Conferencia – taller modelando ecuaciones

Presenta: Prof. Fredes Rodríguez Galarza

Proyecto: Laboratorios Regionales de Matemáticas

Auspiciado por el Departamento de Educación en alianza con la División de Educación Continua y Estudios Profesionales (DECEP) de la

Universidad de Puerto Rico, Recinto de Carolina. Sufragado por fondos federales

de Título I -A.

Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel Colón

1. Saludos 2. Dinámica de presentación 3. Aspectos preliminares a. Estándares y expectativas que se atenderán en el taller. b. ¿Qué es una ecuación? c. Solución y clasificación de ecuaciones. d. Método para resolver un modelo. e. Modelos lineales simples f. Modelos cuadráticos simples. g. Modelos lineales en dos variables. h. Modelos cuadráticos en dos variables. 4. Post-prueba 5. Evaluación

2

Agenda


A.RE.7.5.2 Traduce frases lingüísticas a frases algebraicas para resolver problemas.

A.CA.7.6.1 Demuestra que la razón de cambio en casos lineales es constante y

describe gráficamente la relación proporcional implícita en esta razón de cambios y representada en la inclinación de la recta.

A.CA.7.6.2 Interpreta, describe y utiliza la razón de cambio para modelar

situaciones matemáticas y del mundo real. Interpreta el significado de la razón de cambio asociada con incrementos y decrecimientos en contextos variados y del mundo real que involucran tasas, razones y porcentajes.

A.PR.7.6.4 Establece conexiones y traduce entre representaciones

equivalentes de relaciones lineales, incluyendo gráficas, tablas, ecuaciones y expresiones verbales para resolver problemas.

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Recuerde

A. RE. = Algebra. Representación

A. PR. = Algebra, Patrones, relaciones y funciones

A.CA. = Álgebra, Cambio Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel Colón

A.MO.7.7.1 Representa situaciones matemáticas y del mundo real que utilicen ecuaciones lineales de la forma

ax + b = c, donde a, b, c son números racionales.

A.RE.7.7.2 Resuelve ecuaciones lineales con coeficientes numéricos racionales utilizando métodos gráficos y simbólicos. Con y sin tecnología.

A.PR.7.7.3 Establece conexiones entre las representaciones gráficas, tablas y símbolos a la solución única de una ecuación lineal dada.

A.CA.8.8.2 Analiza situaciones matemáticas y del mundo real, determina si

puede describirse por un modelo lineal, y determina la razón de cambio constante y desarrolla e interpreta la función lineal que modela la situación.

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Recuerde

A.MO. = Algebra, Modelos matemáticos

A. RE. = Algebra. Representación

A. PR. = Algebra, Patrones, relaciones y funciones

A.CA. = Álgebra, Cambio Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel Colón

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Escriba lo que significa para usted una ecuación.


6

Una ecuación es la igualdad de dos expresiones algebraicas.

a) 2𝑥 + 3 = 𝑥 − 4

b) 5𝑥 + 𝑥2 = 6 − 𝑥

La letra en la ecuación se llama variable.

Las ecuaciones pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado….etc. El grado en las ecuaciones en una variable está determinado por la variable de mayor potencia.

c) 𝑥4 + 2 = 7 𝑥 − 1

primer grado

segundo grado

grado 4

Ejemplos:


7

Conjunto solución de la ecuación

El conjunto solución de la ecuación es la colección de números reales que puede asumir la variable para satisfacer la relación de igualdad.

a) 2𝑥 + 3 = 𝑥 − 4

b) 5𝑥 + 𝑥2 = 6 − 𝑥

c) 𝑥4 + 2 = 7 𝑥 − 1

primer grado

segundo grado

grado 4

Cantidad máxima de soluciones 1



Ejemplos:

Por esto es necesario conocer el grado de la ecuación dado que el determina la cantidad máxima de soluciones que puede tener la misma.

Aun así tenemos casos especiales donde la ecuación puede tener ninguna solución, al cual llamamos conjunto solución nulo (∅) o infinitas soluciones o decimos conjunto solución infinito (∞).


De acuerdo al conjunto solución que tenga la ecuación las mismas reciben nombre o clasificación, veamos…

Clasificación de las ecuaciones

Sí su conjunto solución es finito la ecuación es una condicional.

Sí su conjunto solución es infinito la ecuación es una identidad.

Sí su conjunto solución es nulo la ecuación es una inconsistente.

Toda ecuación resuelta, a la luz de su conjunto solución la podemos clasificar.

8 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel Colón

¿Cómo reconocer el tipo de ecuación en el procedimiento?

I. Condicionales

Reconocemos este tipo de ecuación cuando logramos despejar completamente para la variable.

Ejemplo: Halle el conjunto solución de 𝑥 − 6 = 5 y clasifique la ecuación de acuerdo a su conjunto solución

𝑥 − 6 = 5 𝑥 = 5 + 6 𝑥 = 11

Solución:

conjunto solución finito ∴ ecuación condicional

II. Identidad

Reconocemos que este tipo de ecuación cuando se eliminan todas las variables y llegamos a algo cierto.

Ejemplo: Halle el conjunto solución de 𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 3𝑥 − 2 y clasifique la ecuación de acuerdo a su conjunto solución

𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 3𝑥 − 2 𝑥 + 2𝑥 − 2 = 3𝑥 − 2 3𝑥 − 3𝑥 = −2 + 2

0 = 0

Solución:

conjunto solución infinito ∴ ecuación identidad

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Nota: Recuerde la importancia de trabajar todo proceso de acuerdo a las reglas que correspondan para asegurarnos que la conclusión es la adecuada.


III. Inconsistente

Reconocemos que este tipo de ecuación cuando se eliminan todas las variables y llegamos a algo falso.

Ejemplo: Halle el conjunto solución de 𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 3𝑥 + 5 y clasifique la ecuación de acuerdo a su conjunto solución.

𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 3𝑥 + 5 𝑥 + 2𝑥 − 2 = 3𝑥 +5 3𝑥 − 3𝑥 = 5 + 2

0 = 7

Solución:

conjunto solución nulo ∴ ecuación inconsistente

¿Cómo reconocer el tipo de ecuación en el procedimiento?

Nota: Recuerde la importancia de trabajar todo proceso de acuerdo a las reglas que correspondan para asegurarnos que la conclusión es la adecuada.

Cualquier ecuación que resolvamos caerá en una de las tres clasificaciones.

