CONSTITUCIÓN DEL ÁTOMO- MODELOS...

Departamento de Física y Química 1ºde Bachillerato. Física y Química.

Curso 2015/2016 1

LA MEDIDA

Utiliza el análisis dimensional y justifica que el julio es la unidad de la magnitud energía cinética, Ec = 1/2 m v2, y de la energía potencial, Ep = m g h. Las ecuaciones de dimensiones de ambas magnitudes son: [Ec] = M (L/T)2 = M L2 T-2 [Ep] = M (L/T2) L = M L2 T-2 Que son las dimensiones del trabajo, por lo que su unidad de medida es el julio. Deduce la ecuación de dimensiones de la presión, p = F/S, y expresa la su unidad, el pascal, en función de las unidades fundamentales del SI.

Aplicando la definición de presión: T L M = L

T L M =

L

[a] M =

[S]

[F] = [p] 2-1-

2

-2

2··

···

Luego, sustituyendo por las unidades del S.I. resulta: 1 Pa = 1 kg m-1 s -2 Deduce la ecuación de dimensiones de la potencia, P = W/t, y expresa su unidad, el vatio, en función de las unidades fundamentales del S.I. Aplicando la definición de potencia, se tiene:

T L M = T

L T L M =

T

L [a] M =

T

L [F] =

T

[W] = [P] 3-2

-2

········

La expresión del vatio en unidades del SI es: 1 W = 1 kg m2 s-3 ¿De qué magnitud física es la unidad atm . L? La atmósfera es unidad de presión y el litro es unidad de volumen. Aplicando la definición de presión, su ecuación de dimensiones es:

T L M = L

TL M =

[S]

]tr]/[[ [m] =

[S]

[a] [m] =

[S]

[F] = [p] 2-1-

2

2

······ 2


Curso 2015/2016 2

La ecuación de dimensiones del volumen es: [V] = L3 Multiplicando ambas magnitudes, se deduce que su producto tiene dimensiones de trabajo o energía: [p] [V] = M L-1 T-2 L3 = M L2 T-2 = [W] Por tanto, la unidad atm L es una unidad de energía.

Justifica si la expresión l/g 2 = T ·· , que determina el período de oscilación de un

péndulo es homogénea.

Los números 2 y π no tienen dimensiones, por tanto: T = TL/

L =

g

l2

Luego dicha ecuación sí que es homogénea. Una persona se pesa en una báscula de baño calibrada en kg para medir su masa y comprueba que su masa es 74 kg. Después coge un libro que acaba de pesar con una balanza calibrada en g y obtiene un valor de 300 g. Si, a continuación, se pesa en la báscula de baño con el libro, ¿cuál es la expresión correcta de su nueva masa? Es 74 kg, pues la báscula de baño tiene una sensibilidad de 1 kg y no aprecia una unidad

inferior, por tanto el resultado correcto es 74 1 kg. La incertidumbre relativa porcentual de una medida de la masa de un objeto es del 1,6%, si el valor de la medida realizada es de 12,5 g, expresa dicha medida acompañada de su incertidumbre absoluta.

Er (%) = 100·medidaladeValor

Ea Ea = gg

20100

51261,

,·,

Luego la medida se puede expresar mediante: 12,5 0,2 g


Curso 2015/2016 3

Indica las cifras significativas máximas y los decimales significativos de los siguientes instrumentos de laboratorio:

Aparato Valor máximo indicado en la escala

Valor mínimo legible en la escala

Bureta 25 mL 0,1 mL

Pipeta graduada 10 mL 0,1 mL

Probeta 100 mL 5 mL

Cronómetro digital 60 s 0,01 s

Termómetro 110 °C 0,1 °C

Balanza analítica 200 g 0,0001 g

Balanza granatario 3500 g 0,1 g

Regla graduada 50 cm 0,1 cm

pH-metro 14 de pH 0,01 de pH

Luego la solución es:

Aparato Valor máximo indicado en la escala

Valor mínimo legible en la escala

Cifras significtivas máximas

Decimales significativos

Bureta 25 mL 0,1 mL 3 1

Pipeta graduada 10 mL 0,1 mL 3 1

Probeta 100 mL 5 mL 3 Sin decimales

Cronómetro digital 60 s 0,01 s 4 2

Termómetro 110 °C 0,1 °C 4 1

Balanza analítica 200 g 0,0001 g 7 4

Balanza granatario 3500 g 0,1 g 5 1

Regla graduada 50 cm 0,1 cm 3 1

pH-metro 14 de pH 0,01 de pH 4 2


Curso 2015/2016 4

SISTEMAS MATERIALES

Calcula la composición centesimal de cada elemento químico en el compuesto químico nitrato de hierro (II), de fórmula Fe(NO3)2.

Sabiendo que: MFe = 55,8 mol

g; MN = 14

mol

g y MO = 16

mol

g, entonces:

La masa molar del compuesto químico es: M = 179,8 mol

g

El % de Fe es: %,·

,

,·

··

0331100

8179

8551

1001

químicocompuestoelenmol

g

Fedemol

g

M

MFe

El % de N es: %,·

,

·

··

5715100

8179

142

1002


g

Ndemol

g

M

MN

El % de O es: %,·

,

·

··

3953100

8179

166

1006


g

Odemol

g

M

MO

Calcula la masa de nitrógeno que hay en 8,50 kg de un abono constituido por KNO3, sabiendo que la riqueza en nitrato potásico del mismo es del 34%.

Sabiendo que: MK = 39,1 mol

g; MN = 14

mol

g y MO = 16

mol

g, entonces:

La masa molar del nitrato potásico es: M = 101,1 mol

g

De la masa de 8,50 kg de abono, resulta que 8,50 kg · 100

34 = 2,89 kg es de nitrato potásico.

Luego, la cantidad de nitrógeno es: m = 2,89 kg de KNO3 ·

31101

141

KNOdemol

g

Ndemol

g

,

·

de donde m = 0,40 kg de N


Curso 2015/2016 5

¿Qué cantidad de cloro hay en 10,0 kg de la sal cloruro de calcio, que tiene una riqueza en dicho compuesto químico del 25 %?

Sabiendo que: MCa= 40 mol

g y MCl = 35,5

mol

g, entonces:

La masa molar del cloruro de calcio es: M = 111 mol

g

De la masa de 10,0 kg, resulta que 10,0 kg · 100

25 = 2,5 kg es de cloruro de calcio.

Luego, la cantidad de cloro es: m = 2,5 kg de CaCl2 ·

2111

5352

CaCldemol

g

Cldemol

g,·

= 1,6 kg de Cl

Dónde hay mayor número de átomos, en 10 g de sodio o en 10 g de hierro?

Sabiendo que: MNa = 23 mol

g y MFe = 55,6

mol

g , entonces:

mol

mol

g

g

M

mn

Na

NaNa 430

23

10, y mol

mol

g

g

M

mn

Fe

FeFe 180

655

10,

,

Ahora:

A

NaNa

N

Nn NNa = nNa · NA = 0,43 mol · 6,02 · 1023

mol

átomo = 2,6 · 1023 átomos de Na

A

FeFe

N

Nn NFe = nFe · NA = 0,18 mol · 6,02 · 1023

mol

átomo = 1,1 · 1023 átomos de Fe

Luego hay más átomos en 10 g de Na (tiene mayor número de átomos el elemento químico de menor masa molar atómica).


Curso 2015/2016 6

Ordena las siguientes cantidades de mayor a menor número de partículas: a) 20 L de N2 en condiciones normales de presión y temperatura. b) 6,02 1024 moléculas de O2. c) 34 g de S. d) 3,0 mol de SO2.

a) En condiciones normales de presión y temperatura 1 mol (6,02 1023 partículas) de cualquier gas ocupa 22,4 L, luego:

2890

422

202

2Ndemol

mol

L

L

V

Vn

m

N

N ,

,

=A

N

N

N2

Luego: N de N2 = 0,89 mol · 6,02 · 1023

mol

molécula = 5,4 · 1023 moléculas de N2.

b) 6,02 · 1024 moléculas de O2 = 60,2 .1023 moléculas de O2.

c) Como: MS= 32 mol

g, entonces:

mol

mol

g

g

M

mn

S

SS 11

32

34, , luego:

A

SS

N

Nn NS = nS · NA = 1,1 mol · 6,02 · 1023

mol

átomo = 6,4 · 1023 átomos de S

d) A

SO

SON

Nn 2

2 N de SO2 = 3,0 mol · 6,02 · 1023

mol

molécula = 18,1 · 1023 moléculas

Luego el orden de mayor a menor es: b) - d) - c) - a) Calcula: a) la masa, en g, del gas butano, de fórmula C4H10, existente en un recipiente de 30 L de capacidad, si la presión es 1,1 atm y la temperatura 25 ºC. b) El número de moléculas existentes.

a) Sabiendo que la masa molar del butano es: M = 58 mol

g entonces aplicando la ecuación

de los gases ideales: p V = n R T, se puede calcular m a través de:

1,1 atm · 30 L =

mol

g

m

58

· 0,082 Kmol

Latm

·

· (273 + 25) K m = 78,3 g de C4H10


Curso 2015/2016 7

b) Como: AN

N

M

m , entonces el número de moléculas es:

mol

molécula

N

mol

g

g

231002658

378

·,

, N = 8,13 · 1023 moléculas de C4H10

Halla la masa de aluminio que contiene el mismo número de átomos que existen en 19,07 g de cobre.

Sabiendo que la masa molar atómica del cobre es 63,55 mol

g, entonces:

CudeátomosN

mol

átomo

N

mol

g

g

N

N

M

mn

A

23

23

10811

100265563

0719·,

·,,

,

y N = 1,81 · 1023 átomos de Cu = 1,81 · 1023 átomos de Al Calcula la masa de gas, expresada en g, que debe dejarse salir de un recipiente de 25

L, que contiene dióxido de carbono a una presión de 6 atm y 20 C, para que, manteniendo constante la temperatura, la presión del recipiente se reduzca hasta el valor de 2 atm.

Sabiendo que la masa molar del CO2 es 44 mol

g y aplicando la ecuación de los gases ideales

a las dos condiciones iniciales del enunciado del problema, se tiene que:

6 atm · 25 L =

mol

g

mi

44

· 0,082 Kmol

Latm

·

· (273 + 20) K mi = 274,7 g de CO2

Igualmente al final se tiene:

2 atm · 25 L =

mol

g

mf

44

· 0,082 Kmol

Latm

·

· (273 + 20) K mf = 91,6 g de CO2

Por tanto, la masa de CO2 que ha salido del recipiente es: m = 274,7 g - 91,6 g = 183,1 g


Curso 2015/2016 8

MEZCLAS

Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) Una disolución molal contiene un mol de soluto en 1000 g de disolución. b) Una disolución 2 molar de ácido sulfúrico contiene un mol de H2SO4 en 1000 cm3. La afirmación a) es falsa, pues la concentración molal se expresa en moles de soluto por cada kilogramo de disolvente y no de disolución. La afirmación b) es falsa ya que 2 molar quiere decir que hay 2 mol de H2SO4 en 1 L o 1000 cm3 de disolución. Indica cómo habrá que proceder en el laboratorio para obtener 250 c.c. de una disolución acuosa de NaCl de

concentración 1,20 L

mol. Señala cuál de

los tres recipientes de la figura adjunta convendría utilizar y detalla las operaciones a realizar. Hay que saber que cm3 también se expresa también como c.c.

Como 58,5 mol

ges la masa molar del NaCl, entonces:

Si la disolución debe tener una concentración de 1,20 L

mol, para obtener 250 cm3 de la

misma, se necesita partir de una masa de NaCl de:

V

M

m

V

nCM

3

3

1000250

558

201

cm

Lcm

mol

g

m

L

mol

·

,

, m = 17,55 g de NaCl

Por tanto: Se pesa en una balanza de precisión 17,55 g de NaCl, depositándolos en un vidrio de reloj, que previamente habremos tarado. A continuación, se vierte el NaCl con un embudo en el matraz aforado adecuado (que es el tercero de la figura), lavándolo posteriormente con agua destilada para arrastrar los restos de NaCl dentro del matraz erlenmeyer.


Curso 2015/2016 9

Posteriormente, se añade agua destilada en el matraz y se agita para favorecer el proceso de la disolución. Una vez disuelto el cloruro de sodio, se llena el matraz aforado con agua destilada hasta el enrase que indica los 250 cm3 y de esta forma se obtiene 250 cm3 de una

disolución acuosa de NaCl de concentración 1,20 L

mol.

El primer recipiente es una probeta, que es adecuado para medir líquidos pero no para realizar disoluciones, el segundo recipiente es un vaso de precipitados, que aunque es adecuado para realizar disoluciones no es apropiado para medir líquidos, debido a su boca ancha. El tercer recipiente es un matraz erlenmeyer con una boca estrecha, que permite enrasar con mayor precisión el volumen que se desea y, por tanto es apropiado para medir líquidos y realizar en él una disolución. Halla la masa, en g, de hidróxido de sodio disuelta en 400 mL de una disolución de concentración 0,75 mol/L.

Como la masa molar del NaOH es 40 mol

g, entonces:

V

M

m

V

nCM

mL

LmL

mol

g

m

L

mol

1000400

40

750

·

, m = 12,0 g de NaOH

Halla el volumen, en cm3, de una disolución de hidróxido de sodio de concentración 0,12 mol/L, sabiendo que se han disuelto 4,45 g de dicho hidróxido en agua.

Como la masa molar del NaOH es 40 mol

g, entonces:

V

M

m

V

nCM

V

mol

g

g

L

mol40

454

120

,

, V = 0,927 L = 0,927 L · L

cm31000= 927 cm3


Curso 2015/2016 10

Se dispone de una disolución del 5 % de nitrato de potasio, ¿qué cantidad de la misma hay que tomar para poder disponer de 2,2 g de nitrato de potasio puro?

100·%disolución

soluto

m

mmasaenenC 100

225 ·

,

disoluciónm

g

Luego: mdisolución = 44,0 g Calcula la concentración molar y en g/L de 650 mL de una disolución que se obtiene al disolver 6,34 g de dicromato de potasio en agua.

Como la masa molar del K2Cr2O7 es 194,2 mol

g, entonces:

V

M

m

V

nCM

L

mol

mL

LmL

mol

g

g

CM

210025

1000650

2194

346

·,

·

,

,

L

g

mL

LmL

g

V

mC 759

1000650

346,

·

,

Determina el volumen, en mL, de una disolución de permangnato de potasio de concentración 2,5 mol/L, que es necesario tomar para preparar 400 mL de disolución de concentración 0,2 mol/L. En 400 mL de disolución 0,2 mol/L de KMnO4 hay:

V

nCM n = 0,2

L

mol· 400 mL ·

mL

L

1000 = 0,08 mol de KMnO4

El volumen de la disolución 2,5 mol/L de KMnO4 que es necesario tomar para que en él existan 0,08 mol de KMnO4 es:

V

nCM mL

L

mLL

L

mol

molV 32

10000320

52

080 ·,

,

,


Curso 2015/2016 11

Determina la concentración de una disolución de ácido nítrico en agua, sabiendo que hay disueltos 28,35 g de ácido nítrico en 500 mL de disolución. Expresa el resultado en mol/L y g/L.

La masa molar del HNO3 es 63 mol

g, entonces:

L

mol

mL

LmL

mol

g

g

V

M

m

V

nCM 90

1000500

63

3528

,

·

,

L

g

mL

LmL

g

V

mC 756

1000500

3528,

·

,

Calcula el volumen de disolución existente en un recipiente que contiene 0,54 mol de KOH, si la concentración de la disolución de KOH en agua es 142 g/L.

