CÓNICAS

Superficie cónica Cuando una recta g que corta a otra recta e, gira alrededor de ella,

genera una superficie cónica

V

Las cónicas como secciones de un cono.

Circunferencia Al cortar la superficie cónica con un plano se obtienen unas curvas que se llaman cónicas. Las distintas posiciones del plano determinan diferentes

cónicas

Circunferencia: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es perpendicular al eje del cono, corta a todas las generatrices y no

pasa por el vértice.

Las cónicas como secciones de un cono.

Elipse Elipse: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es

oblicuo al eje del cono, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.

Las cónicas como secciones de un cono.

Hipérbola

Hipérbola: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano es paralelo al eje del cono y no pasa por el vértice.

Las cónicas como secciones de un cono.

Parábola Parábola: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es oblicuo al eje del cono, paralelo a una generatriz y no pasa por el vértice.

Cónicas degeneradas

Cuando el plano que corta a la superficie cónica contiene al vértice se obtiene una sección llamada cónica degenerada.

El ángulo que forma el plano con el eje, es mayor que el ángulo formado por el eje con una generatriz

El ángulo que forma el plano con el eje, es menor que el ángulo formado por el eje con una generatriz

El ángulo que forma el plano con el eje, es igual que el ángulo formado por el eje con una generatriz

Cónicas degeneradas

C

Estudio sintético de la

circunferencia Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que

equidistan de un punto fijo llamado centro

Diámetro

Centro

Arco

C P C

Posiciones relativas de un punto y

una circunferencia

Si d(P, O) > r el punto P es exterior

Si d(P, O) = r el punto P está en la circunferencia

Si d(P, O) < r el punto P es interior

Posiciones relativas de una

circunferencia y una recta

• Si d(O, s) > r, la recta s es exterior.

• Recta y circunferencia no tienen puntos en común

• Si d(O, s) = r, la recta s es tangente.

• Recta y circunferencia tienen un punto en común

• Si d(O, s) < r, la recta s es secante.

• Recta y circunferencia tienen dos puntos en común

Posiciones relativas de dos circunferencias

• Si d(O, O') > r + r', las circunferencias son exteriores.

• Las circunferencias no tienen puntos en común

• Si d(O, O') = r + r', las circunferencias son tangentes exteriores.

• Si d(O, O') = r – r', las circunferencias son tangentes interiores.

• Las circunferencias tienen un punto en común

• Si d(O, O') < r – r', las circunferencias son interiores.

• Si además tienen el mismo centro son concéntricas.

• Las circunferencias no tienen puntos en común

Estudio analítico de la circunferencia

P(x, y) Circunferencia d(P, C) = r (x – a)2+(y – b)

2 = r

Ecuación analítica de la circunferencia: (x – a)2+(y – b)2 = r2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

x2 + y2 +D x + E y + F = 0

Inversamente: dada x2 + y2 +D x + E y + F = 0 su centro y el radio serán:

–2a = D

–2b = E

a2+b

2–r

2 = F

a = –

D

2

b = – E

2

r = a2+b

2–F =

1

2 D

2+E

2–4F

Condiciones para que una ecuación

represente a una circunferencia

kx2 +ky2 –2akx –2bky+k(a2+b2 – R2)=0

Ax2 +By2 +Cxy +D x +E y + F =0

Identificando coeficientes se obtiene:

De las dos primeras ecuaciones A = B = k.

Y de las tres últimas: a = – D

2A ; b = –

E

2A ; R =

1

2A D

2+E

2–4AF

C = 0

Si es negativo no existe circunferencia

Potencia de un punto respecto a una

circunferencia

• Los triángulos PAB' y PA'B son semejantes PA . PB = PA' . PB' • Se define Potc(P) = PA . PB = PA' . PB'

Expresión analítica de la potencia

Potc(P) = PA . PB = (d – r) (d + r) = d2 – r2 = (xo – a)2 + (yo – b)2 – r2

d = (xo–a)2+(yo–b)

2

Por tanto: para hallar la potencia de un punto respecto a una circunferencia se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación

de la circunferencia

Potencia y posición relativa

P exterior a la circunferencia

Potc(P) > 0

P interior a la circunferencia

Potc(P) < 0

P sobre la circunferencia

Potc(P) = 0

Posiciones relativas de una recta y una

circunferencia Para saber cuántos puntos en común tienen una recta a x + b y + c=0 y una circunferencia Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 hemos de saber cuántas soluciones tiene el sistema

a x + b y + c = 0 Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0

Mx2 + Nx + P = 0

Al despejar y de la ecuación de arriba y sustituir en la de abajo obtenemos

D= N2 - 4 M P > 0 dos soluciones

dos puntos de contacto

Recta secante

D= N2 - 4 M P = 0 una solución

un punto de contacto

Recta tangente

D= N2 - 4 M P < 0 sin solución

sin puntos de contacto

Recta exterior

•

• •

• Sean C1:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 y C2:x

2 + y2 + D'x + E'y + F' = 0.

