Computacioacuten Evolutiva

ACADEMIA MEXICANA DE COMPUTACIOacuteN A C

Computacioacuten Evolutiva Coordinador Carlos Artemio Coello Coello

En colaboracioacuten con la Academia Mexicana de Computacioacuten

Colaboradores capiacutetulo 1 Rafael Rivera Loacutepez y Efreacuten Mezura Montes Colaboradores capiacutetulo 2 Alicia Morales Reyes Colaboradores capiacutetulo 3 Mario Graff Daniela Moctezuma Eric S Tellez y Sabino Miranda Jimeacutenez Colaboradores capiacutetulo 4 Carlos Segura y Joel Chacoacuten Castillo Colaboradores capiacutetulo 5 Carlos A Brizuela y Julio Juaacuterez Colaboradores capiacutetulo 6 Hugo Terashima Mariacuten Santiago Enrique Conant Pab- los Joseacute Carlos Ortiz Bayliss e Ivaacuten Mauricio Amaya Contreras

Primera edicioacuten 2019 Academia Mexicana de Computacioacuten A C Todos los derechos reservados conforme a la ley ISBN

Este libro se realizoacute con el apoyo del CONACyT Proyecto No 293115

Queda prohibida la reproduccioacuten parcial o total directa o indirecta del contenido de esta obra sin contar con autorizacioacuten escrita de los autores en teacuterminos de la Ley Federal del Derecho de Autor y en su caso de los tratados internacionales aplicables

Impreso en Meacutexico Printed in Mexico

Computacioacuten Evolutiva

Carlos Artemio Coello Coello (Coordinador)

Con la colaboracioacuten de

Rafael Rivera Loacutepez

Efreacuten Mezura Montes

Alicia Morales Reyes

Mario Graff

Daniela Moctezuma

Eric S Tellez Sabino

Miranda Jimeacutenez

Carlos Segura

Joel Chacoacuten Castillo

Carlos A Brizuela

Julio Juaacuterez

Hugo Terashima Mariacuten

Santiago Enrique Conant Pablos

Joseacute Carlos Ortiz Bayliss

Ivaacuten Mauricio Amaya Contreras

Proacutelogo La computacioacuten evolutiva es un aacuterea de las ciencias de la computacioacuten que se enfoca al estudio de las propiedades de una serie de metaheurısticas estocaacutesticas (a las cuales se denomina de manera geneacuterica ldquoAlgoritmos Evolutivosrdquo) inspiradas en la teorıa de la evolucioacuten de las especies formulada por Charles Darwin seguacuten la cual los individuos ldquomaacutes aptosrdquo a su ambiente tienen una mayor probabilidad de sobrevivir

Una metaheurıstica es un procedimiento de buacutesqueda de alto nivel que aplica una regla o conjunto de reglas que se basa(n) en una fuente de conocimiento El eacutenfasis de las metaheurısticas es explorar el espacio de buacutesqueda de manera relativamente eficiente es decir mejor que lo que harıa una buacutesqueda exhaustiva aunque no necesariamente oacuteptima Las metaheurısticas suelen considerarse tambieacuten como teacutecnicas de buacutesqueda y optimizacioacuten de uso general pese a sus limitantes teoacutericas (en general las metaheurısticas no pueden garantizar convergencia al oacuteptimo global) Otro rasgo distintivo de las metaheurısticas es que suelen requerir poca informacioacuten especıfica del problema y son uacutetiles cuando el espacio de buacutesqueda es muy grande poco conocido yo con dificultades para explorarlo Cuando se usan para optimizacioacuten no pueden garantizar en general que convergeraacuten a la mejor solucioacuten posible (es decir al oacuteptimo global del problema) si bien en la praacutectica suelen producir aproximaciones razonablemente buenas en tiempos razonablemente cortos

Los algoritmos evolutivos son metaheurısticas estocaacutesticas porque su comportamiento se basa en el uso de nuacutemeros aleatorios y en operadores probabilısticos En consecuencia no siempre producen el mismo resultado cada vez que se ejecutan con los mismos datos de entrada

En Meacutexico existe un nuacutemero importante de investigadores trabajando en diferentes aacutereas de la computacioacuten evolutiva y este libro intenta proporcionar un asomo a la diversidad de temas en los que se hace investigacioacuten en nuestro paıs Los seis capıtulos que conforman este libro estaacuten escritos como tutoriales breves que pretender introducir al lector a ciertos temas especıficos de computacioacuten evolutiva En todos los casos se describe brevemente parte del trabajo que han realizado algunos grupos de investigacioacuten en Meacutexico en torno a estos temas

El capıtulo 1 presenta una introduccioacuten a la ldquoevolucioacuten diferencialrdquo que es un tipo de algoritmo evolutivo que se ha vuelto muy popular en la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten no lineal Los autores proporcionan una descripcioacuten general de este tipo de algoritmo evolutivo incluyendo el funcionamiento de sus operadores de cruza y mutacioacuten y las diferencias entre sus variantes principales

El capıtulo 2 describe los conceptos baacutesicos de los ldquoalgoritmos geneacuteticos paralelosrdquo a partir de una taxonomıa muy sencilla basada en la granularidad de la paralelizacioacuten enfatizando las diferencias que existen entre los esquemas homogeacuteneos y heterogeacuteneos ası como entre el paralelismo sıncrono y el asıncrono

El capıtulo 3 se enfoca a una variante del algoritmo geneacutetico denominada ldquoprogramacioacuten geneacuteticardquo en la cual se usa una representacioacuten de aacuterbol (la cual permite evolucionar programas) en vez de las cadenas binarias de longitud fija del algoritmo geneacutetico tradicional La programacioacuten geneacutetica ha tomado una gran relevancia en antildeos recientes sobre todo por su aplicabilidad a problemas de aprendizaje y clasificacioacuten

El capıtulo 4 se enfoca en un tema muy importante en computacioacuten evolutiva del cual no suele hablarse mucho la importancia de la diversidad en el disentildeo de un algoritmo evolutivo Los autores hacen una revisioacuten de diversas teacutecnicas que se han propuesto para lidiar con la convergencia prematura (la cual suele ser consecuencia de una peacuterdida abrupta de diversidad en la poblacioacuten) Adicionalmente se incluye un pequentildeo estudio en el que se analizan dos teacutecnicas para mantener diversidad

El capıtulo 5 presenta un tutorial de otra aacuterea que ha tomado gran relevancia en antildeos recientes la optimizacioacuten evolutiva multi-objetivo la cual se enfoca a la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten que tienen dos o maacutes objetivos (normalmente en conflicto entre sı) que deseamos optimizar al mismo tiempo Ademaacutes de proporcionar los conceptos baacutesicos de esta aacuterea se describen brevemente los algoritmos evolutivos multi-objetivo maacutes utilizados en la actualidad ası como las medidas principales de desempentildeo que se utilizan en la literatura especializada En la parte final del capıtulo se describen tambieacuten algunos de los temas de investigacioacuten en los que se estaacute trabajando maacutes dentro de esta aacuterea en la actualidad

El capıtulo 6 estaacute dedicado a las hiper-heurısticas que son teacutecnicas que buscan proporcionar maacutes flexibilidad que los algoritmos evolutivos tradicionales al ser capaces de adaptarse a diversos tipos de problemas y a diferentes instancias de una misma clase de problemas Las hiper-heurısticas son el eslaboacuten intermedio entre las limitantes teoacutericas relacionadas con la aplicabilidad de las metaheurısticas y el anhelado suentildeo del disentildeo automatizado de algoritmos y

constituyen sin lugar a dudas uno de los temas maacutes ricos de investigacioacuten dentro de las metaheurısticas

Doctor Carlos Artemio Coello Coello

Indice general

Proacutelogo 5

Introduccioacuten 13

El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial 15

Mutacioacuten 16

Cruza 18

Seleccioacuten 20

Estructura del Algoritmo 20

Modificaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial 21

Ajuste de paraacutemetros globales 22

Ajuste de paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten 23

Ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten 26

Combinacioacuten de variantes 27

Evolucioacuten Diferencial para otros tipos de problemas 29

DE en Meacutexico 30

Conclusiones 30

Para saber maacutes 31

Introduccioacuten 32

AGds homogeacuteneos y heterogeacuteneos 35

Migracioacuten en AGPs 37

AGs celulares o de grano fino 39

Explotacioacutenexploracioacuten por propiedades estructurales 40

Presioacuten de seleccioacuten por caracteriacutesticas estructurales 43

Anaacutelisis empiacuterico 45

Aceleracioacuten en AGP 46

Concepto de sincronismo en AGPs 47

En AGPs distribuidos viacutea migracioacuten 48

En AGP celulares viacutea criterios de actualizacioacuten 49

Discusioacuten 50

Investigacioacuten de AGPs en Meacutexico 50

Para saber maacutes 51

Introduccioacuten 53

Proceso evolutivo 55

Representacioacuten 56

Poblacioacuten inicial 58

Operadores Geneacuteticos 59

Recombinacioacuten 59

Mutacioacuten 60

Seleccioacuten 61

Espacio de buacutesqueda 62

Conclusiones 63

Para saber maacutes 63

Introduccioacuten 64

Preservacioacuten de diversidad en algoritmos evolutivos 67

Clasificaciones de mecanismos para promover la diversidad 67

Esquemas claacutesicos para administrar la diversidad 68

Esquemas de reemplazamiento basados en diversidad 69

Diversidad en evolucioacuten diferencial 71

Disentildeo de evolucioacuten diferencial basado en diversidad 72

Evolucioacuten diferencial Conceptos baacutesicos 72

Inicializacioacuten 72

Operador de mutacioacuten 72

Operador de cruza 73

Operador de seleccioacuten 73

Propuesta basada en diversidad 74

Resultados de de-edm 77

Disentildeo de operadores de cruza basados en diversidad 87

Algoritmos evolutivos multi-objetivo 87

Operadores de cruza 89

El operador de cruza basado en simulacioacuten binaria - SBX 89

Implementacioacuten y anaacutelisis del operador sbx 90

Propuesta - dsbx 92

Resultados 93

Anaacutelisis de cada modificacioacuten en el operador sbx 95

Modificacioacuten simultaacutenea de varios componentes 96

Conclusiones y trabajo futuro 97

Para saber maacutes 98

Agradeciemientos 99

Introduccioacuten 100

Fundamentos de las Hiper-heuriacutesticas 102

Hiper-heuriacutesticas que seleccionan heuriacutesticas 103

Hiper-heuriacutesticas que generan nuevas heuriacutesticas 105

Modelos de Hiper-heuriacutesticas 106

Modelos Evolutivos 106

Hiper-Heuriacutesticas basadas en Algoritmos Geneacuteticos 106

Hiper-Heuriacutesticas basadas en Programacioacuten Geneacutetica 107

Modelos Neuronales 109

Un ejemplo 109

El problema 110

Las alternativas 110

La informacioacuten del problema 111

Nuestra primer hiper-heuriacutestica 112

Otras hiper-heuriacutesticas 112

Las hiper-heuriacutesticas como un problema de optimizacioacuten 113

Aspectos Avanzados de las Hiper-heuriacutesticas 115

Hiacuteper-heuriacutesticas para Problemas Multi-objetivo 115

Transformacioacuten de Caracteriacutesticas en Hiper-heuriacutesticas 117

Tendencias Futuras de Hiper-heuriacutesticas 119

Para saber maacutes 121

Conclusiones 122

Evolucioacuten Diferencial una breve introduccioacuten Rafael Rivera Loacutepez

Efreacuten Mezura Montes

En este capiacutetulo se hace una descripcioacuten general del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Este tipo de algoritmo evolutivo representa una excelente alternativa para encontrar soluciones cercanas al oacuteptimo a problemas de optimizacioacuten continua complejos Debido a la simplicidad de su implementacioacuten y sus excelentes habilidades de exploracioacuten y explotacioacuten diversas variantes de este algoritmo se han aplicado para resolver problemas con diferentes caracteriacutesticas En este capiacutetulo se describen los elementos baacutesicos del algoritmo asiacute como las diferentes variantes que se han desarrollado para mejorar su desempentildeo

Introduccioacuten Con el nombre de algoritmos evolutivos se identifica a un grupo de procedimientos que se utilizan para resolver muchos problemas praacutecticos y que se distinguen de otras teacutecnicas porque estaacuten inspirados en las teoriacuteas que sintetizan la evolucioacuten Darwiniana y la herencia geneacutetica descrita por Mendel Los algoritmos evolutivos han probado ser herramientas poderosas para encontrar soluciones aceptables a problemas donde otras teacutecnicas fallan o consumen una excesiva cantidad de tiempo Estos algoritmos se destacan por combinar exitosamente dos mecanismos de buacutesqueda exploracioacuten y explotacioacuten La exploracioacuten permite identificar aacutereas prometedoras del espacio de buacutesqueda y la explotacioacuten lleva a cabo una buacutesqueda especializada dentro de estas aacutereas para encontrar soluciones cercanas al oacuteptimo Su aplicacioacuten se extiende en praacutecticamente todas las aacutereas de la actividad humana como por ejemplo en salud educacioacuten ciencias industria economiacutea y defensa Los algoritmos evolutivos tambieacuten han sido utilizados en aacutereas emergentes como la ciencia de datos la inteligencia de negocios y el big data En estos algoritmos un conjunto de soluciones candidatas evoluciona para alcanzar una solucioacuten cercana al oacuteptimo por la aplicacioacuten de procedimientos que permiten recombinar y alterar sus valores En la jerga de los especialistas del aacuterea una solucioacuten candidata se conoce como individuo al conjunto de soluciones se denomina poblacioacuten y los procedimientos involucrados en el proceso evolutivo se identifican como operadores de seleccioacuten cruzamiento y mutacioacuten Comuacutenmente dos individuos son seleccionados y sus valores son recombinados y algunas veces mutados para crear nuevas soluciones candidatas Los nuevos individuos son considerados parte de una nueva poblacioacuten que sustituye a la anterior Entonces una secuencia de nuevas poblaciones son creadas hasta que una condicioacuten de teacutermino es alcanzada y la mejor solucioacuten de

las uacuteltima poblacioacuten es seleccionada como resultado del algoritmo Este proceso evolutivo es guiado por una funcioacuten de aptitud que determina la calidad de cada individuo en la poblacioacuten La figura 1 muestra el esquema general de un algoritmo evolutivo

Esquema general de un algoritmo evolutivo

A lo largo de su desarrollo histoacuterico varios tipos de algoritmos evolutivos han sido implementados difiriendo en la forma de representar a sus individuos y en la implementacioacuten de sus operadores geneacuteticos Auacuten cuando en los antildeos 50 varios autores introducen los teacuterminos evolucioacuten y proceso evolutivo en sus propuestas para resolver diversos problemas es en los antildeos 60 cuando se sientan las bases del desarrollo de los algoritmos evolutivos con la introduccioacuten de tres teacutecnicas la Programacioacuten Evolutiva las Estrategias Evolutivas y los Algoritmos Geneacuteticos Fogel propone en 1962 la Programacioacuten Evolutiva donde las soluciones candidatas se representan con maacutequinas de estados finitos y Rechenberg y Schwefel en 1965 desarrollan las Estrategias Evolutivas que codifican sus individuos con vectores de nuacutemeros reales Los Algoritmos Geneacuteticos introducidos en 1962 por Holland son sin duda el tipo de algoritmo evolutivo maacutes popular Estos algoritmos tradicionalmente utilizan una cadena binaria para representar a sus individuos aunque tambieacuten se han utilizado cadenas de enteros y secuencias de nuacutemeros reales Desarrollos posteriores a estas teacutecnicas han aportado al eacutexito de los algoritmos evolutivos destacaacutendose la Programacioacuten Geneacutetica los Algoritmos Coevolutivos los Algoritmos Culturales el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial los Algoritmos de Estimacioacuten de Distribuciones la Evolucioacuten Gramatical y la Programacioacuten de Expresioacuten de Genes Cada uno de estos algoritmos tienen sus ventajas y sus propios desafiacuteos y han sido utilizados para resolver diferentes tipos de problemas La figura 2 muestra un esquema del desarrollo histoacuterico de los

algoritmos evolutivos En particular el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial ha demostrado ser muy competitivo y exitoso para resolver problemas numeacutericos complejos en comparacioacuten con otros algoritmos

Liacutenea del tiempo del desarrollo de los algoritmos evolutivos

El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Evolucioacuten Diferencial (DE por sus siglas en ingleacutes) es un tipo de algoritmo evolutivo que fue originalmente disentildeado por Storn y Price en 1995 para resolver problemas de optimizacioacuten continua En particular en este algoritmo cada individuo usualmente se representa con un vector de valores continuos de paraacutemetros Ademaacutes en lugar de implementar los operadores de cruza y mutacioacuten tradicionales el algoritmo crea cada nuevo individuo con una combinacioacuten lineal de los valores de dos o maacutes individuos de la poblacioacuten actual que son seleccionados al azar La forma en que se implementan los operadores de cruza y mutacioacuten se ha utilizado en la literatura para identificar las diferentes variantes del algoritmo DEABC es la notacioacuten comuacutenmente usada para nombrar estas variantes donde A y B determinan el tipo de mutacioacuten implementado y C identifica el tipo de cruza implementado por la variante En particular A representa el procedimiento de seleccioacuten de los individuos para construir el individuo mutado y B es el nuacutemero de vectores diferencia usados para el operador de mutacioacuten DE puede considerarse un proceso de tres pasos que incluye una fase de inicializacioacuten el proceso evolutivo y el paso final que determina el resultado obtenido La fase de inicializacioacuten involucra la seleccioacuten y evaluacioacuten de un grupo de NP individuos que son generados aleatoriamente de un espacio de buacutesqueda finito los cuales se utilizan como poblacioacuten inicial del algoritmo conocido como Si para cada y son los valores miacutenimo y maacuteximo del -eacutesimo paraacutemetro en el valor del -eacutesimo individuo en la poblacioacuten inicial es determinado como sigue

x = (x1 x2 hellip xn) n

Ω sube ℝn

X0 j isin 1 hellip n xminj xmax

jj Ω xi

j i xi

donde es un nuacutemero aleatorio uniformemente distribuido dentro del rango El proceso evolutivo implementa un esquema iterativo para evolucionar la poblacioacuten inicial En cada iteracioacuten de este proceso conocido como una generacioacuten una nueva poblacioacuten de individuos es generada utilizando informacioacuten de la poblacioacuten previamente creada A diferencia de otros algoritmos evolutivos el orden de aplicacioacuten de los operadores geneacuteticos en el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial es diferente Primero se aplica la mutacioacuten despueacutes la cruza y al final se lleva a cabo la seleccioacuten del mejor individuo Para cada en la generacioacuten es obtenido de la poblacioacuten y es utilizado para crear un nuevo vector aplicando los operadores de cruza y mutacioacuten Los vectores y son conocidos como el vector objetivo y el vector de prueba respectivamente Estos vectores son evaluados por el operador de seleccioacuten para actualizar la nueva poblacioacuten Los operadores de mutacioacuten cruza y seleccioacuten son descritos en detalle en los siguientes paacuterrafos En el paso final cuando una condicioacuten de paro es alcanzada el algoritmo devuelve el mejor individuo en la poblacioacuten actual La condicioacuten de paro maacutes comuacutenmente utilizada es comparar el nuacutemero de generaciones construidas contra un valor fijo pero otros criterios pueden ser implementados como aquellos descritos por Zielinski y Laur

Mutacioacuten Un vector mutado es construido al combinar los valores de varios individuos aleatoriamente seleccionados de El nuacutemero de individuos seleccionados para realizar la combinacioacuten depende del operador de mutacioacuten implementado por la variante del algoritmo En alguna de estas variantes el individuo con la mejor aptitud en la poblacioacuten es tambieacuten utilizado por el operador de mutacioacuten Entre los diferentes operadores de mutacioacuten descritos en la literatura destacan los siguientes

$$beginaligned

textDErand1quad v^i amp= x^r_1 + textF big( x^r_2 - x^r_3 big)labeleqmut_1

textDEbest1quad v^i amp= x^textbest + textF big( x^r_1 - x^r_2 big) labeleqmut_2

textDEcurrent-to-best1quad v^i amp= x^i + textF big( x^textbest - x^r_1big) + textF big( x^r_2 - x^r_3 big) labeleqmut_3

xij = xmin

j + r (xmaxj minus xmin

j )

r [0 1]

i isin 1 hellip NP g xi

Xgminus1 ui

xi ui

Xgω

vi xrj

Xgminus1

xbest Xgminus1

textDErand2quad v^i amp= x^r_1 + textF big( x^r_2 - x^r_3 big)+textF big( x^r_4 - x^r_5 big) labeleqmut_4

shortintertexty

textDEbest2quad v^i amp= x^textbest + textF big( x^r_1 - x^r_2 big )+ textF big( x^r_3 - x^r_4 big ) labeleqmut_5 endaligned$$

donde F es un valor definido por el usuario que representa un factor de escala aplicado para controlar la variacioacuten diferencial Storn y Price sentildealan que F puede fijarse entre 0 y 2 pero otros autores recomiendan valores entre 04 y 1 En la figura 3 se presenta un ejemplo de la aplicacioacuten del operador de mutacioacuten DErand1 En este ejemplo = = y = Usando F igual a 05 el vector mutado resultante es =

Ejemplo de la creacioacuten de un vector mutado con el esquema DErand1

La mutacioacuten aporta a las habilidades de explotacioacuten y exploracioacuten del meacutetodo Debido a que al inicio del proceso evolutivo los individuos se encuentran relativamente dispersos en el espacio

xr1 (1056 316) xr2

(253 903) xr3 (56 626) vi

(902 454)

de buacutesqueda la diferencia entre los vectores seleccionados es grande por lo que los vectores mutados pueden ubicarse en diferentes aacutereas del espacio de buacutesqueda pero a medida que el proceso evolutivo avanza las soluciones se vuelven maacutes cercanas y las diferencias entre ellos son maacutes pequentildeas lo que produce que los vectores mutados se encuentran concentrados en aacutereas promisorias del espacio de buacutesqueda

Cruza El operador de cruza se utiliza para combinar la informacioacuten entre el vector objetivo y el vector mutado para construir el vector de prueba Por cada o se seleccionan para construir usando un factor de cruza el cual es tambieacuten un valor especificado por el usuario Dos tipos de cruza se utilizan en este caso cruza binomial y cruza exponencial

Cruza binomial En este operador cada valor asignado a es seleccionado de o de comparando el valor CR con un valor seleccionado al azar Para garantizar que al menos un paraacutemetro de toma un valor de este operador utiliza un valor tambieacuten seleccionado al azar Formalmente la cruza binomial se define como

Tomando el vector mutado = del ejemplo de la figura 3 y un vector objetivo = en la figura 4 se muestra un ejemplo de la creacioacuten de un vector de prueba usando la cruza binomial El vector de prueba generado en este ejemplo es =

xr2 minus xr3

j isin 1 hellip n xij vi

jui CR isin [0 1]

ui vi xi

r isin [0 1] ui

vi l isin 1 hellip n

bin uij =

vij si r le CR or j = l

xij de otra forma

vi (902 454) xi

(406 766)ui (406 454)

Ejemplo de la creacioacuten de un vector de prueba usando la cruza binomial

Cruza exponencial Este operador de cruza asigna una secuencia de valores de a Los valores restantes que son asignados a son obtenidos de El tamantildeo de la secuencia se determina con dos valores 1) un iacutendice que representa la posicioacuten inicial de la secuencia en seleccionado aleatoriamente dentro del rango y 2) el nuacutemero de intentos consecutivos en los cuales determina la posicioacuten final de la secuencia como es definida en la Ec ([eqcr_exp]) La cruza exponencial es similar al operador de cruza de dos puntos introducido por Cavicchio

$$beginaligned

textexpquad u_j^i amp=

begincases

v_j^i amp textsi $ l leq j leq min (l+L-1n)$

vi ui

ui xi

l vi

1 hellip n L le n r le CR

x_j^i amp textde otra forma

endcases labeleqcr_expendaligned$$

Por ejemplo si se tienen dos vectores de cinco paraacutemetros = y = y se aplica el operador de cruza exponencial usando un factor de cruza de 06 entonces se debe obtener el valor de y despueacutes generar una secuencia de valores aleatorios para Si =2 y la secuencia de valores de es 06 03 04 y 06 y el vector de prueba que se construye es =

La cruza ayuda al algoritmo a mantener la diversidad de la poblacioacuten y eventualmente evitar que caiga en oacuteptimos locales El valor de CR es complicado de determinar pero algunos autores sentildealan que su valor puede ajustarse entre 03 y 09

Seleccioacuten Un torneo uno-a-uno es aplicado para determinar cual vector entre y es seleccionado como miembro de la nueva poblacioacuten Este esquema de seleccioacuten permite garantizar que el proceso evolutivo mantenga una mejora continua

Estructura del Algoritmo El Algoritmo [algDE] muestra la estructura de una implementacioacuten claacutesica del algoritmo Eacuteste requiere de tres paraacutemetros para controlar el proceso evolutivo (CR F y NP) y tambieacuten la seleccioacuten de un espacio de buacutesqueda para construir la poblacioacuten inicial y la definicioacuten del tamantildeo de individuo de una funcioacuten objetivo para evaluar cada individuo y de una condicioacuten de paro para finalizar el proceso evolutivo

Entrada Salida Un individuo generado aleatoriamente usando la Ec ([eqinicial]) Vector objetivo obtenido aleatoriamente de Vector mutado generado usando alguna de las Ecs ([eqmut_1])ndash([eqmut_5]) Vector de prueba construido usando alguna de las Ecs ([eqcr_bin])ndash([eqcr_exp])

DE tiene varias ventajas en comparacioacuten con otros algoritmos evolutivos como la simplicidad de su implementacioacuten su habilidad para producir mejores resultados que aquellos obtenidos por los demaacutes y su baja complejidad espacial

vi (24 36 12 78 02) xi

(34 96 12 52 31)l

r l rui (24 96 12 52 02)

xi ui

Xg

g larr 0 Xg larr xi larrXg larr Xg cup (i xi) g larr g + 1 Xg larr xi larr

Xgminus1 vi larrui larrXg larr Xg cup (i ui) Xg larr Xg cup (i xi) xbest

Modificaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Aunque DE requiere de la definicioacuten de un nuacutemero menor de paraacutemetros en comparacioacuten con el nuacutemero de paraacutemetros requeridos por otros algoritmos evolutivos su desempentildeo es sensible a los valores seleccionados de CR F y NP Varios autores sentildealan que los valores adecuados para estos paraacutemetros pueden variar para diferentes problemas y es conocido que la definicioacuten de estos paraacutemetros depende de las caracteriacutesticas propias de cada problema Ademaacutes Lampinen y Zelinka sentildealan que este algoritmo puede presentar el problema de estancamiento debido a una incorrecta seleccioacuten de sus paraacutemetros El estancamiento en un algoritmo se presenta cuando eacuteste no converge a alguna solucioacuten y la poblacioacuten presenta una gran diversidad de individuos Por lo anterior la mayoriacutea de los estudios realizados para mejorar el desempentildeo del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial se relacionan con teacutecnicas para ajustar los valores de sus paraacutemetros (F CR y NP) y para combinar las ventajas de las diferentes variantes del algoritmo usando un subconjunto de ellas en lugar de solamente aplicar una variante En los siguientes paacuterrafos se describen las propuestas para mejorar el desempentildeo del algoritmo que se consideran los maacutes representativos en la literatura especializada Para simplificar su descripcioacuten estas propuestas se agrupan de acuerdo al criterio utilizado Ajuste de paraacutemetros y combinacioacuten de variantes Por un lado debido a que F y CR son los paraacutemetros del algoritmo maacutes estudiados y donde maacutes variantes de mejora han sido desarrolladas estos estudios se agrupan en enfoques que usan paraacutemetros globales y enfoques que usan paraacutemetros para cada individuo Adicionalmente se presentan los enfoques relacionados con el ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten y tambieacuten aquellos donde se modifica la forma que generar los vectores mutados dentro del proceso evolutivo La figura 5 presenta un esquema del desarrollo histoacuterico de estos enfoques

Liacutenea del tiempo de las modificaciones a DE

Ajuste de paraacutemetros globales En estos enfoques los operadores geneacuteticos utilizan los mismos valores para F y CR en todos los individuos de una misma poblacioacuten como se ilustra en la figura 6 Estos valores se actualizan al finalizar cada generacioacuten con el aacutenimo de mejorar las habilidades de exploracioacuten y explotacioacuten del algoritmo Dos enfoques se concentran en ajustar el valor de F manteniendo fijo el valor de CR En 2004 Ali y Toumlrn lo actualizan considerando la aptitud del mejor y del peor individuo en la poblacioacuten y Das et al en 2005 proponen dos enfoques para modificar su valor el primero lo modifica de forma aleatoria y el segundo reduce su valor de forma lineal conforme el proceso evolutivo avanza Por otro lado Liu y Lampinen en 2005 proponen un enfoque diferente al cual denominan FADE (Fuzzy Adaptive DE algorithm) En este algoritmo los valores de F y CR se ajustan usando un sistema de control loacutegico difuso El sistema utiliza las diferencias entre generaciones sucesivas tanto de los valores de los individuos como de sus valores de aptitud Finalmente Dra et al en 2015 proponen una versioacuten alternativa denominada SinDE (Sinusoidal DE) en donde los valores de F y CR se ajustan utilizando foacutermulas trigonomeacutetricas permitiendo cambiar la direccioacuten del vector diferencia dentro del operador de mutacioacuten

Esquema de ajuste de paraacutemetros globales del algoritmo

Ajuste de paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten En este tipo de algoritmos cada individuo de la poblacioacuten tiene asociado su propio conjunto de paraacutemetros como se muestra en la figura 7 Estos paraacutemetros se ajustan de forma independiente dentro del proceso evolutivo como se esquematiza en la figura 8

Paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten

En 2005 Omran et al asocian el valor de F a cada individuo de la poblacioacuten en su meacutetodo denominado SDE (self-adaptive DE) Este meacutetodo actualiza el valor de F combinando los valores de F de tres individuos de la poblacioacuten actual que son seleccionados aleatoriamente En 2006 Brest et al describen su meacutetodo denominado jDE donde los valores de F y CR se pueden modificar en cada iteracioacuten del proceso evolutivo basados en una decisioacuten estocaacutestica utilizando un par de umbrales previamente definidos En 2007 Zhang y Sanderson implementan un meacutetodo conocido como JADE donde F y CR son ajustados utilizando distribuciones normales independientes cuya media es calculada usando el promedio de los vectores mutados mejor adaptados en cada iteracioacuten En 2011 Ghosh et al actualizan los valores de estos paraacutemetros en base al valor de aptitud de los individuos en la poblacioacuten en un meacutetodo denominado FiADE (Fitness-Adaptive DE) Una versioacuten parecida es presentada en 2015 por Tang et al en el meacutetodo llamado IDE (DE with an individual-dependent mechanism) En 2011 Bi y Xiao describen el meacutetodo p-ADE (pbest vector-based self-adaptive DE variant) donde el vector mutado se crea usando el mejor individuo en la poblacioacuten y el mejor de los vectores que se utilizaron para crear al vector objetivo Los valores de F y CR de cada individuo son ajustados usando un factor asociado a las mejores y peores aptitudes de los individuos en la poblacioacuten En 2012 Islam et al introdujeron el meacutetodo llamado MDEpBX (modified DE with p-best crossover) donde se modifica la variante DEcurrent-to-best1 al utilizar el mejor elemento de un grupo de individuos seleccionados aleatoriamente de la poblacioacuten actual en lugar de usar el mejor individuo de la poblacioacuten Los valores de los paraacutemetros se ajustan en base a un par de distribuciones independientes que son actualizadas al final de cada generacioacuten En 2013 Tanabe y Fukunaga implementan el meacutetodo SHADE (Success-History based Adaptive DE) que basaacutendose en JADE actualiza los valores de F y CR usando una memoria de los vectores mutados que han sido exitosamente seleccionados previamente dentro del proceso evolutivo A partir de SHADE

varias versiones se han desarrollado como el meacutetodo L-convSHADE (SHADE using covariance matrix learning with Euclidean Neighborhood) y el meacutetodo LSHADE-SPA (LSHADE with semi parameter adaptation) En 2016 Leon y Xiong introducen una estrategia voraz para actualizar los valores de los paraacutemetros de cada individuo en el meacutetodo llamado GADE (Greedy Adaptive DE) Se utilizan los valores de los paraacutemetros de las soluciones vecinas para ajustar los paraacutemetros del nuevo vector mutado Finalmente Mohamed y Mohamed en 2017 proponen el meacutetodo denominado AGDE (Adaptive guided DE)

Esquema de ajuste de paraacutemetros para cada individuo de la poblacioacuten

Ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten En los enfoques descritos previamente solamente se ajustan los valores de F y CR manteniendo el tamantildeo de la poblacioacuten constante Diversos estudios indican que el tamantildeo de la poblacioacuten tambieacuten afecta al desempentildeo de un algoritmo evolutivo por lo que existen trabajos que se han centrado en ajustar el tamantildeo de la poblacioacuten para garantizar la convergencia del algoritmo Existen algunos enfoques donde se ajusta el tamantildeo de la poblacioacuten y se describiraacuten a continuacioacuten En la figura 9 se muestra el esquema general en que estos enfoques ajustan el tamantildeo de la poblacioacuten durante el proceso evolutivo

Esquema general del ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten en DE

En 2006 Teo describe el meacutetodo DESAP (Differential Evolution with self-adapting populations) donde el tamantildeo de la poblacioacuten se ajusta usando un factor distribuido uniformemente entre 0 y 1 En 2008 Brest y Sepesy Maučec presentan el algoritmo dynNP-DE (DE con NP dinaacutemico) donde van reduciendo a la mitad el tamantildeo de la poblacioacuten conforme el proceso evolutivo progresa Utilizando el nuacutemero total de evaluaciones y un paraacutemetro que indica el nuacutemero de posibles reducciones el algoritmo establece en queacute generaciones el algoritmo reduciraacute el tamantildeo de la poblacioacuten En 2014 Tanabe y Fukunaga presentaron una versioacuten con ajuste de poblacioacuten del meacutetodo SHADE denominada L-SHADE donde se aplica una reduccioacuten lineal del tamantildeo de la poblacioacuten previo a una ordenacioacuten a los individuos por su aptitud que permite eliminar solo

los individuos peor adaptados En 2017 Bujok y Tvrdiacutek describen el meacutetodo IDEbd (IDE with Population Size Adaptation) en donde el tamantildeo de la poblacioacuten es adaptado usando un factor calculado en base al nivel de diversidad de la poblacioacuten actual

Combinacioacuten de variantes Debido a la forma de combinar los individuos para crear el vector de prueba de cada una de las variantes de DE estaacutes presentan diferentes capacidades de exploracioacuten y explotacioacuten ademaacutes de que son maacutes efectivas para diferentes tipos de problemas Por ejemplo la variante DErand1 es mejor para explorar el espacio de buacutesqueda pero tiene una velocidad de convergencia lenta y DEbest1 converge maacutes raacutepido hacia soluciones cercanas a la oacuteptima pero solo para problemas con un uacutenico oacuteptimo global (unimodales) Debido a que usar diferentes estrategias de mutacioacuten durante diferentes momentos del proceso evolutivo pueden ser mejor que usar una sola variante durante todo el proceso varios autores se han enfocado en desarrollar estrategias para combinar diferentes variantes de DE y lograr con esto que cooperen en la creacioacuten de un mejor vector objetivo La figura 10 muestra un esquema general de la forma en que se aplican estas estrategias dentro del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial

Esquema general de la estrategia de combinacioacuten de variantes de DE

En 2005 Qin y Suganthan describieron una versioacuten conocida como SADE (Self-Adaptive DE algorithm for numerical optimization) donde introducen un esquema que selecciona de forma alternada una de dos variantes del algoritmo de acuerdo a su tasa de eacutexito dentro del proceso evolutivo En 2009 Das et al presentaron el meacutetodo llamado DEGL (DE with Global and Local Neighborhoods) donde cada nuevo vector mutado se crea combinando dos vectores uno construido usando una vecindad del vector objetivo (vector local) y otro creado usando el mejor

individuo de la poblacioacuten (vector global) En 2011 Mallipeddi et al asignaron a cada individuo de la poblacioacuten el tipo de variante para generar el vector mutado y los valores para F y CR en el meacutetodo EPSDE (Ensemble of mutation strategies and parameters in DE) Tanto el tipo de variante como los valores de los paraacutemetros se escogen aleatoriamente de un grupo de ellos que es previamente definido Dependiendo del eacutexito de la aplicacioacuten de dichos valores eacutestos se pueden cambiar durante el proceso evolutivo Tambieacuten en ese mismo antildeo Wang et al en su meacutetodo CoDE (Composite DE) crean tres vectores para cada vector objetivo Cada vector es construido usando variantes diferentes y con paraacutemetros generados aleatoriamente El mejor de los tres vectores se usa como vector de prueba para aplicar el operador de seleccioacuten Adicionalmente Zhao et al implementaron un meacutetodo muy similar denominado SaDE-MMTS (SaDE with a modified multi-trajectory search) donde el vector mutado se selecciona de entre los vectores generados por tres diferentes variantes del algoritmo pero la seleccioacuten se hace en base a una probabilidad que iterativamente se ajusta en base a la cantidad de vectores mutados que son exitosamente seleccionados En 2017 Ghosh et al propusieron el meacutetodo NRDE (Noise Resilient DE) donde cada individuo puede ser mutado por alguna de dos variantes con igual probabilidad Los valores de F y CR son ajustados para cada individuo basado en un rango preestablecido previamente

Evolucioacuten Diferencial para otros tipos de problemas Aunque DE fue definido originalmente para resolver problemas de optimizacioacuten continua sin restricciones tambieacuten se ha utilizado con eacutexito para resolver otros tipos de problemas como aquellos donde los valores de las variables del problema son discretos donde el espacio de buacutesqueda estaacute limitado por una o maacutes restricciones y aquellos donde se manejan dos o mas objetivos Prado et al describe varias adaptaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial para problemas de optimizacioacuten combinatoria como aquellos que implementan una matriz de permutacioacuten los que obtienen una secuencia ordenada de valores y los que aplican una transformacioacuten de los valores continuos al espacio discreto En el caso de los problemas de optimizacioacuten con restricciones Mezura-Montes et al describen varios enfoques que se han utilizado para aplicar DE en este tipo de problemas como aquellos que utilizan teacutecnicas para eliminar o reparar soluciones infactibles y los que implementan teacutecnicas de penalizacioacuten Finalmente para problemas de optimizacioacuten multi-objetivo Mezura-Montes et al resume las principales teacutecnicas basadas en el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial para manejar dos o maacutes objetivos como los enfoques basados en dominancia de Pareto y en jerarquizacioacuten de Pareto asiacute como los meacutetodos que no se basan en Pareto y los enfoques que combinan diferentes estrategias Hoy en diacutea existen tambieacuten algoritmos basados en descomposicioacuten y en indicadores de desempentildeo

DE en Meacutexico En el paiacutes se tiene mucha actividad en investigacioacuten relacionada con DE particularmente el grupo EVOCINV de CINVESTAV Zacatenco estudia a este algoritmo en optimizacioacuten multi-objetivo y temas afines al manejo de muacuteltiples objetivos como algoritmos basados en indicadores modelos subrogados operadores de seleccioacuten operadores de variacioacuten adaptacioacuten de paraacutemetros entre otros temas

En el Centro de Investigacioacuten en Inteligencia Artificial de la Universidad Veracruzana se desarrolla investigacioacuten en optimizacioacuten con restricciones usando DE aplicaciones de DE en mecatroacutenica y en control automaacutetico DE y buacutesqueda local optimizacioacuten dinaacutemica multi-objetivo DE asistida por subrogados en espacios restringidos entre otras temaacuteticas

Recientemente en el Instituto Tecnoloacutegico de Veracruz se desarrollan aplicaciones de DE en aprendizaje automaacutetico en el Centro de Innovacioacuten y Desarrollo Tecnoloacutegico en Coacutemputo (CIDETEC) del IPN se aplica DE en problemas de mecatroacutenica y en el Centro de Investigacioacuten en Matemaacuteticas se aplica en procesos quiacutemicos

Todas estas menciones soacutelo son representativas pues la DE al ser un algoritmo faacutecil de implementar y que provee resultados competitivos ha sido particularmente atractiva para su estudio y aplicacioacuten en instituciones mexicanas

Conclusiones El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial es un enfoque exitoso para resolver problemas de optimizacioacuten continua sin restricciones Los individuos que evolucionan al aplicar los operadores de este algoritmo tradicionalmente se codifican como secuencias de nuacutemeros reales pero otras representaciones se han utilizado tambieacuten Ademaacutes con la inclusioacuten de diversas estrategias para manejar varios objetivos y conjuntos de restricciones DE se puede aplicar para resolver otro tipo de problemas DE se distingue por depender de la definicioacuten de un menor nuacutemero de paraacutemetros que otros algoritmos evolutivos pero esto tambieacuten lo hace muy sensible a la definicioacuten de los valores para esos paraacutemetros Diversos variantes del algoritmo han sido desarrolladas para mejorar el desempentildeo del algoritmo generando un abanico de alternativas para resolver casi cualquier tipo de problema El estudio del comportamiento de este algoritmo y la definicioacuten de nuevas propuestas de desarrollo sin duda aportaraacute a la resolucioacuten maacutes eficiente de problemas complejos que interesan a la comunidad cientiacutefica

Para saber maacutes Para aquellos lectores que deseen abundar en el tema las siguientes referencias sobre DE pueden ser de intereacutes

bull El libro sobre DE escrito por los autores originales del algoritmo

bull Una revisioacuten muy completa de la literatura de DE y su versioacuten actualizada

bull Otra revisioacuten de la literatura acompantildeada de un estudio experimental

bull Una revisioacuten de estudios teoacutericos sobre DE

bull Un libro editado con temas diversos y recientes sobre DE

bull DE para resolver problemas de optimizacioacuten multi-objetivo

bull DE y su papel importante en espacios restringidos

Algoritmos Geneacuteticos Paralelos Alicia Morales-Reyes

Introduccioacuten Las teacutecnicas evolutivas son aptas para su paralelizacioacuten tanto a nivel algoriacutetmico como a nivel de ejecucioacuten En particular los algoritmos geneacuteticos (AGs) han sido investigados desde esta perspectiva y esquemas paralelos han surgido desde el inicio de su desarrollo La paralelizacioacuten de los AGs persigue la mejora de su desempentildeo algoriacutetmico en teacuterminos de eficiencia y eficacia y la reduccioacuten de tiempos de ejecucioacuten en sus distintos dominios de aplicacioacuten

Una clasificacioacuten general de los Algoritmos Geneacuteticos Paralelos (AGPs) los agrupa por su granularidad en AGPs de grano fino y grueso Los AGPs de grano grueso dividen la poblacioacuten agrupada en panmixia en varias sub-poblaciones permitiendo la migracioacuten de individuos entre 1

eacutestas De esta forma se reduce el nuacutemero de individuos en cada unidad de procesamiento En consecuencia se establece un fuerte viacutenculo entre la algoritmia y la implementacioacuten de estas teacutecnicas Sin embargo utilizar una uacutenica unidad de procesamiento para la evolucioacuten de varias sub-poblaciones ha sido un contexto tambieacuten explorado como un mecanismo de mejora del desempentildeo algoriacutetmico

Los AGPs de grano grueso tambieacuten llamados Algoritmos Geneacuteticos distribuidos (AGds) han permitido la exploracioacuten de nuevas vertientes de la versioacuten estaacutendar de los AGs Tener diferentes paraacutemetros de configuracioacuten para realizar las operaciones geneacuteticas implementar granularidades distintas incorporar el operador de migracioacuten han sido caracteriacutesticas a explorar que pueden culminar en un mejor desempentildeo de los AGs

En la figura 1 se muestra un diagrama de un AG distribuido Cada poblacioacuten es centralizada y se necesitan definir criterios en teacuterminos de tasa y frecuencia de migracioacuten Tambieacuten se necesita definir si la migracioacuten seraacute siacutencrona o asiacutencrona Herrera et al presentaron un esquema de un AGP distribuido con poblaciones heterogeacuteneas Utilizaron la estructura de un hipercubo posicionando en cada veacutertice una sub-poblacioacuten Dependiendo de la ubicacioacuten de cada sub-poblacioacuten la buacutesqueda implica mayor explotacioacuten o exploracioacuten Esto se logra de manera interna viacutea la configuracioacuten de los operadores geneacuteticos De esta forma se procura mantener la diversidad de soluciones de forma global y asiacute mejorar la calidad de las soluciones encontradas

Una poblacioacuten en panmixia es aquella donde todos sus individuos sin restricciones pueden 1

reproducirse entre si

Diagrama poblacional de un AGP distribuido o de grano grueso

La principal diferencia entre los AGP de grano fino con respecto a los AGP distribuidos o de grano grueso es la descentralizacioacuten de su poblacioacuten y en consecuencia la localizacioacuten del proceso de seleccioacuten de individuos En la figura 2 se muestra un esquema poblacional de un AGP de grano fino tambieacuten conocido como AG celular (AGc) De manera comuacuten se utiliza una topologiacutea de malla conectada de forma toroidal como lo muestra la figura Un individuo de la poblacioacuten se ubica en cada cruce de la malla y alrededor de eacutel se define un vecindario cuyas soluciones participan en los procesos de seleccioacuten recombinacioacuten y mutacioacuten para la evolucioacuten de eacuteste En la figura 2 se ilustra un vecindario tipo Moore con 9 individuos

En los AGs celulares cada individuo o solucioacuten interactuacutea con sus vecinos maacutes cercanos logrando de esta forma el esparcimiento suave de las soluciones a traveacutes de la malla debido al traslape de vecindarios En los AGs distribuidos la asociacioacuten entre soluciones se pierde en comparacioacuten con los AGs celulares Esta es otra caracteriacutestica importante de los AGc que permite la exploracioacuten global del espacio de buacutesqueda mientras que localmente los individuos explotan la regioacuten cercana a su ubicacioacuten

Diagrama poblacional del AG celular o de grano fino

La paralelizacioacuten de los algoritmos evolutivos en particular de los algoritmos geneacuteticos persigue distintos objetivos Por ejemplo la evolucioacuten simultaacutenea de sub-poblaciones lo cual permite descubrir nueva rutas para solucionar un problema y en consecuencia reducir el nuacutemero de generaciones para converger a la solucioacuten oacuteptima Aunado a esto los tiempos de procesamiento pueden tambieacuten acortarse La paralelizacioacuten de AGs se puede realizar a distintos niveles Asiacute mismo es posible la combinacioacuten de sub-poblaciones con distintas dinaacutemicas internas Por ejemplo algunas sub-poblaciones podriacutean evolucionar en un esquema de panmixia y otras en un esquema celular Este tipo de esquemas poblacionales se discutiraacuten a detalle en la subseccioacuten 11

Una operacioacuten importante en los procesos evolutivos de los AGs distribuidos es la migracioacuten de los individuos entre sub-poblaciones Durante el proceso de buacutesqueda uno o maacutes individuos son seleccionados para migrar y reemplazar a otros individuos de otras sub-poblaciones Los criterios de migracioacuten requieren no soacutelo de la tasa y la frecuencia de migracioacuten sino tambieacuten de criterios de seleccioacuten y reemplazo de individuos al llegar a las otras sub-poblaciones El proceso de migracioacuten puede realizarse de forma siacutencrona o asiacutencrona La migracioacuten siacutencrona supone que todas las sub-poblaciones estaacuten en el mismo estado de la buacutesqueda y la migracioacuten de individuos entre sub-poblaciones ocurre de manera simultaacutenea Por otro lado la migracioacuten asiacutencrona supone que cada sub-poblacioacuten determina el momento en que los individuos deben migrar En la sub-seccioacuten 24 se aborda el efecto del sincronismo en los mecanismos de migracioacuten

Cantuacute-Paz et al presentoacute un estudio completo en AGs distribuidos tanto desde el punto de vista teoacuterico como del praacutectico Debido al nuacutemero de paraacutemetros que se deben definir en los AGds Cantuacute-Paz et al iniciaron con la solucioacuten de un problema de optimizacioacuten para determinar el tamantildeo adecuado de las sub-poblaciones para alcanzar una cierta calidad de la misma Utilizaron un modelo matemaacutetico considerando la hipoacutetesis de los bloques constructores propuesta por Holland y extendida por Goldberg El estudio se verifica en varios problemas con un grado alto de precisioacuten mostraacutendose una buena respuesta a la escalabilidad

Para determinar escenarios de operacioacuten liacutemite en teacuterminos de eficiencia analizaron la interaccioacuten de las sub-poblaciones y su efecto en la calidad de las soluciones Previamente se ha investigado el cambio en la calidad de las soluciones debido a la forma de interaccioacuten de las sub-poblaciones Tener sub-poblaciones evolucionando de manera independiente con muy poca o nula interaccioacuten entre ellas resulta en soluciones menos precisas mientras mejores soluciones se obtienen viacutea el esquema de panmixia tradicional Sin embargo cuando se definen criterios de migracioacuten adecuados y un cierto nuacutemero de soluciones migran entre sub-poblaciones a una frecuencia media o baja el desempentildeo en general de los AGds mejora alcanzando en un nuacutemero de casos aceleraciones super-lineales y mejor calidad de las soluciones encontradas Se puede inferir entonces la importancia del operador de migracioacuten el cual seraacute analizado en detalle en la sub-seccioacuten 12

AGds homogeacuteneos y heterogeacuteneos Existen distintos escenarios en los que se pueden definir y aplicar AGds con esquemas poblaciones homogeacuteneos y heterogeacuteneos es decir combinaciones de poblaciones centralizadas y descentralizadas A nivel algoriacutetmico se puede definir la misma o una diferente configuracioacuten de operadores geneacuteticos A partir de esas configuraciones distintas diferentes configuraciones de paraacutemetros se pueden determinar para ejecutar la buacutesqueda en cada sub-poblacioacuten Por ejemplo distintas definiciones del operador de recombinacioacuten o bien de las probabilidades de mutacioacuten pueden operar sobre los individuos de cada sub-poblacioacuten La comunidad en el aacuterea ha incluso explorado escenarios donde las soluciones se representan de manera distinta entre sub-poblaciones Por otro lado a nivel de implementacioacuten se han explorado esquemas con sub-poblaciones heterogeacuteneas Por ejemplo Alba et al realizoacute un estudio en distintas plataformas de coacutemputo ejecutando sub-poblaciones en panmixia y celulares

Como se puede apreciar el desarrollo de un esquema de AG paralelos ya sean distribuidos o descentralizados conlleva la definicioacuten de un nuacutemero de paraacutemetros que afectaraacute de manera importante su desempentildeo algoriacutetmico Otro ejemplo es la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten en espacios continuos que se han abordado a traveacutes de un esquema de AGP utilizando una versioacuten mejorada con cromosomas codificados con nuacutemeros reales Para esto se

definioacute una topologiacutea doble con un hipercubo que se comparoacute con una topologiacutea sencilla Las sub-poblaciones ubicadas en sus veacutertices promoviacutean mayor o menor exploracioacuten u explotacioacuten de las regiones viacutea la configuracioacuten de los operadores geneacuteticos La migracioacuten entre las sub-poblaciones afectoacute directamente los tiempos de ejecucioacuten por medio de la reduccioacuten del nuacutemero de evaluaciones La capacidad de buacutesqueda de la topologiacutea doble superoacute a la de la topologiacutea sencilla

Cuando pensamos en paralelizar alguna teacutecnica algoriacutetmica nos viene a la mente acelerar los procesos de ejecucioacuten Sin embargo la paralelizacioacuten de los algoritmos evolutivos podriacutea mejorar tanto los procesos de buacutesqueda algoriacutetmica como los tiempos de ejecucioacuten Es asiacute que a nivel de implementacioacuten se utilizado coacutemputo heterogeacuteneo para la evaluacioacuten de esquemas de AGPs Por ejemplo Alba et al propusieron utilizar una plataforma heterogeacutenea en la cual distintos sistemas operativos con distintas restricciones de ejecucioacuten implementaban un modelo de AGPs distribuidos Las sub-poblaciones se conectaron en un arreglo de anillo unidireccional cada sub-poblacioacuten ejecutaba un modelo poblacional de estado estable A cada generacioacuten se produciacutea un individuo que reemplazaba a la peor solucioacuten obtenida Se establecioacute un esquema de migracioacuten asiacutencrona que demostroacute mejores resultados ver 3 En general se observoacute un mejor desempentildeo de la ejecucioacuten del esquema paralelo en la plataforma heterogeacutenea en comparacioacuten con la homogeacutenea se redujo el nuacutemero de evaluaciones debido a la explotacioacuten de soluciones a distintas tasas de migracioacuten

AGP con topologiacutea poblacional de anillo unidireccional implementada en una plataforma de coacutemputo heterogeacutenea La migracioacuten entre sub-poblaciones es asiacutencrona y responde a una dinaacutemica de estado estable

Migracioacuten en AGPs Como se explicoacute anteriormente la incorporacioacuten de un nuevo operador llamado migracioacuten se hace latente en los esquemas paralelos de los AGs En los esquemas de grano grueso donde se tienen sub-poblaciones de grano fino y grueso evolucionando simultaacuteneamente la migracioacuten se debe considerar como un mecanismo que introduce nuevos individuos y por lo tanto promueve o restaura la diversidad entre sub-poblaciones De forma distinta en los AGs celulares o de grano fino un mecanismo de migracioacuten impliacutecito trabaja durante el proceso de buacutesqueda debido al traslape de vecindarios que permite la difusioacuten de soluciones a lo largo y ancho de la topologiacutea definida para la poblacioacuten Este mecanismo de migracioacuten es inherente a la estructura de los AGs celulares y no requiere de un paraacutemetro de frecuencia o tasa de migracioacuten o ninguacuten otro mecanismo de seleccioacuten y reemplazo

Revisaremos ahora evaluaciones empiacutericas que se han realizado a criterios de migracioacuten definidos para AGPs de grano grueso Aunque estos criterios son definidos para este tipo de esquemas paralelos tambieacuten es posible aplicar un segundo criterio migratorio en AGs celulares ademaacutes del mecanismo natural inherente a estos

Para establecer un criterio de migracioacuten adecuado y mejorar el desempentildeo algoriacutetmico de los AGPs de grano grueso se examinaron los casos liacutemite para aplicar el proceso de migracioacuten Se

sugiere mantener un cierto nivel de aislamiento entre las sub-poblaciones Si la sub-poblacioacuten evoluciona en completo aislamiento las mejoras en diversidad son miacutenimas y por ende la capacidad de buacutesqueda se ve reducida Por otro lado si se aplica el operador de migracioacuten con una frecuencia maacutexima el costo computacional se incrementa de manera significativa Por lo tanto el objetivo de la migracioacuten es evitar el aislamiento entre sub-poblaciones mientras se mantiene un nivel aceptable de comunicacioacuten entre eacutestas

Es posible calcular experimentalmente el nuacutemero adecuado de unidades de procesamiento para minimizar el tiempo de ejecucioacuten de un esquema de AGPs El anaacutelisis considera casos liacutemite en teacuterminos de conectividad entre sub-poblaciones es decir el caso de tener frecuencias de migracioacuten miacutenimas y maacuteximas La conclusioacuten teoacuterica para una poblacioacuten indica que el nuacutemero

oacuteptimo de unidades de procesamiento estaacute dado por donde es el tamantildeo de la

poblacioacuten es el tiempo de coacutemputo de la funcioacuten objetivo de un individuo y es el tiempo promedio de comunicacioacuten para una unidad de procesamiento Esto quiere decir que dividiendo una poblacioacuten en sub-poblaciones distribuidas en muacuteltiples unidades de procesamiento reduce el tiempo global de ejecucioacuten La misma conclusioacuten se logroacute para un esquema de muacuteltiples poblaciones considerando ademaacutes la evaluacioacuten de funciones objetivo separables Esto quiere decir que utilizar un nuacutemero de unidades de procesamiento en un esquema evolutivo paralelo tiene un impacto positivo en la reduccioacuten de los tiempos de ejecucioacuten

Es tambieacuten importante analizar el efecto de los criterios de migracioacuten que se utilizan en esquemas de AGPs de grano grueso El objetivo principal es determinar coacutemo el operador de migracioacuten afecta la presioacuten de seleccioacuten inducida e impliacutecitamente poder explicar las aceleraciones super-lineales que se pueden modelar para este tipo de esquemas La forma en que los individuos se seleccionan para migracioacuten y reemplazo tienen un efecto considerable en la presioacuten de seleccioacuten y se ha observado que tasas altas de migracioacuten producen un incremento en eacutesta Tener una presioacuten de seleccioacuten alta afecta la buacutesqueda al producir una convergencia prematura a un oacuteptimo local

Aunque la operacioacuten de migracioacuten se ha investigado principalmente para esquemas de AGPs de grano grueso tambieacuten se ha revisado su efecto en AGPs de grano fino considerando tanto el mecanismo de migracioacuten impliacutecita viacutea el traslape de vecindarios como la definicioacuten de criterios para migracioacuten de individuos desde y hacia distintas posiciones de la topologiacutea de malla definida para la poblacioacuten Por ejemplo se han utilizado estructuras de aacuterboles binarios para dividir una topologiacutea de malla de dos dimensiones en formaciones conceacutentricas de individuos definiendo para cada formacioacuten criterios de migracioacuten distintos El intercambio de individuos entre estas

OnTf

Tcn

Tf Tc

formaciones definidas por su estructura alenta el proceso de buacutesqueda permitiendo una mayor exploracioacuten Los resultados mostraron un mejor desempentildeo en la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten con restricciones el operador de mutacioacuten se aplica para evitar la presencia de super individuos que pueden dirigir la buacutesqueda al estancamiento conquistando la topologiacutea de malla mucho maacutes raacutepido En la siguiente seccioacuten se abordaraacute el comportamiento de los AG celulares o de grano fino