Sabemos que: M

mn y

V

mC

La masa molar del hidróxido de potasio es M = 56,1mol

g, luego:

mol

g

mmol

156

540

,

, m = 30,3 g de KOH, por lo que:

LVV

g

L

g210

330142 ,

,


Curso 2015/2016 12

¿Qué cantidad de agua y disolución de nitratro de plata de concentración 0,806 mol/L es necesario mezclar para obtener 200 mL de una disolución de nitrato de plata de concentración 0,250 mol/L. La cantidad, en mol, de AgNO3 que contiene la disolución final es:

V

nCM n = 0,250

L

mol· 200 mL ·

mL

L

1000 = 0,05 mol de AgNO3

El volumen de disolución de AgNO3 de concentración 0,806 mol/L que es necesario tomar para que en ella estén presentes 0,05 mol de AgNO3 es:

V

nCM mL

L

mLL

L

mol

molV 62

100006200

8060

050 ·,

,

, de disolución de AgNO3

Por tanto, a 62 mL de disolución 0,806 mol/L de AgNO3 hay que añadir agua hasta formar un volumen final de 200 mL de disolución y el volumen final requerido de 200 mL es de disolución 0,250 ml/L de AgNO3. Si se admite que el volumen de la mezcla agua y la disolucioibn de AgNO3 es aditivo, entonces la cantidad de agua que se debe añadir es: 200 mL – 62 mL = 138 mL

EL ÁTOMO

En relación a la tabla periódica de los elementos químicos: a) )Por qué se agrupan los elementos químicos en familias? b) ¿Qué elementos químicos forman el tercer período? c) ¿Qué elementos químicos pertenecen al grupo de los halógenos y a qué grupo pertenece el germanio?

a) Porque los elementos químicos de una misma familia o grupo tienen propiedades semejantes

b) Tercer período: Na, Mg, Al, Si, P, S, Cl y Ar

c) Halógenos: F, Cl, Br, I y At.

El germanio pertenece al grupo de los carbonoides.


Curso 2015/2016 13

Rellena el siguiente cuadro:

Especie química

Protones Neutrones Electrones Z A

Li 3 4

S 16 16

Cl- 18 35

Mg 12 24

Sn2+ 50 119

Cu 35 29

Xe 54 132

Para el Li: hay 3 electrones, Z = 3 y A = 3 + 4 =7

Para el S: hay 16 protones, Z = 16 y A = 16 + 16 = 32

Para el Cl-: hay 17 protones, Z = 17 y hay 18 neutrones, ya que:

35 = N + 17 protones

Para el Mg: hay 12 electrones, Z = 12 y hay 12 neutrones, ya que:


Para el Sn2+: hay 50 protones, 48 electrones y 69 neutrones, ya que:


Para el Cu: hay 29 protones, 29 electrones y A = 35 + 29 = 64

Para el Xe: Z = 54, hay 54 electrones y 78 neutrones, ya que:



Curso 2015/2016 14

Por tanto, el cuadro queda relleno de la siguiente forma:

Especie química

Protones Neutrones Electrones Z A

Li 3 4 3 3 7

S 16 16 16 16 32

Cl- 17 18 18 17 35

Mg 12 12 12 12 24

Sn2+ 50 69 48 50 119

Cu 29 35 29 29 64

Xe 54 78 54 54 132

Qué diferencias hay entre un elemento químico metálico y otro no metálico? Pon ejemplos de cada uno de ellos.

Existen muchas propiedades diferentes entre un metal y un no metal. Así, un metal suele ser una sustancia sólida con un brillo característico, dúctil y maleable y buen conductor del calor y de la electricidad. Por el contrario, un no metal, se puede presentar en los tres estados de la materia, no suele ser un buen conductor del calor y de la electricidad y no es ni dúctil ni maleable.

Entre los no metales se pueden citar el hidrógeno y el oxígeno, que son gases a temperatura ambiente, o el fósforo que es sólido.

Los metales, excepto el mercurio, los demás son sólidos a temperatura ambiente. Ejemplos: el oro, la plata, el hierro o el cobre.

La diferencia de energía entre dos niveles de un átomo es de 11,1 ·10-19 J. Halla la frecuencia, en Hz, y la longitud de onda de la radiación, en nm, emitida por el electrón que salta del nivel de mayor energía al de menor energía.

Sabiendo que: h = 6,625 · 10-34 J · s y E = h · , entonces:

HzssJ

J

h

E 15115

34

19

1068110681106256

10111·,·,

··,

·,

Como: · = c, entonces: nmm

nmm

s

smc179

1010179

10681

1039

9

115

18

···,

··


Curso 2015/2016 15

Rutherford llevó a cabo experimentos en los que dirigía un haz de partículas alfa contra una delgada lámina metálica y observó que la lámina: a) Desviaba fuertemente la mayoría de las partículas dirigidas contra ella. b) Desviaba ligeramente muy pocas partículas. c) Desviaba ligeramente la mayoría de las partículas. d) Desviaba fuertemente muy pocas partículas. Elige entre los anteriores enunciados el correcto y justifica la respuesta. El enunciado correcto es el d). No tiene justificación teórica, es un hecho experimental que lleva a la conclusión de que la mayor parte del átomo está vacío y las masa está concentrada en un volumen muy pequeño con toda la carga positiva y prácticamente toda la masa en él (núcleo); al estar toda la carga positiva en el núcleo hace que las repulsiones que sufren las partículas alfa al pasar cerca de él sea muy fuerte. Indica el número de electrones que tiene un átomo de fósforo en su último nivel de energía y su configuración electrónica externa, sabiendo que el número atómico del fósforo es 15.

El fósforo pertenece al tercer periodo y en su útimo nivel de energía tiene 5 eletrones.

Su configuración electrónica es 1s2 2s2 2p6 3s2 3p3

Y la configuración electrónica externa es 3s2 3p3

El magnesio tiene la siguiente distribución isotópica: 78,70% del de masa atómica 23,98 u, 10,13% del de 24,99 u y 11,17% del de 25,98 u. Calcula la masa promedio de un átomo de magnesio en unidades atómicas de masa y en kg.

u 24,31 = 100

u25,98 11,17+u 24,99 10,13 +u 23,98 78,70 = MMg

···

kg 10 40,3 = u

kg 1 u 24,31 = M

2-Mg

7

27

7106606

··,

·


Curso 2015/2016 16

El neón, de masa atómica 120,183 u, tiene tres isótopos de masas 19,99 u, 20,99 u y 21,99 u. La abundancia del tercer isótopo es del 8,83 %. Halla las abundancias de los otros dos isótopos.

u , = 100

,·,,·),( + u ,·183120

992183899208381009919 uuxx = M

x = 89,53 %

y del segundo isótopo: 100 – 8,83 – 89,53 = 1,64 %

Los iones Cl- y K+ tienen el mismo número de electrones (son isolectrónicos). ¿Por qué sus propiedades químicas son tan diferentes?

Mientras el Cl- es un anión, al tener un número de electrones superior en una unidad a su número de protones, el K+ es un catión, pues tiene un número de electrones inferior en una unidad a su número de protones.

Esta diferencia en el tipo de carga eléctrica marca una diferencia fundamental en el comportamiento de ambas especies, pues el Cl- tendrá tendencia a combinarse con cationes, y, por el contrario, el K+ lo hará con aniones.

Así: Cl- + H+ HCl, mientras que: K+ + (OH)- KOH

Escribe la configuración electrónica de cada uno de los siguientes átomos e iones: B, K+, Cl, Be2+, O, F- y Sn.

B: Tiene 5 electrones y su configuración electrónica es: 1s2 2s2 2p1

K+: Tiene 18 electrones y su configuración electrónica es: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6

Cl; Tiene 17 electrones y su configuraciónelectrónica es: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p5

Be2+: Tiene 2 electrones y su configuración electrónica es:1s2

O: Tiene 8 electrones y su configuración electrónica es: 1s2 2s2 2p4

F-: Tiene 10 electrones y su configuración electrónica es: 1s2 2s2 2p6

Sn: Tiene 50 electrones y su configración electrónica es:

1s2 2s2 sp6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10 4p2


Curso 2015/2016 17

La configuración electrónica de un elemento químico desconocido es: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p1. a) Indica cuál es el número atómico de dicho elemento químico. b) ¿A qué grupo de la Tabla Periódica pertenece?

a) Z = 13

b) Terreos, grupo 13 ó IIIA

EL ENLACE QUÍMICO

Explica la formación de los siguientes compuestos iónicos y utiliza para ello los diagramas de Lewis: a) MgO. b) Fe2S3. c) CaF2. a) El Mg tiene dos electrones de valencia en su último nivel energético y el O seis, como el MgO es un compuesto iónico, entonces tiene lugar la formación de los siguientes iones:

MgO → Mg2+ + O2-

donde: Mg: Mg2+ ·· ··

y ·O· → :O: 2- ·· ·· b) El Fe en el Fe2S3 utiliza tres electrones de valencia en su último nivel energético y el azufre seis, y como es un compuesto iónico, entonces tiene lugar la formación de los siguientes iones:

Fe2S3 → 2 Fe3+ + 3 S2- ·

donde: ·Fe· Fe3+ ·

·Fe· Fe3+ ·· ··

y ·S· → :S: 2- ·· ··


Curso 2015/2016 18

·· ·· ·S· → :S: 2-

·· ··

·· ·· ·S· → :S: 2-

·· ·· c) El Ca tiene dos electrones de valencia en su último nivel energético y el flúor siete, como el CaF2 es un compuesto iónico, entonces tiene lugar la formación de los siguientes iones:

CaF2 → Ca2+ + 2 F-

donde: Ca: Ca2+ ·· ··

y :F· → :F: - ·· ·· ·· ··

:F· → :F: - ·· ·· Explica la formación de los siguientes compuestos covalentes y utiliza para ello los diagramas de Lewis: a) H2S. b) SiH4. c) OF2. a) H2S: El S tiene 6 electrones de valencia y el H uno, luego tiene lugar: ··

H:S:H ·· b) SiH4: Como el Si tiene cuatro electrones de valencia, entonces: H ··

H:Si:H ·· H c) OF2: Como el flúor tiene siete electrones de valencia, entonces: ·· ·· ··

:F:O:F: ·· ·· ··


Curso 2015/2016 19

¿Cuál de las siguientes sustancias conduce la corriente eléctrica en estado sólido: CO, Br2 y MgF2 y Cu? Únicamente el cobre, por ser un metal, el CO y el Br2 son dos sustancias covalentes y el MgF2 es un compuesto iónico, que sólo conduce la corriente eléctrica en disolución o en estado fundido. ¿Cuál de los siguientes elementos químicos forma con el oxígeno el enlace químico de mayor carácter covalente: a) Se. b) Sb. c) Ca. d) Br. e) I? El enlace con mayor carácter covalente lo forma el oxígeno con aquel elemento qumico cuyo valor de la electronegatividad sea más próxima a la del oxígeno: 3,5 en la escala de Pauling. Como el Se tiene 2,4, el Sb 1,9, el Ca 1,0, el Br 2,8 y el I 2,5, resulta que es el Br. 5. Escribe los diagramas de Lewis de los siguientes átomos e iones: a) Xe. b) I. c) I-

. ·· a) Xe: :Xe: ·· · b) I: : I : ·· ·· - c) I-: : I : ·· ¿Por qué el cloruro de sodio es un sólido cristalino, mientras que el tetracloruro de carbono es gaseoso? El de sodio es un compuesto iónico y el de carbono es covalente. Así, en el de sodio resulta que:

NaCl → Na+ + Cl- El tetracloruro de carbono es:


Curso 2015/2016 20

H ··

H:Cl:H ·· H ¿Hay alguna diferencia entre ionización y disociación? Explica qué diferencias hay entre cianuro de hidrógeno y ácido cianhídrico. Sí, en el ionización se forman iones a partir de una sustancia covalente polar. Por ejemplo:

HCl → H+ + Cl- La disociación es la separación de los iones de un compuesto iónico. Por ejemplo:

NaCl → Na+ + Cl- El cianuro de hidrógeno es el compuesto covalente polar de fórmula H-C≡N. El ácido cianhídrico es la disolución en agua del cianuro de hidrógeno con su correspondiente ionización para formar:

H-C≡N → H+ + -C≡N Escribe la formación de los siguientes compuestos utilizando los diagramas de Lewis en el proceso: a) KBr. b) Na2S. c) ICl. d) CaO. ·· ·· a) K + Br → KBr, de forma que: K· + ·Br: → K+ :Br: - ·· ·· ·· ·· b) 2 Na + S → Na2S, de forma que: 2 Na· + ·S· → Na2

+ :S: 2- ·· ·· ·· ·· ·· ·· c) I + Cl → ICl, de forma que: : I · + ·Cl: → : I :Cl: ·· ·· ·· ·· ·· ·· d) Ca + O → CaO, de forma que: Ca: + ·O· → Ca2+ :O: 2-


Curso 2015/2016 21

·· ·· Escribe las ecuaciones de disociación de los siguientes compuestos iónicos: a) Na2O. b) SrS. c) MgF2. d) CsI. e) BaSO4. a) Na2O → 2 Na+ + O2- b) SrS → Sr2+ + S2- c) MgF2 → Mg2+ + 2 F-

d) CsI → Cs+ + I - e) BaSO4 → Ba2+ + SO4

2- En cada uno de los enlaces que se citan a continuación, indica cuál de los átomos posee carga parcial positiva: a) H-O. b) F-O. c) H-N. d) N-O. El átomo con mayor valor de la electronegatividad tiene mayor tendencia a atraer el par de

electrones del enlce y por tanto a poseer -. Como en su conjunto el enlace es neutro, el

otro átomo enlazado adquiere carga parcial positiva: +. Luego teniendo en cuenta la escala de electronegatividad de Pauling, resulta:

+ - - + + - + -

a) HO. b) FO. c) HN. d) NO.

LAS REACCIONES QUÍMICAS

El HCl se obtiene en el laboratorio mediante la reacción química:

NaCl + NaHSO4 Na2SO4 + HCl. Calcula la cantidad de HCl que se obtiene a partir de 120,0 g de NaCl. Se identifican los reactivos y los productos y se escribe y ajusta la ecuación química que describe el proceso:

Ecuación química ajustada

NaCl + NaHSO4 Na2SO4 + HCl

Relación estequiométrica

1 1 1 1

Cantidades en mol que intervienen en la reacción

1

NaClnA

1

4NaHSOnB

1

42SONanC

1

HClnD

Datos e incógnitas 120,0 g ¿m HCl?


Curso 2015/2016 22

Se determinan las masas molares de las sustancias que intervienen en el proceso a partir de la información que proporciona la tabla periódica, de forma que:

M del NaCl = 58,5 mol

g y M del HCl= 36,5

mol

g

Se verifica que: 11

HClnNaCln DA y como M

mn , entonces:

1

5,36

1

5,58

0,120HCl

mol

g

mNaCl

mol

g

g D

mD = 74,9 g de HCl

Al reaccionar sulfuro de cinc con ácido clorhídrico se forma cloruro de cinc y ácido sulfhídrico. ¿Qué cantidad de HCl, del 25 % de riqueza en masa, se necesita para obtener 90,0 g de cloruro de cinc? Se identifican los reactivos y los productos y se escribe y ajusta la ecuación química que describe el proceso:


ZnS + 2 HCl ZnCl2 + H2S


1 2 1 1


1

ZnSnA

2

HClnB

1

2ZnClnC

1

2SHnD

Datos e incógnitas

¿m HCl 25 %?

