable dependiente• X= variable independiente• M=pendiente (grado de inclinación de la recta con
respecto al eje horizontal)• B= punto de corte con el eje y.• Punto de corte con x• Dominio=reales• Conjunto de Salida= Reales• Rango=Reales(con excepción a la función constante)• Conjunto de llegada= Reales
Continuación
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•Si , m > 0 la función es creciente.•Si m < 0 la función es decreciente.•Si m=0 la función es constante (recta horizontal).•Ecuación para hallar la pendiente:
Mapa lineales
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Función lineal Afín
Es una función cuya ecuación matemática viene dada por: Y=mx+b
Donde b es una constante que determina el punto de corte con Y,y hace el desplazamiento vertical.
El punto de corte con y es distinto a 0
Continuación
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Y=5x+5Dominio: RealesRango: Reales corte con x= -1Conjunto Salida: Reales corte con y= 5Conjunto llegada: RealesPendiente=5
Mapa lineales
EJEMPLO
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Función lineal
Es una función cuya ecuación matemática es:Y=mx
Su corte con y siempre va a ser 0 puesto que no tiene un desplazamiento vertical .
Continuación
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Y=5xDominio=Reales Conjunto Salida= RealesRango= Reales Conjunto Llegada= RealesCorte con x= 0Corte con y=0
Mapa lineales
EJEMPLO
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Función lineal idéntica
• Es una función expresada con la fórmula:• Y=x• Donde y adquiere el mismo valor que x.• La pendiente es igual a 1.
Continuación
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Dominio=RealesRango=RealesConjunto Salida=Reales Conjunto Llegada=RealesPunto de corte con Y=0Punto de corte con X=0
Mapa lineales
EJEMPLO
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Función lineal constante
• Y=a• Siendo a cualquier número.• No tiene una pendiente por lo que su rango
siempre va a ser a.• Su corte con y es igual al a.
Continuación
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Y=4Dominio=Reales Conjunto Salida=Reales corte con y=4Rango={4} Conjunto Llegada=Reales
EJEMPLO
MAPA POLINÓMICAS
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Función Polinómica cuadrática
• Es una función que se define mediante un polinomio de segundo grado. Esto quiere decir con un elemento elevado al cuadrado como máximo exponente.
• Donde a no se puede ser igual a 0
Continuación
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• Su representación gráfica, representaría una parábola vertical
• Siendo a negativo, estaría hacia abajo.• Siendo a positivo, estaría hacia arriba.• Corte con el eje Y, al reemplazar las x por 0• Corte con el eje X, al igualar la función con 0. La ecuación se
soluciona por factorización o por fórmula general.• El máximo relativo o mínimo relativo existe dependiendo
del signo de a.• Con a negativo y parábola hacia abajo habría, un máximo
relativo
Continuación
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• Con a positivo y parábola hacia arriba, habría un mínimo relativo.
• Tanto el Dominio como el Conjunto de Salida son Reales. El Conjunto de llegada es Reales, mientras el Rango va desde el mínimo o máximo relativo hasta infinito
Continuación
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Y=x^2+2x+1 corte con y= 1 Conjunto Salida=Reales corte con x=-1 Conjunto Llegada=Reales mínimo relativo x=-1D=Reales Creciente en=(-1,infinito)R=Reales positivos Decreciente en=(- infinito, -1)
MAPA POLINÓMICAS
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Función Polinómica cúbica
• Se denomina función cúbica a toda función que le rige la ecuación:
• Y=ax3+bx2+cx+d• Donde a,b,c,d son números reales• Es una ecuacion de tercer grado, ya que tiene
un maximo elemento elevado a la tres o al cubo
Continuación
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Corte con x= -1Corte con y= 1Conjunto Salida=RealesConjunto Llegada=RealesD=RealesR=Reales positivos
MAPA POLINÓMICAS
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Función Grado Par
• Es el tipo de función que se rige según la condición de que:
• El mayor grado de la función es par• Si todos los terminos son de grado par, la
funcion es simetrica con respecto al eje X• Se rigen según la ecuación:
Continuación
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Corte con y =2No tiene corte con xVértice (0,2)Dominio= RealesRango=(2,00)Conjunto salida=RealesCll=Reales MAPA POLINÓMICAS
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Función Grado Impar
• Es el tipo de función que se rige según la condición de que:
• El mayor grado de la función es impar.• Se rigen según la ecuación:
Continuación
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Dominio =conjunto salida=Realesrango =conjunto llegada=Reales
corte en x≈2corte con y=3
Es creciente en(-00,3)u(2.9,00)es decreciente en(3,2.9)
MAPA POLINÓMICAS
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Función Valor absoluto
• Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a pedazos, siguiendo los siguientes pasos:
• 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
• 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.