AGs celulares o de grano fino Los AGs celulares o de grano fino se construyen a partir de poblaciones descentralizadas donde los individuos interactuacutean con otros individuos ubicados dentro de un vecindario definido Es decir interactuacutean con los vecinos maacutes cercanos Usualmente los AGCs se implementan en topologiacuteas de mallas de -dimensionales manteniendo conexiones toroidales entre los cruces de malla utilizando formas comunes como una malla lineal cuadrada o rectangular

El procesamiento de los AG celulares corresponde al de los Autoacutematas Celulares (ACs) Estos determinan una regla global que define un comportamiento especiacutefico que se construye a partir de reglas locales Se han explorado ACs de una dos y tres dimensiones en combinacioacuten con AGs con la finalidad de evolucionar el comportamiento global requerido Esta combinacioacuten de un AC y un AG originoacute el nombre de AG celular con la diferencia de tener una representacioacuten maacutes elaborada en cada cruce de la malla cromosomas Se observoacute que la informacioacuten de las reglas locales o individuos alcanzaba distancias lejanas dentro de la malla definida esto debido al traslape de los vecindarios De esta forma se determinoacute que la informacioacuten se mueve entre vecindarios permitiendo acelerar el proceso de crear nuevos comportamientos ad-hoc al problema que se esteacute solucionando y con una peacuterdida miacutenima de informacioacuten

El pseudocoacutedigo [algCellularGeneticAlgorithmPseudocode] es el estaacutendar de un AG celular En un primer paso se genera una poblacioacuten inicial de forma aleatoria ubicando cada individuo en un cruce de la topologiacutea de malla Esta poblacioacuten inicial se evaluacutea de acuerdo a la funcioacuten objetivo del problema a resolver Posteriormente da inicio el ciclo reproductivo principal Se define un vecindario local con individuos ubicados de forma cercana A partir de eacutestos y del individuo ubicado en el cruce de la malla se seleccionan a los padres para reproducirse Existen distintos meacutetodos de seleccioacuten que se utilizan en los AG celulares Se pueden utilizar los que comuacutenmente se aplican en los AGs con poblaciones centralizadas como el torneo binario ruleta o seleccioacuten determinista Existen tambieacuten otros meacutetodos especiacuteficos a los AG celulares como son la seleccioacuten ceacutentrica o anisotroacutepica Una vez seleccionados los padres se recombinan y los hijos se mutan No hay diferencia entre la aplicacioacuten de los operadores de recombinacioacuten y mutacioacuten con respecto a los AG tradicionales

n

Debido a la descentralizacioacuten de la poblacioacuten el reemplazo de eacutesta puede ocurrir de forma siacutencrona o asiacutencrona El reemplazo asiacutencrono requiere del almacenaje temporal de la poblacioacuten hasta que todos los individuos concluyen su ciclo reproductivo El reemplazo siacutencrono requiere de la definicioacuten del criterio para implementarla Los distintos criterios que se han utilizado para el reemplazo se explicaraacuten en la sub-seccioacuten 24

poblacioacuten inicial evaluacioacuten seleccioacuten de padres vecinario L5 recombinacioacuten mutacioacuten evaluacioacuten reemplazo

Explotacioacutenexploracioacuten por propiedades estructurales Debido a la descentralizacioacuten de la poblacioacuten y la definicioacuten de una topologiacutea de malla las caracteriacutesticas estructurales de los AG celulares tienen un impacto importante en los procesos de buacutesqueda La forma y la dimensioacuten de la topologiacutea el nuacutemero de individuos dentro del vecindario entre otras son caracteriacutesticas de la estructura que necesitan definirse Ademaacutes otras operaciones durante el ciclo evolutivo como el proceso de seleccioacuten local el reemplazo de individuos criterios de migracioacuten entre otras estaacuten tambieacuten asociadas a estas caracteriacutesticas de estructura

La topologiacutea de malla que es comuacutenmente utilizada en los AG celulares se muestra en la figura 2 Se ha reportado que distintas formas de malla en combinacioacuten con distintos tipos de vecindarios inducen una mayor o menor presioacuten de seleccioacuten Para modelar el efecto de ambas estructuras se utiliza un patroacuten de dispersioacuten con puntos (la posicioacuten de cada solucioacuten en la malla) a partir de una posicioacuten central con coordenadas Se calcula la medida de dispersioacuten debido a que otras medidas como el radio de una circunferencia indicariacutea el mismo valor para topologiacuteas distintas La relacioacuten entre el vecindario y la topologiacutea o radii se calcula de la siguiente forma

donde y La razoacuten o radii entre el vecindario y la topologiacutea de

malla estaacute dada por

(x) larr random(x0) (f ) larr evaluat ion(x)(f1 f2) larr seleccion(f fN fE fS fW)(x1 x2) larr seleccion(x xN xE xS xW) (x prime1 x prime2 ) larr recombinacion(x prime1 x prime 2 )

(x1Prime x2Prime) larr mutacion(x prime1 x prime2 ) (fnew) larr evaluacion(x1Prime x2Prime)(f x) larr reemplazo(fnew xnew)

p(x0 y0)

D =sum (xi minus x)2 + sum (yi minus y)2

p

(x ) =sump

i=1 xi

p (y) =sump

i=1 yi

p

Esta medida se conoce como la razoacuten vecindario-malla (RVM) Formas y tamantildeos diferentes de vecindarios y topologiacuteas proporcionan una medida distinta de RVM ver figura 4

Ejemplos de formas de vecindarios y topologiacuteas de malla

NGR =Dvecindario

Dmalla

Razoacuten vecindario-malla para diferentes topologiacuteas de malla y tamantildeos de poblacioacuten con un vecindario L5

[figL5_variableLattice]

Una topologiacutea de malla cuadrada con un vecindario es una configuracioacuten comuacutenmente utilizada en la implementacioacuten de AG celulares En la figura [figL5_variableLattice] la razoacuten vecindario-malla se ilustra para distintos tamantildeos de poblacioacuten con vecindario Tres formas de malla se evaluacutean cuadrada rectangular y lineal Las curvas de la RVM muestran razones altas para mallas cuadradas y razones bajas para topologiacuteas lineales La RVM se asocia a la presioacuten de seleccioacuten inducida en AG celulares debido a sus caracteriacutesticas estructurales Para comprender esto de mejor manera otro concepto importante es necesario el nuacutemero de generaciones que toma al mejor individuo de una poblacioacuten inicial esparcir su solucioacuten en todas las direcciones de la topologiacutea de malla es decir conquistarla a partir de aplicar uacutenicamente el operador de seleccioacuten Un nuacutemero de generaciones alto indica una baja presioacuten de seleccioacuten es decir una buacutesqueda principalmente explorativa Por el contrario un nuacutemero de reducido de generaciones implica una alta presioacuten de seleccioacuten y por tanto una buacutesqueda orientada a la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda

L5

L5

Los AG celulares son teacutecnicas flexibles con un nuacutemero de paraacutemetros que pueden configurarse Por ejemplo es posible pensar en modificar en tiempo de buacutesqueda las topologiacuteas de malla tamantildeos y formas de vecindarios como una forma de control de la presioacuten de seleccioacuten inducida Las modificaciones de la configuracioacuten pueden realizarse de manera constante definiendo un nuacutemero de generaciones o bien de forma adaptativa midiendo generacioacuten a generacioacuten el comportamiento por ejemplo de la diversidad en el espacio de fenotipos y genotipos modificando entonces las configuraciones de estructura de manera que se promueva la exploracioacuten o la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda

Presioacuten de seleccioacuten por caracteriacutesticas estructurales

El matemaacutetico belga Pierre Verhulst en el siglo XIX estudioacute modelos logiacutesticos de crecimiento para describir sistemas bioloacutegicos bajo condiciones de recursos limitados Considerando una poblacioacuten en panmixia de cierto tamantildeo y un nuacutemero de copias del mejor individuo en un tiempo discreto dado por la tasa de crecimiento se expresa a traveacutes del siguiente modelo de recurrencia discreto

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t - 1 right) + p_s tamPob N left(t-1right) left(1 - left(frac1tamPobright) N left(t-1right)right)endaligned$$

donde es la probabilidad de seleccioacuten de un individuo y se puede aproximar por la ecuacioacuten logiacutestica continua

donde es la probabilidad Aunque se obtienen curvas de crecimiento similares el comportamiento en poblaciones estructuradas o descentralizadas no es exponencial sino polinomial como fue sugerido por Spiessen y Manderick in De este modo las caracteriacutesticas estructurales necesitan considerarse en el modelo matemaacutetico de la tasa de crecimiento para AG celulares Si se evaluacutea un caso liacutemite donde el mejor individuo dentro del vecindario se selecciona siempre para reemplazar al individuo actual o central (al vecindario) es decir

tamPobt N(t)

ps N(t)

N(t) =tamPob

1 + ( tamPobN(0) minus 1)eminusαt

α ps

ps = 1

y se define un tamantildeo de poblacioacuten donde determina una topologiacutea de malla cuadrada y un vecindario local con radio La tasa de crecimiento del mejor individuo estaacute dada por

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4r^2t - 2rleft( r+1 right) quad 0 leq t leq fracleft(sqrttamPob-1right)2

N left( t right) = N left( t-1 right) - 4r^2t + 4r sqrttamPob - 2rleft(r+1right) quad t geq fracleft(sqrttamPob-1right)2 notagendaligned$$

que en su forma cerrada queda como

$$beginaligned

N left( t right) = 2r^2t^2 + 2r left(2r + 1 right)t + 1 quad 0 leq t leq fracleft(sqrttamPob-1right)2

N left( t right) = -2r^2t^2 + 2rleft(2sqrttamPob - 3r - 1 right)t + 1 quad t geq fracleft(sqrttamPob-1right)2 notagendaligned$$

En la figura 5 se ilustra la razoacuten de crecimiento para una poblacioacuten de individuos con un vecindario local tipo ver figura 4

Tasa de crecimiento teoacuterica en una topologiacutea de malla toroidal cuadrada y un vecindario local tipo Moore con probabilidad de seleccioacuten

Si se considera la probabilidad variable y cada individuo tiene probabilidades de seleccioacuten distintas probabilidad para el individuo central y para cada individuo dentro de un vecindario tipo El modelado de la recurrencia exacta se vuelve muy complicado Para poder construir un modelo completo se recurre a modelos maacutes simples en donde la tasa de crecimiento se describe como la expansioacuten de un cuadrado rotado con una

tamPob tamPob times tamPobr

81C9

ps = 1

psp0 p1 p2 p3 p4 p8

C9

longitud por lado de y diagonal La tasa de crecimiento de los

individuos con probabilidad variable contenidos dentro del cuadrado rotado estaacute dada por la siguiente recurrencia

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4p_i sqrtfracNleft(t-1right)2 quad N left( t right) leq fractamPob2

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4p_i sqrttamPob - N left( t-1 right) quad N left( t right) gt fractamPob2 notagendaligned$$

Encontrar una forma cerrada de este modelo es una tarea complicada de acuerdo a autores reconocidos del aacuterea En la figura 6 se muestra la tasa de crecimiento probabilista como ejemplo de la dificultad que representa su modelado matemaacutetico

Tasa de crecimiento probabilista para una topologiacutea de malla toroidal cuadrada con vecindario local y probabilidad de seleccioacuten variable

Anaacutelisis empiacuterico

Es posible tener una aproximacioacuten empiacuterica del tiempo para el dominio de la topologiacutea de malla A continuacioacuten se presenta un ejemplo utilizando como meacutetodo de seleccioacuten local torneo binario y ejecuciones por configuracioacuten fueron evaluadas En la figura [figL5_growthRates] se muestran las distintas tasas de crecimiento para la conquista de la malla considerando un tamantildeo de la poblacioacuten de individuos con las siguientes formas de topologiacutea de malla 1)

cuadrada 2) rectangular y 3) lineal La diferencia entre los

tiempos de dominio es evidente Topologiacuteas de malla lineales proveen una difusioacuten maacutes lenta del

s = N(t) d =N(t)

2pi

ps

50

400

400 times 400 10 times40010

4 times400

4

mejor individuo para conquistar la malla y por ende menor presioacuten de seleccioacuten y un comportamiento principalmente explorativo Por otro lado en topologiacuteas de malla cuadradas la solucioacuten del mejor individuo conquista la malla raacutepidamente en un nuacutemero menor de generaciones Es decir tiene un comportamiento con alta presioacuten de seleccioacuten y por ende una buacutesqueda caracterizada por una mayor explotacioacuten del espacio de buacutesqueda Desde este punto de vista se ha investigado tambieacuten la posibilidad de modificacioacuten dinaacutemica de las propiedades estructurales en tiempo de buacutesqueda Se han reportado mejores desempentildeos algoriacutetmicos bajo estos criterios

Tasas de crecimiento promedio del mejor individuo en topologiacuteas de malla cuadrada rectangular y lineal con vecindario La tasa promedio de crecimiento se calcula con base en 50 experimentos y aplicando uacutenicamente el operador de seleccioacuten

[figL5_growthRates]

Aceleracioacuten en AGP Un tema controversial en AGPs son las aceleraciones que esquemas distribuidos y celulares pueden alcanzar El caacutelculo teoacuterico de estas aceleraciones es una medida aceptada para determinar su eficiencia Calcular la razoacuten entre el tiempo promedio de ejecucioacuten de la mejor versioacuten secuencial de un AG y otra teacutecnica de buacutesqueda no evolutiva con respecto al tiempo

L5

promedio de ejecucioacuten de un AG paralelo corriendo en un determinado nuacutemero de procesadores proporciona la aceleracioacuten alcanzada por este uacuteltimo Aceleraciones sub-lineales indican que esta razoacuten es menor que el nuacutemero de procesadores utilizados en la ejecucioacuten del AGP Aceleraciones lineales indican que esta relacioacuten es igual mientras aceleraciones super-lineales indican que la razoacuten es mayor que el nuacutemero de procesadores utilizados

Un medida estricta para medir las aceleraciones de los AGPs involucrariacutea una comparacioacuten con la mejor versioacuten secuencial de un AG lo cual es difiacutecil de determinar Considerar el desempentildeo de un AG secuencial como referencia en conjunto con una condicioacuten de paro que evaluacutee la misma calidad de soluciones en todas las muestras experimentales podriacutea permitir una comparacioacuten justa en teacuterminos de aceleracioacuten entre esquemas paralelos y secuenciales

Los AGPs tienen tres caracteriacutesticas que permiten su aceleracioacuten 1) dividir el espacio de buacutesqueda en diversas aacutereas de exploracioacuten implementadas en distintas unidades de procesamiento 2) reducir la carga de procesamiento por medio de la distribucioacuten de la poblacioacuten en un nuacutemero de unidades de procesamiento y 3) operadores geneacuteticos aplicados a estructuras de datos reducidas

Al analizar comparativamente las tasas de aceleracioacuten de los AG distribuidos con sub-poblaciones en panmixia en comparacioacuten con el desempentildeo de un AG secuencial las aceleraciones calculadas resultan excesivas Sin embargo cuando se considera la distribucioacuten de las sub-poblaciones en un nuacutemero de unidades de procesamiento las tasas de aceleracioacuten son moderadas

Una de las caracteriacutesticas maacutes importantes en los AGPs es el operador de migracioacuten Analizar el comportamiento de este operador bajo distintos criterios como la sincroniacutea o asincroniacutea de migrar individuos entre las sub-poblaciones afecta directamente el desempentildeo de la buacutesqueda Entre los comportamientos con importancia significativa se ha observado que utilizar bajas frecuencias de migracioacuten en combinacioacuten con una comunicacioacuten asiacutencrona entre sub-poblaciones permite una mayor aceleracioacuten Este resultado considera sub-poblaciones en panmixia con la misma configuracioacuten de paraacutemetros

Concepto de sincronismo en AGPs En los AGPs tanto distribuidos como celulares el concepto de sincroniacutea aplica de forma distinta En un AGP distribuido el operador de migracioacuten estaacute directamente relacionado con la comunicacioacuten entre sub-poblaciones y por ende la sincroniacutea con que eacutesta ocurre Por otro lado en AGP de grano fino o celulares la sincroniacutea estaacute relacionada con la actualizacioacuten de soluciones durante el proceso evolutivo Esto se explica a continuacioacuten a mayor detalle

En AGPs distribuidos viacutea migracioacuten

Varios autores han investigado el efecto del sincronismo a traveacutes de la migracioacuten de individuos entre sub-poblaciones Se han considerado varios escenarios tales como tener un conjunto de sub-poblaciones en panmixia y tener sub-poblaciones descentralizadas un tercer escenario que se ha considerado es tener una combinacioacuten de sub-poblaciones en panmixia y descentralizadas Los tres esquemas han sido evaluados no soacutelo a nivel algoriacutetmico sino de implementacioacuten en plataformas de coacutemputo para procesamiento paralelo

Utilizando un esquema de procesamiento de instrucciones muacuteltiples - datos muacuteltiples con un esquema homogeacuteneo de sub-poblaciones se verificoacute el comportamiento de distintas frecuencias de migracioacuten definidas como muacuteltiplos del tamantildeo de la poblacioacuten Esto representa que la migracioacuten es nula cuando la frecuencia es cero lo que implica que la evolucioacuten es independiente de las sub-poblaciones Localmente los operadores geneacuteticos fueron configurados de la misma forma En general los resultados mostraron un mejor desempentildeo cuando la comunicacioacuten entre sub-poblaciones es asiacutencrona y la frecuencia de migracioacuten es baja En este sentido el tener sub-poblaciones descentralizadas permite una mejor eficacia que cuando se tienen sub-poblaciones en panmixia Las tasas de aceleracioacuten tambieacuten se analizaron Bajas frecuencias de migracioacuten reportaron aceleraciones lineales para sub-poblaciones descentralizadas y super-lineales para sub-poblaciones en panmixia

Se ha podido verificar el funcionamiento de los AGPs ampliando la gama de problemas de prueba a aquellos del dominio continuo El uso de un esquema paralelo distribuido con sub-poblaciones en panmixia y un ciclo evolutivo de estado estable donde solamente una solucioacuten se actualiza en cada generacioacuten logroacute obtener soluciones de mejor calidad Ademaacutes de la influencia de la frecuencia con la que se ejecuta la operacioacuten de migracioacuten la seleccioacuten aleatoria de individuos migrantes demostroacute tambieacuten un mejor desempentildeo que la seleccioacuten de los mejores individuos para migrar El mejor desempentildeo continuacutea siendo a partir de la aplicacioacuten de frecuencias de migracioacuten bajas ahora en combinacioacuten con la seleccioacuten aleatoria de soluciones para migrar En problemas de optimizacioacuten en el dominio continuo con oacuteptimos locales engantildeosos en sus espacios de buacutesqueda los esquemas de sub-poblaciones descentralizadas superaron el desempentildeo de aquellos con sub-poblaciones en panmixia ademaacutes de responder mejor a frecuencias de migracioacuten altas Las tasas de aceleracioacuten tambieacuten se relacionan con la operacioacuten de la migracioacuten a frecuencias de migracioacuten alta se obtienen mayores tasas de aceleracioacuten en ambos esquemas poblacionales

Es posible tambieacuten considerar un esquema de AGPs con sub-poblaciones tanto en panmixia como descentralizadas utilizando un esquema de coacutemputo heterogeacuteneo distribuido Las tasas de

aceleracioacuten que se alcanzan en estos caso son super-lineales viacutea el esquema sub-poblacional mixto

En AGP celulares viacutea criterios de actualizacioacuten

En los AGPs de grano fino o celulares el concepto de sincronismo se asocia a los criterios de actualizacioacuten de las soluciones Se consideran diversos escenarios como son 1) barrido liacutenea a liacutenea 2) barrido fijo aleatorio 3) barrido aleatorio 4) seleccioacuten uniforme Cada unos de estos criterios de actualizacioacuten de soluciones se puede ejecutar de manera siacutencrona o asiacutencrona La actualizacioacuten siacutencrona se refiere a que la poblacioacuten completa se genera a partir de los individuos actuales En contraste la actualizacioacuten asiacutencrona quiere decir que los individuos se actualizan despueacutes de su proceso evolutivo a nivel local entonces los individuos en una generacioacuten han evolucionado de hijos generados durante esta

El barrido liacutenea a liacutenea es la forma maacutes sencilla de actualizar soluciones en una topologiacutea de malla con conexioacuten toroidal Haciendo el barrido secuencial de ubicacioacuten de las soluciones por liacutenea o por columna se ejecuta la actualizacioacuten de estas El barrido aleatorio fijo consiste en elegir de forma aleatoria una solucioacuten sin reemplazo con una probabilidad uniforme En cada generacioacuten se determina una distribucioacuten diferente para la actualizacioacuten de los individuos La actualizacioacuten uniforme elige de forma aleatoria con una probabilidad uniforme una solucioacuten con reemplazo Esto quiere decir que una solucioacuten puede ser actualizada maacutes de una vez en un mismo ciclo reproductivo

Tambieacuten se ha buscado modelar formalmente el comportamiento de los distintos criterios de actualizacioacuten de soluciones considerando ambos criterios de sincronismo Los criterios siacutencronos de actualizacioacuten presentan menores tasas de crecimiento de la mejor solucioacuten en la topologiacutea de malla Es decir la buacutesqueda se ejecuta promoviendo la exploracioacuten cuando se sigue un criterio de actualizacioacuten uniforme Aplicar un barrido aleatorio o lineal para la actualizacioacuten de soluciones representa tasas maacutes altas de crecimiento pero no alcanza a aquellas de las poblaciones en panmixia La principal caracteriacutestica que se aprecia es que las poblaciones en panmixia promueven la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda en mayor grado que los AGPs descentralizados o celulares

Finalmente se puede concluir despueacutes de la evaluacioacuten de los criterios siacutencronos y asiacutencronos en una variedad de problemas de optimizacioacuten combinatorios y del dominio continuo que la actualizacioacuten asiacutencrona de soluciones mejora el desempentildeo algoriacutetmico en teacuterminos de eficiencia y eficacia en comparacioacuten con el criterio asiacutencrono en teacuterminos del nuacutemero de generaciones necesarias para converger a la solucioacuten del problema

Discusioacuten En este capiacutetulo se presentaron los distintos esquemas poblaciones que se consideran en la paralelizacioacuten de los AGs Se introdujo el principal operador que distingue a estos esquemas evolutivos el operador de migracioacuten y su efecto en los procesos de buacutesqueda Tambieacuten se introdujeron de manera detallada los esquemas paralelos de AGs de grano fino o celulares y la manera en que las caracteriacutesticas estructurales de estos pueden afectar directamente la exploracioacuten y explotacioacuten del espacio de buacutesqueda Se abordoacute tambieacuten el tema de las aceleraciones que se pueden alcanzar viacutea la paralelizacioacuten de grano fino y grueso de los AGPs Este anaacutelisis incluye los escenarios teoacutericos y reales de las tasas de aceleracioacuten que se pueden alcanzar Finalmente se revisoacute el concepto de sincronismo en ambos esquemas de paralelizacioacuten el cual se observoacute que afecta de manera positiva el desempentildeo algoriacutetmico

Los esquemas paralelos de los algoritmos geneacuteticos permiten obtener un mejor desempentildeo de los procesos de buacutesqueda Sin embargo se debe considerar una serie de paraacutemetros que se necesitan definir y que requeriraacuten la intervencioacuten de un usuario Es importante destacar tambieacuten que la mejora en el desempentildeo se puede apreciar tanto a nivel algoriacutetmico como a nivel de procesamiento Es necesario tambieacuten indicar que la seleccioacuten de la plataforma de coacutemputo paralelo ya sea distribuida o no implicaraacute costos de comunicacioacuten que deben ser considerados para las tasas de aceleracioacuten que se pretendan alcanzar

Investigacioacuten de AGPs en Meacutexico En Meacutexico investigadoras e investigadores en distintas instituciones y centros de investigacioacuten se han dado a la tarea de explorar esquemas evolutivos que utilizan AGPs Por ejemplo esquemas de AGPs de grano fino para solucionar problemas de optimizacioacuten mono-objetivo sin restricciones y problemas combinatorios han sido desarrollados en El objetivo en esos trabajos es el estudio del efecto de las caracteriacutesticas estructurales en las topologiacuteas de poblacioacuten descentralizadas utilizando mallas conectadas de forma toroidal Distintos criterios fueron definidos para modificar en tiempo de buacutesqueda la forma de la topologiacutea y sin incrementar el costo computacional verificar la mejora del desempentildeo algoriacutetmico al evaluar una cama prueba con problemas mono-objetivo sin restricciones y combinatorios Los resultados obtenidos fueron alentadores y a partir de estos se extendioacute el estudio de las propiedades estructurales a manipular tambieacuten la dimensioacuten de la topologiacutea de malla y modificarla en tiempo de buacutesqueda resultados positivos de este estudio fueron reportados en

Debido al costo computacional de los AGs en general la aceleracioacuten de estos utilizando plataformas de coacutemputo especializadas ha sido un aacuterea de investigacioacuten tambieacuten desarrollada en Meacutexico Particularmente el disentildeo e implementacioacuten de un arreglo de procesadores flexible para

la aceleracioacuten de los AGs celulares utilizando dispositivos reconfigurables conocidos como arreglos de compuertas programables en el campo (FPGAs por sus siglas en Ingleacutes) se reportoacute en Este trabajo presenta una forma novedosa de dividir a la poblacioacuten descentralizada en un nuacutemero determinado de unidades de procesamiento especialmente disentildeadas para operadores evolutivos manteniendo las conexiones toroidales entre soluciones La flexibilidad del disentildeo consiste en poder definir de acuerdo a las necesidades de usuario el nuacutemero de unidades de procesamiento De este modo un nuacutemero mayor de unidades de procesamiento permitiraacute acelerar la ejecucioacuten del algoritmo y un nuacutemero menor de estas permitiraacute reducir el uso de recursos de hardware

En el aacutembito de la optimizacioacuten multi-objetivo desde la perspectiva del coacutemputo evolutivo utilizando esquemas poblacionales paralelos investigadores en Meacutexico han desarrollado un esquema con base en algoritmos geneacuteticos utilizando muacuteltiples resoluciones La propuesta algoriacutetmica llamada Algoritmo geneacutetico multi-objetivo con resolucioacuten muacuteltiple (MRMOGA por sus siglas en Ingleacutes) consiste de un conjunto de sub-poblaciones las cuales a nivel representacioacuten de soluciones evolucionan con resoluciones distintas lo cual implica la divisioacuten del espacio de buacutesqueda en regiones acotadas y traslapadas El desempentildeo alcanzado por MRMOGA supera los resultados reportados en esquemas evolutivos paralelos en teacuterminos de convergencia y evidencia la necesidad de profundizar el estudio de la escalabilidad de esquemas evolutivos paralelos

Para saber maacutes Dentro de la comunidad cientiacutefica dedicada a la investigacioacuten en las aacutereas de las teacutecnicas algoriacutetmicas evolutivas que desarrollan el concepto de paralelismo se han generado recursos bibliograacuteficos diversos de entre los cuales destacan

bull Algoritmos geneacuteticos paralelos por Gabriel Luque y Enrique Alba

bull Algoritmos evolutivos estructurados espacialmente por Marco Tomassini

bull Algoritmos geneacuteticos celulares por Bernabeacute Dorronsoro y Enrique Alba

bull Algoritmos geneacuteticos paralelos eficientes y precisos por Erick Cantuacute-Paz

Por otro lado entre los grupos de investigacioacuten que se desarrollan en el aacuterea destaca el liderado por el investigador Enrique Alba de la Universidad de Maacutelaga en Espantildea quien en colaboracioacuten con otros investigadores y estudiantes a puesto a disposicioacuten una serie de recursos relacionados en En particular en la seccioacuten de software se encuentran disponibles herramientas para el

disentildeo e implementacioacuten de algoritmos evolutivos paralelos tanto de grano grueso como de grano fino

Programacioacuten Geneacutetica Mario Graff

Daniela Moctezuma

Eric S Tellez

Sabino Miranda-Jimeacutenez

INFOTEC Centro de Investigacioacuten e Innovacioacuten en Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten Circuito Tecnopolo Sur No 112 Fracc Tecnopolo Pocitos II Aguascalientes

20313 Meacutexico CentroGEO Centro de Investigacioacuten en Ciencias de Informacioacuten Geoespacial Circuito

Tecnopolo Norte No 117 Col Tecnopolo Pocitos II CP Aguascalientes Ags 20313 Meacutexico CONACyT Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologiacutea Direccioacuten de Caacutetedras Insurgentes Sur

1582 Creacutedito Constructor Ciudad de Meacutexico 03940 Meacutexico

Introduccioacuten En este capiacutetulo se presenta una introduccioacuten a Programacioacuten Geneacutetica (PG) asiacute como la descripcioacuten de cada uno de los aspectos que la comprenden las perspectivas de este campo y las aacutereas donde se ha aplicado en Meacutexico PG es un algoritmo de buacutesqueda inspirado en los principios de la evolucioacuten de las especies de Charles Darwin (ver ) Particularmente PG engloba a un conjunto de teacutecnicas de coacutemputo evolutivo las cuales tienen como objetivo solucionar automaacuteticamente problemas partiendo de ejemplos del problema por resolver a traveacutes de expresiones evaluables o programas

La Programacioacuten Geneacutetica ha sido ampliamente utilizada en diferentes dominios siendo capaz de resolver una gran variedad de problemas de alta complejidad muchas veces mejorando las soluciones encontradas por humanos Por ejemplo en la competencia ndashldquoHumies rdquo celebrada 2

anualmente en el marco de la Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO) la cual premia sistemas bio-inspirados que mejoran las soluciones encontradas por humanos a problemas difiacuteciles mdashdesde 2004 y hasta 2017 PG ha sido galardonada con 8 medallas de oro 5 de plata y 1 de bronce En particular en esta competencia y utlizando PG Meacutexico ha obtenido

13

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1

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httpwwwhuman-competitiveorg2

Computacioacuten Evolutiva Coordinador Carlos Artemio Coello Coello

En colaboracioacuten con la Academia Mexicana de Computacioacuten

Colaboradores capiacutetulo 1 Rafael Rivera Loacutepez y Efreacuten Mezura Montes Colaboradores capiacutetulo 2 Alicia Morales Reyes Colaboradores capiacutetulo 3 Mario Graff Daniela Moctezuma Eric S Tellez y Sabino Miranda Jimeacutenez Colaboradores capiacutetulo 4 Carlos Segura y Joel Chacoacuten Castillo Colaboradores capiacutetulo 5 Carlos A Brizuela y Julio Juaacuterez Colaboradores capiacutetulo 6 Hugo Terashima Mariacuten Santiago Enrique Conant Pab- los Joseacute Carlos Ortiz Bayliss e Ivaacuten Mauricio Amaya Contreras

Primera edicioacuten 2019 Academia Mexicana de Computacioacuten A C Todos los derechos reservados conforme a la ley ISBN

Este libro se realizoacute con el apoyo del CONACyT Proyecto No 293115

Queda prohibida la reproduccioacuten parcial o total directa o indirecta del contenido de esta obra sin contar con autorizacioacuten escrita de los autores en teacuterminos de la Ley Federal del Derecho de Autor y en su caso de los tratados internacionales aplicables

Impreso en Meacutexico Printed in Mexico

Computacioacuten Evolutiva

Carlos Artemio Coello Coello (Coordinador)

Con la colaboracioacuten de

Rafael Rivera Loacutepez

Efreacuten Mezura Montes

Alicia Morales Reyes

Mario Graff

Daniela Moctezuma

Eric S Tellez Sabino

Miranda Jimeacutenez

Carlos Segura

Joel Chacoacuten Castillo

Carlos A Brizuela

Julio Juaacuterez

Hugo Terashima Mariacuten

Santiago Enrique Conant Pablos

Joseacute Carlos Ortiz Bayliss

Ivaacuten Mauricio Amaya Contreras

Proacutelogo La computacioacuten evolutiva es un aacuterea de las ciencias de la computacioacuten que se enfoca al estudio de las propiedades de una serie de metaheurısticas estocaacutesticas (a las cuales se denomina de manera geneacuterica ldquoAlgoritmos Evolutivosrdquo) inspiradas en la teorıa de la evolucioacuten de las especies formulada por Charles Darwin seguacuten la cual los individuos ldquomaacutes aptosrdquo a su ambiente tienen una mayor probabilidad de sobrevivir

Una metaheurıstica es un procedimiento de buacutesqueda de alto nivel que aplica una regla o conjunto de reglas que se basa(n) en una fuente de conocimiento El eacutenfasis de las metaheurısticas es explorar el espacio de buacutesqueda de manera relativamente eficiente es decir mejor que lo que harıa una buacutesqueda exhaustiva aunque no necesariamente oacuteptima Las metaheurısticas suelen considerarse tambieacuten como teacutecnicas de buacutesqueda y optimizacioacuten de uso general pese a sus limitantes teoacutericas (en general las metaheurısticas no pueden garantizar convergencia al oacuteptimo global) Otro rasgo distintivo de las metaheurısticas es que suelen requerir poca informacioacuten especıfica del problema y son uacutetiles cuando el espacio de buacutesqueda es muy grande poco conocido yo con dificultades para explorarlo Cuando se usan para optimizacioacuten no pueden garantizar en general que convergeraacuten a la mejor solucioacuten posible (es decir al oacuteptimo global del problema) si bien en la praacutectica suelen producir aproximaciones razonablemente buenas en tiempos razonablemente cortos

Los algoritmos evolutivos son metaheurısticas estocaacutesticas porque su comportamiento se basa en el uso de nuacutemeros aleatorios y en operadores probabilısticos En consecuencia no siempre producen el mismo resultado cada vez que se ejecutan con los mismos datos de entrada

En Meacutexico existe un nuacutemero importante de investigadores trabajando en diferentes aacutereas de la computacioacuten evolutiva y este libro intenta proporcionar un asomo a la diversidad de temas en los que se hace investigacioacuten en nuestro paıs Los seis capıtulos que conforman este libro estaacuten escritos como tutoriales breves que pretender introducir al lector a ciertos temas especıficos de computacioacuten evolutiva En todos los casos se describe brevemente parte del trabajo que han realizado algunos grupos de investigacioacuten en Meacutexico en torno a estos temas

El capıtulo 1 presenta una introduccioacuten a la ldquoevolucioacuten diferencialrdquo que es un tipo de algoritmo evolutivo que se ha vuelto muy popular en la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten no lineal Los autores proporcionan una descripcioacuten general de este tipo de algoritmo evolutivo incluyendo el funcionamiento de sus operadores de cruza y mutacioacuten y las diferencias entre sus variantes principales

El capıtulo 2 describe los conceptos baacutesicos de los ldquoalgoritmos geneacuteticos paralelosrdquo a partir de una taxonomıa muy sencilla basada en la granularidad de la paralelizacioacuten enfatizando las diferencias que existen entre los esquemas homogeacuteneos y heterogeacuteneos ası como entre el paralelismo sıncrono y el asıncrono

El capıtulo 3 se enfoca a una variante del algoritmo geneacutetico denominada ldquoprogramacioacuten geneacuteticardquo en la cual se usa una representacioacuten de aacuterbol (la cual permite evolucionar programas) en vez de las cadenas binarias de longitud fija del algoritmo geneacutetico tradicional La programacioacuten geneacutetica ha tomado una gran relevancia en antildeos recientes sobre todo por su aplicabilidad a problemas de aprendizaje y clasificacioacuten

El capıtulo 4 se enfoca en un tema muy importante en computacioacuten evolutiva del cual no suele hablarse mucho la importancia de la diversidad en el disentildeo de un algoritmo evolutivo Los autores hacen una revisioacuten de diversas teacutecnicas que se han propuesto para lidiar con la convergencia prematura (la cual suele ser consecuencia de una peacuterdida abrupta de diversidad en la poblacioacuten) Adicionalmente se incluye un pequentildeo estudio en el que se analizan dos teacutecnicas para mantener diversidad

El capıtulo 5 presenta un tutorial de otra aacuterea que ha tomado gran relevancia en antildeos recientes la optimizacioacuten evolutiva multi-objetivo la cual se enfoca a la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten que tienen dos o maacutes objetivos (normalmente en conflicto entre sı) que deseamos optimizar al mismo tiempo Ademaacutes de proporcionar los conceptos baacutesicos de esta aacuterea se describen brevemente los algoritmos evolutivos multi-objetivo maacutes utilizados en la actualidad ası como las medidas principales de desempentildeo que se utilizan en la literatura especializada En la parte final del capıtulo se describen tambieacuten algunos de los temas de investigacioacuten en los que se estaacute trabajando maacutes dentro de esta aacuterea en la actualidad

El capıtulo 6 estaacute dedicado a las hiper-heurısticas que son teacutecnicas que buscan proporcionar maacutes flexibilidad que los algoritmos evolutivos tradicionales al ser capaces de adaptarse a diversos tipos de problemas y a diferentes instancias de una misma clase de problemas Las hiper-heurısticas son el eslaboacuten intermedio entre las limitantes teoacutericas relacionadas con la aplicabilidad de las metaheurısticas y el anhelado suentildeo del disentildeo automatizado de algoritmos y

constituyen sin lugar a dudas uno de los temas maacutes ricos de investigacioacuten dentro de las metaheurısticas

Doctor Carlos Artemio Coello Coello

Indice general

Proacutelogo 5

Introduccioacuten 13

El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial 15

Mutacioacuten 16

Cruza 18

Seleccioacuten 20

Estructura del Algoritmo 20

Modificaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial 21

Ajuste de paraacutemetros globales 22

Ajuste de paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten 23

Ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten 26

Combinacioacuten de variantes 27

Evolucioacuten Diferencial para otros tipos de problemas 29

DE en Meacutexico 30

Conclusiones 30

Para saber maacutes 31

Introduccioacuten 32

AGds homogeacuteneos y heterogeacuteneos 35

Migracioacuten en AGPs 37

AGs celulares o de grano fino 39

Explotacioacutenexploracioacuten por propiedades estructurales 40

Presioacuten de seleccioacuten por caracteriacutesticas estructurales 43

Anaacutelisis empiacuterico 45

Aceleracioacuten en AGP 46

Concepto de sincronismo en AGPs 47

En AGPs distribuidos viacutea migracioacuten 48

En AGP celulares viacutea criterios de actualizacioacuten 49

Discusioacuten 50

Investigacioacuten de AGPs en Meacutexico 50

Para saber maacutes 51

Introduccioacuten 53

Proceso evolutivo 55

Representacioacuten 56

Poblacioacuten inicial 58

Operadores Geneacuteticos 59

Recombinacioacuten 59

Mutacioacuten 60

Seleccioacuten 61

Espacio de buacutesqueda 62

Conclusiones 63

Para saber maacutes 63

Introduccioacuten 64

Preservacioacuten de diversidad en algoritmos evolutivos 67

Clasificaciones de mecanismos para promover la diversidad 67

Esquemas claacutesicos para administrar la diversidad 68

Esquemas de reemplazamiento basados en diversidad 69

Diversidad en evolucioacuten diferencial 71

Disentildeo de evolucioacuten diferencial basado en diversidad 72

Evolucioacuten diferencial Conceptos baacutesicos 72

Inicializacioacuten 72

Operador de mutacioacuten 72

Operador de cruza 73

Operador de seleccioacuten 73

Propuesta basada en diversidad 74

Resultados de de-edm 77

Disentildeo de operadores de cruza basados en diversidad 87

Algoritmos evolutivos multi-objetivo 87

Operadores de cruza 89

El operador de cruza basado en simulacioacuten binaria - SBX 89

Implementacioacuten y anaacutelisis del operador sbx 90

Propuesta - dsbx 92

Resultados 93

Anaacutelisis de cada modificacioacuten en el operador sbx 95

Modificacioacuten simultaacutenea de varios componentes 96

Conclusiones y trabajo futuro 97

Para saber maacutes 98

Agradeciemientos 99

Introduccioacuten 100

Fundamentos de las Hiper-heuriacutesticas 102

Hiper-heuriacutesticas que seleccionan heuriacutesticas 103

Hiper-heuriacutesticas que generan nuevas heuriacutesticas 105

Modelos de Hiper-heuriacutesticas 106

Modelos Evolutivos 106

Hiper-Heuriacutesticas basadas en Algoritmos Geneacuteticos 106

Hiper-Heuriacutesticas basadas en Programacioacuten Geneacutetica 107

Modelos Neuronales 109

Un ejemplo 109

El problema 110

Las alternativas 110

La informacioacuten del problema 111

Nuestra primer hiper-heuriacutestica 112

Otras hiper-heuriacutesticas 112

Las hiper-heuriacutesticas como un problema de optimizacioacuten 113

Aspectos Avanzados de las Hiper-heuriacutesticas 115

Hiacuteper-heuriacutesticas para Problemas Multi-objetivo 115

Transformacioacuten de Caracteriacutesticas en Hiper-heuriacutesticas 117

Tendencias Futuras de Hiper-heuriacutesticas 119

Para saber maacutes 121

Conclusiones 122

Evolucioacuten Diferencial una breve introduccioacuten Rafael Rivera Loacutepez

Efreacuten Mezura Montes

En este capiacutetulo se hace una descripcioacuten general del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Este tipo de algoritmo evolutivo representa una excelente alternativa para encontrar soluciones cercanas al oacuteptimo a problemas de optimizacioacuten continua complejos Debido a la simplicidad de su implementacioacuten y sus excelentes habilidades de exploracioacuten y explotacioacuten diversas variantes de este algoritmo se han aplicado para resolver problemas con diferentes caracteriacutesticas En este capiacutetulo se describen los elementos baacutesicos del algoritmo asiacute como las diferentes variantes que se han desarrollado para mejorar su desempentildeo

Introduccioacuten Con el nombre de algoritmos evolutivos se identifica a un grupo de procedimientos que se utilizan para resolver muchos problemas praacutecticos y que se distinguen de otras teacutecnicas porque estaacuten inspirados en las teoriacuteas que sintetizan la evolucioacuten Darwiniana y la herencia geneacutetica descrita por Mendel Los algoritmos evolutivos han probado ser herramientas poderosas para encontrar soluciones aceptables a problemas donde otras teacutecnicas fallan o consumen una excesiva cantidad de tiempo Estos algoritmos se destacan por combinar exitosamente dos mecanismos de buacutesqueda exploracioacuten y explotacioacuten La exploracioacuten permite identificar aacutereas prometedoras del espacio de buacutesqueda y la explotacioacuten lleva a cabo una buacutesqueda especializada dentro de estas aacutereas para encontrar soluciones cercanas al oacuteptimo Su aplicacioacuten se extiende en praacutecticamente todas las aacutereas de la actividad humana como por ejemplo en salud educacioacuten ciencias industria economiacutea y defensa Los algoritmos evolutivos tambieacuten han sido utilizados en aacutereas emergentes como la ciencia de datos la inteligencia de negocios y el big data En estos algoritmos un conjunto de soluciones candidatas evoluciona para alcanzar una solucioacuten cercana al oacuteptimo por la aplicacioacuten de procedimientos que permiten recombinar y alterar sus valores En la jerga de los especialistas del aacuterea una solucioacuten candidata se conoce como individuo al conjunto de soluciones se denomina poblacioacuten y los procedimientos involucrados en el proceso evolutivo se identifican como operadores de seleccioacuten cruzamiento y mutacioacuten Comuacutenmente dos individuos son seleccionados y sus valores son recombinados y algunas veces mutados para crear nuevas soluciones candidatas Los nuevos individuos son considerados parte de una nueva poblacioacuten que sustituye a la anterior Entonces una secuencia de nuevas poblaciones son creadas hasta que una condicioacuten de teacutermino es alcanzada y la mejor solucioacuten de

las uacuteltima poblacioacuten es seleccionada como resultado del algoritmo Este proceso evolutivo es guiado por una funcioacuten de aptitud que determina la calidad de cada individuo en la poblacioacuten La figura 1 muestra el esquema general de un algoritmo evolutivo

Esquema general de un algoritmo evolutivo

A lo largo de su desarrollo histoacuterico varios tipos de algoritmos evolutivos han sido implementados difiriendo en la forma de representar a sus individuos y en la implementacioacuten de sus operadores geneacuteticos Auacuten cuando en los antildeos 50 varios autores introducen los teacuterminos evolucioacuten y proceso evolutivo en sus propuestas para resolver diversos problemas es en los antildeos 60 cuando se sientan las bases del desarrollo de los algoritmos evolutivos con la introduccioacuten de tres teacutecnicas la Programacioacuten Evolutiva las Estrategias Evolutivas y los Algoritmos Geneacuteticos Fogel propone en 1962 la Programacioacuten Evolutiva donde las soluciones candidatas se representan con maacutequinas de estados finitos y Rechenberg y Schwefel en 1965 desarrollan las Estrategias Evolutivas que codifican sus individuos con vectores de nuacutemeros reales Los Algoritmos Geneacuteticos introducidos en 1962 por Holland son sin duda el tipo de algoritmo evolutivo maacutes popular Estos algoritmos tradicionalmente utilizan una cadena binaria para representar a sus individuos aunque tambieacuten se han utilizado cadenas de enteros y secuencias de nuacutemeros reales Desarrollos posteriores a estas teacutecnicas han aportado al eacutexito de los algoritmos evolutivos destacaacutendose la Programacioacuten Geneacutetica los Algoritmos Coevolutivos los Algoritmos Culturales el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial los Algoritmos de Estimacioacuten de Distribuciones la Evolucioacuten Gramatical y la Programacioacuten de Expresioacuten de Genes Cada uno de estos algoritmos tienen sus ventajas y sus propios desafiacuteos y han sido utilizados para resolver diferentes tipos de problemas La figura 2 muestra un esquema del desarrollo histoacuterico de los

algoritmos evolutivos En particular el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial ha demostrado ser muy competitivo y exitoso para resolver problemas numeacutericos complejos en comparacioacuten con otros algoritmos

Liacutenea del tiempo del desarrollo de los algoritmos evolutivos

El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Evolucioacuten Diferencial (DE por sus siglas en ingleacutes) es un tipo de algoritmo evolutivo que fue originalmente disentildeado por Storn y Price en 1995 para resolver problemas de optimizacioacuten continua En particular en este algoritmo cada individuo usualmente se representa con un vector de valores continuos de paraacutemetros Ademaacutes en lugar de implementar los operadores de cruza y mutacioacuten tradicionales el algoritmo crea cada nuevo individuo con una combinacioacuten lineal de los valores de dos o maacutes individuos de la poblacioacuten actual que son seleccionados al azar La forma en que se implementan los operadores de cruza y mutacioacuten se ha utilizado en la literatura para identificar las diferentes variantes del algoritmo DEABC es la notacioacuten comuacutenmente usada para nombrar estas variantes donde A y B determinan el tipo de mutacioacuten implementado y C identifica el tipo de cruza implementado por la variante En particular A representa el procedimiento de seleccioacuten de los individuos para construir el individuo mutado y B es el nuacutemero de vectores diferencia usados para el operador de mutacioacuten DE puede considerarse un proceso de tres pasos que incluye una fase de inicializacioacuten el proceso evolutivo y el paso final que determina el resultado obtenido La fase de inicializacioacuten involucra la seleccioacuten y evaluacioacuten de un grupo de NP individuos que son generados aleatoriamente de un espacio de buacutesqueda finito los cuales se utilizan como poblacioacuten inicial del algoritmo conocido como Si para cada y son los valores miacutenimo y maacuteximo del -eacutesimo paraacutemetro en el valor del -eacutesimo individuo en la poblacioacuten inicial es determinado como sigue

x = (x1 x2 hellip xn) n

Ω sube ℝn

X0 j isin 1 hellip n xminj xmax

jj Ω xi

j i xi

donde es un nuacutemero aleatorio uniformemente distribuido dentro del rango El proceso evolutivo implementa un esquema iterativo para evolucionar la poblacioacuten inicial En cada iteracioacuten de este proceso conocido como una generacioacuten una nueva poblacioacuten de individuos es generada utilizando informacioacuten de la poblacioacuten previamente creada A diferencia de otros algoritmos evolutivos el orden de aplicacioacuten de los operadores geneacuteticos en el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial es diferente Primero se aplica la mutacioacuten despueacutes la cruza y al final se lleva a cabo la seleccioacuten del mejor individuo Para cada en la generacioacuten es obtenido de la poblacioacuten y es utilizado para crear un nuevo vector aplicando los operadores de cruza y mutacioacuten Los vectores y son conocidos como el vector objetivo y el vector de prueba respectivamente Estos vectores son evaluados por el operador de seleccioacuten para actualizar la nueva poblacioacuten Los operadores de mutacioacuten cruza y seleccioacuten son descritos en detalle en los siguientes paacuterrafos En el paso final cuando una condicioacuten de paro es alcanzada el algoritmo devuelve el mejor individuo en la poblacioacuten actual La condicioacuten de paro maacutes comuacutenmente utilizada es comparar el nuacutemero de generaciones construidas contra un valor fijo pero otros criterios pueden ser implementados como aquellos descritos por Zielinski y Laur

Mutacioacuten Un vector mutado es construido al combinar los valores de varios individuos aleatoriamente seleccionados de El nuacutemero de individuos seleccionados para realizar la combinacioacuten depende del operador de mutacioacuten implementado por la variante del algoritmo En alguna de estas variantes el individuo con la mejor aptitud en la poblacioacuten es tambieacuten utilizado por el operador de mutacioacuten Entre los diferentes operadores de mutacioacuten descritos en la literatura destacan los siguientes

$$beginaligned

textDErand1quad v^i amp= x^r_1 + textF big( x^r_2 - x^r_3 big)labeleqmut_1

textDEbest1quad v^i amp= x^textbest + textF big( x^r_1 - x^r_2 big) labeleqmut_2

textDEcurrent-to-best1quad v^i amp= x^i + textF big( x^textbest - x^r_1big) + textF big( x^r_2 - x^r_3 big) labeleqmut_3

xij = xmin

j + r (xmaxj minus xmin

j )

r [0 1]

i isin 1 hellip NP g xi

Xgminus1 ui

xi ui

Xgω

vi xrj

Xgminus1

xbest Xgminus1

textDErand2quad v^i amp= x^r_1 + textF big( x^r_2 - x^r_3 big)+textF big( x^r_4 - x^r_5 big) labeleqmut_4

shortintertexty

textDEbest2quad v^i amp= x^textbest + textF big( x^r_1 - x^r_2 big )+ textF big( x^r_3 - x^r_4 big ) labeleqmut_5 endaligned$$

donde F es un valor definido por el usuario que representa un factor de escala aplicado para controlar la variacioacuten diferencial Storn y Price sentildealan que F puede fijarse entre 0 y 2 pero otros autores recomiendan valores entre 04 y 1 En la figura 3 se presenta un ejemplo de la aplicacioacuten del operador de mutacioacuten DErand1 En este ejemplo = = y = Usando F igual a 05 el vector mutado resultante es =

Ejemplo de la creacioacuten de un vector mutado con el esquema DErand1

La mutacioacuten aporta a las habilidades de explotacioacuten y exploracioacuten del meacutetodo Debido a que al inicio del proceso evolutivo los individuos se encuentran relativamente dispersos en el espacio

xr1 (1056 316) xr2

(253 903) xr3 (56 626) vi

(902 454)

de buacutesqueda la diferencia entre los vectores seleccionados es grande por lo que los vectores mutados pueden ubicarse en diferentes aacutereas del espacio de buacutesqueda pero a medida que el proceso evolutivo avanza las soluciones se vuelven maacutes cercanas y las diferencias entre ellos son maacutes pequentildeas lo que produce que los vectores mutados se encuentran concentrados en aacutereas promisorias del espacio de buacutesqueda

Cruza El operador de cruza se utiliza para combinar la informacioacuten entre el vector objetivo y el vector mutado para construir el vector de prueba Por cada o se seleccionan para construir usando un factor de cruza el cual es tambieacuten un valor especificado por el usuario Dos tipos de cruza se utilizan en este caso cruza binomial y cruza exponencial

Cruza binomial En este operador cada valor asignado a es seleccionado de o de comparando el valor CR con un valor seleccionado al azar Para garantizar que al menos un paraacutemetro de toma un valor de este operador utiliza un valor tambieacuten seleccionado al azar Formalmente la cruza binomial se define como

Tomando el vector mutado = del ejemplo de la figura 3 y un vector objetivo = en la figura 4 se muestra un ejemplo de la creacioacuten de un vector de prueba usando la cruza binomial El vector de prueba generado en este ejemplo es =

xr2 minus xr3

j isin 1 hellip n xij vi

jui CR isin [0 1]

ui vi xi

r isin [0 1] ui

vi l isin 1 hellip n

bin uij =

vij si r le CR or j = l

xij de otra forma

vi (902 454) xi

(406 766)ui (406 454)

Ejemplo de la creacioacuten de un vector de prueba usando la cruza binomial

Cruza exponencial Este operador de cruza asigna una secuencia de valores de a Los valores restantes que son asignados a son obtenidos de El tamantildeo de la secuencia se determina con dos valores 1) un iacutendice que representa la posicioacuten inicial de la secuencia en seleccionado aleatoriamente dentro del rango y 2) el nuacutemero de intentos consecutivos en los cuales determina la posicioacuten final de la secuencia como es definida en la Ec ([eqcr_exp]) La cruza exponencial es similar al operador de cruza de dos puntos introducido por Cavicchio

$$beginaligned

textexpquad u_j^i amp=

begincases

v_j^i amp textsi $ l leq j leq min (l+L-1n)$

vi ui

ui xi

l vi

1 hellip n L le n r le CR

x_j^i amp textde otra forma

endcases labeleqcr_expendaligned$$

Por ejemplo si se tienen dos vectores de cinco paraacutemetros = y = y se aplica el operador de cruza exponencial usando un factor de cruza de 06 entonces se debe obtener el valor de y despueacutes generar una secuencia de valores aleatorios para Si =2 y la secuencia de valores de es 06 03 04 y 06 y el vector de prueba que se construye es =

La cruza ayuda al algoritmo a mantener la diversidad de la poblacioacuten y eventualmente evitar que caiga en oacuteptimos locales El valor de CR es complicado de determinar pero algunos autores sentildealan que su valor puede ajustarse entre 03 y 09

Seleccioacuten Un torneo uno-a-uno es aplicado para determinar cual vector entre y es seleccionado como miembro de la nueva poblacioacuten Este esquema de seleccioacuten permite garantizar que el proceso evolutivo mantenga una mejora continua

Estructura del Algoritmo El Algoritmo [algDE] muestra la estructura de una implementacioacuten claacutesica del algoritmo Eacuteste requiere de tres paraacutemetros para controlar el proceso evolutivo (CR F y NP) y tambieacuten la seleccioacuten de un espacio de buacutesqueda para construir la poblacioacuten inicial y la definicioacuten del tamantildeo de individuo de una funcioacuten objetivo para evaluar cada individuo y de una condicioacuten de paro para finalizar el proceso evolutivo

Entrada Salida Un individuo generado aleatoriamente usando la Ec ([eqinicial]) Vector objetivo obtenido aleatoriamente de Vector mutado generado usando alguna de las Ecs ([eqmut_1])ndash([eqmut_5]) Vector de prueba construido usando alguna de las Ecs ([eqcr_bin])ndash([eqcr_exp])

DE tiene varias ventajas en comparacioacuten con otros algoritmos evolutivos como la simplicidad de su implementacioacuten su habilidad para producir mejores resultados que aquellos obtenidos por los demaacutes y su baja complejidad espacial

vi (24 36 12 78 02) xi

(34 96 12 52 31)l

r l rui (24 96 12 52 02)

xi ui

Xg

g larr 0 Xg larr xi larrXg larr Xg cup (i xi) g larr g + 1 Xg larr xi larr

Xgminus1 vi larrui larrXg larr Xg cup (i ui) Xg larr Xg cup (i xi) xbest

Modificaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Aunque DE requiere de la definicioacuten de un nuacutemero menor de paraacutemetros en comparacioacuten con el nuacutemero de paraacutemetros requeridos por otros algoritmos evolutivos su desempentildeo es sensible a los valores seleccionados de CR F y NP Varios autores sentildealan que los valores adecuados para estos paraacutemetros pueden variar para diferentes problemas y es conocido que la definicioacuten de estos paraacutemetros depende de las caracteriacutesticas propias de cada problema Ademaacutes Lampinen y Zelinka sentildealan que este algoritmo puede presentar el problema de estancamiento debido a una incorrecta seleccioacuten de sus paraacutemetros El estancamiento en un algoritmo se presenta cuando eacuteste no converge a alguna solucioacuten y la poblacioacuten presenta una gran diversidad de individuos Por lo anterior la mayoriacutea de los estudios realizados para mejorar el desempentildeo del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial se relacionan con teacutecnicas para ajustar los valores de sus paraacutemetros (F CR y NP) y para combinar las ventajas de las diferentes variantes del algoritmo usando un subconjunto de ellas en lugar de solamente aplicar una variante En los siguientes paacuterrafos se describen las propuestas para mejorar el desempentildeo del algoritmo que se consideran los maacutes representativos en la literatura especializada Para simplificar su descripcioacuten estas propuestas se agrupan de acuerdo al criterio utilizado Ajuste de paraacutemetros y combinacioacuten de variantes Por un lado debido a que F y CR son los paraacutemetros del algoritmo maacutes estudiados y donde maacutes variantes de mejora han sido desarrolladas estos estudios se agrupan en enfoques que usan paraacutemetros globales y enfoques que usan paraacutemetros para cada individuo Adicionalmente se presentan los enfoques relacionados con el ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten y tambieacuten aquellos donde se modifica la forma que generar los vectores mutados dentro del proceso evolutivo La figura 5 presenta un esquema del desarrollo histoacuterico de estos enfoques