90,0 g


M del ZnCl2 = 136,4 mol

gy M del HCl= 36,5

mol

g

Se aplica: 12

2ZnClnHCln CB , de forma que:


Curso 2015/2016 23

1

4,136

0,90

2

5,362ZnCl

mol

gHCl

mol

g

mB

mB = 48,2 g de HCl si fuera puro del 100 %, pero

como tiene una riqueza del 25 %, entonces:

m = 48,2 g · 25

100 = 192,7 g de HCl

Una caliza, con un 60 % de riqueza en carbonato de calcio, se trata con ácido clorhídrico y se origina cloruro de calcio, dióxido de carbono y agua. Calcula la cantidad de caliza que se necesita para obtener 20 L de dióxido de carbono, medidos a 25 °C y 1 atm de presión. Se identifican los reactivos y los productos y se escribe y ajusta la ecuación química que describe el proceso:


CaCO3 + 2 HCl CaCl2 + CO2 + H2O


1 2 1 1 1


1

3CaCOnA

2

HClnB

1

2CaClnC

1

2COnD

1

2OHnE

Datos e incógnitas

¿m CaCO3 al 60 %?

V = 20 L a 25 ° C y 1 atm

La masa molar del CaCO3 es 100 mol

g

Se aplica: 11

23 COnCaCOn DA

La cantidad de CO2, en mol, que se obtiene se deduce a partir de la ecuación de los gases ideales: p · V = n · R · T, luego:

1 atm · 20 L = n CO2 · 0,082 Kmol

Latm

·

· · (273 + 25) K n CO2 = 0,82 mol


Curso 2015/2016 24

Por tanto: 1

82,0

1

1002

3

COmol

CaCO

mol

g

mA

mA = 81,8 g CaCO3 si fuera puro del 100 %,

pero como tiene una riqueza del 60 %, entonces:

m = 81,8 g · 60

100 = 136,4 g de CaCO3

La oxidación de una plancha de hierro de 30,0 kg produce óxido férrico. Si sólo se obtiene 209,67 mol de óxido. Calcula: a) La cantidad de hierro que se oxida. b) El rendimiento de la reacción, expresado en %. Se identifican los reactivos y los productos y se escribe y ajusta la ecuación química que describe el proceso:


4 Fe + 3 O2 2 Fe2O3


4 3 2

Cantidades, en mol que intervienen en la reacción

4

FedenA

3

2OdenB

2

32OFedenC

Datos e incógnitas 30,0 kg ¿m que se oxida?

209,67 mol ¿rendimiento?

La masa molar atómica del Fe es 55,8 mol

g

Se aplica: 24

32OFenFen CA , de forma que:

2

67,209

4

8,5532OFemol

Fe

mol

g

mA

mA = 23400 g · g

kg310

= 23,4 kg que se oxida.

De esta forma el rendimiento de la reacción química es:

rendimiento = kg

kg

0,30

4,23 · 100 = 78 %


Curso 2015/2016 25

Para obtener cinc a partir de la blenda, se somete el mineral a un proceso de tostación y posteriormente, se reduce el óxido obtenido con carbono. Si se parte de blenda del 75 % de riqueza en ZnS ¿Qué cantidad de cinc se obtendrá partir de 2000 kg de blenda, admitiendo que el rendimiento del proceso es del 60 %?

La masa molar del ZnS es 97,4 mol

g y M la del Zn 65,4

mol

g

La cantidad de ZnS que hay en la blenda es: m = 2000 kg · 100

75 = 1500 kg

Las ecuaciones químicas ajustadas de las reacciones que tienen lugar son:

2 ZnS + 3 O2 2 ZnO + 2 SO2 y

2 ZnO + C 2 Zn + CO2 De forma que el proceso global que tiene lugar es:

2 ZnS + 3 O2 + C 2 SO2 + 2 Zn + CO2 Y por tanto se cumple que:

22

ZnnZnSn BA , en consecuencia:

2

4,65

2

4,97

1500

mol

g

ZnmZnS

mol

g

kg B

mB = 1007,2 kg de Zn que se obtendría, si el rendimiento

fuera del 100 %. Luego, la cantidad de Zn que se obtiene es:

m = 1007,2 kg · 60

100 = 1678,6 kg de Zn


Curso 2015/2016 26

Se hace reaccionar carbonato de calcio con una disolución acuosa de ácido clorhídrico de concentración 1,5 mol/L, si se obtienen 5 L de CO2, medidos en condiciones normales de presión y temperatura. Calcula el volumen de disolución, en mL, de ácido que es necesario emplear para que la reacción sea completa. Se identifican los reactivos y los productos y se escribe y ajusta la ecuación química que describe el proceso:


CaCO3 + 2 HCl CaCl2 + CO2 + H2O


1 2 1 1 1


1

3CaCOnA

2

HClnB

1

2CaClnC

1

2COnD

1

2OHnE

Datos e incógnitas

1,5 mol/L ¿V de disolución?

5 L en C.N.

Se verifica: 12

2COnHCln DB , de forma que también se cumple que:

12

·2CO

V

V

HClVHClC m

D

ácidoácido , por tanto:

1

4,22

5

2

·5,12CO

mol

L

L

HClVL

molácido

Vácido = 0,298 L · L

mL310 = 298 mL


Curso 2015/2016 27

Por oxidación catalítica de amoníaco se forma vapor de agua y óxido de nitrógeno

(II) según la ecuación química: NH3 + O2 NO + H2O. Halla el volumen de aire necesario para obtener 100 L de óxido de nitrógeno (II), sabiendo que el 21 % en volumen del aire está formado por oxígeno. Se identifican los reactivos y los productos y se escribe y ajusta la ecuación química que describe el proceso:


4 NH3 (g)

+ 5 O2 (g) 4 NO (g) + 6 H2O (g)


4 5 4 6


4

3NHnA

5

2OnB

4

NOnC

6

2OHnD

Datos e incógnitas ¿V aire, si el 21 % es O2?

100 L

Entendiendo que las condiciones de presión y temperatura son las mismas en todo el proceso, por aplicación de la Ley de Gay-Lussac, resulta que:

45

2 NOVOdeV CB 4

100

5

2 LOdeVB VB = 125 L de O2

Y el volumen de aire necesario es: LLV 259521

100125 ,·

A partir de una mezcla de 2 kg formada por 65 % de FeO y 35 % de Fe2O3, se obtiene 1 kg de fundición de hierro con un contenido en dicho metal del 90 %. ¿Cuál es el rendimiento de la operación?

La masa molar del Fe es 55,8 mol

g, la del FeO 71,8

mol

g y la del Fe2O3 159,6

mol

g

La cantidad de hierro obtenida es: kgkgm 9,0100

90·1

La cantidad de hierro en la mezcla es:

kg

OFemol

g

Femol

g

OFemezclakg

FeOmol

g

Femol

g

FeOmezclakgm 5,1

6,159

8,55·2

100

35·2

8,71

8,55

·100

65·2

32

32

Por tanto, el rendimiento del proceso es: %60100·5,1

9,0dim

kg

kgientoren


Curso 2015/2016 28

Una cantidad de 72,0 g de disulfuro de carbono reacciona con cloro para producir dicloruro de diazufre. a) Halla la cantidad de dicloruro de diazufre que se obtiene, si el rendimiento de la reacción es del 75 %. b) Dibuja el diagrama de Lewis del dicloruro de diazufre, sabiendo que es un compuesto covalente y justifica porqué en su fórmula no se puede simplificar. c) Porqué el dicloruro de diazufre se llama así y no disulfuro de dicloro.

Se identifican los reactivos y los productos y se escribe y ajusta la ecuación química que describe el proceso:


CS2 + 3 Cl2 CCl4 + S2Cl2


1 3 1 1


1

2CSdenA 3

2CldenB 1

4CCldenC 1

22ClSdenD

Datos e incógnitas

72,0 g

¿m con rendimiento del 75 %?

a) A partir de la información que proporciona la tabla periódica, las masas molares de las

sustancias que intervienen en la reacción son: mol

gCSdeM 762 y

mol

gClSdeM 13522

Se verifica que: 11

222 ClSnCSn DA

La cantidad de CS2 en mol que reacciona es:

molCSg

CSmolCSg

CSdeM

CSdemCSn 950

76

1072

2

22

2

22 ,·,

De esta forma: 11

950 22ClSnmol D,

nD = 0,95 mol de S2Cl2

Y su masa es: m = 0,95 mol S2Cl2 · 135 mol

g= 127,9 g de S2Cl2 que se obtendría, si el

rendimiento fuera del 100 %, luego:


Curso 2015/2016 29

ggm 995100

759127 ,·,

·· ·· ·· ··

b) :Cl:S:S:Cl:

·· ·· ·· ··

Luego la molécula se puede representar también por: ClSSCl, donde hay tres enlaces sencillos covalentes, dos entre un átomo de azufre y otro de cloro y el oro entre los dos átomos de azufre. Esta claro que no se puede simplificar para origirnar SCl porque se rompería el enlace entre los dos átomos de azufre.

c) Porque se nombra primero el elemento químico más electronegativo, y ,en este caso, lo es el cloro.

Una tonelada de carbón con una riqueza del 70 % en carbono se quema para formar dióxido de carbono. Si se recogen 1500 kg de dióxido de carbono, halla el rendimiento de la reacción química que tiene lugar.



C + O2 CO2


1 1 1


1

CdenA 1

2OdenB 1

2COdenC

Datos e incógnitas 1000 kg de carbón de 70 % en C

1500 kg


M del C = 12 mol

gy M del CO2 = 44

mol

g

a) Se aplica: 11

2COnCn CA . Ahora como:

2

3222 10134

44

110001500 COmol

g

COmol

kg

gCOdekgCOdenC ·,·· obtenidos.


Curso 2015/2016 30

Luego: 1

10134

1

2

3 COmolCnA ·, nA = 34,1 · 103 mol de C que se correponden con una

masa de C que reacciona igual a:

mol

g

mCmol

12

10134 3 ·, m = 409,1 · 103 g de C que reacciona

m = 409,1 · 103 g · g

kg310

= 409,1 kg de C que reacciona

La cantidad de carbono inicial es: m = 1000 kg de carbón · 100

70 = 700 kg de C

Luego el rendimiento es: %,·,

dim 458100700

1409

kg

kgientoren

El hierro reacciona con el oxígeno para formar óxido férrico. Se hace reaccionar un lingote de hierro que tiene una masa de 2,0 kg y una vez transcurrida la reacción de una forma completa se obtiene 2717,2 g de óxido férrico. Determina: a) La cantidad de hierro que reacciona. b) La pureza del lingote. c) La cantidad de oxígeno que reacciona.



4 Fe + 3 O2 2 Fe2O3


4 3 2


4

FedenA 3

2OdenB 2

32OFedenC

Datos e incógnitas 2,0 kg

¿m que se oxida?

¿pureza del lingote?

¿m de O2?

2717,2 g



Curso 2015/2016 31

M del Fe = 55,8 mol

g,M del Fe2O3= 159,6

mol

g y M del O2 = 32

mol

g

a) Se aplica: 24

32OFenFen CA . Ahora como:

32

32

32

3232 0176159

122717 OFemol

OFeg

OFemolOFedegOFedenC ,

,·, que se obtiene.

Por tanto, la cantidad de Fe que reacciona en mol es:

2

017

4

32OFemolFenA , nA = 34,1 mol Fe

Como: M

mn , su masa, en g, es:

mol

g

mFemol

855

134

,

, m = 1900,0 g Fe que se oxida

= 1900,0 g · g

kg

1000.= 1,9 kg de Fe que se oxida

b) La pureza del lingote viene dada por:

%·,

,95100

02

91

kg

kgpureza

c) También se cumple que: 34

2OnFen BA , luego:

34

134 2OnFemol B,

nB = 25,5 mol de O2 que reacciona.

Por tanto:

mol

g

mOmol

32

525 2 , m = 817,2 g de O2 que reacciona.


Curso 2015/2016 32

El ácido clorhídrico reacciona con el dióxido de manganeso para originar dicloruro de manganeso, cloro y agua. Halla: a) La cantidad de dicloruro de manganeso que se obtiene cuando reaccionan 7,3 g de ácido clorhídrico. b) El volumen de cloro obtenido en las condiciones de 1,5 atm y 50 °C.



MnO2 + 4 HCl MnCl2 + Cl2 + 2 H2O

Relación

estequiométrica

1 4 1 1 2


1

2MnOnA 4

HClnB 1

2MnClnC 1

2ClnD 2

2OHnE

Datos e incógnitas

7,3 g ¿m de MnCl2?

¿VCl2 a 1,5 atm y 50°C?


M del HCl = 36,5 mol

g y M de MnCl2 = 125,9

mol

g

a) Se aplica: 14

2MnClnHCln CB

Como: HCldemol

mol

g

gHClnB 20

536

37,

,

, , entonces:

14

20 2MnClnHClmol C,

nC = 0,05 mol de MnCl2 . Por tanto:

mol

g

mMnClmol

9125

050 2

,

, de donde: m = 6,3 g de MnCl2 que se obtienen.

b) También se cumple que: 14

2ClnHCln DB , luego:

14

20 2ClnHClmol D,

nD = 0,05 mol de Cl2 que se obtienen.


Curso 2015/2016 33

Aplicando: p · V = n · R · T, resulta:

1,5 atm · V = 0,05 mol · 0,082 Kmol

Latm

·

· (273 + 50) K V = 0,89 L

Se hace reaccionar 4,5 g de cinc con ácido clorhídrico del 35 % en masa y 1,18 g/cm3 de densidad. Calcula el volumen de ácido necesario para que la reacción sea completa.



Zn + 2 HCl ZnCl2 + H2


1 2 1 1


1

ZnnA

2

HClnB 1

2ZnClnC 1

2HnD

Datos e incógnitas

4,5 g

HCl del 35 %

d = 1,18 g/cm3

¿V?


M de Zn = 65,4 mol

g y M del HCl = 36,5

mol

g

Se verifica que: 21

HClnZnn BA , entonces:

Como: ZnmolZng

ZnmolZndegZndenA 070

465

154 ,

,··, , entonces:

21

070 HClnZnmol B,

nB de HCl = 0,14 mol de HCl que reacciona

La masa de HCl que reacciona es:


Curso 2015/2016 34

mol

g

mHClmol

536

140

,

, de donde: m = 5,02 g de HCl puros que reaccionan

La masa en la disolución de dicho ácido de concentración del 35 % es:

ggm 41435

100025 ,·, y su volumen se halla a partir de

V

md , luego:

V

g

cm

g 414181

3

,, V = 12,2 cm3

REACCIONES QUÍMICAS Y ENERGÍA

La reducción de la magnetita, Fe3O4, mediante CO que tiene lugar en un alto horno viene acompada por la liberación de 1560 J/mol. Calcula la energía liberada en forma de calor al reducir 500 kg de magnetita.

La masa molar de Fe3O4 es 231,4 mol

g

La cantidad, en mol, de magnetita reducida es: mol =

mol

g 231,4

kg

gkg

= n 82160

1000500

,

·

Por tanto: J 10 =mol mol

J1560 = Q 6·,,· 37382160

Si la síntesis del amoníaco es exotérmica y se libera al medio exterior 38 kJ/mol en ciertas condiciones de presión y temperatura, ¿cómo será el proceso inverso de descomposición del amoníaco en las mismas condiciones de presión y temperatura? ¿Qué cantidad de energía es necesaria para descomponer 3 mol de NH3?

2

1N2 (g) +

2

3 H2 (g) NH3 (g); Q = - 38

mol

kJ

Luego el proceso inverso es endotérmico y su ecuación termoquímica por mol descompuesto de NH3 es:

NH3 (g) 2

1N2 (g) +

2

3 H2 (g); Q = 38

mol

kJ


Curso 2015/2016 35

Para descomponer 3 mol de NH3 tiene lugar:

3 NH3 (g) 3 · 2

1N2 (g) + 3 ·

2

3 H2 (g); Q = 3 mol · 38

mol

kJ

Por tanto: 3 NH3 (g) 2

3N2 (g) +

2

9 H2 (g); Q = 114 kJ

En la reacción del cinc sólido con el ácido clorhídrico para originar una disolución de cloruro de cinc e hidrógeno gaseoso se transfiriere al medio exterior una energía en forma de calor de 8,59 kJ. Calcula la cantidad de cinc que debe reaccionar en el caso de que se transmitan 1000 kJ.