• Para que un punto P(x, y) pertenezca al eje radical se ha de cumplir que

PotC1(P) = PotC

2(P) . Es decir:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = x2 + y2 + D'x + E'y + F'

(D – D') x + (E – E') y + (F – F') = 0

Eje radical de dos circunferencias

Se define el eje radical de dos circunferencias como el lugar geométrico de los puntos del planos que tienen igual potencia respecto de ambas.

Por tanto: el eje radical de dos circunferencias es una recta.

Estudio geométrico del eje radical de dos

circunferencias El eje radical es siempre perpendicular a la línea de centros

Estudio sintético de la elipse La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, cuya suma de

distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F y F'), es constante, 2a. Por tanto: PF + PF' = 2a

Eje mayor

Eje menor

Vértices

Eje focal

Eje secundario

• BF + BF' = 2a (BF = BF') 2 BF = 2a BF = a

Segmentos de la elipse. Relación

fundamental • A'A = A'F + FA = A'F + A'F' = 2a OA = OA' = a

a a

• BB' = 2b OB = OB' = b

• FF' = 2c OF = OF' = c

a

c

b

a2 = b2 + c2

Estudio analítico de la elipse Para obtener una ecuación sencilla de la elipse se sitúan los focos en el eje de

abscisas simétricos respecto al origen de coordenadas, por lo que el centro de la elipse quedará en (0,0). Las coordenadas de los focos serán entonces F(c, 0) y

F'(–c, 0).

P(x, y) elipse PF + PF' = 2a (x – c)2+y

2 + (x + c)

2+y

2 = 2a

• Eliminando radicales: (a2 – c2) x2 + a2 y2 = a2 (a2 – c2).

• Como a2 – c2 = b2. Obtenemos: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2, y dividiendo por a2 b2: x

2

a2 +

y2

b2 = 1

• e = c/a • 0 < e < 1 ya que 0 < c < a • En la medida en que e se aproxima a 0 la elipse se parece más a una circunferencia. • En la medida en que e se aproxima a 1 la elipse se parece más a un segmento.

Excentricidad de la elipse

e = 0.1

e = 0.3

e = 0.5

e = 0.7

e = 0.9

Sucesivas elipses en las que a = 5.

Los focos, cuando e pasa de 1 a 0, van acercándose cada vez

más al centro.

La elíptica de la Tierra

La trayectoria que sigue la Tierra alrededor del Sol es elíptica, de manera que el Sol se encuentra en uno de los focos. El semieje mayor de la elipse vale a = 1.485x108 km., y la excentricidad de la elipse es 1/62 (aproximadamente).

SolA

A'

Sentido de

rotación de la

Tierra

Solsticio

de

Invierno

Equinoccio de

Primavera

Solsticio de

Verano

Equinoccio de

Otoño

c

• •a a

•

•

El afelio (máxima distancia al Sol) se alcanza en junio y el perihelio (mínima distancia al Sol) en diciembre. Las estaciones dependen de la altura a la que se eleva el Sol sobre el horizonte durante el día y no de la distancia de la Tierra al Sol. A su vez dicha altura cambia porque el eje de rotación de la Tierra está inclinado con respecto al plano de la elíptica. En general los planetas tienen excentricidades pequeñas: así por ejemplo Marte tiene excentricidad 0'09, y Mercurio 0'25. Por el contrario algunos cometas (como el Halley) tienen excentricidades muy grandes (0'967).

Estudio sintético de la hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, cuya diferencia de

distancias, en valor absoluto, a dos puntos fijos, llamados focos (F y F'), es constante, 2a.

Por tanto: |PF – PF'| = 2a

Eje focal

Eje secundario

Centro

Vértices

Eje mayor

Eje menor

Asíntotas de la hipérbola. Relación

fundamental

Asíntota: y = (b/a) x

Asíntota: y = – (b/a) x

2a

2b a

b c c2 = a2 + b2

• A'A = AF' – A'F' = AF' – AF = 2a OA = OA' = a

• BB' = 2b OB = OB' = b

• FF' = 2c OF = OF' = c

• F

• F'

Estudio analítico de la hipérbola

Para obtener una ecuación sencilla de la hipérbola se sitúan los focos en el eje de abscisas simétricos respecto al origen de coordenadas, por lo que el centro de la elipse quedará en (0,0). Las coordenadas de los focos serán entonces F(c, 0) y

F'(–c, 0).

P(x, y) hipérbola PF – PF'| = 2a (x-c)2+y

2 – (x+c)

2+y

2 |= 2a

• Eliminando radicales: (c2 – a2) x2 – a2 y2 = a2 (c2 – a2).

• Como a2 + b2 = c2. Obtenemos: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2, y dividiendo por a2 b2: x

2

a2 –

y2

b2 = 1

Hipérbola equilátera

Si a = b la hipérbola recibe el nombre de equilátera. Entonces su ecuación será x2 – y2 = a2 y sus asíntotas serán y = x; y = – x

A(a, 0)

A'(–a, 0)

Giro de 45º

Las asíntotas se convierten en los ejes coordenados. La ecuación de la hipérbola ahora es xy = a2/2

F(a 2, 0) . F(-a 2, 0) .