Liacutenea del tiempo de las modificaciones a DE

Ajuste de paraacutemetros globales En estos enfoques los operadores geneacuteticos utilizan los mismos valores para F y CR en todos los individuos de una misma poblacioacuten como se ilustra en la figura 6 Estos valores se actualizan al finalizar cada generacioacuten con el aacutenimo de mejorar las habilidades de exploracioacuten y explotacioacuten del algoritmo Dos enfoques se concentran en ajustar el valor de F manteniendo fijo el valor de CR En 2004 Ali y Toumlrn lo actualizan considerando la aptitud del mejor y del peor individuo en la poblacioacuten y Das et al en 2005 proponen dos enfoques para modificar su valor el primero lo modifica de forma aleatoria y el segundo reduce su valor de forma lineal conforme el proceso evolutivo avanza Por otro lado Liu y Lampinen en 2005 proponen un enfoque diferente al cual denominan FADE (Fuzzy Adaptive DE algorithm) En este algoritmo los valores de F y CR se ajustan usando un sistema de control loacutegico difuso El sistema utiliza las diferencias entre generaciones sucesivas tanto de los valores de los individuos como de sus valores de aptitud Finalmente Dra et al en 2015 proponen una versioacuten alternativa denominada SinDE (Sinusoidal DE) en donde los valores de F y CR se ajustan utilizando foacutermulas trigonomeacutetricas permitiendo cambiar la direccioacuten del vector diferencia dentro del operador de mutacioacuten

Esquema de ajuste de paraacutemetros globales del algoritmo

Ajuste de paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten En este tipo de algoritmos cada individuo de la poblacioacuten tiene asociado su propio conjunto de paraacutemetros como se muestra en la figura 7 Estos paraacutemetros se ajustan de forma independiente dentro del proceso evolutivo como se esquematiza en la figura 8

Paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten

En 2005 Omran et al asocian el valor de F a cada individuo de la poblacioacuten en su meacutetodo denominado SDE (self-adaptive DE) Este meacutetodo actualiza el valor de F combinando los valores de F de tres individuos de la poblacioacuten actual que son seleccionados aleatoriamente En 2006 Brest et al describen su meacutetodo denominado jDE donde los valores de F y CR se pueden modificar en cada iteracioacuten del proceso evolutivo basados en una decisioacuten estocaacutestica utilizando un par de umbrales previamente definidos En 2007 Zhang y Sanderson implementan un meacutetodo conocido como JADE donde F y CR son ajustados utilizando distribuciones normales independientes cuya media es calculada usando el promedio de los vectores mutados mejor adaptados en cada iteracioacuten En 2011 Ghosh et al actualizan los valores de estos paraacutemetros en base al valor de aptitud de los individuos en la poblacioacuten en un meacutetodo denominado FiADE (Fitness-Adaptive DE) Una versioacuten parecida es presentada en 2015 por Tang et al en el meacutetodo llamado IDE (DE with an individual-dependent mechanism) En 2011 Bi y Xiao describen el meacutetodo p-ADE (pbest vector-based self-adaptive DE variant) donde el vector mutado se crea usando el mejor individuo en la poblacioacuten y el mejor de los vectores que se utilizaron para crear al vector objetivo Los valores de F y CR de cada individuo son ajustados usando un factor asociado a las mejores y peores aptitudes de los individuos en la poblacioacuten En 2012 Islam et al introdujeron el meacutetodo llamado MDEpBX (modified DE with p-best crossover) donde se modifica la variante DEcurrent-to-best1 al utilizar el mejor elemento de un grupo de individuos seleccionados aleatoriamente de la poblacioacuten actual en lugar de usar el mejor individuo de la poblacioacuten Los valores de los paraacutemetros se ajustan en base a un par de distribuciones independientes que son actualizadas al final de cada generacioacuten En 2013 Tanabe y Fukunaga implementan el meacutetodo SHADE (Success-History based Adaptive DE) que basaacutendose en JADE actualiza los valores de F y CR usando una memoria de los vectores mutados que han sido exitosamente seleccionados previamente dentro del proceso evolutivo A partir de SHADE

varias versiones se han desarrollado como el meacutetodo L-convSHADE (SHADE using covariance matrix learning with Euclidean Neighborhood) y el meacutetodo LSHADE-SPA (LSHADE with semi parameter adaptation) En 2016 Leon y Xiong introducen una estrategia voraz para actualizar los valores de los paraacutemetros de cada individuo en el meacutetodo llamado GADE (Greedy Adaptive DE) Se utilizan los valores de los paraacutemetros de las soluciones vecinas para ajustar los paraacutemetros del nuevo vector mutado Finalmente Mohamed y Mohamed en 2017 proponen el meacutetodo denominado AGDE (Adaptive guided DE)

Esquema de ajuste de paraacutemetros para cada individuo de la poblacioacuten

Ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten En los enfoques descritos previamente solamente se ajustan los valores de F y CR manteniendo el tamantildeo de la poblacioacuten constante Diversos estudios indican que el tamantildeo de la poblacioacuten tambieacuten afecta al desempentildeo de un algoritmo evolutivo por lo que existen trabajos que se han centrado en ajustar el tamantildeo de la poblacioacuten para garantizar la convergencia del algoritmo Existen algunos enfoques donde se ajusta el tamantildeo de la poblacioacuten y se describiraacuten a continuacioacuten En la figura 9 se muestra el esquema general en que estos enfoques ajustan el tamantildeo de la poblacioacuten durante el proceso evolutivo

Esquema general del ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten en DE

En 2006 Teo describe el meacutetodo DESAP (Differential Evolution with self-adapting populations) donde el tamantildeo de la poblacioacuten se ajusta usando un factor distribuido uniformemente entre 0 y 1 En 2008 Brest y Sepesy Maučec presentan el algoritmo dynNP-DE (DE con NP dinaacutemico) donde van reduciendo a la mitad el tamantildeo de la poblacioacuten conforme el proceso evolutivo progresa Utilizando el nuacutemero total de evaluaciones y un paraacutemetro que indica el nuacutemero de posibles reducciones el algoritmo establece en queacute generaciones el algoritmo reduciraacute el tamantildeo de la poblacioacuten En 2014 Tanabe y Fukunaga presentaron una versioacuten con ajuste de poblacioacuten del meacutetodo SHADE denominada L-SHADE donde se aplica una reduccioacuten lineal del tamantildeo de la poblacioacuten previo a una ordenacioacuten a los individuos por su aptitud que permite eliminar solo

los individuos peor adaptados En 2017 Bujok y Tvrdiacutek describen el meacutetodo IDEbd (IDE with Population Size Adaptation) en donde el tamantildeo de la poblacioacuten es adaptado usando un factor calculado en base al nivel de diversidad de la poblacioacuten actual

Combinacioacuten de variantes Debido a la forma de combinar los individuos para crear el vector de prueba de cada una de las variantes de DE estaacutes presentan diferentes capacidades de exploracioacuten y explotacioacuten ademaacutes de que son maacutes efectivas para diferentes tipos de problemas Por ejemplo la variante DErand1 es mejor para explorar el espacio de buacutesqueda pero tiene una velocidad de convergencia lenta y DEbest1 converge maacutes raacutepido hacia soluciones cercanas a la oacuteptima pero solo para problemas con un uacutenico oacuteptimo global (unimodales) Debido a que usar diferentes estrategias de mutacioacuten durante diferentes momentos del proceso evolutivo pueden ser mejor que usar una sola variante durante todo el proceso varios autores se han enfocado en desarrollar estrategias para combinar diferentes variantes de DE y lograr con esto que cooperen en la creacioacuten de un mejor vector objetivo La figura 10 muestra un esquema general de la forma en que se aplican estas estrategias dentro del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial

Esquema general de la estrategia de combinacioacuten de variantes de DE

En 2005 Qin y Suganthan describieron una versioacuten conocida como SADE (Self-Adaptive DE algorithm for numerical optimization) donde introducen un esquema que selecciona de forma alternada una de dos variantes del algoritmo de acuerdo a su tasa de eacutexito dentro del proceso evolutivo En 2009 Das et al presentaron el meacutetodo llamado DEGL (DE with Global and Local Neighborhoods) donde cada nuevo vector mutado se crea combinando dos vectores uno construido usando una vecindad del vector objetivo (vector local) y otro creado usando el mejor

individuo de la poblacioacuten (vector global) En 2011 Mallipeddi et al asignaron a cada individuo de la poblacioacuten el tipo de variante para generar el vector mutado y los valores para F y CR en el meacutetodo EPSDE (Ensemble of mutation strategies and parameters in DE) Tanto el tipo de variante como los valores de los paraacutemetros se escogen aleatoriamente de un grupo de ellos que es previamente definido Dependiendo del eacutexito de la aplicacioacuten de dichos valores eacutestos se pueden cambiar durante el proceso evolutivo Tambieacuten en ese mismo antildeo Wang et al en su meacutetodo CoDE (Composite DE) crean tres vectores para cada vector objetivo Cada vector es construido usando variantes diferentes y con paraacutemetros generados aleatoriamente El mejor de los tres vectores se usa como vector de prueba para aplicar el operador de seleccioacuten Adicionalmente Zhao et al implementaron un meacutetodo muy similar denominado SaDE-MMTS (SaDE with a modified multi-trajectory search) donde el vector mutado se selecciona de entre los vectores generados por tres diferentes variantes del algoritmo pero la seleccioacuten se hace en base a una probabilidad que iterativamente se ajusta en base a la cantidad de vectores mutados que son exitosamente seleccionados En 2017 Ghosh et al propusieron el meacutetodo NRDE (Noise Resilient DE) donde cada individuo puede ser mutado por alguna de dos variantes con igual probabilidad Los valores de F y CR son ajustados para cada individuo basado en un rango preestablecido previamente

Evolucioacuten Diferencial para otros tipos de problemas Aunque DE fue definido originalmente para resolver problemas de optimizacioacuten continua sin restricciones tambieacuten se ha utilizado con eacutexito para resolver otros tipos de problemas como aquellos donde los valores de las variables del problema son discretos donde el espacio de buacutesqueda estaacute limitado por una o maacutes restricciones y aquellos donde se manejan dos o mas objetivos Prado et al describe varias adaptaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial para problemas de optimizacioacuten combinatoria como aquellos que implementan una matriz de permutacioacuten los que obtienen una secuencia ordenada de valores y los que aplican una transformacioacuten de los valores continuos al espacio discreto En el caso de los problemas de optimizacioacuten con restricciones Mezura-Montes et al describen varios enfoques que se han utilizado para aplicar DE en este tipo de problemas como aquellos que utilizan teacutecnicas para eliminar o reparar soluciones infactibles y los que implementan teacutecnicas de penalizacioacuten Finalmente para problemas de optimizacioacuten multi-objetivo Mezura-Montes et al resume las principales teacutecnicas basadas en el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial para manejar dos o maacutes objetivos como los enfoques basados en dominancia de Pareto y en jerarquizacioacuten de Pareto asiacute como los meacutetodos que no se basan en Pareto y los enfoques que combinan diferentes estrategias Hoy en diacutea existen tambieacuten algoritmos basados en descomposicioacuten y en indicadores de desempentildeo

DE en Meacutexico En el paiacutes se tiene mucha actividad en investigacioacuten relacionada con DE particularmente el grupo EVOCINV de CINVESTAV Zacatenco estudia a este algoritmo en optimizacioacuten multi-objetivo y temas afines al manejo de muacuteltiples objetivos como algoritmos basados en indicadores modelos subrogados operadores de seleccioacuten operadores de variacioacuten adaptacioacuten de paraacutemetros entre otros temas

En el Centro de Investigacioacuten en Inteligencia Artificial de la Universidad Veracruzana se desarrolla investigacioacuten en optimizacioacuten con restricciones usando DE aplicaciones de DE en mecatroacutenica y en control automaacutetico DE y buacutesqueda local optimizacioacuten dinaacutemica multi-objetivo DE asistida por subrogados en espacios restringidos entre otras temaacuteticas

Recientemente en el Instituto Tecnoloacutegico de Veracruz se desarrollan aplicaciones de DE en aprendizaje automaacutetico en el Centro de Innovacioacuten y Desarrollo Tecnoloacutegico en Coacutemputo (CIDETEC) del IPN se aplica DE en problemas de mecatroacutenica y en el Centro de Investigacioacuten en Matemaacuteticas se aplica en procesos quiacutemicos

Todas estas menciones soacutelo son representativas pues la DE al ser un algoritmo faacutecil de implementar y que provee resultados competitivos ha sido particularmente atractiva para su estudio y aplicacioacuten en instituciones mexicanas

Conclusiones El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial es un enfoque exitoso para resolver problemas de optimizacioacuten continua sin restricciones Los individuos que evolucionan al aplicar los operadores de este algoritmo tradicionalmente se codifican como secuencias de nuacutemeros reales pero otras representaciones se han utilizado tambieacuten Ademaacutes con la inclusioacuten de diversas estrategias para manejar varios objetivos y conjuntos de restricciones DE se puede aplicar para resolver otro tipo de problemas DE se distingue por depender de la definicioacuten de un menor nuacutemero de paraacutemetros que otros algoritmos evolutivos pero esto tambieacuten lo hace muy sensible a la definicioacuten de los valores para esos paraacutemetros Diversos variantes del algoritmo han sido desarrolladas para mejorar el desempentildeo del algoritmo generando un abanico de alternativas para resolver casi cualquier tipo de problema El estudio del comportamiento de este algoritmo y la definicioacuten de nuevas propuestas de desarrollo sin duda aportaraacute a la resolucioacuten maacutes eficiente de problemas complejos que interesan a la comunidad cientiacutefica

Para saber maacutes Para aquellos lectores que deseen abundar en el tema las siguientes referencias sobre DE pueden ser de intereacutes

bull El libro sobre DE escrito por los autores originales del algoritmo

bull Una revisioacuten muy completa de la literatura de DE y su versioacuten actualizada

bull Otra revisioacuten de la literatura acompantildeada de un estudio experimental

bull Una revisioacuten de estudios teoacutericos sobre DE

bull Un libro editado con temas diversos y recientes sobre DE

bull DE para resolver problemas de optimizacioacuten multi-objetivo

bull DE y su papel importante en espacios restringidos

Algoritmos Geneacuteticos Paralelos Alicia Morales-Reyes

Introduccioacuten Las teacutecnicas evolutivas son aptas para su paralelizacioacuten tanto a nivel algoriacutetmico como a nivel de ejecucioacuten En particular los algoritmos geneacuteticos (AGs) han sido investigados desde esta perspectiva y esquemas paralelos han surgido desde el inicio de su desarrollo La paralelizacioacuten de los AGs persigue la mejora de su desempentildeo algoriacutetmico en teacuterminos de eficiencia y eficacia y la reduccioacuten de tiempos de ejecucioacuten en sus distintos dominios de aplicacioacuten

Una clasificacioacuten general de los Algoritmos Geneacuteticos Paralelos (AGPs) los agrupa por su granularidad en AGPs de grano fino y grueso Los AGPs de grano grueso dividen la poblacioacuten agrupada en panmixia en varias sub-poblaciones permitiendo la migracioacuten de individuos entre 1

eacutestas De esta forma se reduce el nuacutemero de individuos en cada unidad de procesamiento En consecuencia se establece un fuerte viacutenculo entre la algoritmia y la implementacioacuten de estas teacutecnicas Sin embargo utilizar una uacutenica unidad de procesamiento para la evolucioacuten de varias sub-poblaciones ha sido un contexto tambieacuten explorado como un mecanismo de mejora del desempentildeo algoriacutetmico

Los AGPs de grano grueso tambieacuten llamados Algoritmos Geneacuteticos distribuidos (AGds) han permitido la exploracioacuten de nuevas vertientes de la versioacuten estaacutendar de los AGs Tener diferentes paraacutemetros de configuracioacuten para realizar las operaciones geneacuteticas implementar granularidades distintas incorporar el operador de migracioacuten han sido caracteriacutesticas a explorar que pueden culminar en un mejor desempentildeo de los AGs

En la figura 1 se muestra un diagrama de un AG distribuido Cada poblacioacuten es centralizada y se necesitan definir criterios en teacuterminos de tasa y frecuencia de migracioacuten Tambieacuten se necesita definir si la migracioacuten seraacute siacutencrona o asiacutencrona Herrera et al presentaron un esquema de un AGP distribuido con poblaciones heterogeacuteneas Utilizaron la estructura de un hipercubo posicionando en cada veacutertice una sub-poblacioacuten Dependiendo de la ubicacioacuten de cada sub-poblacioacuten la buacutesqueda implica mayor explotacioacuten o exploracioacuten Esto se logra de manera interna viacutea la configuracioacuten de los operadores geneacuteticos De esta forma se procura mantener la diversidad de soluciones de forma global y asiacute mejorar la calidad de las soluciones encontradas

Una poblacioacuten en panmixia es aquella donde todos sus individuos sin restricciones pueden 1

reproducirse entre si

Diagrama poblacional de un AGP distribuido o de grano grueso

La principal diferencia entre los AGP de grano fino con respecto a los AGP distribuidos o de grano grueso es la descentralizacioacuten de su poblacioacuten y en consecuencia la localizacioacuten del proceso de seleccioacuten de individuos En la figura 2 se muestra un esquema poblacional de un AGP de grano fino tambieacuten conocido como AG celular (AGc) De manera comuacuten se utiliza una topologiacutea de malla conectada de forma toroidal como lo muestra la figura Un individuo de la poblacioacuten se ubica en cada cruce de la malla y alrededor de eacutel se define un vecindario cuyas soluciones participan en los procesos de seleccioacuten recombinacioacuten y mutacioacuten para la evolucioacuten de eacuteste En la figura 2 se ilustra un vecindario tipo Moore con 9 individuos

En los AGs celulares cada individuo o solucioacuten interactuacutea con sus vecinos maacutes cercanos logrando de esta forma el esparcimiento suave de las soluciones a traveacutes de la malla debido al traslape de vecindarios En los AGs distribuidos la asociacioacuten entre soluciones se pierde en comparacioacuten con los AGs celulares Esta es otra caracteriacutestica importante de los AGc que permite la exploracioacuten global del espacio de buacutesqueda mientras que localmente los individuos explotan la regioacuten cercana a su ubicacioacuten

Diagrama poblacional del AG celular o de grano fino

La paralelizacioacuten de los algoritmos evolutivos en particular de los algoritmos geneacuteticos persigue distintos objetivos Por ejemplo la evolucioacuten simultaacutenea de sub-poblaciones lo cual permite descubrir nueva rutas para solucionar un problema y en consecuencia reducir el nuacutemero de generaciones para converger a la solucioacuten oacuteptima Aunado a esto los tiempos de procesamiento pueden tambieacuten acortarse La paralelizacioacuten de AGs se puede realizar a distintos niveles Asiacute mismo es posible la combinacioacuten de sub-poblaciones con distintas dinaacutemicas internas Por ejemplo algunas sub-poblaciones podriacutean evolucionar en un esquema de panmixia y otras en un esquema celular Este tipo de esquemas poblacionales se discutiraacuten a detalle en la subseccioacuten 11

Una operacioacuten importante en los procesos evolutivos de los AGs distribuidos es la migracioacuten de los individuos entre sub-poblaciones Durante el proceso de buacutesqueda uno o maacutes individuos son seleccionados para migrar y reemplazar a otros individuos de otras sub-poblaciones Los criterios de migracioacuten requieren no soacutelo de la tasa y la frecuencia de migracioacuten sino tambieacuten de criterios de seleccioacuten y reemplazo de individuos al llegar a las otras sub-poblaciones El proceso de migracioacuten puede realizarse de forma siacutencrona o asiacutencrona La migracioacuten siacutencrona supone que todas las sub-poblaciones estaacuten en el mismo estado de la buacutesqueda y la migracioacuten de individuos entre sub-poblaciones ocurre de manera simultaacutenea Por otro lado la migracioacuten asiacutencrona supone que cada sub-poblacioacuten determina el momento en que los individuos deben migrar En la sub-seccioacuten 24 se aborda el efecto del sincronismo en los mecanismos de migracioacuten

Cantuacute-Paz et al presentoacute un estudio completo en AGs distribuidos tanto desde el punto de vista teoacuterico como del praacutectico Debido al nuacutemero de paraacutemetros que se deben definir en los AGds Cantuacute-Paz et al iniciaron con la solucioacuten de un problema de optimizacioacuten para determinar el tamantildeo adecuado de las sub-poblaciones para alcanzar una cierta calidad de la misma Utilizaron un modelo matemaacutetico considerando la hipoacutetesis de los bloques constructores propuesta por Holland y extendida por Goldberg El estudio se verifica en varios problemas con un grado alto de precisioacuten mostraacutendose una buena respuesta a la escalabilidad

Para determinar escenarios de operacioacuten liacutemite en teacuterminos de eficiencia analizaron la interaccioacuten de las sub-poblaciones y su efecto en la calidad de las soluciones Previamente se ha investigado el cambio en la calidad de las soluciones debido a la forma de interaccioacuten de las sub-poblaciones Tener sub-poblaciones evolucionando de manera independiente con muy poca o nula interaccioacuten entre ellas resulta en soluciones menos precisas mientras mejores soluciones se obtienen viacutea el esquema de panmixia tradicional Sin embargo cuando se definen criterios de migracioacuten adecuados y un cierto nuacutemero de soluciones migran entre sub-poblaciones a una frecuencia media o baja el desempentildeo en general de los AGds mejora alcanzando en un nuacutemero de casos aceleraciones super-lineales y mejor calidad de las soluciones encontradas Se puede inferir entonces la importancia del operador de migracioacuten el cual seraacute analizado en detalle en la sub-seccioacuten 12

AGds homogeacuteneos y heterogeacuteneos Existen distintos escenarios en los que se pueden definir y aplicar AGds con esquemas poblaciones homogeacuteneos y heterogeacuteneos es decir combinaciones de poblaciones centralizadas y descentralizadas A nivel algoriacutetmico se puede definir la misma o una diferente configuracioacuten de operadores geneacuteticos A partir de esas configuraciones distintas diferentes configuraciones de paraacutemetros se pueden determinar para ejecutar la buacutesqueda en cada sub-poblacioacuten Por ejemplo distintas definiciones del operador de recombinacioacuten o bien de las probabilidades de mutacioacuten pueden operar sobre los individuos de cada sub-poblacioacuten La comunidad en el aacuterea ha incluso explorado escenarios donde las soluciones se representan de manera distinta entre sub-poblaciones Por otro lado a nivel de implementacioacuten se han explorado esquemas con sub-poblaciones heterogeacuteneas Por ejemplo Alba et al realizoacute un estudio en distintas plataformas de coacutemputo ejecutando sub-poblaciones en panmixia y celulares

Como se puede apreciar el desarrollo de un esquema de AG paralelos ya sean distribuidos o descentralizados conlleva la definicioacuten de un nuacutemero de paraacutemetros que afectaraacute de manera importante su desempentildeo algoriacutetmico Otro ejemplo es la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten en espacios continuos que se han abordado a traveacutes de un esquema de AGP utilizando una versioacuten mejorada con cromosomas codificados con nuacutemeros reales Para esto se

definioacute una topologiacutea doble con un hipercubo que se comparoacute con una topologiacutea sencilla Las sub-poblaciones ubicadas en sus veacutertices promoviacutean mayor o menor exploracioacuten u explotacioacuten de las regiones viacutea la configuracioacuten de los operadores geneacuteticos La migracioacuten entre las sub-poblaciones afectoacute directamente los tiempos de ejecucioacuten por medio de la reduccioacuten del nuacutemero de evaluaciones La capacidad de buacutesqueda de la topologiacutea doble superoacute a la de la topologiacutea sencilla

Cuando pensamos en paralelizar alguna teacutecnica algoriacutetmica nos viene a la mente acelerar los procesos de ejecucioacuten Sin embargo la paralelizacioacuten de los algoritmos evolutivos podriacutea mejorar tanto los procesos de buacutesqueda algoriacutetmica como los tiempos de ejecucioacuten Es asiacute que a nivel de implementacioacuten se utilizado coacutemputo heterogeacuteneo para la evaluacioacuten de esquemas de AGPs Por ejemplo Alba et al propusieron utilizar una plataforma heterogeacutenea en la cual distintos sistemas operativos con distintas restricciones de ejecucioacuten implementaban un modelo de AGPs distribuidos Las sub-poblaciones se conectaron en un arreglo de anillo unidireccional cada sub-poblacioacuten ejecutaba un modelo poblacional de estado estable A cada generacioacuten se produciacutea un individuo que reemplazaba a la peor solucioacuten obtenida Se establecioacute un esquema de migracioacuten asiacutencrona que demostroacute mejores resultados ver 3 En general se observoacute un mejor desempentildeo de la ejecucioacuten del esquema paralelo en la plataforma heterogeacutenea en comparacioacuten con la homogeacutenea se redujo el nuacutemero de evaluaciones debido a la explotacioacuten de soluciones a distintas tasas de migracioacuten

AGP con topologiacutea poblacional de anillo unidireccional implementada en una plataforma de coacutemputo heterogeacutenea La migracioacuten entre sub-poblaciones es asiacutencrona y responde a una dinaacutemica de estado estable

Migracioacuten en AGPs Como se explicoacute anteriormente la incorporacioacuten de un nuevo operador llamado migracioacuten se hace latente en los esquemas paralelos de los AGs En los esquemas de grano grueso donde se tienen sub-poblaciones de grano fino y grueso evolucionando simultaacuteneamente la migracioacuten se debe considerar como un mecanismo que introduce nuevos individuos y por lo tanto promueve o restaura la diversidad entre sub-poblaciones De forma distinta en los AGs celulares o de grano fino un mecanismo de migracioacuten impliacutecito trabaja durante el proceso de buacutesqueda debido al traslape de vecindarios que permite la difusioacuten de soluciones a lo largo y ancho de la topologiacutea definida para la poblacioacuten Este mecanismo de migracioacuten es inherente a la estructura de los AGs celulares y no requiere de un paraacutemetro de frecuencia o tasa de migracioacuten o ninguacuten otro mecanismo de seleccioacuten y reemplazo

Revisaremos ahora evaluaciones empiacutericas que se han realizado a criterios de migracioacuten definidos para AGPs de grano grueso Aunque estos criterios son definidos para este tipo de esquemas paralelos tambieacuten es posible aplicar un segundo criterio migratorio en AGs celulares ademaacutes del mecanismo natural inherente a estos

Para establecer un criterio de migracioacuten adecuado y mejorar el desempentildeo algoriacutetmico de los AGPs de grano grueso se examinaron los casos liacutemite para aplicar el proceso de migracioacuten Se

sugiere mantener un cierto nivel de aislamiento entre las sub-poblaciones Si la sub-poblacioacuten evoluciona en completo aislamiento las mejoras en diversidad son miacutenimas y por ende la capacidad de buacutesqueda se ve reducida Por otro lado si se aplica el operador de migracioacuten con una frecuencia maacutexima el costo computacional se incrementa de manera significativa Por lo tanto el objetivo de la migracioacuten es evitar el aislamiento entre sub-poblaciones mientras se mantiene un nivel aceptable de comunicacioacuten entre eacutestas

Es posible calcular experimentalmente el nuacutemero adecuado de unidades de procesamiento para minimizar el tiempo de ejecucioacuten de un esquema de AGPs El anaacutelisis considera casos liacutemite en teacuterminos de conectividad entre sub-poblaciones es decir el caso de tener frecuencias de migracioacuten miacutenimas y maacuteximas La conclusioacuten teoacuterica para una poblacioacuten indica que el nuacutemero

oacuteptimo de unidades de procesamiento estaacute dado por donde es el tamantildeo de la

poblacioacuten es el tiempo de coacutemputo de la funcioacuten objetivo de un individuo y es el tiempo promedio de comunicacioacuten para una unidad de procesamiento Esto quiere decir que dividiendo una poblacioacuten en sub-poblaciones distribuidas en muacuteltiples unidades de procesamiento reduce el tiempo global de ejecucioacuten La misma conclusioacuten se logroacute para un esquema de muacuteltiples poblaciones considerando ademaacutes la evaluacioacuten de funciones objetivo separables Esto quiere decir que utilizar un nuacutemero de unidades de procesamiento en un esquema evolutivo paralelo tiene un impacto positivo en la reduccioacuten de los tiempos de ejecucioacuten

Es tambieacuten importante analizar el efecto de los criterios de migracioacuten que se utilizan en esquemas de AGPs de grano grueso El objetivo principal es determinar coacutemo el operador de migracioacuten afecta la presioacuten de seleccioacuten inducida e impliacutecitamente poder explicar las aceleraciones super-lineales que se pueden modelar para este tipo de esquemas La forma en que los individuos se seleccionan para migracioacuten y reemplazo tienen un efecto considerable en la presioacuten de seleccioacuten y se ha observado que tasas altas de migracioacuten producen un incremento en eacutesta Tener una presioacuten de seleccioacuten alta afecta la buacutesqueda al producir una convergencia prematura a un oacuteptimo local

Aunque la operacioacuten de migracioacuten se ha investigado principalmente para esquemas de AGPs de grano grueso tambieacuten se ha revisado su efecto en AGPs de grano fino considerando tanto el mecanismo de migracioacuten impliacutecita viacutea el traslape de vecindarios como la definicioacuten de criterios para migracioacuten de individuos desde y hacia distintas posiciones de la topologiacutea de malla definida para la poblacioacuten Por ejemplo se han utilizado estructuras de aacuterboles binarios para dividir una topologiacutea de malla de dos dimensiones en formaciones conceacutentricas de individuos definiendo para cada formacioacuten criterios de migracioacuten distintos El intercambio de individuos entre estas

OnTf

Tcn

Tf Tc

formaciones definidas por su estructura alenta el proceso de buacutesqueda permitiendo una mayor exploracioacuten Los resultados mostraron un mejor desempentildeo en la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten con restricciones el operador de mutacioacuten se aplica para evitar la presencia de super individuos que pueden dirigir la buacutesqueda al estancamiento conquistando la topologiacutea de malla mucho maacutes raacutepido En la siguiente seccioacuten se abordaraacute el comportamiento de los AG celulares o de grano fino

AGs celulares o de grano fino Los AGs celulares o de grano fino se construyen a partir de poblaciones descentralizadas donde los individuos interactuacutean con otros individuos ubicados dentro de un vecindario definido Es decir interactuacutean con los vecinos maacutes cercanos Usualmente los AGCs se implementan en topologiacuteas de mallas de -dimensionales manteniendo conexiones toroidales entre los cruces de malla utilizando formas comunes como una malla lineal cuadrada o rectangular

El procesamiento de los AG celulares corresponde al de los Autoacutematas Celulares (ACs) Estos determinan una regla global que define un comportamiento especiacutefico que se construye a partir de reglas locales Se han explorado ACs de una dos y tres dimensiones en combinacioacuten con AGs con la finalidad de evolucionar el comportamiento global requerido Esta combinacioacuten de un AC y un AG originoacute el nombre de AG celular con la diferencia de tener una representacioacuten maacutes elaborada en cada cruce de la malla cromosomas Se observoacute que la informacioacuten de las reglas locales o individuos alcanzaba distancias lejanas dentro de la malla definida esto debido al traslape de los vecindarios De esta forma se determinoacute que la informacioacuten se mueve entre vecindarios permitiendo acelerar el proceso de crear nuevos comportamientos ad-hoc al problema que se esteacute solucionando y con una peacuterdida miacutenima de informacioacuten

El pseudocoacutedigo [algCellularGeneticAlgorithmPseudocode] es el estaacutendar de un AG celular En un primer paso se genera una poblacioacuten inicial de forma aleatoria ubicando cada individuo en un cruce de la topologiacutea de malla Esta poblacioacuten inicial se evaluacutea de acuerdo a la funcioacuten objetivo del problema a resolver Posteriormente da inicio el ciclo reproductivo principal Se define un vecindario local con individuos ubicados de forma cercana A partir de eacutestos y del individuo ubicado en el cruce de la malla se seleccionan a los padres para reproducirse Existen distintos meacutetodos de seleccioacuten que se utilizan en los AG celulares Se pueden utilizar los que comuacutenmente se aplican en los AGs con poblaciones centralizadas como el torneo binario ruleta o seleccioacuten determinista Existen tambieacuten otros meacutetodos especiacuteficos a los AG celulares como son la seleccioacuten ceacutentrica o anisotroacutepica Una vez seleccionados los padres se recombinan y los hijos se mutan No hay diferencia entre la aplicacioacuten de los operadores de recombinacioacuten y mutacioacuten con respecto a los AG tradicionales

n

Debido a la descentralizacioacuten de la poblacioacuten el reemplazo de eacutesta puede ocurrir de forma siacutencrona o asiacutencrona El reemplazo asiacutencrono requiere del almacenaje temporal de la poblacioacuten hasta que todos los individuos concluyen su ciclo reproductivo El reemplazo siacutencrono requiere de la definicioacuten del criterio para implementarla Los distintos criterios que se han utilizado para el reemplazo se explicaraacuten en la sub-seccioacuten 24

poblacioacuten inicial evaluacioacuten seleccioacuten de padres vecinario L5 recombinacioacuten mutacioacuten evaluacioacuten reemplazo

Explotacioacutenexploracioacuten por propiedades estructurales Debido a la descentralizacioacuten de la poblacioacuten y la definicioacuten de una topologiacutea de malla las caracteriacutesticas estructurales de los AG celulares tienen un impacto importante en los procesos de buacutesqueda La forma y la dimensioacuten de la topologiacutea el nuacutemero de individuos dentro del vecindario entre otras son caracteriacutesticas de la estructura que necesitan definirse Ademaacutes otras operaciones durante el ciclo evolutivo como el proceso de seleccioacuten local el reemplazo de individuos criterios de migracioacuten entre otras estaacuten tambieacuten asociadas a estas caracteriacutesticas de estructura

La topologiacutea de malla que es comuacutenmente utilizada en los AG celulares se muestra en la figura 2 Se ha reportado que distintas formas de malla en combinacioacuten con distintos tipos de vecindarios inducen una mayor o menor presioacuten de seleccioacuten Para modelar el efecto de ambas estructuras se utiliza un patroacuten de dispersioacuten con puntos (la posicioacuten de cada solucioacuten en la malla) a partir de una posicioacuten central con coordenadas Se calcula la medida de dispersioacuten debido a que otras medidas como el radio de una circunferencia indicariacutea el mismo valor para topologiacuteas distintas La relacioacuten entre el vecindario y la topologiacutea o radii se calcula de la siguiente forma

donde y La razoacuten o radii entre el vecindario y la topologiacutea de

malla estaacute dada por

(x) larr random(x0) (f ) larr evaluat ion(x)(f1 f2) larr seleccion(f fN fE fS fW)(x1 x2) larr seleccion(x xN xE xS xW) (x prime1 x prime2 ) larr recombinacion(x prime1 x prime 2 )

(x1Prime x2Prime) larr mutacion(x prime1 x prime2 ) (fnew) larr evaluacion(x1Prime x2Prime)(f x) larr reemplazo(fnew xnew)

p(x0 y0)

D =sum (xi minus x)2 + sum (yi minus y)2

p

(x ) =sump

i=1 xi

p (y) =sump

i=1 yi

p

Esta medida se conoce como la razoacuten vecindario-malla (RVM) Formas y tamantildeos diferentes de vecindarios y topologiacuteas proporcionan una medida distinta de RVM ver figura 4

Ejemplos de formas de vecindarios y topologiacuteas de malla

NGR =Dvecindario

Dmalla

Razoacuten vecindario-malla para diferentes topologiacuteas de malla y tamantildeos de poblacioacuten con un vecindario L5

[figL5_variableLattice]

Una topologiacutea de malla cuadrada con un vecindario es una configuracioacuten comuacutenmente utilizada en la implementacioacuten de AG celulares En la figura [figL5_variableLattice] la razoacuten vecindario-malla se ilustra para distintos tamantildeos de poblacioacuten con vecindario Tres formas de malla se evaluacutean cuadrada rectangular y lineal Las curvas de la RVM muestran razones altas para mallas cuadradas y razones bajas para topologiacuteas lineales La RVM se asocia a la presioacuten de seleccioacuten inducida en AG celulares debido a sus caracteriacutesticas estructurales Para comprender esto de mejor manera otro concepto importante es necesario el nuacutemero de generaciones que toma al mejor individuo de una poblacioacuten inicial esparcir su solucioacuten en todas las direcciones de la topologiacutea de malla es decir conquistarla a partir de aplicar uacutenicamente el operador de seleccioacuten Un nuacutemero de generaciones alto indica una baja presioacuten de seleccioacuten es decir una buacutesqueda principalmente explorativa Por el contrario un nuacutemero de reducido de generaciones implica una alta presioacuten de seleccioacuten y por tanto una buacutesqueda orientada a la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda

L5

L5

Los AG celulares son teacutecnicas flexibles con un nuacutemero de paraacutemetros que pueden configurarse Por ejemplo es posible pensar en modificar en tiempo de buacutesqueda las topologiacuteas de malla tamantildeos y formas de vecindarios como una forma de control de la presioacuten de seleccioacuten inducida Las modificaciones de la configuracioacuten pueden realizarse de manera constante definiendo un nuacutemero de generaciones o bien de forma adaptativa midiendo generacioacuten a generacioacuten el comportamiento por ejemplo de la diversidad en el espacio de fenotipos y genotipos modificando entonces las configuraciones de estructura de manera que se promueva la exploracioacuten o la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda

Presioacuten de seleccioacuten por caracteriacutesticas estructurales

El matemaacutetico belga Pierre Verhulst en el siglo XIX estudioacute modelos logiacutesticos de crecimiento para describir sistemas bioloacutegicos bajo condiciones de recursos limitados Considerando una poblacioacuten en panmixia de cierto tamantildeo y un nuacutemero de copias del mejor individuo en un tiempo discreto dado por la tasa de crecimiento se expresa a traveacutes del siguiente modelo de recurrencia discreto

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t - 1 right) + p_s tamPob N left(t-1right) left(1 - left(frac1tamPobright) N left(t-1right)right)endaligned$$

donde es la probabilidad de seleccioacuten de un individuo y se puede aproximar por la ecuacioacuten logiacutestica continua

donde es la probabilidad Aunque se obtienen curvas de crecimiento similares el comportamiento en poblaciones estructuradas o descentralizadas no es exponencial sino polinomial como fue sugerido por Spiessen y Manderick in De este modo las caracteriacutesticas estructurales necesitan considerarse en el modelo matemaacutetico de la tasa de crecimiento para AG celulares Si se evaluacutea un caso liacutemite donde el mejor individuo dentro del vecindario se selecciona siempre para reemplazar al individuo actual o central (al vecindario) es decir

tamPobt N(t)

ps N(t)

N(t) =tamPob

1 + ( tamPobN(0) minus 1)eminusαt

α ps

ps = 1

y se define un tamantildeo de poblacioacuten donde determina una topologiacutea de malla cuadrada y un vecindario local con radio La tasa de crecimiento del mejor individuo estaacute dada por

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4r^2t - 2rleft( r+1 right) quad 0 leq t leq fracleft(sqrttamPob-1right)2

N left( t right) = N left( t-1 right) - 4r^2t + 4r sqrttamPob - 2rleft(r+1right) quad t geq fracleft(sqrttamPob-1right)2 notagendaligned$$

que en su forma cerrada queda como

$$beginaligned

N left( t right) = 2r^2t^2 + 2r left(2r + 1 right)t + 1 quad 0 leq t leq fracleft(sqrttamPob-1right)2

N left( t right) = -2r^2t^2 + 2rleft(2sqrttamPob - 3r - 1 right)t + 1 quad t geq fracleft(sqrttamPob-1right)2 notagendaligned$$

En la figura 5 se ilustra la razoacuten de crecimiento para una poblacioacuten de individuos con un vecindario local tipo ver figura 4

Tasa de crecimiento teoacuterica en una topologiacutea de malla toroidal cuadrada y un vecindario local tipo Moore con probabilidad de seleccioacuten

Si se considera la probabilidad variable y cada individuo tiene probabilidades de seleccioacuten distintas probabilidad para el individuo central y para cada individuo dentro de un vecindario tipo El modelado de la recurrencia exacta se vuelve muy complicado Para poder construir un modelo completo se recurre a modelos maacutes simples en donde la tasa de crecimiento se describe como la expansioacuten de un cuadrado rotado con una

tamPob tamPob times tamPobr

81C9

ps = 1

psp0 p1 p2 p3 p4 p8

C9

longitud por lado de y diagonal La tasa de crecimiento de los

individuos con probabilidad variable contenidos dentro del cuadrado rotado estaacute dada por la siguiente recurrencia

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4p_i sqrtfracNleft(t-1right)2 quad N left( t right) leq fractamPob2

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4p_i sqrttamPob - N left( t-1 right) quad N left( t right) gt fractamPob2 notagendaligned$$

Encontrar una forma cerrada de este modelo es una tarea complicada de acuerdo a autores reconocidos del aacuterea En la figura 6 se muestra la tasa de crecimiento probabilista como ejemplo de la dificultad que representa su modelado matemaacutetico

Tasa de crecimiento probabilista para una topologiacutea de malla toroidal cuadrada con vecindario local y probabilidad de seleccioacuten variable

Anaacutelisis empiacuterico

Es posible tener una aproximacioacuten empiacuterica del tiempo para el dominio de la topologiacutea de malla A continuacioacuten se presenta un ejemplo utilizando como meacutetodo de seleccioacuten local torneo binario y ejecuciones por configuracioacuten fueron evaluadas En la figura [figL5_growthRates] se muestran las distintas tasas de crecimiento para la conquista de la malla considerando un tamantildeo de la poblacioacuten de individuos con las siguientes formas de topologiacutea de malla 1)

cuadrada 2) rectangular y 3) lineal La diferencia entre los

tiempos de dominio es evidente Topologiacuteas de malla lineales proveen una difusioacuten maacutes lenta del

s = N(t) d =N(t)

2pi

ps

50

400

400 times 400 10 times40010

4 times400

4

mejor individuo para conquistar la malla y por ende menor presioacuten de seleccioacuten y un comportamiento principalmente explorativo Por otro lado en topologiacuteas de malla cuadradas la solucioacuten del mejor individuo conquista la malla raacutepidamente en un nuacutemero menor de generaciones Es decir tiene un comportamiento con alta presioacuten de seleccioacuten y por ende una buacutesqueda caracterizada por una mayor explotacioacuten del espacio de buacutesqueda Desde este punto de vista se ha investigado tambieacuten la posibilidad de modificacioacuten dinaacutemica de las propiedades estructurales en tiempo de buacutesqueda Se han reportado mejores desempentildeos algoriacutetmicos bajo estos criterios

Tasas de crecimiento promedio del mejor individuo en topologiacuteas de malla cuadrada rectangular y lineal con vecindario La tasa promedio de crecimiento se calcula con base en 50 experimentos y aplicando uacutenicamente el operador de seleccioacuten

[figL5_growthRates]

Aceleracioacuten en AGP Un tema controversial en AGPs son las aceleraciones que esquemas distribuidos y celulares pueden alcanzar El caacutelculo teoacuterico de estas aceleraciones es una medida aceptada para determinar su eficiencia Calcular la razoacuten entre el tiempo promedio de ejecucioacuten de la mejor versioacuten secuencial de un AG y otra teacutecnica de buacutesqueda no evolutiva con respecto al tiempo

L5

promedio de ejecucioacuten de un AG paralelo corriendo en un determinado nuacutemero de procesadores proporciona la aceleracioacuten alcanzada por este uacuteltimo Aceleraciones sub-lineales indican que esta razoacuten es menor que el nuacutemero de procesadores utilizados en la ejecucioacuten del AGP Aceleraciones lineales indican que esta relacioacuten es igual mientras aceleraciones super-lineales indican que la razoacuten es mayor que el nuacutemero de procesadores utilizados

Un medida estricta para medir las aceleraciones de los AGPs involucrariacutea una comparacioacuten con la mejor versioacuten secuencial de un AG lo cual es difiacutecil de determinar Considerar el desempentildeo de un AG secuencial como referencia en conjunto con una condicioacuten de paro que evaluacutee la misma calidad de soluciones en todas las muestras experimentales podriacutea permitir una comparacioacuten justa en teacuterminos de aceleracioacuten entre esquemas paralelos y secuenciales

Los AGPs tienen tres caracteriacutesticas que permiten su aceleracioacuten 1) dividir el espacio de buacutesqueda en diversas aacutereas de exploracioacuten implementadas en distintas unidades de procesamiento 2) reducir la carga de procesamiento por medio de la distribucioacuten de la poblacioacuten en un nuacutemero de unidades de procesamiento y 3) operadores geneacuteticos aplicados a estructuras de datos reducidas

Al analizar comparativamente las tasas de aceleracioacuten de los AG distribuidos con sub-poblaciones en panmixia en comparacioacuten con el desempentildeo de un AG secuencial las aceleraciones calculadas resultan excesivas Sin embargo cuando se considera la distribucioacuten de las sub-poblaciones en un nuacutemero de unidades de procesamiento las tasas de aceleracioacuten son moderadas

Una de las caracteriacutesticas maacutes importantes en los AGPs es el operador de migracioacuten Analizar el comportamiento de este operador bajo distintos criterios como la sincroniacutea o asincroniacutea de migrar individuos entre las sub-poblaciones afecta directamente el desempentildeo de la buacutesqueda Entre los comportamientos con importancia significativa se ha observado que utilizar bajas frecuencias de migracioacuten en combinacioacuten con una comunicacioacuten asiacutencrona entre sub-poblaciones permite una mayor aceleracioacuten Este resultado considera sub-poblaciones en panmixia con la misma configuracioacuten de paraacutemetros

Concepto de sincronismo en AGPs En los AGPs tanto distribuidos como celulares el concepto de sincroniacutea aplica de forma distinta En un AGP distribuido el operador de migracioacuten estaacute directamente relacionado con la comunicacioacuten entre sub-poblaciones y por ende la sincroniacutea con que eacutesta ocurre Por otro lado en AGP de grano fino o celulares la sincroniacutea estaacute relacionada con la actualizacioacuten de soluciones durante el proceso evolutivo Esto se explica a continuacioacuten a mayor detalle

En AGPs distribuidos viacutea migracioacuten

Varios autores han investigado el efecto del sincronismo a traveacutes de la migracioacuten de individuos entre sub-poblaciones Se han considerado varios escenarios tales como tener un conjunto de sub-poblaciones en panmixia y tener sub-poblaciones descentralizadas un tercer escenario que se ha considerado es tener una combinacioacuten de sub-poblaciones en panmixia y descentralizadas Los tres esquemas han sido evaluados no soacutelo a nivel algoriacutetmico sino de implementacioacuten en plataformas de coacutemputo para procesamiento paralelo

Utilizando un esquema de procesamiento de instrucciones muacuteltiples - datos muacuteltiples con un esquema homogeacuteneo de sub-poblaciones se verificoacute el comportamiento de distintas frecuencias de migracioacuten definidas como muacuteltiplos del tamantildeo de la poblacioacuten Esto representa que la migracioacuten es nula cuando la frecuencia es cero lo que implica que la evolucioacuten es independiente de las sub-poblaciones Localmente los operadores geneacuteticos fueron configurados de la misma forma En general los resultados mostraron un mejor desempentildeo cuando la comunicacioacuten entre sub-poblaciones es asiacutencrona y la frecuencia de migracioacuten es baja En este sentido el tener sub-poblaciones descentralizadas permite una mejor eficacia que cuando se tienen sub-poblaciones en panmixia Las tasas de aceleracioacuten tambieacuten se analizaron Bajas frecuencias de migracioacuten reportaron aceleraciones lineales para sub-poblaciones descentralizadas y super-lineales para sub-poblaciones en panmixia

Se ha podido verificar el funcionamiento de los AGPs ampliando la gama de problemas de prueba a aquellos del dominio continuo El uso de un esquema paralelo distribuido con sub-poblaciones en panmixia y un ciclo evolutivo de estado estable donde solamente una solucioacuten se actualiza en cada generacioacuten logroacute obtener soluciones de mejor calidad Ademaacutes de la influencia de la frecuencia con la que se ejecuta la operacioacuten de migracioacuten la seleccioacuten aleatoria de individuos migrantes demostroacute tambieacuten un mejor desempentildeo que la seleccioacuten de los mejores individuos para migrar El mejor desempentildeo continuacutea siendo a partir de la aplicacioacuten de frecuencias de migracioacuten bajas ahora en combinacioacuten con la seleccioacuten aleatoria de soluciones para migrar En problemas de optimizacioacuten en el dominio continuo con oacuteptimos locales engantildeosos en sus espacios de buacutesqueda los esquemas de sub-poblaciones descentralizadas superaron el desempentildeo de aquellos con sub-poblaciones en panmixia ademaacutes de responder mejor a frecuencias de migracioacuten altas Las tasas de aceleracioacuten tambieacuten se relacionan con la operacioacuten de la migracioacuten a frecuencias de migracioacuten alta se obtienen mayores tasas de aceleracioacuten en ambos esquemas poblacionales

Es posible tambieacuten considerar un esquema de AGPs con sub-poblaciones tanto en panmixia como descentralizadas utilizando un esquema de coacutemputo heterogeacuteneo distribuido Las tasas de

aceleracioacuten que se alcanzan en estos caso son super-lineales viacutea el esquema sub-poblacional mixto

En AGP celulares viacutea criterios de actualizacioacuten

En los AGPs de grano fino o celulares el concepto de sincronismo se asocia a los criterios de actualizacioacuten de las soluciones Se consideran diversos escenarios como son 1) barrido liacutenea a liacutenea 2) barrido fijo aleatorio 3) barrido aleatorio 4) seleccioacuten uniforme Cada unos de estos criterios de actualizacioacuten de soluciones se puede ejecutar de manera siacutencrona o asiacutencrona La actualizacioacuten siacutencrona se refiere a que la poblacioacuten completa se genera a partir de los individuos actuales En contraste la actualizacioacuten asiacutencrona quiere decir que los individuos se actualizan despueacutes de su proceso evolutivo a nivel local entonces los individuos en una generacioacuten han evolucionado de hijos generados durante esta

El barrido liacutenea a liacutenea es la forma maacutes sencilla de actualizar soluciones en una topologiacutea de malla con conexioacuten toroidal Haciendo el barrido secuencial de ubicacioacuten de las soluciones por liacutenea o por columna se ejecuta la actualizacioacuten de estas El barrido aleatorio fijo consiste en elegir de forma aleatoria una solucioacuten sin reemplazo con una probabilidad uniforme En cada generacioacuten se determina una distribucioacuten diferente para la actualizacioacuten de los individuos La actualizacioacuten uniforme elige de forma aleatoria con una probabilidad uniforme una solucioacuten con reemplazo Esto quiere decir que una solucioacuten puede ser actualizada maacutes de una vez en un mismo ciclo reproductivo

Tambieacuten se ha buscado modelar formalmente el comportamiento de los distintos criterios de actualizacioacuten de soluciones considerando ambos criterios de sincronismo Los criterios siacutencronos de actualizacioacuten presentan menores tasas de crecimiento de la mejor solucioacuten en la topologiacutea de malla Es decir la buacutesqueda se ejecuta promoviendo la exploracioacuten cuando se sigue un criterio de actualizacioacuten uniforme Aplicar un barrido aleatorio o lineal para la actualizacioacuten de soluciones representa tasas maacutes altas de crecimiento pero no alcanza a aquellas de las poblaciones en panmixia La principal caracteriacutestica que se aprecia es que las poblaciones en panmixia promueven la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda en mayor grado que los AGPs descentralizados o celulares

Finalmente se puede concluir despueacutes de la evaluacioacuten de los criterios siacutencronos y asiacutencronos en una variedad de problemas de optimizacioacuten combinatorios y del dominio continuo que la actualizacioacuten asiacutencrona de soluciones mejora el desempentildeo algoriacutetmico en teacuterminos de eficiencia y eficacia en comparacioacuten con el criterio asiacutencrono en teacuterminos del nuacutemero de generaciones necesarias para converger a la solucioacuten del problema

Discusioacuten En este capiacutetulo se presentaron los distintos esquemas poblaciones que se consideran en la paralelizacioacuten de los AGs Se introdujo el principal operador que distingue a estos esquemas evolutivos el operador de migracioacuten y su efecto en los procesos de buacutesqueda Tambieacuten se introdujeron de manera detallada los esquemas paralelos de AGs de grano fino o celulares y la manera en que las caracteriacutesticas estructurales de estos pueden afectar directamente la exploracioacuten y explotacioacuten del espacio de buacutesqueda Se abordoacute tambieacuten el tema de las aceleraciones que se pueden alcanzar viacutea la paralelizacioacuten de grano fino y grueso de los AGPs Este anaacutelisis incluye los escenarios teoacutericos y reales de las tasas de aceleracioacuten que se pueden alcanzar Finalmente se revisoacute el concepto de sincronismo en ambos esquemas de paralelizacioacuten el cual se observoacute que afecta de manera positiva el desempentildeo algoriacutetmico

Los esquemas paralelos de los algoritmos geneacuteticos permiten obtener un mejor desempentildeo de los procesos de buacutesqueda Sin embargo se debe considerar una serie de paraacutemetros que se necesitan definir y que requeriraacuten la intervencioacuten de un usuario Es importante destacar tambieacuten que la mejora en el desempentildeo se puede apreciar tanto a nivel algoriacutetmico como a nivel de procesamiento Es necesario tambieacuten indicar que la seleccioacuten de la plataforma de coacutemputo paralelo ya sea distribuida o no implicaraacute costos de comunicacioacuten que deben ser considerados para las tasas de aceleracioacuten que se pretendan alcanzar

Investigacioacuten de AGPs en Meacutexico En Meacutexico investigadoras e investigadores en distintas instituciones y centros de investigacioacuten se han dado a la tarea de explorar esquemas evolutivos que utilizan AGPs Por ejemplo esquemas de AGPs de grano fino para solucionar problemas de optimizacioacuten mono-objetivo sin restricciones y problemas combinatorios han sido desarrollados en El objetivo en esos trabajos es el estudio del efecto de las caracteriacutesticas estructurales en las topologiacuteas de poblacioacuten descentralizadas utilizando mallas conectadas de forma toroidal Distintos criterios fueron definidos para modificar en tiempo de buacutesqueda la forma de la topologiacutea y sin incrementar el costo computacional verificar la mejora del desempentildeo algoriacutetmico al evaluar una cama prueba con problemas mono-objetivo sin restricciones y combinatorios Los resultados obtenidos fueron alentadores y a partir de estos se extendioacute el estudio de las propiedades estructurales a manipular tambieacuten la dimensioacuten de la topologiacutea de malla y modificarla en tiempo de buacutesqueda resultados positivos de este estudio fueron reportados en

Debido al costo computacional de los AGs en general la aceleracioacuten de estos utilizando plataformas de coacutemputo especializadas ha sido un aacuterea de investigacioacuten tambieacuten desarrollada en Meacutexico Particularmente el disentildeo e implementacioacuten de un arreglo de procesadores flexible para

la aceleracioacuten de los AGs celulares utilizando dispositivos reconfigurables conocidos como arreglos de compuertas programables en el campo (FPGAs por sus siglas en Ingleacutes) se reportoacute en Este trabajo presenta una forma novedosa de dividir a la poblacioacuten descentralizada en un nuacutemero determinado de unidades de procesamiento especialmente disentildeadas para operadores evolutivos manteniendo las conexiones toroidales entre soluciones La flexibilidad del disentildeo consiste en poder definir de acuerdo a las necesidades de usuario el nuacutemero de unidades de procesamiento De este modo un nuacutemero mayor de unidades de procesamiento permitiraacute acelerar la ejecucioacuten del algoritmo y un nuacutemero menor de estas permitiraacute reducir el uso de recursos de hardware

En el aacutembito de la optimizacioacuten multi-objetivo desde la perspectiva del coacutemputo evolutivo utilizando esquemas poblacionales paralelos investigadores en Meacutexico han desarrollado un esquema con base en algoritmos geneacuteticos utilizando muacuteltiples resoluciones La propuesta algoriacutetmica llamada Algoritmo geneacutetico multi-objetivo con resolucioacuten muacuteltiple (MRMOGA por sus siglas en Ingleacutes) consiste de un conjunto de sub-poblaciones las cuales a nivel representacioacuten de soluciones evolucionan con resoluciones distintas lo cual implica la divisioacuten del espacio de buacutesqueda en regiones acotadas y traslapadas El desempentildeo alcanzado por MRMOGA supera los resultados reportados en esquemas evolutivos paralelos en teacuterminos de convergencia y evidencia la necesidad de profundizar el estudio de la escalabilidad de esquemas evolutivos paralelos

Para saber maacutes Dentro de la comunidad cientiacutefica dedicada a la investigacioacuten en las aacutereas de las teacutecnicas algoriacutetmicas evolutivas que desarrollan el concepto de paralelismo se han generado recursos bibliograacuteficos diversos de entre los cuales destacan

bull Algoritmos geneacuteticos paralelos por Gabriel Luque y Enrique Alba

bull Algoritmos evolutivos estructurados espacialmente por Marco Tomassini

bull Algoritmos geneacuteticos celulares por Bernabeacute Dorronsoro y Enrique Alba

bull Algoritmos geneacuteticos paralelos eficientes y precisos por Erick Cantuacute-Paz

Por otro lado entre los grupos de investigacioacuten que se desarrollan en el aacuterea destaca el liderado por el investigador Enrique Alba de la Universidad de Maacutelaga en Espantildea quien en colaboracioacuten con otros investigadores y estudiantes a puesto a disposicioacuten una serie de recursos relacionados en En particular en la seccioacuten de software se encuentran disponibles herramientas para el

disentildeo e implementacioacuten de algoritmos evolutivos paralelos tanto de grano grueso como de grano fino

Programacioacuten Geneacutetica Mario Graff

Daniela Moctezuma

Eric S Tellez

Sabino Miranda-Jimeacutenez

INFOTEC Centro de Investigacioacuten e Innovacioacuten en Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten Circuito Tecnopolo Sur No 112 Fracc Tecnopolo Pocitos II Aguascalientes

20313 Meacutexico CentroGEO Centro de Investigacioacuten en Ciencias de Informacioacuten Geoespacial Circuito

Tecnopolo Norte No 117 Col Tecnopolo Pocitos II CP Aguascalientes Ags 20313 Meacutexico CONACyT Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologiacutea Direccioacuten de Caacutetedras Insurgentes Sur

