Construcción de modelos de PL

8/2/2019 Construccin de modelos de PL

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CONSTRUCCIN DE MODELOSDE PROGRAMACIN LINEAL

Escuela Superior de IngenierosUniversidad de Sevilla

GRUPO DE TECNOLOGAS DE LA INFORMACINE INGENIERA DE ORGANIZACIN

David CancaIgnacio EguaJess Racero


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CAPTULO XMODELADO DE PROBLEMAS LINEALES

X.1. Introduccin....................................................................................................................3X.2. Modelos en Programacin Matemtica. .......................................................................4X.3. Construccin de un modelo lineal................................................................................4X.4. Programacin lineal entera. ..........................................................................................5X.5. El uso habitual de las variables enteras. .....................................................................5X.6. Algunas relaciones frecuentes. ....................................................................................6

X.6.1. Relacines entre una variable continua y una variable auxiliar..........................6X.6.2. Uso de variables auxiliares en el modelado de costes de setup. .......................7X.6.3. Uso de variables auxiliares para activar o desactivar restricciones. .................7X.6.4. Aproximacin lineal de una funcin no lineal.....................................................10X.6.5. Restricciones disyuntivas.....................................................................................12

X.6.6. Modelando implicaciones lgicas sencillas........................................................12X.6.7. Objetivos de tipo Minimax y Maximin. .................................................................14X.6.8. Regiones no convexas..........................................................................................14

CASOS ..................................................................................................................................17Planificacin .....................................................................................................................17

1. Plan de incorporaciones en un servicio de urgencias..........................................172. Elaboracin de pizzas en hora punta. ....................................................................233. Programacin de una cadena de televisin...........................................................284. Planificacin de una explotacin minera ...............................................................325. Estudio de la compra de aviones por una compaa............................................396. Fabricacin de bobinas............................................................................................45

Asignacin........................................................................................................................48

7. Asignacin de alumnos a institutos .......................................................................488. Reparto de trabajos..................................................................................................529. Red de comunicaciones de ordenadores...............................................................55

Cobertura ..........................................................................................................................6010. Vigilancia de las salas de un museo.....................................................................6011. Localizacin de cmaras de TV.............................................................................63

Localizacin......................................................................................................................6612. Localizacin continua de Hospitales....................................................................6613. Ubicacin estaciones de bomberos .....................................................................69

Distribucin ......................................................................................................................7314. Planificacin de la distribucin de un producto..................................................73

Secuenciacin ..................................................................................................................81

15. Peridicos ...............................................................................................................81Equilibrado de cadenas...................................................................................................84

16. Embalaje de objetos con relaciones de precedencia..........................................84Tcnicas de modelado.....................................................................................................87

17. Regresin lineal......................................................................................................8718. Funciones lineales a trozos...................................................................................90


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Construccin de modelos de Programacin Lineal

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X.1. Introduccin.

El trmino modelo es usado de forma habitual en diversas disciplinas cientficas. Al hablarde modelo nos referiremos a cierta estructura construida con el propsito de reflejar

determinadas caractersticas y analizar el comportamiento de un determinado objeto osistema ante ciertos agentes.

Normalmente, slo algunas caractersticas del objeto o sistema real se incorporan almodelo, dependiendo del fin para el que ha sido creado.

En una primera clasificacin podramos hablar de modelos concretos y abstractos, enfuncin de la esencia propia del modelo. Un modelo concreto supone una realizacin fsica,normalmente a escala, del objeto o sistema que se desea analizar. Un modelo abstractoutiliza, de forma general, relaciones y definiciones matemticas con el fin de representarrelaciones internas del sistema que est siendo modelado.

En lo que a este texto se refiere, nuestra atencin se centrar de forma exclusiva en un tipoparticular de modelos abstractos, construido en base a relaciones matemticas (ecuaciones,desigualdades, relaciones lgicas, etc..) que se correspondern con condicionestecnolgicas, limitaciones en los recursos disponibles, eleccin de alternativas u otro tipo derelaciones en el mundo real.

La utilizacin de modelos responde principalmente a dos motivos. El primero de ellosconsiste en la imposibilidad habitual de experimentar con el sistema real, no slo por lacomplejidad que esto supondra, sino tambin por los efectos perjudiciales que pudieranderivarse de esta experimentacin. Por otro lado, el proceso de construccin de modelosayuda a profundizar en el estudio del sistema real, permitiendo un mayor conocimiento delsistema u objeto de anlisis.

Los modelos matemticos estudiados en este libro utilizan una forma estndar. Muchos delos modelos usados en el mbito de los mtodos cuantitativos aplicados a la gestin utilizanformas estndar. Esta caracterstica es comn al caso de numerosos modelos usados eningeniera. Existen no obstante muchas situaciones que no pueden ser modeladas de lamanera que describiremos, y que precisaran modelos diferentes tales como modelos desimulacin, economtricos, modelos de previsin, etc...

En la actualidad existe cierta controversia sobre la utilidad de los modelos matemticos enel mbito de la gestin. En un extremo se encuentran los que opinan que carecen de valoren relacin con sus propsitos. Sus crticas se centran en la dificultad o imposibilidad decuantificar de forma satisfactoria algunos conceptos, tales como asociar un coste o unautilidad a ciertos bienes o valores de carcter social. Otras criticas se deben a ladesconfianza respecto a los resultados finales del modelo como consecuencia de falta deprecisin en la estimacin de los datos de partida.

Frente a la primera crtica cabe decir que muchas de las decisiones que involucranconceptos no cuantificables en el mbito de la gestin necesitan de cierta cuantificacin,mas o menos formal, de la que es imposible prescindir, a veces una simple ordenacin. Elesfuerzo por conseguir una formulacin explcita de esta cuantificacin resultaevidentemente mas cientfico.

El segundo aspecto debe ser discutido en relacin con cada modelo especfico. Aunque

muchos de los datos de un modelo sean poco precisos, es posible que la estructura del


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modelo permita obtener resultados aceptables, disminuyendo el ruido introducido por losdatos iniciales.

En el otro extremo se encuentran los que lejos de criticar los modelos, confan ciegamenteen su validez y especialmente en sus resultados, especialmente si la resolucin de losmismos implica el uso del ordenador.

Es preciso sealar que en el caso de un modelo de programacin lineal, la formulacin de lafuncin objetivo afecta claramente a su resultado. La falta de crticas a un modelo es unaactitud desaconsejable que disminuye las expectativas de xito del mismo. Aceptar laprimera solucin obtenida tras la resolucin de un modelo sin llevar a cabo un posterioranlisis es una prctica poco acertada.

Un modelo debe ser usado como una de entre otras herramientas de ayuda para la toma dedecisiones. El proceso de construccin de un modelo debe verse realimentado a partir deun anlisis crtico derivado de las soluciones obtenidas.

X.2. Modelos en Programacin Matemtica.

Los modelos de programacin matemtica mantienen una relacin indirecta con lacomputacin. El trmino Programacin no debe ser confundido con el utilizado en laciencia de los computadores.

En el campo de la programacin matemtica, Programacin resulta equivalente aplanificacin, en el sentido ms amplio de este trmino. No obstante, la magnitud demuchos de los problemas tratados, el elevado nmero de datos y relaciones, haceimpensable su resolucin sin el soporte informtico.

Tal vez la caracterstica comn a todos los modelos de programacin matemtica radica ensu finalidad: son modelos de optimizacin. Cada modelo de programacin matemtica esconcebido con el objetivo de encontrar, para el problema que representa, la solucin (o lassoluciones), de entre las existentes, que alcance el valor mximo o mnimo de acuerdo acierto criterio que denominamos objetivo.

De forma particular, este captulo se centrar en la construccin de modelos deprogramacin lineal continuos, enteros, mixtos, y en algn caso modelos que presentan nolinealidades, analizando para ellos alguna posible formulacin lineal aproximada.

Los modelos lineales, como ya se vio en los primeros captulos del libro, exigen que lafuncin objetivo y las restricciones del problema sean lineales. En algunas situaciones estaconsideracin resulta excesiva y supone ciertamente una limitacin a la hora de modelar.En algunas ocasiones, las expresiones no lineales pueden ser tratadas, obtenindose unmodelo final lineal.

A pesar de estas observaciones, resulta ms fcil, de forma general, resolver modeloslineales, de aqu su importancia y su amplia utilizacin.

X.3. Construccin de un modelo lineal.

De manera especfica, un modelo lineal consta de tres bloques diferenciados. La funcin


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objetivo, las restricciones y la definicin de signo o tipo de las variables. El proceso demodelado consiste en la especificacin de estos tres bloques. No existe ningunametodologa especfica para modelar problemas, la experiencia resulta fundamental, es eneste sentido en el que el proceso de modelar es a veces llamado arte de modelar. Noobstante, en el presente captulo se reflejarn las situaciones ms comunes que sepresentan en el modelado de problemas lineales. Posteriormente se complementar loexpuesto desarrollando de forma minuciosa algunos casos concretos.

En los diferentes modelos expuestos se ha seguido una procedimiento de modelado similar.As, analizaremos el horizonte temporal para el que se construye el modelo, en el caso desituaciones que presentan variaciones a lo largo del tiempo. Definiremos en cada caso lasvariables de decisin del problema. Para ello nos basaremos principalmente en los datosdisponibles, a veces en los costes unitarios de las variables y en otros casos en losrelacionados con la estructura de las restricciones del problema.

Conocidas las variables de decisin, formularemos las restricciones del problema, a partir

de la descripcin formal del mismo, incluyendo las variables auxiliares que resultennecesarias. De forma adicional surgirn restricciones implcitas al modelo comoconsecuencia de la eleccin inicial de determinadas variables, de procesos de linealizaciny de la relacin entre variables de decisin y auxiliares.

En ltimo lugar, aunque no siempre ser as, formularemos el objetivo del problema.

X.4. Programacin lineal entera.

Una amplia variedad de situaciones reales necesitan ser modeladas haciendo uso devariables enteras (Integer Linear Programming, ILP). A veces estos modelos contienen

variables contnuas y enteras (Mixed Integer Linear Programming, MILP).