10 Prof. Fredes Rodríguez

Prof. Miguel Colón

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Práctica Manual de ejercicios página 1-2


Práctica

Halle el conjunto solución a las siguientes ecuaciones y clasifique la misma como condicional, identidad o inconsistente.

1) 3𝑥 − 2 = 𝑥 + 2 3) 4𝑥 − 3 = 3𝑥 − (2 − 𝑥) 2) 𝑥 − 2 𝑥 − 6 = 12 − 𝑥

12

3𝑥 − 𝑥 = 2 + 2

2𝑥 = 4

𝑥 =4

2

𝑥 = 2

conjunto solución finito ∴ ecuación condicional

𝑥 − 2𝑥 + 12 = 12 − 𝑥

−𝑥 + 𝑥 = 12 − 12

0 = 0

conjunto solución infinito ∴ ecuación identidad

4𝑥 − 3 = 3𝑥 − 2 + 𝑥

4𝑥 − 3 = 4𝑥 − 2

4𝑥 − 4𝑥 = −2 + 3

0 = 1

conjunto solución nulo ∴ ecuación inconsistente


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Modelando Algebraicamente


USO DE MODELOS VERBALES

Una de las mayores dificultades en las matemáticas: la diferencia entre una frase y

una oración. Las frases se traducen a expresiones; las oraciones se traducen a

ecuaciones o a desigualdades.

Expresiones Frases

Ecuaciones o desigualdades Oraciones


MODELOS VERBALES

Escribir expresiones algebraicas, ecuaciones, o desigualdades que representen situaciones de la vida real se le llama modelar.

Las expresiones, las ecuaciones y las desigualdades son modelos matemáticos.


MODELOS VERBALES

El modelar situaciones de la vida real en ecuaciones en una sola variable le llamaremos modelos simples.

Y el modelar situaciones de la vida real en ecuaciones en dos variables le llamaremos modelos en dos variables.


Con el fin de modelar más adelante problemas reales con ecuaciones nos corresponde recordar palabras o frases comunes que son asociadas con las operaciones básicas. Hagamos un recuento:

Suma (+): más, añadir, incrementar, total, sumar, aumentar, más que, … etcétera.

Resta (-): menos, diferencia, quitar, disminuir, sustraer, menos que, reducir,… etcétera.

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Multiplicación ( ∙ ): multiplicar, veces, producto, doble, triple, mitad, …parte de… etcétera.

Resta (-): menos, diferencia, quitar, disminuir, sustraer, menos que, reducir,… etcétera.

Operaciones básicas en una frase

División (/,÷): dividir, entre, cociente, … etcétera.

Potencias (-): elevado, exponente, cuadrado, cubo, … etcétera.

Patrones reconocidos: números enteros consecutivos 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2,… números enteros pares o impares consecutivos 𝑛, 𝑛 + 2, 𝑛 + 4, …


Operaciones básicas en una frase u oración

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Ejemplo: Traduzca algebraicamente

1. El cuadrado de, siete menos el doble de un número

3. Cinco menos que un tercio de la suma de dos números es igual catorce.

2. El cociente de la diferencia de dos números y el opuesto de tres

7 − 2𝑥 2

1

3𝑥 + 𝑦 − 5 = 14

𝑥 − 𝑦

−3

4. El producto de dos números enteros impares consecutivos más una décima es igual a dos más el numeral menor.

𝑥)(𝑥 + 2 +1

10= 𝑥 + 2


19

Práctica Manual de ejercicios página 3


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Práctica: Traduzca la frase a la expresión algebraica que corresponda

1. La diferencia de dos cubos de dos números

3. Trece menos que dos quintas partes del cuadrado de la suma de tres números es igual a un tercio del tercer número.

2. La mitad del producto de dos números enteros consecutivos

𝑥3 − 𝑦3

2

5𝑥 + 𝑦 + 𝑧 2 − 13 =

1

3𝑧

𝑥(𝑥 + 1)

2

Operaciones básicas en una frase u oración


Solución de ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas en una variable

Una ecuación lineal en una variable es de la forma: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐 donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℜ 𝑦 𝑎 ≠ 0

Todas las ecuaciones de los ejemplos anteriores discutidas y clasificadas eran ecuaciones lineales en una variable.

Una ecuación cuadrática en una variable es de la forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℜ 𝑦 𝑎 ≠ 0

Ejemplos: 1) 2𝑥2 − 𝑥 = 3 2) 4𝑥2 = 5𝑥 3) 𝑥2 = 1

Hay distintos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, depende de su estructura es el método que se puede utilizar.

El único método que puede aplicarse a cualquier cuadrática es la fórmula cuadrática. Dado 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 se

sustituyen en 𝑥 =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 y

simplificamos.

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas: 1.factorización 2.raíz cuadrada 3.completar el cuadrado 4.fórmula cuadrática

El discriminante determina la cantidad de

soluciones reales que tiene la ecuación, sí

𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 → 2 𝑠. 𝑟 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 → 1 𝑠. 𝑟 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 → 0 𝑠. 𝑟


22

Solución de ecuaciones cuadráticas por diferentes métodos

1) 𝑥2 − 𝑥 = 12, por factorización 2) 1 = 𝑥2, por raíz cuadrada

3) 2𝑥2 − 𝑥 = 3, completando el cuadrado 4) 3𝑥2 − 2𝑥 =1, fórmula cuadrática

𝑥2 − 𝑥 − 12 = 0 𝑥 − 4 𝑥 + 3 = 0

𝑥 − 4 = 0 𝑥 + 3 = 0 𝑥 = 4 𝑥 = −3

𝑥2 = 1

𝑥2 = 1 𝑥 = 1

𝑥 = −1 𝑥 = 1

𝑥2 −𝑥

2=3

2

𝑥2 −𝑥

2+

1

16=

3

2 +

1

16

𝑥 −1

4

2

=25

16

𝑥 −1

4

2

=25

16

𝑥 −1

4=5

4

𝑥 −1

4= −

5

4 𝑥 −

1

4=5

4

𝑥 = −1 𝑥 =3

2

𝑎 = 3, 𝑏 = −2 𝑦 𝑐 = −1

𝑥 =− −2 ± −2 2 − 4(3)(−1)

2(3)

