Conjuntos numéticos
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TEMA N 1Conjuntos numricos
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1. Nmeros Naturales1.1Consecutividad numrica
1.2Paridad e imparidad
1.3Nmeros primos
1.4Mltiplos y divisores
1.5Mnimo Comn Mltiplo y Mximo Comn Divisor
1.6Operatoria en los naturales
Conjuntos Numricos
2. Nmeros Enteros2.1Operatoria en los enteros
2.2Propiedades
2.3Prioridad de las operaciones
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3.Nmeros racionales (Q)
3.1Propiedades de los racionales
3.2Operatoria en los racionales
3.3Transformaciones de nmeros racionales
3.4Comparacin de fracciones
4. Nmeros irracionales (Q*)
5. Nmeros reales ( IR )
3.5Secuencia numrica
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1. Nmeros Naturales (N)
1.1 Consecutividad numrica
Conjunto de la forma:
N= {1, 2, 3, 4, 5, }, conjunto infinito.
Todo nmero natural tiene un sucesor, y se obtiene
sumando 1 al nmero, es decir:
Sucesor
Sin pertenece a IN, su sucesor ser n + 1.
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n - 1 n + 1n
Naturales Consecutivos
Antecesor:
Todo nmero natural (exceptuando el 1), tiene unantecesor, y se obtiene al restar 1 al nmero, esdecir: Sinpertenece a IN, su antecesorser n - 1
antecesor sucesor
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1.2 Paridad e imparidad
Nmeros Pares {2, 4, 6, 8, 10, 2n}
Son de la forma 2n, con nen los naturales.
Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al nmero.Si el nmero es 2n, entonces su
sucesor es 2n+2.
Antecesor par: Se obtiene restando 2 al nmero.Si el nmero es 2n, entonces suantecesor es2n-2.
2n - 2 2n + 22n
Antecesor par Sucesor par
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Se obtiene sumando 2 al nmero.Si el nmero es 2n-1, entoncessu sucesor es 2n+1.
Nmeros Impares {1, 3, 5, 7, 9 ,2n-1}
Son de la forma 2n-1, con nen los naturales.
Sucesor impar:
Antecesor impar:
2n - 3 2n + 12n -1
Antecesor impar Sucesor impar
Se obtiene restando 2 alnmero. Si el nmero es
2n-1, entonces su antecesor es2n-3.
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1.3 Nmeros Primos
Son aquellos nmeros que son slodivisiblespor 1 y por s mismos:
{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
Nota: El 1 no es primo.
1.4 Mltiplos y Divisores
Mltiplos
Se llama mltiplo de un nmero, aquel que se obtiene
al multiplicar dicho nmero por otro cualquiera.
Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son mltiplos de 5.
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Divisores
Se llama divisor de un nmero, aquel valor quelo divide exactamente.
(Est contenido en l, una cantidad exacta deveces)
Por ejemplo:Los divisores de 24 son los nmeros que lo dividenexactamente:
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24}
Nota: El 5 no es divisor de 24, ya que al dividir24 por 5 resulta 4,8.
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Mnimo Comn Mltiplo
El mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de dos o msnmeros, corresponde al menor de los mltiplosque tienen en comn.
Ejemplo:
-Algunos mltiplos de 3 son:{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,, 60}
-Algunos mltiplos de 6 son:
{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 60}
-Algunos mltiplos de 15 son:
{15, 30, 45, 60, 75,}
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m.c.m.= 3 2 5 =30
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30.
(Dentro de los mltiplos que tienen en comn, 30 esel menor).
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a travsdel siguiente mtodo:
3 6 15 3
1 2 5 2
1 5 5
1
Se divide por nmeros primos hasta que en cadacolumna quede 1, y el producto de elloscorresponde al m.c.m.
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Mximo Comn Divisor
El mximo comn divisor (M.C.D.) de dos o msnmeros, corresponde al mayor nmero que losdivide simultneamente.
Ejemplo:
-Los divisores de 36 son:
{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
-Los divisores de 18 son:
{1, 2, 3, 6, 9, 18}
-Los divisores de 24 son:
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
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El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6.
(Dentro de los divisores que tienen en comn, 6 es elmayor).
El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener atravs del siguiente mtodo:
36 18 24 2
18 9 12 36 3 4
Se divide por nmeros primos que sean divisoresde cada nmero, hasta que ya no se pueda dividira todos en forma simultnea.