• 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
• 4 Representamos la función resultante.Continuación
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Gráfica
• Decreciente si a<1• Creciente si a>1• El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin
tener en cuenta su signo.
• Su dominio, CS y CLL son Reales.• Su rango depende de hacia donde se
desprenda, puede ser de – infinito al máximo relativo o del mínimo relativo a infinito.
Continuación
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Y=|x|
Punto corte con x= 0Punto corte con y= 0Dominio=Conjunto salida=Conjunto llegada= RealesRango= (infinito, 0)Decreciente en= (-infinito,0)Creciente en= (0, infinito)
MAPA CLASES FUNCIONES
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Función racional
• La función racional es una función matemática expresada de la forma
• Donde p , q son polinomios , x es una variable desconocida
• Q≠0• Su dominio consiste en los números reales x
excepto aquellos para los que el denominador es 0.
Continuación
![Page 39: Continuación](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022070403/56813965550346895da1002e/html5/thumbnails/39.jpg)
• Todas las funciones racionales, tienen una asíntota vertical y horizontal, es decir, tienen excepciones, estas excepciones son números en los ejes "x" e "y" que no se pueden usar para reemplazar la variable "x" en la función racional.
• Todas sus funciones racionales es de clase infinita, es decir, que su grafica, al igual que sus soluciones, no tienen final.
Continuación
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• Para obtener las raíces se factoriza tanto el denominador como el numerador y se igualan cada uno de los factores a 0. Las raíces del numerador serían cortes con x mientras los del denominador cortes con y.
• Asíntotas Verticales: Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es cero, es decir, donde la función no esta definida.
• Para determinar cuando es mayor o menor que 0, se realiza el proceso del cementerio.
Continuación
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MAPA CLASES FUNCIONES
Corte con x= 3Corte con y= 3Asintota en y=1D=cs=realesRango= reales-(1)Cll=realescreciente
![Page 42: Continuación](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022070403/56813965550346895da1002e/html5/thumbnails/42.jpg)
Función exponencial
• La función exponencial es del tipo:• Y= ax
• Sea a un número real positivo.• Y= ax se llamaría función exponencial de base a y
exponente x. • a no puede ser ni menor que 0 ni igual a 1. ya
que siendo 1, sería constante.• La función exponencial natural es la que tiene
como base a e, que es igual a 2.2.Xexf )( Continuación
![Page 43: Continuación](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022070403/56813965550346895da1002e/html5/thumbnails/43.jpg)
Dominio=cs=realescll=reales
rango=(1,00)asintota x=1
crecientecorte en y=2 MAPA CLASES
FUNCIONES
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Función Logarítmica
• Una función logarítmica la que se expresa como f (x) == logax
• Siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
• También cumpliría que • Se llama logaritmo común al logaritmo en base
10. • Se llama logaritmo natural al que tiene como
base a e=2.2Continuación
xa y
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• Propiedades logarítmicas: • 1. El logaritmo de una potencia de un numero es el exponente
multiplicado por el numero.• 2. El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los
logaritmos de los números.• 3. El logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos
de los números.