La ecuación termoquímica del proceso es:

Zn (s) + 2 HCl (aq) ZnCl2 (aq) + H2 (g); Q= - 8,59 Zndemol

kJ

La masa molar atómica del Zn es: 65,4 mol

g

De esta forma: - 1000 kJ = - 8,59 mol

kJ ·

mol

g

m

465,

m = 7613,5 g de Zn

Dada la reacción: Na2CO3 (s) + 2 HCl (aq) 2 NaCl (aq) + H2O (l) + CO2 (g). Si al cabo de un minuto de reacción, la masa del conjunto ha disminuido en 0,88 g, Determina: a) La cantidad producida de CO2 en g, en ese intervalo de tiempo. b) La velocidad media de la reacción, expresada en mol de CO2/min. a) Si el sistema disminuye en 0,88 g, quiere decir que se originan 0,88 g de CO2

b) Puesto que la masa molar de dicho gas es 44 mol

g, entonces:

mol 0,0 = g/mol44

g 0, = n 2

88, entonces:

min

mol 0,0 =

min 1

mol 0,0 = vmedia 2

2


Curso 2015/2016 36

Halla la masa de alcohol etílico que se quema en un vaso si la cantidad de energía liberada en forma de calor es 149,0 kJ, sabiendo que su poder calorífico es 29,8 · 103 kJ/kg.

Como el proceso es exotérmico, se verifica:

- 149,0 kJ = m · (- 29,8 · 103) kg

kJ m = 0,005 kg = 0,005 kg ·

kg

g310 = 5 g

Si se dice que la disolución en agua del cloruro de hidrógeno es un proceso exotérmico en el que Q = - 75 kJ/mol, escribe la ecuación termoquímica y explica el significado de la misma.

HCl (g) + H2O (l) H3O+ (aq) + Cl- (aq); Q = - 75 kJ/mol

Q = - 75 kJ/mol es el valor del calor de disolución de un mol de HCl y es la energía que se desprende en forma de calor al disolverse e ionizarse un mol de HCl y transformarse en iones hidronio y cloruro.

QUÍMICA ORGÁNICA

¿Por qué crees que en las cocinas que utilizan gas, deben tener una rejilla de seguridad de ventilación a la altura del suelo si el gas es butano o cerca del techo si el gas es gas natural? Por la distinta densidad de los gases. El butano es más denso que el aire y por ello debe haber una rejilla a ras del suelo. Por el contrario, el gas natural es menos denso que el aire y la rejilla debe estar en el techo. ¿Qué diferencia hay entre los conceptos de hidrófilo e hidrófobo y de liposoluble e hidrosoluble? Hidrófilo tiene afinidad por el agua, mientras que hidrófobo repele al agua. Liposoluble que es soluble en grasa, mientras que hidrosoluble es soluble en agua.


Curso 2015/2016 37

¿Por qué a los glúcidos también se les llaman hidratos de carbono? Porque un número elevado de ellos tienen una fórmula molecular en la que la proporción de hidrógeno y oxígeno es la del agua, o sea doble cantidad de hidrógeno que de oxígeno y su fórmula molecular se puede representar mediante: Cn(H2O)n. Escribe los diagramas de Lewis del diclorometano y del etino. H ·· ·· ··

:Cl:C:Cl: y H:CC:H ·· ·· ·· H diclorometano etino Escribe las fórmulas desarrolladas de los cuatro isómeros de cadena del hidrocarburo de fórmula empírica C5H10 e indica sus nombres. Son: CH3-CH2-CH=CH-CH3 CH3-CH2-CH2-CH=CH2 2-penteno 1-penteno CH3-CH2-C=CH2 CH3-CH=C-CH3

CH3 CH3 2-metil-1-buteno 3-metil-2-buteno En relación con un jabón: a) )Por qué un jabón no tiene una temperatura de fusión

definida? b) ¿Qué ocurre si al lavar una ropa sucia con un jabón, se realiza mal la operación del aclarado? a) Porque no se trata de un compuesto químico, sino de una mezcla de compuestos químicos, en concreto de carboxilatos. b) Que no queda limpia, pues al aclarar se va la suciedad en la disolución o medio de dispersión.


Curso 2015/2016 38

Escribe la fórmula estructural del 2-dimetilheptano.

CH3

Su fórmula semidesarrolada es: CH3-CH2-CH2-CH2-CH2-C-CH3

CH3

Su fórmula estructural es:

H H H

H H H H H C H

HCCCCCCCH

H H H H H C H

H H H

La sacarosa es el azúcar que se consume como alimento, si su fórmula es C12H22O11, calcula el porcentaje de carbono, hidrógeno y oxígeno que contiene.

La masa molar del C es 12 mol

g, la del H 1

mol

g, la del O 16

mol

gy la de la sacarosa 342

mol

gg/mol. Por tanto:

% 42,11 =100

mol

g342

mol

g12 12

= C de % ·

·

% =100

mol

g342

mol

g 1 2

= H de % 436

2

,·

·

% =100

mol

g342

mol

g 1

= O de % 4651

611

,·

·


Curso 2015/2016 39

Escribe las fórmulas estructurales de los siguientes compuestos orgánicos: metil-ciclopropano, 2,3-dicloropropano, 2-butanol, dietiléter, ácido propanodioico, etanoato de sodio y dimetilamina.

H H

C

Metil-ciiclopropano: HC CH

H C

H H H

H Cl Cl

2,3-dicloropropano: HCCCH

H H H

H H H H

2-butanol: HCCCCH

H OH H H

H H H H

dietiléter: HCCOCCH

H H H H O H O

Ácido propanodioico: HOCCCOH

H


Curso 2015/2016 40

H O

Etanoato de sodio: HCCO- Na+

H

H H H

Dimetilamina: H CNCH

H H

Escribe las fórmulas estructurales de los siguientes compuestos orgánicos: propano, propeno, propino, ciclopropano, 1-cloropropano, 1-propanol, etilmetil éter, ácido propanoico, etanoato de metilo, propilamina y propanamida.

H H H

Propano, de fórmula molecular C3H8: HCCCH

H H H

H H H

Propeno, de fórmula molecular C3H6: HC=CCH

H

H

Propino, de fórmula molecular C3H4: HCCCH

H H H

C

Ciclopropano, de fórmula molecular C3H6: HC CH

H H


Curso 2015/2016 41

H H H

1-cloropropano, de fórmula molecular C3H7Cl: ClCCCH

H H H

H H H

1-propanol, de fórmula molecular C3H8O: HOCCCH

H H H

H H H

etilmetiléter, de fórmula molecular C3H8O: HCCOCH

H H H

H H O

Ácido propanoico, de fórmula molecular C3H6O2: HCCCOH

H H

H O H

Etanoato de metilo de fórmula molecular C3H6O2: HCCOCH

H H

H H H H

Propilamina, de fórmula molecular C3H9N: HCCCN

H H H H

H H O

Propanamida de fórmula molecular C3H7ON: HCCONH

H H H


Curso 2015/2016 42

Escribe las fórmulas de los siguientes compuestos químicos: 5-etil-2-metilheptano; 3,3-dietil-1-hepteno; 3,4,4-trimetil-1,5-heptadiino; trans-1,2-difluoroeteno; 2-metil-1-pentanol; 1,2-butanodiol; etilpropil éter; butanodial; 5-hexén-3-ona; ácido 2-hidroxibutanoico; metanoato de propilo; trimetilamina; 2-metilbutanamida.

5-etil-2-metilheptano: CH3-CH-CH2-CH2-CH-CH2-CH3

CH3 C2H5

C2H5

3,3-dietil-1-hepteno: CH2=CH-C-CH2-CH2-CH2-CH3

C2H5

CH3

3,4,4-trimetil-1,5-heptadiino: CHC-CH-C-CC-CH3

CH3 CH3

F H

trans-1,2-difluoroeteno: C=C

H F

CH3

2-metil-1-pentanol: CH3-CH2-CH2-CH-CH2-OH


Curso 2015/2016 43

1,2-butanodiol: CH3-CH2-CH-CH2-OH

OH

etilpropil éter: CH3-CH2-O-CH2-CH2-CH3

O O

butanodial: H – C -CH2-CH2-C - H

O

5-hexén-3-ona: CH3-CH2-C - CH2-CH=CH2

ácido 2-hidroxibutanoico: CH3-CH2-CH-COOH

OH

metanoato de propilo: H-COO-CH2-CH2-CH3

CH3

trimetilamina: CH3-N

CH3

2-metilbutanamida: CH3-CH2-CH-CONH2

CH3


Curso 2015/2016 44

Nombra los compuestos orgánicos siguientes:

Es el 2,4-pentadiona

Es el etanoato de butilo

Es la butanodiamina

Es el propanal

Es el ácido butanodioico

Es el 3-etil-1,3,5-hexatrieno

Es el 2-bromo-1-cloro-3-metilpentano

Es el metilpropiléter


Curso 2015/2016 45

Es el 3-etil-2,3-dimetilhexano

Es el 3-metilpentino

Es el 2,2-dimetil-1-pentanol

Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Qué diferencia hay entre un alcohol y un fenol? b). Nombra y formula las cetonas y aldehídos de 5 átomos de carbono.

a) Los dos contienen el grupo hidroxilo (-OH), en los alcoholes la cadena no es aromática y en los fenoles la cadena es un radical aromático.

Los fenoles no reaccionan de igual forma que los alcoholes. Por ejemplo ni se deshidratan y ni se oxidan como los alcoholes.

b) Aldehídos:

pentanal: CH3-CH2-CH2-CH2-CHO

3-metilbutanal: CH3-CH-CH2-CHO

CH3

2-metilbutanal: CH3-CH2-CH-CHO

CH3

CH3

2,2-dimetilpropanal: CH3-C-CHO

CH3


Curso 2015/2016 46

Cetonas:

2-pentanona: CH3-CO-CH2-CH2-CH3

3-pentanona: CH3-CH2-CO-CH2-CH3

3-metilbutanona: CH3-CO-CH-CH3

CH3

Escribe las reacciones químicas: a) De combustión del etano, eteno y etino. b) Entre el ácido butanoico y el etanol.

a) Etano: CH3-CH3 + 7/2 O2 2CO2 + 3H2O

Eteno: CH2=CH2 + 3 O2 2CO2 + 2H2O

Etino: CHCH + 5/2 O2 2CO2 + H2O

b) CH3-CH2-CH2-COOH + HO-CH2-CH3 CH3-CH2-CH2-COO-CH2-CH3 + H2O

ácido butanoico + etanol butanoato de etilo + agua


Curso 2015/2016 47

En relación con la amina adjunta, responde a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es su fórmula molecular y su fórmula estructural?

b) ¿Qué tipo de aminas es? c) ¿Puede formar enlaces por puentes de hidrógeno?

a) Su fórmula molecualr es: C4H11N

Su fórmula estructural es:

H H H H H

HCCCNCH

H H H H

b) Es una amina secundaria y sí puede formar enlaces por puentes de hidrógeno entre el nitrógeno de una molécula y un hidrógeno de otra.

Formula y nombra: a) Los isómeros de fórmula molecular C6H14. b) Los isómeros del CHCl=CHCl.

a) Hexano: CH3-CH2-CH2-CH2-CH2-CH3

2-metilpentano: CH3-CH2-CH2-CH-CH3

CH3

CH3

2,2-dimetilbutano: CH3-CH2-C-CH3

CH3

2,3-dimetilbutano: CH3-CH-CH-CH3

CH3 CH3


Curso 2015/2016 48

b) 1,1-dicloroeteno: Cl2C=CH2

H H

cis-1,2-dicloroeteno: C= C

Cl Cl

H Cl

trans-1,2-dicloroeteno: C= C

Cl H

Reconoce en las siguientes afirmaciones las que no son correctas: a) Un alcohol y un aldehído pueden ser isómeros de función. b) La función cetona se sitúa en un átomo de carbono terminal. c) La molécula del metano es plana.

a Es verdadera.

b) Es falsa, la función cetona siempre está en un carbono secundario.

c) Es falsa, pues la molécula de metano es tetraédrica.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones son correctas?: a) Los alcanos poseen isomería de cadena. b) Los alquinos pueden tener isomería geométrica. c) Los cicloalcanos no tienen isómeros.

a) Es verdadera. b) Es falsa, pues el triple enlace es lineal. c) Es falsa.


Curso 2015/2016 49

Halla la composición centesimal del ciclobutano.

La fórmula molecular del ciclobutano es C4H8, su masa molar es 56 mol

g, la del carbono

12 mol

gy la del hidrógeno 1

mol

g. Por tanto:

% de C = %,·

·

785100

56

124

mol

gmol

g

% de H = %,·

·

314100

56

18

mol

gmol

g

Un compuesto orgánico tiene la siguiente composición centesimal: 26,66 % de carbono, 2,22 % de hidrógeno y el resto es oxígeno. Halla su fórmula molecular, si su masa molar es 90 g/mol.

% de O: 100 - (26,66 + 2,22) = 71,12 %

La masa molar del carbono es 12 mol

g, la del hidrógeno 1

mol

gy la del oxígeno 16

mol

g.

Por tanto:

La cantidad, en mol, de cada elemento químico presente en 100 g de muestra es:

Cdemol

mol

g

gCde 222

12

6626,

,: ; Hdemol

mol

g

gHde 222

1

222,

,:

Odemol

mol

g

gOde 444

16

1271,

,:

Dividiendo por la cantidad menor de las tres se obtiene la proporción entre los átomos de los distintos elementos químicos en el compuesto orgánico.

Cdemol

molCde 1

222

222

,

,: ; Hde

mol

molHde 1

222

222

,

,: ; Ode

mol

molOde 2

222

444

,

,:

Luego la fórmula empírica del compuesto orgánico es CHO2


Curso 2015/2016 50

Como su masa molar es 90 mol

g, entonces:

(1 · 12 mol

g + 1 · 1

mol

g + 2 · 16

mol

g) · n = 90

mol

g n = 2

Luego la fórmula molecular es (CHO2)2 = C2H2O4

Un compuesto orgánico contiene 83,3 % de carbono y el resto es hidrógeno. Si su masa molar es 72 g/mol, escribe su fórmula molecular. Si el compuesto tiene un carbono terciario dibuja su fórmula estructural y nómbralo.

% de H: 100 - (83,3) = 16,7 %

La masa molar del carbono es 12 mol

g y la del hidrógeno 1

mol

g. Por tanto:

La cantidad, en mol, de cada elemento químico presente en 100 g de muestra es:

Cdemol

mol

g

gCde 96

12

383,

,: ; Hdemol

mol

g

gHde 716

1

716,

,:

Dividiendo por la cantidad menor de las dos se obtiene la proporción entre los átomos de los distintos elementos químicos en el compuesto orgánico.