La aplicacin de modelos de programacin entera es especialmente necesaria cuando lasvariables de decisin del problema representan bienes que no pueden ser fraccionados,tales como aviones, vehculos, casas, etc... o en algunos casos en los que se trata de medirrecursos humanos para la realizacin de un trabajo.

Existen adems muchas otras situaciones donde el uso de la programacin entera resultamenos obvio pero igualmente necesario. Tal es el caso de situaciones en las que se hacepreciso tomar decisiones. En estos casos se utilizan variables binarias (0-1) querepresentan decisiones tipo SI,NO, o verdadero, falso. Las relaciones que involucran este tipo de variables se puedenmodelar en muchas ocasiones de forma lineal. Posteriormente al estudio del modelado deproblema con variables enteras se propondrn mtodos para su resolucin.

Modelar problemas haciendo uso de variables enteras y binarias supone una mayorcomplejidad frente al modelado continuo. Por este motivo, en general, estudiaremosmodelos de programacin lineal mixta-entera, con la confianza de que una vez aportadaslas herramientas para modelar situaciones complejas resulte sencillo adquirir dominio en laconstruccin de modelos continuos.

X.5. El uso habitual de las variables enteras.


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Como se comento anteriormente, las variables enteras se usan de forma muy frecuente enel modelado de situaciones reales. Estas variables suelen ser de dos tipos, comentados enla tabla siguiente:

Cantidades indivisiblesVariables de decisin Variables binarias directamenterelacionadas con la toma de decisiones.(Construir o no un almacn, ampliarcapacidad, etc...)

Variables auxiliares Variables binarias usadas para indicarvalores o estados determinados deciertas variables continuas.

Cuando una variable continua condiciona otras restricciones del problema se usa unavariable auxiliar binaria para recoger el estado de la primera y se relaciona con lasrestricciones afectadas.

X.6. Algunas relaciones frecuentes.

Este apartado no pretende mostrar todos los tipos de restricciones que puede aparecer enel modelado de problemas de programacin lineal entera. La simple pretensin de hacerloresulta absurda. El objetivo de los siguientes epgrafes es el de plasmar algunas relacionesy situaciones comunes que se presentan con frecuencia en el modelado lineal deproblemas, con la esperanza de que estas explicaciones permitan mejorar la comprensinde los modelos que se expondrn con posterioridad.

X.6.1. Relaciones entre una variable continua y una variable auxiliar.

Considrese una variable continua Z y una variable auxiliar . La variable auxiliar debertomar valor 1 cuando Z sea estrictamente mayor que cero. La variable auxiliar, por tanto,indica el estado, positivo de la variable continua.

Supngase que Z representa el nmero de Kg. de grano almacenados en un silo. En elcaso en que esta cantidad sea positiva es necesario considerar por ejemplo la posteriordecisin de contratacin de un operario. Nos interesa disponer de una variable binaria queconsidere el estado de existencia de grano en el silo.

Las implicaciones que vamos a modelar se muestran a continuacin.

10 => Z

La primera de ellas se puede modelar acotando superiormente la variable continuamediante el producto de la variable binaria auxiliar y una cota superior de Z.

SZ

De esta forma, un valor positivo de Z obliga a la variable auxiliar a tomar el valor 1. El valorde S debe ser el de una cota superior de la variable Z. Este valor puede extraerse de lasrestricciones del problema, anulando todas las dems variables y despejando lasacotaciones de Z.


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En algunas ocasiones puede ser interesante imponer tambin la implicacin

00 == Z

Esta implicacin puede formularse en sentido contrario usando la negacin de cada uno delos predicados

01 >= Z

que se puede modelar como sigue:

iZ

Ahora, cuando la variable auxiliar toma valor 1 la variable Z es mayor que i. Esta constanterepresenta un valor infinitesimal, de manera que obliga a Z a ser positiva.

X.6.2. Uso de variables auxiliares en el modelado de costes de setup.

En determinadas ocasiones el coste unitario de una actividad se ve gravado con un costeinicial constante, independiente del valor de la actividad, debido exclusivamente al hecho deiniciarla. Es el caso de los costes de setupal inicio de la fabricacin de un determinadoproducto.

Un caso, similar en la estructura de modelado, surge al modelar funciones lineales a trozosno convexas, en este caso, cada segmento corta al eje de ordenadas en un determinadopunto que debe ser explcitamente considerado en la funcin objetivo.

Volviendo al caso de coste inicial, si Cu es el coste por unidad de producto X y Cs es elcoste de setup, o de lanzamiento de la nueva serie, el coste total se expresa de forma linealcomo sigue:

Coste = Cu X + Cs

Ahora bien, puesto que en este coste inicial slo se incurre cuando X > 0, es decir, sefabrica al menos una unidad, la funcin objetivo del problema debe recoger el trmino Csmultiplicado por una variable auxiliar . Esta variable tomar valor 1 cuando la actividad Xsea estrictamente mayor que cero. Es decir el coste queda modelado:

Coste = Cu X + Cs Siendo necesario aadir la restriccin

SX

tal y como se coment en el punto precedente.

X.6.3. Uso de variables auxiliares para activar o desactivar restricciones.

A) Consideremos una restriccin genrica de un modelo de programacin lineal como la

formulada a continuacin


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=

m

j

ijij bxa1

donde los coeficientes aij representan el consumo unitario que cada actividad xj (0) suponesobre cierto recurso i, limitado de forma global por una disponibilidad de bi unidades.

Deseamos condicionar el cumplimiento de esta restriccin mediante una variable auxiliar ,de manera que cuando =1 la restriccin se debe satisfacer, mientras que si =0 larestriccin no debe actuar.

La implicacin que deseamos formular puede escribirse como:

=

=m

j

ijij bxa1

1

Para modelar esta condicin basta sumar al trmino independiente el producto de una cotasuperior para la restriccin por (1-).

=

+m

j

ijij Mbxa1

)1(

De esta forma cuando la variable auxiliar toma el valor 1 el termino de la derecha quedareducido a bi. Por otra parte, cuando =0, la restriccin resultante es

=

+m

j

ijij Mbxa1

Seleccionando un valor adecuado para la constante M se consigue que la restriccin sedesplace fuera de la regin de admisibilidad descrita por el resto de las restricciones delproblema, y por tanto deja de ser una restriccin activa.

B) Supongamos ahora que deseamos modelar el caso contrario, es decir, la variable auxiliar debe tomar valor unitario cuando se satisface la restriccin.

11

==

m

j

ijij bxa

Para modelar esta condicin transformamos el predicado de la izquierda de manera que suresultado sea una cantidad mayor que cero, obteniendo la implicacin equivalente:

101

= =

m

j

jiji xab

Cuando el trmino de la izquierda es estrictamente positivo el problema queda resueltohaciendo uso de lo visto en el punto X.6.1.

=

m

j

jiji Mxab1

El problema de esta acotacin surge cuando la restriccin se cumple con signo de igualdad.

En este caso el trmino de la izquierda vale cero y no queda implicado el valor unitario de .


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Para evitar este problema se recurre a considerar un valor infinitesimal > que se suma altermino independiente. Ahora la implicacin queda

101

=+ =

m

j

jiji xab

y la formulacin de la restriccin pasa a ser

=

++m

j

jiji Mxab1

)(

Es decir, cuando la restriccin inicial se cumple con signo de igualdad, el trmino de laizquierda toma el valor positivo >, y por tanto la variable tiene que ser estrictamentepositiva. El valor de la constante M ser la mayor cota superior para la diferencia

=

m

j

jiji xab1

C) Activacin de una restriccin con signo de mayor o igual en funcin de una variableauxiliar.Se trata en esta ocasin de forzar el cumplimiento de una restriccin del tipo

=

m

j

ijij bxa1

cuando una variable auxiliar tome valor 1. Como en otras ocasiones mostramos laimplicacin que se desea modelar:

=

=m

j

ijij bxa1

1

La formulacin es similar a la descrita en el caso A. Basta ahora restar al terminoindependiente el producto de cierta constante mpor (1-), obtenindose:

)1(1

=

mbxam

j

ijij

As cuando =1 la restriccin se satisface, y cuando la variable auxiliar es nula se consiguedesplazar la restriccin adecuadamente fuera de la regin de admisibilidad descrita por elresto de restricciones del problema.

D) Si se desea formular la implicacin contraria encontramos algo mas de dificultad. Elprocedimiento a seguir es similar al descrito en el apartado B.

11

==

m

j

ijij bxa

Resultando una restriccin del tipo:


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)(1

++ =

Mbxam

j

ijij

donde M es la mayor cota superior para el trmino = m

j

ijij bxa1

.

X.6.4. Aproximacin lineal de una funcin no lineal.

Existen diferentes mtodos para aproximar una funcin no lineal mediante segmentoslineales de forma que el resultado de lugar a un conjunto de restricciones lineales aincorporar en el modelo. En este apartado veremos dos posibles alternativas. En amboscasos es necesario recurrir al uso variables auxiliares binarias.

Consideremos una funcin y=f(x) tal como la mostrada en la figura. Para el intervalo deestudio se selecciona un conjunto de pares (xk,f(xk)), tantos como se desee.(k=1...n) Amedida que aumenta el nmero de pares, la aproximacin lineal es ms exacta.

A) Se definen ahora x e y de la siguiente manera:

1

)(

1

1

1

=

=

=

=

=

=

n

k

k

n

k

kk

n

k

kk

xfy

xx

Siendo 8k un conjunto de pesos que multiplican a los pares (xk,f(xk)), de manera que 0 #8k#1 k, y la suma de todos ellos es igual a 1.

x1 x2 x3 x4 xk

f(xk)f(x4)f(x3)f(x2)

f(x1)

.Para que la aproximacin sea coherente, es necesario obligar que slo dos variables 8k(k=1...n) consecutivas sean distintas de cero. De esta manera x pertenecer a uno slo delos segmentos que aproximan la curva e y tomar el valor de f(x).