𝑥 =2 ± 4 + 12

6

𝑥 =2 ± 16

6

𝑥 =2 − 4

6= −

13 𝑥 =

2 + 4

6= 1

𝑥 = −13 𝑥 = 1


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24

Solución de ecuaciones cuadráticas por diferentes métodos

1) 𝑥2 − 5𝑥 = 𝑥, por factorización 2) 𝑥2 − 36 = 0, por raíz cuadrada

3) 2𝑥2 − 6𝑥 − 8 = 0, completando el cuadrado

4) 𝑥2 + 4𝑥 + 6 = 2, fórmula cuadrática

𝑥2 − 6𝑥 = 0 𝑥(𝑥 − 6) = 0

𝑥 = 0 𝑥 − 6 = 0 𝑥 = 0 𝑥 = 6

𝑥2 = 36

𝑥2 = 36 𝑥 = 6

𝑥 = −6 𝑥 = 6

𝑥2 − 3𝑥 = 4

𝑥2 − 3𝑥 +9

4= 4 +

9

4

𝑥 −3

2

2

=25

4

𝑥 −3

2

2

=25

4

𝑥 −3

2=5

2

𝑥 −3

2= −

5

2 𝑥 −

3

2=5

2

𝑥 = −1 𝑥 = 4

𝑥 =− 4 ± 4 2 − 4(1)(4)

2(1)

𝑥 =−4 ± 16 − 16

2

𝑥 =−4 ± 0

2

𝑥 =−4

2= −2

𝑥 = −2


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MÉTODO PARA RESOLVER UN PROBLEMA USANDO MODELOS

Pregúntese lo que necesita saber para resolver el problema. Escriba un modelo verbal de lo que debe saber.

Asigne variables a las incógnitas del ejercicio .

Use las variables para escribir el modelo algebraico (ecuación o inecuación) basado en su modelo.

Resuelva el model algrebraico que contesta la pregunta original.

MODELO VERBAL

Pregúntese lo que necesita saber para resolver el problema. Escriba un modelo verbal de lo que debe saber.

Asigne variables a las incógnitas del ejercicio.

Use las variables para escribir el modelo algebraico (ecuación o desigualdad) basado en su modelo.

Resuelva el modelo algebraico que contesta la pregunta original.

Verifique su respuesta, asegúrese que es razonable.

MODELO ALGEBRAICO

VARIABLES

RESUELVE

VERIFICACIÓN


Modelo Algebraico

Usted y tres amigos están almorzando en un restaurante chino que cobra $2 por el plato. Usted pide varios platos. El camarero le da una cuenta de $25.20, que incluye el impuesto de $1.20. ¿Cuántas platos pidió su grupo?

Lea cuidadosamente el ejercicio. Entienda la situación del problema antes de comenzar. Por ejemplo, note que el impuesto está agregado después de que el costo total de los platos se calcula.

OBSERVACIÓN


Variables

MODELO VERBAL

Escribe el Modelo Algebraico

Costo por plato •

Número de platos = Cuenta Tax –

Costo por plato = 2

Número de platos = p

Cantidad de la cuenta = 25.20

Impuestos = 1.20

(dólares)

(dólares)

(dólares)

(platos)

25.20 1.20 – 2 = p

2p = 24.00

p = 12 ∴ Su grupo ordenó 12 platos de comida con un costo de $24.00

MODEL ALGEBRAICO

Estrategia de solución

RESUELVE

VERIFICACIÓN 𝟐𝒑 = 𝟐𝟓. 𝟐𝟎 − 𝟏. 𝟐𝟎

𝟐 𝟏𝟐 = 𝟐𝟒 𝟐𝟒 = 𝟐𝟒


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Modelo algebraico simple Traducir la información, dada en una situación real, a una ecuación y resolverla es uno de los modelos matemáticos más simples. Dada su estructura utilizamos cualquiera de los métodos de solución de ecuaciones discutidos.

Ejemplo: Modelo Lineal La suma de las edades de tres amigos es 57 años. Pedro es el mayor y tiene 2 años más que Juan y Carlos, el menor, tiene 4 años menos que Pedro. Determine la edad de cada uno.

Pedro: 𝑥 Juan: 𝑥 − 2 Carlos: 𝑥 −4

Siempre leemos detalladamente el problema para determinar la relación entre los datos y con ello la representación algebraica.

𝑥 + 𝑥 − 2 + 𝑥 − 4 = 57 3𝑥 − 6 = 57 3𝑥 = 63 𝑥 = 21

Pedro: 21 Juan: 21 − 2 = 19 Carlos: 21 − 4 = 17

Verificación: 21+19+17=57

Variables

RESUELVE

MODELO VERBAL

VERIFICACIÓN

MODELO ALGEBRAICO


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Modelo algebraico simple

Ejemplo: Modelo cuadrático Un número positivo sumado al cuadrado del número que le precede es igual a 73. ¿Cuál es el número?

Variables: si 𝑥 es tal número el que le precede será 𝑥 − 1.

Ecuación: 𝑥 − 1 2 + 𝑥 = 73 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑥 = 73

𝑥2 − 𝑥 − 72 = 0 𝑥 − 9 𝑥 + 8 = 0

𝑥 − 9 = 0 𝑥 + 8 = 0 𝑥 = 9 𝑥 = −8

como el número dice que es positivo entonces descartamos −8.

∴ tal número es 9

Verificación:

𝑥 − 1 2 + 𝑥 = 73 9 − 1 2+9 = 73 8 2 + 9 = 73

64 + 9 = 73 73 = 73

Variables

MODELO VERBAL

MODEL ALGEBRAICO

RESUELVE

VERIFICACIÓN


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Modelos Algebraicos Un piloto de jet está volando de Los Ángeles, CA a Chicago, IL con una velocidad de 500 millas por hora. Cuando el avión está a 600 millas de Chicago, un controlador de tráfico aéreo le indica que hasta 2 horas no habrá oportunidad de aterrizar. El piloto sabe que la velocidad del avión debe ser de más de 322 millas por hora o el avión puede caer.

a. A que velocidad debe volar el avión para llegar a Chicago en 2 horas?

b. Es razonable para el piloto volar directamente a Chicago a la velocidad de 300 millas por hora o debe tomar otra acción?


VARIABLES

MODELO VERBAL

Modelo algebraico

Velocidad del jet • Tiempo =

Distancia a viajar

Velocidad del jet = x

Tiempo = 2

Distancia = 600

(millas por hora)

(millas)

(horas)

600 =

x = 300

MODELO ALGEBRAICO

a.A qué velocidad debe volar el avión para llegar a Chicago en 2 horas?

2 x

Para llegar en 2 horas, el piloto debe volar el jet a 300 millas por hora.

Usted puede usar la fórmula (velocidad)(tiempo) = (distancia) para escribir el modelo verbal.