1582 Creacutedito Constructor Ciudad de Meacutexico 03940 Meacutexico

Introduccioacuten En este capiacutetulo se presenta una introduccioacuten a Programacioacuten Geneacutetica (PG) asiacute como la descripcioacuten de cada uno de los aspectos que la comprenden las perspectivas de este campo y las aacutereas donde se ha aplicado en Meacutexico PG es un algoritmo de buacutesqueda inspirado en los principios de la evolucioacuten de las especies de Charles Darwin (ver ) Particularmente PG engloba a un conjunto de teacutecnicas de coacutemputo evolutivo las cuales tienen como objetivo solucionar automaacuteticamente problemas partiendo de ejemplos del problema por resolver a traveacutes de expresiones evaluables o programas

La Programacioacuten Geneacutetica ha sido ampliamente utilizada en diferentes dominios siendo capaz de resolver una gran variedad de problemas de alta complejidad muchas veces mejorando las soluciones encontradas por humanos Por ejemplo en la competencia ndashldquoHumies rdquo celebrada 2

anualmente en el marco de la Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO) la cual premia sistemas bio-inspirados que mejoran las soluciones encontradas por humanos a problemas difiacuteciles mdashdesde 2004 y hasta 2017 PG ha sido galardonada con 8 medallas de oro 5 de plata y 1 de bronce En particular en esta competencia y utlizando PG Meacutexico ha obtenido

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Primera edicioacuten 2019 Academia Mexicana de Computacioacuten A C Todos los derechos reservados conforme a la ley ISBN

Este libro se realizoacute con el apoyo del CONACyT Proyecto No 293115

Queda prohibida la reproduccioacuten parcial o total directa o indirecta del contenido de esta obra sin contar con autorizacioacuten escrita de los autores en teacuterminos de la Ley Federal del Derecho de Autor y en su caso de los tratados internacionales aplicables

Impreso en Meacutexico Printed in Mexico

Computacioacuten Evolutiva

Carlos Artemio Coello Coello (Coordinador)

Con la colaboracioacuten de

Rafael Rivera Loacutepez

Efreacuten Mezura Montes

Alicia Morales Reyes

Mario Graff

Daniela Moctezuma

Eric S Tellez Sabino

Miranda Jimeacutenez

Carlos Segura

Joel Chacoacuten Castillo

Carlos A Brizuela

Julio Juaacuterez

Hugo Terashima Mariacuten

Santiago Enrique Conant Pablos

Joseacute Carlos Ortiz Bayliss

Ivaacuten Mauricio Amaya Contreras

Proacutelogo La computacioacuten evolutiva es un aacuterea de las ciencias de la computacioacuten que se enfoca al estudio de las propiedades de una serie de metaheurısticas estocaacutesticas (a las cuales se denomina de manera geneacuterica ldquoAlgoritmos Evolutivosrdquo) inspiradas en la teorıa de la evolucioacuten de las especies formulada por Charles Darwin seguacuten la cual los individuos ldquomaacutes aptosrdquo a su ambiente tienen una mayor probabilidad de sobrevivir

Una metaheurıstica es un procedimiento de buacutesqueda de alto nivel que aplica una regla o conjunto de reglas que se basa(n) en una fuente de conocimiento El eacutenfasis de las metaheurısticas es explorar el espacio de buacutesqueda de manera relativamente eficiente es decir mejor que lo que harıa una buacutesqueda exhaustiva aunque no necesariamente oacuteptima Las metaheurısticas suelen considerarse tambieacuten como teacutecnicas de buacutesqueda y optimizacioacuten de uso general pese a sus limitantes teoacutericas (en general las metaheurısticas no pueden garantizar convergencia al oacuteptimo global) Otro rasgo distintivo de las metaheurısticas es que suelen requerir poca informacioacuten especıfica del problema y son uacutetiles cuando el espacio de buacutesqueda es muy grande poco conocido yo con dificultades para explorarlo Cuando se usan para optimizacioacuten no pueden garantizar en general que convergeraacuten a la mejor solucioacuten posible (es decir al oacuteptimo global del problema) si bien en la praacutectica suelen producir aproximaciones razonablemente buenas en tiempos razonablemente cortos

Los algoritmos evolutivos son metaheurısticas estocaacutesticas porque su comportamiento se basa en el uso de nuacutemeros aleatorios y en operadores probabilısticos En consecuencia no siempre producen el mismo resultado cada vez que se ejecutan con los mismos datos de entrada

En Meacutexico existe un nuacutemero importante de investigadores trabajando en diferentes aacutereas de la computacioacuten evolutiva y este libro intenta proporcionar un asomo a la diversidad de temas en los que se hace investigacioacuten en nuestro paıs Los seis capıtulos que conforman este libro estaacuten escritos como tutoriales breves que pretender introducir al lector a ciertos temas especıficos de computacioacuten evolutiva En todos los casos se describe brevemente parte del trabajo que han realizado algunos grupos de investigacioacuten en Meacutexico en torno a estos temas

El capıtulo 1 presenta una introduccioacuten a la ldquoevolucioacuten diferencialrdquo que es un tipo de algoritmo evolutivo que se ha vuelto muy popular en la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten no lineal Los autores proporcionan una descripcioacuten general de este tipo de algoritmo evolutivo incluyendo el funcionamiento de sus operadores de cruza y mutacioacuten y las diferencias entre sus variantes principales

El capıtulo 2 describe los conceptos baacutesicos de los ldquoalgoritmos geneacuteticos paralelosrdquo a partir de una taxonomıa muy sencilla basada en la granularidad de la paralelizacioacuten enfatizando las diferencias que existen entre los esquemas homogeacuteneos y heterogeacuteneos ası como entre el paralelismo sıncrono y el asıncrono

El capıtulo 3 se enfoca a una variante del algoritmo geneacutetico denominada ldquoprogramacioacuten geneacuteticardquo en la cual se usa una representacioacuten de aacuterbol (la cual permite evolucionar programas) en vez de las cadenas binarias de longitud fija del algoritmo geneacutetico tradicional La programacioacuten geneacutetica ha tomado una gran relevancia en antildeos recientes sobre todo por su aplicabilidad a problemas de aprendizaje y clasificacioacuten

El capıtulo 4 se enfoca en un tema muy importante en computacioacuten evolutiva del cual no suele hablarse mucho la importancia de la diversidad en el disentildeo de un algoritmo evolutivo Los autores hacen una revisioacuten de diversas teacutecnicas que se han propuesto para lidiar con la convergencia prematura (la cual suele ser consecuencia de una peacuterdida abrupta de diversidad en la poblacioacuten) Adicionalmente se incluye un pequentildeo estudio en el que se analizan dos teacutecnicas para mantener diversidad

El capıtulo 5 presenta un tutorial de otra aacuterea que ha tomado gran relevancia en antildeos recientes la optimizacioacuten evolutiva multi-objetivo la cual se enfoca a la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten que tienen dos o maacutes objetivos (normalmente en conflicto entre sı) que deseamos optimizar al mismo tiempo Ademaacutes de proporcionar los conceptos baacutesicos de esta aacuterea se describen brevemente los algoritmos evolutivos multi-objetivo maacutes utilizados en la actualidad ası como las medidas principales de desempentildeo que se utilizan en la literatura especializada En la parte final del capıtulo se describen tambieacuten algunos de los temas de investigacioacuten en los que se estaacute trabajando maacutes dentro de esta aacuterea en la actualidad

El capıtulo 6 estaacute dedicado a las hiper-heurısticas que son teacutecnicas que buscan proporcionar maacutes flexibilidad que los algoritmos evolutivos tradicionales al ser capaces de adaptarse a diversos tipos de problemas y a diferentes instancias de una misma clase de problemas Las hiper-heurısticas son el eslaboacuten intermedio entre las limitantes teoacutericas relacionadas con la aplicabilidad de las metaheurısticas y el anhelado suentildeo del disentildeo automatizado de algoritmos y

constituyen sin lugar a dudas uno de los temas maacutes ricos de investigacioacuten dentro de las metaheurısticas

Doctor Carlos Artemio Coello Coello

Indice general

Proacutelogo 5

Introduccioacuten 13

El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial 15

Mutacioacuten 16

Cruza 18

Seleccioacuten 20

Estructura del Algoritmo 20

Modificaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial 21

Ajuste de paraacutemetros globales 22

Ajuste de paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten 23

Ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten 26

Combinacioacuten de variantes 27

Evolucioacuten Diferencial para otros tipos de problemas 29

DE en Meacutexico 30

Conclusiones 30

Para saber maacutes 31

Introduccioacuten 32

AGds homogeacuteneos y heterogeacuteneos 35

Migracioacuten en AGPs 37

AGs celulares o de grano fino 39

Explotacioacutenexploracioacuten por propiedades estructurales 40

Presioacuten de seleccioacuten por caracteriacutesticas estructurales 43

Anaacutelisis empiacuterico 45

Aceleracioacuten en AGP 46

Concepto de sincronismo en AGPs 47

En AGPs distribuidos viacutea migracioacuten 48

En AGP celulares viacutea criterios de actualizacioacuten 49

Discusioacuten 50

Investigacioacuten de AGPs en Meacutexico 50

Para saber maacutes 51

Introduccioacuten 53

Proceso evolutivo 55

Representacioacuten 56

Poblacioacuten inicial 58

Operadores Geneacuteticos 59

Recombinacioacuten 59

Mutacioacuten 60

Seleccioacuten 61

Espacio de buacutesqueda 62

Conclusiones 63

Para saber maacutes 63

Introduccioacuten 64

Preservacioacuten de diversidad en algoritmos evolutivos 67

Clasificaciones de mecanismos para promover la diversidad 67

Esquemas claacutesicos para administrar la diversidad 68

Esquemas de reemplazamiento basados en diversidad 69

Diversidad en evolucioacuten diferencial 71

Disentildeo de evolucioacuten diferencial basado en diversidad 72

Evolucioacuten diferencial Conceptos baacutesicos 72

Inicializacioacuten 72

Operador de mutacioacuten 72

Operador de cruza 73

Operador de seleccioacuten 73

Propuesta basada en diversidad 74

Resultados de de-edm 77

Disentildeo de operadores de cruza basados en diversidad 87

Algoritmos evolutivos multi-objetivo 87

Operadores de cruza 89

El operador de cruza basado en simulacioacuten binaria - SBX 89

Implementacioacuten y anaacutelisis del operador sbx 90

Propuesta - dsbx 92

Resultados 93

Anaacutelisis de cada modificacioacuten en el operador sbx 95

Modificacioacuten simultaacutenea de varios componentes 96

Conclusiones y trabajo futuro 97

Para saber maacutes 98

Agradeciemientos 99

Introduccioacuten 100

Fundamentos de las Hiper-heuriacutesticas 102

Hiper-heuriacutesticas que seleccionan heuriacutesticas 103

Hiper-heuriacutesticas que generan nuevas heuriacutesticas 105

Modelos de Hiper-heuriacutesticas 106

Modelos Evolutivos 106

Hiper-Heuriacutesticas basadas en Algoritmos Geneacuteticos 106

Hiper-Heuriacutesticas basadas en Programacioacuten Geneacutetica 107

Modelos Neuronales 109

Un ejemplo 109

El problema 110

Las alternativas 110

La informacioacuten del problema 111

Nuestra primer hiper-heuriacutestica 112

Otras hiper-heuriacutesticas 112

Las hiper-heuriacutesticas como un problema de optimizacioacuten 113

Aspectos Avanzados de las Hiper-heuriacutesticas 115

Hiacuteper-heuriacutesticas para Problemas Multi-objetivo 115

Transformacioacuten de Caracteriacutesticas en Hiper-heuriacutesticas 117

Tendencias Futuras de Hiper-heuriacutesticas 119

Para saber maacutes 121

Conclusiones 122

Evolucioacuten Diferencial una breve introduccioacuten Rafael Rivera Loacutepez

Efreacuten Mezura Montes

En este capiacutetulo se hace una descripcioacuten general del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Este tipo de algoritmo evolutivo representa una excelente alternativa para encontrar soluciones cercanas al oacuteptimo a problemas de optimizacioacuten continua complejos Debido a la simplicidad de su implementacioacuten y sus excelentes habilidades de exploracioacuten y explotacioacuten diversas variantes de este algoritmo se han aplicado para resolver problemas con diferentes caracteriacutesticas En este capiacutetulo se describen los elementos baacutesicos del algoritmo asiacute como las diferentes variantes que se han desarrollado para mejorar su desempentildeo

Introduccioacuten Con el nombre de algoritmos evolutivos se identifica a un grupo de procedimientos que se utilizan para resolver muchos problemas praacutecticos y que se distinguen de otras teacutecnicas porque estaacuten inspirados en las teoriacuteas que sintetizan la evolucioacuten Darwiniana y la herencia geneacutetica descrita por Mendel Los algoritmos evolutivos han probado ser herramientas poderosas para encontrar soluciones aceptables a problemas donde otras teacutecnicas fallan o consumen una excesiva cantidad de tiempo Estos algoritmos se destacan por combinar exitosamente dos mecanismos de buacutesqueda exploracioacuten y explotacioacuten La exploracioacuten permite identificar aacutereas prometedoras del espacio de buacutesqueda y la explotacioacuten lleva a cabo una buacutesqueda especializada dentro de estas aacutereas para encontrar soluciones cercanas al oacuteptimo Su aplicacioacuten se extiende en praacutecticamente todas las aacutereas de la actividad humana como por ejemplo en salud educacioacuten ciencias industria economiacutea y defensa Los algoritmos evolutivos tambieacuten han sido utilizados en aacutereas emergentes como la ciencia de datos la inteligencia de negocios y el big data En estos algoritmos un conjunto de soluciones candidatas evoluciona para alcanzar una solucioacuten cercana al oacuteptimo por la aplicacioacuten de procedimientos que permiten recombinar y alterar sus valores En la jerga de los especialistas del aacuterea una solucioacuten candidata se conoce como individuo al conjunto de soluciones se denomina poblacioacuten y los procedimientos involucrados en el proceso evolutivo se identifican como operadores de seleccioacuten cruzamiento y mutacioacuten Comuacutenmente dos individuos son seleccionados y sus valores son recombinados y algunas veces mutados para crear nuevas soluciones candidatas Los nuevos individuos son considerados parte de una nueva poblacioacuten que sustituye a la anterior Entonces una secuencia de nuevas poblaciones son creadas hasta que una condicioacuten de teacutermino es alcanzada y la mejor solucioacuten de

las uacuteltima poblacioacuten es seleccionada como resultado del algoritmo Este proceso evolutivo es guiado por una funcioacuten de aptitud que determina la calidad de cada individuo en la poblacioacuten La figura 1 muestra el esquema general de un algoritmo evolutivo

Esquema general de un algoritmo evolutivo

A lo largo de su desarrollo histoacuterico varios tipos de algoritmos evolutivos han sido implementados difiriendo en la forma de representar a sus individuos y en la implementacioacuten de sus operadores geneacuteticos Auacuten cuando en los antildeos 50 varios autores introducen los teacuterminos evolucioacuten y proceso evolutivo en sus propuestas para resolver diversos problemas es en los antildeos 60 cuando se sientan las bases del desarrollo de los algoritmos evolutivos con la introduccioacuten de tres teacutecnicas la Programacioacuten Evolutiva las Estrategias Evolutivas y los Algoritmos Geneacuteticos Fogel propone en 1962 la Programacioacuten Evolutiva donde las soluciones candidatas se representan con maacutequinas de estados finitos y Rechenberg y Schwefel en 1965 desarrollan las Estrategias Evolutivas que codifican sus individuos con vectores de nuacutemeros reales Los Algoritmos Geneacuteticos introducidos en 1962 por Holland son sin duda el tipo de algoritmo evolutivo maacutes popular Estos algoritmos tradicionalmente utilizan una cadena binaria para representar a sus individuos aunque tambieacuten se han utilizado cadenas de enteros y secuencias de nuacutemeros reales Desarrollos posteriores a estas teacutecnicas han aportado al eacutexito de los algoritmos evolutivos destacaacutendose la Programacioacuten Geneacutetica los Algoritmos Coevolutivos los Algoritmos Culturales el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial los Algoritmos de Estimacioacuten de Distribuciones la Evolucioacuten Gramatical y la Programacioacuten de Expresioacuten de Genes Cada uno de estos algoritmos tienen sus ventajas y sus propios desafiacuteos y han sido utilizados para resolver diferentes tipos de problemas La figura 2 muestra un esquema del desarrollo histoacuterico de los

algoritmos evolutivos En particular el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial ha demostrado ser muy competitivo y exitoso para resolver problemas numeacutericos complejos en comparacioacuten con otros algoritmos

Liacutenea del tiempo del desarrollo de los algoritmos evolutivos

El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Evolucioacuten Diferencial (DE por sus siglas en ingleacutes) es un tipo de algoritmo evolutivo que fue originalmente disentildeado por Storn y Price en 1995 para resolver problemas de optimizacioacuten continua En particular en este algoritmo cada individuo usualmente se representa con un vector de valores continuos de paraacutemetros Ademaacutes en lugar de implementar los operadores de cruza y mutacioacuten tradicionales el algoritmo crea cada nuevo individuo con una combinacioacuten lineal de los valores de dos o maacutes individuos de la poblacioacuten actual que son seleccionados al azar La forma en que se implementan los operadores de cruza y mutacioacuten se ha utilizado en la literatura para identificar las diferentes variantes del algoritmo DEABC es la notacioacuten comuacutenmente usada para nombrar estas variantes donde A y B determinan el tipo de mutacioacuten implementado y C identifica el tipo de cruza implementado por la variante En particular A representa el procedimiento de seleccioacuten de los individuos para construir el individuo mutado y B es el nuacutemero de vectores diferencia usados para el operador de mutacioacuten DE puede considerarse un proceso de tres pasos que incluye una fase de inicializacioacuten el proceso evolutivo y el paso final que determina el resultado obtenido La fase de inicializacioacuten involucra la seleccioacuten y evaluacioacuten de un grupo de NP individuos que son generados aleatoriamente de un espacio de buacutesqueda finito los cuales se utilizan como poblacioacuten inicial del algoritmo conocido como Si para cada y son los valores miacutenimo y maacuteximo del -eacutesimo paraacutemetro en el valor del -eacutesimo individuo en la poblacioacuten inicial es determinado como sigue

x = (x1 x2 hellip xn) n

Ω sube ℝn

X0 j isin 1 hellip n xminj xmax

jj Ω xi

j i xi

donde es un nuacutemero aleatorio uniformemente distribuido dentro del rango El proceso evolutivo implementa un esquema iterativo para evolucionar la poblacioacuten inicial En cada iteracioacuten de este proceso conocido como una generacioacuten una nueva poblacioacuten de individuos es generada utilizando informacioacuten de la poblacioacuten previamente creada A diferencia de otros algoritmos evolutivos el orden de aplicacioacuten de los operadores geneacuteticos en el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial es diferente Primero se aplica la mutacioacuten despueacutes la cruza y al final se lleva a cabo la seleccioacuten del mejor individuo Para cada en la generacioacuten es obtenido de la poblacioacuten y es utilizado para crear un nuevo vector aplicando los operadores de cruza y mutacioacuten Los vectores y son conocidos como el vector objetivo y el vector de prueba respectivamente Estos vectores son evaluados por el operador de seleccioacuten para actualizar la nueva poblacioacuten Los operadores de mutacioacuten cruza y seleccioacuten son descritos en detalle en los siguientes paacuterrafos En el paso final cuando una condicioacuten de paro es alcanzada el algoritmo devuelve el mejor individuo en la poblacioacuten actual La condicioacuten de paro maacutes comuacutenmente utilizada es comparar el nuacutemero de generaciones construidas contra un valor fijo pero otros criterios pueden ser implementados como aquellos descritos por Zielinski y Laur

Mutacioacuten Un vector mutado es construido al combinar los valores de varios individuos aleatoriamente seleccionados de El nuacutemero de individuos seleccionados para realizar la combinacioacuten depende del operador de mutacioacuten implementado por la variante del algoritmo En alguna de estas variantes el individuo con la mejor aptitud en la poblacioacuten es tambieacuten utilizado por el operador de mutacioacuten Entre los diferentes operadores de mutacioacuten descritos en la literatura destacan los siguientes

$$beginaligned

textDErand1quad v^i amp= x^r_1 + textF big( x^r_2 - x^r_3 big)labeleqmut_1

textDEbest1quad v^i amp= x^textbest + textF big( x^r_1 - x^r_2 big) labeleqmut_2

textDEcurrent-to-best1quad v^i amp= x^i + textF big( x^textbest - x^r_1big) + textF big( x^r_2 - x^r_3 big) labeleqmut_3

xij = xmin

j + r (xmaxj minus xmin

j )

r [0 1]

i isin 1 hellip NP g xi

Xgminus1 ui

xi ui

Xgω

vi xrj

Xgminus1

xbest Xgminus1

textDErand2quad v^i amp= x^r_1 + textF big( x^r_2 - x^r_3 big)+textF big( x^r_4 - x^r_5 big) labeleqmut_4

shortintertexty

textDEbest2quad v^i amp= x^textbest + textF big( x^r_1 - x^r_2 big )+ textF big( x^r_3 - x^r_4 big ) labeleqmut_5 endaligned$$

donde F es un valor definido por el usuario que representa un factor de escala aplicado para controlar la variacioacuten diferencial Storn y Price sentildealan que F puede fijarse entre 0 y 2 pero otros autores recomiendan valores entre 04 y 1 En la figura 3 se presenta un ejemplo de la aplicacioacuten del operador de mutacioacuten DErand1 En este ejemplo = = y = Usando F igual a 05 el vector mutado resultante es =

Ejemplo de la creacioacuten de un vector mutado con el esquema DErand1

La mutacioacuten aporta a las habilidades de explotacioacuten y exploracioacuten del meacutetodo Debido a que al inicio del proceso evolutivo los individuos se encuentran relativamente dispersos en el espacio

xr1 (1056 316) xr2

(253 903) xr3 (56 626) vi

(902 454)

de buacutesqueda la diferencia entre los vectores seleccionados es grande por lo que los vectores mutados pueden ubicarse en diferentes aacutereas del espacio de buacutesqueda pero a medida que el proceso evolutivo avanza las soluciones se vuelven maacutes cercanas y las diferencias entre ellos son maacutes pequentildeas lo que produce que los vectores mutados se encuentran concentrados en aacutereas promisorias del espacio de buacutesqueda

Cruza El operador de cruza se utiliza para combinar la informacioacuten entre el vector objetivo y el vector mutado para construir el vector de prueba Por cada o se seleccionan para construir usando un factor de cruza el cual es tambieacuten un valor especificado por el usuario Dos tipos de cruza se utilizan en este caso cruza binomial y cruza exponencial

Cruza binomial En este operador cada valor asignado a es seleccionado de o de comparando el valor CR con un valor seleccionado al azar Para garantizar que al menos un paraacutemetro de toma un valor de este operador utiliza un valor tambieacuten seleccionado al azar Formalmente la cruza binomial se define como

Tomando el vector mutado = del ejemplo de la figura 3 y un vector objetivo = en la figura 4 se muestra un ejemplo de la creacioacuten de un vector de prueba usando la cruza binomial El vector de prueba generado en este ejemplo es =

xr2 minus xr3

j isin 1 hellip n xij vi

jui CR isin [0 1]

ui vi xi

r isin [0 1] ui

vi l isin 1 hellip n

bin uij =

vij si r le CR or j = l

xij de otra forma

vi (902 454) xi

(406 766)ui (406 454)

Ejemplo de la creacioacuten de un vector de prueba usando la cruza binomial

Cruza exponencial Este operador de cruza asigna una secuencia de valores de a Los valores restantes que son asignados a son obtenidos de El tamantildeo de la secuencia se determina con dos valores 1) un iacutendice que representa la posicioacuten inicial de la secuencia en seleccionado aleatoriamente dentro del rango y 2) el nuacutemero de intentos consecutivos en los cuales determina la posicioacuten final de la secuencia como es definida en la Ec ([eqcr_exp]) La cruza exponencial es similar al operador de cruza de dos puntos introducido por Cavicchio

$$beginaligned

textexpquad u_j^i amp=

begincases

v_j^i amp textsi $ l leq j leq min (l+L-1n)$

vi ui

ui xi

l vi

1 hellip n L le n r le CR

x_j^i amp textde otra forma

endcases labeleqcr_expendaligned$$

Por ejemplo si se tienen dos vectores de cinco paraacutemetros = y = y se aplica el operador de cruza exponencial usando un factor de cruza de 06 entonces se debe obtener el valor de y despueacutes generar una secuencia de valores aleatorios para Si =2 y la secuencia de valores de es 06 03 04 y 06 y el vector de prueba que se construye es =

La cruza ayuda al algoritmo a mantener la diversidad de la poblacioacuten y eventualmente evitar que caiga en oacuteptimos locales El valor de CR es complicado de determinar pero algunos autores sentildealan que su valor puede ajustarse entre 03 y 09

Seleccioacuten Un torneo uno-a-uno es aplicado para determinar cual vector entre y es seleccionado como miembro de la nueva poblacioacuten Este esquema de seleccioacuten permite garantizar que el proceso evolutivo mantenga una mejora continua

Estructura del Algoritmo El Algoritmo [algDE] muestra la estructura de una implementacioacuten claacutesica del algoritmo Eacuteste requiere de tres paraacutemetros para controlar el proceso evolutivo (CR F y NP) y tambieacuten la seleccioacuten de un espacio de buacutesqueda para construir la poblacioacuten inicial y la definicioacuten del tamantildeo de individuo de una funcioacuten objetivo para evaluar cada individuo y de una condicioacuten de paro para finalizar el proceso evolutivo

Entrada Salida Un individuo generado aleatoriamente usando la Ec ([eqinicial]) Vector objetivo obtenido aleatoriamente de Vector mutado generado usando alguna de las Ecs ([eqmut_1])ndash([eqmut_5]) Vector de prueba construido usando alguna de las Ecs ([eqcr_bin])ndash([eqcr_exp])

DE tiene varias ventajas en comparacioacuten con otros algoritmos evolutivos como la simplicidad de su implementacioacuten su habilidad para producir mejores resultados que aquellos obtenidos por los demaacutes y su baja complejidad espacial

vi (24 36 12 78 02) xi

(34 96 12 52 31)l

r l rui (24 96 12 52 02)

xi ui

Xg

g larr 0 Xg larr xi larrXg larr Xg cup (i xi) g larr g + 1 Xg larr xi larr

Xgminus1 vi larrui larrXg larr Xg cup (i ui) Xg larr Xg cup (i xi) xbest

Modificaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Aunque DE requiere de la definicioacuten de un nuacutemero menor de paraacutemetros en comparacioacuten con el nuacutemero de paraacutemetros requeridos por otros algoritmos evolutivos su desempentildeo es sensible a los valores seleccionados de CR F y NP Varios autores sentildealan que los valores adecuados para estos paraacutemetros pueden variar para diferentes problemas y es conocido que la definicioacuten de estos paraacutemetros depende de las caracteriacutesticas propias de cada problema Ademaacutes Lampinen y Zelinka sentildealan que este algoritmo puede presentar el problema de estancamiento debido a una incorrecta seleccioacuten de sus paraacutemetros El estancamiento en un algoritmo se presenta cuando eacuteste no converge a alguna solucioacuten y la poblacioacuten presenta una gran diversidad de individuos Por lo anterior la mayoriacutea de los estudios realizados para mejorar el desempentildeo del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial se relacionan con teacutecnicas para ajustar los valores de sus paraacutemetros (F CR y NP) y para combinar las ventajas de las diferentes variantes del algoritmo usando un subconjunto de ellas en lugar de solamente aplicar una variante En los siguientes paacuterrafos se describen las propuestas para mejorar el desempentildeo del algoritmo que se consideran los maacutes representativos en la literatura especializada Para simplificar su descripcioacuten estas propuestas se agrupan de acuerdo al criterio utilizado Ajuste de paraacutemetros y combinacioacuten de variantes Por un lado debido a que F y CR son los paraacutemetros del algoritmo maacutes estudiados y donde maacutes variantes de mejora han sido desarrolladas estos estudios se agrupan en enfoques que usan paraacutemetros globales y enfoques que usan paraacutemetros para cada individuo Adicionalmente se presentan los enfoques relacionados con el ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten y tambieacuten aquellos donde se modifica la forma que generar los vectores mutados dentro del proceso evolutivo La figura 5 presenta un esquema del desarrollo histoacuterico de estos enfoques

Liacutenea del tiempo de las modificaciones a DE

Ajuste de paraacutemetros globales En estos enfoques los operadores geneacuteticos utilizan los mismos valores para F y CR en todos los individuos de una misma poblacioacuten como se ilustra en la figura 6 Estos valores se actualizan al finalizar cada generacioacuten con el aacutenimo de mejorar las habilidades de exploracioacuten y explotacioacuten del algoritmo Dos enfoques se concentran en ajustar el valor de F manteniendo fijo el valor de CR En 2004 Ali y Toumlrn lo actualizan considerando la aptitud del mejor y del peor individuo en la poblacioacuten y Das et al en 2005 proponen dos enfoques para modificar su valor el primero lo modifica de forma aleatoria y el segundo reduce su valor de forma lineal conforme el proceso evolutivo avanza Por otro lado Liu y Lampinen en 2005 proponen un enfoque diferente al cual denominan FADE (Fuzzy Adaptive DE algorithm) En este algoritmo los valores de F y CR se ajustan usando un sistema de control loacutegico difuso El sistema utiliza las diferencias entre generaciones sucesivas tanto de los valores de los individuos como de sus valores de aptitud Finalmente Dra et al en 2015 proponen una versioacuten alternativa denominada SinDE (Sinusoidal DE) en donde los valores de F y CR se ajustan utilizando foacutermulas trigonomeacutetricas permitiendo cambiar la direccioacuten del vector diferencia dentro del operador de mutacioacuten

Esquema de ajuste de paraacutemetros globales del algoritmo

Ajuste de paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten En este tipo de algoritmos cada individuo de la poblacioacuten tiene asociado su propio conjunto de paraacutemetros como se muestra en la figura 7 Estos paraacutemetros se ajustan de forma independiente dentro del proceso evolutivo como se esquematiza en la figura 8

Paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten

En 2005 Omran et al asocian el valor de F a cada individuo de la poblacioacuten en su meacutetodo denominado SDE (self-adaptive DE) Este meacutetodo actualiza el valor de F combinando los valores de F de tres individuos de la poblacioacuten actual que son seleccionados aleatoriamente En 2006 Brest et al describen su meacutetodo denominado jDE donde los valores de F y CR se pueden modificar en cada iteracioacuten del proceso evolutivo basados en una decisioacuten estocaacutestica utilizando un par de umbrales previamente definidos En 2007 Zhang y Sanderson implementan un meacutetodo conocido como JADE donde F y CR son ajustados utilizando distribuciones normales independientes cuya media es calculada usando el promedio de los vectores mutados mejor adaptados en cada iteracioacuten En 2011 Ghosh et al actualizan los valores de estos paraacutemetros en base al valor de aptitud de los individuos en la poblacioacuten en un meacutetodo denominado FiADE (Fitness-Adaptive DE) Una versioacuten parecida es presentada en 2015 por Tang et al en el meacutetodo llamado IDE (DE with an individual-dependent mechanism) En 2011 Bi y Xiao describen el meacutetodo p-ADE (pbest vector-based self-adaptive DE variant) donde el vector mutado se crea usando el mejor individuo en la poblacioacuten y el mejor de los vectores que se utilizaron para crear al vector objetivo Los valores de F y CR de cada individuo son ajustados usando un factor asociado a las mejores y peores aptitudes de los individuos en la poblacioacuten En 2012 Islam et al introdujeron el meacutetodo llamado MDEpBX (modified DE with p-best crossover) donde se modifica la variante DEcurrent-to-best1 al utilizar el mejor elemento de un grupo de individuos seleccionados aleatoriamente de la poblacioacuten actual en lugar de usar el mejor individuo de la poblacioacuten Los valores de los paraacutemetros se ajustan en base a un par de distribuciones independientes que son actualizadas al final de cada generacioacuten En 2013 Tanabe y Fukunaga implementan el meacutetodo SHADE (Success-History based Adaptive DE) que basaacutendose en JADE actualiza los valores de F y CR usando una memoria de los vectores mutados que han sido exitosamente seleccionados previamente dentro del proceso evolutivo A partir de SHADE

varias versiones se han desarrollado como el meacutetodo L-convSHADE (SHADE using covariance matrix learning with Euclidean Neighborhood) y el meacutetodo LSHADE-SPA (LSHADE with semi parameter adaptation) En 2016 Leon y Xiong introducen una estrategia voraz para actualizar los valores de los paraacutemetros de cada individuo en el meacutetodo llamado GADE (Greedy Adaptive DE) Se utilizan los valores de los paraacutemetros de las soluciones vecinas para ajustar los paraacutemetros del nuevo vector mutado Finalmente Mohamed y Mohamed en 2017 proponen el meacutetodo denominado AGDE (Adaptive guided DE)

Esquema de ajuste de paraacutemetros para cada individuo de la poblacioacuten

Ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten En los enfoques descritos previamente solamente se ajustan los valores de F y CR manteniendo el tamantildeo de la poblacioacuten constante Diversos estudios indican que el tamantildeo de la poblacioacuten tambieacuten afecta al desempentildeo de un algoritmo evolutivo por lo que existen trabajos que se han centrado en ajustar el tamantildeo de la poblacioacuten para garantizar la convergencia del algoritmo Existen algunos enfoques donde se ajusta el tamantildeo de la poblacioacuten y se describiraacuten a continuacioacuten En la figura 9 se muestra el esquema general en que estos enfoques ajustan el tamantildeo de la poblacioacuten durante el proceso evolutivo

Esquema general del ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten en DE

En 2006 Teo describe el meacutetodo DESAP (Differential Evolution with self-adapting populations) donde el tamantildeo de la poblacioacuten se ajusta usando un factor distribuido uniformemente entre 0 y 1 En 2008 Brest y Sepesy Maučec presentan el algoritmo dynNP-DE (DE con NP dinaacutemico) donde van reduciendo a la mitad el tamantildeo de la poblacioacuten conforme el proceso evolutivo progresa Utilizando el nuacutemero total de evaluaciones y un paraacutemetro que indica el nuacutemero de posibles reducciones el algoritmo establece en queacute generaciones el algoritmo reduciraacute el tamantildeo de la poblacioacuten En 2014 Tanabe y Fukunaga presentaron una versioacuten con ajuste de poblacioacuten del meacutetodo SHADE denominada L-SHADE donde se aplica una reduccioacuten lineal del tamantildeo de la poblacioacuten previo a una ordenacioacuten a los individuos por su aptitud que permite eliminar solo

los individuos peor adaptados En 2017 Bujok y Tvrdiacutek describen el meacutetodo IDEbd (IDE with Population Size Adaptation) en donde el tamantildeo de la poblacioacuten es adaptado usando un factor calculado en base al nivel de diversidad de la poblacioacuten actual

Combinacioacuten de variantes Debido a la forma de combinar los individuos para crear el vector de prueba de cada una de las variantes de DE estaacutes presentan diferentes capacidades de exploracioacuten y explotacioacuten ademaacutes de que son maacutes efectivas para diferentes tipos de problemas Por ejemplo la variante DErand1 es mejor para explorar el espacio de buacutesqueda pero tiene una velocidad de convergencia lenta y DEbest1 converge maacutes raacutepido hacia soluciones cercanas a la oacuteptima pero solo para problemas con un uacutenico oacuteptimo global (unimodales) Debido a que usar diferentes estrategias de mutacioacuten durante diferentes momentos del proceso evolutivo pueden ser mejor que usar una sola variante durante todo el proceso varios autores se han enfocado en desarrollar estrategias para combinar diferentes variantes de DE y lograr con esto que cooperen en la creacioacuten de un mejor vector objetivo La figura 10 muestra un esquema general de la forma en que se aplican estas estrategias dentro del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial

Esquema general de la estrategia de combinacioacuten de variantes de DE

En 2005 Qin y Suganthan describieron una versioacuten conocida como SADE (Self-Adaptive DE algorithm for numerical optimization) donde introducen un esquema que selecciona de forma alternada una de dos variantes del algoritmo de acuerdo a su tasa de eacutexito dentro del proceso evolutivo En 2009 Das et al presentaron el meacutetodo llamado DEGL (DE with Global and Local Neighborhoods) donde cada nuevo vector mutado se crea combinando dos vectores uno construido usando una vecindad del vector objetivo (vector local) y otro creado usando el mejor

individuo de la poblacioacuten (vector global) En 2011 Mallipeddi et al asignaron a cada individuo de la poblacioacuten el tipo de variante para generar el vector mutado y los valores para F y CR en el meacutetodo EPSDE (Ensemble of mutation strategies and parameters in DE) Tanto el tipo de variante como los valores de los paraacutemetros se escogen aleatoriamente de un grupo de ellos que es previamente definido Dependiendo del eacutexito de la aplicacioacuten de dichos valores eacutestos se pueden cambiar durante el proceso evolutivo Tambieacuten en ese mismo antildeo Wang et al en su meacutetodo CoDE (Composite DE) crean tres vectores para cada vector objetivo Cada vector es construido usando variantes diferentes y con paraacutemetros generados aleatoriamente El mejor de los tres vectores se usa como vector de prueba para aplicar el operador de seleccioacuten Adicionalmente Zhao et al implementaron un meacutetodo muy similar denominado SaDE-MMTS (SaDE with a modified multi-trajectory search) donde el vector mutado se selecciona de entre los vectores generados por tres diferentes variantes del algoritmo pero la seleccioacuten se hace en base a una probabilidad que iterativamente se ajusta en base a la cantidad de vectores mutados que son exitosamente seleccionados En 2017 Ghosh et al propusieron el meacutetodo NRDE (Noise Resilient DE) donde cada individuo puede ser mutado por alguna de dos variantes con igual probabilidad Los valores de F y CR son ajustados para cada individuo basado en un rango preestablecido previamente

Evolucioacuten Diferencial para otros tipos de problemas Aunque DE fue definido originalmente para resolver problemas de optimizacioacuten continua sin restricciones tambieacuten se ha utilizado con eacutexito para resolver otros tipos de problemas como aquellos donde los valores de las variables del problema son discretos donde el espacio de buacutesqueda estaacute limitado por una o maacutes restricciones y aquellos donde se manejan dos o mas objetivos Prado et al describe varias adaptaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial para problemas de optimizacioacuten combinatoria como aquellos que implementan una matriz de permutacioacuten los que obtienen una secuencia ordenada de valores y los que aplican una transformacioacuten de los valores continuos al espacio discreto En el caso de los problemas de optimizacioacuten con restricciones Mezura-Montes et al describen varios enfoques que se han utilizado para aplicar DE en este tipo de problemas como aquellos que utilizan teacutecnicas para eliminar o reparar soluciones infactibles y los que implementan teacutecnicas de penalizacioacuten Finalmente para problemas de optimizacioacuten multi-objetivo Mezura-Montes et al resume las principales teacutecnicas basadas en el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial para manejar dos o maacutes objetivos como los enfoques basados en dominancia de Pareto y en jerarquizacioacuten de Pareto asiacute como los meacutetodos que no se basan en Pareto y los enfoques que combinan diferentes estrategias Hoy en diacutea existen tambieacuten algoritmos basados en descomposicioacuten y en indicadores de desempentildeo

DE en Meacutexico En el paiacutes se tiene mucha actividad en investigacioacuten relacionada con DE particularmente el grupo EVOCINV de CINVESTAV Zacatenco estudia a este algoritmo en optimizacioacuten multi-objetivo y temas afines al manejo de muacuteltiples objetivos como algoritmos basados en indicadores modelos subrogados operadores de seleccioacuten operadores de variacioacuten adaptacioacuten de paraacutemetros entre otros temas

En el Centro de Investigacioacuten en Inteligencia Artificial de la Universidad Veracruzana se desarrolla investigacioacuten en optimizacioacuten con restricciones usando DE aplicaciones de DE en mecatroacutenica y en control automaacutetico DE y buacutesqueda local optimizacioacuten dinaacutemica multi-objetivo DE asistida por subrogados en espacios restringidos entre otras temaacuteticas

Recientemente en el Instituto Tecnoloacutegico de Veracruz se desarrollan aplicaciones de DE en aprendizaje automaacutetico en el Centro de Innovacioacuten y Desarrollo Tecnoloacutegico en Coacutemputo (CIDETEC) del IPN se aplica DE en problemas de mecatroacutenica y en el Centro de Investigacioacuten en Matemaacuteticas se aplica en procesos quiacutemicos

Todas estas menciones soacutelo son representativas pues la DE al ser un algoritmo faacutecil de implementar y que provee resultados competitivos ha sido particularmente atractiva para su estudio y aplicacioacuten en instituciones mexicanas

Conclusiones El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial es un enfoque exitoso para resolver problemas de optimizacioacuten continua sin restricciones Los individuos que evolucionan al aplicar los operadores de este algoritmo tradicionalmente se codifican como secuencias de nuacutemeros reales pero otras representaciones se han utilizado tambieacuten Ademaacutes con la inclusioacuten de diversas estrategias para manejar varios objetivos y conjuntos de restricciones DE se puede aplicar para resolver otro tipo de problemas DE se distingue por depender de la definicioacuten de un menor nuacutemero de paraacutemetros que otros algoritmos evolutivos pero esto tambieacuten lo hace muy sensible a la definicioacuten de los valores para esos paraacutemetros Diversos variantes del algoritmo han sido desarrolladas para mejorar el desempentildeo del algoritmo generando un abanico de alternativas para resolver casi cualquier tipo de problema El estudio del comportamiento de este algoritmo y la definicioacuten de nuevas propuestas de desarrollo sin duda aportaraacute a la resolucioacuten maacutes eficiente de problemas complejos que interesan a la comunidad cientiacutefica

Para saber maacutes Para aquellos lectores que deseen abundar en el tema las siguientes referencias sobre DE pueden ser de intereacutes

bull El libro sobre DE escrito por los autores originales del algoritmo

bull Una revisioacuten muy completa de la literatura de DE y su versioacuten actualizada

bull Otra revisioacuten de la literatura acompantildeada de un estudio experimental

bull Una revisioacuten de estudios teoacutericos sobre DE

bull Un libro editado con temas diversos y recientes sobre DE

bull DE para resolver problemas de optimizacioacuten multi-objetivo

bull DE y su papel importante en espacios restringidos

Algoritmos Geneacuteticos Paralelos Alicia Morales-Reyes

Introduccioacuten Las teacutecnicas evolutivas son aptas para su paralelizacioacuten tanto a nivel algoriacutetmico como a nivel de ejecucioacuten En particular los algoritmos geneacuteticos (AGs) han sido investigados desde esta perspectiva y esquemas paralelos han surgido desde el inicio de su desarrollo La paralelizacioacuten de los AGs persigue la mejora de su desempentildeo algoriacutetmico en teacuterminos de eficiencia y eficacia y la reduccioacuten de tiempos de ejecucioacuten en sus distintos dominios de aplicacioacuten

Una clasificacioacuten general de los Algoritmos Geneacuteticos Paralelos (AGPs) los agrupa por su granularidad en AGPs de grano fino y grueso Los AGPs de grano grueso dividen la poblacioacuten agrupada en panmixia en varias sub-poblaciones permitiendo la migracioacuten de individuos entre 1

eacutestas De esta forma se reduce el nuacutemero de individuos en cada unidad de procesamiento En consecuencia se establece un fuerte viacutenculo entre la algoritmia y la implementacioacuten de estas teacutecnicas Sin embargo utilizar una uacutenica unidad de procesamiento para la evolucioacuten de varias sub-poblaciones ha sido un contexto tambieacuten explorado como un mecanismo de mejora del desempentildeo algoriacutetmico

Los AGPs de grano grueso tambieacuten llamados Algoritmos Geneacuteticos distribuidos (AGds) han permitido la exploracioacuten de nuevas vertientes de la versioacuten estaacutendar de los AGs Tener diferentes paraacutemetros de configuracioacuten para realizar las operaciones geneacuteticas implementar granularidades distintas incorporar el operador de migracioacuten han sido caracteriacutesticas a explorar que pueden culminar en un mejor desempentildeo de los AGs

En la figura 1 se muestra un diagrama de un AG distribuido Cada poblacioacuten es centralizada y se necesitan definir criterios en teacuterminos de tasa y frecuencia de migracioacuten Tambieacuten se necesita definir si la migracioacuten seraacute siacutencrona o asiacutencrona Herrera et al presentaron un esquema de un AGP distribuido con poblaciones heterogeacuteneas Utilizaron la estructura de un hipercubo posicionando en cada veacutertice una sub-poblacioacuten Dependiendo de la ubicacioacuten de cada sub-poblacioacuten la buacutesqueda implica mayor explotacioacuten o exploracioacuten Esto se logra de manera interna viacutea la configuracioacuten de los operadores geneacuteticos De esta forma se procura mantener la diversidad de soluciones de forma global y asiacute mejorar la calidad de las soluciones encontradas

Una poblacioacuten en panmixia es aquella donde todos sus individuos sin restricciones pueden 1

reproducirse entre si

Diagrama poblacional de un AGP distribuido o de grano grueso

La principal diferencia entre los AGP de grano fino con respecto a los AGP distribuidos o de grano grueso es la descentralizacioacuten de su poblacioacuten y en consecuencia la localizacioacuten del proceso de seleccioacuten de individuos En la figura 2 se muestra un esquema poblacional de un AGP de grano fino tambieacuten conocido como AG celular (AGc) De manera comuacuten se utiliza una topologiacutea de malla conectada de forma toroidal como lo muestra la figura Un individuo de la poblacioacuten se ubica en cada cruce de la malla y alrededor de eacutel se define un vecindario cuyas soluciones participan en los procesos de seleccioacuten recombinacioacuten y mutacioacuten para la evolucioacuten de eacuteste En la figura 2 se ilustra un vecindario tipo Moore con 9 individuos

En los AGs celulares cada individuo o solucioacuten interactuacutea con sus vecinos maacutes cercanos logrando de esta forma el esparcimiento suave de las soluciones a traveacutes de la malla debido al traslape de vecindarios En los AGs distribuidos la asociacioacuten entre soluciones se pierde en comparacioacuten con los AGs celulares Esta es otra caracteriacutestica importante de los AGc que permite la exploracioacuten global del espacio de buacutesqueda mientras que localmente los individuos explotan la regioacuten cercana a su ubicacioacuten

Diagrama poblacional del AG celular o de grano fino

La paralelizacioacuten de los algoritmos evolutivos en particular de los algoritmos geneacuteticos persigue distintos objetivos Por ejemplo la evolucioacuten simultaacutenea de sub-poblaciones lo cual permite descubrir nueva rutas para solucionar un problema y en consecuencia reducir el nuacutemero de generaciones para converger a la solucioacuten oacuteptima Aunado a esto los tiempos de procesamiento pueden tambieacuten acortarse La paralelizacioacuten de AGs se puede realizar a distintos niveles Asiacute mismo es posible la combinacioacuten de sub-poblaciones con distintas dinaacutemicas internas Por ejemplo algunas sub-poblaciones podriacutean evolucionar en un esquema de panmixia y otras en un esquema celular Este tipo de esquemas poblacionales se discutiraacuten a detalle en la subseccioacuten 11

Una operacioacuten importante en los procesos evolutivos de los AGs distribuidos es la migracioacuten de los individuos entre sub-poblaciones Durante el proceso de buacutesqueda uno o maacutes individuos son seleccionados para migrar y reemplazar a otros individuos de otras sub-poblaciones Los criterios de migracioacuten requieren no soacutelo de la tasa y la frecuencia de migracioacuten sino tambieacuten de criterios de seleccioacuten y reemplazo de individuos al llegar a las otras sub-poblaciones El proceso de migracioacuten puede realizarse de forma siacutencrona o asiacutencrona La migracioacuten siacutencrona supone que todas las sub-poblaciones estaacuten en el mismo estado de la buacutesqueda y la migracioacuten de individuos entre sub-poblaciones ocurre de manera simultaacutenea Por otro lado la migracioacuten asiacutencrona supone que cada sub-poblacioacuten determina el momento en que los individuos deben migrar En la sub-seccioacuten 24 se aborda el efecto del sincronismo en los mecanismos de migracioacuten

Cantuacute-Paz et al presentoacute un estudio completo en AGs distribuidos tanto desde el punto de vista teoacuterico como del praacutectico Debido al nuacutemero de paraacutemetros que se deben definir en los AGds Cantuacute-Paz et al iniciaron con la solucioacuten de un problema de optimizacioacuten para determinar el tamantildeo adecuado de las sub-poblaciones para alcanzar una cierta calidad de la misma Utilizaron un modelo matemaacutetico considerando la hipoacutetesis de los bloques constructores propuesta por Holland y extendida por Goldberg El estudio se verifica en varios problemas con un grado alto de precisioacuten mostraacutendose una buena respuesta a la escalabilidad

Para determinar escenarios de operacioacuten liacutemite en teacuterminos de eficiencia analizaron la interaccioacuten de las sub-poblaciones y su efecto en la calidad de las soluciones Previamente se ha investigado el cambio en la calidad de las soluciones debido a la forma de interaccioacuten de las sub-poblaciones Tener sub-poblaciones evolucionando de manera independiente con muy poca o nula interaccioacuten entre ellas resulta en soluciones menos precisas mientras mejores soluciones se obtienen viacutea el esquema de panmixia tradicional Sin embargo cuando se definen criterios de migracioacuten adecuados y un cierto nuacutemero de soluciones migran entre sub-poblaciones a una frecuencia media o baja el desempentildeo en general de los AGds mejora alcanzando en un nuacutemero de casos aceleraciones super-lineales y mejor calidad de las soluciones encontradas Se puede inferir entonces la importancia del operador de migracioacuten el cual seraacute analizado en detalle en la sub-seccioacuten 12

AGds homogeacuteneos y heterogeacuteneos Existen distintos escenarios en los que se pueden definir y aplicar AGds con esquemas poblaciones homogeacuteneos y heterogeacuteneos es decir combinaciones de poblaciones centralizadas y descentralizadas A nivel algoriacutetmico se puede definir la misma o una diferente configuracioacuten de operadores geneacuteticos A partir de esas configuraciones distintas diferentes configuraciones de paraacutemetros se pueden determinar para ejecutar la buacutesqueda en cada sub-poblacioacuten Por ejemplo distintas definiciones del operador de recombinacioacuten o bien de las probabilidades de mutacioacuten pueden operar sobre los individuos de cada sub-poblacioacuten La comunidad en el aacuterea ha incluso explorado escenarios donde las soluciones se representan de manera distinta entre sub-poblaciones Por otro lado a nivel de implementacioacuten se han explorado esquemas con sub-poblaciones heterogeacuteneas Por ejemplo Alba et al realizoacute un estudio en distintas plataformas de coacutemputo ejecutando sub-poblaciones en panmixia y celulares

Como se puede apreciar el desarrollo de un esquema de AG paralelos ya sean distribuidos o descentralizados conlleva la definicioacuten de un nuacutemero de paraacutemetros que afectaraacute de manera importante su desempentildeo algoriacutetmico Otro ejemplo es la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten en espacios continuos que se han abordado a traveacutes de un esquema de AGP utilizando una versioacuten mejorada con cromosomas codificados con nuacutemeros reales Para esto se

definioacute una topologiacutea doble con un hipercubo que se comparoacute con una topologiacutea sencilla Las sub-poblaciones ubicadas en sus veacutertices promoviacutean mayor o menor exploracioacuten u explotacioacuten de las regiones viacutea la configuracioacuten de los operadores geneacuteticos La migracioacuten entre las sub-poblaciones afectoacute directamente los tiempos de ejecucioacuten por medio de la reduccioacuten del nuacutemero de evaluaciones La capacidad de buacutesqueda de la topologiacutea doble superoacute a la de la topologiacutea sencilla

Cuando pensamos en paralelizar alguna teacutecnica algoriacutetmica nos viene a la mente acelerar los procesos de ejecucioacuten Sin embargo la paralelizacioacuten de los algoritmos evolutivos podriacutea mejorar tanto los procesos de buacutesqueda algoriacutetmica como los tiempos de ejecucioacuten Es asiacute que a nivel de implementacioacuten se utilizado coacutemputo heterogeacuteneo para la evaluacioacuten de esquemas de AGPs Por ejemplo Alba et al propusieron utilizar una plataforma heterogeacutenea en la cual distintos sistemas operativos con distintas restricciones de ejecucioacuten implementaban un modelo de AGPs distribuidos Las sub-poblaciones se conectaron en un arreglo de anillo unidireccional cada sub-poblacioacuten ejecutaba un modelo poblacional de estado estable A cada generacioacuten se produciacutea un individuo que reemplazaba a la peor solucioacuten obtenida Se establecioacute un esquema de migracioacuten asiacutencrona que demostroacute mejores resultados ver 3 En general se observoacute un mejor desempentildeo de la ejecucioacuten del esquema paralelo en la plataforma heterogeacutenea en comparacioacuten con la homogeacutenea se redujo el nuacutemero de evaluaciones debido a la explotacioacuten de soluciones a distintas tasas de migracioacuten

AGP con topologiacutea poblacional de anillo unidireccional implementada en una plataforma de coacutemputo heterogeacutenea La migracioacuten entre sub-poblaciones es asiacutencrona y responde a una dinaacutemica de estado estable

Migracioacuten en AGPs Como se explicoacute anteriormente la incorporacioacuten de un nuevo operador llamado migracioacuten se hace latente en los esquemas paralelos de los AGs En los esquemas de grano grueso donde se tienen sub-poblaciones de grano fino y grueso evolucionando simultaacuteneamente la migracioacuten se debe considerar como un mecanismo que introduce nuevos individuos y por lo tanto promueve o restaura la diversidad entre sub-poblaciones De forma distinta en los AGs celulares o de grano fino un mecanismo de migracioacuten impliacutecito trabaja durante el proceso de buacutesqueda debido al traslape de vecindarios que permite la difusioacuten de soluciones a lo largo y ancho de la topologiacutea definida para la poblacioacuten Este mecanismo de migracioacuten es inherente a la estructura de los AGs celulares y no requiere de un paraacutemetro de frecuencia o tasa de migracioacuten o ninguacuten otro mecanismo de seleccioacuten y reemplazo

Revisaremos ahora evaluaciones empiacutericas que se han realizado a criterios de migracioacuten definidos para AGPs de grano grueso Aunque estos criterios son definidos para este tipo de esquemas paralelos tambieacuten es posible aplicar un segundo criterio migratorio en AGs celulares ademaacutes del mecanismo natural inherente a estos

Para establecer un criterio de migracioacuten adecuado y mejorar el desempentildeo algoriacutetmico de los AGPs de grano grueso se examinaron los casos liacutemite para aplicar el proceso de migracioacuten Se

sugiere mantener un cierto nivel de aislamiento entre las sub-poblaciones Si la sub-poblacioacuten evoluciona en completo aislamiento las mejoras en diversidad son miacutenimas y por ende la capacidad de buacutesqueda se ve reducida Por otro lado si se aplica el operador de migracioacuten con una frecuencia maacutexima el costo computacional se incrementa de manera significativa Por lo tanto el objetivo de la migracioacuten es evitar el aislamiento entre sub-poblaciones mientras se mantiene un nivel aceptable de comunicacioacuten entre eacutestas

Es posible calcular experimentalmente el nuacutemero adecuado de unidades de procesamiento para minimizar el tiempo de ejecucioacuten de un esquema de AGPs El anaacutelisis considera casos liacutemite en teacuterminos de conectividad entre sub-poblaciones es decir el caso de tener frecuencias de migracioacuten miacutenimas y maacuteximas La conclusioacuten teoacuterica para una poblacioacuten indica que el nuacutemero

oacuteptimo de unidades de procesamiento estaacute dado por donde es el tamantildeo de la

poblacioacuten es el tiempo de coacutemputo de la funcioacuten objetivo de un individuo y es el tiempo promedio de comunicacioacuten para una unidad de procesamiento Esto quiere decir que dividiendo una poblacioacuten en sub-poblaciones distribuidas en muacuteltiples unidades de procesamiento reduce el tiempo global de ejecucioacuten La misma conclusioacuten se logroacute para un esquema de muacuteltiples poblaciones considerando ademaacutes la evaluacioacuten de funciones objetivo separables Esto quiere decir que utilizar un nuacutemero de unidades de procesamiento en un esquema evolutivo paralelo tiene un impacto positivo en la reduccioacuten de los tiempos de ejecucioacuten

Es tambieacuten importante analizar el efecto de los criterios de migracioacuten que se utilizan en esquemas de AGPs de grano grueso El objetivo principal es determinar coacutemo el operador de migracioacuten afecta la presioacuten de seleccioacuten inducida e impliacutecitamente poder explicar las aceleraciones super-lineales que se pueden modelar para este tipo de esquemas La forma en que los individuos se seleccionan para migracioacuten y reemplazo tienen un efecto considerable en la presioacuten de seleccioacuten y se ha observado que tasas altas de migracioacuten producen un incremento en eacutesta Tener una presioacuten de seleccioacuten alta afecta la buacutesqueda al producir una convergencia prematura a un oacuteptimo local

Aunque la operacioacuten de migracioacuten se ha investigado principalmente para esquemas de AGPs de grano grueso tambieacuten se ha revisado su efecto en AGPs de grano fino considerando tanto el mecanismo de migracioacuten impliacutecita viacutea el traslape de vecindarios como la definicioacuten de criterios para migracioacuten de individuos desde y hacia distintas posiciones de la topologiacutea de malla definida para la poblacioacuten Por ejemplo se han utilizado estructuras de aacuterboles binarios para dividir una topologiacutea de malla de dos dimensiones en formaciones conceacutentricas de individuos definiendo para cada formacioacuten criterios de migracioacuten distintos El intercambio de individuos entre estas

