Considérese el circuito en serie de la figura[1] (1)
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Considérese el circuito en serie de la figura. Inicialmente el condensador está descargado. Si se cierra el interruptor I la carga empieza a fluir produciendo corriente en el circuito, el condensador se empieza a cargar. Una vez que el condensador adquiere la carga máxima, la corriente cesa en el circuito. En el circuito de la figura tendremos que la suma V ab +V bc +V ca =0 El extremo a tiene un potencial mayor que el extremo b de la resistencia R ya que la corriente fluye de a a b. De acuerdo a la ley de Ohm V ab =iR La placa positiva del condensador b tiene mayor potencial que la placa negativac, de modo que V bc =q/C. El terminal positivo de la batería a tiene mayor potencial que el terminal negativoc, de modo que V ca =-V ε , donde V ε es la fem de la batería La ecuación del circuito es iR+qC−Vε=0 Teniendo en cuenta que la intensidad se define como la carga que atraviesa la sección del circuito en la unidad de tiempo, i=dq/dt, tendremos la siguiente ecuación para integrar
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diseño de un condensador
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Considérese el circuito en serie de la figura. Inicialmente el condensador está descargado. Si se cierra el interruptor I la carga empieza a fluir produciendo corriente en el circuito, el condensador se empieza a cargar. Una vez que el condensador adquiere la carga máxima, la corriente cesa en el circuito.
En el circuito de la figura tendremos que la suma
Vab+Vbc+Vca=0
El extremo a tiene un potencial mayor que el extremo b de la resistencia R ya que la corriente fluye de a a b. De acuerdo a la ley de Ohm Vab=iR
La placa positiva del condensador b tiene mayor potencial que la placa negativac, de modo que Vbc=q/C.
El terminal positivo de la batería a tiene mayor potencial que el terminal negativoc, de modo que Vca=-Vε , donde Vε es la fem de la batería
La ecuación del circuito es
iR+qC−Vε=0
Teniendo en cuenta que la intensidad se define como la carga que atraviesa la sección del circuito en la unidad de tiempo, i=dq/dt, tendremos la siguiente ecuación para integrar
Rdqdt=Vε−qC∫0qdqCVε−q=1RC∫0tdt q=CVε(1−exp(−tRC))
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la intensidad en función del tiempo
i=dqdt=VεRexp(−tRC)
La carga tiende hacia un valor máximo C·Vε al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito.
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La intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo, hasta que se hace cero cuando el condensador adquiere la carga máxima.
La cantidad RC que aparece en el denominador de t se denomina constante de tiempo del circuito. Este representa el tiempo que tomará a la corriente para decrecer hasta 1/e de su valor inicial.
Un tubo-capilar alimentado por un flujo constante producido por un frasco de Mariotte es la analogía hidráulica de la carga de un condensador.
Descarga de un condensador
Consideremos ahora el circuito que consta de un condensador, inicialmente cargado con carga Q, y una resistencia R, y se cierra el interruptor I.
La ecuación del circuito será la siguiente.
Vab+Vba=0
Como la corriente va de a hacia b, el potencial de a es más alto que el potencial de b. Por la ley de Ohm Vab=iR.
En el condensador la placa positiva a tiene más potencial que la negativa b, de modo que Vba=-q/C.
La ecuación del circuito es
iR-q/C=0
Como la carga disminuye con el tiempo i=-dq/dt. La ecuación a integrar es
La carga del condensador disminuye exponencialmente con el tiempo. Derivando con respecto del tiempo, obtenemos la intensidad, en el sentido indicado en la figura.
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que disminuye exponencialmente con el tiempo.
La descarga tubo-capilar es la analogía hidráulica de la descarga del condensador.
Balance energético
La energía inicial del condensador es
La energía disipada en la resistencia hasta el instante t es
La energía almacenada en el condensador en forma de campo eléctrico en el instante t es
Comprobamos que Ec=E0-ER. La energía en el condensador se disipa en la resistencia. Cuando se completa el proceso de descarga t→∞, toda la energía almacenada en el condensador se ha disipado en la resistencia
Ejemplo:
Sea un condensador de capacidad C=1.5 F en serie con una resistencia de R=58 kcargado inicialmente con Q=45μC. Empecemos a contar el tiempo cuando se cierra el interruptor. En el instante t=60 ms
La carga del condensador es
La intensidad es
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La energía almacenada inicialmente en el condensador es
La energía disipada en la resistencia es
La energía acumulada en el condensador es
Actividades
Se introduce
La capacidad C del condensador, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Condensador
La resistencia R, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Resistencia
La carga inicial Q del condensador se ha fijado en el programa
Se pulsa el botón titulado Empieza
Se observa la descarga del condensador, su color pasa gradualmente de rojo (carga positiva) y azul (carga negativa) a blanco (descargado) . A la derecha del applet, se traza la gráfica de la carga q y de la intensidad i en función del tiempo.
Elegir dos valores de la resistencia R1 y R2 y dos valores de la capacidad C1 y C2 de modo que R1·C1=R2·C2. Observar como decrece la carga y la intensidad.
