INTRODUCCIN

En el captulo anterior la mayor parte de los problemas relacionados con el movimiento de partculas se resolvieron mediante el uso de la ecuacin fundamental del movimiento F=ma. Dada una partcula sobre la que se ejerce una fuerza F, se podra resolver esta ecuacin para la aceleracin a; luego, aplicando los principios de la cinemtica sera posible determinar a partir de a la velocidad y la posicin de la partcula en cualquier tiempo. El uso de la ecuacin F=ma. Junto con los principios de la cinemtica permiten obtener dos mtodos de anlisis adicionales, el mtodo del trabajo y la energa y el mtodo del impulso y la cantidad de movimiento. La ventaja de estos mtodos radica en el hecho de que hacen que resulte innecesaria la determinacin de la aceleracin. En realidad, el mtodo del trabajo y la energa relaciona directamente la fuerza, la masa, la velocidad y el desplazamiento, en tanto que el mtodo del impulso y la cantidad de movimiento relaciona la fuerza, la masa, la velocidad y el tiempo. Primero se considera el mtodo del trabajo y la energa. Luego se analizan el trabajo de una fuerza y la energa cintica de una partcula y se aplica el principio del trabajo y la energa a la solucin de problemas de ingeniera. Los conceptos de potencia y eficiencia de una mquina.

Trabajo de una fuerza

Se definen primero los trminos desplazamiento y trabajo en la forma que se utilizan en mecnica. Considere una partcula que se mueve de un punto A a un punto cercano A. Si r denota el vector de posicin correspondiente al punto A, el vector que une a A y a A puede denotarse mediante la diferencial dr; el vector dr se denomina el desplazamiento de la partcula. Suponga ahora que una fuerza F acta sobre la partcula. El trabajo de la fuerza F correspondiente al desplazamiento dr se define como la cantidad

dU =F dr

obtenida al formar el producto escalar de la

fuerza F y el desplazamiento dr. Denotando por medio de F y ds,

respectivamente, las magnitudes de la fuerza y el desplazamiento, y

mediante el ngulo formado por F y dr, y recordando la definicin de

producto escalar de dos vectores, se escribe

dU = F ds cos Utilizando la frmula (PQ= PxQx + PyQy + PzQz), es posible expresar tambin el trabajo dU en trminos de las componentes rectangulares de la fuerza y del desplazamiento: dU = Fx dx + Fy dy + Fz dz Al ser una cantidad escalar, el trabajo tiene magnitud y signo, pero no Direccin.

ENERGA CINTICA DE UNA PARTCULA.

PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGA

Considere una partcula de masa m que se somete a una fuerza F y que se mueve a lo largo de una trayectoria que es rectilnea o curva. Al expresar la segunda ley de Newton en trminos de las

componentes tangenciales de la fuerza y de la aceleracin se escribe Donde v es la velocidad de la partcula. Al recordar que v=ds/dt, se obtiene Al integrar desde A1, donde s = s1 y v = v1, hasta A2, donde s =s2 y v =v2, se escribe El miembro de la izquierda de la ecuacin representa el trabajo U1y2 de la fuerza F ejercida sobre la partcula durante el desplazamiento de A1 a A2; como se indica en la seccin 13.2, el trabajo U1y2 es una cantidad escalar. La expresin mv2 es tambin una cantidad escalar; se define como la energa cintica de la partcula y se denota mediante T. Se escribe Al sustituir en , se tiene la cual expresa que, cuando la partcula se mueve de A1 a A2 bajo la accin de una fuerza F, el trabajo de la fuerza F es igual al cambio de la energa

cintica de la partcula. Lo anterior se conoce como el principio del trabajo y la energa. Al rearreglar los trminos se escriben As, la energa cintica de una partcula en A2 puede obtenerse agregando a su energa cintica en A1 el trabajo realizado durante el desplazamiento de A1 a A2 que lleva a cabo la fuerza F ejercida sobre la partcula. Al igual que la segunda ley de Newton de la cual se deriva, el principio del trabajo y la energa se aplica slo con respecto a un marco de referencia newtoniano. La rapidez v que se emplea para determinar la energa cintica T debe, por tanto, medirse con respecto a un marco de referencia newtoniano.