Cdemol

molCde 1

96

96

,

,: ; Hde

mol

molHde 42

96

716,

,

,: ;

Como la masa molar del compuesto orgánico es 72 mol

g, entonces:

(1 · 12 mol

g + 2,4 · 1

mol

g) · n = 72

mol

g n = 5

Luego la fórmula molecular es C5H12

Se trata de un hidrocarburo y al tener un carbono terciario es el 2-metilbutano:

CH3-CH-CH2-CH3

CH3


Curso 2015/2016 51

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO

¿Cuál es la diferencia entre la distancia recorrida por un móvil y su desplazamiento? ¿Pueden ser iguales la distancia recorrida y el módulo del vector desplazamiento? ¿Si un objeto está en movimiento puede ser su desplazamiento igual a cero?. La distancia recorrida es una magnitud escalar, igual a la longitud de la trayectoria que recorre un móvil entre dos posiciones y el desplazamiento es una magnitud vectorial, cuyo módulo es igual a la distancia más corta entre esas dos posiciones. La distancia recorrida por un móvil depende de la trayectoria y el módulo del vector desplazamiento entre dos posiciones es siempre el mismo. La distancia recorrida y el módulo del vector desplazamiento coinciden cuando el movimiento en línea recta y no se producen cambios en el sentido del movimiento. Durante un movimiento el vector desplazamiento puede ser igual a cero, como es el caso de un móvil que regresa al punto de partida. Su vector desplazamiento total es igual a cero. ¿Qué diferencias hay entre velocidad y rapidez? ¿Pueden ser iguales la rapidez y la velocidad? La rapidez es una magnitud escalar que es igual a la relación entre la distancia recorrida por un móvil y el tiempo que tarda en recorrerla. La velocidad es una magnitud vectorial que es igual a la relación entre el vector desplazamiento y el tiempo que se tarda en realizar ese desplazamiento. La rapidez y el módulo del vector velocidad coinciden cuando el movimiento es en línea recta y no hay cambios en el sentido del movimiento. Un barco de recreo realiza el siguiente recorrido al salir del puerto. En primer lugar navega 30 km hacia el norte, a continuación recorre 10 km al este y posteriormente durante un paseo durante un paseo recorre 40 km el sur. Calcula la distancia recorrida y el módulo del vector desplazamiento. La distancia recorrida es: 30 km + 10 km + 40 km = 80 km Si se hace coincidir el origen con la posición del puerto la parte positiva del eje X con el este y la del eje Y con el norte, la posición final tiene por coordenadas: posición final: (1 km, - 1 km).

El vector desplazamiento es: km)j·1i·1(r

Y su módulo: km41,1)km1()km1(r 22

N

EO

10 km

r


Curso 2015/2016 52

Contesta verdadero o falso, justificando la respuesta, a las siguientes cuestiones. a) El desplazamiento de un objeto depende de la trayectoria que siga entre dos posiciones. b) La velocidad media y la velocidad instantánea de un móvil nunca pueden ser iguales. c) Si el velocímetro de un automóvil indica siempre la misma velocidad significa que su velocidad es constante y que por ello no tiene aceleración. a) El desplazamiento de un móvil entre dos puntos es único, no depende la trayectoria. b) La velocidad media y la velocidad instantánea coinciden en un movimiento en línea recta y que transcurra con rapidez, módulo de la velocidad, constante. c) Sui el móvil describe un movimiento curvilíneo, entonces siempre hay aceleración normal que modifica la dirección del vector velocidad. El velocímetro de un automóvil marca constantemente 60 km/h. ¿Tiene aceleración el vehículo? El automóvil no posee aceleración tangencial ya que no se modifica el módulo e la velocidad, pero si transita por una curva puede tener aceleración normal. Indica el tipo de movimiento que corresponde a los siguientes valores de la aceleración. a) Aceleración tangencial y aceleración normal iguales a cero. b) Aceleración tangencial distinta de cero y aceleración normal igual a cero. c) Aceleración tangencial igual a cero y aceleración normal distinta de cero. d) Aceleración tangencial y aceleración normal distintas de cero. a) Si las dos aceleraciones son iguales a cero, no se modifica el vector velocidad y el movimiento es rectilíneo uniforme. b) En este caso se modifica el módulo del vector velocidad y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. c) Ahora se modifica la dirección del vector velocidad y el movimiento es curvilíneo uniforme. d) Si las dos aceleraciones son distintas de cero, el movimiento es curvilíneo uniformemente acelerado.


Curso 2015/2016 53

¿Qué son las componentes intrínsecas de la aceleración? Enumera las características de esas componentes e indica cómo se calculan? Las componentes intrínsecas de la aceleración son las componentes de la aceleración respecto de un sistema de referencia centrado en el punto considerado de la trayectoria, con uno de los ejes tangente a la trayectoria y el otro, perpendicular (normal) a la misma. La aceleración tangencial, at

, es la responsable de la variación del módulo del vector

velocidad y habitualmente se conoce como aceleración. Siempre que se modifica el módulo del vector velocidad hay aceleración tangencial. Es un vector tangente a la trayectoria y sentido el del movimiento si aumenta la velocidad y el contrario, si la velocidad disminuye. Su módulo se determina mediante la relación entre la variación del módulo del vector velocidad y el tiempo que tarda en producirse.

t

v a t

La aceleración normal, an

, es la responsable del cambio de dirección del vector velocidad.

Es un vector perpendicular a la trayectoria en cada punto y su sentido es hacia el centro de curvatura. Su módulo en un determinado instante es igual a la relación entre el cuadrado módulo del vector velocidad, v, y el radio de curvatura, R, de la trayectoria.

R

v = a

2

n

Calcula el módulo del vector suma de los vectores representado en la figura adjunta. ¿Qué ángulo forma el vector suma con el eje de abscisas? Sumando las componentes, se tiene que: Sx = 7 u – 3 u = 4 u; Sy = 5 u – 2 u = 3 u

El módulo de la suma es: u5)u3()u4(SSS 222y

2x

Y el ángulo que forma con el eje de abscisas es:

u4

u3

S

Stg

x

y φ = 36º 52’ 12’’

7 unidades3 unidades

5 unidades

2 unidades

sx

sy

S


Curso 2015/2016 54

Un avión vuela con una velocidad de 1 000 km/h hacia el norte. Si sopla viento del suroeste (45º) con una velocidad de 200 km/h, calcula la velocidad total del avión y el ángulo que se desvía del rumbo. Sea el vector a

la velocidad del avión y el vector v

la

velocidad con la que sopla el viento.

La expresión de estos vectores es: km/h j · 000 1 = a

km/h )j · º45 sen · 200 + i ·º45 cos · 200( = v

= km/h )j· 141,4 + i ·141,4( = v

La velocidad total del avión es la suma de las dos velocidades: km/h )j · 141,4 1 + i · 141,4( = S

El módulo de la suma es: km/h 150,1 1 = km/h 141,4 1 + km/h 141,4 = S + S = S 222y

2x

El ángulo que se desvía de su rumbo norte es igual al ángulo α de la figura.

''34 3 7” = km/h 141,4 1

km/h 141,4 tg arc =

S

S tg arc =

y

x

La corriente de un río discurre siguiendo la parte positiva del eje de las abscisas y una barca intenta atravesarlo perpendicularmente. La velocidad del agua es 2 m/s y la de la barca respecto del agua 3 m/s. Expresa estas velocidades de forma vectorial y calcula, de forma vectorial, la velocidad de la barca respecto de la orilla. )Qué ángulo forma esa velocidad con la corriente? )Cuánto vale el módulo

de la velocidad?

Las velocidades del agua y de la barca son: m/s j· 3 = v m/s; i ·2 = v barcaagua

La velocidad de la barca respecto a la orilla es igual a la suma vectorial de las velocidades anteriores.

m/s j· 3 + i· 2( = v + v = v barcaaguatotal

El módulo de la velocidad es: m/s 3,6 = )m/s (3 + )m/s (2 = |v| 22total

El ángulo que forma con la corriente es: ''63 '81 56 = m/s 2

m/s 3 tg arc =

v

v tg arc =

x

y

Un camión está atascado en un camino, y para desatascarlo se emplean dos tractores. Uno de ellos tira de él con una fuerza de 5 000 N formando un ángulo de 30º con el eje de abscisas y el otro actúa con una fuerza de 4 000 N formando un ángulo de 60º con el citado eje. Si se desean sustituir los dos tractores por uno sólo que tenga el mismo efecto, )con que fuerza actuará? )Qué sentido tendrá

esa fuerza? Descomponiendo las fuerzas en sus componentes y sumándolas:

Sx = 5 000 N cos 30º + 4 000 N cos 60º = 6 330 N

Sy = 5 000 N sen 30º + 4 000 N sen 60º = 5 964 N El tractor único tirará con una fuerza de módulo:

N 697 8 = )N 964 (5 + )N 330 (6 = |S| 22

Que forma un ángulo con el eje de las abscisas: ''14 '17 43 = N 330 6

N 964 5 tg arc =

S

S tg arc =

x

y


Curso 2015/2016 55

TIPOS DE MOVIMIENTOS

Contesta verdadero o falso, justificando las respuestas, para las siguientes cuestiones: a) En un movimiento circular, la velocidad angular tiene la dirección y sentido del movimiento. b) Todos los puntos de una rueda tienen la misma aceleración angular. c) Dos objetos que se lancen verticalmente con la misma velocidad, uno hacia arriba y otro hacia abajo, llegan al suelo con idéntica velocidad. a) Falso, el vector velocidad angular es perpendicular al plano de la trayectoria y su sentido es el del avance de un tornillo que gira como el movimiento. b) Verdadero, la variación de la velocidad angular es la misma para todos los puntos de una rueda. c) Verdadero, ya que el objeto que se lanza hacia arriba vuelve al punto de lanzamiento con la misma velocidad con la que se lanzó pero hacia abajo. Indica a que tipo de movimiento corresponden las gráficas de la figura adjunta. La primera indica que un objeto se acerca al origen con velocidad constante y, por ello, se considera negativa. La segunda representa a un objeto que se frena con aceleración constante. La tercera indica que un objeto se aleja del origen con movimiento uniformemente retardado, aceleración negativa. La tercera muestra un objeto cuya velocidad inicial es mayor que cero y aumenta con aceleración constante. La cuarta señala que la aceleración es constante y positiva.

x v

t t

x

t t

a


Curso 2015/2016 56

Para un móvil que describe una trayectoria circular, deduce la relación entre la aceleración normal y su velocidad angular. Aplicando las relaciones de la velocidad y las otras dos magnitudes, resulta que:

R·R

)R·(a

R·v

R

va 2

2

n

2

n

Escribe la ecuación de la posición y la ecuación vectorial del movimiento para los movimientos rectilíneos representados en la figura adjunta. La ecuación de la posición de un movimiento rectilíneo uniforme es: x = x0 + v · t La posición inicial es igual a la ordenada en el origen y la velocidad es igual a la pendiente de las correspondientes rectas.

A) x0 = 18 m; s/m5,1s0s18

m18m45

t

xv

; x = 18 m + 1,5 m/s · t

B) x0 = 36 m; s/m8,1s0s15

m36m9

t

xv

; x = 36 m – 1,8 m/s · t

La velocidad de este movimiento es negativa, ya que se acerca al origen de coordenadas. Las ecuaciones vectoriales del movimiento se obtienen multiplicando las ecuaciones escalares por un vector unitario en la dirección del mismo. En este caso por el vector

unitario i.

i·t) · m/s 1,5 m (18 xA

; i·t) · m/s 1,8 m (36 xC

Escribe las ecuaciones vectoriales de la velocidad para los siguientes movimientos representados en la figura adjunta. La ecuación de la velocidad de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es: v = v0 + a · t La velocidad inicial es igual a la ordenada en el origen y la aceleración es igual a la pendiente de las correspondientes rectas.

A) v0 = 25 m/s; 2s/m4s0s25

s/m25s/m125

t

va

; v = 25 m/s + 4 m/s2 · t

B) v0 = 100 m/s; 2s/m5,2s0s30

s/m100s/m25

t

va

; v = 100 m/s – 2,5 m/s2 · t

La aceleración de este movimiento es negativa, ya que se el móvil se frena.


Curso 2015/2016 57

Las ecuaciones vectoriales de la velocidad se obtienen multiplicando las ecuaciones escalares por un vector unitario en la dirección del movimiento. En este caso por el

vector unitario i.

i·t) · m/s 4 m/s(25 v 2A

; i·t) · m/s 2,5 m/s (100 v 2

C

Durante el recreo un compañero que está situado a 45 m de ti se acerca con una velocidad constante de 1,5 m/s. Escribe las expresiones vectoriales del vector de posición inicial, de la velocidad y la ecuación vectorial de la posición respecto de ti. Representa de forma gráfica el movimiento de esa persona. Expresa el vector de posición en el instante t = 8 s. ¿Cuál ha sido su vector desplazamiento y la distancia recorrida desde el instante inicial? Se elige un sistema de referencia con el origen en ti mismo y el la parte positiva del eje X coincidente con la semirrecta que une a las dos personas. La posición inicial del compañero es x0 = 45 y su velocidad es negativa.

Las expresiones pedidas son: i·)t·s/m5,1m45(t·vrr;s/mi·5,1v;mi·45r 00

Para representar gráficamente el movimiento se construye una tabla de valores en la que se recogen los valores de la posición en el transcurso del tiempo.

t (s) 0 10 20 30

x (m) 45 30 15 0

Aplicando la ecuación del vector de posición:

mi·33i·)s8·s/m5,1m45(r8

Y el vector desplazamiento: mi·12mi·45mi·33rrr 08

Como trayectoria es una línea recta, el módulo del vector desplazamiento coincide con la distancia recorrida. Δe = Δr = 12 m Deduce que la velocidad con la que llega al suelo un objeto que se deja caer desde

una altura h es: h·g·2v

Se elige un sistema de referencia con el origen en la posición del lanzamiento y se asigna el signo positivo a las magnitudes que tienen sentido hacia abajo. La velocidad inicial y la posición son iguales a cero, por lo que las ecuaciones del movimiento son:

g

v·

2

1

g

v·g·

2

1h

g

vt

t·g·2

1h

t·gv 22

2

Operado resulta la ecuación pedida: h·g·2v

x (m)

t (s)O 10 20 30

15

30

45


Curso 2015/2016 58

Dos autobuses salen al encuentro el uno del otro desde dos ciudades, A y B, que distan 440 km una de la otra. El autobús que parte de la ciudad A arranca a las diez con una velocidad de 70 km/h y el que sale de la ciudad B parte a las doce con una velocidad de 80 km/h. Determina el lugar y la hora a la que se cruzan en el camino. Representa en un diagrama posición frente al tiempo el movimiento de los dos autobuses. Se elige como origen de posición la ciudad A y como origen de tiempo el momento en el que sale el autobús de la ciudad A. Si en el momento del encuentro el reloj del observador indica t h, el del autobús A es t h y el del B es (t – 2) h. Si al móvil A se le asigna el signo positivo para la velocidad, la del B tiene signo negativo. Las posiciones que ocupan los móviles respecto del sistema de referencia en cualquier instante son: eA = 0 km + 70 km/h · t; eB = 440 km + (- 80 km/h) · (t – 2 h) En el momento del encuentro ocupan la misma posición: eA = eB 70 km/h · t = 440 km - 80 km/h · (t – 2 h); 70 km/h · t = 440 km - 80 km/h · (t – 2 h); 70 km/h · t = 440 km - 80 km/h · t + 160 km; 150 km/h · t = 600 km Despejando: t = 4 h desde que salió en autobús de la ciudad A El punto de encuentro se produce en: eA = 70 km/h · t = 70 km/h · 4 h = 280 km desde el origen. Para construir el diagrama posición tiempo se rellena la siguiente tabla de valores:

t (h) 0 1 2 3 4 5

eA (km) 0 70 140 210 280 350

eB (km) 440 440 440 360 280 200

A: vA= 70 km/h 80 km/h = vB:B

440 km

sale a las 10 h sale a las 12 h

e (km)

t (h)

A

B

1 2 3 40

100

200

300

400

500


Curso 2015/2016 59

Las ruedas de una bicicleta, de 45 cm de radio tardan 0,5 s en dar una vuelta completa. Calcula el período, la frecuencia en rpm y la velocidad angular de la rueda. Calcula la velocidad del ciclista expresada en km/h y la aceleración normal de un punto de la periferia de la rueda. Aplicando las relaciones entre las diferentes magnitudes, se tiene que:

T = 0,5 s; rpm120Hz2s5,0

1

T

1f ; ω = 2 · π · f = 4 · π rad/s

v = ω · R = 4 · π rad/s · 0,45 m/rad = 5,65 m/s = 20,35 km/h

2222

n s/m1,71m45,0·)s/rad·4(R·R

va

Las ruedas grandes de un tractor tienen un radio de 1 m y las pequeñas de 50 cm. Si las ruedas grandes giran con una frecuencia de 3/π Hz, calcula la velocidad del tractor y la frecuencia de giro de las ruedas pequeñas. Sea R el radio de la rueda mayor y r el de la menor. a) La velocidad del tractor es:

v = ωmayor · R = 2 · π · fmayor · R = 2 · π · Hz3

· 1 m = 6 m/s

b) La velocidad lineal es la misma para todo el tractor, por tanto:

v = ωmenor · r = 2 · π · fmenor · r; 6 m/s = 2 · π · fmenor · 0,5 m fmenor = 6/π rad/s En el mismo tiempo, la rueda pequeña da el doble número de vueltas que la rueda mayor. Un disco gira a 45 r.p.m. y se detiene en 6 segundos. ¿Cuántas vueltas ha girado en ese tiempo?