Modelos Algebraicos

No es razonable para el piloto volar a 300 millas por hora, porque el avión se puede estrellar. El piloto debe tomar otra acción, como por ejemplo volar en círculo para consumir tiempo y poder mantenerse sobre la velocidad mínima.

Es razonable para el piloto volar directamente a Chicago a la velocidad de 300 millas por hora o debe tomar otra acción?

b.


34

Verificación: 13 + 7𝑛 = 55 13 + 7(6) = 55 13 + 42 = 55

55 = 55

Modelo Simple lineal


Una reproductora portátil cuesta $55, con impuesto incluido. Tú ya tienes $13 y puedes ahorrar $7 por semana. ¿Cuántas semanas necesitas para comprarla? Clasifique como el modelo utilizado lineal o cuadrático.

Solución:

Variables: 𝑛 = ⋕ semanas Ahorros: 13 + 7𝑛 Ecuación: 13 + 7𝑛 = 55 Proceso: 7𝑛 = 55 − 13

7𝑛 = 42 𝑛 = 6

Variables

MODELO VERBAL

MODEL ALGEBRAICO

RESUELVE

VERIFICACIÓN


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El ancho de un piso rectangular es 3 pies menos que su largo. Si el área del piso es 108 pies cuadrados, determina las dimensiones del piso.

Modelo Simple cuadrático


Verificación: 𝑤 ∙ 𝑙 = 108 (9)(12) = 108 108 = 108

Solución:

Variables: 𝑤 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑦 𝑙 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 Datos: 𝑤 = 𝑙 − 3 Diagrama: ver fígura Fórmula de área: 𝑤 ∙ 𝑙 = 108 Proceso: (𝑙 − 3) ∙ 𝑙 = 108

𝑙2 − 3𝑙 − 108 = 0 𝑙 − 12 𝑙 + 9 = 0

𝑙 − 12 = 0 𝑙 + 9 = 0 𝑙 = 12 𝑙 = −9

𝑙

𝑤 = 𝑙 − 3

como el largo tiene que ser un número positivo entonces descartamos −9.

𝑤 = 9

𝑙 = 12

Variables

MODELO VERBAL

MODEL ALGEBRAICO

RESUELVE

VERIFICACIÓN


36

Modelos en dos variables


37

Modelo lineal en dos variables La ecuación lineal en dos variables es de la forma: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑦 𝑐 ∈ ℛ 𝑦 𝑎 ≠ 0 ó 𝑏 ≠ 0

El exponente máximo de sus variables es uno, 1.

Ejemplos: 1) 3𝑥 + 𝑦 − 1 = 5 2) 𝑥 + 𝑦 = 9

La ecuación lineal en dos variables puede ser reescrita de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 donde m (pendiente) denota la razón a cual cambia la variable dependiente y en la medida aumentamos la variable independiente x. La gráfica de éste tipo de ecuaciones es una línea recta. La inclinación de la línea recta en el plano cartesiano, está denotada por m y b es su intercepto con el eje de y.

Para calcular la m partiendo de dos puntos, 𝑥1, 𝑦1 𝑦 𝑥2, 𝑦2 , contenidos en la línea recta, sustituimos en 𝑚 =

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 y luego para

hallar la ecuación de la línea se sustituyen los datos en la fórmula 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 o en 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 en caso de tener m y b.

Los pares ordenados siempre se escriben: 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

Nota:


Modelo lineal en dos variables

Ejemplo: Halle la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos 2,−3 𝑦 4, −6 .

Interpretación de la m: por cada 2 unidades aumentadas en la variable independiente x, la variable dependiente y disminuye 3 unidades. Por ser negativa línea es decreciente en todo su dominio.

𝑚 =−6 − −3

4 − 2=−3

2

Ecuación de la línea: 𝑦 − −3 = −3

2𝑥 − 2

𝑦 + 3 = −3

2𝑥 + 3

∴ 𝑦 = −3

2𝑥 es la ecuación de la línea recta

38

y

x

∆𝑥 = 2

∆𝑦 =3

En la gráfica de la ecuación se observan los pares ordenados generados por la razón de cambio establecida por la pendiente.


x -2 -1 0 1 2 3

y 3 −32 0 3

2 -3 −

92

39

Costos de transporte La compañía de mudanzas Colinas cobra $70 por transportar una máquina 15 millas y $100 por transportarla 25 millas. Determine la relación entre la tarifa total y la distancia recorrida , suponiendo que es lineal. Cuál es la tarifa mínima por transportar esta máquina? Cuál es la cuota por cada milla que la máquina es transportada?

Solución:

15,70 𝑦 25,100 son los pares ordenados dados

𝑚 =100 − 70

25 − 15= 3

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 70 = 3 𝑥 − 15

𝑦 = 3𝑥 + 25

∴ la tarifa mínima es de $25 y la cuota por milla adicional es de $3



Práctica

40

Trabajar los ejercicios de la página 9-10


Torre inclinada de Pisa Cuando fue construida, la torre inclinada de Pisa, en Italia, tenía 180 pies de alto. Desde entonces, uno de los lados de la base se ha hundido, causando que la parte superior de la torre se incline 16 pies del centro (véase la fígura). Calcule la pendiente de ese lado de la torre.

41

Solución: Destacar los detalles de la situación permite organizar los datos y determinar la estrategia a seguir

16 pies 180 pies

16,180

0, 0

Los puntos 0, 0 𝑦 16,180 están contenidos en ese lado de la torre y están contenidos en la inclinación de la torre,

𝑚 =∆𝑦

∆𝑥=180 − 0

16 − 0=180

16=45

4

∴ 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑇𝑜𝑟𝑟𝑒 𝑒𝑠 45 4

Interpretación de la pendiente: por cada 4 pies de desplazamiento horizontal, 45’ de la parte superior de la torre se inclinaban con respecto a su centro.



45’ 4 45 = 180

verificación

42

Resuelva con el modelo adecuado

Proyecto de construcción En un proyecto de construcción hay un carpintero dedicado a los techos inclinados de madera, los cuales miden 30 pies de largo en su base. La parte inclinada de cada techo se eleva 4 pulgadas por cada pie horizontal. Su tarea consiste en colocar soportes verticales cada 16 pulgadas, lo cual lo obliga a subir la escalera, medir 16 pulgadas horizontalmente y medir la altura vertical en ese punto. Luego baja la escalera, corta el soporte y sube para colocarlo en su lugar. El proceso se repite por cada soporte. Cómo puede determinar las longitudes de los soportes de antemano y evitar subir y bajar.