Para obligar esta condicin es preciso utilizar variables auxiliares binarias k (k=1...n-1) que


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acotan a los pesos de la siguiente manera:

1

323

212

11

+

+

nn

M

Imponiendo adems la condicin de que slo una de las variables binarias sea positiva:

11

1

=

=

n

k

k

B) Se expone a continuacin un enfoque diferente que tambin utiliza variables binarias.

Ahora se divide la variable x en la suma de un conjunto de variables continuas, tantas comointervalos

=

=1

1

n

k

kzx

Cada una de estas variables zk continuas se acota dentro de su intervalo (xk,xk+1), y slo unade ellas puede ser positiva. Para lograr esto, al acotar cada variable dentro de su intervalo,se multiplican los extremos de cada intervalo por una variable auxiliar binaria. Finalmente lasuma de todas las variables binarias debe ser igual a 1.

11

1

1111

23222

12111

=

=

n

k

k

nnnnn xzx

xzxxzx

M

Queda no obstante por modelar el valor de la variable y. Para ello basta sumar lasdiferentes rectas de la aproximacin lineal, teniendo en cuenta la ordenada en el origenpara cada una de ellas.

Para el segmento (xs,xs+1), la recta que aproxima la funcin no lineal pasa por los puntos(xs,f(xs)), (xs+1,f(xs+1)), de acuerdo a la expresin:

)()()(

)(1

1s

ss

ss

s xxxx

xfxfxfy

+=

+

+

es decir

s

ss

ss

s

ss

ss x

xx

xfxfxfx

xx

xfxfy

+

=

+

+

+

+

1

1

1

1 )()()()()(


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Por tanto la variable y se puede obtener como:

s

n

s ss

ss

s

n

s sss

ss

xx

xfxfxfz

xx

xfxfy

= +

+

= +

+

+

=

1

1 1

11

1 1

1 )()()()()(

X.6.5. Restricciones disyuntivas.

El modelado lineal de ciertos problemas, tal como el problema de secuenciacin de tareas ola representacin de regiones no convexas, presenta la necesidad de formular restriccionesque no se satisfacen de forma simultnea.

Nos referimos pues a situaciones en que dos (o ms) restricciones no se pueden cumplir ala vez, (se debe satisfacer una u otra), pero que exigen la inclusin de ambas (todas) ya

que a priori se desconoce cual de ellas se va a satisfacer.

Consideremos dos restricciones genricas que no pueden cumplirse al mismo tiempo

=

=

n

j

jj

n

j

jj

dxc

bxa

1

1

La forma de satisfacer una o la otra consiste en usar una variable binaria al estilo de la

formulacin considerada en el punto X.6.3, apartado A.

2

1

1

1 )1(

Mdxc

Mbxa

n

j

jj

n

j

jj

+

+

=

=

De esta manera, cuando =1 la primera restriccin se cumple, mientras que la segundarestriccin se desplaza paralelamente a s misma en una cantidad M2 que la sita fuera dela regin de admisibilidad, de manera que no contribuye a la definicin de la misma.

En el caso en que =0, la segunda restriccin se satisface y es la primera restriccin,modificado convenientemente su trmino independiente, la que no contribuye a la formacinde la regin de admisibilidad.

Con posterioridad se analizar algn caso en el que es preciso formular restriccionesdisyuntivas, comentando el procedimiento para la obtencin de las cotas M1 y M2.

X.6.6. Modelando implicaciones lgicas sencillas.

Este apartado presenta una metodologa para modelar implicaciones lgicas entre variablesbinarias. Se trata en definitiva de introducir el modelado de tablas de verdad, donde lacombinacin de ciertos valores de unas variables implica que otra variable (auxiliar o de


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decisin) binaria tome un valor determinado.

Para comenzar pensemos en una tabla de verdad que recoge los valores posibles de dosvariables de decisin de un problema 1 y 2. En la tercera columna se representa el valor

de una tercera variable en funcin de los valores de las anteriores.

1 2 0 0 01 0 10 1 01 1 0

La forma de modelar estas implicaciones depende en gran medida de la forma de la funcinobjetivo del problema. Si la funcin objetivo tiene como criterio minimizar y el coste unitariode es positivo, si es posible la variable tomar valor nulo. Por tanto nicamente es

necesario modelar la implicacin que le otorga valor 1, correspondiente a la segunda fila dela tabla de verdad.

Cada fila se modela mediante una restriccin. As pues introduciremos una restriccin queobliga a a tomar valor 1 cuando 1 vale 1 y 2 es cero. Para ello procedemos de lasiguiente manera:

La primera parte de la restriccin esta formada por las variables 1 y 2. Si el valor de lavariable i es 1 se suma un trmino igual a la variable. Si el valor de i es cero se suma untrmino igual a (1-i ). A continuacin se escribe el signo . El trmino de la derecha de larestriccin comienza con una constante igual al nmero de variables i menos uno. A

continuacin se suma la variable implicada si sta ha de tomar valor 1 o el complemento auno de la variable si esta ha de tomar valor cero.

En el ejemplo anterior se tiene:

1 + (1- 2) 1+

Cuando 1=1 y 2 es cero el trmino de la izquierda toma valor 2 y la variable necesariamente debe ser 1. En cualquier otro caso la variable puede tomar losvalores 0 y 1, y puesto que su peso en la funcin objetivo es positivo y estamosminimizando, valdr cero.

Supongamos ahora que la funcin objetivo del problema fuera maximizar y el costeunitario de es positivo. En este caso, siempre que sea posible la variable tomarvalor 1. Es preciso modelar la primera, tercera y cuarta filas de la tabla de verdad. Elprocedimiento es similar al descrito, as pues:

(1- 1 ) + (1- 2) 1+ (1- )(1- 1 ) + 2 1+ (1- )

1 + 2 1+ (1- )

En cualquiera de los casos, para la combinacin correspondiente, una de las restriccionesobliga a la variable a tomar valor cero, mientras las dems permiten que tome valor cero


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o uno.

X.6.7. Objetivos de tipo Minimax y Maximin.

En determinadas situaciones podemos encontrar objetivos no lineales que responden aexpresiones de tipo MaxiMin o MiniMax. Es el caso, por ejemplo, en el que se desea que eltiempo mximo de finalizacin de un conjunto de N tareas (i=1...N) sea lo menor posible. Lafuncin objetivo de este problema tendra una apariencia tal como

{ }itMaxMin

1...Ni

=

Evidentemente, las variables ti (i=1...N) estarn posiblemente relacionadas con otrasvariables del problema, variables de decisin o auxiliares.

En este tipo de casos es preciso eliminar de la funcin objetivo el criterio compuesto. En elejemplo anterior bastara con definir una variable Z que se define como el mximo de las t i.

{ }itMaxZ

1...Ni==

La funcin objetivo del problema consiste ahora en la minimizacin de la variable Z. (Min Z).Siendo necesario incluir N restricciones que relacionan la variable Z con cada una de las t i.Puesto que Z es el mximo de ellas, bastar escribir:

NiZti ...1; =

Disponiendo as de una formulacin lineal.

De la misma manera, en el caso MaxiMin, se podra formular linealmente el problema como:

NitZ

sa

ZMax

i ...1

:

=

X.6.8. Regiones no convexas.

Considrese el siguiente problema de maximizar, en el que dependiendo del valor de lasvariables de decisin se obtiene una regin de admisibilidad diferente:

Max 2x1+x2sa:-x1 + x2 1, s x1 1 x1 x2 1, s x2 1

x1,x2 >= 0

Si representamos grficamente el problema, al tratarse de un modelo con dos variables de

decisin, tendremos:


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-x1 + x2 =1

x1 1

x1 x2 = 1

x2

x1

x2 1

Regin admisible

cuando x11

Regin admisiblecuando x21

Que define una regin no convexa dependiendo de los valores de las variables x 1 y x2. Laforma de modelar esta situacin pasa necesariamente por la inclusin de variables binariasauxiliares. En definitiva existen dos conjuntos de restricciones diferentes que no se puedensatisfacer de forma conjunta. Para resolver este problema utilizamos una formulacin similara la de conjuntos de restricciones disyuntivas.

A) x1 1En este caso se satisfacen las restricciones

-x1 + x21: x1 1

las modelamos incluyendo en el trmino independiente una variable auxiliar 1,cuando toma valor cero las restricciones actan.

-x1 + x21+M11x1 1+N11

Cuando toma valor 1 las restricciones no deben actuar, esto se consigue para ciertos

valores de las constantes N1 y M1, concretamente los valores que desplazanconvenientemente las restricciones hasta fuera de la regin de admisibilidad descritapor el caso x2 2.

En el grfico se observa el desplazamiento realizado sobre las restricciones con elobjetivo de que no interfieran en la regin de admisibilidad.


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x2

x1 4

-x1 + x2 =1/2

x2

x1

x1 1

x1

-x1 + x2 =1-x1 + x2 =1-x1 + x2 =1

Por tanto su formulacin sera

-x1 + x21- 1x1 1+3 1

B) x2 1De la misma manera, cuando x2 1 se deben satisfacer las restricciones

x1 x2 1

x2 1

Pero no las dos primeras (-x1 + x2 1, x1 1). Para lograr este efecto se incluye unasegunda variable auxiliar 2.

x1 x2 1+M22x2 1+ N22

cuya finalidad es exactamente la misma que en el caso de 1. Adems como lasvariables auxiliares no pueden ser positivas al mismo tiempo, es posible sustituir 2por 1-1.

De esta forma, una vez sustituidas N2

y M2

de forma conveniente, el caso analizado puedeser formulado como:

Max 2x1+x2sa:

-x1 + x21- 1x1 1+3 1

x1 x2 1-1/22x2 1+ 3 2

x1,x2 01, 2 (0,1)


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CASOS

Planificacin

1. Plan de incorporaciones en un servicio de urgencias

1.1.- Descripcin.

Las necesidades de un servicio de urgencias sanitarias, en trminos del nmero de ATSnecesarios durante cada hora del da, se ha estimado en diATS entre la hora i-sima y lai+1, para una particin del da en intervalos de una hora.

Cada ATS ha de iniciar un servicio a una hora dada, disponiendo de un descanso de unahora de duracin que podr ser tomado despus de tres, cuatro o cinco horas de habercomenzado su trabajo. Posteriormente continuar su jornada laboral hasta completar las 8horas de trabajo recogidas en su contrato. Incluyendo el descanso, cada ATS permanecepues en el centro durante 9 horas consecutivas.