OnTf

Tcn

Tf Tc

formaciones definidas por su estructura alenta el proceso de buacutesqueda permitiendo una mayor exploracioacuten Los resultados mostraron un mejor desempentildeo en la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten con restricciones el operador de mutacioacuten se aplica para evitar la presencia de super individuos que pueden dirigir la buacutesqueda al estancamiento conquistando la topologiacutea de malla mucho maacutes raacutepido En la siguiente seccioacuten se abordaraacute el comportamiento de los AG celulares o de grano fino

AGs celulares o de grano fino Los AGs celulares o de grano fino se construyen a partir de poblaciones descentralizadas donde los individuos interactuacutean con otros individuos ubicados dentro de un vecindario definido Es decir interactuacutean con los vecinos maacutes cercanos Usualmente los AGCs se implementan en topologiacuteas de mallas de -dimensionales manteniendo conexiones toroidales entre los cruces de malla utilizando formas comunes como una malla lineal cuadrada o rectangular

El procesamiento de los AG celulares corresponde al de los Autoacutematas Celulares (ACs) Estos determinan una regla global que define un comportamiento especiacutefico que se construye a partir de reglas locales Se han explorado ACs de una dos y tres dimensiones en combinacioacuten con AGs con la finalidad de evolucionar el comportamiento global requerido Esta combinacioacuten de un AC y un AG originoacute el nombre de AG celular con la diferencia de tener una representacioacuten maacutes elaborada en cada cruce de la malla cromosomas Se observoacute que la informacioacuten de las reglas locales o individuos alcanzaba distancias lejanas dentro de la malla definida esto debido al traslape de los vecindarios De esta forma se determinoacute que la informacioacuten se mueve entre vecindarios permitiendo acelerar el proceso de crear nuevos comportamientos ad-hoc al problema que se esteacute solucionando y con una peacuterdida miacutenima de informacioacuten

El pseudocoacutedigo [algCellularGeneticAlgorithmPseudocode] es el estaacutendar de un AG celular En un primer paso se genera una poblacioacuten inicial de forma aleatoria ubicando cada individuo en un cruce de la topologiacutea de malla Esta poblacioacuten inicial se evaluacutea de acuerdo a la funcioacuten objetivo del problema a resolver Posteriormente da inicio el ciclo reproductivo principal Se define un vecindario local con individuos ubicados de forma cercana A partir de eacutestos y del individuo ubicado en el cruce de la malla se seleccionan a los padres para reproducirse Existen distintos meacutetodos de seleccioacuten que se utilizan en los AG celulares Se pueden utilizar los que comuacutenmente se aplican en los AGs con poblaciones centralizadas como el torneo binario ruleta o seleccioacuten determinista Existen tambieacuten otros meacutetodos especiacuteficos a los AG celulares como son la seleccioacuten ceacutentrica o anisotroacutepica Una vez seleccionados los padres se recombinan y los hijos se mutan No hay diferencia entre la aplicacioacuten de los operadores de recombinacioacuten y mutacioacuten con respecto a los AG tradicionales

n

Debido a la descentralizacioacuten de la poblacioacuten el reemplazo de eacutesta puede ocurrir de forma siacutencrona o asiacutencrona El reemplazo asiacutencrono requiere del almacenaje temporal de la poblacioacuten hasta que todos los individuos concluyen su ciclo reproductivo El reemplazo siacutencrono requiere de la definicioacuten del criterio para implementarla Los distintos criterios que se han utilizado para el reemplazo se explicaraacuten en la sub-seccioacuten 24

poblacioacuten inicial evaluacioacuten seleccioacuten de padres vecinario L5 recombinacioacuten mutacioacuten evaluacioacuten reemplazo

Explotacioacutenexploracioacuten por propiedades estructurales Debido a la descentralizacioacuten de la poblacioacuten y la definicioacuten de una topologiacutea de malla las caracteriacutesticas estructurales de los AG celulares tienen un impacto importante en los procesos de buacutesqueda La forma y la dimensioacuten de la topologiacutea el nuacutemero de individuos dentro del vecindario entre otras son caracteriacutesticas de la estructura que necesitan definirse Ademaacutes otras operaciones durante el ciclo evolutivo como el proceso de seleccioacuten local el reemplazo de individuos criterios de migracioacuten entre otras estaacuten tambieacuten asociadas a estas caracteriacutesticas de estructura

La topologiacutea de malla que es comuacutenmente utilizada en los AG celulares se muestra en la figura 2 Se ha reportado que distintas formas de malla en combinacioacuten con distintos tipos de vecindarios inducen una mayor o menor presioacuten de seleccioacuten Para modelar el efecto de ambas estructuras se utiliza un patroacuten de dispersioacuten con puntos (la posicioacuten de cada solucioacuten en la malla) a partir de una posicioacuten central con coordenadas Se calcula la medida de dispersioacuten debido a que otras medidas como el radio de una circunferencia indicariacutea el mismo valor para topologiacuteas distintas La relacioacuten entre el vecindario y la topologiacutea o radii se calcula de la siguiente forma

donde y La razoacuten o radii entre el vecindario y la topologiacutea de

malla estaacute dada por

(x) larr random(x0) (f ) larr evaluat ion(x)(f1 f2) larr seleccion(f fN fE fS fW)(x1 x2) larr seleccion(x xN xE xS xW) (x prime1 x prime2 ) larr recombinacion(x prime1 x prime 2 )

(x1Prime x2Prime) larr mutacion(x prime1 x prime2 ) (fnew) larr evaluacion(x1Prime x2Prime)(f x) larr reemplazo(fnew xnew)

p(x0 y0)

D =sum (xi minus x)2 + sum (yi minus y)2

p

(x ) =sump

i=1 xi

p (y) =sump

i=1 yi

p

Esta medida se conoce como la razoacuten vecindario-malla (RVM) Formas y tamantildeos diferentes de vecindarios y topologiacuteas proporcionan una medida distinta de RVM ver figura 4

Ejemplos de formas de vecindarios y topologiacuteas de malla

NGR =Dvecindario

Dmalla

Razoacuten vecindario-malla para diferentes topologiacuteas de malla y tamantildeos de poblacioacuten con un vecindario L5

[figL5_variableLattice]

Una topologiacutea de malla cuadrada con un vecindario es una configuracioacuten comuacutenmente utilizada en la implementacioacuten de AG celulares En la figura [figL5_variableLattice] la razoacuten vecindario-malla se ilustra para distintos tamantildeos de poblacioacuten con vecindario Tres formas de malla se evaluacutean cuadrada rectangular y lineal Las curvas de la RVM muestran razones altas para mallas cuadradas y razones bajas para topologiacuteas lineales La RVM se asocia a la presioacuten de seleccioacuten inducida en AG celulares debido a sus caracteriacutesticas estructurales Para comprender esto de mejor manera otro concepto importante es necesario el nuacutemero de generaciones que toma al mejor individuo de una poblacioacuten inicial esparcir su solucioacuten en todas las direcciones de la topologiacutea de malla es decir conquistarla a partir de aplicar uacutenicamente el operador de seleccioacuten Un nuacutemero de generaciones alto indica una baja presioacuten de seleccioacuten es decir una buacutesqueda principalmente explorativa Por el contrario un nuacutemero de reducido de generaciones implica una alta presioacuten de seleccioacuten y por tanto una buacutesqueda orientada a la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda

L5

L5

Los AG celulares son teacutecnicas flexibles con un nuacutemero de paraacutemetros que pueden configurarse Por ejemplo es posible pensar en modificar en tiempo de buacutesqueda las topologiacuteas de malla tamantildeos y formas de vecindarios como una forma de control de la presioacuten de seleccioacuten inducida Las modificaciones de la configuracioacuten pueden realizarse de manera constante definiendo un nuacutemero de generaciones o bien de forma adaptativa midiendo generacioacuten a generacioacuten el comportamiento por ejemplo de la diversidad en el espacio de fenotipos y genotipos modificando entonces las configuraciones de estructura de manera que se promueva la exploracioacuten o la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda

Presioacuten de seleccioacuten por caracteriacutesticas estructurales

El matemaacutetico belga Pierre Verhulst en el siglo XIX estudioacute modelos logiacutesticos de crecimiento para describir sistemas bioloacutegicos bajo condiciones de recursos limitados Considerando una poblacioacuten en panmixia de cierto tamantildeo y un nuacutemero de copias del mejor individuo en un tiempo discreto dado por la tasa de crecimiento se expresa a traveacutes del siguiente modelo de recurrencia discreto

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t - 1 right) + p_s tamPob N left(t-1right) left(1 - left(frac1tamPobright) N left(t-1right)right)endaligned$$

donde es la probabilidad de seleccioacuten de un individuo y se puede aproximar por la ecuacioacuten logiacutestica continua

donde es la probabilidad Aunque se obtienen curvas de crecimiento similares el comportamiento en poblaciones estructuradas o descentralizadas no es exponencial sino polinomial como fue sugerido por Spiessen y Manderick in De este modo las caracteriacutesticas estructurales necesitan considerarse en el modelo matemaacutetico de la tasa de crecimiento para AG celulares Si se evaluacutea un caso liacutemite donde el mejor individuo dentro del vecindario se selecciona siempre para reemplazar al individuo actual o central (al vecindario) es decir

tamPobt N(t)

ps N(t)

N(t) =tamPob

1 + ( tamPobN(0) minus 1)eminusαt

α ps

ps = 1

y se define un tamantildeo de poblacioacuten donde determina una topologiacutea de malla cuadrada y un vecindario local con radio La tasa de crecimiento del mejor individuo estaacute dada por

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4r^2t - 2rleft( r+1 right) quad 0 leq t leq fracleft(sqrttamPob-1right)2

N left( t right) = N left( t-1 right) - 4r^2t + 4r sqrttamPob - 2rleft(r+1right) quad t geq fracleft(sqrttamPob-1right)2 notagendaligned$$

que en su forma cerrada queda como

$$beginaligned

N left( t right) = 2r^2t^2 + 2r left(2r + 1 right)t + 1 quad 0 leq t leq fracleft(sqrttamPob-1right)2

N left( t right) = -2r^2t^2 + 2rleft(2sqrttamPob - 3r - 1 right)t + 1 quad t geq fracleft(sqrttamPob-1right)2 notagendaligned$$

En la figura 5 se ilustra la razoacuten de crecimiento para una poblacioacuten de individuos con un vecindario local tipo ver figura 4

Tasa de crecimiento teoacuterica en una topologiacutea de malla toroidal cuadrada y un vecindario local tipo Moore con probabilidad de seleccioacuten

Si se considera la probabilidad variable y cada individuo tiene probabilidades de seleccioacuten distintas probabilidad para el individuo central y para cada individuo dentro de un vecindario tipo El modelado de la recurrencia exacta se vuelve muy complicado Para poder construir un modelo completo se recurre a modelos maacutes simples en donde la tasa de crecimiento se describe como la expansioacuten de un cuadrado rotado con una

tamPob tamPob times tamPobr

81C9

ps = 1

psp0 p1 p2 p3 p4 p8

C9

longitud por lado de y diagonal La tasa de crecimiento de los

individuos con probabilidad variable contenidos dentro del cuadrado rotado estaacute dada por la siguiente recurrencia

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4p_i sqrtfracNleft(t-1right)2 quad N left( t right) leq fractamPob2

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4p_i sqrttamPob - N left( t-1 right) quad N left( t right) gt fractamPob2 notagendaligned$$

Encontrar una forma cerrada de este modelo es una tarea complicada de acuerdo a autores reconocidos del aacuterea En la figura 6 se muestra la tasa de crecimiento probabilista como ejemplo de la dificultad que representa su modelado matemaacutetico

Tasa de crecimiento probabilista para una topologiacutea de malla toroidal cuadrada con vecindario local y probabilidad de seleccioacuten variable

Anaacutelisis empiacuterico

Es posible tener una aproximacioacuten empiacuterica del tiempo para el dominio de la topologiacutea de malla A continuacioacuten se presenta un ejemplo utilizando como meacutetodo de seleccioacuten local torneo binario y ejecuciones por configuracioacuten fueron evaluadas En la figura [figL5_growthRates] se muestran las distintas tasas de crecimiento para la conquista de la malla considerando un tamantildeo de la poblacioacuten de individuos con las siguientes formas de topologiacutea de malla 1)

cuadrada 2) rectangular y 3) lineal La diferencia entre los

tiempos de dominio es evidente Topologiacuteas de malla lineales proveen una difusioacuten maacutes lenta del

s = N(t) d =N(t)

2pi

ps

50

400

400 times 400 10 times40010

4 times400

4

mejor individuo para conquistar la malla y por ende menor presioacuten de seleccioacuten y un comportamiento principalmente explorativo Por otro lado en topologiacuteas de malla cuadradas la solucioacuten del mejor individuo conquista la malla raacutepidamente en un nuacutemero menor de generaciones Es decir tiene un comportamiento con alta presioacuten de seleccioacuten y por ende una buacutesqueda caracterizada por una mayor explotacioacuten del espacio de buacutesqueda Desde este punto de vista se ha investigado tambieacuten la posibilidad de modificacioacuten dinaacutemica de las propiedades estructurales en tiempo de buacutesqueda Se han reportado mejores desempentildeos algoriacutetmicos bajo estos criterios

Tasas de crecimiento promedio del mejor individuo en topologiacuteas de malla cuadrada rectangular y lineal con vecindario La tasa promedio de crecimiento se calcula con base en 50 experimentos y aplicando uacutenicamente el operador de seleccioacuten

[figL5_growthRates]

Aceleracioacuten en AGP Un tema controversial en AGPs son las aceleraciones que esquemas distribuidos y celulares pueden alcanzar El caacutelculo teoacuterico de estas aceleraciones es una medida aceptada para determinar su eficiencia Calcular la razoacuten entre el tiempo promedio de ejecucioacuten de la mejor versioacuten secuencial de un AG y otra teacutecnica de buacutesqueda no evolutiva con respecto al tiempo

L5

promedio de ejecucioacuten de un AG paralelo corriendo en un determinado nuacutemero de procesadores proporciona la aceleracioacuten alcanzada por este uacuteltimo Aceleraciones sub-lineales indican que esta razoacuten es menor que el nuacutemero de procesadores utilizados en la ejecucioacuten del AGP Aceleraciones lineales indican que esta relacioacuten es igual mientras aceleraciones super-lineales indican que la razoacuten es mayor que el nuacutemero de procesadores utilizados

Un medida estricta para medir las aceleraciones de los AGPs involucrariacutea una comparacioacuten con la mejor versioacuten secuencial de un AG lo cual es difiacutecil de determinar Considerar el desempentildeo de un AG secuencial como referencia en conjunto con una condicioacuten de paro que evaluacutee la misma calidad de soluciones en todas las muestras experimentales podriacutea permitir una comparacioacuten justa en teacuterminos de aceleracioacuten entre esquemas paralelos y secuenciales

Los AGPs tienen tres caracteriacutesticas que permiten su aceleracioacuten 1) dividir el espacio de buacutesqueda en diversas aacutereas de exploracioacuten implementadas en distintas unidades de procesamiento 2) reducir la carga de procesamiento por medio de la distribucioacuten de la poblacioacuten en un nuacutemero de unidades de procesamiento y 3) operadores geneacuteticos aplicados a estructuras de datos reducidas

Al analizar comparativamente las tasas de aceleracioacuten de los AG distribuidos con sub-poblaciones en panmixia en comparacioacuten con el desempentildeo de un AG secuencial las aceleraciones calculadas resultan excesivas Sin embargo cuando se considera la distribucioacuten de las sub-poblaciones en un nuacutemero de unidades de procesamiento las tasas de aceleracioacuten son moderadas

Una de las caracteriacutesticas maacutes importantes en los AGPs es el operador de migracioacuten Analizar el comportamiento de este operador bajo distintos criterios como la sincroniacutea o asincroniacutea de migrar individuos entre las sub-poblaciones afecta directamente el desempentildeo de la buacutesqueda Entre los comportamientos con importancia significativa se ha observado que utilizar bajas frecuencias de migracioacuten en combinacioacuten con una comunicacioacuten asiacutencrona entre sub-poblaciones permite una mayor aceleracioacuten Este resultado considera sub-poblaciones en panmixia con la misma configuracioacuten de paraacutemetros

Concepto de sincronismo en AGPs En los AGPs tanto distribuidos como celulares el concepto de sincroniacutea aplica de forma distinta En un AGP distribuido el operador de migracioacuten estaacute directamente relacionado con la comunicacioacuten entre sub-poblaciones y por ende la sincroniacutea con que eacutesta ocurre Por otro lado en AGP de grano fino o celulares la sincroniacutea estaacute relacionada con la actualizacioacuten de soluciones durante el proceso evolutivo Esto se explica a continuacioacuten a mayor detalle

En AGPs distribuidos viacutea migracioacuten

Varios autores han investigado el efecto del sincronismo a traveacutes de la migracioacuten de individuos entre sub-poblaciones Se han considerado varios escenarios tales como tener un conjunto de sub-poblaciones en panmixia y tener sub-poblaciones descentralizadas un tercer escenario que se ha considerado es tener una combinacioacuten de sub-poblaciones en panmixia y descentralizadas Los tres esquemas han sido evaluados no soacutelo a nivel algoriacutetmico sino de implementacioacuten en plataformas de coacutemputo para procesamiento paralelo

Utilizando un esquema de procesamiento de instrucciones muacuteltiples - datos muacuteltiples con un esquema homogeacuteneo de sub-poblaciones se verificoacute el comportamiento de distintas frecuencias de migracioacuten definidas como muacuteltiplos del tamantildeo de la poblacioacuten Esto representa que la migracioacuten es nula cuando la frecuencia es cero lo que implica que la evolucioacuten es independiente de las sub-poblaciones Localmente los operadores geneacuteticos fueron configurados de la misma forma En general los resultados mostraron un mejor desempentildeo cuando la comunicacioacuten entre sub-poblaciones es asiacutencrona y la frecuencia de migracioacuten es baja En este sentido el tener sub-poblaciones descentralizadas permite una mejor eficacia que cuando se tienen sub-poblaciones en panmixia Las tasas de aceleracioacuten tambieacuten se analizaron Bajas frecuencias de migracioacuten reportaron aceleraciones lineales para sub-poblaciones descentralizadas y super-lineales para sub-poblaciones en panmixia

Se ha podido verificar el funcionamiento de los AGPs ampliando la gama de problemas de prueba a aquellos del dominio continuo El uso de un esquema paralelo distribuido con sub-poblaciones en panmixia y un ciclo evolutivo de estado estable donde solamente una solucioacuten se actualiza en cada generacioacuten logroacute obtener soluciones de mejor calidad Ademaacutes de la influencia de la frecuencia con la que se ejecuta la operacioacuten de migracioacuten la seleccioacuten aleatoria de individuos migrantes demostroacute tambieacuten un mejor desempentildeo que la seleccioacuten de los mejores individuos para migrar El mejor desempentildeo continuacutea siendo a partir de la aplicacioacuten de frecuencias de migracioacuten bajas ahora en combinacioacuten con la seleccioacuten aleatoria de soluciones para migrar En problemas de optimizacioacuten en el dominio continuo con oacuteptimos locales engantildeosos en sus espacios de buacutesqueda los esquemas de sub-poblaciones descentralizadas superaron el desempentildeo de aquellos con sub-poblaciones en panmixia ademaacutes de responder mejor a frecuencias de migracioacuten altas Las tasas de aceleracioacuten tambieacuten se relacionan con la operacioacuten de la migracioacuten a frecuencias de migracioacuten alta se obtienen mayores tasas de aceleracioacuten en ambos esquemas poblacionales

Es posible tambieacuten considerar un esquema de AGPs con sub-poblaciones tanto en panmixia como descentralizadas utilizando un esquema de coacutemputo heterogeacuteneo distribuido Las tasas de

aceleracioacuten que se alcanzan en estos caso son super-lineales viacutea el esquema sub-poblacional mixto

En AGP celulares viacutea criterios de actualizacioacuten

En los AGPs de grano fino o celulares el concepto de sincronismo se asocia a los criterios de actualizacioacuten de las soluciones Se consideran diversos escenarios como son 1) barrido liacutenea a liacutenea 2) barrido fijo aleatorio 3) barrido aleatorio 4) seleccioacuten uniforme Cada unos de estos criterios de actualizacioacuten de soluciones se puede ejecutar de manera siacutencrona o asiacutencrona La actualizacioacuten siacutencrona se refiere a que la poblacioacuten completa se genera a partir de los individuos actuales En contraste la actualizacioacuten asiacutencrona quiere decir que los individuos se actualizan despueacutes de su proceso evolutivo a nivel local entonces los individuos en una generacioacuten han evolucionado de hijos generados durante esta

El barrido liacutenea a liacutenea es la forma maacutes sencilla de actualizar soluciones en una topologiacutea de malla con conexioacuten toroidal Haciendo el barrido secuencial de ubicacioacuten de las soluciones por liacutenea o por columna se ejecuta la actualizacioacuten de estas El barrido aleatorio fijo consiste en elegir de forma aleatoria una solucioacuten sin reemplazo con una probabilidad uniforme En cada generacioacuten se determina una distribucioacuten diferente para la actualizacioacuten de los individuos La actualizacioacuten uniforme elige de forma aleatoria con una probabilidad uniforme una solucioacuten con reemplazo Esto quiere decir que una solucioacuten puede ser actualizada maacutes de una vez en un mismo ciclo reproductivo

Tambieacuten se ha buscado modelar formalmente el comportamiento de los distintos criterios de actualizacioacuten de soluciones considerando ambos criterios de sincronismo Los criterios siacutencronos de actualizacioacuten presentan menores tasas de crecimiento de la mejor solucioacuten en la topologiacutea de malla Es decir la buacutesqueda se ejecuta promoviendo la exploracioacuten cuando se sigue un criterio de actualizacioacuten uniforme Aplicar un barrido aleatorio o lineal para la actualizacioacuten de soluciones representa tasas maacutes altas de crecimiento pero no alcanza a aquellas de las poblaciones en panmixia La principal caracteriacutestica que se aprecia es que las poblaciones en panmixia promueven la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda en mayor grado que los AGPs descentralizados o celulares

Finalmente se puede concluir despueacutes de la evaluacioacuten de los criterios siacutencronos y asiacutencronos en una variedad de problemas de optimizacioacuten combinatorios y del dominio continuo que la actualizacioacuten asiacutencrona de soluciones mejora el desempentildeo algoriacutetmico en teacuterminos de eficiencia y eficacia en comparacioacuten con el criterio asiacutencrono en teacuterminos del nuacutemero de generaciones necesarias para converger a la solucioacuten del problema

Discusioacuten En este capiacutetulo se presentaron los distintos esquemas poblaciones que se consideran en la paralelizacioacuten de los AGs Se introdujo el principal operador que distingue a estos esquemas evolutivos el operador de migracioacuten y su efecto en los procesos de buacutesqueda Tambieacuten se introdujeron de manera detallada los esquemas paralelos de AGs de grano fino o celulares y la manera en que las caracteriacutesticas estructurales de estos pueden afectar directamente la exploracioacuten y explotacioacuten del espacio de buacutesqueda Se abordoacute tambieacuten el tema de las aceleraciones que se pueden alcanzar viacutea la paralelizacioacuten de grano fino y grueso de los AGPs Este anaacutelisis incluye los escenarios teoacutericos y reales de las tasas de aceleracioacuten que se pueden alcanzar Finalmente se revisoacute el concepto de sincronismo en ambos esquemas de paralelizacioacuten el cual se observoacute que afecta de manera positiva el desempentildeo algoriacutetmico

Los esquemas paralelos de los algoritmos geneacuteticos permiten obtener un mejor desempentildeo de los procesos de buacutesqueda Sin embargo se debe considerar una serie de paraacutemetros que se necesitan definir y que requeriraacuten la intervencioacuten de un usuario Es importante destacar tambieacuten que la mejora en el desempentildeo se puede apreciar tanto a nivel algoriacutetmico como a nivel de procesamiento Es necesario tambieacuten indicar que la seleccioacuten de la plataforma de coacutemputo paralelo ya sea distribuida o no implicaraacute costos de comunicacioacuten que deben ser considerados para las tasas de aceleracioacuten que se pretendan alcanzar

Investigacioacuten de AGPs en Meacutexico En Meacutexico investigadoras e investigadores en distintas instituciones y centros de investigacioacuten se han dado a la tarea de explorar esquemas evolutivos que utilizan AGPs Por ejemplo esquemas de AGPs de grano fino para solucionar problemas de optimizacioacuten mono-objetivo sin restricciones y problemas combinatorios han sido desarrollados en El objetivo en esos trabajos es el estudio del efecto de las caracteriacutesticas estructurales en las topologiacuteas de poblacioacuten descentralizadas utilizando mallas conectadas de forma toroidal Distintos criterios fueron definidos para modificar en tiempo de buacutesqueda la forma de la topologiacutea y sin incrementar el costo computacional verificar la mejora del desempentildeo algoriacutetmico al evaluar una cama prueba con problemas mono-objetivo sin restricciones y combinatorios Los resultados obtenidos fueron alentadores y a partir de estos se extendioacute el estudio de las propiedades estructurales a manipular tambieacuten la dimensioacuten de la topologiacutea de malla y modificarla en tiempo de buacutesqueda resultados positivos de este estudio fueron reportados en

Debido al costo computacional de los AGs en general la aceleracioacuten de estos utilizando plataformas de coacutemputo especializadas ha sido un aacuterea de investigacioacuten tambieacuten desarrollada en Meacutexico Particularmente el disentildeo e implementacioacuten de un arreglo de procesadores flexible para

la aceleracioacuten de los AGs celulares utilizando dispositivos reconfigurables conocidos como arreglos de compuertas programables en el campo (FPGAs por sus siglas en Ingleacutes) se reportoacute en Este trabajo presenta una forma novedosa de dividir a la poblacioacuten descentralizada en un nuacutemero determinado de unidades de procesamiento especialmente disentildeadas para operadores evolutivos manteniendo las conexiones toroidales entre soluciones La flexibilidad del disentildeo consiste en poder definir de acuerdo a las necesidades de usuario el nuacutemero de unidades de procesamiento De este modo un nuacutemero mayor de unidades de procesamiento permitiraacute acelerar la ejecucioacuten del algoritmo y un nuacutemero menor de estas permitiraacute reducir el uso de recursos de hardware

En el aacutembito de la optimizacioacuten multi-objetivo desde la perspectiva del coacutemputo evolutivo utilizando esquemas poblacionales paralelos investigadores en Meacutexico han desarrollado un esquema con base en algoritmos geneacuteticos utilizando muacuteltiples resoluciones La propuesta algoriacutetmica llamada Algoritmo geneacutetico multi-objetivo con resolucioacuten muacuteltiple (MRMOGA por sus siglas en Ingleacutes) consiste de un conjunto de sub-poblaciones las cuales a nivel representacioacuten de soluciones evolucionan con resoluciones distintas lo cual implica la divisioacuten del espacio de buacutesqueda en regiones acotadas y traslapadas El desempentildeo alcanzado por MRMOGA supera los resultados reportados en esquemas evolutivos paralelos en teacuterminos de convergencia y evidencia la necesidad de profundizar el estudio de la escalabilidad de esquemas evolutivos paralelos

Para saber maacutes Dentro de la comunidad cientiacutefica dedicada a la investigacioacuten en las aacutereas de las teacutecnicas algoriacutetmicas evolutivas que desarrollan el concepto de paralelismo se han generado recursos bibliograacuteficos diversos de entre los cuales destacan

bull Algoritmos geneacuteticos paralelos por Gabriel Luque y Enrique Alba

bull Algoritmos evolutivos estructurados espacialmente por Marco Tomassini

bull Algoritmos geneacuteticos celulares por Bernabeacute Dorronsoro y Enrique Alba

bull Algoritmos geneacuteticos paralelos eficientes y precisos por Erick Cantuacute-Paz

Por otro lado entre los grupos de investigacioacuten que se desarrollan en el aacuterea destaca el liderado por el investigador Enrique Alba de la Universidad de Maacutelaga en Espantildea quien en colaboracioacuten con otros investigadores y estudiantes a puesto a disposicioacuten una serie de recursos relacionados en En particular en la seccioacuten de software se encuentran disponibles herramientas para el

disentildeo e implementacioacuten de algoritmos evolutivos paralelos tanto de grano grueso como de grano fino

Programacioacuten Geneacutetica Mario Graff

Daniela Moctezuma

Eric S Tellez

Sabino Miranda-Jimeacutenez

INFOTEC Centro de Investigacioacuten e Innovacioacuten en Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten Circuito Tecnopolo Sur No 112 Fracc Tecnopolo Pocitos II Aguascalientes

20313 Meacutexico CentroGEO Centro de Investigacioacuten en Ciencias de Informacioacuten Geoespacial Circuito

Tecnopolo Norte No 117 Col Tecnopolo Pocitos II CP Aguascalientes Ags 20313 Meacutexico CONACyT Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologiacutea Direccioacuten de Caacutetedras Insurgentes Sur

1582 Creacutedito Constructor Ciudad de Meacutexico 03940 Meacutexico

Introduccioacuten En este capiacutetulo se presenta una introduccioacuten a Programacioacuten Geneacutetica (PG) asiacute como la descripcioacuten de cada uno de los aspectos que la comprenden las perspectivas de este campo y las aacutereas donde se ha aplicado en Meacutexico PG es un algoritmo de buacutesqueda inspirado en los principios de la evolucioacuten de las especies de Charles Darwin (ver ) Particularmente PG engloba a un conjunto de teacutecnicas de coacutemputo evolutivo las cuales tienen como objetivo solucionar automaacuteticamente problemas partiendo de ejemplos del problema por resolver a traveacutes de expresiones evaluables o programas

La Programacioacuten Geneacutetica ha sido ampliamente utilizada en diferentes dominios siendo capaz de resolver una gran variedad de problemas de alta complejidad muchas veces mejorando las soluciones encontradas por humanos Por ejemplo en la competencia ndashldquoHumies rdquo celebrada 2

anualmente en el marco de la Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO) la cual premia sistemas bio-inspirados que mejoran las soluciones encontradas por humanos a problemas difiacuteciles mdashdesde 2004 y hasta 2017 PG ha sido galardonada con 8 medallas de oro 5 de plata y 1 de bronce En particular en esta competencia y utlizando PG Meacutexico ha obtenido

13

12

13

13

1

2

3

httpwwwhuman-competitiveorg2

Computacioacuten Evolutiva

Carlos Artemio Coello Coello (Coordinador)

Con la colaboracioacuten de

Rafael Rivera Loacutepez

Efreacuten Mezura Montes

Alicia Morales Reyes

Mario Graff

Daniela Moctezuma

Eric S Tellez Sabino

Miranda Jimeacutenez

Carlos Segura

Joel Chacoacuten Castillo

Carlos A Brizuela

Julio Juaacuterez

Hugo Terashima Mariacuten

Santiago Enrique Conant Pablos

Joseacute Carlos Ortiz Bayliss

Ivaacuten Mauricio Amaya Contreras

Proacutelogo La computacioacuten evolutiva es un aacuterea de las ciencias de la computacioacuten que se enfoca al estudio de las propiedades de una serie de metaheurısticas estocaacutesticas (a las cuales se denomina de manera geneacuterica ldquoAlgoritmos Evolutivosrdquo) inspiradas en la teorıa de la evolucioacuten de las especies formulada por Charles Darwin seguacuten la cual los individuos ldquomaacutes aptosrdquo a su ambiente tienen una mayor probabilidad de sobrevivir

Una metaheurıstica es un procedimiento de buacutesqueda de alto nivel que aplica una regla o conjunto de reglas que se basa(n) en una fuente de conocimiento El eacutenfasis de las metaheurısticas es explorar el espacio de buacutesqueda de manera relativamente eficiente es decir mejor que lo que harıa una buacutesqueda exhaustiva aunque no necesariamente oacuteptima Las metaheurısticas suelen considerarse tambieacuten como teacutecnicas de buacutesqueda y optimizacioacuten de uso general pese a sus limitantes teoacutericas (en general las metaheurısticas no pueden garantizar convergencia al oacuteptimo global) Otro rasgo distintivo de las metaheurısticas es que suelen requerir poca informacioacuten especıfica del problema y son uacutetiles cuando el espacio de buacutesqueda es muy grande poco conocido yo con dificultades para explorarlo Cuando se usan para optimizacioacuten no pueden garantizar en general que convergeraacuten a la mejor solucioacuten posible (es decir al oacuteptimo global del problema) si bien en la praacutectica suelen producir aproximaciones razonablemente buenas en tiempos razonablemente cortos

Los algoritmos evolutivos son metaheurısticas estocaacutesticas porque su comportamiento se basa en el uso de nuacutemeros aleatorios y en operadores probabilısticos En consecuencia no siempre producen el mismo resultado cada vez que se ejecutan con los mismos datos de entrada

En Meacutexico existe un nuacutemero importante de investigadores trabajando en diferentes aacutereas de la computacioacuten evolutiva y este libro intenta proporcionar un asomo a la diversidad de temas en los que se hace investigacioacuten en nuestro paıs Los seis capıtulos que conforman este libro estaacuten escritos como tutoriales breves que pretender introducir al lector a ciertos temas especıficos de computacioacuten evolutiva En todos los casos se describe brevemente parte del trabajo que han realizado algunos grupos de investigacioacuten en Meacutexico en torno a estos temas

El capıtulo 1 presenta una introduccioacuten a la ldquoevolucioacuten diferencialrdquo que es un tipo de algoritmo evolutivo que se ha vuelto muy popular en la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten no lineal Los autores proporcionan una descripcioacuten general de este tipo de algoritmo evolutivo incluyendo el funcionamiento de sus operadores de cruza y mutacioacuten y las diferencias entre sus variantes principales

El capıtulo 2 describe los conceptos baacutesicos de los ldquoalgoritmos geneacuteticos paralelosrdquo a partir de una taxonomıa muy sencilla basada en la granularidad de la paralelizacioacuten enfatizando las diferencias que existen entre los esquemas homogeacuteneos y heterogeacuteneos ası como entre el paralelismo sıncrono y el asıncrono

El capıtulo 3 se enfoca a una variante del algoritmo geneacutetico denominada ldquoprogramacioacuten geneacuteticardquo en la cual se usa una representacioacuten de aacuterbol (la cual permite evolucionar programas) en vez de las cadenas binarias de longitud fija del algoritmo geneacutetico tradicional La programacioacuten geneacutetica ha tomado una gran relevancia en antildeos recientes sobre todo por su aplicabilidad a problemas de aprendizaje y clasificacioacuten

El capıtulo 4 se enfoca en un tema muy importante en computacioacuten evolutiva del cual no suele hablarse mucho la importancia de la diversidad en el disentildeo de un algoritmo evolutivo Los autores hacen una revisioacuten de diversas teacutecnicas que se han propuesto para lidiar con la convergencia prematura (la cual suele ser consecuencia de una peacuterdida abrupta de diversidad en la poblacioacuten) Adicionalmente se incluye un pequentildeo estudio en el que se analizan dos teacutecnicas para mantener diversidad

El capıtulo 5 presenta un tutorial de otra aacuterea que ha tomado gran relevancia en antildeos recientes la optimizacioacuten evolutiva multi-objetivo la cual se enfoca a la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten que tienen dos o maacutes objetivos (normalmente en conflicto entre sı) que deseamos optimizar al mismo tiempo Ademaacutes de proporcionar los conceptos baacutesicos de esta aacuterea se describen brevemente los algoritmos evolutivos multi-objetivo maacutes utilizados en la actualidad ası como las medidas principales de desempentildeo que se utilizan en la literatura especializada En la parte final del capıtulo se describen tambieacuten algunos de los temas de investigacioacuten en los que se estaacute trabajando maacutes dentro de esta aacuterea en la actualidad

El capıtulo 6 estaacute dedicado a las hiper-heurısticas que son teacutecnicas que buscan proporcionar maacutes flexibilidad que los algoritmos evolutivos tradicionales al ser capaces de adaptarse a diversos tipos de problemas y a diferentes instancias de una misma clase de problemas Las hiper-heurısticas son el eslaboacuten intermedio entre las limitantes teoacutericas relacionadas con la aplicabilidad de las metaheurısticas y el anhelado suentildeo del disentildeo automatizado de algoritmos y

constituyen sin lugar a dudas uno de los temas maacutes ricos de investigacioacuten dentro de las metaheurısticas

Doctor Carlos Artemio Coello Coello

Indice general

Proacutelogo 5

Introduccioacuten 13

El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial 15

Mutacioacuten 16

Cruza 18

Seleccioacuten 20

Estructura del Algoritmo 20

Modificaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial 21

Ajuste de paraacutemetros globales 22

Ajuste de paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten 23

Ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten 26

Combinacioacuten de variantes 27

Evolucioacuten Diferencial para otros tipos de problemas 29

DE en Meacutexico 30

Conclusiones 30

Para saber maacutes 31

Introduccioacuten 32

AGds homogeacuteneos y heterogeacuteneos 35

Migracioacuten en AGPs 37

AGs celulares o de grano fino 39

Explotacioacutenexploracioacuten por propiedades estructurales 40

Presioacuten de seleccioacuten por caracteriacutesticas estructurales 43

Anaacutelisis empiacuterico 45

Aceleracioacuten en AGP 46

Concepto de sincronismo en AGPs 47

En AGPs distribuidos viacutea migracioacuten 48

En AGP celulares viacutea criterios de actualizacioacuten 49

Discusioacuten 50

Investigacioacuten de AGPs en Meacutexico 50

Para saber maacutes 51

Introduccioacuten 53

Proceso evolutivo 55

Representacioacuten 56

Poblacioacuten inicial 58

Operadores Geneacuteticos 59

Recombinacioacuten 59

Mutacioacuten 60

Seleccioacuten 61

Espacio de buacutesqueda 62

Conclusiones 63

Para saber maacutes 63

Introduccioacuten 64

Preservacioacuten de diversidad en algoritmos evolutivos 67

Clasificaciones de mecanismos para promover la diversidad 67

Esquemas claacutesicos para administrar la diversidad 68

Esquemas de reemplazamiento basados en diversidad 69

Diversidad en evolucioacuten diferencial 71

Disentildeo de evolucioacuten diferencial basado en diversidad 72

Evolucioacuten diferencial Conceptos baacutesicos 72

Inicializacioacuten 72

Operador de mutacioacuten 72

Operador de cruza 73

Operador de seleccioacuten 73

Propuesta basada en diversidad 74

Resultados de de-edm 77

Disentildeo de operadores de cruza basados en diversidad 87

Algoritmos evolutivos multi-objetivo 87

Operadores de cruza 89

El operador de cruza basado en simulacioacuten binaria - SBX 89

Implementacioacuten y anaacutelisis del operador sbx 90

Propuesta - dsbx 92

Resultados 93

Anaacutelisis de cada modificacioacuten en el operador sbx 95

Modificacioacuten simultaacutenea de varios componentes 96

Conclusiones y trabajo futuro 97

Para saber maacutes 98

Agradeciemientos 99

Introduccioacuten 100

Fundamentos de las Hiper-heuriacutesticas 102

Hiper-heuriacutesticas que seleccionan heuriacutesticas 103

Hiper-heuriacutesticas que generan nuevas heuriacutesticas 105

Modelos de Hiper-heuriacutesticas 106

Modelos Evolutivos 106

Hiper-Heuriacutesticas basadas en Algoritmos Geneacuteticos 106

Hiper-Heuriacutesticas basadas en Programacioacuten Geneacutetica 107

Modelos Neuronales 109

Un ejemplo 109

El problema 110

Las alternativas 110

La informacioacuten del problema 111

Nuestra primer hiper-heuriacutestica 112

Otras hiper-heuriacutesticas 112

Las hiper-heuriacutesticas como un problema de optimizacioacuten 113

Aspectos Avanzados de las Hiper-heuriacutesticas 115

Hiacuteper-heuriacutesticas para Problemas Multi-objetivo 115

Transformacioacuten de Caracteriacutesticas en Hiper-heuriacutesticas 117

Tendencias Futuras de Hiper-heuriacutesticas 119

Para saber maacutes 121

Conclusiones 122

Evolucioacuten Diferencial una breve introduccioacuten Rafael Rivera Loacutepez

Efreacuten Mezura Montes

En este capiacutetulo se hace una descripcioacuten general del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Este tipo de algoritmo evolutivo representa una excelente alternativa para encontrar soluciones cercanas al oacuteptimo a problemas de optimizacioacuten continua complejos Debido a la simplicidad de su implementacioacuten y sus excelentes habilidades de exploracioacuten y explotacioacuten diversas variantes de este algoritmo se han aplicado para resolver problemas con diferentes caracteriacutesticas En este capiacutetulo se describen los elementos baacutesicos del algoritmo asiacute como las diferentes variantes que se han desarrollado para mejorar su desempentildeo

Introduccioacuten Con el nombre de algoritmos evolutivos se identifica a un grupo de procedimientos que se utilizan para resolver muchos problemas praacutecticos y que se distinguen de otras teacutecnicas porque estaacuten inspirados en las teoriacuteas que sintetizan la evolucioacuten Darwiniana y la herencia geneacutetica descrita por Mendel Los algoritmos evolutivos han probado ser herramientas poderosas para encontrar soluciones aceptables a problemas donde otras teacutecnicas fallan o consumen una excesiva cantidad de tiempo Estos algoritmos se destacan por combinar exitosamente dos mecanismos de buacutesqueda exploracioacuten y explotacioacuten La exploracioacuten permite identificar aacutereas prometedoras del espacio de buacutesqueda y la explotacioacuten lleva a cabo una buacutesqueda especializada dentro de estas aacutereas para encontrar soluciones cercanas al oacuteptimo Su aplicacioacuten se extiende en praacutecticamente todas las aacutereas de la actividad humana como por ejemplo en salud educacioacuten ciencias industria economiacutea y defensa Los algoritmos evolutivos tambieacuten han sido utilizados en aacutereas emergentes como la ciencia de datos la inteligencia de negocios y el big data En estos algoritmos un conjunto de soluciones candidatas evoluciona para alcanzar una solucioacuten cercana al oacuteptimo por la aplicacioacuten de procedimientos que permiten recombinar y alterar sus valores En la jerga de los especialistas del aacuterea una solucioacuten candidata se conoce como individuo al conjunto de soluciones se denomina poblacioacuten y los procedimientos involucrados en el proceso evolutivo se identifican como operadores de seleccioacuten cruzamiento y mutacioacuten Comuacutenmente dos individuos son seleccionados y sus valores son recombinados y algunas veces mutados para crear nuevas soluciones candidatas Los nuevos individuos son considerados parte de una nueva poblacioacuten que sustituye a la anterior Entonces una secuencia de nuevas poblaciones son creadas hasta que una condicioacuten de teacutermino es alcanzada y la mejor solucioacuten de

las uacuteltima poblacioacuten es seleccionada como resultado del algoritmo Este proceso evolutivo es guiado por una funcioacuten de aptitud que determina la calidad de cada individuo en la poblacioacuten La figura 1 muestra el esquema general de un algoritmo evolutivo

Esquema general de un algoritmo evolutivo

A lo largo de su desarrollo histoacuterico varios tipos de algoritmos evolutivos han sido implementados difiriendo en la forma de representar a sus individuos y en la implementacioacuten de sus operadores geneacuteticos Auacuten cuando en los antildeos 50 varios autores introducen los teacuterminos evolucioacuten y proceso evolutivo en sus propuestas para resolver diversos problemas es en los antildeos 60 cuando se sientan las bases del desarrollo de los algoritmos evolutivos con la introduccioacuten de tres teacutecnicas la Programacioacuten Evolutiva las Estrategias Evolutivas y los Algoritmos Geneacuteticos Fogel propone en 1962 la Programacioacuten Evolutiva donde las soluciones candidatas se representan con maacutequinas de estados finitos y Rechenberg y Schwefel en 1965 desarrollan las Estrategias Evolutivas que codifican sus individuos con vectores de nuacutemeros reales Los Algoritmos Geneacuteticos introducidos en 1962 por Holland son sin duda el tipo de algoritmo evolutivo maacutes popular Estos algoritmos tradicionalmente utilizan una cadena binaria para representar a sus individuos aunque tambieacuten se han utilizado cadenas de enteros y secuencias de nuacutemeros reales Desarrollos posteriores a estas teacutecnicas han aportado al eacutexito de los algoritmos evolutivos destacaacutendose la Programacioacuten Geneacutetica los Algoritmos Coevolutivos los Algoritmos Culturales el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial los Algoritmos de Estimacioacuten de Distribuciones la Evolucioacuten Gramatical y la Programacioacuten de Expresioacuten de Genes Cada uno de estos algoritmos tienen sus ventajas y sus propios desafiacuteos y han sido utilizados para resolver diferentes tipos de problemas La figura 2 muestra un esquema del desarrollo histoacuterico de los

algoritmos evolutivos En particular el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial ha demostrado ser muy competitivo y exitoso para resolver problemas numeacutericos complejos en comparacioacuten con otros algoritmos

Liacutenea del tiempo del desarrollo de los algoritmos evolutivos

El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Evolucioacuten Diferencial (DE por sus siglas en ingleacutes) es un tipo de algoritmo evolutivo que fue originalmente disentildeado por Storn y Price en 1995 para resolver problemas de optimizacioacuten continua En particular en este algoritmo cada individuo usualmente se representa con un vector de valores continuos de paraacutemetros Ademaacutes en lugar de implementar los operadores de cruza y mutacioacuten tradicionales el algoritmo crea cada nuevo individuo con una combinacioacuten lineal de los valores de dos o maacutes individuos de la poblacioacuten actual que son seleccionados al azar La forma en que se implementan los operadores de cruza y mutacioacuten se ha utilizado en la literatura para identificar las diferentes variantes del algoritmo DEABC es la notacioacuten comuacutenmente usada para nombrar estas variantes donde A y B determinan el tipo de mutacioacuten implementado y C identifica el tipo de cruza implementado por la variante En particular A representa el procedimiento de seleccioacuten de los individuos para construir el individuo mutado y B es el nuacutemero de vectores diferencia usados para el operador de mutacioacuten DE puede considerarse un proceso de tres pasos que incluye una fase de inicializacioacuten el proceso evolutivo y el paso final que determina el resultado obtenido La fase de inicializacioacuten involucra la seleccioacuten y evaluacioacuten de un grupo de NP individuos que son generados aleatoriamente de un espacio de buacutesqueda finito los cuales se utilizan como poblacioacuten inicial del algoritmo conocido como Si para cada y son los valores miacutenimo y maacuteximo del -eacutesimo paraacutemetro en el valor del -eacutesimo individuo en la poblacioacuten inicial es determinado como sigue

x = (x1 x2 hellip xn) n

Ω sube ℝn

X0 j isin 1 hellip n xminj xmax

jj Ω xi

j i xi

donde es un nuacutemero aleatorio uniformemente distribuido dentro del rango El proceso evolutivo implementa un esquema iterativo para evolucionar la poblacioacuten inicial En cada iteracioacuten de este proceso conocido como una generacioacuten una nueva poblacioacuten de individuos es generada utilizando informacioacuten de la poblacioacuten previamente creada A diferencia de otros algoritmos evolutivos el orden de aplicacioacuten de los operadores geneacuteticos en el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial es diferente Primero se aplica la mutacioacuten despueacutes la cruza y al final se lleva a cabo la seleccioacuten del mejor individuo Para cada en la generacioacuten es obtenido de la poblacioacuten y es utilizado para crear un nuevo vector aplicando los operadores de cruza y mutacioacuten Los vectores y son conocidos como el vector objetivo y el vector de prueba respectivamente Estos vectores son evaluados por el operador de seleccioacuten para actualizar la nueva poblacioacuten Los operadores de mutacioacuten cruza y seleccioacuten son descritos en detalle en los siguientes paacuterrafos En el paso final cuando una condicioacuten de paro es alcanzada el algoritmo devuelve el mejor individuo en la poblacioacuten actual La condicioacuten de paro maacutes comuacutenmente utilizada es comparar el nuacutemero de generaciones construidas contra un valor fijo pero otros criterios pueden ser implementados como aquellos descritos por Zielinski y Laur

Mutacioacuten Un vector mutado es construido al combinar los valores de varios individuos aleatoriamente seleccionados de El nuacutemero de individuos seleccionados para realizar la combinacioacuten depende del operador de mutacioacuten implementado por la variante del algoritmo En alguna de estas variantes el individuo con la mejor aptitud en la poblacioacuten es tambieacuten utilizado por el operador de mutacioacuten Entre los diferentes operadores de mutacioacuten descritos en la literatura destacan los siguientes

$$beginaligned

textDErand1quad v^i amp= x^r_1 + textF big( x^r_2 - x^r_3 big)labeleqmut_1

textDEbest1quad v^i amp= x^textbest + textF big( x^r_1 - x^r_2 big) labeleqmut_2

textDEcurrent-to-best1quad v^i amp= x^i + textF big( x^textbest - x^r_1big) + textF big( x^r_2 - x^r_3 big) labeleqmut_3

xij = xmin

j + r (xmaxj minus xmin

j )

r [0 1]

i isin 1 hellip NP g xi

Xgminus1 ui

xi ui

Xgω

vi xrj

Xgminus1

xbest Xgminus1

textDErand2quad v^i amp= x^r_1 + textF big( x^r_2 - x^r_3 big)+textF big( x^r_4 - x^r_5 big) labeleqmut_4

shortintertexty

textDEbest2quad v^i amp= x^textbest + textF big( x^r_1 - x^r_2 big )+ textF big( x^r_3 - x^r_4 big ) labeleqmut_5 endaligned$$

donde F es un valor definido por el usuario que representa un factor de escala aplicado para controlar la variacioacuten diferencial Storn y Price sentildealan que F puede fijarse entre 0 y 2 pero otros autores recomiendan valores entre 04 y 1 En la figura 3 se presenta un ejemplo de la aplicacioacuten del operador de mutacioacuten DErand1 En este ejemplo = = y = Usando F igual a 05 el vector mutado resultante es =

Ejemplo de la creacioacuten de un vector mutado con el esquema DErand1

La mutacioacuten aporta a las habilidades de explotacioacuten y exploracioacuten del meacutetodo Debido a que al inicio del proceso evolutivo los individuos se encuentran relativamente dispersos en el espacio

xr1 (1056 316) xr2

(253 903) xr3 (56 626) vi

(902 454)

de buacutesqueda la diferencia entre los vectores seleccionados es grande por lo que los vectores mutados pueden ubicarse en diferentes aacutereas del espacio de buacutesqueda pero a medida que el proceso evolutivo avanza las soluciones se vuelven maacutes cercanas y las diferencias entre ellos son maacutes pequentildeas lo que produce que los vectores mutados se encuentran concentrados en aacutereas promisorias del espacio de buacutesqueda

Cruza El operador de cruza se utiliza para combinar la informacioacuten entre el vector objetivo y el vector mutado para construir el vector de prueba Por cada o se seleccionan para construir usando un factor de cruza el cual es tambieacuten un valor especificado por el usuario Dos tipos de cruza se utilizan en este caso cruza binomial y cruza exponencial

Cruza binomial En este operador cada valor asignado a es seleccionado de o de comparando el valor CR con un valor seleccionado al azar Para garantizar que al menos un paraacutemetro de toma un valor de este operador utiliza un valor tambieacuten seleccionado al azar Formalmente la cruza binomial se define como

Tomando el vector mutado = del ejemplo de la figura 3 y un vector objetivo = en la figura 4 se muestra un ejemplo de la creacioacuten de un vector de prueba usando la cruza binomial El vector de prueba generado en este ejemplo es =

xr2 minus xr3

j isin 1 hellip n xij vi

jui CR isin [0 1]

ui vi xi

r isin [0 1] ui

vi l isin 1 hellip n

bin uij =

vij si r le CR or j = l

xij de otra forma

vi (902 454) xi

(406 766)ui (406 454)

Ejemplo de la creacioacuten de un vector de prueba usando la cruza binomial

Cruza exponencial Este operador de cruza asigna una secuencia de valores de a Los valores restantes que son asignados a son obtenidos de El tamantildeo de la secuencia se determina con dos valores 1) un iacutendice que representa la posicioacuten inicial de la secuencia en seleccionado aleatoriamente dentro del rango y 2) el nuacutemero de intentos consecutivos en los cuales determina la posicioacuten final de la secuencia como es definida en la Ec ([eqcr_exp]) La cruza exponencial es similar al operador de cruza de dos puntos introducido por Cavicchio

$$beginaligned

textexpquad u_j^i amp=

begincases

v_j^i amp textsi $ l leq j leq min (l+L-1n)$

vi ui

ui xi

l vi

1 hellip n L le n r le CR

x_j^i amp textde otra forma

endcases labeleqcr_expendaligned$$

Por ejemplo si se tienen dos vectores de cinco paraacutemetros = y = y se aplica el operador de cruza exponencial usando un factor de cruza de 06 entonces se debe obtener el valor de y despueacutes generar una secuencia de valores aleatorios para Si =2 y la secuencia de valores de es 06 03 04 y 06 y el vector de prueba que se construye es =

La cruza ayuda al algoritmo a mantener la diversidad de la poblacioacuten y eventualmente evitar que caiga en oacuteptimos locales El valor de CR es complicado de determinar pero algunos autores sentildealan que su valor puede ajustarse entre 03 y 09

Seleccioacuten Un torneo uno-a-uno es aplicado para determinar cual vector entre y es seleccionado como miembro de la nueva poblacioacuten Este esquema de seleccioacuten permite garantizar que el proceso evolutivo mantenga una mejora continua

Estructura del Algoritmo El Algoritmo [algDE] muestra la estructura de una implementacioacuten claacutesica del algoritmo Eacuteste requiere de tres paraacutemetros para controlar el proceso evolutivo (CR F y NP) y tambieacuten la seleccioacuten de un espacio de buacutesqueda para construir la poblacioacuten inicial y la definicioacuten del tamantildeo de individuo de una funcioacuten objetivo para evaluar cada individuo y de una condicioacuten de paro para finalizar el proceso evolutivo

Entrada Salida Un individuo generado aleatoriamente usando la Ec ([eqinicial]) Vector objetivo obtenido aleatoriamente de Vector mutado generado usando alguna de las Ecs ([eqmut_1])ndash([eqmut_5]) Vector de prueba construido usando alguna de las Ecs ([eqcr_bin])ndash([eqcr_exp])

DE tiene varias ventajas en comparacioacuten con otros algoritmos evolutivos como la simplicidad de su implementacioacuten su habilidad para producir mejores resultados que aquellos obtenidos por los demaacutes y su baja complejidad espacial

vi (24 36 12 78 02) xi

(34 96 12 52 31)l

r l rui (24 96 12 52 02)

xi ui

Xg

g larr 0 Xg larr xi larrXg larr Xg cup (i xi) g larr g + 1 Xg larr xi larr

Xgminus1 vi larrui larrXg larr Xg cup (i ui) Xg larr Xg cup (i xi) xbest

Modificaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Aunque DE requiere de la definicioacuten de un nuacutemero menor de paraacutemetros en comparacioacuten con el nuacutemero de paraacutemetros requeridos por otros algoritmos evolutivos su desempentildeo es sensible a los valores seleccionados de CR F y NP Varios autores sentildealan que los valores adecuados para estos paraacutemetros pueden variar para diferentes problemas y es conocido que la definicioacuten de estos paraacutemetros depende de las caracteriacutesticas propias de cada problema Ademaacutes Lampinen y Zelinka sentildealan que este algoritmo puede presentar el problema de estancamiento debido a una incorrecta seleccioacuten de sus paraacutemetros El estancamiento en un algoritmo se presenta cuando eacuteste no converge a alguna solucioacuten y la poblacioacuten presenta una gran diversidad de individuos Por lo anterior la mayoriacutea de los estudios realizados para mejorar el desempentildeo del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial se relacionan con teacutecnicas para ajustar los valores de sus paraacutemetros (F CR y NP) y para combinar las ventajas de las diferentes variantes del algoritmo usando un subconjunto de ellas en lugar de solamente aplicar una variante En los siguientes paacuterrafos se describen las propuestas para mejorar el desempentildeo del algoritmo que se consideran los maacutes representativos en la literatura especializada Para simplificar su descripcioacuten estas propuestas se agrupan de acuerdo al criterio utilizado Ajuste de paraacutemetros y combinacioacuten de variantes Por un lado debido a que F y CR son los paraacutemetros del algoritmo maacutes estudiados y donde maacutes variantes de mejora han sido desarrolladas estos estudios se agrupan en enfoques que usan paraacutemetros globales y enfoques que usan paraacutemetros para cada individuo Adicionalmente se presentan los enfoques relacionados con el ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten y tambieacuten aquellos donde se modifica la forma que generar los vectores mutados dentro del proceso evolutivo La figura 5 presenta un esquema del desarrollo histoacuterico de estos enfoques

Liacutenea del tiempo de las modificaciones a DE

Ajuste de paraacutemetros globales En estos enfoques los operadores geneacuteticos utilizan los mismos valores para F y CR en todos los individuos de una misma poblacioacuten como se ilustra en la figura 6 Estos valores se actualizan al finalizar cada generacioacuten con el aacutenimo de mejorar las habilidades de exploracioacuten y explotacioacuten del algoritmo Dos enfoques se concentran en ajustar el valor de F manteniendo fijo el valor de CR En 2004 Ali y Toumlrn lo actualizan considerando la aptitud del mejor y del peor individuo en la poblacioacuten y Das et al en 2005 proponen dos enfoques para modificar su valor el primero lo modifica de forma aleatoria y el segundo reduce su valor de forma lineal conforme el proceso evolutivo avanza Por otro lado Liu y Lampinen en 2005 proponen un enfoque diferente al cual denominan FADE (Fuzzy Adaptive DE algorithm) En este algoritmo los valores de F y CR se ajustan usando un sistema de control loacutegico difuso El sistema utiliza las diferencias entre generaciones sucesivas tanto de los valores de los individuos como de sus valores de aptitud Finalmente Dra et al en 2015 proponen una versioacuten alternativa denominada SinDE (Sinusoidal DE) en donde los valores de F y CR se ajustan utilizando foacutermulas trigonomeacutetricas permitiendo cambiar la direccioacuten del vector diferencia dentro del operador de mutacioacuten