𝑚 =4

12=1

3 & 0,0 → 𝑦 − 0 =

1

3𝑥 − 0 = 𝑦 =

1

3𝑥

Solución:

Podemos determinar una ecuación lineal (para el techo) en función de x pulgadas horizontales (en múltiplos de 16)

x 16’’ 32’’ 48’’ 64’’ 80’’ …

y 163 ′′ 32 3 ′′ 16’’ 64

3 ′′ 80

3 ’’ … 12′′

4′′

16′′

soporte

0,0

𝑦 =1

3𝑥

Nota: cuidado con las unidades de medida.

360’’


Modelo cuadrático en dos variables: función cuadrática máximos y mínimos

Un valor máximo o mínimo de una función es el valor más grande o más pequeño de la función en un intervalo. Aprenderemos a escribir la función cuadrática en forma estándar, a dibujar su gráfica y hallar sus valor máximo o mínimo.

Una función cuadrática es una función f de la forma: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales y 𝑎 ≠ 0.


44

Una función cuadrática 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 expresada en forma estándar es:

𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘

a gráfica de f es un parábola con vértice ℎ, 𝑘 ; la parábola abre hacia arriba si 𝑎 > 0 o hacia abajo si 𝑎 < 0. El eje de simetría de la parábola es la ecuación 𝑥 = ℎ .

Vértice (h, k)

eje de simetría x=h

eje de simetría x=h

𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘, 𝑎 > 0 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘, 𝑎 < 0

0 h x

y k

0 h x

y k

Vértice (h, k)


Ejemplo: Dado 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 12𝑥 + 23, escribe la función en forma estándar y bosqueje la gráfica.

a) Forma estándar:

𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 12𝑥 + 23

𝑓(𝑥) = 2(𝑥2−6𝑥) + 23

𝑓 𝑥 = 2(𝑥2−6𝑥 + 9) + 23 − 2 9

𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 3 2 + 5

b) Bosqueje la gráfica

Vértice (3, 5)

El coeficiente de 𝑥2 es distinto de 1. El primer paso es factorizar los primeros dos términos (factor común es el 2). Luego se calcula el número que completa el

cuadrado que es −6

2

2= 9 . Después se suma y se resta para mantener la

igualdad. Finalmente se factoriza el trinomio cuadrado perfecto y se simplifican las constantes obteniendo la función 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 3 2 + 5.

45

𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 3 2 + 5

0 3 x

y 5

Funciones cuadráticas: forma estándar


Funciones Cuadráticas: Valor máximo o mínimo

Sea f una función cuadrática con forma estándar 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 El valor máximo o mínimo de f ocurre en 𝑥 = ℎ. Si 𝑎 > 0, entonces el valor mínimo de f es 𝑓(ℎ) = 𝑘. Si 𝑎 < 0, entonces el valor máximo de f es 𝑓(ℎ) = 𝑘.

h

y k

mínimo

y k

máximo

46

𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘, 𝑎 > 0 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘, 𝑎 < 0


h

Funciones cuadráticas : valor mínimo

c) Valor mínimo Como el coeficiente de 𝑥2 es positivo, 𝑓 tiene

un valor mínimo en 𝑥 = 3 . El valor mínimo es 𝑓 3 = 4.

47

Ejemplo: Dado 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 − 30𝑥 + 49, escribe la función en forma estándar, bosqueje la gráfica y halle el valor mínimo.

a) Forma estándar:

𝑓(𝑥) = 5𝑥2 − 30𝑥 + 49

𝑓(𝑥) = 5(𝑥2−6𝑥) + 49

𝑓 𝑥 = 5(𝑥2−6𝑥 + 9) + 49 − 5 9

𝑓(𝑥) = 5 𝑥 − 3 2 + 4


Mínimo (3, 4)

𝑓(𝑥) = 5 𝑥 − 3 2 + 4

0 3 x

y 5


Funciones cuadráticas: valor máximo

c) Valor máximo Como el coeficiente de 𝑥2 es negativo, 𝑓 tiene un valor máximo

en 𝑥 = 1

2. El valor máximo es 𝑓

1

2=

9

4.

48

Ejemplo: Dado 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 𝑥 + 2, escribe la función en forma estándar, bosqueje la gráfica y halle el valor máximo.

a) Forma estándar:

𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 𝑥 + 2 𝑎 = −1, 𝑏 = 1, 𝑐 = 2

ℎ = −1

2 −1=

1

2

𝑘 =4 −1 2 − 1 2

4(−1)=9

4


Máximo 1

2,9

4

𝑓 𝑥 = − 𝑥 − 12

2+ 9

4

0 12 x

y 92


El valor máximo o mínimo de una función cuadrática

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ocurre en: 𝑥 = − 𝑏

2𝑎

Si 𝑎 > 0, entonces el valor mínimo es 𝑓(− 𝑏

2𝑎)

Si 𝑎 < 0, entonces el valor máximo es 𝑓(− 𝑏

2𝑎)

Mínimo

− 𝑏

2𝑎, 𝑓(− 𝑏

2𝑎)

Máximo

− 𝑏

2𝑎, 𝑓(− 𝑏

2𝑎)

0 h x

Y

k

0 h x

Y

k

49

Funciones cuadráticas: valores máximos y mínimos


Ejemplo:

Halla el valor máximo o mínimo de cada función cuadrática.

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥 b) 𝑔 𝑥 = −2𝑥2 + 4𝑥 − 5

50

Funciones cuadráticas: valores máximos y mínimos

𝑥 = −𝑏

2𝑎= −

4

2 1= −2

Como 𝑎 > 0, la función tiene el valor mínimo en 𝑥 = −2. El valor es 𝑓 −2 = −2 2 +4 −2 = −4

𝑥 = −𝑏

2𝑎= −

4

2 −2= 1

Como 𝑎 < 0, la función tiene el valor máximo en x = 1 . El valor es 𝑔 1 = −2 1 2 + 4 1 −5 = −3



Modelo cuadrático en dos variables

Halle dos números enteros cuya suma sea 12 y su producto sea máximo.

Solución:

De principio podemos tantearlo hasta obtener el producto mayor, veamos: i) 1 y 11, p=11 ii) 2 y 10, p=20 iii)3 y 9, p=27 iv) 4 y 8, p=32 v) 5 y 7, p=35 vi) 6 y 6, p=36 vii) 7 y 5, p=35

Modelemos la situación para confirmar nuestro resultado.