El coste de un/a ATS que inicia su jornada laboral en la hora i-sima es de ci pts/da.

Se desea obtener un calendario de incorporaciones al servicio de manera que el costediario del mismo sea mnimo. Supngase que se dispone de una plantilla mxima de MATS.

1.2.- Formulacin del modelo.

1.2.1.- Horizonte.

Se plantean dos posibles horizontes. En primer lugar se podra considerar un horizontecorrespondiente a un nico da. En este caso la demanda de las primeras horas del dadebe ser cubierta por la incorporacin de ATS en la primera hora. Del mismo modo, no sepodrn realizar incorporaciones en las ltimas horas del da, pues los ATS incorporados nocumpliran sus 8 horas de trabajo durante el horizonte del problema.

Otra posibilidad consiste en considerar un horizonte temporal infinito, en el que se planifica

un da de trabajo. En este caso los ATS incorporados en las ltimas horas del da anteriorestaran disponibles al inicio de una nueva jornada laboral. La formulacin del problema eneste caso corresponde a un plan diario de incorporaciones que se repetira da tras da deforma indefinida.

El horizonte infinito sugiere el modelado del problema en rgimen permanente. Esto es, seconsiderara un da cualquiera, precedido de un comportamiento similar en el da anterior yal que sigue un plan exactamente igual el da posterior. La dificultad de la puesta enprctica de la solucin del modelo radica en el primer da de trabajo, que no podr tener encuenta incorporaciones realizadas en las ltimas horas del da anterior.

En principio se realizar el modelado del problema considerando un horizonte infinito,

posteriormente se ajustar el primer da de funcionamiento.


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1.2.2.- Variables.

Las variables propias del problema representan el nmero de ATS que se deben incorporaren la hora i-sima, y que representaremos mediante Xi (i=0,...,23). El nmero de ATSincorporados en la i-sima hora se compone de aquellos que descansan despus de tres(Xi3), cuatro (Xi4) y cinco (Xi5) horas del inicio de su jornada laboral.

Puesto que el nmero total de ATS incorporados en la hora i se obtiene como suma deaquellos que descansan tras trabajar tres, cuatro y cinco de horas, se usarn nicamente

las variables Xij (j=3,4,5), que proporcionan mayor informacin.

1.2.3.- Restricciones.

1.2.3.1.- Restricciones de satisfaccin de la demanda.

Para cada hora del da se debe satisfacer la demanda de Asistentes TcnicosSanitarios. La ilustracin 1 muestra un esquema del nmero de ATS que seencuentran trabajando durante la hora i-sima. Son todos aquellos incorporadosdesde la hora i-8 hasta la i-sima excepto los que se encuentran descansando, es

decir, los incorporados en i-3 que descansan en la tercera hora, los que comienzansu jornada en i-4 y descansan tras cuatro horas y los que comenzaron a trabajar eni-5 y descansan despus de cinco horas de trabajo.

X+X+X=X i5i4i3i

ii-1i-2i-3i-4i-5i-6i-7i-8

xi-8, j

j=3,4,5

xi-7, j

j=3,4,5

xi-6, j

j=3,4,5

xi-4, j

j=3,4,5

xi-2, j

j=3,4,5

xi, j

j=3,4,5

xi-5, j

j=3,4,5

xi-3, j

j=3,4,5

xi-1, j

j=3,4,5Incorporacioneshasta la horai-sima

Descansandurante la horai-sima

xi-3, 3

xi-4, 4

xi-5, 5


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As pues, el nmero de ATS que se encuentra disponible en la hora i-sima, debersatisfacer la demanda de dicha hora di. Esta restriccin se puede expresar como:

En el caso en que se considere como horizonte un nico da, esta restriccin slotendra validez para i=8,...,15. Siendo necesaria su particularizacin para lasrestantes horas del da. Para i < 8 el primer sumatorio deber comenzar para k=0.Si i 15 elprimer sumatorio finalizara en K=15, ya que la incorporacin de ATS en horasposteriores supondra el incumplimiento de su jornada laboral de 8 horas (trabajaranun nmero menor de horas).

En el caso de horizonte infinito es necesario extender la restriccin a un nmero dehoras mayor de 24, concretamente desde i=8,...,31. Permitiendo as laincorporacin de ATS durante la ltima hora del da ( i=23) que finalizan su jornadatras 9 horas de trabajo, es decir en i=31. Adicionalmente ser necesario imponerXij = Xkj (i=0,...,7 ; k=24,...31; j=3,4,5), es decir, el nmero de ATS que se incorporanen las primeras horas del da coincide con el nmero de los que se incorporan enesas mismas horas del da siguiente.

1.2.3.2.- Limitacin de la plantilla de ATS.

El enunciado del caso indica la existencia de una cota superior M para el nmero deATS que se pueden contratar durante un da. En este caso, la suma de los ATSincorporados durante cada una de las 24 horas del da no podr superar el valor M.Esta acotacin se puede expresar como sigue:

En el caso de realizar la planificacin para un nico da, la restriccin anteriordebera ser modificada. El primero de los sumatorios finalizara para i=15.Recordemos que en este caso no se pueden realizar incorporaciones a partir de ladiecisieteava hora del da (i=16), pues los ATS no podran finalizar su jornada laboralen el horizonte de planificacin.

1.2.4.- Objetivo.

8,...,23=idXXXX --- i5,5-i4,4-i3,3-ikj5

3j=

i

8-i=k

3,4,5=j;24,...,31=k;0,...,7=sXX

8,...,31=idXXXX

=

---

kjsj

i5,5-i4,4-i3,3-ikj

5

3j=

i

8-i=k

MX ij5

3j=

23

=0i


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El objetivo del problema consiste en la minimizacin del coste diario de contratacin depersonal sanitario en el servicio de urgencias. Un ATS que se incorpore en la hora i-simasupone un coste diario de ci pts.

En el caso de horizonte infinito:

1.2.5.- Modelo.

A continuacin se muestra el modelo completo para la situacin descrita en el enunciado,

en el caso de considerar la planificacin de la contratacin diaria dentro de un horizonteinfinito (rgimen permanente).

Xc iji

5

3j=

23

=0i

MIN

3,4,5=j;24,...,31=k;0,...,7=sXX

8,...,31=idXXXX

=

---

kjsj

i5,5-i4,4-i3,3-ikj

5

3j=

i

8-i=k

MX

ij

5

3j=

23

=0i

3,4,5=j0,...,31,=i0;Xij

1.3.- Mejoras sobre el modelo.

1.3.1.- Variables.

Hasta el momento no se ha comentado nada acerca de la integridad de las variables delproblema. En principio, el nmero de ATS que se incorporan durante una hora del da se hatomado simplemente 0. En realidad puede no tener excesivo sentido el hecho de

incorporar un nmero fraccionario de ATS. En este caso sera preciso forzar uncomportamiento entero para todas las variables del problema Xij i=8,...,31; j=3,4,5. Estosupone la resolucin de un problema con 72 variables enteras de las que nicamenteconocemos una cota inferior de valor cero y una no muy buena cota superior de valor M(aunque se sospecha que todas las variables quedarn muy alejadas del valor de dichacota superior).

El esfuerzo computacional necesario para la resolucin del problema quizs no compensela exactitud aportada por una solucin entera. Posiblemente baste con la obtencin casiinmediata de la solucin ptima continua y su posterior redondeo hasta alcanzar unasolucin entera. Este dilema exactitud-rapidez se presentar con frecuencia en la resolucinde problemas lineales mixto-enteros. La eleccin adecuada depender de las necesidadesy condicionantes concretos de cada situacin.

Xc iji

5

3j=

23

=0i

MIN


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21

1.3.2.- Modelado del primer da.

Como se coment anteriormente, la solucin del modelo propuesto minimiza el coste decontratacin de personal durante un da. Se ha considerado la planificacin diaria dentro deun horizonte infinito, de manera que se conecta el plan de un da con las contratacionesrealizadas en las ltimas horas del da anterior y primeras del siguiente. Sin embargo, elmodelo no aporta una solucin para la puesta en marcha del plan de contratos, ya que lasolucin considera que en las primeras horas del da trabajan algunos ATS incorporados enel da anterior. Por ello es preciso modelar aparte la situacin del primer da, hacindolaencajar con la solucin permanente de que disponemos.

Sean Xij* los valores ptimos de las variables para el modelo descrito en el apartado 2.5.En ese caso, para el primer da (puesta en marcha del plan de contratacin) se puedeformular un modelo similar al descrito en el citado apartado:

Xc iji

5

3j=

23

=0i

MIN

3,4,5=j;16,...,23=iXX

0,..,2=idX

3=idXX

4=idXXX

5,...,7=idXXXX

8,...,15=idXXXX

*=

-

--

---

---

ijij

ikj

5

3j=

i

=0k

i3,3-ikj

5

3j=

i

=0k

i4,4-i3,3-ikj

5

3j=

i

=0k

i5,5-i4,4-i3,3-ikj

5

3j=

i

=0k

i5,5-i4,4-i3,3-ikj

5

3j=

i

8-i=k

MX ij5

3j=

23

=0i

1.4.- Consideraciones finales.

Merece la pena destacar la simplicidad de la situacin que se est modelando, y pese aesto, la complejidad de la formulacin propuesta. Posiblemente una situacin ms realista

conllevara la posibilidad de realizar guardias (lo que se traducira en la permanencia de

3,4,5=j0,...,23,=i0;Xij


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ciertos ATS durante dos turnos de trabajo as como un aumento de los emolumentospercibidos por los mismos, usualmente mayor al que les correspondera por un segundoturno).

Tampoco se han tenido en cuenta posibles costes fijos como los debidos al alta en plantillade los ATS. Su consideracin podra suponer un aumento en el nmero guardias solicitadasa los ATS, en detrimento del nmero de ATS que se mantienen en plantilla.


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2. Elaboracin de pizzas en hora punta.