La velocidad angular inicial del disco es: ω = 2 · π · f = 2 · π · 45 r.p.m. s60

min = 1,5 · π

rad/s

La aceleración angular del movimiento es: 2s/rad·25,0s6

s/rad·5,1

t

El ángulo descrito mientras se detiene es: ∆φ = ω0 · t + ½ · α · t2 = 1,5 · π rad/s · 6 s + ½ · (- 0,25 · π) rad/s2 · (6 s)2 = 4,5 · π rad

El número de vueltas es: vueltas25,2vuelta/rad·2

rad·5,4

vuelta/rad·2

radn

R

r


Curso 2015/2016 60

Un móvil arranca desde el reposo siguiendo una trayectoria circular de 3 m de radio y con aceleración angular constante de π rad/s2. ¿Cuánto tarda en dar una vuelta completa? Calcula la velocidad angular y lineal y las aceleraciones normal y tangencial en ese instante. Una vuelta se corresponde con un ángulo φ = 2 · π rad, por lo que aplicando la ecuación del movimiento, resulta que:

φ = φ0 + ω0 · t + ½ · · t2; 2 · π rad = ½ · π rad/s2 · t2 t = 2 s

Aplicando la ecuación de la velocidad: ω = ω0 + · t = 0 rad/s + π rad/s2 · 2 s = 2 · π rad/s Aplicando las relaciones entre las diferentes magnitudes: v = ω · R = 2 · π rad/s · 3 m = 6 · π m/s

at = · R = π rad/s2 · 3 m = 3 · π m/s2; an = ω2 · R = (2 · π rad/s)2 · 3 m = 12 · π2 m/s2

LEYES DE LA DINÁMICA

¿Qué tipo de fuerza actúa sobre una partícula que lleva un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado? Si el movimiento es rectilíneo la fuerza actúa en la misma dirección que el movimiento y al ser uniformemente acelerado entonces la aceleración es constante y. por ello, la fuerza también. ¿Por qué es más fácil arrastrar un objeto sobre una superficie horizontal que elevarlo? Para arrastrar a un objeto hay que vencer su inercia y para elevarlo hay que vencer a su peso además de su inercia. Identifica las fuerzas que intervienen en el acto de caminar. ¿Por qué no se puede caminar sobre una superficie deslizante? Al caminar se empuja al suelo hacia atrás y hacia abajo. La reacción del suelo hacia delante y hacia arriba, es lo que permite caminar. Si entre la suela del zapato y el suelo no hay rozamiento, entonces no se puede empujar al suelo hacia atrás y el no puede actuar sobre el zapato hacia delante.


Curso 2015/2016 61

Explica el por qué al soltar un globo hinchado se observa que sale despedido erráticamente hacia adelante. En un globo hinchado la presión interior es mayor que la exterior y por ello al soltarlo sale el aire despedido por su boquilla. Como consecuencia el globo se impulsa hacia delante para así conservar la cantidad de movimiento. Un vehículo de 900 kg de masa arranca desde el reposo y alcanza una velocidad de 90 km/h en 10 s. Calcula la variación de su cantidad de movimiento, la aceleración y la fuerza con la que actúa su motor, supuesta constante. El módulo de la velocidad expresada en unidades del SI es: v = 90 km/h = 25 m/s. Se elige como origen de un sistema de referencia un punto del arcén y el eje X la carretera y su sentido positivo el del movimiento. La variación de la cantidad de movimiento del vehículo es:

m/s · kg i 005 22 = 0) - m/s i 5(2· kg 900 = )v - v( ·m = v · m = p 12

La aceleración es: 2s/mi5,2s10

s/mi·25

t

va

Aplicando la Segunda ley de Newton: N i· 025 2 = s 10

m/s · kg i· 00225 =

t

p = F

Un objeto de 200 g de masa se mueve con una velocidad que queda determinada,

en unidades del SI, por la expresión j·t·2i·tv

. Calcula la expresión de la fuerza

media que actúa sobre la partícula entre los instantes 3 s y 4 s. La fuerza media que actúa sobre un objeto es igual a la relación entre la variación de la cantidad de movimiento que experimento el objeto y el tiempo empleado en esa variación. La velocidad del objeto en los instantes considerados es:

m/s j · 6 i · 3 j·3·2i·3v s 3 t

; m/s j · 8 i · 4 j·4·2i·4v s 4 t

La fuerza media que actúa sobre el objeto es:

N j · 0,4 i · 0,2 s 2 - s 4

m/s j · 2 i · kg 0,2

t

)v v( · m

t

p - p

Δt

pΔF s 3 ts 4 ts 3 ts 4 t

media


Curso 2015/2016 62

La gráfica de la figura adjunta muestra la evolución de la velocidad de un objeto, de 2 kg de masa, en función del tiempo. Dibuja la correspondiente gráfica de la fuerza frente el tiempo. En primer lugar se determina la aceleración del objeto en cada tramo de la representación gráfica y a continuación se calcula la intensidad de la fuerza que actúa, aplicando la Segunda ley de Newton.

Tramo desde t = 0 s hasta t = 2 s:

s

m 3 =

s 2

s/m0m/s 6 =

t

v = a

2

2

;

F = m a = 200 kg 3 m/s2 = 600 N

Tramo desde t = 2 s hasta t = 8 s: s

m 0 =

t

v = a

2

; F = m

a = 0 N Tramo desde t = 8 s hasta t = 12 s:

s

m 0,5 =

s 4

m/s 6 - m/s 8 =

t

v = a

2

;

F = m a = 200 kg 0,5 m/s2 = 100 N Tramo desde t = 12 s hasta t = 16 s:

s

m 2 - =

s 4

m/s 8 - m/s 0 =

t

v = a

2

; F = m a = 200 kg (- 2) m/s2 = - 400 N

Compara la fuerza que debe actuar para comunicar a un objeto que tiene una masa de 2 kg una aceleración de 3 m/s2 en los tres casos siguientes y prescindiendo del rozamiento: Trasladarlo por una superficie horizontal, elevarlo y dejarlo caer. Los correspondientes esquemas de las tres situaciones se representan en la figura adjunta. Se elige un sistema de referencia centrado en el objeto, el eje X la horizontal y el eje Y la vertical. Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica, resulta que: Para trasladar a un objeto horizontalmente, la fuerza aplicada debe vencer a la inercia.

;a·mFx

F = m a = 2 kg 3 m/s2 = 6 N

Para elevar un objeto hay que vencer al peso y a la inercia, por tanto:

a·mPF;a·mFy

; F – P = m · a; F = m g + m a = m (g + a) = 2 kg (9,8 m/s2 + 3

m/s2) = 25,6 N

0 4 8 12 16 t (s)

200

400

600

F (N)

- 200

- 400

P

N

F

a

a) se traslada

P

F

a

b) asciende

P

F

a

c) desciende


Curso 2015/2016 63

Cuando el objeto desciende la fuerza aplicada se opone al peso con el fin de frenarlo, por tanto:

a·mPF;a·mFy

; F– P = m ·(-a); F = m g - m a = m (g - a) = 2 kg (9,8 m/s2 - 3

m/s2) = 13,6 N Un automóvil de 2000 kg de masa pasa del reposo a 108 km/h en 10 s, de forma uniforme. El vehículo lleva colgado del techo una bola de 100 g de masa mediante una cuerda de 20 cm de longitud. Calcula el ángulo que forma el péndulo con la vertical. Para un observador inercial, situado fuera del vehículo, las fuerzas que actúan sobre el péndulo son el peso y la tensión de la cuerda. El cuerpo no está en equilibrio y aplicando la segunda ley de Newton:

a · m = P + T ;a · m = F

Se elige un sistema de referencia con el origen en el objeto, el eje X la horizontal y el eje Y la vertical. Se descompone la tensión en la componente horizontal y vertical y como en la dirección vertical el objeto está equilibrio siempre que la aceleración sea constante, resulta que:

g · m = cos · T 0 = P + T ; 0 = F

a · m = sen · T a · m = T ; a · m = F

yy

xx

g

atg

La aceleración del vehículo es: v = 108 km/h = 30 m/s: 2s/m3s10

s/m30

t

va

Sustituyendo: º17s/m8,9

s/m3tg

2

2

Una barca es arrastrada desde las orillas de un canal. Desde una orilla se tira con una fuerza de 300 N que forma un ángulo de 60º con el eje del canal y desde la otra orilla se tira con una fuerza de 520 N que forma un ángulo de 30º con el citado eje. ¿Se moverá la barca paralelamente a las orillas? Si la barca se desplaza con velocidad constante, ¿cuál es el módulo de la fuerza con la que se opone la corriente? Sobre la barca actúan las tensiones de las maromas que tiran de ella y la fuerza con la que se opone la corriente. Se elige un sistema de referencia con su origen en el punto en que se unen los cables con la barca, el eje Y la corriente del canal y el eje X perpendicular a las orillas. La fuerza resultante en el eje X es:

60º30º

T1

T x1

T y1

T2

T x2

T y2

Fcorriente


Curso 2015/2016 64

;T + T = F 2x1xx

Fx = T1· sen 60º - T2 sen 30º

Fx = 300 · sen 60º - 520 · sen 30º = 0 Luego la barca se desplaza paralelamente a las orillas. Aplicando la condición de equilibrio de traslación, resulta que:

0=F º03 cos · T + º60cos · T ; 0 = F + T + T ; 0 = F corriente21corriente2y1yy

Sustituyendo: Fcorriente = 300 N · cos 60º + 520 · cos 30º = 600 N Una bola de masa 0,1 kg se suelta desde una altura de 2 m y, después de chocar con el suelo, rebota hasta 1,8 m de altura. Determinar el impulso recibido al chocar con el suelo. El impulso que recibe la pelota durante el bote es igual a la variación de su cantidad de movimiento durante el mismo. Eligiendo un sistema de referencia con el eje Y la vertical

y aplicando la ecuación: h · g · 2v , se calcula la velocidad antes y después del bote.

s/m)j(·26,6vm/s 6,26m 2 · m/s 9,8 · 2h · g · 2v antes2

antes

s/mj·94,5vm/s 5,94m 1,8 · m/s 9,8 · 2h · g · 2v después2

después

Y aplicando la definición de impulso, resulta que:

s·m·kgj·22,1s/m)j(·26,6s/mj·94,5(·kg1,0)vv(·mpI antesdespués

Un jugador recibe una pelota de 50 g de masa con una velocidad de 20 m/s. Si la golpea con una raqueta con una fuerza de 200 N, de sentido contrario a la velocidad, durante 0,015 s, calcula la velocidad con la que sale despedida de su raqueta. Supóngase que la pelota se mueve inicialmente hacia la derecha y se elige el eje X de un sistema de referencia la dirección del movimiento. El impulso que actúa sobre la pelota es igual a la variación de su cantidad de movimiento.

v · m - v · m = p - p = p = t · F = I inicialfinalinicialfinal

Sustituyendo: m/s i ·40 = v m/s i · 20 · kg 0,05 - v · kg 0,05 = s 50,01 · N i· 200 ff

La velocidad final tiene la misma dirección y sentido que la fuerza aplicada, es decir sentido contrario al de la velocidad inicial.

v

inicial

v

final

F


Curso 2015/2016 65

Según la ley de Gravitación Universal, la Tierra atrae a los objetos con una fuerza que es proporcional a su masa. Entonces, ¿por qué no caen más rápidamente los objetos que tienen una masa mayor? El peso de un objeto, de masa m, es el mismo tanto si se determina aplicando la Segunda ley de Newton, como utilizando la ley de Gravitación Universal. Denominado g0 a la aceleración con la que caen los objetos en la superficie de la Tierra, de masa mTierra y radio rTierra, se tiene que:

R

m G = g PF

g · m = P

R

m · m G = F

2Tierra

Tierra0

0

2Tierra

Tierra

La aceleración con la que cae un objeto es independiente de su masa. El Sol está situado a una distancia media de 150 millones de km. ¿Cuál es la velocidad y aceleración media de la Tierra en torno al Sol? Representa los vectores anteriores sobre la trayectoria de la Tierra alrededor del Sol. a) La velocidad de traslación de la Tierra es:

m/s 886 29 = s/h 600 3 · h/dÍa 24 · dÍas 365

m 10 · 150 · · 2 =

T

R · · 2 = v

9

Su dirección es la de la tangente a la trayectoria y su sentido el del movimiento. El movimiento únicamente posee aceleración normal, ya que sólo se modifica la dirección del vector velocidad.

sm/ 10 · 5,9 = m 10 · 150

)m/s 886 (29 =

R

v = a

23 -

9

22

n

Su dirección es la de la recta que une los centros de los astros y su sentido hacia el Sol. Calcula la masa del Sol sabiendo que la constante de la tercera ley de Kepler para los planetas del sistema solar tiene el valor de 3,35 · 1018 m3/s2.

La tercera ley de Kepler también se puede expresar como: 2

318

2

3

s

m10·35,3

T

r

Para calcular la masa del astro central se aplica la segunda ley de Newton al movimiento circular del planeta:

2

22astro

2

planeta2

planetaastron

T

r··4

r

M·G;

r

v·m

r

m·M·G;a·mF

Despejando: kg10·98,1s

m10·35,3·

kg/m·N10·67,6

·4

T·G

r··4M 30

2

318

2211

2

2

32

sol


Curso 2015/2016 66

La masa de Júpiter es 318 veces la de la Tierra, su radio medio es 10,85 veces el terrestre y su distancia media al Sol es 5,2 veces la de la Tierra. Con estos datos calcula el período orbital en torno al Sol en relación a un año terrestre y el valor de la gravedad en su superficie en relación al de la Tierra. El período de Júpiter se calcula aplacando la tercera ley de Kepler:

años86,11T)r·2,5(

T

r

año1;

r

T

r

TJ3

T

2

J

3

T

2

3

J

2

J

3

T

2

T

La expresión de la aceleración de la gravedad en la superficie de un astro es:

2T,02

T

T

22T

T

2J

JJ s/m5,26g·7,2

R

M·G

85,10

318

)R·85,10(

M·318G

R

MGg

Dos satélites de comunicaciones A y B (mA > mB) giran alrededor de la Tierra en órbitas circulares de distinto radio (RA < RB). Se pide: a) )Cuál de los dos se

moverá con mayor velocidad lineal? b) ¿Cuál de los dos tendrá mayor período de revolución? Aplicando la segunda ley de Newton a un satélite que gira en torno a la Tierra en una órbita de radio r, resulta que la relación entre la velocidad y el radio de la órbita es:

r

m·Gv

r

vm

r

m·m·G;a·mF T

2

s2

sTn

De lo que se deduce que cuanto pequeño es el radio de la órbita más deprisa se mueve el satélite vA > vB. Aplicando la tercera ley de Kepler a los dos satélites, resulta que:

3A

2B

3B

2A3

B

2B

3A

2A r·Tr·T

r

T

r

T

De donde se deduce que si rB > rA entonces TA < TB, es decir que cuanto menor es el radio de la órbita menos tiempo se tarda en recorrerla, por lo que: TA < TB.