𝑎 + 𝑏 = 12 𝑦 𝑃 = 𝑎 ∙ 𝑏 Optimizaremos la ecuación producto usando

la ecuación suma así 𝑏 = 12 − 𝑎 por lo cual

𝑃 = 𝑎 12 − 𝑎 = −𝑎2 + 12𝑎

ℎ = −12

2 −1= 6 𝑦 𝑘 =

4 −1 0 − 12 2

4 −1= 36

Podemos reescribir P así: 𝑃 = − 𝑎 − 6 2 + 36

Como a<0 entonces (h, k)=(6, 36) es un máximo. Por lo tanto los dos números enteros cuya suma es 12 y su producto máximo son 6 y 6.

Trayectoria de un proyectil La trayectoria de un proyectil disparado desde el suelo es una parábola abierta hacia abajo. Si la altura máxima alcanzada por el proyectil es de 120 metros y su alcance horizontal es de 1000 metros entonces…

b) Determine la función que describe su traslación.

a) A qué distancia de la base del disparo alcanzó su altura máxima.

c) ¿Cuál es la distancia horizontal del punto de disparo al punto donde el proyectil alcanza por primera vez una altura de 80 metros? Buscamos el punto 𝑥, 80

Nota: Recuerde la función cuadrática puede reescribirse de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘, donde ℎ, 𝑘 es su vértice.

∴ 𝑦 = −3

6250𝑥 − 500 2 + 120

52

𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 ℎ, 𝑘 = 500,120 y contiene los puntos 0,0 𝑦 1000,0

Como su alcance es 1000 metros y ella es simétrica entonces alcanza su máximo en la mitad de su trayectoria 500 metros

y

x 1000

120

80

x

80 = −3

6250𝑥 − 500 2 + 120 𝑦 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠

𝑥 ≅ 500 ± 289

∴ 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑝𝑜𝑟 1𝑒𝑟𝑎 𝑣𝑒𝑧 80 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ≅ 500 − 289 ≅ 211𝑚



Práctica

53

Trabajar los ejercicios de la página 11-13


54


10 𝑝𝑖𝑒𝑠

Dos regiones circulares son tangentes una con otra (ver fígura). La distancia entre los centros es de 10pies.

a) Encuentre el radio de cada círculo si sus áreas combinadas son de 52𝜋 pies cuadrados.

Fórmula de área del círculo: 𝒜 = 𝜋𝓇2

notación: 𝓇: 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠 10 − 𝓇: 𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜

𝒜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋𝓇 2 + 𝜋 10 − 𝓇 2 𝜋𝓇 2 + 𝜋 10 − 𝓇 2 = 52𝜋 𝓇 2 + 10 − 𝓇 2 = 52 𝓇 2 + 100 − 20𝓇 + 𝓇2 = 52 2𝓇2 − 20𝓇 + 48 = 0 𝓇2 − 10𝓇 + 24 = 0 (𝓇 − 6)(𝓇 − 4) = 0 𝓇 = 6 ó 𝓇 = 4

∴ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑎𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 4 𝑦 𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 6


55

Modelo cuadrático (continuación)

10 𝑝𝑖𝑒𝑠

b) Suponga que la distancia entre los centros permanece igual pero que los radios son ahora iguales. ¿Aumentaría o disminuiría el área combinada?

𝜋𝓇 2 + 𝜋 10 − 𝓇 2 = 𝒜 𝜋𝓇2 + 𝜋 𝓇2 − 20𝓇 + 100 = 𝒜 𝜋𝓇2 + 𝜋𝓇2 − 20𝜋𝓇 + 100𝜋 = 𝒜 2𝜋𝓇2 − 20𝜋𝓇 = 𝒜 − 100𝜋

𝓇2 − 10𝓇 +10

2

2

=𝒜 − 100𝜋

2𝜋+

−5

2

2

𝓇 − 5 2 = 𝑘

∴ 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑢

𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑒𝑛 5,𝒜 = 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 ∴ 𝑠𝑢 á𝑟𝑒𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜

𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 5.

𝒜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 5 2𝜋 = 50𝜋 𝒜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 5 2𝜋 = 50𝜋

𝐸𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎, 𝑣𝑒𝑎𝑚𝑜𝑠…


56

Altura máxima de una caja Una puerta en forma de arco parabólico, ver fígura, tiene 3 metros de altura en el centro y 2 metros de ancho en la base. Una caja rectangular de 1.5 metros de ancho tiene que ser deslizada a través de la puerta. ¿Cuál es la máxima altura que puede tener la caja?

El vértice de la parábola es 1, 3 , contiene los puntos 0,0 𝑦 2,0 abre hacia abajo ∴ 𝑓 𝑥 = −3 𝑥 − 1 2+3

Solución:

Como la caja tiene una base de 1.5m y queda debajo del arco o vértice de la parábola entonces los extremos de su base distan 0.25m de la base de la puerta, si queremos saber la altura en este punto lo sustituimos en 𝑓 𝑥 .

∴ 𝑓 0.25 = −3 0.25 − 1 2 + 3

𝑓 0.25 ≅ 1.31𝑚

∴ 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑑𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 1.31𝑚

1.5m

2m

3m

y



Capacidad de desagüe De una plancha de aluminio de 6 pies de largo por 16 pulgadas de ancho, se desea construir un desagüe doblando hacia arriba dos lados perpendiculares a la base del desagüe, ver fígura. Si x pulgadas son dobladas hacia arriba, busque el valor de x que maximiza la capacidad del desagüe.

Solución: En la fígura se muestran las dimensiones

𝐴 = 𝑥 16 − 2𝑥 = 16𝑥 − 2𝑥2

ℎ = −𝑏

2𝑎= −

16

2 −2= 4

∴ 𝑥 = 4 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠, 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑑𝑜, así las dimensiones que maximizan su capacidad son 8 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑝𝑜𝑟 4 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑜.

x

72 pulg.

Nota: Hay que hacer conversión de unidades 57



58

Problemas adicionales

Trabajar los ejercicios de la página 14 - 24


59

Dos personas se encuentran a las 8:45 a.m., la primera camina a 1.5 m/s hacia el oeste y la segunda camina hacia el este a 0.5 m/s, ¿a qué hora la distancia entre ellos es de 360m?