• Para cambiar de base se utiliza la fórmula
Continuación
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Crecientedominio=cs=reales positivos
cll=realesrango=realesasintota x=0
corte con x≈0.3 MAPA CLASES FUNCIONES
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Función a Trozos
• En matemáticas, una función definida a trozos es una función cuya definición cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Matemáticamente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos distintos de su dominio o subdominios.
• Su definición varía según los intervalos que se tomen en cuenta.
• Se dividen en función mantisa y función signo.
Continuación
![Page 48: Continuación](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022070403/56813965550346895da1002e/html5/thumbnails/48.jpg)
Función Mantisa• La función mantisa consiste en la parte decimal de un número. Su fórmula es:• mant (x) = x - [x]• Es decir, al número se le resta su parte entera, así la mantisa de los siguientes
números serán:• mant(20,918) = 0,918• mant(27,465) = 0,465
ContinuaciónDominio= IRConjunto de salida= IRRango= (0, 1)Conjunto de llegada= IR
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Función signo• Función que obtiene el signo de cualquier número real que se tome por entrada.
Se representa generalmente mediante sgn(x).• Su dominio de definición es R y su conjunto imagen {-1;0;1}.
f(x)=
Si x<1
1
0
1Si x=1
Si x>1
MAPA CLASES FUNCIONES
Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= {-1; 0; 1)Conjunto de llegada= IR
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Función trigonométrica• Son el tipo de funciones que guardan relación con el estudio de la geometría de los
triángulos.• Se definen como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a
sus ángulos.• Existen seis tipos de funciones trigonométricas:
• La función del seno se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
• La función del coseno se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
• • La función de la tangente se define como la razón entre el cateto opuesto y el
adyacente:
Continuación
![Page 51: Continuación](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022070403/56813965550346895da1002e/html5/thumbnails/51.jpg)
• La función de la cotangente se define como el inverso multiplicativo de la tangente.
• La función secante se define como el inverso multiplicativo del coseno
• La función cosecante se define como el inverso multiplicativo del seno:
Gráfica
![Page 52: Continuación](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022070403/56813965550346895da1002e/html5/thumbnails/52.jpg)
Graficas de todas las funciones trigonométricas
MAPA CLASES FUNCIONES
seno
cosenotangente
cotangente
secante
cosecante
![Page 53: Continuación](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022070403/56813965550346895da1002e/html5/thumbnails/53.jpg)
Seno
Dominio=Cll=RealesCs= RealesR= [-1,1]Pto corte con y=0Pto corte con x=πn
![Page 54: Continuación](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022070403/56813965550346895da1002e/html5/thumbnails/54.jpg)
coseno
Dominio=Cs=RealesCll= RealesRango= [-1,1]Pto corte con Y=1Pto corte con X= )12(
2n
![Page 55: Continuación](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022070403/56813965550346895da1002e/html5/thumbnails/55.jpg)
tangente
Rango=Cll=RealesCs= RealesPto corte con y=0Pto corte con x= πnDominio
![Page 56: Continuación](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022070403/56813965550346895da1002e/html5/thumbnails/56.jpg)
cotangente
Dominio=Cs= Cll=RealesR= RealesPto corte con y=No hayPto corte con x=
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cosecante
Conjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada= IRRango= (IR – (-1,1))Asíntotas en x=n πPunto de corte con x no tienePunto de corte con y no tiene
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secante
Conjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada= IRRango= (IR – (-1,1))Asíntotas en x= π/2(2n-1)Punto de corte con x no tienePunto de corte con y = 1
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Bibliografía
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• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_constante
• http://www.mitecnologico.com/Main/Funciones • http://cnx.org/content/m12960/latest/#eq_rf• http://www.vitutor.com/fun/2/c_13.html
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Bibliografía
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trica
• http://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometr%C3%ADa) • http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9
trica