2.1. Descripcin.

La cadena de Pizzeras Mamma Ma ha observado que durante una hora determinada delda la venta de Pizzas alcanza un valor muy importante, concentrndose la misma en tres tiposde productos, Pizzas tipo A, B, C. La demanda de pizzas A supone un 50%, y las de tipos B yC un 30% y 20% respectivamente. La cadena dispone de un tipo estndar de establecimiento,de manera que en cada uno de ellos, la elaboracin de pizzas queda encargada a un operarioque dispone de dos hornos, llamados H1 y H2. Con el fin de evitar mezclas de sabores, ladirectriz de la compaa consiste en que en los hornos H1 se elaboren nicamente pizzas A yB, mientras en los H2 se prepararn tipos A y C.

Los tiempos de paso por horno de los productos son conocidos, T1A, TB, TC y T2A. Cadaestablecimiento dispone de un nmero mximo de bases para pizzas, NP, con el objetivo deatender las necesidades de la hora en cuestin.

Se desea construir el plan de produccin para esa hora punta, para cada establecimiento, demanera que se satisfaga en lo mayor posible la demanda. Es necesario tener en cuenta queen ningn caso se deben producir ms de dos Pizzas del mismo tipo consecutivas (en elmismo horno), para evitar que se enfren, pues la experiencia demuestra que esto suponeelevada prdidas al ser rechazadas por los clientes.

2.2. Discusin.

En un primer momento supondremos que un nico operario se encarga de los dos hornos.De esta manera, cuando un horno procesa una pizza, el otro horno est vaco. Esta

consideracin facilita el modelado de restricciones de consecutividad en la elaboracin depizzas, es decir, resulta sencillo impedir que no se horneen dos pizzas consecutivas delmismo tipo en el mismo horno, entendiendo que el turno de descanso en el horno rompe laconsecutividad. La dificultad que presenta esta condicin queda de manifiesto en elsiguiente ejemplo:

H1

H2

A

A

AA

C

Se procesan tres pizzas tipo A de forma consecutiva en el horno H1. Es imposible conocer apriori el numero de bases a tener en cuenta para evitar este problema. El modelado que seformula a continuacin impedir que mas de dos pizzas consecutivas de la cadena debases de pizzas vayan al mismo horno, pero podra ocurrir algo como lo que se muestra enel gfico anterior, esto es, en el horno 1 entran tres pizzas seguidas del tipo A, aunque en lacadena no ocupen lugares consecutivos. Para evitar este problema se formularposteriormente un modelo mas complejo.

2.3. Formulacin del modelo simple.

2.3.1. Variables.

Tomaremos como variables de decisin las siguientes


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0

1

casootroEn

pizzasparabasesdecadenaladesima-jposicinlaocupaitipopizzalaSi

ij

donde el ndice i toma los valores recogidos en la siguiente tabla

i Tipo de Pizza Horno1 A 12 A 23 B 14 C 2

y j=1.....NP, siendo NP el nmero de bases de pizzas disponibles, NP D para unademanda conocida de D pizzas en hora punta.

2.3.2. Restricciones.

2.3.2.1. Cada base da origen a una pizza.

Por cada posicin de la cadena slo se producir un tipo de pizza. es decir, laposicin j-sima dar lugar a una pizza de uno de los tipos y en uno de los hornos.

=

==4

1

....11i

ij NPj

2.3.2.2. Satisfaccin de fracciones de demanda.

En principio podra parecer conveniente modelar las demandas como pesos de losdistintos tipos de pizzas en la funcin objetivo del modelo. Sin embargo, estasolucin no conlleva la satisfaccin de la demanda, por tanto resulta masconveniente incluir restricciones que obliguen a producir pizzas en las proporcionesrequeridas.

Pizzas tipo A

= =

2

1 1

5.0i

NP

J

ij D

Pizzas tipo B

=

NP

J

j D1

3 3.0

Pizzas tipo C

=

NP

J

j D1

4 2.0

2.3.2.3. Restriccin de tiempo de procesado.


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Esta restriccin obliga a que se termine la fabricacin de pizzas dentro del intervalotemporal de la hora de mxima venta. En realidad no es preciso formular estarestriccin, salvo que se desee comprobar si es posible realizar todo el trabajo en elplazo de una hora. Suponiendo que los tiempos de procesado estn expresados enminutos, de acuerdo a la siguiente tabla, la restriccin se formula como:

Datos de tiempo de procesadoTipo A Tipo B Tipo C

Horno 1 t1A tB -Horno 2 t2A - tC

60)(1

432211 +++=

NP

j

jCjBjAjA tttt

2.3.2.4. Restricciones de consecutividad.

Para formular esta restriccin, estamos suponiendo que mientras una pizza seelabora en un horno, el otro horno descansa, por eso tiene sentido la sumaacumulada de tiempos en la restriccin anterior. Posteriormente veremos unmodelado ms realista de esta situacin. Con la suposicin anterior la restriccin seformula impidiendo que mas de dos pizzas consecutivas en la cadena de bases seandel mismo tipo:

NPjiijijij ...1;4,3,2,1221 ==++ ++

Si la pizza j-sima es de tipo i y la j+1-sima tambin, entonces la pizza j+2-sima nopodr ser del mismo tipo.

2.3.3. Funcin Objetivo.

El objetivo consiste en minimizar el nmero de pizzas necesarias para satisfacer lademanda.

= =

NP

j i

ijMin1

4

1

2.4. Modelo realista.

Se trata de un modelo alternativo formulado para conseguir que no se procesen dos pizzasconsecutivas en el mismo horno aunque ocupen lugares distantes en la cadena de basesde pizzas. Ahora se considera que los dos hornos trabajan simultneamente, lo que resultamas realista a la vez que disminuye el tiempo total de elaboracin del conjunto de pizzas.Consideraremos dos filas o cadenas de pizzas, una para cada horno. La suma del nmerode bases de pizzas de las dos filas ser igual al nmero de bases disponibles NP. Nuestroproblema radica ahora en la determinacin de la longitud de cada una de las cadenas, demanera que puedan ser usadas como lmites en los sumatorios correspondientes.

El clculo de las longitudes de las filas de pizzas se realizar de manera que ambos hornos


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terminen su trabajo al mismo tiempo, siempre que esto sea posible. Adems, todas laspizzas tipo B se elaborarn en el horno 1 y las de tipo C en el horno 2. para ellosupondremos inicialmente que se ha de satisfacer la demanda de pizzas tipo B y C,posteriormente repartiremos las pizzas tipo A entre las dos filas.

El nmero de pizzas tipo B que denotaremos por NB ser igual al entero superior a 0,3 D.

DNB 3,0=

El nmero de bases reservadas para pizzas tipo C, NC, ser el entero superior al 20% de lademanda de la hora punta.

DNC 2,0=

Denotaremos mediante NA1 el nmero de pizzas tipo A que se elaborarn en el horno 1, y

sea NA2 el nmero de pizzas tipo A que se procesan en el horno 2. Entonces, si se deseaequilibrar los tiempos de trabajo en los dos hornos:

CABA tNCtNAtNBtNA +=+ 21 21

Adems DNANA 5,021 + . Podremos suponer en un principio que se cumple con signode igualdad, tendremos as una cota inferior del nmero de pizzas tipo A. Las dosecuaciones anteriores permiten despejar el valor de NA1 y NA2.

Sean NP1 y NP2 las longitudes de las dos filas de pizzas correspondientes a los hornos 1 y2. La suma de ambas debe ser igual a NP, adems NP1 NA1+NB y NP2 NA2 + NC.

Tomaremos NP1=NA1+NB+ (NP-T)/2 y NP2=NA2+NC+ (NP-T)/2 donde T recoge la sumade NA1, NA2, NB y NC, siendo T NP. Posteriormente, si es necesario, se redondean NP1y NP2 de manera que sumen NP.

2.4.1. Variables.

Ahora para cada una de las filas escogeremos un tipo de variable de decisin binaria, deacuerdo a:

0

1

casootroEn

1hornoenpizzasparabasesdecadenaladesima-jposicinlaocupaB)(A,itipopizzalaSi

ij

0

1

casootroEn

2hornoenpizzasparabasesdecadenaladesima-jposicinlaocupaC)(A,itipopizzalaSi

ij

donde el ndice i toma los valores recogidos en la siguiente tabla

i Tipo de Pizza Horno1 A 12 A 23 B 14 C 2


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2.4.2.1. Cada base en cada fila se destina a un nico tipo de pizza.

12

1

1

1

= =i

NP

j

ij 12

1

1

1

= =i

NP

j

ij

2.4.2.2. Satisfaccin de la demanda de cada tipo de pizza.

Pizzas tipo A

= =

+1

1

2

1

21 5.0NP

J

NP

j

jj D

Pizzas tipo B

= 1

1

3 3.0

NP

J

j D

Pizzas tipo C

=

2

1

4 2.0NP

J

j D

2.4.3.3. Restricciones de consecutividad en cada una de las filas.

1...1;3,1221 NPjiijijij ==++ ++

2...1;4,2221 NPjiijijij ==++ ++

2.4.3. Funcin Objetivo.

El objetivo consiste en minimizar el nmero total de pizzas elaboradas:

= = = =

+3,1

1

1 4,2

2

1i

NP

j i

NP

j

ijijMin


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3. Programacin de una cadena de televisin

3.1. Descripcin.

Una cadena de T.V. pretende realizar la programacin de espacios para 8 horas. Para ellodispone de un conjunto de programas de los que se conoce su duracin (vase la tabla 1).

Por otra parte, para cada una de las 8 horas, se conoce el nmero de personas que hayviendo la televisin, es decir, la audiencia total (vase la tabla 2). Adems, se disponen dedatos sobre la cuota (en tanto por cien) de audiencia que obtiene dicha cadena de T.V. si undeterminado programa se proyecta una hora dada de las ocho en cuestin (vase la tabla3).

El problema que se plantea es decidir qu programa se transmite cada hora con el criteriode maximizar la audiencia durante las ocho horas consideradas.