Solución:

tiempo Distancia = velocidad x

𝑑1 𝑑2 = 360 +

1.5𝑡 0.5𝑡 = 360 +

𝑡 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜

2.0𝑡 = 360

𝑡 = 360

2

𝑡 = 180 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

𝑡 = 3 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Verificación:

1.5𝑡 + 0.5𝑡 = 360 2.0(180) = 360 360 = 360

∴ 𝑎 𝑙𝑎𝑠 8: 48 𝑎.𝑚. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑏𝑎𝑛 360𝑚


Primer tren transcontinental En 1862 el Congreso de los EE.UU otorgó los derechos de construcción a dos compañías ferroviarias para construir las vías que unen Nebraska con California. Las vías totales hacen cerca de 1590 millas de longitud. La compañía A empezó la construcción en dirección este (a una razón de 8.75 millas de vías por mes) desde Sacramento, California en 1863. Veinticuatro meses después la compañía B empezó a construir la vía hacia el oeste (a una razón de 20 millas de vías por mes), desde Nebraska. ¿Cuándo se terminaron las vías? ¿Cuántas millas de vías construyó cada compañía?

60

Solución:

La compañía A durante los primeros 24 meses (2 años) a razón de 8.75mi por mes construyeron un total de 210 mi. La compañía B construye 20 mi por mes (m) y simultáneamente, la A a su razón de trabajo. Esto provoca la ecuación:

20𝑚 + 8.75𝑚 + 24 8.75 = 1590

28.75𝑚 + 210 = 1590

28.75𝑚 = 1380 𝑚 = 48 (4 𝑎ñ𝑜𝑠)

∴ La construcción total de las vías duro 6 años a partir del 1863 así que fueron terminadas en el 1869.

La compañía A construyó∶ 72 8.75 = 630 𝑚𝑖 La compañía B construyó: 48 20 = 960 𝑚𝑖



61

El producto de dos números enteros pares consecutivos es 10 más 7 veces el mayor de los dos enteros. Encuentre los enteros.


Solución

𝑛, 𝑛 + 2 ∶ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠

𝑛 𝑛 + 2 = 7 𝑛 + 2 + 10

𝑛2 + 2𝑛 = 7𝑛 + 14 + 10

𝑛2 + 2𝑛 − 7𝑛 − 24 = 0

𝑛2 − 5𝑛 − 24 = 0

(𝑛 − 8)(𝑛 + 3) = 0

𝑛 = 8

𝑛 + 3 = 0

𝑛 − 8 = 0

𝑛 = −3

∴ 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝟖 𝑦 𝟏𝟎

Se descarta por no ser par

Verificación: 8 10 = 7 10 + 10

80 = 70 + 10 80 = 80


62

El perímetro de un triángulo escaleno mide 23 pulgadas. Si uno de los lados mide dos pulgadas menos que el doble del segundo lado y tres pulgadas más que el tercer lado, cuánto mide cada lado?



Solución:

𝑃 = 𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 = 23

𝑙2 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑙1= 2𝑙2 − 2

𝑙3= 2𝑙2 − 2 − 3 = 2𝑙2 − 5

𝑙2

2𝑙2 − 2 + 𝑙2 + 2𝑙2 − 5 = 23

5𝑙2 − 7 = 23 5𝑙2 = 30

∴ 𝑙2 = 6

∴ 𝑙1 = 2 6 − 2 = 10

∴ 𝑙3 = 2 6 − 5 = 7

6 7

Verificación:

𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 = 23 10 + 6 + 7 = 23

23 = 23

Las medidas de los lados del triángulo escaleno son:

6, 7 𝑦 10

63

Una cuerda de 75 cm se divide en dos partes, de tal manera que la longitud de una de ellas es las tres quintas partes del total de la cuerda.


a. Si con el trozo más pequeño se forma una circunferencia, determine su radio.

b. Si con el trozo mayor se forma un cuadrado, determine la longitud de cada uno de sus lados.


Solución:

3

575 = 45

75

75-45=30

𝐶 = 2𝜋𝑟 2𝜋𝑟 = 30

𝑟 =30

2𝜋=15π

∴ el radio del círculo con tal

circunferencia es 15

π.

𝑃 = 4𝑥 4𝑥 = 45

𝑥 =45

4= 11.25

Verificación:

𝐶 + 𝑃 = 75

2𝜋15

π+ 4

45

4= 75

2 15 + 45 = 75 75 = 75

64

Pitágoras Halle tres números enteros consecutivos que satisfagan el Teorema de Pitágoras. Solución: El patrón algebraico que siguen los números enteros

consecutivos es 𝑥, 𝑥 + 1, 𝑥 + 2, 𝑥 + 3,…

Si los tres números son 𝑥, 𝑥 + 1, 𝑥 + 2, el lado mayor 𝑥 + 2 tiene que representar lo que en un triángulo rectangular es la hipotenusa, los otros los catetos, así…

𝑥

𝑥 + 1

𝑥 + 2 2 = 𝑥2 + 𝑥 + 1 2

𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 𝑥2 + 𝑥2 + 2𝑥 + 1

−𝑥2 + 2𝑥 + 3 = 0

𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0

𝑥 − 3 𝑥 + 1 = 0

∴ 𝑥 = 3 ó 𝑥 = −1 son los posibles valores para el lado menor 𝑥 = −1 se descarta por ser negativo, por lo tanto 𝑥 = 3

Al sustituir x tenemos que los otros lados del triángulo son 4 y 5. Concluimos que los tres números enteros consecutivos que satisfacen el Teorema de Pitágoras son: 3, 4 y 5.



65

Dos personas se encuentran a una distancia de 55 metros, después de cuánto tiempo se encontrarán si la primera camina a 1m/s y la segunda a 1.2 m/s?



Solución:

𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

𝑑1 = (1)(𝑡)

Sabemos que 𝑑1 + 𝑑2 = 55𝑚

𝒚

2.2𝑡 = 55

Verificación: 1 25 + 1.2 25 = 25 + 30 = 55

55 𝑚

𝑑2= (1.2𝑚 𝑠)(𝑡)

∴ 𝑡 + 1.2𝑡 = 55 𝑡 =55

2.2= 25 𝑠𝑒𝑔

∴ el tiempo que le tomará encontrarse será 25 segundos

66

Resuelva con el modelo adecuado Área La suma de las áreas de la base en que está montada la foto y el área de la foto es 58 pulgadas cuadradas. Halle las dimensiones de la foto si sabemos que el largo de la base es 3 pulgadas más que su ancho y la franja que bordea la foto tiene ancho uniforme de 1 pulgada.