ENERGA POTENCIAL Considere de nuevo un cuerpo de peso W que se mueve a lo largo de una trayectoria curva desde un punto A1 de elevacin y1 hasta un punto A2 de elevacin y 2. En la seccin 13.2 se estudi que el trabajo de la fuerza de gravedad W durante este desplazamiento es

El trabajo de W puede obtenerse entonces al restar el valor de la funcin Wy, correspondiente a la segunda posicin del cuerpo, del valor que corresponde a su primera posicin. El trabajo de W es independiente de la trayectoria real seguida; depende slo de los valores inicial y final de la funcin Wy. Esta funcin recibe el nombre de energa potencial del cuerpo respecto a la fuerza de gravedad W, y se denota mediante Vg. Se escribe Se observa que si (Vg)2 > (Vg)1, esto es, si la energa potencial aumenta durante el desplazamiento (como en el caso considerado aqu), el trabajo

U1y2 es negativo. Si, por otro lado, el trabajo de W es positivo, disminuye la energa potencial. Por lo tanto, la energa potencial Vg del cuerpo proporciona una medida del trabajo que puede realizarse mediante su peso W. Puesto que en la frmula pasada nicamente est implicado el cambio en la energa potencial, y no el valor real de Vg, puede agregarse una constante arbitraria a la expresin obtenida para Vg. En otras palabras, el nivel de referencia desde el cual es medida la elevacin y se puede elegir de manera arbitraria. Advierta que la energa potencial se expresa en las mismas unidades que el trabajo, esto es, en joules si se usan unidades SI y en ft lb o in. lb si se utilizan unidades de uso comn en Estados Unidos. Hay que observar que la expresin que se acaba de obtener para la energa potencial de un cuerpo con respecto a la gravedad slo es vlida mientras es posible suponer que el peso W del cuerpo permanece constante. Esto es, siempre y cuando los desplazamientos del cuerpo sean pequeos comparados con el radio de la Tierra. Sin embargo, en el caso de un vehculo espacial debemos tomar en consideracin la variacin de la fuerza de la gravedad con la distancia r desde el centro de la Tierra. Con base en la expresin que se obtuvo en la seccin 13.2 para el trabajo de una fuerza gravitacional, se escribe El trabajo de la fuerza de gravedad puede entonces obtenerse al sustraer el valor de la funcin GMm/r correspondiente a la segunda posicin del cuerpo de su valor correspondiente a la primera posicin. En consecuencia, la expresin que debe usarse para la energa potencial Vg cuando la variacin en la fuerza de la gravedad no puede ignorarse es Si se toma la primera de las relaciones en cuenta, se escribe Vg en la forma alternativa.

Donde R es el radio de la Tierra y W es el valor del peso del cuerpo en la superficie terrestre. Cuando cualquiera de las relaciones entre ambas formulas se usa para expresar Vg, la distancia r debe, desde luego, medirse desde el centro de la Tierra. Advierta que Vg siempre es negativa y que se aproxima a cero para valores muy grandes de r. Considere ahora un cuerpo unido a un resorte y que se mueve de una posicin Al, correspondiente a una deformacin x1 del resorte, a una posicin A2, correspondiente a una deformacin x2 del resorte (figura 13.5). Recurdese de la seccin 13.2 que el trabajo de la fuerza F ejercida por el resorte sobre el cuerpo es El trabajo de la fuerza elstica se obtiene de tal modo al sustraer el valor de la funcin kx2 correspondiente a la segunda posicin del cuerpo de su valor correspondiente a la primera posicin. Esta funcin se denota mediante Ve y se denomina la energa potencial del cuerpo con respecto a la fuerza elstica F. Se escribe Y se observa que durante el desplazamiento considerado, el trabajo de la fuerza F ejercido por el resorte sobre el cuerpo es negativo y que aumenta la energa potencial Ve. Hay que observar que la expresin que se obtuvo para Ve slo es vlida si las deformaciones del resorte se miden a partir de su posicin no deformada. Por otro lado, es posible utilizar la frmula, Incluso cuando el resorte se gira alrededor de su extremo fijo. El trabajo de la fuerza elstica depende nicamente de las deformaciones inicial y final del resorte

Es posible recurrir al concepto de energa potencial cuando estn implicadas fuerzas diferentes a las de la gravedad y elsticas. En realidad, sigue siendo vlido siempre que el trabajo de la fuerza considerada sea independiente de la trayectoria seguida por su punto de aplicacin cuando este punto se mueve de una posicin dada Al a una posicin dada A2. Este tipo de fuerzas se dice que son fuerzas conservativas.