Tabla 1Program Duracin

1 32 43 34 15 16 27 18 2

9 110 1

Tabla 2Hora Audiencia

1 5000002 4500003 4000004 4500005 4500006 5000007 550000

8 550000

Tabla 3H H H H H H H H

P1 33 20 40 50 60 21 19 14P2 56 45 32 23 25 78 90 21P3 76 12 23 43 56 76 34 23P4 87 28 25 24 34 54 74 33P5 21 32 43 54 65 76 56 34

P6 16 19 21 23 25 32 34 35P7 76 14 24 28 65 45 34 90P8 10 8 9 11 12 15 23 24P9 25 34 33 36 37 56 45 34P10 44 54 56 76 87 76 65 54


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Se desea modelar el problema mediante programacin lineal en notacin compacta. Seconsiderar que los programas se emiten sin cortes, es decir, una vez que un programacomienza a emitirse no se interrumpe su emisin.

3.2. Formulacin del modelo.3.2.1. Horizonte.

Se modelar el problema con un horizonte temporal correspondiente a las 8 horas deemisin de la cadena de televisin. De esta manera se considerar el ndice i pararepresentar las horas a programar, el ndice j para los diferentes programas. Denotaremosmediante Ai al valor de la audiencia total, en nmero de personas, en la hora i-sima . Djrepresentar la duracin del programa j-simo. Finalmente representaremos por cij al valorde la cuota de audiencia, en tanto por ciento, que obtiene la cadena de televisin al emitir elprograma j-simo durante la hora i-sima.

DatosI Horas de programacin (i=1...8)J Programa a emitir (j=1...10)Ai Audiencia total correspondiente a la hora i-simaDj Duracin del programa j-esimoCij

3.2.2. Variables.

Para modelar el problema usaremos dos conjuntos de variables binarias, tal y como sedefinen a continuacin.

=casootroEn0

isimahoraladuranteemisinsucomienzasimo-jprogramaelSi1ij

=casootroEn0

simo-jprogramadelemisinlaporcubiertaestsima-ihoralaSi1ij

De esta manera se podr conocer la hora de emisin de cada programa y que programa seest emitiendo durante cada una de las ocho oras de programacin.


3.2.3.1. Emisin nica de programas

En primer lugar, cada programa se emite a lo sumo una vez, por tanto, sumandopara todas las horas de programacin, la suma de variables que indican el inicio decada programa debe ser 1. El signo corresponde a la posibilidad de que undeterminado programa no se emita.

=

=8

1

10...11i

ij j


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3.2.3.2. Acotacin de la longitud de programas segn hora de inicio.

La duracin de un determinado programa, cuando comienza su emisin, debe sermenor que el nmero de horas que restan para que finalice la programacin. De otramanera algn programa tendra que alargar su emisin fuera de las 8 horas deprogramacin de la cadena.

10...1;8...118 ==+ jiiD ijj

3.2.3.3. Cada hora de programacin se aprovecha para emitir algn programa.

Cada hora de programacin debe quedar cubierta por uno y solo uno de losprogramas preparados para emisin. Basta igualar a 1 la suma en j (para todos losprogramas) de las variables que indican que programa cubre la hora i-sima.

= ==10

18...11

j

ij i

3.2.3.4. Continuidad en la emisin de cada programa.

Cuando un programa comienza a emitirse en la hora i-esima, todas las horas quevan desde i hasta la de finalizacin del programa deben quedar cubiertas por elprograma que est siendo emitido. De otra forma podra existir discontinuidad en laemisin de programas. Esta restriccin de continuidad se formula:

10...1;)18...(1

1

=+= +

=

jDiD j

Di

ik

kjijj

j

3.2.3.5. Prohibicin de emisin de programas incompletos.

Por ltimo hay que garantizar que si un programa no comienza a emitirse en ningunahora no pueda ser visto en otras horas. La falta de esta restriccin podra acarrear laaparicin de un programa que se ha decidido no emitir en determinadas horas.

10...188

1

=

==

jDii

ij

i

ijj

3.2.4. Funcin objetivo.

Consiste en maximizar la audiencia total durante las ocho horas de programacin de lacadena de televisin. Se usan las variables ij ya que indican el programa que esta siendovisto en cada una de las horas de programacin.

= =

8

1

10

1100i jijij

i cA

Max


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31

3.2.5. Modelo del caso.

= =

8

1

10

1100i jijij

i cA

Max

sa:

=

=8

1

10...11i

ij j

10...1;8...118 ==+ jiiD ijj

=

==10

1

8...11j

ij i

10...1;)18...(1

1

=+= +

=

jDiD j

Di

ik

kjijj

j

10...188

1

=

==

jDii

ij

i

ijj

=casootroEn0

isimahoraladuranteemisinsucomienzasimo-jprogramaelSi1ij

=casootroEn0

simo-jprogramadelemisinlaporcubiertaestsima-ihoralaSi1ij


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4. Planificacin de una explotacin minera

4.1.- Descripcin.

Una compaa minera desea componer un plan de explotacin de minas para los prximos5 aos. La zona geogrfica objeto del estudio contiene cuatro minas. Durante cada ao lacompaa podr extraer mineral de a lo sumo tres de las minas.

A efectos de la empresa, las minas pueden estar declaradas AExplotable@ o ANoexplotable@. En el primer caso, por cada mina con posibilidad de explotacin, la compaadebe pagar determinados royalties a la propiedad. El valor de los mismos para el primer aode planificacin se muestran en la Tabla 1. Si una mina est declarada como AExplotable@la compaa puede o no realizar extraccin de material durante cada uno de los aos delhorizonte de planificacin.

Si la compaa no ha adquirido derechos de explotacin de una mina, sta queda declaradacomo ANo explotable@, con lo que no se podr extraer material durante los cinco aos quedura cada plan de extracciones. En el caso de que la empresa declare ANo explotable@ unamina abierta, dejara de pagar royalties a la propiedad y no podra extraer material durantelos aos que resten hasta finalizar el perodo de planificacin.

Los lmites de extraccin de las diferentes minas se recogen en la Tabla 2, y permanecenconstantes durante el perodo de explotacin.

Mina Royalties Mina CapacidadM Toneladas

1 5 1 2

2 4 2 2,5

3 5 3 1,3

4 5 4 3

Tabla 1 Tabla 2

La calidad del mineral (% mineral puro sobre material extrado) que se extrae de cada unade las minas se resume en la Tabla 3. La calidad prevista que exige el mercado puederesumirse para cada ao del horizonte de extracciones en la Tabla 4.

Mina Calidad Ao Calidad exigida

1 0.95 1 0.9

2 0.7 2 0.8

3 0.99 3 0.85

4 0.5 4 0.6

Tabla 3 5 0.95

Tabla 4


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El precio de venta de material extrado es de 10$/Ton. y los royalties se incrementananualmente en un 10%. Supngase conocida la demanda mnima del mercado y con valor

dt (t=1,..,5).4.2.- Formulacin del modelo.

4.2.1.- Horizonte.

El horizonte de planificacin se extiende a cinco aos. Parece necesario utilizar en ladefinicin de las variables un ndice t (t=1,..,5) que recoja el ao en curso. Durante esteperodo ser necesario identificar aquellas minas sobre las que la compaa debe adquirirderecho de explotacin as como la posibilidad de renunciar al mismo cuando no convengacontinuar con la extraccin de mineral.

Para cada mina con posibilidad de extraccin es preciso determinar la cantidad de mineralextrado de manera que la mezcla de mineral procedente de las diferentes minas satisfagalas demanda del mercado y la calidad exigida por el mismo.

4.2.2.- Variables.

Las variables naturales del modelo representan la cantidad de mineral que debe serextrado de cada mina durante cada uno de los aos que durar el plan de explotacin.Dichas cantidades se representarn mediante la letra X afectada de dos subndices, elprimero de ellos (i) hace referencia a cada una de las minas y el segundo (t) al ao dentrodel horizonte de planificacin.

As pues contaremos con 20 variables Xit ; i =1,...,4 ; t =1,...,5. Las cantidades extradassern mayores o iguales a cero, y en principio parece adecuado considerar estas variablescomo continuas, pues no se deduce del modelo la necesidad de extraer un nmero enterode toneladas de mineral.

La compaa se debe plantear adicionalmente algunas decisiones de carcter todo o nada.Al inicio del horizonte de explotacin debe considerar la idea de conseguir los derechos deexplotacin de algunas de las minas, sin el que sera imposible la extraccin de mineral endichas minas. Del mismo modo, aunque posea derecho de explotacin sobre unadeterminada mina, la compaa debe decidir si extrae o no mineral de la misma. Elmodelado de este tipo de decisiones obliga al uso de variables enteras que representen el

carcter todo-nada (si-no). Estas tipo variables de decisin se denominan variables 0-1.

De forma concreta, se necesita un conjunto de variables 0-1 para la adquisicin dederechos de explotacin y otro para decidir si se realiza o no la extraccin de mineral. Las

primeras variables se representarn mediante ity las segundas como it. Los subndicesempleados mantienen el mismo significado que en el caso de las variables Xit.Formalmente:


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4.2.3.- Restricciones.

4.2.3.1.- Imposibilidad de extraccin de mineral.

Si la compaa no adquiere el derecho de explotacin de una mina ( o no dispone del por no haberlo adquirido con anterioridad) no podr extraer mineral de dicha mina.Esta restriccin relaciona dos de las decisiones estratgicas de la empresa, laadquisicin de derecho de explotacin y la decisin de extraer o no material.

Si la correspondiente variable toma valor cero (No existe derecho de explotacinde una mina en un determinado ao) entonces la variable debe valer cero (No esposible la extraccin de mineral). Este tipo de relacin entre variables responde a laimplicacin lgica: ASi =0 entonces =0". Adems, en el caso en que =1 no se

impone restriccin alguna sobre la variable .

El modelado lineal de este tipo de implicaciones es sencillo, basta con acotarsuperiormente la variable con . As, si la segunda toma valor cero necesariamente tomar valor cero.

En el caso en estudio se formularn 20 restricciones de este tipo, una para cadamina y ao del perodo de planificacin.

4.2.3.2.- Acotacin en el nmero de minas activas.