Esquema de ajuste de paraacutemetros globales del algoritmo

Ajuste de paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten En este tipo de algoritmos cada individuo de la poblacioacuten tiene asociado su propio conjunto de paraacutemetros como se muestra en la figura 7 Estos paraacutemetros se ajustan de forma independiente dentro del proceso evolutivo como se esquematiza en la figura 8

Paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten

En 2005 Omran et al asocian el valor de F a cada individuo de la poblacioacuten en su meacutetodo denominado SDE (self-adaptive DE) Este meacutetodo actualiza el valor de F combinando los valores de F de tres individuos de la poblacioacuten actual que son seleccionados aleatoriamente En 2006 Brest et al describen su meacutetodo denominado jDE donde los valores de F y CR se pueden modificar en cada iteracioacuten del proceso evolutivo basados en una decisioacuten estocaacutestica utilizando un par de umbrales previamente definidos En 2007 Zhang y Sanderson implementan un meacutetodo conocido como JADE donde F y CR son ajustados utilizando distribuciones normales independientes cuya media es calculada usando el promedio de los vectores mutados mejor adaptados en cada iteracioacuten En 2011 Ghosh et al actualizan los valores de estos paraacutemetros en base al valor de aptitud de los individuos en la poblacioacuten en un meacutetodo denominado FiADE (Fitness-Adaptive DE) Una versioacuten parecida es presentada en 2015 por Tang et al en el meacutetodo llamado IDE (DE with an individual-dependent mechanism) En 2011 Bi y Xiao describen el meacutetodo p-ADE (pbest vector-based self-adaptive DE variant) donde el vector mutado se crea usando el mejor individuo en la poblacioacuten y el mejor de los vectores que se utilizaron para crear al vector objetivo Los valores de F y CR de cada individuo son ajustados usando un factor asociado a las mejores y peores aptitudes de los individuos en la poblacioacuten En 2012 Islam et al introdujeron el meacutetodo llamado MDEpBX (modified DE with p-best crossover) donde se modifica la variante DEcurrent-to-best1 al utilizar el mejor elemento de un grupo de individuos seleccionados aleatoriamente de la poblacioacuten actual en lugar de usar el mejor individuo de la poblacioacuten Los valores de los paraacutemetros se ajustan en base a un par de distribuciones independientes que son actualizadas al final de cada generacioacuten En 2013 Tanabe y Fukunaga implementan el meacutetodo SHADE (Success-History based Adaptive DE) que basaacutendose en JADE actualiza los valores de F y CR usando una memoria de los vectores mutados que han sido exitosamente seleccionados previamente dentro del proceso evolutivo A partir de SHADE

varias versiones se han desarrollado como el meacutetodo L-convSHADE (SHADE using covariance matrix learning with Euclidean Neighborhood) y el meacutetodo LSHADE-SPA (LSHADE with semi parameter adaptation) En 2016 Leon y Xiong introducen una estrategia voraz para actualizar los valores de los paraacutemetros de cada individuo en el meacutetodo llamado GADE (Greedy Adaptive DE) Se utilizan los valores de los paraacutemetros de las soluciones vecinas para ajustar los paraacutemetros del nuevo vector mutado Finalmente Mohamed y Mohamed en 2017 proponen el meacutetodo denominado AGDE (Adaptive guided DE)

Esquema de ajuste de paraacutemetros para cada individuo de la poblacioacuten

Ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten En los enfoques descritos previamente solamente se ajustan los valores de F y CR manteniendo el tamantildeo de la poblacioacuten constante Diversos estudios indican que el tamantildeo de la poblacioacuten tambieacuten afecta al desempentildeo de un algoritmo evolutivo por lo que existen trabajos que se han centrado en ajustar el tamantildeo de la poblacioacuten para garantizar la convergencia del algoritmo Existen algunos enfoques donde se ajusta el tamantildeo de la poblacioacuten y se describiraacuten a continuacioacuten En la figura 9 se muestra el esquema general en que estos enfoques ajustan el tamantildeo de la poblacioacuten durante el proceso evolutivo

Esquema general del ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten en DE

En 2006 Teo describe el meacutetodo DESAP (Differential Evolution with self-adapting populations) donde el tamantildeo de la poblacioacuten se ajusta usando un factor distribuido uniformemente entre 0 y 1 En 2008 Brest y Sepesy Maučec presentan el algoritmo dynNP-DE (DE con NP dinaacutemico) donde van reduciendo a la mitad el tamantildeo de la poblacioacuten conforme el proceso evolutivo progresa Utilizando el nuacutemero total de evaluaciones y un paraacutemetro que indica el nuacutemero de posibles reducciones el algoritmo establece en queacute generaciones el algoritmo reduciraacute el tamantildeo de la poblacioacuten En 2014 Tanabe y Fukunaga presentaron una versioacuten con ajuste de poblacioacuten del meacutetodo SHADE denominada L-SHADE donde se aplica una reduccioacuten lineal del tamantildeo de la poblacioacuten previo a una ordenacioacuten a los individuos por su aptitud que permite eliminar solo

los individuos peor adaptados En 2017 Bujok y Tvrdiacutek describen el meacutetodo IDEbd (IDE with Population Size Adaptation) en donde el tamantildeo de la poblacioacuten es adaptado usando un factor calculado en base al nivel de diversidad de la poblacioacuten actual

Combinacioacuten de variantes Debido a la forma de combinar los individuos para crear el vector de prueba de cada una de las variantes de DE estaacutes presentan diferentes capacidades de exploracioacuten y explotacioacuten ademaacutes de que son maacutes efectivas para diferentes tipos de problemas Por ejemplo la variante DErand1 es mejor para explorar el espacio de buacutesqueda pero tiene una velocidad de convergencia lenta y DEbest1 converge maacutes raacutepido hacia soluciones cercanas a la oacuteptima pero solo para problemas con un uacutenico oacuteptimo global (unimodales) Debido a que usar diferentes estrategias de mutacioacuten durante diferentes momentos del proceso evolutivo pueden ser mejor que usar una sola variante durante todo el proceso varios autores se han enfocado en desarrollar estrategias para combinar diferentes variantes de DE y lograr con esto que cooperen en la creacioacuten de un mejor vector objetivo La figura 10 muestra un esquema general de la forma en que se aplican estas estrategias dentro del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial

Esquema general de la estrategia de combinacioacuten de variantes de DE

En 2005 Qin y Suganthan describieron una versioacuten conocida como SADE (Self-Adaptive DE algorithm for numerical optimization) donde introducen un esquema que selecciona de forma alternada una de dos variantes del algoritmo de acuerdo a su tasa de eacutexito dentro del proceso evolutivo En 2009 Das et al presentaron el meacutetodo llamado DEGL (DE with Global and Local Neighborhoods) donde cada nuevo vector mutado se crea combinando dos vectores uno construido usando una vecindad del vector objetivo (vector local) y otro creado usando el mejor

individuo de la poblacioacuten (vector global) En 2011 Mallipeddi et al asignaron a cada individuo de la poblacioacuten el tipo de variante para generar el vector mutado y los valores para F y CR en el meacutetodo EPSDE (Ensemble of mutation strategies and parameters in DE) Tanto el tipo de variante como los valores de los paraacutemetros se escogen aleatoriamente de un grupo de ellos que es previamente definido Dependiendo del eacutexito de la aplicacioacuten de dichos valores eacutestos se pueden cambiar durante el proceso evolutivo Tambieacuten en ese mismo antildeo Wang et al en su meacutetodo CoDE (Composite DE) crean tres vectores para cada vector objetivo Cada vector es construido usando variantes diferentes y con paraacutemetros generados aleatoriamente El mejor de los tres vectores se usa como vector de prueba para aplicar el operador de seleccioacuten Adicionalmente Zhao et al implementaron un meacutetodo muy similar denominado SaDE-MMTS (SaDE with a modified multi-trajectory search) donde el vector mutado se selecciona de entre los vectores generados por tres diferentes variantes del algoritmo pero la seleccioacuten se hace en base a una probabilidad que iterativamente se ajusta en base a la cantidad de vectores mutados que son exitosamente seleccionados En 2017 Ghosh et al propusieron el meacutetodo NRDE (Noise Resilient DE) donde cada individuo puede ser mutado por alguna de dos variantes con igual probabilidad Los valores de F y CR son ajustados para cada individuo basado en un rango preestablecido previamente

Evolucioacuten Diferencial para otros tipos de problemas Aunque DE fue definido originalmente para resolver problemas de optimizacioacuten continua sin restricciones tambieacuten se ha utilizado con eacutexito para resolver otros tipos de problemas como aquellos donde los valores de las variables del problema son discretos donde el espacio de buacutesqueda estaacute limitado por una o maacutes restricciones y aquellos donde se manejan dos o mas objetivos Prado et al describe varias adaptaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial para problemas de optimizacioacuten combinatoria como aquellos que implementan una matriz de permutacioacuten los que obtienen una secuencia ordenada de valores y los que aplican una transformacioacuten de los valores continuos al espacio discreto En el caso de los problemas de optimizacioacuten con restricciones Mezura-Montes et al describen varios enfoques que se han utilizado para aplicar DE en este tipo de problemas como aquellos que utilizan teacutecnicas para eliminar o reparar soluciones infactibles y los que implementan teacutecnicas de penalizacioacuten Finalmente para problemas de optimizacioacuten multi-objetivo Mezura-Montes et al resume las principales teacutecnicas basadas en el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial para manejar dos o maacutes objetivos como los enfoques basados en dominancia de Pareto y en jerarquizacioacuten de Pareto asiacute como los meacutetodos que no se basan en Pareto y los enfoques que combinan diferentes estrategias Hoy en diacutea existen tambieacuten algoritmos basados en descomposicioacuten y en indicadores de desempentildeo

DE en Meacutexico En el paiacutes se tiene mucha actividad en investigacioacuten relacionada con DE particularmente el grupo EVOCINV de CINVESTAV Zacatenco estudia a este algoritmo en optimizacioacuten multi-objetivo y temas afines al manejo de muacuteltiples objetivos como algoritmos basados en indicadores modelos subrogados operadores de seleccioacuten operadores de variacioacuten adaptacioacuten de paraacutemetros entre otros temas

En el Centro de Investigacioacuten en Inteligencia Artificial de la Universidad Veracruzana se desarrolla investigacioacuten en optimizacioacuten con restricciones usando DE aplicaciones de DE en mecatroacutenica y en control automaacutetico DE y buacutesqueda local optimizacioacuten dinaacutemica multi-objetivo DE asistida por subrogados en espacios restringidos entre otras temaacuteticas

Recientemente en el Instituto Tecnoloacutegico de Veracruz se desarrollan aplicaciones de DE en aprendizaje automaacutetico en el Centro de Innovacioacuten y Desarrollo Tecnoloacutegico en Coacutemputo (CIDETEC) del IPN se aplica DE en problemas de mecatroacutenica y en el Centro de Investigacioacuten en Matemaacuteticas se aplica en procesos quiacutemicos

Todas estas menciones soacutelo son representativas pues la DE al ser un algoritmo faacutecil de implementar y que provee resultados competitivos ha sido particularmente atractiva para su estudio y aplicacioacuten en instituciones mexicanas

Conclusiones El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial es un enfoque exitoso para resolver problemas de optimizacioacuten continua sin restricciones Los individuos que evolucionan al aplicar los operadores de este algoritmo tradicionalmente se codifican como secuencias de nuacutemeros reales pero otras representaciones se han utilizado tambieacuten Ademaacutes con la inclusioacuten de diversas estrategias para manejar varios objetivos y conjuntos de restricciones DE se puede aplicar para resolver otro tipo de problemas DE se distingue por depender de la definicioacuten de un menor nuacutemero de paraacutemetros que otros algoritmos evolutivos pero esto tambieacuten lo hace muy sensible a la definicioacuten de los valores para esos paraacutemetros Diversos variantes del algoritmo han sido desarrolladas para mejorar el desempentildeo del algoritmo generando un abanico de alternativas para resolver casi cualquier tipo de problema El estudio del comportamiento de este algoritmo y la definicioacuten de nuevas propuestas de desarrollo sin duda aportaraacute a la resolucioacuten maacutes eficiente de problemas complejos que interesan a la comunidad cientiacutefica

Para saber maacutes Para aquellos lectores que deseen abundar en el tema las siguientes referencias sobre DE pueden ser de intereacutes

bull El libro sobre DE escrito por los autores originales del algoritmo

bull Una revisioacuten muy completa de la literatura de DE y su versioacuten actualizada

bull Otra revisioacuten de la literatura acompantildeada de un estudio experimental

bull Una revisioacuten de estudios teoacutericos sobre DE

bull Un libro editado con temas diversos y recientes sobre DE

bull DE para resolver problemas de optimizacioacuten multi-objetivo

bull DE y su papel importante en espacios restringidos

Algoritmos Geneacuteticos Paralelos Alicia Morales-Reyes

Introduccioacuten Las teacutecnicas evolutivas son aptas para su paralelizacioacuten tanto a nivel algoriacutetmico como a nivel de ejecucioacuten En particular los algoritmos geneacuteticos (AGs) han sido investigados desde esta perspectiva y esquemas paralelos han surgido desde el inicio de su desarrollo La paralelizacioacuten de los AGs persigue la mejora de su desempentildeo algoriacutetmico en teacuterminos de eficiencia y eficacia y la reduccioacuten de tiempos de ejecucioacuten en sus distintos dominios de aplicacioacuten

Una clasificacioacuten general de los Algoritmos Geneacuteticos Paralelos (AGPs) los agrupa por su granularidad en AGPs de grano fino y grueso Los AGPs de grano grueso dividen la poblacioacuten agrupada en panmixia en varias sub-poblaciones permitiendo la migracioacuten de individuos entre 1

eacutestas De esta forma se reduce el nuacutemero de individuos en cada unidad de procesamiento En consecuencia se establece un fuerte viacutenculo entre la algoritmia y la implementacioacuten de estas teacutecnicas Sin embargo utilizar una uacutenica unidad de procesamiento para la evolucioacuten de varias sub-poblaciones ha sido un contexto tambieacuten explorado como un mecanismo de mejora del desempentildeo algoriacutetmico

Los AGPs de grano grueso tambieacuten llamados Algoritmos Geneacuteticos distribuidos (AGds) han permitido la exploracioacuten de nuevas vertientes de la versioacuten estaacutendar de los AGs Tener diferentes paraacutemetros de configuracioacuten para realizar las operaciones geneacuteticas implementar granularidades distintas incorporar el operador de migracioacuten han sido caracteriacutesticas a explorar que pueden culminar en un mejor desempentildeo de los AGs

En la figura 1 se muestra un diagrama de un AG distribuido Cada poblacioacuten es centralizada y se necesitan definir criterios en teacuterminos de tasa y frecuencia de migracioacuten Tambieacuten se necesita definir si la migracioacuten seraacute siacutencrona o asiacutencrona Herrera et al presentaron un esquema de un AGP distribuido con poblaciones heterogeacuteneas Utilizaron la estructura de un hipercubo posicionando en cada veacutertice una sub-poblacioacuten Dependiendo de la ubicacioacuten de cada sub-poblacioacuten la buacutesqueda implica mayor explotacioacuten o exploracioacuten Esto se logra de manera interna viacutea la configuracioacuten de los operadores geneacuteticos De esta forma se procura mantener la diversidad de soluciones de forma global y asiacute mejorar la calidad de las soluciones encontradas

Una poblacioacuten en panmixia es aquella donde todos sus individuos sin restricciones pueden 1

reproducirse entre si

Diagrama poblacional de un AGP distribuido o de grano grueso

La principal diferencia entre los AGP de grano fino con respecto a los AGP distribuidos o de grano grueso es la descentralizacioacuten de su poblacioacuten y en consecuencia la localizacioacuten del proceso de seleccioacuten de individuos En la figura 2 se muestra un esquema poblacional de un AGP de grano fino tambieacuten conocido como AG celular (AGc) De manera comuacuten se utiliza una topologiacutea de malla conectada de forma toroidal como lo muestra la figura Un individuo de la poblacioacuten se ubica en cada cruce de la malla y alrededor de eacutel se define un vecindario cuyas soluciones participan en los procesos de seleccioacuten recombinacioacuten y mutacioacuten para la evolucioacuten de eacuteste En la figura 2 se ilustra un vecindario tipo Moore con 9 individuos

En los AGs celulares cada individuo o solucioacuten interactuacutea con sus vecinos maacutes cercanos logrando de esta forma el esparcimiento suave de las soluciones a traveacutes de la malla debido al traslape de vecindarios En los AGs distribuidos la asociacioacuten entre soluciones se pierde en comparacioacuten con los AGs celulares Esta es otra caracteriacutestica importante de los AGc que permite la exploracioacuten global del espacio de buacutesqueda mientras que localmente los individuos explotan la regioacuten cercana a su ubicacioacuten

Diagrama poblacional del AG celular o de grano fino

La paralelizacioacuten de los algoritmos evolutivos en particular de los algoritmos geneacuteticos persigue distintos objetivos Por ejemplo la evolucioacuten simultaacutenea de sub-poblaciones lo cual permite descubrir nueva rutas para solucionar un problema y en consecuencia reducir el nuacutemero de generaciones para converger a la solucioacuten oacuteptima Aunado a esto los tiempos de procesamiento pueden tambieacuten acortarse La paralelizacioacuten de AGs se puede realizar a distintos niveles Asiacute mismo es posible la combinacioacuten de sub-poblaciones con distintas dinaacutemicas internas Por ejemplo algunas sub-poblaciones podriacutean evolucionar en un esquema de panmixia y otras en un esquema celular Este tipo de esquemas poblacionales se discutiraacuten a detalle en la subseccioacuten 11

Una operacioacuten importante en los procesos evolutivos de los AGs distribuidos es la migracioacuten de los individuos entre sub-poblaciones Durante el proceso de buacutesqueda uno o maacutes individuos son seleccionados para migrar y reemplazar a otros individuos de otras sub-poblaciones Los criterios de migracioacuten requieren no soacutelo de la tasa y la frecuencia de migracioacuten sino tambieacuten de criterios de seleccioacuten y reemplazo de individuos al llegar a las otras sub-poblaciones El proceso de migracioacuten puede realizarse de forma siacutencrona o asiacutencrona La migracioacuten siacutencrona supone que todas las sub-poblaciones estaacuten en el mismo estado de la buacutesqueda y la migracioacuten de individuos entre sub-poblaciones ocurre de manera simultaacutenea Por otro lado la migracioacuten asiacutencrona supone que cada sub-poblacioacuten determina el momento en que los individuos deben migrar En la sub-seccioacuten 24 se aborda el efecto del sincronismo en los mecanismos de migracioacuten

Cantuacute-Paz et al presentoacute un estudio completo en AGs distribuidos tanto desde el punto de vista teoacuterico como del praacutectico Debido al nuacutemero de paraacutemetros que se deben definir en los AGds Cantuacute-Paz et al iniciaron con la solucioacuten de un problema de optimizacioacuten para determinar el tamantildeo adecuado de las sub-poblaciones para alcanzar una cierta calidad de la misma Utilizaron un modelo matemaacutetico considerando la hipoacutetesis de los bloques constructores propuesta por Holland y extendida por Goldberg El estudio se verifica en varios problemas con un grado alto de precisioacuten mostraacutendose una buena respuesta a la escalabilidad

Para determinar escenarios de operacioacuten liacutemite en teacuterminos de eficiencia analizaron la interaccioacuten de las sub-poblaciones y su efecto en la calidad de las soluciones Previamente se ha investigado el cambio en la calidad de las soluciones debido a la forma de interaccioacuten de las sub-poblaciones Tener sub-poblaciones evolucionando de manera independiente con muy poca o nula interaccioacuten entre ellas resulta en soluciones menos precisas mientras mejores soluciones se obtienen viacutea el esquema de panmixia tradicional Sin embargo cuando se definen criterios de migracioacuten adecuados y un cierto nuacutemero de soluciones migran entre sub-poblaciones a una frecuencia media o baja el desempentildeo en general de los AGds mejora alcanzando en un nuacutemero de casos aceleraciones super-lineales y mejor calidad de las soluciones encontradas Se puede inferir entonces la importancia del operador de migracioacuten el cual seraacute analizado en detalle en la sub-seccioacuten 12

AGds homogeacuteneos y heterogeacuteneos Existen distintos escenarios en los que se pueden definir y aplicar AGds con esquemas poblaciones homogeacuteneos y heterogeacuteneos es decir combinaciones de poblaciones centralizadas y descentralizadas A nivel algoriacutetmico se puede definir la misma o una diferente configuracioacuten de operadores geneacuteticos A partir de esas configuraciones distintas diferentes configuraciones de paraacutemetros se pueden determinar para ejecutar la buacutesqueda en cada sub-poblacioacuten Por ejemplo distintas definiciones del operador de recombinacioacuten o bien de las probabilidades de mutacioacuten pueden operar sobre los individuos de cada sub-poblacioacuten La comunidad en el aacuterea ha incluso explorado escenarios donde las soluciones se representan de manera distinta entre sub-poblaciones Por otro lado a nivel de implementacioacuten se han explorado esquemas con sub-poblaciones heterogeacuteneas Por ejemplo Alba et al realizoacute un estudio en distintas plataformas de coacutemputo ejecutando sub-poblaciones en panmixia y celulares

Como se puede apreciar el desarrollo de un esquema de AG paralelos ya sean distribuidos o descentralizados conlleva la definicioacuten de un nuacutemero de paraacutemetros que afectaraacute de manera importante su desempentildeo algoriacutetmico Otro ejemplo es la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten en espacios continuos que se han abordado a traveacutes de un esquema de AGP utilizando una versioacuten mejorada con cromosomas codificados con nuacutemeros reales Para esto se

definioacute una topologiacutea doble con un hipercubo que se comparoacute con una topologiacutea sencilla Las sub-poblaciones ubicadas en sus veacutertices promoviacutean mayor o menor exploracioacuten u explotacioacuten de las regiones viacutea la configuracioacuten de los operadores geneacuteticos La migracioacuten entre las sub-poblaciones afectoacute directamente los tiempos de ejecucioacuten por medio de la reduccioacuten del nuacutemero de evaluaciones La capacidad de buacutesqueda de la topologiacutea doble superoacute a la de la topologiacutea sencilla

Cuando pensamos en paralelizar alguna teacutecnica algoriacutetmica nos viene a la mente acelerar los procesos de ejecucioacuten Sin embargo la paralelizacioacuten de los algoritmos evolutivos podriacutea mejorar tanto los procesos de buacutesqueda algoriacutetmica como los tiempos de ejecucioacuten Es asiacute que a nivel de implementacioacuten se utilizado coacutemputo heterogeacuteneo para la evaluacioacuten de esquemas de AGPs Por ejemplo Alba et al propusieron utilizar una plataforma heterogeacutenea en la cual distintos sistemas operativos con distintas restricciones de ejecucioacuten implementaban un modelo de AGPs distribuidos Las sub-poblaciones se conectaron en un arreglo de anillo unidireccional cada sub-poblacioacuten ejecutaba un modelo poblacional de estado estable A cada generacioacuten se produciacutea un individuo que reemplazaba a la peor solucioacuten obtenida Se establecioacute un esquema de migracioacuten asiacutencrona que demostroacute mejores resultados ver 3 En general se observoacute un mejor desempentildeo de la ejecucioacuten del esquema paralelo en la plataforma heterogeacutenea en comparacioacuten con la homogeacutenea se redujo el nuacutemero de evaluaciones debido a la explotacioacuten de soluciones a distintas tasas de migracioacuten

AGP con topologiacutea poblacional de anillo unidireccional implementada en una plataforma de coacutemputo heterogeacutenea La migracioacuten entre sub-poblaciones es asiacutencrona y responde a una dinaacutemica de estado estable

Migracioacuten en AGPs Como se explicoacute anteriormente la incorporacioacuten de un nuevo operador llamado migracioacuten se hace latente en los esquemas paralelos de los AGs En los esquemas de grano grueso donde se tienen sub-poblaciones de grano fino y grueso evolucionando simultaacuteneamente la migracioacuten se debe considerar como un mecanismo que introduce nuevos individuos y por lo tanto promueve o restaura la diversidad entre sub-poblaciones De forma distinta en los AGs celulares o de grano fino un mecanismo de migracioacuten impliacutecito trabaja durante el proceso de buacutesqueda debido al traslape de vecindarios que permite la difusioacuten de soluciones a lo largo y ancho de la topologiacutea definida para la poblacioacuten Este mecanismo de migracioacuten es inherente a la estructura de los AGs celulares y no requiere de un paraacutemetro de frecuencia o tasa de migracioacuten o ninguacuten otro mecanismo de seleccioacuten y reemplazo

Revisaremos ahora evaluaciones empiacutericas que se han realizado a criterios de migracioacuten definidos para AGPs de grano grueso Aunque estos criterios son definidos para este tipo de esquemas paralelos tambieacuten es posible aplicar un segundo criterio migratorio en AGs celulares ademaacutes del mecanismo natural inherente a estos

Para establecer un criterio de migracioacuten adecuado y mejorar el desempentildeo algoriacutetmico de los AGPs de grano grueso se examinaron los casos liacutemite para aplicar el proceso de migracioacuten Se

sugiere mantener un cierto nivel de aislamiento entre las sub-poblaciones Si la sub-poblacioacuten evoluciona en completo aislamiento las mejoras en diversidad son miacutenimas y por ende la capacidad de buacutesqueda se ve reducida Por otro lado si se aplica el operador de migracioacuten con una frecuencia maacutexima el costo computacional se incrementa de manera significativa Por lo tanto el objetivo de la migracioacuten es evitar el aislamiento entre sub-poblaciones mientras se mantiene un nivel aceptable de comunicacioacuten entre eacutestas

Es posible calcular experimentalmente el nuacutemero adecuado de unidades de procesamiento para minimizar el tiempo de ejecucioacuten de un esquema de AGPs El anaacutelisis considera casos liacutemite en teacuterminos de conectividad entre sub-poblaciones es decir el caso de tener frecuencias de migracioacuten miacutenimas y maacuteximas La conclusioacuten teoacuterica para una poblacioacuten indica que el nuacutemero

oacuteptimo de unidades de procesamiento estaacute dado por donde es el tamantildeo de la

poblacioacuten es el tiempo de coacutemputo de la funcioacuten objetivo de un individuo y es el tiempo promedio de comunicacioacuten para una unidad de procesamiento Esto quiere decir que dividiendo una poblacioacuten en sub-poblaciones distribuidas en muacuteltiples unidades de procesamiento reduce el tiempo global de ejecucioacuten La misma conclusioacuten se logroacute para un esquema de muacuteltiples poblaciones considerando ademaacutes la evaluacioacuten de funciones objetivo separables Esto quiere decir que utilizar un nuacutemero de unidades de procesamiento en un esquema evolutivo paralelo tiene un impacto positivo en la reduccioacuten de los tiempos de ejecucioacuten

Es tambieacuten importante analizar el efecto de los criterios de migracioacuten que se utilizan en esquemas de AGPs de grano grueso El objetivo principal es determinar coacutemo el operador de migracioacuten afecta la presioacuten de seleccioacuten inducida e impliacutecitamente poder explicar las aceleraciones super-lineales que se pueden modelar para este tipo de esquemas La forma en que los individuos se seleccionan para migracioacuten y reemplazo tienen un efecto considerable en la presioacuten de seleccioacuten y se ha observado que tasas altas de migracioacuten producen un incremento en eacutesta Tener una presioacuten de seleccioacuten alta afecta la buacutesqueda al producir una convergencia prematura a un oacuteptimo local

Aunque la operacioacuten de migracioacuten se ha investigado principalmente para esquemas de AGPs de grano grueso tambieacuten se ha revisado su efecto en AGPs de grano fino considerando tanto el mecanismo de migracioacuten impliacutecita viacutea el traslape de vecindarios como la definicioacuten de criterios para migracioacuten de individuos desde y hacia distintas posiciones de la topologiacutea de malla definida para la poblacioacuten Por ejemplo se han utilizado estructuras de aacuterboles binarios para dividir una topologiacutea de malla de dos dimensiones en formaciones conceacutentricas de individuos definiendo para cada formacioacuten criterios de migracioacuten distintos El intercambio de individuos entre estas

OnTf

Tcn

Tf Tc

formaciones definidas por su estructura alenta el proceso de buacutesqueda permitiendo una mayor exploracioacuten Los resultados mostraron un mejor desempentildeo en la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten con restricciones el operador de mutacioacuten se aplica para evitar la presencia de super individuos que pueden dirigir la buacutesqueda al estancamiento conquistando la topologiacutea de malla mucho maacutes raacutepido En la siguiente seccioacuten se abordaraacute el comportamiento de los AG celulares o de grano fino

AGs celulares o de grano fino Los AGs celulares o de grano fino se construyen a partir de poblaciones descentralizadas donde los individuos interactuacutean con otros individuos ubicados dentro de un vecindario definido Es decir interactuacutean con los vecinos maacutes cercanos Usualmente los AGCs se implementan en topologiacuteas de mallas de -dimensionales manteniendo conexiones toroidales entre los cruces de malla utilizando formas comunes como una malla lineal cuadrada o rectangular

El procesamiento de los AG celulares corresponde al de los Autoacutematas Celulares (ACs) Estos determinan una regla global que define un comportamiento especiacutefico que se construye a partir de reglas locales Se han explorado ACs de una dos y tres dimensiones en combinacioacuten con AGs con la finalidad de evolucionar el comportamiento global requerido Esta combinacioacuten de un AC y un AG originoacute el nombre de AG celular con la diferencia de tener una representacioacuten maacutes elaborada en cada cruce de la malla cromosomas Se observoacute que la informacioacuten de las reglas locales o individuos alcanzaba distancias lejanas dentro de la malla definida esto debido al traslape de los vecindarios De esta forma se determinoacute que la informacioacuten se mueve entre vecindarios permitiendo acelerar el proceso de crear nuevos comportamientos ad-hoc al problema que se esteacute solucionando y con una peacuterdida miacutenima de informacioacuten

El pseudocoacutedigo [algCellularGeneticAlgorithmPseudocode] es el estaacutendar de un AG celular En un primer paso se genera una poblacioacuten inicial de forma aleatoria ubicando cada individuo en un cruce de la topologiacutea de malla Esta poblacioacuten inicial se evaluacutea de acuerdo a la funcioacuten objetivo del problema a resolver Posteriormente da inicio el ciclo reproductivo principal Se define un vecindario local con individuos ubicados de forma cercana A partir de eacutestos y del individuo ubicado en el cruce de la malla se seleccionan a los padres para reproducirse Existen distintos meacutetodos de seleccioacuten que se utilizan en los AG celulares Se pueden utilizar los que comuacutenmente se aplican en los AGs con poblaciones centralizadas como el torneo binario ruleta o seleccioacuten determinista Existen tambieacuten otros meacutetodos especiacuteficos a los AG celulares como son la seleccioacuten ceacutentrica o anisotroacutepica Una vez seleccionados los padres se recombinan y los hijos se mutan No hay diferencia entre la aplicacioacuten de los operadores de recombinacioacuten y mutacioacuten con respecto a los AG tradicionales

n

Debido a la descentralizacioacuten de la poblacioacuten el reemplazo de eacutesta puede ocurrir de forma siacutencrona o asiacutencrona El reemplazo asiacutencrono requiere del almacenaje temporal de la poblacioacuten hasta que todos los individuos concluyen su ciclo reproductivo El reemplazo siacutencrono requiere de la definicioacuten del criterio para implementarla Los distintos criterios que se han utilizado para el reemplazo se explicaraacuten en la sub-seccioacuten 24

poblacioacuten inicial evaluacioacuten seleccioacuten de padres vecinario L5 recombinacioacuten mutacioacuten evaluacioacuten reemplazo

Explotacioacutenexploracioacuten por propiedades estructurales Debido a la descentralizacioacuten de la poblacioacuten y la definicioacuten de una topologiacutea de malla las caracteriacutesticas estructurales de los AG celulares tienen un impacto importante en los procesos de buacutesqueda La forma y la dimensioacuten de la topologiacutea el nuacutemero de individuos dentro del vecindario entre otras son caracteriacutesticas de la estructura que necesitan definirse Ademaacutes otras operaciones durante el ciclo evolutivo como el proceso de seleccioacuten local el reemplazo de individuos criterios de migracioacuten entre otras estaacuten tambieacuten asociadas a estas caracteriacutesticas de estructura

La topologiacutea de malla que es comuacutenmente utilizada en los AG celulares se muestra en la figura 2 Se ha reportado que distintas formas de malla en combinacioacuten con distintos tipos de vecindarios inducen una mayor o menor presioacuten de seleccioacuten Para modelar el efecto de ambas estructuras se utiliza un patroacuten de dispersioacuten con puntos (la posicioacuten de cada solucioacuten en la malla) a partir de una posicioacuten central con coordenadas Se calcula la medida de dispersioacuten debido a que otras medidas como el radio de una circunferencia indicariacutea el mismo valor para topologiacuteas distintas La relacioacuten entre el vecindario y la topologiacutea o radii se calcula de la siguiente forma

donde y La razoacuten o radii entre el vecindario y la topologiacutea de

malla estaacute dada por

(x) larr random(x0) (f ) larr evaluat ion(x)(f1 f2) larr seleccion(f fN fE fS fW)(x1 x2) larr seleccion(x xN xE xS xW) (x prime1 x prime2 ) larr recombinacion(x prime1 x prime 2 )

(x1Prime x2Prime) larr mutacion(x prime1 x prime2 ) (fnew) larr evaluacion(x1Prime x2Prime)(f x) larr reemplazo(fnew xnew)

p(x0 y0)

D =sum (xi minus x)2 + sum (yi minus y)2

p

(x ) =sump

i=1 xi

p (y) =sump

i=1 yi

p

Esta medida se conoce como la razoacuten vecindario-malla (RVM) Formas y tamantildeos diferentes de vecindarios y topologiacuteas proporcionan una medida distinta de RVM ver figura 4

Ejemplos de formas de vecindarios y topologiacuteas de malla

NGR =Dvecindario

Dmalla

Razoacuten vecindario-malla para diferentes topologiacuteas de malla y tamantildeos de poblacioacuten con un vecindario L5

[figL5_variableLattice]

Una topologiacutea de malla cuadrada con un vecindario es una configuracioacuten comuacutenmente utilizada en la implementacioacuten de AG celulares En la figura [figL5_variableLattice] la razoacuten vecindario-malla se ilustra para distintos tamantildeos de poblacioacuten con vecindario Tres formas de malla se evaluacutean cuadrada rectangular y lineal Las curvas de la RVM muestran razones altas para mallas cuadradas y razones bajas para topologiacuteas lineales La RVM se asocia a la presioacuten de seleccioacuten inducida en AG celulares debido a sus caracteriacutesticas estructurales Para comprender esto de mejor manera otro concepto importante es necesario el nuacutemero de generaciones que toma al mejor individuo de una poblacioacuten inicial esparcir su solucioacuten en todas las direcciones de la topologiacutea de malla es decir conquistarla a partir de aplicar uacutenicamente el operador de seleccioacuten Un nuacutemero de generaciones alto indica una baja presioacuten de seleccioacuten es decir una buacutesqueda principalmente explorativa Por el contrario un nuacutemero de reducido de generaciones implica una alta presioacuten de seleccioacuten y por tanto una buacutesqueda orientada a la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda

L5

L5

Los AG celulares son teacutecnicas flexibles con un nuacutemero de paraacutemetros que pueden configurarse Por ejemplo es posible pensar en modificar en tiempo de buacutesqueda las topologiacuteas de malla tamantildeos y formas de vecindarios como una forma de control de la presioacuten de seleccioacuten inducida Las modificaciones de la configuracioacuten pueden realizarse de manera constante definiendo un nuacutemero de generaciones o bien de forma adaptativa midiendo generacioacuten a generacioacuten el comportamiento por ejemplo de la diversidad en el espacio de fenotipos y genotipos modificando entonces las configuraciones de estructura de manera que se promueva la exploracioacuten o la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda

Presioacuten de seleccioacuten por caracteriacutesticas estructurales

El matemaacutetico belga Pierre Verhulst en el siglo XIX estudioacute modelos logiacutesticos de crecimiento para describir sistemas bioloacutegicos bajo condiciones de recursos limitados Considerando una poblacioacuten en panmixia de cierto tamantildeo y un nuacutemero de copias del mejor individuo en un tiempo discreto dado por la tasa de crecimiento se expresa a traveacutes del siguiente modelo de recurrencia discreto

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t - 1 right) + p_s tamPob N left(t-1right) left(1 - left(frac1tamPobright) N left(t-1right)right)endaligned$$

donde es la probabilidad de seleccioacuten de un individuo y se puede aproximar por la ecuacioacuten logiacutestica continua

donde es la probabilidad Aunque se obtienen curvas de crecimiento similares el comportamiento en poblaciones estructuradas o descentralizadas no es exponencial sino polinomial como fue sugerido por Spiessen y Manderick in De este modo las caracteriacutesticas estructurales necesitan considerarse en el modelo matemaacutetico de la tasa de crecimiento para AG celulares Si se evaluacutea un caso liacutemite donde el mejor individuo dentro del vecindario se selecciona siempre para reemplazar al individuo actual o central (al vecindario) es decir

tamPobt N(t)

ps N(t)

N(t) =tamPob

1 + ( tamPobN(0) minus 1)eminusαt

α ps

ps = 1

y se define un tamantildeo de poblacioacuten donde determina una topologiacutea de malla cuadrada y un vecindario local con radio La tasa de crecimiento del mejor individuo estaacute dada por

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4r^2t - 2rleft( r+1 right) quad 0 leq t leq fracleft(sqrttamPob-1right)2

N left( t right) = N left( t-1 right) - 4r^2t + 4r sqrttamPob - 2rleft(r+1right) quad t geq fracleft(sqrttamPob-1right)2 notagendaligned$$

que en su forma cerrada queda como

$$beginaligned

N left( t right) = 2r^2t^2 + 2r left(2r + 1 right)t + 1 quad 0 leq t leq fracleft(sqrttamPob-1right)2

N left( t right) = -2r^2t^2 + 2rleft(2sqrttamPob - 3r - 1 right)t + 1 quad t geq fracleft(sqrttamPob-1right)2 notagendaligned$$

En la figura 5 se ilustra la razoacuten de crecimiento para una poblacioacuten de individuos con un vecindario local tipo ver figura 4

Tasa de crecimiento teoacuterica en una topologiacutea de malla toroidal cuadrada y un vecindario local tipo Moore con probabilidad de seleccioacuten

Si se considera la probabilidad variable y cada individuo tiene probabilidades de seleccioacuten distintas probabilidad para el individuo central y para cada individuo dentro de un vecindario tipo El modelado de la recurrencia exacta se vuelve muy complicado Para poder construir un modelo completo se recurre a modelos maacutes simples en donde la tasa de crecimiento se describe como la expansioacuten de un cuadrado rotado con una

tamPob tamPob times tamPobr

81C9

ps = 1

psp0 p1 p2 p3 p4 p8

C9

longitud por lado de y diagonal La tasa de crecimiento de los

individuos con probabilidad variable contenidos dentro del cuadrado rotado estaacute dada por la siguiente recurrencia

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4p_i sqrtfracNleft(t-1right)2 quad N left( t right) leq fractamPob2

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4p_i sqrttamPob - N left( t-1 right) quad N left( t right) gt fractamPob2 notagendaligned$$

Encontrar una forma cerrada de este modelo es una tarea complicada de acuerdo a autores reconocidos del aacuterea En la figura 6 se muestra la tasa de crecimiento probabilista como ejemplo de la dificultad que representa su modelado matemaacutetico

Tasa de crecimiento probabilista para una topologiacutea de malla toroidal cuadrada con vecindario local y probabilidad de seleccioacuten variable

Anaacutelisis empiacuterico

Es posible tener una aproximacioacuten empiacuterica del tiempo para el dominio de la topologiacutea de malla A continuacioacuten se presenta un ejemplo utilizando como meacutetodo de seleccioacuten local torneo binario y ejecuciones por configuracioacuten fueron evaluadas En la figura [figL5_growthRates] se muestran las distintas tasas de crecimiento para la conquista de la malla considerando un tamantildeo de la poblacioacuten de individuos con las siguientes formas de topologiacutea de malla 1)

cuadrada 2) rectangular y 3) lineal La diferencia entre los

tiempos de dominio es evidente Topologiacuteas de malla lineales proveen una difusioacuten maacutes lenta del

s = N(t) d =N(t)

2pi

ps

50

400

400 times 400 10 times40010

4 times400

4

mejor individuo para conquistar la malla y por ende menor presioacuten de seleccioacuten y un comportamiento principalmente explorativo Por otro lado en topologiacuteas de malla cuadradas la solucioacuten del mejor individuo conquista la malla raacutepidamente en un nuacutemero menor de generaciones Es decir tiene un comportamiento con alta presioacuten de seleccioacuten y por ende una buacutesqueda caracterizada por una mayor explotacioacuten del espacio de buacutesqueda Desde este punto de vista se ha investigado tambieacuten la posibilidad de modificacioacuten dinaacutemica de las propiedades estructurales en tiempo de buacutesqueda Se han reportado mejores desempentildeos algoriacutetmicos bajo estos criterios

Tasas de crecimiento promedio del mejor individuo en topologiacuteas de malla cuadrada rectangular y lineal con vecindario La tasa promedio de crecimiento se calcula con base en 50 experimentos y aplicando uacutenicamente el operador de seleccioacuten

[figL5_growthRates]

Aceleracioacuten en AGP Un tema controversial en AGPs son las aceleraciones que esquemas distribuidos y celulares pueden alcanzar El caacutelculo teoacuterico de estas aceleraciones es una medida aceptada para determinar su eficiencia Calcular la razoacuten entre el tiempo promedio de ejecucioacuten de la mejor versioacuten secuencial de un AG y otra teacutecnica de buacutesqueda no evolutiva con respecto al tiempo

L5

promedio de ejecucioacuten de un AG paralelo corriendo en un determinado nuacutemero de procesadores proporciona la aceleracioacuten alcanzada por este uacuteltimo Aceleraciones sub-lineales indican que esta razoacuten es menor que el nuacutemero de procesadores utilizados en la ejecucioacuten del AGP Aceleraciones lineales indican que esta relacioacuten es igual mientras aceleraciones super-lineales indican que la razoacuten es mayor que el nuacutemero de procesadores utilizados

Un medida estricta para medir las aceleraciones de los AGPs involucrariacutea una comparacioacuten con la mejor versioacuten secuencial de un AG lo cual es difiacutecil de determinar Considerar el desempentildeo de un AG secuencial como referencia en conjunto con una condicioacuten de paro que evaluacutee la misma calidad de soluciones en todas las muestras experimentales podriacutea permitir una comparacioacuten justa en teacuterminos de aceleracioacuten entre esquemas paralelos y secuenciales

Los AGPs tienen tres caracteriacutesticas que permiten su aceleracioacuten 1) dividir el espacio de buacutesqueda en diversas aacutereas de exploracioacuten implementadas en distintas unidades de procesamiento 2) reducir la carga de procesamiento por medio de la distribucioacuten de la poblacioacuten en un nuacutemero de unidades de procesamiento y 3) operadores geneacuteticos aplicados a estructuras de datos reducidas

Al analizar comparativamente las tasas de aceleracioacuten de los AG distribuidos con sub-poblaciones en panmixia en comparacioacuten con el desempentildeo de un AG secuencial las aceleraciones calculadas resultan excesivas Sin embargo cuando se considera la distribucioacuten de las sub-poblaciones en un nuacutemero de unidades de procesamiento las tasas de aceleracioacuten son moderadas

Una de las caracteriacutesticas maacutes importantes en los AGPs es el operador de migracioacuten Analizar el comportamiento de este operador bajo distintos criterios como la sincroniacutea o asincroniacutea de migrar individuos entre las sub-poblaciones afecta directamente el desempentildeo de la buacutesqueda Entre los comportamientos con importancia significativa se ha observado que utilizar bajas frecuencias de migracioacuten en combinacioacuten con una comunicacioacuten asiacutencrona entre sub-poblaciones permite una mayor aceleracioacuten Este resultado considera sub-poblaciones en panmixia con la misma configuracioacuten de paraacutemetros

Concepto de sincronismo en AGPs En los AGPs tanto distribuidos como celulares el concepto de sincroniacutea aplica de forma distinta En un AGP distribuido el operador de migracioacuten estaacute directamente relacionado con la comunicacioacuten entre sub-poblaciones y por ende la sincroniacutea con que eacutesta ocurre Por otro lado en AGP de grano fino o celulares la sincroniacutea estaacute relacionada con la actualizacioacuten de soluciones durante el proceso evolutivo Esto se explica a continuacioacuten a mayor detalle

En AGPs distribuidos viacutea migracioacuten

Varios autores han investigado el efecto del sincronismo a traveacutes de la migracioacuten de individuos entre sub-poblaciones Se han considerado varios escenarios tales como tener un conjunto de sub-poblaciones en panmixia y tener sub-poblaciones descentralizadas un tercer escenario que se ha considerado es tener una combinacioacuten de sub-poblaciones en panmixia y descentralizadas Los tres esquemas han sido evaluados no soacutelo a nivel algoriacutetmico sino de implementacioacuten en plataformas de coacutemputo para procesamiento paralelo

Utilizando un esquema de procesamiento de instrucciones muacuteltiples - datos muacuteltiples con un esquema homogeacuteneo de sub-poblaciones se verificoacute el comportamiento de distintas frecuencias de migracioacuten definidas como muacuteltiplos del tamantildeo de la poblacioacuten Esto representa que la migracioacuten es nula cuando la frecuencia es cero lo que implica que la evolucioacuten es independiente de las sub-poblaciones Localmente los operadores geneacuteticos fueron configurados de la misma forma En general los resultados mostraron un mejor desempentildeo cuando la comunicacioacuten entre sub-poblaciones es asiacutencrona y la frecuencia de migracioacuten es baja En este sentido el tener sub-poblaciones descentralizadas permite una mejor eficacia que cuando se tienen sub-poblaciones en panmixia Las tasas de aceleracioacuten tambieacuten se analizaron Bajas frecuencias de migracioacuten reportaron aceleraciones lineales para sub-poblaciones descentralizadas y super-lineales para sub-poblaciones en panmixia

Se ha podido verificar el funcionamiento de los AGPs ampliando la gama de problemas de prueba a aquellos del dominio continuo El uso de un esquema paralelo distribuido con sub-poblaciones en panmixia y un ciclo evolutivo de estado estable donde solamente una solucioacuten se actualiza en cada generacioacuten logroacute obtener soluciones de mejor calidad Ademaacutes de la influencia de la frecuencia con la que se ejecuta la operacioacuten de migracioacuten la seleccioacuten aleatoria de individuos migrantes demostroacute tambieacuten un mejor desempentildeo que la seleccioacuten de los mejores individuos para migrar El mejor desempentildeo continuacutea siendo a partir de la aplicacioacuten de frecuencias de migracioacuten bajas ahora en combinacioacuten con la seleccioacuten aleatoria de soluciones para migrar En problemas de optimizacioacuten en el dominio continuo con oacuteptimos locales engantildeosos en sus espacios de buacutesqueda los esquemas de sub-poblaciones descentralizadas superaron el desempentildeo de aquellos con sub-poblaciones en panmixia ademaacutes de responder mejor a frecuencias de migracioacuten altas Las tasas de aceleracioacuten tambieacuten se relacionan con la operacioacuten de la migracioacuten a frecuencias de migracioacuten alta se obtienen mayores tasas de aceleracioacuten en ambos esquemas poblacionales

Es posible tambieacuten considerar un esquema de AGPs con sub-poblaciones tanto en panmixia como descentralizadas utilizando un esquema de coacutemputo heterogeacuteneo distribuido Las tasas de

aceleracioacuten que se alcanzan en estos caso son super-lineales viacutea el esquema sub-poblacional mixto

En AGP celulares viacutea criterios de actualizacioacuten

En los AGPs de grano fino o celulares el concepto de sincronismo se asocia a los criterios de actualizacioacuten de las soluciones Se consideran diversos escenarios como son 1) barrido liacutenea a liacutenea 2) barrido fijo aleatorio 3) barrido aleatorio 4) seleccioacuten uniforme Cada unos de estos criterios de actualizacioacuten de soluciones se puede ejecutar de manera siacutencrona o asiacutencrona La actualizacioacuten siacutencrona se refiere a que la poblacioacuten completa se genera a partir de los individuos actuales En contraste la actualizacioacuten asiacutencrona quiere decir que los individuos se actualizan despueacutes de su proceso evolutivo a nivel local entonces los individuos en una generacioacuten han evolucionado de hijos generados durante esta

El barrido liacutenea a liacutenea es la forma maacutes sencilla de actualizar soluciones en una topologiacutea de malla con conexioacuten toroidal Haciendo el barrido secuencial de ubicacioacuten de las soluciones por liacutenea o por columna se ejecuta la actualizacioacuten de estas El barrido aleatorio fijo consiste en elegir de forma aleatoria una solucioacuten sin reemplazo con una probabilidad uniforme En cada generacioacuten se determina una distribucioacuten diferente para la actualizacioacuten de los individuos La actualizacioacuten uniforme elige de forma aleatoria con una probabilidad uniforme una solucioacuten con reemplazo Esto quiere decir que una solucioacuten puede ser actualizada maacutes de una vez en un mismo ciclo reproductivo

Tambieacuten se ha buscado modelar formalmente el comportamiento de los distintos criterios de actualizacioacuten de soluciones considerando ambos criterios de sincronismo Los criterios siacutencronos de actualizacioacuten presentan menores tasas de crecimiento de la mejor solucioacuten en la topologiacutea de malla Es decir la buacutesqueda se ejecuta promoviendo la exploracioacuten cuando se sigue un criterio de actualizacioacuten uniforme Aplicar un barrido aleatorio o lineal para la actualizacioacuten de soluciones representa tasas maacutes altas de crecimiento pero no alcanza a aquellas de las poblaciones en panmixia La principal caracteriacutestica que se aprecia es que las poblaciones en panmixia promueven la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda en mayor grado que los AGPs descentralizados o celulares

Finalmente se puede concluir despueacutes de la evaluacioacuten de los criterios siacutencronos y asiacutencronos en una variedad de problemas de optimizacioacuten combinatorios y del dominio continuo que la actualizacioacuten asiacutencrona de soluciones mejora el desempentildeo algoriacutetmico en teacuterminos de eficiencia y eficacia en comparacioacuten con el criterio asiacutencrono en teacuterminos del nuacutemero de generaciones necesarias para converger a la solucioacuten del problema

Discusioacuten En este capiacutetulo se presentaron los distintos esquemas poblaciones que se consideran en la paralelizacioacuten de los AGs Se introdujo el principal operador que distingue a estos esquemas evolutivos el operador de migracioacuten y su efecto en los procesos de buacutesqueda Tambieacuten se introdujeron de manera detallada los esquemas paralelos de AGs de grano fino o celulares y la manera en que las caracteriacutesticas estructurales de estos pueden afectar directamente la exploracioacuten y explotacioacuten del espacio de buacutesqueda Se abordoacute tambieacuten el tema de las aceleraciones que se pueden alcanzar viacutea la paralelizacioacuten de grano fino y grueso de los AGPs Este anaacutelisis incluye los escenarios teoacutericos y reales de las tasas de aceleracioacuten que se pueden alcanzar Finalmente se revisoacute el concepto de sincronismo en ambos esquemas de paralelizacioacuten el cual se observoacute que afecta de manera positiva el desempentildeo algoriacutetmico

Los esquemas paralelos de los algoritmos geneacuteticos permiten obtener un mejor desempentildeo de los procesos de buacutesqueda Sin embargo se debe considerar una serie de paraacutemetros que se necesitan definir y que requeriraacuten la intervencioacuten de un usuario Es importante destacar tambieacuten que la mejora en el desempentildeo se puede apreciar tanto a nivel algoriacutetmico como a nivel de procesamiento Es necesario tambieacuten indicar que la seleccioacuten de la plataforma de coacutemputo paralelo ya sea distribuida o no implicaraacute costos de comunicacioacuten que deben ser considerados para las tasas de aceleracioacuten que se pretendan alcanzar

Investigacioacuten de AGPs en Meacutexico En Meacutexico investigadoras e investigadores en distintas instituciones y centros de investigacioacuten se han dado a la tarea de explorar esquemas evolutivos que utilizan AGPs Por ejemplo esquemas de AGPs de grano fino para solucionar problemas de optimizacioacuten mono-objetivo sin restricciones y problemas combinatorios han sido desarrollados en El objetivo en esos trabajos es el estudio del efecto de las caracteriacutesticas estructurales en las topologiacuteas de poblacioacuten descentralizadas utilizando mallas conectadas de forma toroidal Distintos criterios fueron definidos para modificar en tiempo de buacutesqueda la forma de la topologiacutea y sin incrementar el costo computacional verificar la mejora del desempentildeo algoriacutetmico al evaluar una cama prueba con problemas mono-objetivo sin restricciones y combinatorios Los resultados obtenidos fueron alentadores y a partir de estos se extendioacute el estudio de las propiedades estructurales a manipular tambieacuten la dimensioacuten de la topologiacutea de malla y modificarla en tiempo de buacutesqueda resultados positivos de este estudio fueron reportados en

Debido al costo computacional de los AGs en general la aceleracioacuten de estos utilizando plataformas de coacutemputo especializadas ha sido un aacuterea de investigacioacuten tambieacuten desarrollada en Meacutexico Particularmente el disentildeo e implementacioacuten de un arreglo de procesadores flexible para

la aceleracioacuten de los AGs celulares utilizando dispositivos reconfigurables conocidos como arreglos de compuertas programables en el campo (FPGAs por sus siglas en Ingleacutes) se reportoacute en Este trabajo presenta una forma novedosa de dividir a la poblacioacuten descentralizada en un nuacutemero determinado de unidades de procesamiento especialmente disentildeadas para operadores evolutivos manteniendo las conexiones toroidales entre soluciones La flexibilidad del disentildeo consiste en poder definir de acuerdo a las necesidades de usuario el nuacutemero de unidades de procesamiento De este modo un nuacutemero mayor de unidades de procesamiento permitiraacute acelerar la ejecucioacuten del algoritmo y un nuacutemero menor de estas permitiraacute reducir el uso de recursos de hardware

En el aacutembito de la optimizacioacuten multi-objetivo desde la perspectiva del coacutemputo evolutivo utilizando esquemas poblacionales paralelos investigadores en Meacutexico han desarrollado un esquema con base en algoritmos geneacuteticos utilizando muacuteltiples resoluciones La propuesta algoriacutetmica llamada Algoritmo geneacutetico multi-objetivo con resolucioacuten muacuteltiple (MRMOGA por sus siglas en Ingleacutes) consiste de un conjunto de sub-poblaciones las cuales a nivel representacioacuten de soluciones evolucionan con resoluciones distintas lo cual implica la divisioacuten del espacio de buacutesqueda en regiones acotadas y traslapadas El desempentildeo alcanzado por MRMOGA supera los resultados reportados en esquemas evolutivos paralelos en teacuterminos de convergencia y evidencia la necesidad de profundizar el estudio de la escalabilidad de esquemas evolutivos paralelos

Para saber maacutes Dentro de la comunidad cientiacutefica dedicada a la investigacioacuten en las aacutereas de las teacutecnicas algoriacutetmicas evolutivas que desarrollan el concepto de paralelismo se han generado recursos bibliograacuteficos diversos de entre los cuales destacan

bull Algoritmos geneacuteticos paralelos por Gabriel Luque y Enrique Alba

bull Algoritmos evolutivos estructurados espacialmente por Marco Tomassini

bull Algoritmos geneacuteticos celulares por Bernabeacute Dorronsoro y Enrique Alba

bull Algoritmos geneacuteticos paralelos eficientes y precisos por Erick Cantuacute-Paz

Por otro lado entre los grupos de investigacioacuten que se desarrollan en el aacuterea destaca el liderado por el investigador Enrique Alba de la Universidad de Maacutelaga en Espantildea quien en colaboracioacuten con otros investigadores y estudiantes a puesto a disposicioacuten una serie de recursos relacionados en En particular en la seccioacuten de software se encuentran disponibles herramientas para el

disentildeo e implementacioacuten de algoritmos evolutivos paralelos tanto de grano grueso como de grano fino

Programacioacuten Geneacutetica Mario Graff

Daniela Moctezuma

Eric S Tellez

Sabino Miranda-Jimeacutenez

INFOTEC Centro de Investigacioacuten e Innovacioacuten en Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten Circuito Tecnopolo Sur No 112 Fracc Tecnopolo Pocitos II Aguascalientes

20313 Meacutexico CentroGEO Centro de Investigacioacuten en Ciencias de Informacioacuten Geoespacial Circuito

Tecnopolo Norte No 117 Col Tecnopolo Pocitos II CP Aguascalientes Ags 20313 Meacutexico CONACyT Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologiacutea Direccioacuten de Caacutetedras Insurgentes Sur

1582 Creacutedito Constructor Ciudad de Meacutexico 03940 Meacutexico

Introduccioacuten En este capiacutetulo se presenta una introduccioacuten a Programacioacuten Geneacutetica (PG) asiacute como la descripcioacuten de cada uno de los aspectos que la comprenden las perspectivas de este campo y las aacutereas donde se ha aplicado en Meacutexico PG es un algoritmo de buacutesqueda inspirado en los principios de la evolucioacuten de las especies de Charles Darwin (ver ) Particularmente PG engloba a un conjunto de teacutecnicas de coacutemputo evolutivo las cuales tienen como objetivo solucionar automaacuteticamente problemas partiendo de ejemplos del problema por resolver a traveacutes de expresiones evaluables o programas