Excentricidad de la hipérbola • e = c/a • e > 1 ya que c > a • En la medida en que e se hace muy grande las ramas de la hipérbola se abren

cada vez más • En la medida en que e se aproxima a 1 las ramas se cierran sobre el eje OX.

Sucesivas hipérbolas en las que a = 5. Los focos, al crecer e, se van

alejando del centro

e = 3

e = 1.1

e = 2

Tangente y normal a una elipse o una

hipérbola en un punto • Ecuación de la recta tangente: y – f(xo) = f '(xo) (x – xo) • Ecuación de la recta normal: y – f(xo) = (–1/ f '(xo)) (x – xo) Propiedad de la tangente: los radio-vectores del punto P forman el

mismo ángulo con la recta tangente en dicho punto.

Diferentes ecuaciones

de la elipse y de hipérbola

Estudio sintético de la parábola La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, que equidistan

de un punto fijo F llamado foco y de una recta d llamada directriz.

• P

V: vértice

Eje

d(P, F)

d(P, d) e = = 1

La excentricidad de la parábola es 1 • F: foco

d: directriz

Parámetro

P(x, y) parábola d(P, F) = d(P, d) x2 +

y – p

2

2=

y +

p

2

02 + 1

2

Estudio analítico de la parábola:

eje en OY y ramas hacia arriba Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de ordenadas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.

Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(0, p/2) y d: y = – p/2

Eliminando radicales: x2 = 2py

• P(x, y)

Estudio analítico de la parábola: eje en OY y

ramas hacia abajo Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de ordenadas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.

Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(0, – p/2) y d: y = p/2

P(x, y) parábola d(P, F) = d(P, d) x2 +

y + p

2

2=

y –

p

2

02 + 1

2

Eliminando radicales: x2 = – 2py

• P(x, y)

Estudio analítico de la parábola: eje en OX y

ramas hacia la derecha Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de abcisas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.

Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(p/2, 0) y d: x = – p/2

P(x, y) parábola d(P, F) = d(P, d)

x – p

2

2 + y

2=

x +

p

2

12 + 0

2

Eliminando radicales: y2 = 2px

• P(x, y)

Estudio analítico de la parábola:

eje en OX y ramas hacia la izquierda Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de abcisas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.

Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(– p/2, 0) y d: x = p/2

P(x, y) parábola d(P, F) = d(P, d)

x + p

2

2 + y

2=

x –

p

2

12 + 0

2

Eliminando radicales: y2 = – 2px

• P(x, y)

Se traslada el vértice a V(xo, yo)

Diferentes ecuaciones de las parábolas (I)

Se traslada el vértice a V(xo, yo)

Se traslada el vértice a V(xo, yo)

Diferentes ecuaciones de las parábolas (II)

Se traslada el vértice a V(xo, yo)

Tangente y normal a una parábola en un punto • Ecuación de la recta tangente: y – f(xo) = f '(xo) (x – xo) • Ecuación de la recta normal: y – f(xo) = (–1/ f '(xo)) (x – xo)

Propiedad de la tangente: La tangente y la normal son las bisectrices de los ángulos que

forman el radio vector de un punto P y una recta paralela al eje que pasa por P.

Propiedad del foco: • Todo rayo que sale del foco se refleja en la parábola con dirección

paralela al eje. • Todo rayo que llega paralelo al eje de la parábola se refleja sobre el

foco

Una nueva visión de las cónicas

Dado un punto F llamado foco y una recta fija d (que no pase por F) llamada directriz y un número e > 0, el conjunto de los puntos P del plano tal que

d(P, F) = e . d(P, d) es una cónica de excentricidad e. • Si e < 1 es una elipse • Si e = 1 es una parábola • Si e > 1 es una hipérbola

Elipses

Parábola

Hipérbola

Traslación de

vector guía

v = (1,4)

Ecuación general de las cónicas • Las ecuaciones más sencillas de las cónicas se obtienen cuando los ejes

coordenados coinciden con sus ejes. • ¿Qué forma tienen dichas ecuaciones cuando la cónica está situada en

cualquier parte del plano?

Elipse de ecuación

x2

9 +

y2

4 = 1 Elipse de ecuación

(x- 1)2

9 +

(y- 4)2

4 = 1

Giro de centro el origen y

amplitud 45º

La ecuación general de una cónica es

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 donde A, B y C no son nulos

a la vez

Elipse de ecuación

( 1

2 (x+y) - 1 )2

9 +

( 1

2 (- x+y) - 4)2

4 = 1

Clasificación de las cónicas

La gráfica de cualquier cónica no degenerada de ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

• es una elipse si: B2 – 4AC < 0 • es una parábola si: B2 – 4AC = 0 • es una hipérbola si: B2 – 4AC > 0 Además si B = 0 los ejes de la cónica son paralelos a los ejes

coordenados y si B 0 la cónica tiene los ejes girados respecto a los ejes cartesianos

La ecuación general de esta cónica es

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

con B = 0 y B2 – 4AC < 0

La ecuación general de esta cónica es

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

con B = 0 y B2 – 4AC > 0

La ecuación general de esta cónica es

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

con B = 0 y B2 – 4AC = 0