Durante cada uno de los aos del horizonte de planificacin, la compaa puede, a losumo, extraer mineral de tres de las minas. Puesto que es la variable indicativa deextraccin, la suma extendida a todas las minas de dicha variable debe ser menor oigual a 3.

5,...,1=t;4,...,1=i

casootroEn0

taoeleniminalade

mineralextraecompaialaSi1

=

casootroEn0

taoeleniminalaparanexplotaciodederecho

adquiereotienecompaialaSi1

=

it

it

5,...,1=t;4,...,1=iitit

5,...,1=t3it4

1=i


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4.2.3.3.- Prdida de derecho de explotacin.

Una de las decisiones clave de la planificacin de extracciones consiste en laadquisicin o no de derecho de explotacin de las minas, as como mantener o noese derecho durante los cinco aos que dura el plan de explotacin. Si inicialmente(ao 1) no se adquiere el derecho sobre una mina, no ser posible hacerlo hasta quefinalice el quinquenio. Por este motivo podra ser interesante comprar el derecho detodas las minas para posteriormente, el segundo o tercer ao de explotacin,renunciar al mismo con el consiguiente ahorro en el pago de royalties. En cualquiercaso esta opcin y todas las posibles debern quedar recogidas en el modelopropuesto. La resolucin del mismo proporcionar la estrategia ptima.

En lo que respecta a la formulacin de una restriccin para la prdida de derecho deexplotacin de las minas, nicamente sabemos que la renuncia al derecho deexplotacin durante un ao supone la renuncia hasta el final del perodo deexplotacin. Se trata pues de ligar la misma decisin en cada par de aos

consecutivos.Tcnicamente la implicacin a formular es similar a la anterior, usando en estaocasin variables con el mismo significado para aos consecutivos. Es decir:

Si en el ao t la compaa no dispone de derecho para explotar la mina i, tampocolo tendr en el ao t+1. Un valor cero para it obliga a la variable i t+1 a tomartambin el valor cero.

4.2.3.4.- Limitacin en las cantidades extradas.

La capacidad anual de extraccin para cada mina (miles de toneladas) se muestraen la Tabla 2. Para simplificar la formulacin, llamaremos Ci al lmite mximo deextraccin en la mina i. En principio esta cantidad se mantiene constante durante elperodo de planificacin. La restriccin tpica de limitacin en la cantidad a producirse formulara de la siguiente forma:

Es decir, la cantidad de mineral extrado de la mina i en el ao t debe ser menor oigual que la cantidad mxima que es posible extraer de la mina i, Ci. Sin embargo,este tipo de restricciones puede ser mejorado.

Cuando la compaa no realiza extraccin en una mina, o cuando no se dispone dederecho de explotacin de la misma, la correspondiente variable it toma valor cero.

En este caso no se extrae mineral de la mina i (Xit=0). Parece lgico incluir estalimitacin en las restricciones anteriormente comentadas. Para ello, puesto que el

5,...,1=t;4,...,1=iit1+ti

5,...,1=t;4,...,1=iCiXit


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trmino independiente es una constante, basta con multiplicarlo por la variable it.As, cuando it=0 se fuerza que Xit=0.

Este tipo de restricciones, acotacin de una variable continua mediante el productoentre una variable binaria y una constante, aparece con mucha frecuencia en elmodelado lineal de problemas. La dificultad habitual consiste en fijar el valor de laconstante que acta como cota superior cuando la variable binaria toma valor 1.

4.2.3.5.- Satisfaccin de la demanda del mercado.

La suma de las cantidades de mineral extrado debern satisfacer la demanda anualprevista de mineral, que representaremos mediante dt (t=1,...,5) como se sugiere en

el ltimo prrafo de la descripcin.

Tendremos cinco restricciones, cada una correspondiente a un ao del horizonte deplanificacin.

4.2.3.6.- Satisfaccin de la exigencia de calidad del mercado.

Adicionalmente a la demanda anual del mercado (que suponemos expresada enmiles de toneladas) existe una exigencia anual prevista respecto a la calidad delmineral demandado. Esta exigencia puede actuar elevando la cantidad de mineral aextraer de algunas minas en particular (aquellas que producen un mineral ms puro,de mayor calidad), de manera que la mezcla final adquiera mayor pureza.

El conjunto anterior de restricciones relaciona, para cada ao, la calidad exigida por

el mercado con las cantidades y calidades de mineral extradas de cada una de lasminas. Obsrvese la formulacin lineal de cada una de las restricciones. Se haconsiderado que la calidad del mineral obtenido tras la mezcla (de los mineralesprocedentes de cada mina activa) se obtiene de forma aproximada como una mediaponderada de las calidades de cada mina. Puesto que la demanda (2.3.5) puede nosatisfacerse con signo de igualdad, pude ser mas exacto considerar unarestricciones del tipo:

5,...,1=t;4,...,1=iC iti Xit

5,...,1=td tX it

4

=1i

5,...,1=tdQXQ ttiti 4

=1i

5,...,1=tXQXQ it4

1=i

titi 4

1=i


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Que utiliza la suma de cantidades extradas para calcular la calidad media delmineral obtenido tras la mezcla. Ambas restricciones coinciden cuando lascantidades extradas satisfacen exactamente la demanda. La equivalencia de ambostipos de restricciones se podr analizar con mayor profundidad tras la formulacin dela funcin objetivo.

Si un aumento de las cantidades extradas supone un aumento de los beneficiosesperados, es decir, es posible la venta del exceso sobre la demanda, la cantidadtotal extrada ser superior a la demanda. En este caso la formulacin tipo (2) paralas restricciones de calidad es ms adecuada.

Si la funcin objetivo del problema consiste en la minimizacin de costes asociadosal proceso de extraccin, por ejemplo cuando el exceso de mineral extrado no sepuede vender y su almacenaje supone un coste adicional o cuando es precisoabandonarlo, la cantidad de mineral extrado ser igual a la demanda. En este casoambos conjuntos de restricciones son equivalentes.

4.2.4.- Objetivo.

El objetivo del problema consiste en la minimizacin de los royalties a pagar a la propiedadde las minas. En principio no existe informacin sobre el coste de extraccin de mineral encada mina, parece adecuado suponer que este coste es similar en una u otra mina y por lotanto no es preciso su consideracin en la funcin objetivo del problema.

El mineral extrado en exceso no supone ningn beneficio para la compaa. Si es posible laextraccin de mineral satisfar con exactitud la demanda del mercado, por lo que elbeneficio esperado es conocido.

As pues, la funcin objetivo se puede formular como sigue:

dondeRitse puede expresar en funcin del royalty del primer aoRi1

4.2.5.- Modelo.

sa:5,...,1=t;4,...,1=i

itit

itit

RMin 5

=1t

4

=1i

5,...,1=t)1.1(R=R

1-t

i1it

itit

RMin 5

=1t

4

=1i


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5,...,1=t3it4

1=i

5,...,1=t;4,...,1=i

it1+ti

5,...,1=t;4,...,1=iC iti Xit 5,...,1=td tX it

4

=1i

5,...,1=tXQXQ it4

1=i

titi 4

1=i

binarias,0,X ititit

4.3.- Consideraciones finales.

Se ha formulado un modelo matemtico para la planificacin de la extraccin de mineraldurante un perodo de cinco aos. Las decisiones de la compaa consisten en laadquisicin de derechos de explotacin de las minas (variables ), la extraccin o no demineral (variables ) y las cantidades de mineral a extraer de cada mina en cada ao, Xit.Las decisiones de tipo Asi/no@ se modelan mediante variables binarias.

La situacin planteada responde a una simplificacin de la realidad. Se ha considerado queel coste de extraccin es comn para todas las minas, lo que permite su no inclusin en elmodelo. De esta forma, y dado que el mineral extrado en exceso no reporta beneficios parala compaa, el objetivo consiste nicamente en la minimizacin de costes asociados a la

explotacin (royalties).En el caso en que el mineral extrado en exceso pudiera ser vendido a un precio residual dem $/Ton, la restriccin de demanda podra ser formulada:

donde Et (t=1,...,5) son variables continuas que miden el exceso de mineral extrado para

cada ao. En este caso, la funcin objetivo del problema queda:

5,...,1=td t=E-X tit

4

=1i

( )

Em-RMin titit 5

=1t

4

=1i


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5. Estudio de la compra de aviones por una compaa

5.1.- Descripcin

Hispania Aviacin (HA) ha decidido la ampliacin de su flota mediante la adquisicin denuevos aviones, a lo que ha asignado un presupuesto de 75.000 millones. Las aeronavesconsideradas son el tipo Airbus 310 (A), que tiene un coste unitario de 3.000 millones, elBoeing 767 (B), con un coste de 4.200 millones por unidad y el Mc Douglas (M), 2.750millones por aeronave. Los estudios realizados indican que cada avin aportara unosbeneficios anuales netos de 280 millones en el caso de A, 350 en el B y 300 en el M.

Para facilitar el mantenimiento y los repuestos se desea que del nuevo grupo de aeronavesque se adquiera, uno de los tipos de avin sea dominante, adquiriendo al menos 10unidades del mismo. Adems, por razones de diversificacin y de especializacin de la flota,en el caso de que se adquiera un tipo de avin, la cantidad mnima que se compre debe seral menos de 2 unidades.

Desde el punto de vista de las necesidades de personal para el mantenimiento de losaviones, los aviones del tipo A suponen 18 millones de coste anual de personal cada uno,los de tipo B requieren 20 millones cada uno y 19 millones los de tipo M. En cuanto a lasinstalaciones de mantenimiento y al tiempo necesario para realizarlo, cada avin del tipo Arequiere un mantenimiento anual de 38 das, 45 das los de tipo B y 42 los M. La empresaHA ha asignado 1000 millones anuales de presupuesto propio para el coste del personal demantenimiento (presupuesto independiente del asignado a la adquisicin de aviones) y lasinstalaciones actuales tienen una capacidad de mantenimiento para los nuevos aviones de800 das. Podra ampliarse la capacidad de las instalaciones de mantenimiento dedicada a

los aviones nuevos desde los 800 das anuales hasta un total de 1250 das. Dicha decisinrequerira una inversin adicional de 1000 millones, que se habra de detraer de los 75000asignados para la adquisicin de los nuevos aviones. En cualquier caso, no se puedeampliar el presupuesto dedicado al personal de mantenimiento de los aviones.