INTRODUCCIN Una vibracin mecnica es el movimiento de una partcula o cuerpo que oscila alrededor de una posicin de equilibrio. La mayora de las vibraciones en mquinas y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y a las prdidas de energa que las acompaan. Por lo tanto, es necesario eliminarlas o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseo apropiado. El anlisis de vibraciones se ha vuelto cada vez ms importante en los ltimos aos debido a la tendencia actual para producir mquinas de ms alta velocidad y estructuras ms ligeras. Hay razones para esperar que esta tendencia continuar y que una incluso mayor necesidad de anlisis de vibraciones se generar en el futuro. El anlisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado textos completos. En consecuencia, este estudio se limitar a los tipos ms simples de vibraciones, a saber, las vibraciones de un cuerpo o un sistema de cuerpos con un grado de libertad. Una vibracin mecnica se produce por lo general cuando un sistema se desplaza de una posicin de equilibrio estable. El sistema tiende a retornar a su posicin bajo la accin de fuerzas restauradoras (ya sea fuerzas elsticas, como en el caso de una masa unida a un resorte, o fuerzas gravitacionales, como en el caso de un pndulo). Pero el sistema por lo general alcanza su posicin original con cierta velocidad adquirida que lo lleva ms all de esa posicin. Puesto que el proceso puede repetirse de manera indefinida, el sistema se mantiene movindose de un lado a otro de su posicin de equilibrio. El intervalo de tiempo requerido para que el sistema realice un ciclo de movimiento completo recibe el nombre de periodo de la vibracin. El nmero de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento mximo del sistema a partir de su posicin de equilibrio se conoce como amplitud de la vibracin. Cuando el movimiento se mantiene nicamente por medio de fuerzas restauradoras, se dice que la friccin es una vibracin libre. Cuando se aplica

una fuerza peridica al sistema, el movimiento resultante se describe como una vibracin forzada. Cuando es posible ignorar los efectos de la friccin se afirma que las vibraciones son no amortiguadas. Sin embargo, todas las vibraciones son en realidad amortiguadas hasta cierto grado. Si una vibracin libre slo se amortigua de manera ligera, su amplitud decrece de manera lenta hasta que, despus de cierto tiempo, el movimiento se interrumpe. Pero si el amortiguamiento es suficientemente largo para evitar cualquier vibracin verdadera, en ese caso el sistema recupera lentamente su posicin original. Una vibracin forzada amortiguada se mantiene siempre y cuando se aplique la fuerza peridica que la produce. Sin embargo, la amplitud de la vibracin se ve afectada por la magnitud de las fuerzas de amortiguamiento.

VIBRACIONES LIBRES DE PARTCULAS. MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE Considere un cuerpo de masa m unido a un resorte de constante k (figura19.1a). Puesto que en el tiempo presente se considera slo el movimiento de su centro de masa, a este cuerpo se le considerar como una partcula. Cuando la partcula est en equilibrio esttico, las fuerzas que actan sobre ella son su peso W y la fuerza T ejercida por el resorte, de magnitud T=k esttica, donde esttica denota la elongacin del resorte. Por lo tanto, se tiene, Supngase ahora que la partcula se desplaza a una distancia xm desde su posicin de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial. Si xm se ha elegido ms pequea que esttica, la partcula se mover hacia un lado y otro de su posicin de equilibrio; se ha generado una vibracin de amplitud xm. Advierta que la vibracin tambin puede producirse impartiendo cierta velocidad inicial a la partcula cuando sta se encuentra en la posicin de equilibrio x = 0 o, de manera ms general, al iniciar el movimiento de la partcula desde una posicin dada x =x0 con una velocidad inicial v0. Para analizar la vibracin, se considerar la partcula en una posicin P en algn tiempo arbitrario t. Denotando por x el desplazamiento OP medido desde la posicin de equilibrio O (positivo hacia abajo), se nota que las fuerzas que actan sobre la partcula son su peso W y la fuerza T ejercida por el resorte que, en esta posicin, tiene una magnitud T = k( esttica + x). Como W=k esttica se encuentra que la magnitud de la resultante F de las dos fuerzas (positiva hacia abajo) es De tal modo la resultante de las

fuerzas ejercidas sobre la partcula es proporcional al desplazamiento OP medido desde la posicin de equilibrio. Recordando la convencin de signos, se advierte que F est dirigida siempre hacia la posicin de equilibrio O. Sustituyendo F en la ecuacin fundamental F = ma y recordando que a es la segunda derivada x de x con respecto a t, se escribe Hay que observar que debe usarse la misma convencin de signos para la aceleracin x y para el desplazamiento x, a saber, positivo hacia abajo. El movimiento definido por la ecuacin recibe el nombre de movimiento armnico simple. ste se caracteriza por el hecho de que la aceleracin es proporcional al desplazamiento y de direccin opuesta. Se puede verificar que cada una de las funciones

satisface la ecuacin Por lo tanto, estas funciones constituyen dos soluciones particulares de la ecuacin diferencial La solucin general de la ecuacin se obtiene al multiplicar cada una de las soluciones particulares por una constante arbitraria y sumando. De tal manera, la solucin general se expresa como

Observe que x es una funcin peridica del tiempo t y que, por lo tanto, representa una vibracin de la partcula P. El coeficiente de t en la expresin obtenida se conoce como la frecuencia circular natural de la vibracin y se denota por wn. Se tiene

