Conjuntos

Ing. Juan Antonio Rodríguez Sejas

2.1. Conjuntos - concepto

A la agrupación de objetos formando un todo con un fin u objetivo se denomina conjunto Ej: Conjunto de las vocales (a, e, i, o, u); el conjunto de los estudiantes de la clase de Algebra; el conjunto de las letras del abecedario, etc.

2.2. Conceptos Básicos de Conjuntos

2.2.1. Notación Los conjuntos por lo general se denotan mediante letras mayúsculas y los elementos del conjunto, mediante letras minúsculas encerrados entre llaves.

Ejemplos:

El conjunto V de las vocales: V = {a, e, i, o, u}El conjunto A de las letras del abecedario: A = {a, b, c, d, e, f, g,……x, y, z}

2.2.2. Formas de definir o determinar un Conjunto Un conjunto puede ser determinado de dos maneras o formas:

a).- Por extensiónb).- Por comprensión

Un conjunto se define por extensión cuando se enumeran o se nombran uno a uno a todos los elementos del conjunto separados por comas y encerrados entre llaves.

Ejemplos:

El conjunto V de las vocales: V = {a, e, i, o, u} El conjunto de los planetas de nuestro sistema solar: S = {Marte, Venus, Tierra,… etc.} El conjunto R de las soluciones de la ecuación x 2 + 2x – 3 = 0 R = {-3, 1}

Un conjunto se define por comprensión si y solo si se escribe la propiedad o propiedades características de los elementos del conjunto encerrados entre llaves.

Es importante hacer notar la existencia del símbolo “ / “ que significa “ tal que “

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CONJUNTOS

Ejemplos:

El conjunto V de las vocales: V = {x/ x es una vocal}; Que se puede leer: el conjunto V esta formado por elementos x tal que x es una Vocal.

El conjunto de los planetas de nuestro sistema solar: S = {x/ x es un planeta de nuestro sistema solar} Que se puede leer: el conjunto S esta formado por x elementos tal que x es un planeta de nuestro sistema solar.

El conjunto R de soluciones x = -3 y x = 1: R = {x/ x 2 + 2x – 3 = 0} Que se puede leer como: R es un conjunto con x elementos tal que x es una solución de la ecuación x 2 + 2x – 3 = 0

2.2.3. Relación de Pertenencia

Simbolizado por la letra є, permite mostrar la existencia de una relación de un elemento a su conjunto

Ejemplo: Para el conjunto V = {x/ x es una vocal};

a є V; que se lee “ a es un elemento del conjunto V”

i є V; que se lee “ i es un elemento del conjunto V”

u є V; que se lee “ u es un elemento del conjunto V”

2.2.3. Relación de Inclusión

Definida por una “C” alargada ; permite mostrar una relación de un conjunto a otro conjunto y significa, “esta dentro de “; “esta incluido en” ; “es subconjunto de”

Ejemplos: Sean A y B, dos conjuntos

La relación A B se lee: A esta dentro de B o también A esta incluido en B o también A es subconjunto de B

En símbolos: A B ↔ V x: x є A → x є B

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2.2.4. Diagramas de Venn Los diagramas de Venn son representaciones graficas de los conjuntos, generalmente círculos de forma ovalada. Ejemplo: El conjunto V = {x / x es una vocal}

Su diagrama de Venn correspondiente es:

V a e i

o

u

2.2.5. Igualdad de Conjuntos Sean A y B, dos conjuntos, se dice que ambos conjuntos son iguales si y solo si están formados por los mismos elementos.