La Programacioacuten Geneacutetica ha sido ampliamente utilizada en diferentes dominios siendo capaz de resolver una gran variedad de problemas de alta complejidad muchas veces mejorando las soluciones encontradas por humanos Por ejemplo en la competencia ndashldquoHumies rdquo celebrada 2

anualmente en el marco de la Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO) la cual premia sistemas bio-inspirados que mejoran las soluciones encontradas por humanos a problemas difiacuteciles mdashdesde 2004 y hasta 2017 PG ha sido galardonada con 8 medallas de oro 5 de plata y 1 de bronce En particular en esta competencia y utlizando PG Meacutexico ha obtenido

13

12

13

13

1

2

3

httpwwwhuman-competitiveorg2

Proacutelogo La computacioacuten evolutiva es un aacuterea de las ciencias de la computacioacuten que se enfoca al estudio de las propiedades de una serie de metaheurısticas estocaacutesticas (a las cuales se denomina de manera geneacuterica ldquoAlgoritmos Evolutivosrdquo) inspiradas en la teorıa de la evolucioacuten de las especies formulada por Charles Darwin seguacuten la cual los individuos ldquomaacutes aptosrdquo a su ambiente tienen una mayor probabilidad de sobrevivir

Una metaheurıstica es un procedimiento de buacutesqueda de alto nivel que aplica una regla o conjunto de reglas que se basa(n) en una fuente de conocimiento El eacutenfasis de las metaheurısticas es explorar el espacio de buacutesqueda de manera relativamente eficiente es decir mejor que lo que harıa una buacutesqueda exhaustiva aunque no necesariamente oacuteptima Las metaheurısticas suelen considerarse tambieacuten como teacutecnicas de buacutesqueda y optimizacioacuten de uso general pese a sus limitantes teoacutericas (en general las metaheurısticas no pueden garantizar convergencia al oacuteptimo global) Otro rasgo distintivo de las metaheurısticas es que suelen requerir poca informacioacuten especıfica del problema y son uacutetiles cuando el espacio de buacutesqueda es muy grande poco conocido yo con dificultades para explorarlo Cuando se usan para optimizacioacuten no pueden garantizar en general que convergeraacuten a la mejor solucioacuten posible (es decir al oacuteptimo global del problema) si bien en la praacutectica suelen producir aproximaciones razonablemente buenas en tiempos razonablemente cortos

Los algoritmos evolutivos son metaheurısticas estocaacutesticas porque su comportamiento se basa en el uso de nuacutemeros aleatorios y en operadores probabilısticos En consecuencia no siempre producen el mismo resultado cada vez que se ejecutan con los mismos datos de entrada

En Meacutexico existe un nuacutemero importante de investigadores trabajando en diferentes aacutereas de la computacioacuten evolutiva y este libro intenta proporcionar un asomo a la diversidad de temas en los que se hace investigacioacuten en nuestro paıs Los seis capıtulos que conforman este libro estaacuten escritos como tutoriales breves que pretender introducir al lector a ciertos temas especıficos de computacioacuten evolutiva En todos los casos se describe brevemente parte del trabajo que han realizado algunos grupos de investigacioacuten en Meacutexico en torno a estos temas

El capıtulo 1 presenta una introduccioacuten a la ldquoevolucioacuten diferencialrdquo que es un tipo de algoritmo evolutivo que se ha vuelto muy popular en la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten no lineal Los autores proporcionan una descripcioacuten general de este tipo de algoritmo evolutivo incluyendo el funcionamiento de sus operadores de cruza y mutacioacuten y las diferencias entre sus variantes principales

El capıtulo 2 describe los conceptos baacutesicos de los ldquoalgoritmos geneacuteticos paralelosrdquo a partir de una taxonomıa muy sencilla basada en la granularidad de la paralelizacioacuten enfatizando las diferencias que existen entre los esquemas homogeacuteneos y heterogeacuteneos ası como entre el paralelismo sıncrono y el asıncrono

El capıtulo 3 se enfoca a una variante del algoritmo geneacutetico denominada ldquoprogramacioacuten geneacuteticardquo en la cual se usa una representacioacuten de aacuterbol (la cual permite evolucionar programas) en vez de las cadenas binarias de longitud fija del algoritmo geneacutetico tradicional La programacioacuten geneacutetica ha tomado una gran relevancia en antildeos recientes sobre todo por su aplicabilidad a problemas de aprendizaje y clasificacioacuten

El capıtulo 4 se enfoca en un tema muy importante en computacioacuten evolutiva del cual no suele hablarse mucho la importancia de la diversidad en el disentildeo de un algoritmo evolutivo Los autores hacen una revisioacuten de diversas teacutecnicas que se han propuesto para lidiar con la convergencia prematura (la cual suele ser consecuencia de una peacuterdida abrupta de diversidad en la poblacioacuten) Adicionalmente se incluye un pequentildeo estudio en el que se analizan dos teacutecnicas para mantener diversidad

El capıtulo 5 presenta un tutorial de otra aacuterea que ha tomado gran relevancia en antildeos recientes la optimizacioacuten evolutiva multi-objetivo la cual se enfoca a la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten que tienen dos o maacutes objetivos (normalmente en conflicto entre sı) que deseamos optimizar al mismo tiempo Ademaacutes de proporcionar los conceptos baacutesicos de esta aacuterea se describen brevemente los algoritmos evolutivos multi-objetivo maacutes utilizados en la actualidad ası como las medidas principales de desempentildeo que se utilizan en la literatura especializada En la parte final del capıtulo se describen tambieacuten algunos de los temas de investigacioacuten en los que se estaacute trabajando maacutes dentro de esta aacuterea en la actualidad

El capıtulo 6 estaacute dedicado a las hiper-heurısticas que son teacutecnicas que buscan proporcionar maacutes flexibilidad que los algoritmos evolutivos tradicionales al ser capaces de adaptarse a diversos tipos de problemas y a diferentes instancias de una misma clase de problemas Las hiper-heurısticas son el eslaboacuten intermedio entre las limitantes teoacutericas relacionadas con la aplicabilidad de las metaheurısticas y el anhelado suentildeo del disentildeo automatizado de algoritmos y

constituyen sin lugar a dudas uno de los temas maacutes ricos de investigacioacuten dentro de las metaheurısticas

Doctor Carlos Artemio Coello Coello

Indice general

Proacutelogo 5

Introduccioacuten 13

El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial 15

Mutacioacuten 16

Cruza 18

Seleccioacuten 20

Estructura del Algoritmo 20

Modificaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial 21

Ajuste de paraacutemetros globales 22

Ajuste de paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten 23

Ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten 26

Combinacioacuten de variantes 27

Evolucioacuten Diferencial para otros tipos de problemas 29

DE en Meacutexico 30

Conclusiones 30

Para saber maacutes 31

Introduccioacuten 32

AGds homogeacuteneos y heterogeacuteneos 35

Migracioacuten en AGPs 37

AGs celulares o de grano fino 39

Explotacioacutenexploracioacuten por propiedades estructurales 40

Presioacuten de seleccioacuten por caracteriacutesticas estructurales 43

Anaacutelisis empiacuterico 45

Aceleracioacuten en AGP 46

Concepto de sincronismo en AGPs 47

En AGPs distribuidos viacutea migracioacuten 48

En AGP celulares viacutea criterios de actualizacioacuten 49

Discusioacuten 50

Investigacioacuten de AGPs en Meacutexico 50

Para saber maacutes 51

Introduccioacuten 53

Proceso evolutivo 55

Representacioacuten 56

Poblacioacuten inicial 58

Operadores Geneacuteticos 59

Recombinacioacuten 59

Mutacioacuten 60

Seleccioacuten 61

Espacio de buacutesqueda 62

Conclusiones 63

Para saber maacutes 63

Introduccioacuten 64

Preservacioacuten de diversidad en algoritmos evolutivos 67

Clasificaciones de mecanismos para promover la diversidad 67

Esquemas claacutesicos para administrar la diversidad 68

Esquemas de reemplazamiento basados en diversidad 69

Diversidad en evolucioacuten diferencial 71

Disentildeo de evolucioacuten diferencial basado en diversidad 72

Evolucioacuten diferencial Conceptos baacutesicos 72

Inicializacioacuten 72

Operador de mutacioacuten 72

Operador de cruza 73

Operador de seleccioacuten 73

Propuesta basada en diversidad 74

Resultados de de-edm 77

Disentildeo de operadores de cruza basados en diversidad 87

Algoritmos evolutivos multi-objetivo 87

Operadores de cruza 89

El operador de cruza basado en simulacioacuten binaria - SBX 89

Implementacioacuten y anaacutelisis del operador sbx 90

Propuesta - dsbx 92

Resultados 93

Anaacutelisis de cada modificacioacuten en el operador sbx 95

Modificacioacuten simultaacutenea de varios componentes 96

Conclusiones y trabajo futuro 97

Para saber maacutes 98

Agradeciemientos 99

Introduccioacuten 100

Fundamentos de las Hiper-heuriacutesticas 102

Hiper-heuriacutesticas que seleccionan heuriacutesticas 103

Hiper-heuriacutesticas que generan nuevas heuriacutesticas 105

Modelos de Hiper-heuriacutesticas 106

Modelos Evolutivos 106

Hiper-Heuriacutesticas basadas en Algoritmos Geneacuteticos 106

Hiper-Heuriacutesticas basadas en Programacioacuten Geneacutetica 107

Modelos Neuronales 109

Un ejemplo 109

El problema 110

Las alternativas 110

La informacioacuten del problema 111

Nuestra primer hiper-heuriacutestica 112

Otras hiper-heuriacutesticas 112

Las hiper-heuriacutesticas como un problema de optimizacioacuten 113

Aspectos Avanzados de las Hiper-heuriacutesticas 115

Hiacuteper-heuriacutesticas para Problemas Multi-objetivo 115

Transformacioacuten de Caracteriacutesticas en Hiper-heuriacutesticas 117

Tendencias Futuras de Hiper-heuriacutesticas 119

Para saber maacutes 121

Conclusiones 122

Evolucioacuten Diferencial una breve introduccioacuten Rafael Rivera Loacutepez

Efreacuten Mezura Montes

En este capiacutetulo se hace una descripcioacuten general del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Este tipo de algoritmo evolutivo representa una excelente alternativa para encontrar soluciones cercanas al oacuteptimo a problemas de optimizacioacuten continua complejos Debido a la simplicidad de su implementacioacuten y sus excelentes habilidades de exploracioacuten y explotacioacuten diversas variantes de este algoritmo se han aplicado para resolver problemas con diferentes caracteriacutesticas En este capiacutetulo se describen los elementos baacutesicos del algoritmo asiacute como las diferentes variantes que se han desarrollado para mejorar su desempentildeo

Introduccioacuten Con el nombre de algoritmos evolutivos se identifica a un grupo de procedimientos que se utilizan para resolver muchos problemas praacutecticos y que se distinguen de otras teacutecnicas porque estaacuten inspirados en las teoriacuteas que sintetizan la evolucioacuten Darwiniana y la herencia geneacutetica descrita por Mendel Los algoritmos evolutivos han probado ser herramientas poderosas para encontrar soluciones aceptables a problemas donde otras teacutecnicas fallan o consumen una excesiva cantidad de tiempo Estos algoritmos se destacan por combinar exitosamente dos mecanismos de buacutesqueda exploracioacuten y explotacioacuten La exploracioacuten permite identificar aacutereas prometedoras del espacio de buacutesqueda y la explotacioacuten lleva a cabo una buacutesqueda especializada dentro de estas aacutereas para encontrar soluciones cercanas al oacuteptimo Su aplicacioacuten se extiende en praacutecticamente todas las aacutereas de la actividad humana como por ejemplo en salud educacioacuten ciencias industria economiacutea y defensa Los algoritmos evolutivos tambieacuten han sido utilizados en aacutereas emergentes como la ciencia de datos la inteligencia de negocios y el big data En estos algoritmos un conjunto de soluciones candidatas evoluciona para alcanzar una solucioacuten cercana al oacuteptimo por la aplicacioacuten de procedimientos que permiten recombinar y alterar sus valores En la jerga de los especialistas del aacuterea una solucioacuten candidata se conoce como individuo al conjunto de soluciones se denomina poblacioacuten y los procedimientos involucrados en el proceso evolutivo se identifican como operadores de seleccioacuten cruzamiento y mutacioacuten Comuacutenmente dos individuos son seleccionados y sus valores son recombinados y algunas veces mutados para crear nuevas soluciones candidatas Los nuevos individuos son considerados parte de una nueva poblacioacuten que sustituye a la anterior Entonces una secuencia de nuevas poblaciones son creadas hasta que una condicioacuten de teacutermino es alcanzada y la mejor solucioacuten de

las uacuteltima poblacioacuten es seleccionada como resultado del algoritmo Este proceso evolutivo es guiado por una funcioacuten de aptitud que determina la calidad de cada individuo en la poblacioacuten La figura 1 muestra el esquema general de un algoritmo evolutivo

Esquema general de un algoritmo evolutivo

A lo largo de su desarrollo histoacuterico varios tipos de algoritmos evolutivos han sido implementados difiriendo en la forma de representar a sus individuos y en la implementacioacuten de sus operadores geneacuteticos Auacuten cuando en los antildeos 50 varios autores introducen los teacuterminos evolucioacuten y proceso evolutivo en sus propuestas para resolver diversos problemas es en los antildeos 60 cuando se sientan las bases del desarrollo de los algoritmos evolutivos con la introduccioacuten de tres teacutecnicas la Programacioacuten Evolutiva las Estrategias Evolutivas y los Algoritmos Geneacuteticos Fogel propone en 1962 la Programacioacuten Evolutiva donde las soluciones candidatas se representan con maacutequinas de estados finitos y Rechenberg y Schwefel en 1965 desarrollan las Estrategias Evolutivas que codifican sus individuos con vectores de nuacutemeros reales Los Algoritmos Geneacuteticos introducidos en 1962 por Holland son sin duda el tipo de algoritmo evolutivo maacutes popular Estos algoritmos tradicionalmente utilizan una cadena binaria para representar a sus individuos aunque tambieacuten se han utilizado cadenas de enteros y secuencias de nuacutemeros reales Desarrollos posteriores a estas teacutecnicas han aportado al eacutexito de los algoritmos evolutivos destacaacutendose la Programacioacuten Geneacutetica los Algoritmos Coevolutivos los Algoritmos Culturales el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial los Algoritmos de Estimacioacuten de Distribuciones la Evolucioacuten Gramatical y la Programacioacuten de Expresioacuten de Genes Cada uno de estos algoritmos tienen sus ventajas y sus propios desafiacuteos y han sido utilizados para resolver diferentes tipos de problemas La figura 2 muestra un esquema del desarrollo histoacuterico de los

algoritmos evolutivos En particular el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial ha demostrado ser muy competitivo y exitoso para resolver problemas numeacutericos complejos en comparacioacuten con otros algoritmos

Liacutenea del tiempo del desarrollo de los algoritmos evolutivos

El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Evolucioacuten Diferencial (DE por sus siglas en ingleacutes) es un tipo de algoritmo evolutivo que fue originalmente disentildeado por Storn y Price en 1995 para resolver problemas de optimizacioacuten continua En particular en este algoritmo cada individuo usualmente se representa con un vector de valores continuos de paraacutemetros Ademaacutes en lugar de implementar los operadores de cruza y mutacioacuten tradicionales el algoritmo crea cada nuevo individuo con una combinacioacuten lineal de los valores de dos o maacutes individuos de la poblacioacuten actual que son seleccionados al azar La forma en que se implementan los operadores de cruza y mutacioacuten se ha utilizado en la literatura para identificar las diferentes variantes del algoritmo DEABC es la notacioacuten comuacutenmente usada para nombrar estas variantes donde A y B determinan el tipo de mutacioacuten implementado y C identifica el tipo de cruza implementado por la variante En particular A representa el procedimiento de seleccioacuten de los individuos para construir el individuo mutado y B es el nuacutemero de vectores diferencia usados para el operador de mutacioacuten DE puede considerarse un proceso de tres pasos que incluye una fase de inicializacioacuten el proceso evolutivo y el paso final que determina el resultado obtenido La fase de inicializacioacuten involucra la seleccioacuten y evaluacioacuten de un grupo de NP individuos que son generados aleatoriamente de un espacio de buacutesqueda finito los cuales se utilizan como poblacioacuten inicial del algoritmo conocido como Si para cada y son los valores miacutenimo y maacuteximo del -eacutesimo paraacutemetro en el valor del -eacutesimo individuo en la poblacioacuten inicial es determinado como sigue

x = (x1 x2 hellip xn) n

Ω sube ℝn

X0 j isin 1 hellip n xminj xmax

jj Ω xi

j i xi

donde es un nuacutemero aleatorio uniformemente distribuido dentro del rango El proceso evolutivo implementa un esquema iterativo para evolucionar la poblacioacuten inicial En cada iteracioacuten de este proceso conocido como una generacioacuten una nueva poblacioacuten de individuos es generada utilizando informacioacuten de la poblacioacuten previamente creada A diferencia de otros algoritmos evolutivos el orden de aplicacioacuten de los operadores geneacuteticos en el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial es diferente Primero se aplica la mutacioacuten despueacutes la cruza y al final se lleva a cabo la seleccioacuten del mejor individuo Para cada en la generacioacuten es obtenido de la poblacioacuten y es utilizado para crear un nuevo vector aplicando los operadores de cruza y mutacioacuten Los vectores y son conocidos como el vector objetivo y el vector de prueba respectivamente Estos vectores son evaluados por el operador de seleccioacuten para actualizar la nueva poblacioacuten Los operadores de mutacioacuten cruza y seleccioacuten son descritos en detalle en los siguientes paacuterrafos En el paso final cuando una condicioacuten de paro es alcanzada el algoritmo devuelve el mejor individuo en la poblacioacuten actual La condicioacuten de paro maacutes comuacutenmente utilizada es comparar el nuacutemero de generaciones construidas contra un valor fijo pero otros criterios pueden ser implementados como aquellos descritos por Zielinski y Laur

Mutacioacuten Un vector mutado es construido al combinar los valores de varios individuos aleatoriamente seleccionados de El nuacutemero de individuos seleccionados para realizar la combinacioacuten depende del operador de mutacioacuten implementado por la variante del algoritmo En alguna de estas variantes el individuo con la mejor aptitud en la poblacioacuten es tambieacuten utilizado por el operador de mutacioacuten Entre los diferentes operadores de mutacioacuten descritos en la literatura destacan los siguientes

$$beginaligned

textDErand1quad v^i amp= x^r_1 + textF big( x^r_2 - x^r_3 big)labeleqmut_1

textDEbest1quad v^i amp= x^textbest + textF big( x^r_1 - x^r_2 big) labeleqmut_2

textDEcurrent-to-best1quad v^i amp= x^i + textF big( x^textbest - x^r_1big) + textF big( x^r_2 - x^r_3 big) labeleqmut_3

xij = xmin

j + r (xmaxj minus xmin

j )

r [0 1]

i isin 1 hellip NP g xi

Xgminus1 ui

xi ui

Xgω

vi xrj

Xgminus1

xbest Xgminus1

textDErand2quad v^i amp= x^r_1 + textF big( x^r_2 - x^r_3 big)+textF big( x^r_4 - x^r_5 big) labeleqmut_4

shortintertexty

textDEbest2quad v^i amp= x^textbest + textF big( x^r_1 - x^r_2 big )+ textF big( x^r_3 - x^r_4 big ) labeleqmut_5 endaligned$$

donde F es un valor definido por el usuario que representa un factor de escala aplicado para controlar la variacioacuten diferencial Storn y Price sentildealan que F puede fijarse entre 0 y 2 pero otros autores recomiendan valores entre 04 y 1 En la figura 3 se presenta un ejemplo de la aplicacioacuten del operador de mutacioacuten DErand1 En este ejemplo = = y = Usando F igual a 05 el vector mutado resultante es =

Ejemplo de la creacioacuten de un vector mutado con el esquema DErand1

La mutacioacuten aporta a las habilidades de explotacioacuten y exploracioacuten del meacutetodo Debido a que al inicio del proceso evolutivo los individuos se encuentran relativamente dispersos en el espacio

xr1 (1056 316) xr2

(253 903) xr3 (56 626) vi

(902 454)

de buacutesqueda la diferencia entre los vectores seleccionados es grande por lo que los vectores mutados pueden ubicarse en diferentes aacutereas del espacio de buacutesqueda pero a medida que el proceso evolutivo avanza las soluciones se vuelven maacutes cercanas y las diferencias entre ellos son maacutes pequentildeas lo que produce que los vectores mutados se encuentran concentrados en aacutereas promisorias del espacio de buacutesqueda

Cruza El operador de cruza se utiliza para combinar la informacioacuten entre el vector objetivo y el vector mutado para construir el vector de prueba Por cada o se seleccionan para construir usando un factor de cruza el cual es tambieacuten un valor especificado por el usuario Dos tipos de cruza se utilizan en este caso cruza binomial y cruza exponencial

Cruza binomial En este operador cada valor asignado a es seleccionado de o de comparando el valor CR con un valor seleccionado al azar Para garantizar que al menos un paraacutemetro de toma un valor de este operador utiliza un valor tambieacuten seleccionado al azar Formalmente la cruza binomial se define como

Tomando el vector mutado = del ejemplo de la figura 3 y un vector objetivo = en la figura 4 se muestra un ejemplo de la creacioacuten de un vector de prueba usando la cruza binomial El vector de prueba generado en este ejemplo es =

xr2 minus xr3

j isin 1 hellip n xij vi

jui CR isin [0 1]

ui vi xi

r isin [0 1] ui

vi l isin 1 hellip n

bin uij =

vij si r le CR or j = l

xij de otra forma

vi (902 454) xi

(406 766)ui (406 454)

Ejemplo de la creacioacuten de un vector de prueba usando la cruza binomial

Cruza exponencial Este operador de cruza asigna una secuencia de valores de a Los valores restantes que son asignados a son obtenidos de El tamantildeo de la secuencia se determina con dos valores 1) un iacutendice que representa la posicioacuten inicial de la secuencia en seleccionado aleatoriamente dentro del rango y 2) el nuacutemero de intentos consecutivos en los cuales determina la posicioacuten final de la secuencia como es definida en la Ec ([eqcr_exp]) La cruza exponencial es similar al operador de cruza de dos puntos introducido por Cavicchio

$$beginaligned

textexpquad u_j^i amp=

begincases

v_j^i amp textsi $ l leq j leq min (l+L-1n)$

vi ui

ui xi

l vi

1 hellip n L le n r le CR

x_j^i amp textde otra forma

endcases labeleqcr_expendaligned$$

Por ejemplo si se tienen dos vectores de cinco paraacutemetros = y = y se aplica el operador de cruza exponencial usando un factor de cruza de 06 entonces se debe obtener el valor de y despueacutes generar una secuencia de valores aleatorios para Si =2 y la secuencia de valores de es 06 03 04 y 06 y el vector de prueba que se construye es =

La cruza ayuda al algoritmo a mantener la diversidad de la poblacioacuten y eventualmente evitar que caiga en oacuteptimos locales El valor de CR es complicado de determinar pero algunos autores sentildealan que su valor puede ajustarse entre 03 y 09

Seleccioacuten Un torneo uno-a-uno es aplicado para determinar cual vector entre y es seleccionado como miembro de la nueva poblacioacuten Este esquema de seleccioacuten permite garantizar que el proceso evolutivo mantenga una mejora continua

Estructura del Algoritmo El Algoritmo [algDE] muestra la estructura de una implementacioacuten claacutesica del algoritmo Eacuteste requiere de tres paraacutemetros para controlar el proceso evolutivo (CR F y NP) y tambieacuten la seleccioacuten de un espacio de buacutesqueda para construir la poblacioacuten inicial y la definicioacuten del tamantildeo de individuo de una funcioacuten objetivo para evaluar cada individuo y de una condicioacuten de paro para finalizar el proceso evolutivo

Entrada Salida Un individuo generado aleatoriamente usando la Ec ([eqinicial]) Vector objetivo obtenido aleatoriamente de Vector mutado generado usando alguna de las Ecs ([eqmut_1])ndash([eqmut_5]) Vector de prueba construido usando alguna de las Ecs ([eqcr_bin])ndash([eqcr_exp])

DE tiene varias ventajas en comparacioacuten con otros algoritmos evolutivos como la simplicidad de su implementacioacuten su habilidad para producir mejores resultados que aquellos obtenidos por los demaacutes y su baja complejidad espacial

vi (24 36 12 78 02) xi

(34 96 12 52 31)l

r l rui (24 96 12 52 02)

xi ui

Xg

g larr 0 Xg larr xi larrXg larr Xg cup (i xi) g larr g + 1 Xg larr xi larr

Xgminus1 vi larrui larrXg larr Xg cup (i ui) Xg larr Xg cup (i xi) xbest

Modificaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Aunque DE requiere de la definicioacuten de un nuacutemero menor de paraacutemetros en comparacioacuten con el nuacutemero de paraacutemetros requeridos por otros algoritmos evolutivos su desempentildeo es sensible a los valores seleccionados de CR F y NP Varios autores sentildealan que los valores adecuados para estos paraacutemetros pueden variar para diferentes problemas y es conocido que la definicioacuten de estos paraacutemetros depende de las caracteriacutesticas propias de cada problema Ademaacutes Lampinen y Zelinka sentildealan que este algoritmo puede presentar el problema de estancamiento debido a una incorrecta seleccioacuten de sus paraacutemetros El estancamiento en un algoritmo se presenta cuando eacuteste no converge a alguna solucioacuten y la poblacioacuten presenta una gran diversidad de individuos Por lo anterior la mayoriacutea de los estudios realizados para mejorar el desempentildeo del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial se relacionan con teacutecnicas para ajustar los valores de sus paraacutemetros (F CR y NP) y para combinar las ventajas de las diferentes variantes del algoritmo usando un subconjunto de ellas en lugar de solamente aplicar una variante En los siguientes paacuterrafos se describen las propuestas para mejorar el desempentildeo del algoritmo que se consideran los maacutes representativos en la literatura especializada Para simplificar su descripcioacuten estas propuestas se agrupan de acuerdo al criterio utilizado Ajuste de paraacutemetros y combinacioacuten de variantes Por un lado debido a que F y CR son los paraacutemetros del algoritmo maacutes estudiados y donde maacutes variantes de mejora han sido desarrolladas estos estudios se agrupan en enfoques que usan paraacutemetros globales y enfoques que usan paraacutemetros para cada individuo Adicionalmente se presentan los enfoques relacionados con el ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten y tambieacuten aquellos donde se modifica la forma que generar los vectores mutados dentro del proceso evolutivo La figura 5 presenta un esquema del desarrollo histoacuterico de estos enfoques

Liacutenea del tiempo de las modificaciones a DE

Ajuste de paraacutemetros globales En estos enfoques los operadores geneacuteticos utilizan los mismos valores para F y CR en todos los individuos de una misma poblacioacuten como se ilustra en la figura 6 Estos valores se actualizan al finalizar cada generacioacuten con el aacutenimo de mejorar las habilidades de exploracioacuten y explotacioacuten del algoritmo Dos enfoques se concentran en ajustar el valor de F manteniendo fijo el valor de CR En 2004 Ali y Toumlrn lo actualizan considerando la aptitud del mejor y del peor individuo en la poblacioacuten y Das et al en 2005 proponen dos enfoques para modificar su valor el primero lo modifica de forma aleatoria y el segundo reduce su valor de forma lineal conforme el proceso evolutivo avanza Por otro lado Liu y Lampinen en 2005 proponen un enfoque diferente al cual denominan FADE (Fuzzy Adaptive DE algorithm) En este algoritmo los valores de F y CR se ajustan usando un sistema de control loacutegico difuso El sistema utiliza las diferencias entre generaciones sucesivas tanto de los valores de los individuos como de sus valores de aptitud Finalmente Dra et al en 2015 proponen una versioacuten alternativa denominada SinDE (Sinusoidal DE) en donde los valores de F y CR se ajustan utilizando foacutermulas trigonomeacutetricas permitiendo cambiar la direccioacuten del vector diferencia dentro del operador de mutacioacuten

Esquema de ajuste de paraacutemetros globales del algoritmo

Ajuste de paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten En este tipo de algoritmos cada individuo de la poblacioacuten tiene asociado su propio conjunto de paraacutemetros como se muestra en la figura 7 Estos paraacutemetros se ajustan de forma independiente dentro del proceso evolutivo como se esquematiza en la figura 8

Paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten

En 2005 Omran et al asocian el valor de F a cada individuo de la poblacioacuten en su meacutetodo denominado SDE (self-adaptive DE) Este meacutetodo actualiza el valor de F combinando los valores de F de tres individuos de la poblacioacuten actual que son seleccionados aleatoriamente En 2006 Brest et al describen su meacutetodo denominado jDE donde los valores de F y CR se pueden modificar en cada iteracioacuten del proceso evolutivo basados en una decisioacuten estocaacutestica utilizando un par de umbrales previamente definidos En 2007 Zhang y Sanderson implementan un meacutetodo conocido como JADE donde F y CR son ajustados utilizando distribuciones normales independientes cuya media es calculada usando el promedio de los vectores mutados mejor adaptados en cada iteracioacuten En 2011 Ghosh et al actualizan los valores de estos paraacutemetros en base al valor de aptitud de los individuos en la poblacioacuten en un meacutetodo denominado FiADE (Fitness-Adaptive DE) Una versioacuten parecida es presentada en 2015 por Tang et al en el meacutetodo llamado IDE (DE with an individual-dependent mechanism) En 2011 Bi y Xiao describen el meacutetodo p-ADE (pbest vector-based self-adaptive DE variant) donde el vector mutado se crea usando el mejor individuo en la poblacioacuten y el mejor de los vectores que se utilizaron para crear al vector objetivo Los valores de F y CR de cada individuo son ajustados usando un factor asociado a las mejores y peores aptitudes de los individuos en la poblacioacuten En 2012 Islam et al introdujeron el meacutetodo llamado MDEpBX (modified DE with p-best crossover) donde se modifica la variante DEcurrent-to-best1 al utilizar el mejor elemento de un grupo de individuos seleccionados aleatoriamente de la poblacioacuten actual en lugar de usar el mejor individuo de la poblacioacuten Los valores de los paraacutemetros se ajustan en base a un par de distribuciones independientes que son actualizadas al final de cada generacioacuten En 2013 Tanabe y Fukunaga implementan el meacutetodo SHADE (Success-History based Adaptive DE) que basaacutendose en JADE actualiza los valores de F y CR usando una memoria de los vectores mutados que han sido exitosamente seleccionados previamente dentro del proceso evolutivo A partir de SHADE

varias versiones se han desarrollado como el meacutetodo L-convSHADE (SHADE using covariance matrix learning with Euclidean Neighborhood) y el meacutetodo LSHADE-SPA (LSHADE with semi parameter adaptation) En 2016 Leon y Xiong introducen una estrategia voraz para actualizar los valores de los paraacutemetros de cada individuo en el meacutetodo llamado GADE (Greedy Adaptive DE) Se utilizan los valores de los paraacutemetros de las soluciones vecinas para ajustar los paraacutemetros del nuevo vector mutado Finalmente Mohamed y Mohamed en 2017 proponen el meacutetodo denominado AGDE (Adaptive guided DE)

Esquema de ajuste de paraacutemetros para cada individuo de la poblacioacuten

Ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten En los enfoques descritos previamente solamente se ajustan los valores de F y CR manteniendo el tamantildeo de la poblacioacuten constante Diversos estudios indican que el tamantildeo de la poblacioacuten tambieacuten afecta al desempentildeo de un algoritmo evolutivo por lo que existen trabajos que se han centrado en ajustar el tamantildeo de la poblacioacuten para garantizar la convergencia del algoritmo Existen algunos enfoques donde se ajusta el tamantildeo de la poblacioacuten y se describiraacuten a continuacioacuten En la figura 9 se muestra el esquema general en que estos enfoques ajustan el tamantildeo de la poblacioacuten durante el proceso evolutivo

Esquema general del ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten en DE

En 2006 Teo describe el meacutetodo DESAP (Differential Evolution with self-adapting populations) donde el tamantildeo de la poblacioacuten se ajusta usando un factor distribuido uniformemente entre 0 y 1 En 2008 Brest y Sepesy Maučec presentan el algoritmo dynNP-DE (DE con NP dinaacutemico) donde van reduciendo a la mitad el tamantildeo de la poblacioacuten conforme el proceso evolutivo progresa Utilizando el nuacutemero total de evaluaciones y un paraacutemetro que indica el nuacutemero de posibles reducciones el algoritmo establece en queacute generaciones el algoritmo reduciraacute el tamantildeo de la poblacioacuten En 2014 Tanabe y Fukunaga presentaron una versioacuten con ajuste de poblacioacuten del meacutetodo SHADE denominada L-SHADE donde se aplica una reduccioacuten lineal del tamantildeo de la poblacioacuten previo a una ordenacioacuten a los individuos por su aptitud que permite eliminar solo

los individuos peor adaptados En 2017 Bujok y Tvrdiacutek describen el meacutetodo IDEbd (IDE with Population Size Adaptation) en donde el tamantildeo de la poblacioacuten es adaptado usando un factor calculado en base al nivel de diversidad de la poblacioacuten actual

Combinacioacuten de variantes Debido a la forma de combinar los individuos para crear el vector de prueba de cada una de las variantes de DE estaacutes presentan diferentes capacidades de exploracioacuten y explotacioacuten ademaacutes de que son maacutes efectivas para diferentes tipos de problemas Por ejemplo la variante DErand1 es mejor para explorar el espacio de buacutesqueda pero tiene una velocidad de convergencia lenta y DEbest1 converge maacutes raacutepido hacia soluciones cercanas a la oacuteptima pero solo para problemas con un uacutenico oacuteptimo global (unimodales) Debido a que usar diferentes estrategias de mutacioacuten durante diferentes momentos del proceso evolutivo pueden ser mejor que usar una sola variante durante todo el proceso varios autores se han enfocado en desarrollar estrategias para combinar diferentes variantes de DE y lograr con esto que cooperen en la creacioacuten de un mejor vector objetivo La figura 10 muestra un esquema general de la forma en que se aplican estas estrategias dentro del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial

Esquema general de la estrategia de combinacioacuten de variantes de DE

En 2005 Qin y Suganthan describieron una versioacuten conocida como SADE (Self-Adaptive DE algorithm for numerical optimization) donde introducen un esquema que selecciona de forma alternada una de dos variantes del algoritmo de acuerdo a su tasa de eacutexito dentro del proceso evolutivo En 2009 Das et al presentaron el meacutetodo llamado DEGL (DE with Global and Local Neighborhoods) donde cada nuevo vector mutado se crea combinando dos vectores uno construido usando una vecindad del vector objetivo (vector local) y otro creado usando el mejor

individuo de la poblacioacuten (vector global) En 2011 Mallipeddi et al asignaron a cada individuo de la poblacioacuten el tipo de variante para generar el vector mutado y los valores para F y CR en el meacutetodo EPSDE (Ensemble of mutation strategies and parameters in DE) Tanto el tipo de variante como los valores de los paraacutemetros se escogen aleatoriamente de un grupo de ellos que es previamente definido Dependiendo del eacutexito de la aplicacioacuten de dichos valores eacutestos se pueden cambiar durante el proceso evolutivo Tambieacuten en ese mismo antildeo Wang et al en su meacutetodo CoDE (Composite DE) crean tres vectores para cada vector objetivo Cada vector es construido usando variantes diferentes y con paraacutemetros generados aleatoriamente El mejor de los tres vectores se usa como vector de prueba para aplicar el operador de seleccioacuten Adicionalmente Zhao et al implementaron un meacutetodo muy similar denominado SaDE-MMTS (SaDE with a modified multi-trajectory search) donde el vector mutado se selecciona de entre los vectores generados por tres diferentes variantes del algoritmo pero la seleccioacuten se hace en base a una probabilidad que iterativamente se ajusta en base a la cantidad de vectores mutados que son exitosamente seleccionados En 2017 Ghosh et al propusieron el meacutetodo NRDE (Noise Resilient DE) donde cada individuo puede ser mutado por alguna de dos variantes con igual probabilidad Los valores de F y CR son ajustados para cada individuo basado en un rango preestablecido previamente

Evolucioacuten Diferencial para otros tipos de problemas Aunque DE fue definido originalmente para resolver problemas de optimizacioacuten continua sin restricciones tambieacuten se ha utilizado con eacutexito para resolver otros tipos de problemas como aquellos donde los valores de las variables del problema son discretos donde el espacio de buacutesqueda estaacute limitado por una o maacutes restricciones y aquellos donde se manejan dos o mas objetivos Prado et al describe varias adaptaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial para problemas de optimizacioacuten combinatoria como aquellos que implementan una matriz de permutacioacuten los que obtienen una secuencia ordenada de valores y los que aplican una transformacioacuten de los valores continuos al espacio discreto En el caso de los problemas de optimizacioacuten con restricciones Mezura-Montes et al describen varios enfoques que se han utilizado para aplicar DE en este tipo de problemas como aquellos que utilizan teacutecnicas para eliminar o reparar soluciones infactibles y los que implementan teacutecnicas de penalizacioacuten Finalmente para problemas de optimizacioacuten multi-objetivo Mezura-Montes et al resume las principales teacutecnicas basadas en el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial para manejar dos o maacutes objetivos como los enfoques basados en dominancia de Pareto y en jerarquizacioacuten de Pareto asiacute como los meacutetodos que no se basan en Pareto y los enfoques que combinan diferentes estrategias Hoy en diacutea existen tambieacuten algoritmos basados en descomposicioacuten y en indicadores de desempentildeo

DE en Meacutexico En el paiacutes se tiene mucha actividad en investigacioacuten relacionada con DE particularmente el grupo EVOCINV de CINVESTAV Zacatenco estudia a este algoritmo en optimizacioacuten multi-objetivo y temas afines al manejo de muacuteltiples objetivos como algoritmos basados en indicadores modelos subrogados operadores de seleccioacuten operadores de variacioacuten adaptacioacuten de paraacutemetros entre otros temas

En el Centro de Investigacioacuten en Inteligencia Artificial de la Universidad Veracruzana se desarrolla investigacioacuten en optimizacioacuten con restricciones usando DE aplicaciones de DE en mecatroacutenica y en control automaacutetico DE y buacutesqueda local optimizacioacuten dinaacutemica multi-objetivo DE asistida por subrogados en espacios restringidos entre otras temaacuteticas

Recientemente en el Instituto Tecnoloacutegico de Veracruz se desarrollan aplicaciones de DE en aprendizaje automaacutetico en el Centro de Innovacioacuten y Desarrollo Tecnoloacutegico en Coacutemputo (CIDETEC) del IPN se aplica DE en problemas de mecatroacutenica y en el Centro de Investigacioacuten en Matemaacuteticas se aplica en procesos quiacutemicos

Todas estas menciones soacutelo son representativas pues la DE al ser un algoritmo faacutecil de implementar y que provee resultados competitivos ha sido particularmente atractiva para su estudio y aplicacioacuten en instituciones mexicanas

Conclusiones El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial es un enfoque exitoso para resolver problemas de optimizacioacuten continua sin restricciones Los individuos que evolucionan al aplicar los operadores de este algoritmo tradicionalmente se codifican como secuencias de nuacutemeros reales pero otras representaciones se han utilizado tambieacuten Ademaacutes con la inclusioacuten de diversas estrategias para manejar varios objetivos y conjuntos de restricciones DE se puede aplicar para resolver otro tipo de problemas DE se distingue por depender de la definicioacuten de un menor nuacutemero de paraacutemetros que otros algoritmos evolutivos pero esto tambieacuten lo hace muy sensible a la definicioacuten de los valores para esos paraacutemetros Diversos variantes del algoritmo han sido desarrolladas para mejorar el desempentildeo del algoritmo generando un abanico de alternativas para resolver casi cualquier tipo de problema El estudio del comportamiento de este algoritmo y la definicioacuten de nuevas propuestas de desarrollo sin duda aportaraacute a la resolucioacuten maacutes eficiente de problemas complejos que interesan a la comunidad cientiacutefica

Para saber maacutes Para aquellos lectores que deseen abundar en el tema las siguientes referencias sobre DE pueden ser de intereacutes

bull El libro sobre DE escrito por los autores originales del algoritmo

bull Una revisioacuten muy completa de la literatura de DE y su versioacuten actualizada

bull Otra revisioacuten de la literatura acompantildeada de un estudio experimental

bull Una revisioacuten de estudios teoacutericos sobre DE

bull Un libro editado con temas diversos y recientes sobre DE

bull DE para resolver problemas de optimizacioacuten multi-objetivo

bull DE y su papel importante en espacios restringidos

Algoritmos Geneacuteticos Paralelos Alicia Morales-Reyes

Introduccioacuten Las teacutecnicas evolutivas son aptas para su paralelizacioacuten tanto a nivel algoriacutetmico como a nivel de ejecucioacuten En particular los algoritmos geneacuteticos (AGs) han sido investigados desde esta perspectiva y esquemas paralelos han surgido desde el inicio de su desarrollo La paralelizacioacuten de los AGs persigue la mejora de su desempentildeo algoriacutetmico en teacuterminos de eficiencia y eficacia y la reduccioacuten de tiempos de ejecucioacuten en sus distintos dominios de aplicacioacuten

Una clasificacioacuten general de los Algoritmos Geneacuteticos Paralelos (AGPs) los agrupa por su granularidad en AGPs de grano fino y grueso Los AGPs de grano grueso dividen la poblacioacuten agrupada en panmixia en varias sub-poblaciones permitiendo la migracioacuten de individuos entre 1

eacutestas De esta forma se reduce el nuacutemero de individuos en cada unidad de procesamiento En consecuencia se establece un fuerte viacutenculo entre la algoritmia y la implementacioacuten de estas teacutecnicas Sin embargo utilizar una uacutenica unidad de procesamiento para la evolucioacuten de varias sub-poblaciones ha sido un contexto tambieacuten explorado como un mecanismo de mejora del desempentildeo algoriacutetmico

Los AGPs de grano grueso tambieacuten llamados Algoritmos Geneacuteticos distribuidos (AGds) han permitido la exploracioacuten de nuevas vertientes de la versioacuten estaacutendar de los AGs Tener diferentes paraacutemetros de configuracioacuten para realizar las operaciones geneacuteticas implementar granularidades distintas incorporar el operador de migracioacuten han sido caracteriacutesticas a explorar que pueden culminar en un mejor desempentildeo de los AGs

En la figura 1 se muestra un diagrama de un AG distribuido Cada poblacioacuten es centralizada y se necesitan definir criterios en teacuterminos de tasa y frecuencia de migracioacuten Tambieacuten se necesita definir si la migracioacuten seraacute siacutencrona o asiacutencrona Herrera et al presentaron un esquema de un AGP distribuido con poblaciones heterogeacuteneas Utilizaron la estructura de un hipercubo posicionando en cada veacutertice una sub-poblacioacuten Dependiendo de la ubicacioacuten de cada sub-poblacioacuten la buacutesqueda implica mayor explotacioacuten o exploracioacuten Esto se logra de manera interna viacutea la configuracioacuten de los operadores geneacuteticos De esta forma se procura mantener la diversidad de soluciones de forma global y asiacute mejorar la calidad de las soluciones encontradas

Una poblacioacuten en panmixia es aquella donde todos sus individuos sin restricciones pueden 1

reproducirse entre si

Diagrama poblacional de un AGP distribuido o de grano grueso

La principal diferencia entre los AGP de grano fino con respecto a los AGP distribuidos o de grano grueso es la descentralizacioacuten de su poblacioacuten y en consecuencia la localizacioacuten del proceso de seleccioacuten de individuos En la figura 2 se muestra un esquema poblacional de un AGP de grano fino tambieacuten conocido como AG celular (AGc) De manera comuacuten se utiliza una topologiacutea de malla conectada de forma toroidal como lo muestra la figura Un individuo de la poblacioacuten se ubica en cada cruce de la malla y alrededor de eacutel se define un vecindario cuyas soluciones participan en los procesos de seleccioacuten recombinacioacuten y mutacioacuten para la evolucioacuten de eacuteste En la figura 2 se ilustra un vecindario tipo Moore con 9 individuos

En los AGs celulares cada individuo o solucioacuten interactuacutea con sus vecinos maacutes cercanos logrando de esta forma el esparcimiento suave de las soluciones a traveacutes de la malla debido al traslape de vecindarios En los AGs distribuidos la asociacioacuten entre soluciones se pierde en comparacioacuten con los AGs celulares Esta es otra caracteriacutestica importante de los AGc que permite la exploracioacuten global del espacio de buacutesqueda mientras que localmente los individuos explotan la regioacuten cercana a su ubicacioacuten

Diagrama poblacional del AG celular o de grano fino

La paralelizacioacuten de los algoritmos evolutivos en particular de los algoritmos geneacuteticos persigue distintos objetivos Por ejemplo la evolucioacuten simultaacutenea de sub-poblaciones lo cual permite descubrir nueva rutas para solucionar un problema y en consecuencia reducir el nuacutemero de generaciones para converger a la solucioacuten oacuteptima Aunado a esto los tiempos de procesamiento pueden tambieacuten acortarse La paralelizacioacuten de AGs se puede realizar a distintos niveles Asiacute mismo es posible la combinacioacuten de sub-poblaciones con distintas dinaacutemicas internas Por ejemplo algunas sub-poblaciones podriacutean evolucionar en un esquema de panmixia y otras en un esquema celular Este tipo de esquemas poblacionales se discutiraacuten a detalle en la subseccioacuten 11

Una operacioacuten importante en los procesos evolutivos de los AGs distribuidos es la migracioacuten de los individuos entre sub-poblaciones Durante el proceso de buacutesqueda uno o maacutes individuos son seleccionados para migrar y reemplazar a otros individuos de otras sub-poblaciones Los criterios de migracioacuten requieren no soacutelo de la tasa y la frecuencia de migracioacuten sino tambieacuten de criterios de seleccioacuten y reemplazo de individuos al llegar a las otras sub-poblaciones El proceso de migracioacuten puede realizarse de forma siacutencrona o asiacutencrona La migracioacuten siacutencrona supone que todas las sub-poblaciones estaacuten en el mismo estado de la buacutesqueda y la migracioacuten de individuos entre sub-poblaciones ocurre de manera simultaacutenea Por otro lado la migracioacuten asiacutencrona supone que cada sub-poblacioacuten determina el momento en que los individuos deben migrar En la sub-seccioacuten 24 se aborda el efecto del sincronismo en los mecanismos de migracioacuten

Cantuacute-Paz et al presentoacute un estudio completo en AGs distribuidos tanto desde el punto de vista teoacuterico como del praacutectico Debido al nuacutemero de paraacutemetros que se deben definir en los AGds Cantuacute-Paz et al iniciaron con la solucioacuten de un problema de optimizacioacuten para determinar el tamantildeo adecuado de las sub-poblaciones para alcanzar una cierta calidad de la misma Utilizaron un modelo matemaacutetico considerando la hipoacutetesis de los bloques constructores propuesta por Holland y extendida por Goldberg El estudio se verifica en varios problemas con un grado alto de precisioacuten mostraacutendose una buena respuesta a la escalabilidad

Para determinar escenarios de operacioacuten liacutemite en teacuterminos de eficiencia analizaron la interaccioacuten de las sub-poblaciones y su efecto en la calidad de las soluciones Previamente se ha investigado el cambio en la calidad de las soluciones debido a la forma de interaccioacuten de las sub-poblaciones Tener sub-poblaciones evolucionando de manera independiente con muy poca o nula interaccioacuten entre ellas resulta en soluciones menos precisas mientras mejores soluciones se obtienen viacutea el esquema de panmixia tradicional Sin embargo cuando se definen criterios de migracioacuten adecuados y un cierto nuacutemero de soluciones migran entre sub-poblaciones a una frecuencia media o baja el desempentildeo en general de los AGds mejora alcanzando en un nuacutemero de casos aceleraciones super-lineales y mejor calidad de las soluciones encontradas Se puede inferir entonces la importancia del operador de migracioacuten el cual seraacute analizado en detalle en la sub-seccioacuten 12

AGds homogeacuteneos y heterogeacuteneos Existen distintos escenarios en los que se pueden definir y aplicar AGds con esquemas poblaciones homogeacuteneos y heterogeacuteneos es decir combinaciones de poblaciones centralizadas y descentralizadas A nivel algoriacutetmico se puede definir la misma o una diferente configuracioacuten de operadores geneacuteticos A partir de esas configuraciones distintas diferentes configuraciones de paraacutemetros se pueden determinar para ejecutar la buacutesqueda en cada sub-poblacioacuten Por ejemplo distintas definiciones del operador de recombinacioacuten o bien de las probabilidades de mutacioacuten pueden operar sobre los individuos de cada sub-poblacioacuten La comunidad en el aacuterea ha incluso explorado escenarios donde las soluciones se representan de manera distinta entre sub-poblaciones Por otro lado a nivel de implementacioacuten se han explorado esquemas con sub-poblaciones heterogeacuteneas Por ejemplo Alba et al realizoacute un estudio en distintas plataformas de coacutemputo ejecutando sub-poblaciones en panmixia y celulares

Como se puede apreciar el desarrollo de un esquema de AG paralelos ya sean distribuidos o descentralizados conlleva la definicioacuten de un nuacutemero de paraacutemetros que afectaraacute de manera importante su desempentildeo algoriacutetmico Otro ejemplo es la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten en espacios continuos que se han abordado a traveacutes de un esquema de AGP utilizando una versioacuten mejorada con cromosomas codificados con nuacutemeros reales Para esto se

definioacute una topologiacutea doble con un hipercubo que se comparoacute con una topologiacutea sencilla Las sub-poblaciones ubicadas en sus veacutertices promoviacutean mayor o menor exploracioacuten u explotacioacuten de las regiones viacutea la configuracioacuten de los operadores geneacuteticos La migracioacuten entre las sub-poblaciones afectoacute directamente los tiempos de ejecucioacuten por medio de la reduccioacuten del nuacutemero de evaluaciones La capacidad de buacutesqueda de la topologiacutea doble superoacute a la de la topologiacutea sencilla

Cuando pensamos en paralelizar alguna teacutecnica algoriacutetmica nos viene a la mente acelerar los procesos de ejecucioacuten Sin embargo la paralelizacioacuten de los algoritmos evolutivos podriacutea mejorar tanto los procesos de buacutesqueda algoriacutetmica como los tiempos de ejecucioacuten Es asiacute que a nivel de implementacioacuten se utilizado coacutemputo heterogeacuteneo para la evaluacioacuten de esquemas de AGPs Por ejemplo Alba et al propusieron utilizar una plataforma heterogeacutenea en la cual distintos sistemas operativos con distintas restricciones de ejecucioacuten implementaban un modelo de AGPs distribuidos Las sub-poblaciones se conectaron en un arreglo de anillo unidireccional cada sub-poblacioacuten ejecutaba un modelo poblacional de estado estable A cada generacioacuten se produciacutea un individuo que reemplazaba a la peor solucioacuten obtenida Se establecioacute un esquema de migracioacuten asiacutencrona que demostroacute mejores resultados ver 3 En general se observoacute un mejor desempentildeo de la ejecucioacuten del esquema paralelo en la plataforma heterogeacutenea en comparacioacuten con la homogeacutenea se redujo el nuacutemero de evaluaciones debido a la explotacioacuten de soluciones a distintas tasas de migracioacuten

AGP con topologiacutea poblacional de anillo unidireccional implementada en una plataforma de coacutemputo heterogeacutenea La migracioacuten entre sub-poblaciones es asiacutencrona y responde a una dinaacutemica de estado estable

Migracioacuten en AGPs Como se explicoacute anteriormente la incorporacioacuten de un nuevo operador llamado migracioacuten se hace latente en los esquemas paralelos de los AGs En los esquemas de grano grueso donde se tienen sub-poblaciones de grano fino y grueso evolucionando simultaacuteneamente la migracioacuten se debe considerar como un mecanismo que introduce nuevos individuos y por lo tanto promueve o restaura la diversidad entre sub-poblaciones De forma distinta en los AGs celulares o de grano fino un mecanismo de migracioacuten impliacutecito trabaja durante el proceso de buacutesqueda debido al traslape de vecindarios que permite la difusioacuten de soluciones a lo largo y ancho de la topologiacutea definida para la poblacioacuten Este mecanismo de migracioacuten es inherente a la estructura de los AGs celulares y no requiere de un paraacutemetro de frecuencia o tasa de migracioacuten o ninguacuten otro mecanismo de seleccioacuten y reemplazo

Revisaremos ahora evaluaciones empiacutericas que se han realizado a criterios de migracioacuten definidos para AGPs de grano grueso Aunque estos criterios son definidos para este tipo de esquemas paralelos tambieacuten es posible aplicar un segundo criterio migratorio en AGs celulares ademaacutes del mecanismo natural inherente a estos

Para establecer un criterio de migracioacuten adecuado y mejorar el desempentildeo algoriacutetmico de los AGPs de grano grueso se examinaron los casos liacutemite para aplicar el proceso de migracioacuten Se

sugiere mantener un cierto nivel de aislamiento entre las sub-poblaciones Si la sub-poblacioacuten evoluciona en completo aislamiento las mejoras en diversidad son miacutenimas y por ende la capacidad de buacutesqueda se ve reducida Por otro lado si se aplica el operador de migracioacuten con una frecuencia maacutexima el costo computacional se incrementa de manera significativa Por lo tanto el objetivo de la migracioacuten es evitar el aislamiento entre sub-poblaciones mientras se mantiene un nivel aceptable de comunicacioacuten entre eacutestas

Es posible calcular experimentalmente el nuacutemero adecuado de unidades de procesamiento para minimizar el tiempo de ejecucioacuten de un esquema de AGPs El anaacutelisis considera casos liacutemite en teacuterminos de conectividad entre sub-poblaciones es decir el caso de tener frecuencias de migracioacuten miacutenimas y maacuteximas La conclusioacuten teoacuterica para una poblacioacuten indica que el nuacutemero

oacuteptimo de unidades de procesamiento estaacute dado por donde es el tamantildeo de la

poblacioacuten es el tiempo de coacutemputo de la funcioacuten objetivo de un individuo y es el tiempo promedio de comunicacioacuten para una unidad de procesamiento Esto quiere decir que dividiendo una poblacioacuten en sub-poblaciones distribuidas en muacuteltiples unidades de procesamiento reduce el tiempo global de ejecucioacuten La misma conclusioacuten se logroacute para un esquema de muacuteltiples poblaciones considerando ademaacutes la evaluacioacuten de funciones objetivo separables Esto quiere decir que utilizar un nuacutemero de unidades de procesamiento en un esquema evolutivo paralelo tiene un impacto positivo en la reduccioacuten de los tiempos de ejecucioacuten

Es tambieacuten importante analizar el efecto de los criterios de migracioacuten que se utilizan en esquemas de AGPs de grano grueso El objetivo principal es determinar coacutemo el operador de migracioacuten afecta la presioacuten de seleccioacuten inducida e impliacutecitamente poder explicar las aceleraciones super-lineales que se pueden modelar para este tipo de esquemas La forma en que los individuos se seleccionan para migracioacuten y reemplazo tienen un efecto considerable en la presioacuten de seleccioacuten y se ha observado que tasas altas de migracioacuten producen un incremento en eacutesta Tener una presioacuten de seleccioacuten alta afecta la buacutesqueda al producir una convergencia prematura a un oacuteptimo local

Aunque la operacioacuten de migracioacuten se ha investigado principalmente para esquemas de AGPs de grano grueso tambieacuten se ha revisado su efecto en AGPs de grano fino considerando tanto el mecanismo de migracioacuten impliacutecita viacutea el traslape de vecindarios como la definicioacuten de criterios para migracioacuten de individuos desde y hacia distintas posiciones de la topologiacutea de malla definida para la poblacioacuten Por ejemplo se han utilizado estructuras de aacuterboles binarios para dividir una topologiacutea de malla de dos dimensiones en formaciones conceacutentricas de individuos definiendo para cada formacioacuten criterios de migracioacuten distintos El intercambio de individuos entre estas

OnTf

Tcn

Tf Tc

formaciones definidas por su estructura alenta el proceso de buacutesqueda permitiendo una mayor exploracioacuten Los resultados mostraron un mejor desempentildeo en la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten con restricciones el operador de mutacioacuten se aplica para evitar la presencia de super individuos que pueden dirigir la buacutesqueda al estancamiento conquistando la topologiacutea de malla mucho maacutes raacutepido En la siguiente seccioacuten se abordaraacute el comportamiento de los AG celulares o de grano fino

AGs celulares o de grano fino Los AGs celulares o de grano fino se construyen a partir de poblaciones descentralizadas donde los individuos interactuacutean con otros individuos ubicados dentro de un vecindario definido Es decir interactuacutean con los vecinos maacutes cercanos Usualmente los AGCs se implementan en topologiacuteas de mallas de -dimensionales manteniendo conexiones toroidales entre los cruces de malla utilizando formas comunes como una malla lineal cuadrada o rectangular

El procesamiento de los AG celulares corresponde al de los Autoacutematas Celulares (ACs) Estos determinan una regla global que define un comportamiento especiacutefico que se construye a partir de reglas locales Se han explorado ACs de una dos y tres dimensiones en combinacioacuten con AGs con la finalidad de evolucionar el comportamiento global requerido Esta combinacioacuten de un AC y un AG originoacute el nombre de AG celular con la diferencia de tener una representacioacuten maacutes elaborada en cada cruce de la malla cromosomas Se observoacute que la informacioacuten de las reglas locales o individuos alcanzaba distancias lejanas dentro de la malla definida esto debido al traslape de los vecindarios De esta forma se determinoacute que la informacioacuten se mueve entre vecindarios permitiendo acelerar el proceso de crear nuevos comportamientos ad-hoc al problema que se esteacute solucionando y con una peacuterdida miacutenima de informacioacuten