Un planeta describe una órbita circular de radio 1 108 km con un período de rotación 2 años en torno a una estrella de masa mucho mayor. Calcula la masa de la estrella. Para calcular la masa del astro central se aplica la segunda ley de Newton al movimiento circular del planeta:

2

22astro

2

planeta2

planetaastron

T

r··4

r

M·G;

r

v·m

r

m·M·G;a·mF

T rA

rB


Curso 2015/2016 67

Despejando:

kg10·49,1)h/s3600·día/h24·año/días365años2(·kg/m·N10·67,6

)m10·1(··4

T·G

r··4M 29

22211

3112

2

32

astro

Europa, satélite de Júpiter, fue descubierto por Galileo en 1610. Sabiendo que el radio de la órbita que describe es de 6,7· 105 km y su período de 3 días, 13 horas y 13 minutos, calcula: La velocidad de Europa relativa a Júpiter y la masa del planeta. El período de Europa es: T 3 días 13 horas y 13 minutos = 3,07· 105 s

La velocidad orbital del satélite es: s/m10·37,1s10·07,3

m10·7,6··2

T

r··2v 4

5

8

Para calcular la masa del astro central se aplica la segunda ley de Newton al movimiento circular del planeta:

r

v·m

r

m·M·G;a·mF

2

planeta2

planetaastron

Despejando: kg10·9,1kg/m·N10·67,6

km10·7,6·)s/m10·37,1(

G

r·vM 27

2211

8242

astro

Supón que la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa. ¿Aumentaría el valor de la aceración de la gravedad en su superficie? ¿Se modificaría sustancialmente su órbita alrededor del Sol?

El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie es: Tierra,0222g·4

r

M·G4

2

r

M·G

'r

M·G'g

Como la masa permanece constante y se considera localizada en el centro de la Tierra, la fuerza gravitatoria con la que interacciona con el Sol no se modifica y por tanto la órbita no sufre ninguna alteración. Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta Mercurio sabiendo que el radio de Mercurio es igual a la tercera parte del radio terrestre y que la densidad de Mercurio es 3/5 de la densidad de la Tierra. Aplicando la relación entre las densidades se cumple que:

R

R· M

5

3 = M

R π 3

4M

5

3 =

R π 3

4M

;ρ 5

3 = ρ

3T

3MT

M3T

T

3M

MTM

Aplicando la relación entre los radios: RT = 3 RM, se tiene que la relación de las masas es:

M 45

1 =

)R· (3

R · M

5

3 = M T3

M

3MT

M


Curso 2015/2016 68

Aplicando la segunda ley de Newton, la aceleración de la gravedad en la superficie de mercurio es:

sm/ 2 = sm/ 9,8 5

1 = g

45

9 =

R 3

1

M 45

1 G

= R

M · G = g 22

tierra

T

2

T

2M

MM

La aceleración de la gravedad en un planeta es 5 m/s2. Si su radio es igual a la mitad del radio terrestre, calcula la relación de su masa con la masa de la Tierra.

La aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta es: R

M · G = g

2.

Comparando sus valores en los planetas, resulta que: 2TierraPlaneta

2PlanetaTierra

2Planeta

Planeta

2Tierra

Tierra

Tierra

Planeta

R·M

R·M

R

M · G

R

M · G

g

g

Operando: TierraPlaneta2Tierra

2

2

Tierra2

2TierraPlaneta

2PlanetaTierra

Tierra

Planeta M8

1M

8

1

R·s/m8,9

2

R·s/m5

R·g

R·g

M

M

APLICACIONES DE LA DINÁMICA

¿Cuáles son las unidades del coeficiente de rozamiento? ¿Puede ser mayor que la unidad? El coeficiente de rozamiento es la relación entre la fuerza de rozamiento y la fuerza normal, por tanto es un número sin dimensiones. El coeficiente de rozamiento puede tener cualquier valor mayor que cero. Se podría tomar una curva de una carretera si el coeficiente de rozamiento fuera igual a cero. Si la carretera es llana no, ya que no se puede modificar la dirección del vector velocidad. Para poder tomar la curva en ausencia de rozamiento hay que construir un peralte. Representa en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre un satélite en órbita alrededor de la Tierra. ¿Por qué no se cae el satélite? Sobre el satélite actúa solamente la atracción gravitatoria debida a la Tierra. El satélite en órbita tiene una velocidad que es tangente a la trayectoria en cada punto. La atracción gravitatoria es la fuerza centrípeta que proporciona la aceleración normal que modifica la dirección del vector velocidad.

TierraTierra

Fgravitatoria

Fgravitatoria

anormal

v


Curso 2015/2016 69

Justifica las sensaciones que percibe un pasajero que viaja en un vehículo que toma una curva cerrada a una velocidad elevada. Al tomar una curva, y debido a la inercia, los viajeros tienden a seguir con su estado de movimiento que es el de la tangente a la trayectoria. El vehículo, al girar, les empuja con su carrocería y el respaldo del asiento hasta que adaptan los dos movimientos. Por ello se sienten empujados hacia el lado contrario de la curva. ¿Cómo se modifica la fuerza centrípeta necesaria para tomar una curva si se duplica la velocidad de un móvil? La fuerza centrípeta que actúa al tomar una cuerva de radio R a una velocidad v es:

R

v·ma·mF

2

ncentrípeta

Si la velocidad se duplica, la fuerza centrípeta precisa para tomar la curva se multiplica por cuatro:

F· 4 = R

v · m · 4 =

R

v) · (2 · m =

R

v · m = F c

222

c

¿Qué tipo de movimiento sigue un objeto sobre el que actúa una fuerza resultante de módulo constante y perpendicular a la trayectoria. El movimiento es circular uniforme, ya que si el módulo de la fuerza es constante significa que el módulo de la aceleración normal también lo es y por ello no se modifica el módulo de la velocidad. Si la fuerza es perpendicular a la trayectoria significa que no hay aceleración tangencial. ¿Cuando se dice que un objeto está en equilibrio de traslación y de rotación? Expresa las dos condiciones de equilibrio mediante una ecuación. Un objeto está en equilibrio de traslación cuando está en reposo o, si está en movimiento, lo hace con velocidad constante y en línea recta. Un objeto está en equilibrio de traslación si la fuerza resultante que actúa sobre él es igual a cero: Fresultante = 0 Un objeto está en equilibrio de rotación cuando está en reposo o si gira lo hace con velocidad angular constante. Es decir cuando el momento resultante de la suma de todos los momentos de todas las fuerzas respecto al punto de giro considerado es igual a cero: MO, resultante = 0


Curso 2015/2016 70

¿Un objeto extenso puede moverse aunque sobre él actúen fuerzas cuya resultante sea igual a cero? La resultante de un par de fuerzas es igual a cero. Su acción sobre un objeto extenso produce un giro. ¿A qué se denomina momento de una fuerza respecto de un punto? ¿El momento de una fuerza respecto de un punto es una magnitud escalar o vectorial? El momento de una fuerza respecto de un punto es una magnitud vectorial, ya que el sentido de rotación del cuerpo depende del sentido de la fuerza aplicada. Un ejemplo es cuando empujamos una puerta entreabierta, dependiendo del sentido de la fuerza la puerta se cerrará o se abrirá del todo. Otra ejemplo lo tenemos al actuar con una llave sobre un tornillo, dependiendo del sentido de la fuerza, el tornillo se apretará o se aflojará. Un objeto de 50 kg de masa está colocado sobre una superficie horizontal. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético son: μe = 0,6 y μc = 0,4. Calcula la fuerza que se debe aplicar para poner al objeto en movimiento y para mantener su velocidad constante. Las fuerzas que actúan sobre un objeto que se desliza por una superficie con rozamiento son: su peso, la fuerza normal y la fuerza de rozamiento. Se elige un sistema de referencia con el origen en el objeto en el instante de comenzar la observación, el eje X la superficie de deslizamiento y eje Y la vertical y se aplican las leyes de Newton:

g·m·N·FFFF;0 = FF ;0 = F

g·mN0; = P + N 0; = Frozamiento

rozamientorozamientox

y

Si el objeto comienza a deslizarse la fuerza de rozamiento estático adquiere su valor máximo y la fuerza para poner el objeto en movimiento es: F = Frozamiento estático= μestático · m · g = 0,6 · 50 kg · 9,8 m/s2 = 294 N Cuando el objeto está en movimiento actúa la fuerza de rozamiento dinámico, cuyo mádulo es constante mientras que el objeto se deslice. F = Frozamiento dinámico = μdinámico· m · g = 0,4 · 50 kg · 9,8 m/s2 =196 N

M

F

P

N

Frozamiento


Curso 2015/2016 71

Un objeto se desliza por una superficie horizontal con una velocidad de 6 m/s y se detiene después de recorrer 4 m. Calcula el coeficiente de rozamiento al deslizamiento entre la superficie del objeto y el suelo. Las fuerzas que actúan sobre un objeto que se desliza por una superficie con rozamiento son: su peso, la fuerza normal y la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento es la que produce la aceleración necesaria para que el cuerpo se detenga. Se elige un sistema de referencia con el origen en el objeto en el instante de comenzar la observación, el eje X la superficie de deslizamiento y eje Y la vertical y se aplican las leyes de Newton:

g·aa·mg·m·a·mN·;a · m = F ;a · m = F

g·mN;0 = P + N 0; = F

rozamietox

y

La aceleración con que se frena el objeto es independiente de su masa. Aplicando las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado, y como la aceleración es negativa, se tiene:

vf2 – v0

2 = 2 · a · Δx = 2 · μ · g · Δx; 0 m/s – (6 m/s)2 = - 2 · μ · 9,8 m/s2 · 4 m μ = 0,46 Un automóvil de carreras lleva una velocidad de 252 km/h y al frenar se le bloquean los frenos, lo que impide que giren las ruedas. Si el coeficiente de rozamiento entre la goma de las ruedas y el asfalto es μ = 0,95, calcula la distancia que recorre antes de detenerse. La velocidad en unidades del SI es: v = 252 km/h = 70 m/s Las fuerzas que actúan sobre un objeto que se desliza por una superficie con rozamiento son: su peso, la fuerza normal y la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento es la que produce la aceleración necesaria para que el vehículo se detenga. Se elige un sistema de referencia con el origen en el objeto en el instante de comenzar la observación, el eje X la superficie de deslizamiento y eje Y la vertical y se aplican las leyes de Newton:

g·aa·mg·m·a·mN·;a · m = F ;a · m = F

g·mN;0 = P + N 0; = F

rozamietox

y

M

v

P

N

Frozamiento

M

v

P

N

Frozamiento


Curso 2015/2016 72

La aceleración con que se frena el objeto es independiente de su masa. Aplicando las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado, y como la aceleración es negativa, se tiene:

vf2 – v0

2 = 2 · a · Δx = 2 · μ · g · Δx; 0 m/s – (70 m/s)2 = - 2 · 0,95 · 9,8 m/s2 · Δx Δx = 263 m

TRABAJO Y ENERGÍA

¿Qué diferencia hay entre trabajo y esfuerzo físico? Pon un ejemplo para distinguirlos. La energía se transfiere en forma de trabajo cuando una fuerza provoca un desplazamiento. Si la fuerza no se desplaza solamente se realiza esfuerzo. Por ejemplo, aguantar un objeto en lo alto se corresponde con un esfuerzo y subirlo o bajarlo hasta el suelo se corresponde con trabajo. Al estirar un muelle se realiza un trabajo y al mantenerlo estirado solamente un esfuerzo. ¿La energía cinética y la energía potencial gravitatoria dependen del sistema de referencia que se elija? Razona la respuesta. Ambos tipos de energía dependen del sistema de regencia elegido, ya que tanto la velocidad como la altura a la que se sitúe un objeto dependen del sistema de referencia. ¿Cuándo se dice que una fuerza es conservativa? ¿Por qué es importante saber si una fuerza es conservativa? Una fuerza es conservativa cuando tiene la propiedad de que el trabajo neto a lo largo de un recorrido cerrado es igual a cero, tal es el caso del peso y la fuerza elástica. Este trabajo es independiente de la trayectoria, solamente depende de las posiciones inicial y final y se puede aplicar la ley de la energía potencial. Por el contrario, para calcular el trabajo que realiza una fuerza no conservativa, como la fuerza de rozamiento, hay que conocer la trayectoria que se sigue entre dos posiciones.


Curso 2015/2016 73

Dibuja las trayectorias que describen los siguientes objetos: la Luna, una pelota

que bota, un cuerpo que cuelga de un muelle y oscila arriba y abajo. Dibuja los

vectores velocidad y fuerza en varias posiciones de la trayectoria de los

movimientos anteriores. Compara sus direcciones y sentidos.

Para la Luna: el vector velocidad es siempre tangente a la

trayectoria y el vector fuerza siempre está dirigido hacia la

Tierra.

Para la pelota: el vector velocidad tiene sentido hacia arriba al

subir y hacia abajo al bajar, el vector fuerza (peso) tiene sentido siempre hacia abajo.

Para el muelle: el vector velocidad puede tener sentido hacia arriba o hacia abajo, el

vector fuerza siempre tiene sentido contrario al desplazamiento en torno a la posición

central de equilibrio.

Desde una terraza se lanza una pelota horizontalmente y con la misma velocidad se lanza otra hacia abajo. ¿Qué pelota posee mayor velocidad cuando llegue al suelo? Cuando llegan al suelo el módulo de la velocidad es el mismo para las dos pelotas, ya que sobre ellas actúa solo el peso y su energía mecánica se conserva. Describe, desde en punto de vista energético y en ausencia de rozamiento, el movimiento de una pelota que se lanza verticalmente, desde que sale de la mano hasta que regresa a ella. Sobre la pelota solamente actúa su peso y por ello, su energía mecánica permanece constante en todas las posiciones de la trayectoria.

ΔEc + ΔEp = 0 Ec + Ep = constante Se elige como nivel de referencia de la energía potencial el suelo. Al lanzar la pelota, la energía potencial gravitatoria es igual a cero y la energía cinética tiene su máximo valor. Según asciende, la energía cinética disminuye y se transforma en energía potencial. Cuando alcanza su altura máxima, la energía cinética es cero y toda la energía es potencial gravitatoria. Al descender, la energía potencial disminuye a medida que se transforma en energía cinética. Al llegar al suelo, la energía potencial es cero y la energía cinética vuelve a tener su valor máximo.