Al sustituir en la ecuacin, se escribe

sta es la solucin general de la ecuacin diferencial

Que puede obtenerse de la ecuacin al dividir ambos

trminos entre m y al observar que . Al diferenciar dos veces ambos miembros de la ecuacin

con respecto a t, se obtienen las siguientes expresiones para la velocidad y la aceleracin en el tiempo t: Los valores de las constantes C1 y C2 dependen de las condiciones iniciales del movimiento. Por ejemplo, se tiene C1= 0 si la partcula se desplaza desde su posicin de equilibrio y se suelta en t=0 sin ninguna velocidad inicial, y C2=0 si la partcula empieza desde O en t=0 con cierta velocidad inicial. En general, al sustituir t=0 y los valores iniciales x y v del desplazamiento y la velocidad en las ecuaciones Anteriores de a y v, se halla que Las expresiones obtenidas para el desplazamiento, la velocidad y la aceleracin de una partcula pueden escribirse en una forma ms compacta si se observa que la ecuacin de a expresa que el desplazamiento x=OP es la suma de las componentes de dos vectores C1 y C2, respectivamente, de magnitud C1 y C2, dirigidos como se muestra en la figura 19.2a. Cuando t vara, ambos vectores giran en el sentido de las manecillas del reloj; tambin

se nota que la magnitud de su resultante es igual al desplazamiento mximo xm. El movimiento armnico simple de P a lo largo del eje x puede obtenerse de esta manera proyectando sobre este eje el movimiento de un punto Q que describe un crculo auxiliar de radio xm con una velocidad angular constante (lo cual explica el nombre de frecuencia circular natural

dado a ). Al denotar por el ngulo formado por los vectores y C1, se escribe que conduce a nuevas expresiones para el desplazamiento, la velocidad y la aceleracin de P:

La curva desplazamiento-tiempo se representa por medio de una curva senoidal; el valor mximo xm del desplazamiento se denomina la amplitud de la vibracin, y el ngulo que define la posicin inicial de Q en el crculo se llama ngulo de fase. En la figura se advirti que

un crculo completo se describe cuando el ngulo aumenta en 2 rad. El valor correspondiente de t, denotado por

, se llama el periodo de la vibracin libre y se mide en segundos. Se tiene

El nmero de ciclos descritos por unidad de tiempo se denota mediante fn y se conoce como frecuencia natural de la vibracin. Se escribe

La unidad de frecuencia es una frecuencia de 1 ciclo por segundo, correspondiendo a un periodo de 1 s. En trminos de unidades

fundamentales la unidad de frecuencia es consecuentemente . Se denomina hertz (Hz) en el SI de unidades. Tambin se concluye de la ecuacin que una frecuencia de 1 o 1 Hz corresponde a una frecuencia circular de 2 rad/s. En problemas que implican velocidades angulares expresadas en revoluciones por minuto (rpm), se tiene que Al recordar que se defini en fn en trminos de la constante k del resorte y de la masa m de la partcula, se observa que el periodo y la frecuencia son independientes de las condiciones iniciales y de la amplitud de la vibracin. Hay que observar que Tn y fn dependen de la masa y no del peso de la partcula y, por ello, son independientes del valor de g.

Las curvas velocidad-tiempo y aceleracin-tiempo pueden representarse mediante curvas senoidales del mismo periodo que la curva desplazamiento tiempo, pero con ngulos de fase diferentes. De las ecuaciones De a y v, se nota que los valores mximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleracin son

Puesto que el punto Q describe al crculo auxiliar, de radio xm a la velocidad angular constante , su velocidad y aceleracin son iguales, respectivamente, a las expresiones. Si se recuerdan las ecuaciones De a y v, se halla, por tanto, que la velocidad y la aceleracin de P pueden obtenerse en cualquier instante proyectando sobre el eje x vectores de

magnitudes que representan, respectivamente, la velocidad y la aceleracin de Q en el mismo instante (figura 19.3). Los resultados que se obtienen no se limitan a la solucin del problema de una masa o unidad para un resorte. Es posible utilizarlos para analizar el movimiento rectilneo de una partcula cada vez que la resultante F de las fuerzas que actan sobre una partcula es proporcional al desplazamiento x y est dirigida hacia O. La ecuacin fundamental de movimiento F _ ma puede escribirse entonces en la forma de la ecuacin (19.6), que es caracterstica de un movimiento armnico simple. Al observar que el coeficiente de x debe ser

igual a , es posible determinar con facilidad la frecuencia circular natural del movimiento. Sustituyendo el valor que se obtuvo para en las

ecuaciones de a y v, se obtiene entonces el periodo tn y la frecuencia natural fn del movimiento.

Principio de conservacin de

energa mecnica

Vibraciones mecnicas y

movimiento armnico simple