M.C.D.= 2 3 = 6
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1.6 Operaciones en N
Adicin, sustraccin, multiplicacin ydivisin
Propiedades de la Adicin:
a) Clausura:
b)Conmutativa: Siaybson nmeros naturales,entonces se cumple que:
La suma de dos nmeros naturaleses siempre un natural.
Por ejemplo: 12 + 5 = 5 + 12
a + b = b + a
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c) Asociativa:Sia, by cson nmeros naturales,entonces se cumple que:
a + (b+c) = (a+b) + c
Ejemplo:13 + (5+9) = (13+5) + 9
13 + (14) =(18) + 9
27 = 27
Nota: En los naturales no existe neutro aditivo.
Propiedades de la Multiplicacin:a)Clausura: El producto de dos nmeros naturales
es siempre un natural.
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4 (15) = (20) 3
Si ay bson nmeros naturales,
entonces se cumple que:
Por ejemplo: 4 (53) = (45) 3
Por ejemplo: 345 = 534
a (bc) = (ab) c
b)Conmutativa:
c) Asociativa: Sia, by cson nmeros naturales,entonces se cumple que:
Nota: El elemento neutro de la multiplicacin es el 1.
ab = ba
170 = 170
60 = 60
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2. Nmeros Enteros (Z)
Conjunto de la forma:Z= {, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, }, infinito.
Se puede representar como: Z = Z-U IN0
Z = Z-U {0}U Z+
Recta numrica:
Z- Z+
0-3 -2 -1 1 2 3
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Valor absoluto:
El valor absoluto de un nmero representa la distanciadel punto al origen (cero de la recta numrica).
Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cincounidades, igual que la distancia del -5 al origen.
La notacin es: |5| = 5 y |-5| = 5
-5 505 unidades 5 unidades
Luego,|-20| = 20 |34| = 34 |-12| = 12
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2.1 Operaciones en Z
Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones
en los enteros, debemos considerar algunas reglascon respecto a los signos:
Si ay bson nmeros enteros entonces, se cumple que:
a) a + -b = a b Ejemplo:
5 + - 9 = 5 9 = -4
Ejemplo:b) a (-b) = a + b
12 (-8) = 12 + 8 = 20
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c) Al sumar enteros de igual signo, ste se mantiene.
Ejemplo:
25 + 8 = +33
d) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula ladiferencia entre sus valores absolutos, conservandoel signo del mayor.
Ejemplo:
-10 + 7 = -3
75 + -9 = +66
-5 + - 9 = -14
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-42 -8 = + 336
e) Si ay bson dos nmeros enteros de igual
signo (positivos o negativos), entonces:
- El producto y el cuociente entre ellos es positivo.
f) Si ay bson dos nmeros enteros de distinto signo,
entonces:
- El producto y el cuociente entre ellos es negativo.
Ejemplo:
Ejemplo:
28 : 7 = + 4
125 : -5 = -25
37 -5 = -185
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2.2 Propiedades
La suma de nmeros enteros cumple con la propiedadConmutativa y Asociativa.
Ejemplo:
(-3) + 2 = 2 + (-3)
-1 = -1
La suma en los nmeros enteros tiene elemento
neutro: el cero.
Ejemplo: (-8)+ 0 = -8
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2.3 Prioridad en las operaciones
Tanto en los nmeros naturales como en los enteros,hay operaciones que tienen prioridad sobre otras.
Existe un orden para resolver ejercicios como:
-5 + 15 : 3 - 3 = ?
Qu se resuelve primero?
El orden para ejecutar las operaciones que involucran
parntesis y operaciones combinadas es:
1 Parntesis2 Potencias
4 Adiciones y sustracciones
3 Multiplicacin y/o divisin (de izquierda a derecha)
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Resolver: -5 + 15 : 3 - 3 = -5 + 53= 03
=3
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3.Nmeros Racionales (Q)
Es el conjunto de todos aquellos nmeros quese pueden escribir como fraccin, es decir:
a
b/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ=
Ejemplos:
2; 17; 0; -6; -45; -2;
7
0,489; 2,18; -0,647-1;
8
14;
3
15,0
NOes racional
a: numerador y b: denominador
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Por ejemplo:
3 es Natural (3 IN),
3 es Cardinal (3 IN0), y como
3 = , 3 es racional (3 Q).3
1
IN IN0 Z Q
Todo nmero entero es racional.
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Diagrama representativo:
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3.1 Propiedades de los racionales
Amplificar y simplificar fracciones
Ejemplo:
2
3
Amplificar una fraccin, significa multiplicar, tanto elnumerador como denominador por un mismonmero.