Solución: La suma de las áreas es 58 → 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝐴𝑓𝑜𝑡𝑜 = 58

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑤 𝑤 + 3 𝐴𝑓𝑜𝑡𝑜 = 𝑙𝑏𝑎𝑠𝑒 − 2 𝑤𝑏𝑎𝑠𝑒 − 2

= 𝑤 + 3 − 2 𝑤 − 2 = 𝑤 + 1 𝑤 − 2 𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑤 + 1 𝑤 − 2 + 𝑤 𝑤 + 3

𝑤 + 1 𝑤 − 2 + 𝑤 𝑤 + 3 = 58 𝑤2 − 𝑤 − 2 + 𝑤2 + 3𝑤 = 58

2𝑤2 + 2𝑤 = 60 𝑤2 + 𝑤 = 30

𝑤2 + 𝑤 − 30 = 0 𝑤 + 6 𝑤 − 5 = 0

1’’

1’’

𝑙 = 𝑤 + 3

𝑤

𝑤−2

𝑤 + 1

5−2=3′′

5 + 1 = 6′′

𝑤 = −6 ó 𝑤 = 5, descartamos el valor negativo, así 𝑤 = 5′′


67

Un delfín al nacer mide 1.5 metros y pesa alrededor de 30 kilogramos. Los delfines jóvenes son amamantados durante 15 meses, al final de dicho período estos cetáceos miden 2.7 metros y pesan 375 kilogramos. Sea L y P la longitud en metros y su peso en kilogramos, respectivamente, para un delfín de t meses.


a) Si la relación entre L y t es lineal, expresa L en términos de t.

b) ¿Cuál es el aumento diario de la longitud para un delfín joven?


𝐿 = 𝑚𝑡 + 𝑏 𝐿 = 𝑚𝑡 + 1.5 Cuando 𝑡 = 15, 𝐿 = 2.7

2.7 = 𝑚(15) + 1.5 15𝑚 = 1.2 𝑚 =1.2

15= 0.08 =

2

25

∴ 𝐿 =2

25𝑡 +

3

2 ó ∴ 𝐿 = 0.08𝑡 + 1.5

La parte que indica el aumento en la longitud del delfín es: 2

25𝑡, como t está

en meses tenemos que dividirlos entre 30 días para cambiar la unidad de

tiempo a días: 𝐿 =2

25

𝑡

30+

3

2=

𝑡

375+

3

2 esta es la ecuación para la L por día,

por lo cual 1 día crece 1

375≈ 0.00267 𝑚.

68


c) Expresa P en términos de t, si P y t están relacionados linealmente.

d) ¿Cuál es el peso de un delfín de cinco meses de edad?


𝑃 = 𝑚𝑡 + 𝑏 Cuando 𝑡 = 0 , 𝑃 = 0

30 = 𝑚(0) + 𝑏 𝑏 = 30 𝑃 = 𝑚𝑡 + 30

y ∴ 𝑃 = 23𝑡 + 30

Luego de 15 meses pesa 375 kg 375 = 𝑚(15) + 30

∴ 𝑚 =375 − 30

15=345

15= 23

𝑃 = 23𝑡 + 30

𝑃 = 23(5) + 30

𝑃 = 115 + 30

𝑃 = 145 𝑘𝑔

Por lo tanto, el peso de un delfín de cinco meses de edad es de 145 kg.

69

Diez yardas de tela tienen un costo de $300.00, encuentre un modelo lineal para el costo y determine a) el costo de 25 yardas b) cuántas yardas de tela se pueden comprar con $1,200.00.



Solución:

Si no compramos no hay costo 0, $0 y si compramos 5 pagamos $300 10, $300 . En el par ordenado 𝑥, 𝑦 x: cantidad de yarda de telas, y: monto a pagar por x cantidad de tela.

𝑚 =300 − 0

10 − 0= 30

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1

𝑦 − 300 = 30 𝑥 − 5

𝑦 = 30𝑥

a) 𝑦 = 30𝑥 𝑦 = 30(25) 𝑦 = $750

b) 30𝑥 = 1200

𝑥 =1200

30

𝑥 = 40 𝑦𝑑

∴ el costo de 25 yd de tela es $750.

∴ con $1,200 podemos comprar 40 yd de tela.

70


Cuando dos personas juegan en un sube y baja el mismo debe estar balanceado para que cada una contribuya con el mismo esfuerzo. Para tal balance deben ser iguales los productos de: (distancia: con respecto al punto de apoyo) x (el peso de la persona). Si una persona que pesa 90 lb se sienta en uno de los extremos de un sube y baja de 12 pies. ¿Cuán lejos del punto de apoyo deberá estar sentada una persona de 120 lb para que se establezca el balance?

Solución:


90(6) = 120(6 − 𝑥)

120𝑥 = 720 − 540

540 = 720 − 120𝑥

120𝑥 = 180

𝑥 =180

120= 1. 5 𝑝𝑖𝑒𝑠 ∴ la persona de 90 lb al estar sentado en uno de los

extremos, a 6 pies del centro de apoyo obliga a que la persona de 120 lb se siente a 4.5 pies del centro de apoyo para que el sube y baja quede balanceado y ambos hagan el mismo esfuerzo.

Verificación:

𝑝1𝑑1 = 𝑝2𝑑2 90 6 = 120(4.5)

540 = 540

𝑝1𝑑1 = 𝑝2𝑑2 12 𝑝𝑖𝑒𝑠

120 𝑙𝑏

90 𝑙𝑏

𝑑1 𝑑2

∴ 6 − 1.5 = 4.5

71


Distancia recorrida Una camioneta comienza un viaje a una velocidad promedio de 45 millas por hora. Tres horas después, un automóvil empieza el mismo viaje a una velocidad de 60 millas por hora (ver fígura) a) Encuentre las distancias 𝑑1 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑡𝑎 𝑦 𝑑2 (𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙) que cada vehículo

ha recorrido cuando el automóvil viajó un tiempo de 𝑡 horas. Dado 𝑣1 = 45 𝑚𝑝ℎ 𝑦 𝑣2 = 60 𝑚𝑝ℎ y sustituyendo en la fórmula 𝑑 = 𝑣𝑡

obtenemos… 𝑑1= 45 𝑡 + 3 y 𝑑2 = 60𝑡 b) Use el resultado anterior para determinar la relación entre la distancia que

ha viajado el automóvil y el que ha recorrido la camioneta.

𝑑2 = 60𝑡

𝑡 =𝑑260

𝑑1 = 45 𝑡 + 3

𝑑1 = 45𝑑260

+ 3

𝑑1 =34𝑑2 + 135

Debemos reescribir una ecuación en términos de la otra:


72

Post-prueba


73

Fin


Conferencia – taller modelando ecuaciones

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