En símbolos:

A = B ↔ A B ^ B A

2.3. Conjuntos Especiales

Llamaremos conjuntos especiales a aquellos conjuntos que se caracterizan por el número de elementos:

CONJUNTO VACIO Es aquel conjunto que carece de elementos y se simboliza por Ø y se define

Por comprensión: Ø = { x / x ≠ x } Por extensión: Ø = { } Ejemplos de conjuntos vacíos:

W = { x є N / x < 0 }

A = {x є Z / x 2 = -1}

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CONJUNTO UNITARIO

Es aquel conjunto que tiene un solo elemento

Ejemplos: W = { x / x = 5}

A = { x є N / x 2 = 4 }

CONJUNTO UNIVERSAL

El conjunto universal, llamado también universo o referencial, es un conjunto que engloba a todos los conjuntos de un determinado ámbito o tema; asimismo es un conjunto de cuyos elementos se escogen algunos de ellos para formar otros conjuntos. Es simbolizado por U.

2.4. Conjunto de Partes Sean A un conjunto, se entiende por conjunto potencia o conjunto de partes de A, al conjunto cuyos elementos son a su vez otros conjuntos que llegan a ser todos los subconjuntos de A; este conjunto potencia de A es simbolizado por P (A) o P (A)

Se define por comprensión: P(A) = { X / X A } o también X є P (A) ↔ X A

2.5. Operaciones con Conjuntos

2.5.1. Unión – Propiedades Sean A y B dos conjuntos, la unión de ambos conjuntos, simbolizada por A U B es otro conjunto formado por todos los elementos de A o de B, definiendo en notación conjuntista:

A U B = {x / x є A v x є B}

O también: x є (A U B) ↔ x є A v x є B

En diagramas de Venn:

VER DIBUJO EN LA PIZARRA

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2.5.2. Intersección – Propiedades

Sean A y B dos conjuntos, la Intersección de ambos conjuntos, simbolizada por A ∩ B es otro conjunto formado por los elementos que son comunes a los dos conjuntos dados, definiendo en notación conjuntista:

A ∩ B = {x / x є A ۸ x є B}

O también: x є (A ∩ B) ↔ x є A ۸ x є B



2.5.3. Complemento de un Conjunto Sean A un conjunto definido en un universo U, el complemento de A, simbolizado

por Ac, es el conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A.

En símbolos: Ac = { x є U / x є A}

O también: x є Ac ↔ x є A



2.5.4. Diferencia de Conjuntos

Sean A y B dos conjuntos, la Diferencia de ambos conjuntos, simbolizada por A - B es otro conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B, definiendo en notación conjuntista:

A - B = {x / x є A ۸ x є B}

O también: x є (A - B) ↔ x є A ۸ x є B



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2.5.6. Diferencia Simétrica

Sean A y B dos conjuntos, la Diferencia simétrica entre estos conjuntos, simbolizada por A ∆ B, es otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B, pero no a ambos. También se puede definir como la unión de los conjuntos A – B y B – A. A ∆ B = (A – B) U (B - A)



2.6. Leyes de Operaciones con Conjuntos

1) Leyes de idempotencia A U A = A; A ∩ A = A

2) Leyes conmutativas A U B = B U A; A ∩ B = B ∩ A

3) Leyes asociativas A U ( B U C) = (A U B) U C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

4) Leyes distribuitivas A U ( B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

5) Leyes de absorción A U ( A ∩ C) = A A ∩ (A U C) = A A U U = U A ∩ Ø = Ø

6) Leyes de De Morgan (A U B)C = AC ∩ BC

(A ∩ B)C = AC U BC

7) Leyes de complemento

A U AC = U; ( AC)C = A; UC = Ø A ∩ AC = Ø; A ∩ BC = A – B; ØC = U

8) Leyes de identidad

A U Ø = A; A ∩ U = A

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2.7. Cardinal de un conjunto

Sea A un conjunto finito definido en un conjunto universal U. Se llama “cardinal de A”, al numero de elementos de A y se denota por n(A)

2.8. Propiedades

Sea A, B y C, tres conjuntos dados, entonces:

1) n (A – B) = n(A) – n(A ∩ B)

2) n(A ∆ B) = n(A U B) – n(A ∩ B)

3) n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

4) n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) – n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

Agosto del 2014

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