6
6
Al amplificar la fraccin por 6 resulta:2
3
=12
18
-
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Ejemplo:
Simplificar una fraccin, significa dividir, tanto elnumerador como denominador por un mismonmero.
33
= 915
Al simplificar la fraccin por 3 resulta:27
45
27 :45 :
Inverso multiplicativo o recprocode una fraccin
El inverso multiplicativo, o recproco de 2
9es: 9
2
Ejemplo:
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3.2 Operaciones en los racionales
Suma y resta
Ejemplos:
1.Si los denominadores son iguales:
4
15
+7
15
=11
15
2.Si uno de los denominadores es mltiplo del otro:
2
15 +7
45 =23 + 71
45 =6 + 7
45 =13
45
4
15
-7
15
=-3
15
y
-
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3.Si los denominadores son primos entre s:
5
12+
7
18=
53 + 72
36
15 + 14
36= =
29
36
4.Aplicando mnimo comn mltiplo (m.c.m.):
4
5+
7
8=
48 + 57
40
32 + 35
40= =
67
40
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-4
5
8
7=
-32
35=
Multiplicacin:
Ejemplo: -4
5
7
8=
-28
40=
28
40-
Divisin:
Ejemplo: -4
5:
7
8=
32
35-
Nmero Mixto:
Ejemplo:
835 =
85+ 3
5=
43
5
-
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3.3 Transformacin de nmeros racionales
De fraccin a decimal:
Ejemplo:
Se divide numerador por denominador.
74
= 1,75
De decimal finito a fraccin:
Ejemplo:
El numerador corresponde al nmero sin coma, y eldenominador es una potencia de 10 que depende delnmero de decimales que tenga el nmero.
100175 =1,75 = 7
4257254
=
-
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De un nmero decimal peridico a fraccin:
1. El numerador de la fraccin es la diferencia entre elnmero decimal completo, sin la coma, y la parte
entera.
2. El denominador est formado por tantos nueves (9),como cifras tenga el perodo.
Ejemplo 1: 2,35 = 235 2 = 23399 99
Ejemplo 2: 0,376 = 376 0 = 376999 999
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3,21 = 321-32 = 2899090
De un nmero decimal semi peridico a fraccin:
1. El numerador de la fraccin corresponde a la diferencia
entre el nmero decimal completo, sin la coma; y laparte entera incluyendo las cifras del ante perodo.
2. El denominador queda formado por tantos nueves (9),como cifras tenga el perodo, y seguido de tantos ceros(0), como cifras tenga el ante perodo.
Nota:Se llama ante perodo a los nmeros que hay
entre la coma, y el perodo.
Ejemplo:
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3.4 Comparacin de fracciones
Multiplicacin cruzada:
Ejemplo:
Al comparar (Multiplicando cruzado)13
15
9
10y
13 10 y 15 9130 y 135
Como 130 < 135, entonces: 13
15
9
10
35, entonces 13
15
7
12>
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Transformar a decimal:
Ejemplo:
1315
712
Al comparar (Transformando a decimal)y
13
15= 0,86666666
712
= 0,58333333
13
15
7
12>Como 0,86 > 0,583 , entonces
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Ejemplo:En la secuencia: 6 ,
516 ,
5
26 ,
5
36 , ...
5
Qu nmero tendramos que sumar apara obtener el 7 trmino ?
1 ,
5
De acuerdo a las caractersticas de la secuencia,el 7 trmino es 66 .
5
Tendramos que sumar a paraobtener el 7 trmino.
655
1 ,5
65 = 13
5
Es decir:
Respuesta:
3.5 Secuencia Numrica
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Observacin:
La secuencia anterior tambin se puede analizarde la siguiente manera:
1 + 1 ,
5
1 + 3 ,
5
1 + 5 ,
5
1 + 7 ,
5
1 + 13
5
...,
1 2 3 4 ... , 7
Lo que nos permitira saber, por ejemplo,cul es el valor del n-simo trmino de la secuencia?
Respuesta:
Es , ms un nmero impar, lo que se expresa como:1
51 + (2n - 1)
5
(Con n = posicin del trmino)
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Son aquellos que NOse pueden escribir comouna fraccin (decimales infinitos NOperidicos).
4. Nmeros Irracionales (Q*)
,....,,2,3..... Q* =
QU
Q*=
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5. Nmeros Reales (IR)Es el conjunto formado por la unin entre los nmerosracionales y los nmeros irracionales.
IR = Q U Q*
Ejemplos:
Diagrama representativo:
3, -89, -2;7
2,18; ;2 23,491002