Curso 2015/2016 74

Aplicando la ley de la conservación de energía, deduce que cuando actúa una fuerza de módulo constante sobre un objeto que se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme la relación entre sus velocidades es: vf

2 – v02 = 2 · a · Δx

Eligiendo la horizontal coincidente con la dirección del movimiento, el trabajo que realiza la fuerza resultante es igual a la variación de la energía cinética. WF = ΔEc; F · Δx = ½ · m · vf

2 – ½ · m · v02; m · a · Δx = ½ · m · vf

2 – ½ · m · v02

Operado: vf2 – v0

2 = 2 · a · Δx Una partícula de masa m se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal lisa. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor el trabajo realizado sobre la partícula por una fuerza horizontal de módulo constante? Aplicando la ley de la energía cinética: el trabajo que realiza la fuerza resultante es igual a la variación de la energía cinética del objeto. Y como el objeto está inicialmente en reposo, entonces resulta que: WFresultante = ∆Ec = ½ · m · v2 Por lo que la grafica corresponde a la figura c. Para estirar un muelle, de constante elástica K, hay que realizar un trabajo W. ¿Qué trabajo hay que realizar para producir un alargamiento el doble del anterior? Eligiendo como origen de referencia la posición normal del muelle, el trabajo que realiza la fuerza externa al estirar el muelle es igual a la variación de la energía potencial elástica. WF = ΔEp elástica = ½ · K xf

2 – ½ · K · xi2 = ½ · K · x2

Si el alargamiento es el doble, el trabajo se multiplica por cuatro. W’F’ = ΔEp elástica = ½ · K xf

2 – ½ · K · xi2 = ½ · K · (2 · x)2 = 4 · ½ · K · x2 = 4 · WF

Un objeto de 2 kg de masa se traslada por una superficie horizontal por la acción de una fuerza de 6 N que forma un ángulo de 30º con la citada horizontal. Si el coeficiente de rozamiento al deslizamiento es igual a 0,2, determina el trabajo que realiza cada una de las fuerzas y la velocidad el objeto después de recorrer 4 m. Sobre el objeto actúan su peso, la fuerza normal, la fuerza aplicada y la fuerza de rozamiento. Hay que determinar el módulo de cada una de las fuerzas. Se elige un sistema de

W(J)

v(m/s)

W(J)

v(m/s)

W(J)

v(m/s)

W(J)

v(m/s)

x

Frozamiento

P

N

F


Curso 2015/2016 75

referencia con el origen centrado en el objeto, el eje X la horizontal y el eje Y la vertical. Como el objeto se desliza por la horizontal, en el eje Y está en equilibrio. En este caso el módulo de la normal no es igual al peso del objeto, descomponiendo la fuerza aplicada en componentes, se tiene:

0 = P + F + N 0; = F yy

; N + F sen φ - P = 0

Despejando: N = m g - F sen 30º = 2 kg 9,8 m/s2 - 6 N sen 30º = 16,6 N

El módulo de la fuerza de rozamiento es: Frozamiento = μ N = 0,2 16,6 N = 3,32 N El trabajo que realizan el peso y la fuerza normal es igual a cero, ya que el desplazamiento de perpendicular a la dirección de las fuerzas. WP = WN = 0

El trabajo que realiza la fuerza aplicada es: WF = = x · F

6 N 4 m cos 30º = 20,78 J

Y el de la fuerza de rozamiento es: WFrozamiento = = x · Frozamiento

3,32 N 4 m cos 180º

= - 13,28 J El trabajo total es la suma de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas, que coincide con el trabajo realizado por la fuerza resultante WFresultante = WF + Wrozamiento = 20,78 J – 13,28 J = 7,5 J Para determinar la velocidad del móvil se aplica la ley de la energía cinética. El trabajo que realiza la fuerza resultante es igual a la variación de la energía cinética del objeto.

WFresultante = ΔEc; WFresultante= ½ · m· v2 – 0; 7,5 J = 2 2 kg v2 v = 2,7 m/s La fuerza que actúa a lo largo de una distancia sobre un objeto, de 24 kg de masa, está representada en la figura adjunta. Si el objeto está inicialmente en reposo, calcula su velocidad al final del recorrido. El trabajo realizado por la fuerza es igual al área encerrada por la curva y el eje de las abscisas.

WF = 2

m20 + m40·N40 =1200 J

Aplicando la ley de la conservación de la energía cinética, el trabajo realizado por la fuerza resultante se emplea en modificar la energía cinética del objeto.

WF = ΔEc = 2 m v2 – 0 v = kg 24

J 1200 · 2 =

m

W· 2 = 10 m/s

10

20

30

40

F (N)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 x (m)


Curso 2015/2016 76

Un automóvil de 1.500 kg que se mueve con una velocidad de 90 km/h se detiene en 60 m por la acción de los frenos. Calcular el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento de los mismos y el correspondiente coeficiente de rozamiento entre freno y cubierta. Suponer que la acción del freno es equivalente a un rozamiento ordinario con el suelo. La velocidad en unidades SI es: v = 90 km/h = 25 m/s La energía cinética del vehículo se intercambia en forma de calor debido al trabajo de rozamiento que realizan los frenos. Aplicando la ley de conservación de la energía y como se supone que la carretera es horizontal, el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento es igual a la variación de la energía cinética. WFrozamiento= ΔEc = ½ · m · v2

final – ½ · m · v2inicial = 0 – ½ · 1500 kg · (25 m/s)2 = - 468

750 J Ahora se calcula la fuerza de rozamiento, para ello se aplica la definición de trabajo y como la fuerza de rozamiento y el desplazamiento forman un ángulo de 180º:

x·FW rozamientoFrozamiento

= Frozamiento· Δx · cos 180; - 468 750 J = Frozamiento · 60 m · (- 1)

Despejando: Frozamiento = 7 812, 5 N Como la superficie de rozamiento es horizontal, resulta que:

Frozamiento = μ · N = μ · m · g; 7812,5 N = μ · 1 500 kg · 9,8 m/s2 μ = 0,53 Un cajón de madera de 100 kg de masa está situado sobre una superficie horizontal cuyo coeficiente de rozamiento es 0,2. ¿Cuál es el trabajo que se efectúa al desplazar el cajón una distancia de 15 m con movimiento uniforme? ¿Y si se recorre esa distancia con una aceleración de 0,3 m/s2. Sobre el cajón actúan su peso, la fuerza normal, la fuerza del motor y la fuerza de rozamiento. No hay variaciones de altura, energía potencial, ni de la velocidad del objeto, energía cinética. Por tanto el motor debe realizar un trabajo igual al trabajo de rozamiento, pero de signo contrario, ya que de otra forma se alteraría la velocidad del objeto. O lo que es lo mismo como la fuerza resultante es igual a cero, velocidad constante, el trabajo total tiene que ser igual a cero. Wmotor + Wrozamiento = 0 El valor del módulo de la fuerza de rozamiento es:

v cons te tan

Frozamiento

x

P

N

Fmotor


Curso 2015/2016 77

Frozamiento = μ · N = μ · m · g = 0,2 · 100 kg · 9,8 m/s2 = 196 N Y el trabajo que realiza esta fuerza es: Wrozamiento = Frozamiento · Δx · cos 180º = 196 N · 15 m (- 1) = - 2940 J Que es mismo que tiene que realizar el motor: Wmotor = 2 940 J En este caso el objeto acelera y por ello aumenta su velocidad y con ello su energía cinética. La fuerza del motor tiene que vencer a la de rozamiento y proporcionar la aceleración del objeto. El trabajo que realiza esta fuerza se emplea en vencer al trabajo de rozamiento y en incrementar la energía cinética de la caja. Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de la caja:

a·mFF;a·mF rozamientomotor

; Fmotor – Frozamiento = m · a; Fmotor = μ · m · g + m · a = m (μ ·

g + a) Sustituyendo: Fmotor = 100 kg · (0,2 · 9,8 m/s2 + 0,3 m/s2) = 226 N Y el trabajo que realiza esta fuerza es: Wmotor = Fmotor · Δx · cos 0º = 226 N · 15 m · 1 = 3 390 J

MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE Enumera varios ejemplos de movimientos periódicos e identifica alguna de sus magnitudes características. Son ejemplos de movimientos periódicos: el movimiento de la Tierra alrededor del Sol y alrededor de sí misma, el del extremo de la manecilla de un reloj, el de la lenteja de un péndulo, en de las copas de los árboles. Una magnitud característica de estos movimientos es el tiempo que tardan los objetos en realizar un recorrido completo y el número de recorridos completos que recorren en la unidad de tiempo. La ecuación general del movimiento de una partícula que describe un movimiento vibratorio armónico simple, en unidades del SI, es: x = 0,10 · sen (π · t + π/2). ¿Cuál es el valor de la amplitud y de la frecuencia del movimiento? Calcula velocidad en el instante t = 2 s. Comparando con la elución general x = A · sen (ω · t + φ0), se tiene que: A = 0,1 m

ω = 2 · π · = π rad/s = π/2 Hz La expresión de la velocidad es:

v = 0,10 · π · cos (π · t + π/2) m/s vt = 2 s = 0,10 · π · cos (π · 2 + π/2) = 0 m/s


Curso 2015/2016 78

Un objeto oscila según un movimiento armónico simple dado por x = A · sen (ω · t). Si el valor de la amplitud de la oscilación es de 6 cm, y la aceleración del objeto es 24 cm/s2 cuando la posición es x = - 4 cm, calcula la aceleración cuando x = 1 cm y la velocidad máxima del objeto. Aplicando las definiciones de velocidad y aceleración de una partícula, resulta que: v = A · ω · cos (ω · t); a = - A · ω2 · sen (ω · t) = - ω2 · x Aplicando las condiciones que se indican, resulta que la pulsación, ω, es:

a = - ω2 · x; 24 cm/s2 = - ω2 · (- 4 cm) ω = 2,45 rad/s Las expresiones de la posición, velocidad y aceleración son: x = 6 cm · sen (2,45 rad/s · t); v = 6 cm · 2,45 rad/s · cos (2,45 rad/s · t) = 14,7 cm/s · cos (2,45 rad/s · t) a = - (2,45 rad/s)2 · x = - 6 rad/s2 · x La aceleración en la posición pedida es: a = - 6 rad/s2 · 1 cm = - 6 cm/s2 La velocidad máxima es: vmáxima = 14,7 cm/s Un objeto que oscila con una frecuencia angular ω = 8,0 rad/s, se encuentra en el instante inicial, t = 0, en la posición x0 = 4 cm y lleva una velocidad de v0 = - 25 cm/s. Escribe la expresión de la posición x en función del tiempo. Las expresiones generales de la posición y velocidad de un objeto que vibra con movimiento armónico simple son:

x = A · cos (ω · t + φ0); v = dt

dx = - A · ω · sen (ω · t + φ0)

Dividiendo ambas expresiones, resulta que: x

v = - ω tag (ω · t + φ0)

Sustituyendo las condiciones iniciales: cm4

s/cm25 = - 8,0 rad/s · tag (ω· 0+ φ0)

Despejando, la fase inicial es: tag φ0 = 0,78125 → φ0 = 0,66 rad Sustituyendo en la ecuación de la posición inicial, resulta que la amplitud del movimiento es: 4 cm = A · cos (ω · 0 + 0,66 rad) → A = 5,08 cm La expresión pedida es: x ( t) = 5,08 · cos (8,0 · t + 0,66) cm


Curso 2015/2016 79

La expresión general del movimiento de una partícula que describe un movimiento vibratorio armónico es: yt = 0,265 · sen (6 · π · t + π) en unidades del SI. Determina la amplitud, la pulsación, el período, la frecuencia y la fase inicial del movimiento. Calcula la diferencia de fase entre el instante inicial y el instante 12 s. Deduce la ecuación de la velocidad y calcula los instantes en los que adquiere su valor máximo. Comparando la ecuación dada con la expresión general del movimiento: yt = A · sen (ω · t + φ0).

A = 0,265 m; ω = 6 · π rad/s; Hz3rad·2

s/rad·6

rad·2

; T = 1/ = 1/3 s; φ0 = π rad

En el instante inicial la particular está en el centro de la oscilación y se dirige hacia elongaciones negativas: y0 = 0,265 · sen (6 · π · 0 + π) = 0 m La diferencia fase entre los instantes pedidos es: Δφ = φ - φ0 = 6 · π · 12 + π - (6 · π · 0 - π) = 36 · 2 · π rad en fase

De otra forma multiplicando y dividiendo por el período: Δt = 12 s T·36s1/3

T

Han trascurrido 36 oscilaciones completas. La ecuación de la velocidad es: vt = 1,59 · π · cos (6 · π · t + π) m/s → vmáximo = 1,59 · π m/s Su valor es máximo cada vez que pase por el origen que es el instante inicial y cada medio período. En efecto, el valor de la velocidad es máximo si:

cos (6 · π · t + π) = ±1 6 · π · t + π = n · π; 6 · t + 1 = n 6

1nt

Y poniendo en función del período: 2

T)1n(

2·3

1nt

= con n = 1, 2, 3……

Representa gráficamente el movimiento vibratorio armónico simple de una partícula que queda descrito por la ecuación: y = 5 · cos (10 · t + π/2), en unidades SI. Representa gráficamente otro que tenga una amplitud doble y una frecuencia la mitad del anterior. Comparando la expresión anterior con la un movimiento armónico simple: y = A · cos (ω · t + φ0), se tiene que las constantes del movimiento son:

A = 5 m; ω = 10 rad/s; φ0 = π/2 rad; s5

1T;Hz

5

rad·2

s/rad10

·2

Para representar gráficamente la función anterior frente al tiempo se construye la siguiente tabla de valores y se representa la elongación frente al tiempo.


Curso 2015/2016 80

t (s) 0 T/4 = π/20 T/2 = π/10 3 · T/4 = 3 · π/20 T = π/5

ω · t (rad) 0 π/2 π 3 · π/2 2 · π

ω · t + φ0 (rad) π/2 π 3 · π/2 2 · π 2 · π + π/2

y (m) 0 - 5 0 5 0

Las constantes del segundo movimiento son:

A’ = 2 · A = 10 m; ω’ = ω/2 = 5 rad/s; = v’/2 = 5/(2·π) Hz; T’ = 2 · T = 2 · π/5 s Y La ecuación del movimiento es: y = 10 · cos (5 · t + π/2) Construyendo la correspondiente tabla de valores, se tiene:

t (s) 0 T’/4 = π/10 T’/2 = π/5 3 · T’/4 = 3 · π/10 T’ = 2 · π/5

ω’ · t (rad) 0 π/2 π 3 · π/2 2 · π

ω’ · t + φ0 (rad) π/2 π 3 · π/2 2 · π 2 · π + π/2

y’ (m) 0 - 10 0 10 0

La figura adjunta representa gráficamente la velocidad frente al tiempo del movimiento vibratorio armónico de una partícula de 0,1 kg de masa a lo largo al eje OX. Escribe la ecuación de la elongación de la partícula en función del tiempo y calcula los valores de la energía cinética y potencial elástica en el instante 0,05 s. El período del movimiento son 0,4 s, por lo que la frecuencia angular es:

s/rad·54,0

·2

T

·2

La amplitud se calcula con su relación con la velocidad máxima: vmáxima = 2 cm/s

vmáxima = A · ω; 2 cm/s = A · 5 · π rad A = 0,127 cm

y’ (m)

t (s)

10

- 10

2/5/10 3/10

0

/5

y (m)

t (s)

5

- 5

/20/10 3/20

0

/5

0,2 0,4 0,6 0,8

t (s)

v (cm/s)

2

1

0

-1

-2


Curso 2015/2016 81

Como la velocida inicial es máxima, la partícula está situada, en ese instante, en la posición central y se dirige hacia elongaciones positivas. Por tanto, si se usa la función seno entonces la fase inicial es φ0 = 0 rad.

x = 0,127 · 10-2 · sen (5 · π · t) m xt = 0,05 s = 0,127 · 10-2 · sen (5 · π · 0,05) = 9,0 · 10-4 m

v = 0,127 · 10-2 · 5 · π · cos (5 · π · t) m/s vt = 0,05 s = 1,99 · 10-2 · cos (5 · π · 0,05) = 1,4 · 10-2 m/s La energía cinética en ese instante es: Ec = ½ · m · v2 = ½ · 0,1 kg · (1,4 · 10-2 m/s)2 = 9,9 · 10-6 J Y la energía potencial elástica es: Ep = ½ · K · x2 = ½ · m · ω2 · x2 = ½ · 0,1 kg · (5 · π rad/s)2 · (9,0 · 10-4 m)2 = 9,9 · 10-6 J En ese instante coinciden los valores de las dos energías.

CONSTITUCIÓN DEL ÁTOMO- MODELOS...

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