Construya un modelo para estudiar la recomendacin sobre qu aviones compondrn laampliacin de la flota, con el criterio de maximizar los beneficios anuales netos queaportarn los aviones adquiridos.

5.2.- Modelado

5.2.1.- Horizonte.

Se considera un ao. Con respecto a un ao se analizan los costes de personal, laslimitaciones presupuestarias de mantenimiento, de capacidad de mantenimiento y losbeneficios netos aportados por los nuevos aviones. La adquisicin de los aviones estlimitada por la limitacin global (no temporal) del presupuesto de compra.

5.2.2.- Variables.

Son de dos tipos, variables propias y variables auxiliares.

Variables propias: Las que representan lo que se desea conocer, que en este caso son


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el nmero de aviones que se adquieren de cada tipo. Precisando, A,B y M reflejarn en el modelo el nmero de aviones de cada tipo quese recomienda adquirir.

Variables auxiliares: Surgirn durante el modelado, si es que se consideraconveniente.


Las condiciones que describen las polticas de adquisicin admisibles en la situacinconsiderada.

5.2.3.1.- Limitaciones en el presupuesto para la compra de aviones.5.2.3.2.- Limitacin en el presupuesto de mantenimiento5.2.3.3.- Limitaciones en la capacidad de mantenimiento de los aviones5.2.3.4.- Caracterizacin de las soluciones:

- Un avin dominante: De uno de los tipos de avin, al menos diezunidades

- De ninguno de los tipos de avin se puede comprar una unidad: obien no se compran aviones de ese tipo o al menos se compran dos.

5.2.4.- Criterio(s).

Las soluciones admisibles se valoran con respecto al beneficio anual neto que aportar elempleo de los aviones comprados.

5.2.5 Datos.

Valores conocidos que relacionan las variables con las limitaciones.

5.2.5.1.- En relacin con el presupuesto, el coste de adquisicin de cada tipo de avin,medido en millones de unidades monetarias (u.m.).

5.2.5.2.- En relacin con la capacidad de mantenimiento, medido en das demantenimiento anual por cada tipo de avin.

5.2.5.3.- En relacin con el presupuesto anual de mantenimiento, el coste anual demantenimiento de cada tipo de avin en millones de unidades monetarias.

5.2.5.4.- En relacin con el criterio de evaluacin, la aportacin de cada tipo de avinmedida como el beneficio unitario neto anual por avin. La unidades son millones deunidades monetarias por avin y ao.

Con estos elementos se puede construir un primer modelo aproximado:

F. Objetivo: Maximizar 280 A + 350 B + 300 M

Restricciones:

Compra (u.m.) 3000 A + 4200 B + 2750 M # 75000


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Mantenimiento (das) 38 A + 45 B + 42 M # 800Mantenimiento (u.m.) 18 A + 20 B + 19 M # 1000

A , B , M 0

5.3.- Completar el modelo.

Este modelo no tiene en cuenta ciertas consideraciones de la situacin descrita.

5.3.1.- Ampliacin de la capacidad de mantenimiento.

Primero consideramos la posibilidad de aumentar la capacidad en das de mantenimiento,desde 800 a 1250 das anuales, aplicando 1000 millones de u.m. detraibles del presupuestoinicial de compra de 75000 millones de u.m. Para ello introducimos una variable auxiliar indicadora de la aplicacin de los 1000 millones de presupuesto a mantenimiento (en cuyo

caso toma el valor 1) o bien de que no se aplique a ampliar la capacidad de mantenimiento(valor 0 de la variable). Con ello, las restricciones de compra y capacidad de mantenimientose modifican a:

Compra (u.m.) 3000 A + 4200 B + 2750 M # 75000 - 1000 Mantenimiento (das) 38 A + 45 B + 42 M # 800 + 450

5.3.2.- Tipo de avin dominante.

Para recoger en el modelo la especificacin de que al menos de un tipo de avin se han decomprar 10 unidades, introducimos variables auxiliares indicadoras A , B , M . Una de ellas

tomar el valor 1, indicando cul es el tipo de avin dominante, y las otras dos el valor 0.Las restricciones lineales auxiliares que obligan a ello se pueden escribir como,

A 10 A B 10 B M 10 M A + B + M = 1

De esta forma se obliga a que haya un tipo de avin dominante y no se impone ninguna otralimitacin sobre el nmero de aviones adquiridos de cada tipo.

5.3.3.- No se puede comprar una sola unidad de un tipo de avin.

Se ha de imponer la condicin de que en caso de comprar unidades de un tipo de avin, secompren al menos dos unidades del mismo. Para representarlo, empleamos variablesauxiliares binarias A , B , M que intervienen en las relaciones lgicas,

A = 1 implica A 2 y A = 0 implica A = 0

mediante restricciones lineales en las variables. As,

A 2 A B 2 B M 2 M

recoge la primera implicacin, mientras que para la segunda implicacin escribimos lasrelaciones,


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A Cota A B Cota B M Cota M

Si no se escriben estas ltimas relaciones el modelo considerara admisible la compra de un

solo avin de cualquiera de los tipos. Pero tampoco debe imponerse una limitacininvoluntariamente. Para ello Cotarepresenta un nmero suficientemente grande como paraque, por ejemplo, cuando A sea 1, la correspondiente relacin A Cota A sea redundantey no imponga una limitacin no deseada. Es decir, Cotadebe ser un nmero mayor que elmximo nmero de aviones tipo A que se pueden adquirir debido a las limitaciones del restode las restricciones. As, observando la limitacin del presupuesto de compra ya implica queA no supera 25 unidades, con lo que se puede escoger Cota = 25 para esta restriccin. Elmismo argumento aplicado a los dems tipos de aviones da lugar a,

A 25 A B 18 B M 28 M

5.4.- El modelo completo.

F. Objetivo: Maximizar 280 A + 350 B + 300 M

Restricciones

Compra (u.m.): 3000 A + 4200 B + 2750 M # 75000 - 1000 Mantenimiento (das): 38 A + 45 B + 42 M # 800 + 450 Mantenimiento (u.m.): 18 A + 20 B + 19 M # 1000

Avin dominante:

A 10 A B 10 B M 10 M A + B + M = 1

Nunca un solo avin:

A 2 A B 2 B M 2 M

A 25 A B 18 B M 28 M

Caractersticas de las variables:

i , i binarias para i = A, B, M; binaria; A, B, M 0 (continuas)

5.5.- Consideraciones a posteriori.

Una vez obtenido el modelo completo, es conveniente sealar sus caractersticas, laslimitaciones del modelo propuesto y lo que se puede esperar de su anlisis y resolucin.

Se ha construido un modelo lineal en sus variables. Para ello se ha optado por unaexpresin lineal de las condiciones. En este sentido, la descripcin de las relaciones queobligan a la existencia de un avin dominante tambin pueden intentarse mediante otrasexpresiones alternativas:


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5.5.1.- La suma de las variables indicadores es, al menos, la unidad.

A 10 A B 10 B M 10 M A + B + M 1

El resultado de la resolucin del modelo con estas restricciones no difiere en el valor de lafuncin objetivo del obtenido con la representacin anterior. Sin embargo, seranalternativamente ptimas soluciones con varios indicadores tomando el valor 1 en el casode que de varios tipos de avin se compraran mas de 10 unidades, lo que no suceda en laformulacin anterior. Esta formulacin tambin es correcta.

5.5.2.- Empleando solo dos restricciones:

A A + B B + M M 10 A + B + M = 1

Esta formulacin es correcta, pero su representacin es no lineal.

5.5.3.- Tambin empleando solo dos restricciones, podra intentarse:A A + B B + M M 10 A + B + M 1

para que varias variables indicadores puedan ser 1. Pero esta formulacin es incorrecta, yaque valores del nmero de aviones inferiores a 10 haran que se cumplieran lasrestricciones sin que respetaran la imposicin de un tipo de avin dominante. As, porejemplo, A = B = M = 4 con todos los valores de las variables indicadoras a la unidadsatisfacen la expresin pero no existe avin dominante (ntese que estos valores nosatisfacen la restriccin 5.2).

5.5.4.- La expresin A A 2 es vlida para A = 1, pero invlida cuando A = 0. Esto obliga aescribir A A 2 A , que no es lineal.

Otro aspecto es la decisin de obligar a que las variables A, B y M que recogen el nmerode aviones que se compran sean enteras o no. Obviamente, los valores fraccionarios deestas variables no tienen significado en un sentido estricto. Sin embargo, la complejidadaadida para el anlisis y resolucin del modelo que supondra el considerarlas comovariables enteras es probablemente superior al incremento en la precisin y realismo delmodelo que con ello se conseguira. Por estas consideraciones se prefiere modelarlas comovariables continuas y redondear convenientemente a posteriori su significado. En cuanto alas variables empleadas para escribir, mediante restricciones lineales, las condicioneslgicas que ha de satisfacer el nmero de aviones adquiridos, stas son intrnsecamentebinarias y no tiene sentido aproximarlas a partir de valores fraccionarias. Sera una

distorsin fundamental en el modelo, por lo que se asume la complejidad aadida y setratan explcitamente como variables enteras.

Finalmente, comentar el realismo del modelo. Se ha elegido un horizonte de un ao parauna gran inversin global en la adquisicin de aviones, considerando limitaciones rigurosasen las nuevas necesidades de mantenimiento que ello supondr. La importancia relativa delos tres tipos de restricciones (presupuestarias de adquisicin, presupuestarias demantenimiento y capacidad de las instalaciones de mantenimiento) es la misma en elmodelo, y todas ellas rigurosas: no se considera en principio ninguna poltica de compra quesupere los lmites impuestos. Adems, no supondr ningn beneficio para la empresa elahorro en el desembolso sobre los presupuestos disponibles. Esto es, una poltica decompras que utilice menos de los 75.000 millones de presupuesto no es mejor

Construcción de modelos de PL

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