El pseudocoacutedigo [algCellularGeneticAlgorithmPseudocode] es el estaacutendar de un AG celular En un primer paso se genera una poblacioacuten inicial de forma aleatoria ubicando cada individuo en un cruce de la topologiacutea de malla Esta poblacioacuten inicial se evaluacutea de acuerdo a la funcioacuten objetivo del problema a resolver Posteriormente da inicio el ciclo reproductivo principal Se define un vecindario local con individuos ubicados de forma cercana A partir de eacutestos y del individuo ubicado en el cruce de la malla se seleccionan a los padres para reproducirse Existen distintos meacutetodos de seleccioacuten que se utilizan en los AG celulares Se pueden utilizar los que comuacutenmente se aplican en los AGs con poblaciones centralizadas como el torneo binario ruleta o seleccioacuten determinista Existen tambieacuten otros meacutetodos especiacuteficos a los AG celulares como son la seleccioacuten ceacutentrica o anisotroacutepica Una vez seleccionados los padres se recombinan y los hijos se mutan No hay diferencia entre la aplicacioacuten de los operadores de recombinacioacuten y mutacioacuten con respecto a los AG tradicionales

n

Debido a la descentralizacioacuten de la poblacioacuten el reemplazo de eacutesta puede ocurrir de forma siacutencrona o asiacutencrona El reemplazo asiacutencrono requiere del almacenaje temporal de la poblacioacuten hasta que todos los individuos concluyen su ciclo reproductivo El reemplazo siacutencrono requiere de la definicioacuten del criterio para implementarla Los distintos criterios que se han utilizado para el reemplazo se explicaraacuten en la sub-seccioacuten 24

poblacioacuten inicial evaluacioacuten seleccioacuten de padres vecinario L5 recombinacioacuten mutacioacuten evaluacioacuten reemplazo

Explotacioacutenexploracioacuten por propiedades estructurales Debido a la descentralizacioacuten de la poblacioacuten y la definicioacuten de una topologiacutea de malla las caracteriacutesticas estructurales de los AG celulares tienen un impacto importante en los procesos de buacutesqueda La forma y la dimensioacuten de la topologiacutea el nuacutemero de individuos dentro del vecindario entre otras son caracteriacutesticas de la estructura que necesitan definirse Ademaacutes otras operaciones durante el ciclo evolutivo como el proceso de seleccioacuten local el reemplazo de individuos criterios de migracioacuten entre otras estaacuten tambieacuten asociadas a estas caracteriacutesticas de estructura

La topologiacutea de malla que es comuacutenmente utilizada en los AG celulares se muestra en la figura 2 Se ha reportado que distintas formas de malla en combinacioacuten con distintos tipos de vecindarios inducen una mayor o menor presioacuten de seleccioacuten Para modelar el efecto de ambas estructuras se utiliza un patroacuten de dispersioacuten con puntos (la posicioacuten de cada solucioacuten en la malla) a partir de una posicioacuten central con coordenadas Se calcula la medida de dispersioacuten debido a que otras medidas como el radio de una circunferencia indicariacutea el mismo valor para topologiacuteas distintas La relacioacuten entre el vecindario y la topologiacutea o radii se calcula de la siguiente forma

donde y La razoacuten o radii entre el vecindario y la topologiacutea de

malla estaacute dada por

(x) larr random(x0) (f ) larr evaluat ion(x)(f1 f2) larr seleccion(f fN fE fS fW)(x1 x2) larr seleccion(x xN xE xS xW) (x prime1 x prime2 ) larr recombinacion(x prime1 x prime 2 )

(x1Prime x2Prime) larr mutacion(x prime1 x prime2 ) (fnew) larr evaluacion(x1Prime x2Prime)(f x) larr reemplazo(fnew xnew)

p(x0 y0)

D =sum (xi minus x)2 + sum (yi minus y)2

p

(x ) =sump

i=1 xi

p (y) =sump

i=1 yi

p

Esta medida se conoce como la razoacuten vecindario-malla (RVM) Formas y tamantildeos diferentes de vecindarios y topologiacuteas proporcionan una medida distinta de RVM ver figura 4

Ejemplos de formas de vecindarios y topologiacuteas de malla

NGR =Dvecindario

Dmalla

Razoacuten vecindario-malla para diferentes topologiacuteas de malla y tamantildeos de poblacioacuten con un vecindario L5

[figL5_variableLattice]

Una topologiacutea de malla cuadrada con un vecindario es una configuracioacuten comuacutenmente utilizada en la implementacioacuten de AG celulares En la figura [figL5_variableLattice] la razoacuten vecindario-malla se ilustra para distintos tamantildeos de poblacioacuten con vecindario Tres formas de malla se evaluacutean cuadrada rectangular y lineal Las curvas de la RVM muestran razones altas para mallas cuadradas y razones bajas para topologiacuteas lineales La RVM se asocia a la presioacuten de seleccioacuten inducida en AG celulares debido a sus caracteriacutesticas estructurales Para comprender esto de mejor manera otro concepto importante es necesario el nuacutemero de generaciones que toma al mejor individuo de una poblacioacuten inicial esparcir su solucioacuten en todas las direcciones de la topologiacutea de malla es decir conquistarla a partir de aplicar uacutenicamente el operador de seleccioacuten Un nuacutemero de generaciones alto indica una baja presioacuten de seleccioacuten es decir una buacutesqueda principalmente explorativa Por el contrario un nuacutemero de reducido de generaciones implica una alta presioacuten de seleccioacuten y por tanto una buacutesqueda orientada a la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda

L5

L5

Los AG celulares son teacutecnicas flexibles con un nuacutemero de paraacutemetros que pueden configurarse Por ejemplo es posible pensar en modificar en tiempo de buacutesqueda las topologiacuteas de malla tamantildeos y formas de vecindarios como una forma de control de la presioacuten de seleccioacuten inducida Las modificaciones de la configuracioacuten pueden realizarse de manera constante definiendo un nuacutemero de generaciones o bien de forma adaptativa midiendo generacioacuten a generacioacuten el comportamiento por ejemplo de la diversidad en el espacio de fenotipos y genotipos modificando entonces las configuraciones de estructura de manera que se promueva la exploracioacuten o la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda

Presioacuten de seleccioacuten por caracteriacutesticas estructurales

El matemaacutetico belga Pierre Verhulst en el siglo XIX estudioacute modelos logiacutesticos de crecimiento para describir sistemas bioloacutegicos bajo condiciones de recursos limitados Considerando una poblacioacuten en panmixia de cierto tamantildeo y un nuacutemero de copias del mejor individuo en un tiempo discreto dado por la tasa de crecimiento se expresa a traveacutes del siguiente modelo de recurrencia discreto

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t - 1 right) + p_s tamPob N left(t-1right) left(1 - left(frac1tamPobright) N left(t-1right)right)endaligned$$

donde es la probabilidad de seleccioacuten de un individuo y se puede aproximar por la ecuacioacuten logiacutestica continua

donde es la probabilidad Aunque se obtienen curvas de crecimiento similares el comportamiento en poblaciones estructuradas o descentralizadas no es exponencial sino polinomial como fue sugerido por Spiessen y Manderick in De este modo las caracteriacutesticas estructurales necesitan considerarse en el modelo matemaacutetico de la tasa de crecimiento para AG celulares Si se evaluacutea un caso liacutemite donde el mejor individuo dentro del vecindario se selecciona siempre para reemplazar al individuo actual o central (al vecindario) es decir

tamPobt N(t)

ps N(t)

N(t) =tamPob

1 + ( tamPobN(0) minus 1)eminusαt

α ps

ps = 1

y se define un tamantildeo de poblacioacuten donde determina una topologiacutea de malla cuadrada y un vecindario local con radio La tasa de crecimiento del mejor individuo estaacute dada por

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4r^2t - 2rleft( r+1 right) quad 0 leq t leq fracleft(sqrttamPob-1right)2

N left( t right) = N left( t-1 right) - 4r^2t + 4r sqrttamPob - 2rleft(r+1right) quad t geq fracleft(sqrttamPob-1right)2 notagendaligned$$

que en su forma cerrada queda como

$$beginaligned

N left( t right) = 2r^2t^2 + 2r left(2r + 1 right)t + 1 quad 0 leq t leq fracleft(sqrttamPob-1right)2

N left( t right) = -2r^2t^2 + 2rleft(2sqrttamPob - 3r - 1 right)t + 1 quad t geq fracleft(sqrttamPob-1right)2 notagendaligned$$

En la figura 5 se ilustra la razoacuten de crecimiento para una poblacioacuten de individuos con un vecindario local tipo ver figura 4

Tasa de crecimiento teoacuterica en una topologiacutea de malla toroidal cuadrada y un vecindario local tipo Moore con probabilidad de seleccioacuten

Si se considera la probabilidad variable y cada individuo tiene probabilidades de seleccioacuten distintas probabilidad para el individuo central y para cada individuo dentro de un vecindario tipo El modelado de la recurrencia exacta se vuelve muy complicado Para poder construir un modelo completo se recurre a modelos maacutes simples en donde la tasa de crecimiento se describe como la expansioacuten de un cuadrado rotado con una

tamPob tamPob times tamPobr

81C9

ps = 1

psp0 p1 p2 p3 p4 p8

C9

longitud por lado de y diagonal La tasa de crecimiento de los

individuos con probabilidad variable contenidos dentro del cuadrado rotado estaacute dada por la siguiente recurrencia

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4p_i sqrtfracNleft(t-1right)2 quad N left( t right) leq fractamPob2

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4p_i sqrttamPob - N left( t-1 right) quad N left( t right) gt fractamPob2 notagendaligned$$

Encontrar una forma cerrada de este modelo es una tarea complicada de acuerdo a autores reconocidos del aacuterea En la figura 6 se muestra la tasa de crecimiento probabilista como ejemplo de la dificultad que representa su modelado matemaacutetico

Tasa de crecimiento probabilista para una topologiacutea de malla toroidal cuadrada con vecindario local y probabilidad de seleccioacuten variable

Anaacutelisis empiacuterico

Es posible tener una aproximacioacuten empiacuterica del tiempo para el dominio de la topologiacutea de malla A continuacioacuten se presenta un ejemplo utilizando como meacutetodo de seleccioacuten local torneo binario y ejecuciones por configuracioacuten fueron evaluadas En la figura [figL5_growthRates] se muestran las distintas tasas de crecimiento para la conquista de la malla considerando un tamantildeo de la poblacioacuten de individuos con las siguientes formas de topologiacutea de malla 1)

cuadrada 2) rectangular y 3) lineal La diferencia entre los

tiempos de dominio es evidente Topologiacuteas de malla lineales proveen una difusioacuten maacutes lenta del

s = N(t) d =N(t)

2pi

ps

50

400

400 times 400 10 times40010

4 times400

4

mejor individuo para conquistar la malla y por ende menor presioacuten de seleccioacuten y un comportamiento principalmente explorativo Por otro lado en topologiacuteas de malla cuadradas la solucioacuten del mejor individuo conquista la malla raacutepidamente en un nuacutemero menor de generaciones Es decir tiene un comportamiento con alta presioacuten de seleccioacuten y por ende una buacutesqueda caracterizada por una mayor explotacioacuten del espacio de buacutesqueda Desde este punto de vista se ha investigado tambieacuten la posibilidad de modificacioacuten dinaacutemica de las propiedades estructurales en tiempo de buacutesqueda Se han reportado mejores desempentildeos algoriacutetmicos bajo estos criterios

Tasas de crecimiento promedio del mejor individuo en topologiacuteas de malla cuadrada rectangular y lineal con vecindario La tasa promedio de crecimiento se calcula con base en 50 experimentos y aplicando uacutenicamente el operador de seleccioacuten

[figL5_growthRates]

Aceleracioacuten en AGP Un tema controversial en AGPs son las aceleraciones que esquemas distribuidos y celulares pueden alcanzar El caacutelculo teoacuterico de estas aceleraciones es una medida aceptada para determinar su eficiencia Calcular la razoacuten entre el tiempo promedio de ejecucioacuten de la mejor versioacuten secuencial de un AG y otra teacutecnica de buacutesqueda no evolutiva con respecto al tiempo

L5

promedio de ejecucioacuten de un AG paralelo corriendo en un determinado nuacutemero de procesadores proporciona la aceleracioacuten alcanzada por este uacuteltimo Aceleraciones sub-lineales indican que esta razoacuten es menor que el nuacutemero de procesadores utilizados en la ejecucioacuten del AGP Aceleraciones lineales indican que esta relacioacuten es igual mientras aceleraciones super-lineales indican que la razoacuten es mayor que el nuacutemero de procesadores utilizados

Un medida estricta para medir las aceleraciones de los AGPs involucrariacutea una comparacioacuten con la mejor versioacuten secuencial de un AG lo cual es difiacutecil de determinar Considerar el desempentildeo de un AG secuencial como referencia en conjunto con una condicioacuten de paro que evaluacutee la misma calidad de soluciones en todas las muestras experimentales podriacutea permitir una comparacioacuten justa en teacuterminos de aceleracioacuten entre esquemas paralelos y secuenciales

Los AGPs tienen tres caracteriacutesticas que permiten su aceleracioacuten 1) dividir el espacio de buacutesqueda en diversas aacutereas de exploracioacuten implementadas en distintas unidades de procesamiento 2) reducir la carga de procesamiento por medio de la distribucioacuten de la poblacioacuten en un nuacutemero de unidades de procesamiento y 3) operadores geneacuteticos aplicados a estructuras de datos reducidas

Al analizar comparativamente las tasas de aceleracioacuten de los AG distribuidos con sub-poblaciones en panmixia en comparacioacuten con el desempentildeo de un AG secuencial las aceleraciones calculadas resultan excesivas Sin embargo cuando se considera la distribucioacuten de las sub-poblaciones en un nuacutemero de unidades de procesamiento las tasas de aceleracioacuten son moderadas

Una de las caracteriacutesticas maacutes importantes en los AGPs es el operador de migracioacuten Analizar el comportamiento de este operador bajo distintos criterios como la sincroniacutea o asincroniacutea de migrar individuos entre las sub-poblaciones afecta directamente el desempentildeo de la buacutesqueda Entre los comportamientos con importancia significativa se ha observado que utilizar bajas frecuencias de migracioacuten en combinacioacuten con una comunicacioacuten asiacutencrona entre sub-poblaciones permite una mayor aceleracioacuten Este resultado considera sub-poblaciones en panmixia con la misma configuracioacuten de paraacutemetros

Concepto de sincronismo en AGPs En los AGPs tanto distribuidos como celulares el concepto de sincroniacutea aplica de forma distinta En un AGP distribuido el operador de migracioacuten estaacute directamente relacionado con la comunicacioacuten entre sub-poblaciones y por ende la sincroniacutea con que eacutesta ocurre Por otro lado en AGP de grano fino o celulares la sincroniacutea estaacute relacionada con la actualizacioacuten de soluciones durante el proceso evolutivo Esto se explica a continuacioacuten a mayor detalle

En AGPs distribuidos viacutea migracioacuten

Varios autores han investigado el efecto del sincronismo a traveacutes de la migracioacuten de individuos entre sub-poblaciones Se han considerado varios escenarios tales como tener un conjunto de sub-poblaciones en panmixia y tener sub-poblaciones descentralizadas un tercer escenario que se ha considerado es tener una combinacioacuten de sub-poblaciones en panmixia y descentralizadas Los tres esquemas han sido evaluados no soacutelo a nivel algoriacutetmico sino de implementacioacuten en plataformas de coacutemputo para procesamiento paralelo

Utilizando un esquema de procesamiento de instrucciones muacuteltiples - datos muacuteltiples con un esquema homogeacuteneo de sub-poblaciones se verificoacute el comportamiento de distintas frecuencias de migracioacuten definidas como muacuteltiplos del tamantildeo de la poblacioacuten Esto representa que la migracioacuten es nula cuando la frecuencia es cero lo que implica que la evolucioacuten es independiente de las sub-poblaciones Localmente los operadores geneacuteticos fueron configurados de la misma forma En general los resultados mostraron un mejor desempentildeo cuando la comunicacioacuten entre sub-poblaciones es asiacutencrona y la frecuencia de migracioacuten es baja En este sentido el tener sub-poblaciones descentralizadas permite una mejor eficacia que cuando se tienen sub-poblaciones en panmixia Las tasas de aceleracioacuten tambieacuten se analizaron Bajas frecuencias de migracioacuten reportaron aceleraciones lineales para sub-poblaciones descentralizadas y super-lineales para sub-poblaciones en panmixia

Se ha podido verificar el funcionamiento de los AGPs ampliando la gama de problemas de prueba a aquellos del dominio continuo El uso de un esquema paralelo distribuido con sub-poblaciones en panmixia y un ciclo evolutivo de estado estable donde solamente una solucioacuten se actualiza en cada generacioacuten logroacute obtener soluciones de mejor calidad Ademaacutes de la influencia de la frecuencia con la que se ejecuta la operacioacuten de migracioacuten la seleccioacuten aleatoria de individuos migrantes demostroacute tambieacuten un mejor desempentildeo que la seleccioacuten de los mejores individuos para migrar El mejor desempentildeo continuacutea siendo a partir de la aplicacioacuten de frecuencias de migracioacuten bajas ahora en combinacioacuten con la seleccioacuten aleatoria de soluciones para migrar En problemas de optimizacioacuten en el dominio continuo con oacuteptimos locales engantildeosos en sus espacios de buacutesqueda los esquemas de sub-poblaciones descentralizadas superaron el desempentildeo de aquellos con sub-poblaciones en panmixia ademaacutes de responder mejor a frecuencias de migracioacuten altas Las tasas de aceleracioacuten tambieacuten se relacionan con la operacioacuten de la migracioacuten a frecuencias de migracioacuten alta se obtienen mayores tasas de aceleracioacuten en ambos esquemas poblacionales

Es posible tambieacuten considerar un esquema de AGPs con sub-poblaciones tanto en panmixia como descentralizadas utilizando un esquema de coacutemputo heterogeacuteneo distribuido Las tasas de

aceleracioacuten que se alcanzan en estos caso son super-lineales viacutea el esquema sub-poblacional mixto

En AGP celulares viacutea criterios de actualizacioacuten

En los AGPs de grano fino o celulares el concepto de sincronismo se asocia a los criterios de actualizacioacuten de las soluciones Se consideran diversos escenarios como son 1) barrido liacutenea a liacutenea 2) barrido fijo aleatorio 3) barrido aleatorio 4) seleccioacuten uniforme Cada unos de estos criterios de actualizacioacuten de soluciones se puede ejecutar de manera siacutencrona o asiacutencrona La actualizacioacuten siacutencrona se refiere a que la poblacioacuten completa se genera a partir de los individuos actuales En contraste la actualizacioacuten asiacutencrona quiere decir que los individuos se actualizan despueacutes de su proceso evolutivo a nivel local entonces los individuos en una generacioacuten han evolucionado de hijos generados durante esta

El barrido liacutenea a liacutenea es la forma maacutes sencilla de actualizar soluciones en una topologiacutea de malla con conexioacuten toroidal Haciendo el barrido secuencial de ubicacioacuten de las soluciones por liacutenea o por columna se ejecuta la actualizacioacuten de estas El barrido aleatorio fijo consiste en elegir de forma aleatoria una solucioacuten sin reemplazo con una probabilidad uniforme En cada generacioacuten se determina una distribucioacuten diferente para la actualizacioacuten de los individuos La actualizacioacuten uniforme elige de forma aleatoria con una probabilidad uniforme una solucioacuten con reemplazo Esto quiere decir que una solucioacuten puede ser actualizada maacutes de una vez en un mismo ciclo reproductivo

Tambieacuten se ha buscado modelar formalmente el comportamiento de los distintos criterios de actualizacioacuten de soluciones considerando ambos criterios de sincronismo Los criterios siacutencronos de actualizacioacuten presentan menores tasas de crecimiento de la mejor solucioacuten en la topologiacutea de malla Es decir la buacutesqueda se ejecuta promoviendo la exploracioacuten cuando se sigue un criterio de actualizacioacuten uniforme Aplicar un barrido aleatorio o lineal para la actualizacioacuten de soluciones representa tasas maacutes altas de crecimiento pero no alcanza a aquellas de las poblaciones en panmixia La principal caracteriacutestica que se aprecia es que las poblaciones en panmixia promueven la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda en mayor grado que los AGPs descentralizados o celulares

Finalmente se puede concluir despueacutes de la evaluacioacuten de los criterios siacutencronos y asiacutencronos en una variedad de problemas de optimizacioacuten combinatorios y del dominio continuo que la actualizacioacuten asiacutencrona de soluciones mejora el desempentildeo algoriacutetmico en teacuterminos de eficiencia y eficacia en comparacioacuten con el criterio asiacutencrono en teacuterminos del nuacutemero de generaciones necesarias para converger a la solucioacuten del problema

Discusioacuten En este capiacutetulo se presentaron los distintos esquemas poblaciones que se consideran en la paralelizacioacuten de los AGs Se introdujo el principal operador que distingue a estos esquemas evolutivos el operador de migracioacuten y su efecto en los procesos de buacutesqueda Tambieacuten se introdujeron de manera detallada los esquemas paralelos de AGs de grano fino o celulares y la manera en que las caracteriacutesticas estructurales de estos pueden afectar directamente la exploracioacuten y explotacioacuten del espacio de buacutesqueda Se abordoacute tambieacuten el tema de las aceleraciones que se pueden alcanzar viacutea la paralelizacioacuten de grano fino y grueso de los AGPs Este anaacutelisis incluye los escenarios teoacutericos y reales de las tasas de aceleracioacuten que se pueden alcanzar Finalmente se revisoacute el concepto de sincronismo en ambos esquemas de paralelizacioacuten el cual se observoacute que afecta de manera positiva el desempentildeo algoriacutetmico

Los esquemas paralelos de los algoritmos geneacuteticos permiten obtener un mejor desempentildeo de los procesos de buacutesqueda Sin embargo se debe considerar una serie de paraacutemetros que se necesitan definir y que requeriraacuten la intervencioacuten de un usuario Es importante destacar tambieacuten que la mejora en el desempentildeo se puede apreciar tanto a nivel algoriacutetmico como a nivel de procesamiento Es necesario tambieacuten indicar que la seleccioacuten de la plataforma de coacutemputo paralelo ya sea distribuida o no implicaraacute costos de comunicacioacuten que deben ser considerados para las tasas de aceleracioacuten que se pretendan alcanzar

Investigacioacuten de AGPs en Meacutexico En Meacutexico investigadoras e investigadores en distintas instituciones y centros de investigacioacuten se han dado a la tarea de explorar esquemas evolutivos que utilizan AGPs Por ejemplo esquemas de AGPs de grano fino para solucionar problemas de optimizacioacuten mono-objetivo sin restricciones y problemas combinatorios han sido desarrollados en El objetivo en esos trabajos es el estudio del efecto de las caracteriacutesticas estructurales en las topologiacuteas de poblacioacuten descentralizadas utilizando mallas conectadas de forma toroidal Distintos criterios fueron definidos para modificar en tiempo de buacutesqueda la forma de la topologiacutea y sin incrementar el costo computacional verificar la mejora del desempentildeo algoriacutetmico al evaluar una cama prueba con problemas mono-objetivo sin restricciones y combinatorios Los resultados obtenidos fueron alentadores y a partir de estos se extendioacute el estudio de las propiedades estructurales a manipular tambieacuten la dimensioacuten de la topologiacutea de malla y modificarla en tiempo de buacutesqueda resultados positivos de este estudio fueron reportados en

Debido al costo computacional de los AGs en general la aceleracioacuten de estos utilizando plataformas de coacutemputo especializadas ha sido un aacuterea de investigacioacuten tambieacuten desarrollada en Meacutexico Particularmente el disentildeo e implementacioacuten de un arreglo de procesadores flexible para

la aceleracioacuten de los AGs celulares utilizando dispositivos reconfigurables conocidos como arreglos de compuertas programables en el campo (FPGAs por sus siglas en Ingleacutes) se reportoacute en Este trabajo presenta una forma novedosa de dividir a la poblacioacuten descentralizada en un nuacutemero determinado de unidades de procesamiento especialmente disentildeadas para operadores evolutivos manteniendo las conexiones toroidales entre soluciones La flexibilidad del disentildeo consiste en poder definir de acuerdo a las necesidades de usuario el nuacutemero de unidades de procesamiento De este modo un nuacutemero mayor de unidades de procesamiento permitiraacute acelerar la ejecucioacuten del algoritmo y un nuacutemero menor de estas permitiraacute reducir el uso de recursos de hardware

En el aacutembito de la optimizacioacuten multi-objetivo desde la perspectiva del coacutemputo evolutivo utilizando esquemas poblacionales paralelos investigadores en Meacutexico han desarrollado un esquema con base en algoritmos geneacuteticos utilizando muacuteltiples resoluciones La propuesta algoriacutetmica llamada Algoritmo geneacutetico multi-objetivo con resolucioacuten muacuteltiple (MRMOGA por sus siglas en Ingleacutes) consiste de un conjunto de sub-poblaciones las cuales a nivel representacioacuten de soluciones evolucionan con resoluciones distintas lo cual implica la divisioacuten del espacio de buacutesqueda en regiones acotadas y traslapadas El desempentildeo alcanzado por MRMOGA supera los resultados reportados en esquemas evolutivos paralelos en teacuterminos de convergencia y evidencia la necesidad de profundizar el estudio de la escalabilidad de esquemas evolutivos paralelos

Para saber maacutes Dentro de la comunidad cientiacutefica dedicada a la investigacioacuten en las aacutereas de las teacutecnicas algoriacutetmicas evolutivas que desarrollan el concepto de paralelismo se han generado recursos bibliograacuteficos diversos de entre los cuales destacan

bull Algoritmos geneacuteticos paralelos por Gabriel Luque y Enrique Alba

bull Algoritmos evolutivos estructurados espacialmente por Marco Tomassini

bull Algoritmos geneacuteticos celulares por Bernabeacute Dorronsoro y Enrique Alba

bull Algoritmos geneacuteticos paralelos eficientes y precisos por Erick Cantuacute-Paz

Por otro lado entre los grupos de investigacioacuten que se desarrollan en el aacuterea destaca el liderado por el investigador Enrique Alba de la Universidad de Maacutelaga en Espantildea quien en colaboracioacuten con otros investigadores y estudiantes a puesto a disposicioacuten una serie de recursos relacionados en En particular en la seccioacuten de software se encuentran disponibles herramientas para el

disentildeo e implementacioacuten de algoritmos evolutivos paralelos tanto de grano grueso como de grano fino

Programacioacuten Geneacutetica Mario Graff

Daniela Moctezuma

Eric S Tellez

Sabino Miranda-Jimeacutenez

INFOTEC Centro de Investigacioacuten e Innovacioacuten en Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten Circuito Tecnopolo Sur No 112 Fracc Tecnopolo Pocitos II Aguascalientes

20313 Meacutexico CentroGEO Centro de Investigacioacuten en Ciencias de Informacioacuten Geoespacial Circuito

Tecnopolo Norte No 117 Col Tecnopolo Pocitos II CP Aguascalientes Ags 20313 Meacutexico CONACyT Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologiacutea Direccioacuten de Caacutetedras Insurgentes Sur

1582 Creacutedito Constructor Ciudad de Meacutexico 03940 Meacutexico

Introduccioacuten En este capiacutetulo se presenta una introduccioacuten a Programacioacuten Geneacutetica (PG) asiacute como la descripcioacuten de cada uno de los aspectos que la comprenden las perspectivas de este campo y las aacutereas donde se ha aplicado en Meacutexico PG es un algoritmo de buacutesqueda inspirado en los principios de la evolucioacuten de las especies de Charles Darwin (ver ) Particularmente PG engloba a un conjunto de teacutecnicas de coacutemputo evolutivo las cuales tienen como objetivo solucionar automaacuteticamente problemas partiendo de ejemplos del problema por resolver a traveacutes de expresiones evaluables o programas

La Programacioacuten Geneacutetica ha sido ampliamente utilizada en diferentes dominios siendo capaz de resolver una gran variedad de problemas de alta complejidad muchas veces mejorando las soluciones encontradas por humanos Por ejemplo en la competencia ndashldquoHumies rdquo celebrada 2

anualmente en el marco de la Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO) la cual premia sistemas bio-inspirados que mejoran las soluciones encontradas por humanos a problemas difiacuteciles mdashdesde 2004 y hasta 2017 PG ha sido galardonada con 8 medallas de oro 5 de plata y 1 de bronce En particular en esta competencia y utlizando PG Meacutexico ha obtenido

13

12

13

13

1

2

3

httpwwwhuman-competitiveorg2

El capıtulo 1 presenta una introduccioacuten a la ldquoevolucioacuten diferencialrdquo que es un tipo de algoritmo evolutivo que se ha vuelto muy popular en la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten no lineal Los autores proporcionan una descripcioacuten general de este tipo de algoritmo evolutivo incluyendo el funcionamiento de sus operadores de cruza y mutacioacuten y las diferencias entre sus variantes principales

El capıtulo 2 describe los conceptos baacutesicos de los ldquoalgoritmos geneacuteticos paralelosrdquo a partir de una taxonomıa muy sencilla basada en la granularidad de la paralelizacioacuten enfatizando las diferencias que existen entre los esquemas homogeacuteneos y heterogeacuteneos ası como entre el paralelismo sıncrono y el asıncrono

El capıtulo 3 se enfoca a una variante del algoritmo geneacutetico denominada ldquoprogramacioacuten geneacuteticardquo en la cual se usa una representacioacuten de aacuterbol (la cual permite evolucionar programas) en vez de las cadenas binarias de longitud fija del algoritmo geneacutetico tradicional La programacioacuten geneacutetica ha tomado una gran relevancia en antildeos recientes sobre todo por su aplicabilidad a problemas de aprendizaje y clasificacioacuten

El capıtulo 4 se enfoca en un tema muy importante en computacioacuten evolutiva del cual no suele hablarse mucho la importancia de la diversidad en el disentildeo de un algoritmo evolutivo Los autores hacen una revisioacuten de diversas teacutecnicas que se han propuesto para lidiar con la convergencia prematura (la cual suele ser consecuencia de una peacuterdida abrupta de diversidad en la poblacioacuten) Adicionalmente se incluye un pequentildeo estudio en el que se analizan dos teacutecnicas para mantener diversidad

El capıtulo 5 presenta un tutorial de otra aacuterea que ha tomado gran relevancia en antildeos recientes la optimizacioacuten evolutiva multi-objetivo la cual se enfoca a la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten que tienen dos o maacutes objetivos (normalmente en conflicto entre sı) que deseamos optimizar al mismo tiempo Ademaacutes de proporcionar los conceptos baacutesicos de esta aacuterea se describen brevemente los algoritmos evolutivos multi-objetivo maacutes utilizados en la actualidad ası como las medidas principales de desempentildeo que se utilizan en la literatura especializada En la parte final del capıtulo se describen tambieacuten algunos de los temas de investigacioacuten en los que se estaacute trabajando maacutes dentro de esta aacuterea en la actualidad

El capıtulo 6 estaacute dedicado a las hiper-heurısticas que son teacutecnicas que buscan proporcionar maacutes flexibilidad que los algoritmos evolutivos tradicionales al ser capaces de adaptarse a diversos tipos de problemas y a diferentes instancias de una misma clase de problemas Las hiper-heurısticas son el eslaboacuten intermedio entre las limitantes teoacutericas relacionadas con la aplicabilidad de las metaheurısticas y el anhelado suentildeo del disentildeo automatizado de algoritmos y

constituyen sin lugar a dudas uno de los temas maacutes ricos de investigacioacuten dentro de las metaheurısticas

Doctor Carlos Artemio Coello Coello

Indice general

Proacutelogo 5

Introduccioacuten 13

El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial 15

Mutacioacuten 16

Cruza 18

Seleccioacuten 20

Estructura del Algoritmo 20

Modificaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial 21

Ajuste de paraacutemetros globales 22

Ajuste de paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten 23

Ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten 26

Combinacioacuten de variantes 27

Evolucioacuten Diferencial para otros tipos de problemas 29

DE en Meacutexico 30

Conclusiones 30

Para saber maacutes 31

Introduccioacuten 32

AGds homogeacuteneos y heterogeacuteneos 35

Migracioacuten en AGPs 37

AGs celulares o de grano fino 39

Explotacioacutenexploracioacuten por propiedades estructurales 40

Presioacuten de seleccioacuten por caracteriacutesticas estructurales 43

Anaacutelisis empiacuterico 45

Aceleracioacuten en AGP 46

Concepto de sincronismo en AGPs 47

En AGPs distribuidos viacutea migracioacuten 48

En AGP celulares viacutea criterios de actualizacioacuten 49

Discusioacuten 50

Investigacioacuten de AGPs en Meacutexico 50

Para saber maacutes 51

Introduccioacuten 53

Proceso evolutivo 55

Representacioacuten 56

Poblacioacuten inicial 58

Operadores Geneacuteticos 59

Recombinacioacuten 59

Mutacioacuten 60

Seleccioacuten 61

Espacio de buacutesqueda 62

Conclusiones 63

Para saber maacutes 63

Introduccioacuten 64

Preservacioacuten de diversidad en algoritmos evolutivos 67

Clasificaciones de mecanismos para promover la diversidad 67

Esquemas claacutesicos para administrar la diversidad 68

Esquemas de reemplazamiento basados en diversidad 69

Diversidad en evolucioacuten diferencial 71

Disentildeo de evolucioacuten diferencial basado en diversidad 72

Evolucioacuten diferencial Conceptos baacutesicos 72

Inicializacioacuten 72

Operador de mutacioacuten 72

Operador de cruza 73

Operador de seleccioacuten 73

Propuesta basada en diversidad 74

Resultados de de-edm 77

Disentildeo de operadores de cruza basados en diversidad 87

Algoritmos evolutivos multi-objetivo 87

Operadores de cruza 89

El operador de cruza basado en simulacioacuten binaria - SBX 89

Implementacioacuten y anaacutelisis del operador sbx 90

Propuesta - dsbx 92

Resultados 93

Anaacutelisis de cada modificacioacuten en el operador sbx 95

Modificacioacuten simultaacutenea de varios componentes 96

Conclusiones y trabajo futuro 97

Para saber maacutes 98

Agradeciemientos 99

Introduccioacuten 100

Fundamentos de las Hiper-heuriacutesticas 102

Hiper-heuriacutesticas que seleccionan heuriacutesticas 103

Hiper-heuriacutesticas que generan nuevas heuriacutesticas 105

Modelos de Hiper-heuriacutesticas 106

Modelos Evolutivos 106

Hiper-Heuriacutesticas basadas en Algoritmos Geneacuteticos 106

Hiper-Heuriacutesticas basadas en Programacioacuten Geneacutetica 107

Modelos Neuronales 109

Un ejemplo 109

El problema 110

Las alternativas 110

La informacioacuten del problema 111

Nuestra primer hiper-heuriacutestica 112

Otras hiper-heuriacutesticas 112

Las hiper-heuriacutesticas como un problema de optimizacioacuten 113

Aspectos Avanzados de las Hiper-heuriacutesticas 115

Hiacuteper-heuriacutesticas para Problemas Multi-objetivo 115

Transformacioacuten de Caracteriacutesticas en Hiper-heuriacutesticas 117

Tendencias Futuras de Hiper-heuriacutesticas 119

Para saber maacutes 121

Conclusiones 122

Evolucioacuten Diferencial una breve introduccioacuten Rafael Rivera Loacutepez

Efreacuten Mezura Montes

En este capiacutetulo se hace una descripcioacuten general del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Este tipo de algoritmo evolutivo representa una excelente alternativa para encontrar soluciones cercanas al oacuteptimo a problemas de optimizacioacuten continua complejos Debido a la simplicidad de su implementacioacuten y sus excelentes habilidades de exploracioacuten y explotacioacuten diversas variantes de este algoritmo se han aplicado para resolver problemas con diferentes caracteriacutesticas En este capiacutetulo se describen los elementos baacutesicos del algoritmo asiacute como las diferentes variantes que se han desarrollado para mejorar su desempentildeo

Introduccioacuten Con el nombre de algoritmos evolutivos se identifica a un grupo de procedimientos que se utilizan para resolver muchos problemas praacutecticos y que se distinguen de otras teacutecnicas porque estaacuten inspirados en las teoriacuteas que sintetizan la evolucioacuten Darwiniana y la herencia geneacutetica descrita por Mendel Los algoritmos evolutivos han probado ser herramientas poderosas para encontrar soluciones aceptables a problemas donde otras teacutecnicas fallan o consumen una excesiva cantidad de tiempo Estos algoritmos se destacan por combinar exitosamente dos mecanismos de buacutesqueda exploracioacuten y explotacioacuten La exploracioacuten permite identificar aacutereas prometedoras del espacio de buacutesqueda y la explotacioacuten lleva a cabo una buacutesqueda especializada dentro de estas aacutereas para encontrar soluciones cercanas al oacuteptimo Su aplicacioacuten se extiende en praacutecticamente todas las aacutereas de la actividad humana como por ejemplo en salud educacioacuten ciencias industria economiacutea y defensa Los algoritmos evolutivos tambieacuten han sido utilizados en aacutereas emergentes como la ciencia de datos la inteligencia de negocios y el big data En estos algoritmos un conjunto de soluciones candidatas evoluciona para alcanzar una solucioacuten cercana al oacuteptimo por la aplicacioacuten de procedimientos que permiten recombinar y alterar sus valores En la jerga de los especialistas del aacuterea una solucioacuten candidata se conoce como individuo al conjunto de soluciones se denomina poblacioacuten y los procedimientos involucrados en el proceso evolutivo se identifican como operadores de seleccioacuten cruzamiento y mutacioacuten Comuacutenmente dos individuos son seleccionados y sus valores son recombinados y algunas veces mutados para crear nuevas soluciones candidatas Los nuevos individuos son considerados parte de una nueva poblacioacuten que sustituye a la anterior Entonces una secuencia de nuevas poblaciones son creadas hasta que una condicioacuten de teacutermino es alcanzada y la mejor solucioacuten de

las uacuteltima poblacioacuten es seleccionada como resultado del algoritmo Este proceso evolutivo es guiado por una funcioacuten de aptitud que determina la calidad de cada individuo en la poblacioacuten La figura 1 muestra el esquema general de un algoritmo evolutivo

Esquema general de un algoritmo evolutivo

A lo largo de su desarrollo histoacuterico varios tipos de algoritmos evolutivos han sido implementados difiriendo en la forma de representar a sus individuos y en la implementacioacuten de sus operadores geneacuteticos Auacuten cuando en los antildeos 50 varios autores introducen los teacuterminos evolucioacuten y proceso evolutivo en sus propuestas para resolver diversos problemas es en los antildeos 60 cuando se sientan las bases del desarrollo de los algoritmos evolutivos con la introduccioacuten de tres teacutecnicas la Programacioacuten Evolutiva las Estrategias Evolutivas y los Algoritmos Geneacuteticos Fogel propone en 1962 la Programacioacuten Evolutiva donde las soluciones candidatas se representan con maacutequinas de estados finitos y Rechenberg y Schwefel en 1965 desarrollan las Estrategias Evolutivas que codifican sus individuos con vectores de nuacutemeros reales Los Algoritmos Geneacuteticos introducidos en 1962 por Holland son sin duda el tipo de algoritmo evolutivo maacutes popular Estos algoritmos tradicionalmente utilizan una cadena binaria para representar a sus individuos aunque tambieacuten se han utilizado cadenas de enteros y secuencias de nuacutemeros reales Desarrollos posteriores a estas teacutecnicas han aportado al eacutexito de los algoritmos evolutivos destacaacutendose la Programacioacuten Geneacutetica los Algoritmos Coevolutivos los Algoritmos Culturales el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial los Algoritmos de Estimacioacuten de Distribuciones la Evolucioacuten Gramatical y la Programacioacuten de Expresioacuten de Genes Cada uno de estos algoritmos tienen sus ventajas y sus propios desafiacuteos y han sido utilizados para resolver diferentes tipos de problemas La figura 2 muestra un esquema del desarrollo histoacuterico de los

algoritmos evolutivos En particular el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial ha demostrado ser muy competitivo y exitoso para resolver problemas numeacutericos complejos en comparacioacuten con otros algoritmos

Liacutenea del tiempo del desarrollo de los algoritmos evolutivos

El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Evolucioacuten Diferencial (DE por sus siglas en ingleacutes) es un tipo de algoritmo evolutivo que fue originalmente disentildeado por Storn y Price en 1995 para resolver problemas de optimizacioacuten continua En particular en este algoritmo cada individuo usualmente se representa con un vector de valores continuos de paraacutemetros Ademaacutes en lugar de implementar los operadores de cruza y mutacioacuten tradicionales el algoritmo crea cada nuevo individuo con una combinacioacuten lineal de los valores de dos o maacutes individuos de la poblacioacuten actual que son seleccionados al azar La forma en que se implementan los operadores de cruza y mutacioacuten se ha utilizado en la literatura para identificar las diferentes variantes del algoritmo DEABC es la notacioacuten comuacutenmente usada para nombrar estas variantes donde A y B determinan el tipo de mutacioacuten implementado y C identifica el tipo de cruza implementado por la variante En particular A representa el procedimiento de seleccioacuten de los individuos para construir el individuo mutado y B es el nuacutemero de vectores diferencia usados para el operador de mutacioacuten DE puede considerarse un proceso de tres pasos que incluye una fase de inicializacioacuten el proceso evolutivo y el paso final que determina el resultado obtenido La fase de inicializacioacuten involucra la seleccioacuten y evaluacioacuten de un grupo de NP individuos que son generados aleatoriamente de un espacio de buacutesqueda finito los cuales se utilizan como poblacioacuten inicial del algoritmo conocido como Si para cada y son los valores miacutenimo y maacuteximo del -eacutesimo paraacutemetro en el valor del -eacutesimo individuo en la poblacioacuten inicial es determinado como sigue

x = (x1 x2 hellip xn) n

Ω sube ℝn

X0 j isin 1 hellip n xminj xmax

jj Ω xi

j i xi

donde es un nuacutemero aleatorio uniformemente distribuido dentro del rango El proceso evolutivo implementa un esquema iterativo para evolucionar la poblacioacuten inicial En cada iteracioacuten de este proceso conocido como una generacioacuten una nueva poblacioacuten de individuos es generada utilizando informacioacuten de la poblacioacuten previamente creada A diferencia de otros algoritmos evolutivos el orden de aplicacioacuten de los operadores geneacuteticos en el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial es diferente Primero se aplica la mutacioacuten despueacutes la cruza y al final se lleva a cabo la seleccioacuten del mejor individuo Para cada en la generacioacuten es obtenido de la poblacioacuten y es utilizado para crear un nuevo vector aplicando los operadores de cruza y mutacioacuten Los vectores y son conocidos como el vector objetivo y el vector de prueba respectivamente Estos vectores son evaluados por el operador de seleccioacuten para actualizar la nueva poblacioacuten Los operadores de mutacioacuten cruza y seleccioacuten son descritos en detalle en los siguientes paacuterrafos En el paso final cuando una condicioacuten de paro es alcanzada el algoritmo devuelve el mejor individuo en la poblacioacuten actual La condicioacuten de paro maacutes comuacutenmente utilizada es comparar el nuacutemero de generaciones construidas contra un valor fijo pero otros criterios pueden ser implementados como aquellos descritos por Zielinski y Laur

Mutacioacuten Un vector mutado es construido al combinar los valores de varios individuos aleatoriamente seleccionados de El nuacutemero de individuos seleccionados para realizar la combinacioacuten depende del operador de mutacioacuten implementado por la variante del algoritmo En alguna de estas variantes el individuo con la mejor aptitud en la poblacioacuten es tambieacuten utilizado por el operador de mutacioacuten Entre los diferentes operadores de mutacioacuten descritos en la literatura destacan los siguientes

$$beginaligned

textDErand1quad v^i amp= x^r_1 + textF big( x^r_2 - x^r_3 big)labeleqmut_1

textDEbest1quad v^i amp= x^textbest + textF big( x^r_1 - x^r_2 big) labeleqmut_2

textDEcurrent-to-best1quad v^i amp= x^i + textF big( x^textbest - x^r_1big) + textF big( x^r_2 - x^r_3 big) labeleqmut_3

xij = xmin

j + r (xmaxj minus xmin

j )

r [0 1]

i isin 1 hellip NP g xi

Xgminus1 ui

xi ui

Xgω

vi xrj

Xgminus1

xbest Xgminus1

textDErand2quad v^i amp= x^r_1 + textF big( x^r_2 - x^r_3 big)+textF big( x^r_4 - x^r_5 big) labeleqmut_4

shortintertexty

textDEbest2quad v^i amp= x^textbest + textF big( x^r_1 - x^r_2 big )+ textF big( x^r_3 - x^r_4 big ) labeleqmut_5 endaligned$$

donde F es un valor definido por el usuario que representa un factor de escala aplicado para controlar la variacioacuten diferencial Storn y Price sentildealan que F puede fijarse entre 0 y 2 pero otros autores recomiendan valores entre 04 y 1 En la figura 3 se presenta un ejemplo de la aplicacioacuten del operador de mutacioacuten DErand1 En este ejemplo = = y = Usando F igual a 05 el vector mutado resultante es =

Ejemplo de la creacioacuten de un vector mutado con el esquema DErand1

La mutacioacuten aporta a las habilidades de explotacioacuten y exploracioacuten del meacutetodo Debido a que al inicio del proceso evolutivo los individuos se encuentran relativamente dispersos en el espacio

xr1 (1056 316) xr2

(253 903) xr3 (56 626) vi

(902 454)

de buacutesqueda la diferencia entre los vectores seleccionados es grande por lo que los vectores mutados pueden ubicarse en diferentes aacutereas del espacio de buacutesqueda pero a medida que el proceso evolutivo avanza las soluciones se vuelven maacutes cercanas y las diferencias entre ellos son maacutes pequentildeas lo que produce que los vectores mutados se encuentran concentrados en aacutereas promisorias del espacio de buacutesqueda

Cruza El operador de cruza se utiliza para combinar la informacioacuten entre el vector objetivo y el vector mutado para construir el vector de prueba Por cada o se seleccionan para construir usando un factor de cruza el cual es tambieacuten un valor especificado por el usuario Dos tipos de cruza se utilizan en este caso cruza binomial y cruza exponencial

Cruza binomial En este operador cada valor asignado a es seleccionado de o de comparando el valor CR con un valor seleccionado al azar Para garantizar que al menos un paraacutemetro de toma un valor de este operador utiliza un valor tambieacuten seleccionado al azar Formalmente la cruza binomial se define como

Tomando el vector mutado = del ejemplo de la figura 3 y un vector objetivo = en la figura 4 se muestra un ejemplo de la creacioacuten de un vector de prueba usando la cruza binomial El vector de prueba generado en este ejemplo es =

xr2 minus xr3

j isin 1 hellip n xij vi

jui CR isin [0 1]

ui vi xi

r isin [0 1] ui

vi l isin 1 hellip n

bin uij =

vij si r le CR or j = l

xij de otra forma

vi (902 454) xi

(406 766)ui (406 454)

Ejemplo de la creacioacuten de un vector de prueba usando la cruza binomial

Cruza exponencial Este operador de cruza asigna una secuencia de valores de a Los valores restantes que son asignados a son obtenidos de El tamantildeo de la secuencia se determina con dos valores 1) un iacutendice que representa la posicioacuten inicial de la secuencia en seleccionado aleatoriamente dentro del rango y 2) el nuacutemero de intentos consecutivos en los cuales determina la posicioacuten final de la secuencia como es definida en la Ec ([eqcr_exp]) La cruza exponencial es similar al operador de cruza de dos puntos introducido por Cavicchio

$$beginaligned

textexpquad u_j^i amp=

begincases

v_j^i amp textsi $ l leq j leq min (l+L-1n)$

vi ui

ui xi

l vi

1 hellip n L le n r le CR

x_j^i amp textde otra forma

endcases labeleqcr_expendaligned$$

Por ejemplo si se tienen dos vectores de cinco paraacutemetros = y = y se aplica el operador de cruza exponencial usando un factor de cruza de 06 entonces se debe obtener el valor de y despueacutes generar una secuencia de valores aleatorios para Si =2 y la secuencia de valores de es 06 03 04 y 06 y el vector de prueba que se construye es =

La cruza ayuda al algoritmo a mantener la diversidad de la poblacioacuten y eventualmente evitar que caiga en oacuteptimos locales El valor de CR es complicado de determinar pero algunos autores sentildealan que su valor puede ajustarse entre 03 y 09

Seleccioacuten Un torneo uno-a-uno es aplicado para determinar cual vector entre y es seleccionado como miembro de la nueva poblacioacuten Este esquema de seleccioacuten permite garantizar que el proceso evolutivo mantenga una mejora continua

Estructura del Algoritmo El Algoritmo [algDE] muestra la estructura de una implementacioacuten claacutesica del algoritmo Eacuteste requiere de tres paraacutemetros para controlar el proceso evolutivo (CR F y NP) y tambieacuten la seleccioacuten de un espacio de buacutesqueda para construir la poblacioacuten inicial y la definicioacuten del tamantildeo de individuo de una funcioacuten objetivo para evaluar cada individuo y de una condicioacuten de paro para finalizar el proceso evolutivo

Entrada Salida Un individuo generado aleatoriamente usando la Ec ([eqinicial]) Vector objetivo obtenido aleatoriamente de Vector mutado generado usando alguna de las Ecs ([eqmut_1])ndash([eqmut_5]) Vector de prueba construido usando alguna de las Ecs ([eqcr_bin])ndash([eqcr_exp])

DE tiene varias ventajas en comparacioacuten con otros algoritmos evolutivos como la simplicidad de su implementacioacuten su habilidad para producir mejores resultados que aquellos obtenidos por los demaacutes y su baja complejidad espacial

vi (24 36 12 78 02) xi

(34 96 12 52 31)l

r l rui (24 96 12 52 02)

xi ui

Xg

g larr 0 Xg larr xi larrXg larr Xg cup (i xi) g larr g + 1 Xg larr xi larr

Xgminus1 vi larrui larrXg larr Xg cup (i ui) Xg larr Xg cup (i xi) xbest

Modificaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Aunque DE requiere de la definicioacuten de un nuacutemero menor de paraacutemetros en comparacioacuten con el nuacutemero de paraacutemetros requeridos por otros algoritmos evolutivos su desempentildeo es sensible a los valores seleccionados de CR F y NP Varios autores sentildealan que los valores adecuados para estos paraacutemetros pueden variar para diferentes problemas y es conocido que la definicioacuten de estos paraacutemetros depende de las caracteriacutesticas propias de cada problema Ademaacutes Lampinen y Zelinka sentildealan que este algoritmo puede presentar el problema de estancamiento debido a una incorrecta seleccioacuten de sus paraacutemetros El estancamiento en un algoritmo se presenta cuando eacuteste no converge a alguna solucioacuten y la poblacioacuten presenta una gran diversidad de individuos Por lo anterior la mayoriacutea de los estudios realizados para mejorar el desempentildeo del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial se relacionan con teacutecnicas para ajustar los valores de sus paraacutemetros (F CR y NP) y para combinar las ventajas de las diferentes variantes del algoritmo usando un subconjunto de ellas en lugar de solamente aplicar una variante En los siguientes paacuterrafos se describen las propuestas para mejorar el desempentildeo del algoritmo que se consideran los maacutes representativos en la literatura especializada Para simplificar su descripcioacuten estas propuestas se agrupan de acuerdo al criterio utilizado Ajuste de paraacutemetros y combinacioacuten de variantes Por un lado debido a que F y CR son los paraacutemetros del algoritmo maacutes estudiados y donde maacutes variantes de mejora han sido desarrolladas estos estudios se agrupan en enfoques que usan paraacutemetros globales y enfoques que usan paraacutemetros para cada individuo Adicionalmente se presentan los enfoques relacionados con el ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten y tambieacuten aquellos donde se modifica la forma que generar los vectores mutados dentro del proceso evolutivo La figura 5 presenta un esquema del desarrollo histoacuterico de estos enfoques

Liacutenea del tiempo de las modificaciones a DE

Ajuste de paraacutemetros globales En estos enfoques los operadores geneacuteticos utilizan los mismos valores para F y CR en todos los individuos de una misma poblacioacuten como se ilustra en la figura 6 Estos valores se actualizan al finalizar cada generacioacuten con el aacutenimo de mejorar las habilidades de exploracioacuten y explotacioacuten del algoritmo Dos enfoques se concentran en ajustar el valor de F manteniendo fijo el valor de CR En 2004 Ali y Toumlrn lo actualizan considerando la aptitud del mejor y del peor individuo en la poblacioacuten y Das et al en 2005 proponen dos enfoques para modificar su valor el primero lo modifica de forma aleatoria y el segundo reduce su valor de forma lineal conforme el proceso evolutivo avanza Por otro lado Liu y Lampinen en 2005 proponen un enfoque diferente al cual denominan FADE (Fuzzy Adaptive DE algorithm) En este algoritmo los valores de F y CR se ajustan usando un sistema de control loacutegico difuso El sistema utiliza las diferencias entre generaciones sucesivas tanto de los valores de los individuos como de sus valores de aptitud Finalmente Dra et al en 2015 proponen una versioacuten alternativa denominada SinDE (Sinusoidal DE) en donde los valores de F y CR se ajustan utilizando foacutermulas trigonomeacutetricas permitiendo cambiar la direccioacuten del vector diferencia dentro del operador de mutacioacuten

Esquema de ajuste de paraacutemetros globales del algoritmo

Ajuste de paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten En este tipo de algoritmos cada individuo de la poblacioacuten tiene asociado su propio conjunto de paraacutemetros como se muestra en la figura 7 Estos paraacutemetros se ajustan de forma independiente dentro del proceso evolutivo como se esquematiza en la figura 8

Paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten

En 2005 Omran et al asocian el valor de F a cada individuo de la poblacioacuten en su meacutetodo denominado SDE (self-adaptive DE) Este meacutetodo actualiza el valor de F combinando los valores de F de tres individuos de la poblacioacuten actual que son seleccionados aleatoriamente En 2006 Brest et al describen su meacutetodo denominado jDE donde los valores de F y CR se pueden modificar en cada iteracioacuten del proceso evolutivo basados en una decisioacuten estocaacutestica utilizando un par de umbrales previamente definidos En 2007 Zhang y Sanderson implementan un meacutetodo conocido como JADE donde F y CR son ajustados utilizando distribuciones normales independientes cuya media es calculada usando el promedio de los vectores mutados mejor adaptados en cada iteracioacuten En 2011 Ghosh et al actualizan los valores de estos paraacutemetros en base al valor de aptitud de los individuos en la poblacioacuten en un meacutetodo denominado FiADE (Fitness-Adaptive DE) Una versioacuten parecida es presentada en 2015 por Tang et al en el meacutetodo llamado IDE (DE with an individual-dependent mechanism) En 2011 Bi y Xiao describen el meacutetodo p-ADE (pbest vector-based self-adaptive DE variant) donde el vector mutado se crea usando el mejor individuo en la poblacioacuten y el mejor de los vectores que se utilizaron para crear al vector objetivo Los valores de F y CR de cada individuo son ajustados usando un factor asociado a las mejores y peores aptitudes de los individuos en la poblacioacuten En 2012 Islam et al introdujeron el meacutetodo llamado MDEpBX (modified DE with p-best crossover) donde se modifica la variante DEcurrent-to-best1 al utilizar el mejor elemento de un grupo de individuos seleccionados aleatoriamente de la poblacioacuten actual en lugar de usar el mejor individuo de la poblacioacuten Los valores de los paraacutemetros se ajustan en base a un par de distribuciones independientes que son actualizadas al final de cada generacioacuten En 2013 Tanabe y Fukunaga implementan el meacutetodo SHADE (Success-History based Adaptive DE) que basaacutendose en JADE actualiza los valores de F y CR usando una memoria de los vectores mutados que han sido exitosamente seleccionados previamente dentro del proceso evolutivo A partir de SHADE

varias versiones se han desarrollado como el meacutetodo L-convSHADE (SHADE using covariance matrix learning with Euclidean Neighborhood) y el meacutetodo LSHADE-SPA (LSHADE with semi parameter adaptation) En 2016 Leon y Xiong introducen una estrategia voraz para actualizar los valores de los paraacutemetros de cada individuo en el meacutetodo llamado GADE (Greedy Adaptive DE) Se utilizan los valores de los paraacutemetros de las soluciones vecinas para ajustar los paraacutemetros del nuevo vector mutado Finalmente Mohamed y Mohamed en 2017 proponen el meacutetodo denominado AGDE (Adaptive guided DE)

Esquema de ajuste de paraacutemetros para cada individuo de la poblacioacuten

Ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten En los enfoques descritos previamente solamente se ajustan los valores de F y CR manteniendo el tamantildeo de la poblacioacuten constante Diversos estudios indican que el tamantildeo de la poblacioacuten tambieacuten afecta al desempentildeo de un algoritmo evolutivo por lo que existen trabajos que se han centrado en ajustar el tamantildeo de la poblacioacuten para garantizar la convergencia del algoritmo Existen algunos enfoques donde se ajusta el tamantildeo de la poblacioacuten y se describiraacuten a continuacioacuten En la figura 9 se muestra el esquema general en que estos enfoques ajustan el tamantildeo de la poblacioacuten durante el proceso evolutivo

Esquema general del ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten en DE

En 2006 Teo describe el meacutetodo DESAP (Differential Evolution with self-adapting populations) donde el tamantildeo de la poblacioacuten se ajusta usando un factor distribuido uniformemente entre 0 y 1 En 2008 Brest y Sepesy Maučec presentan el algoritmo dynNP-DE (DE con NP dinaacutemico) donde van reduciendo a la mitad el tamantildeo de la poblacioacuten conforme el proceso evolutivo progresa Utilizando el nuacutemero total de evaluaciones y un paraacutemetro que indica el nuacutemero de posibles reducciones el algoritmo establece en queacute generaciones el algoritmo reduciraacute el tamantildeo de la poblacioacuten En 2014 Tanabe y Fukunaga presentaron una versioacuten con ajuste de poblacioacuten del meacutetodo SHADE denominada L-SHADE donde se aplica una reduccioacuten lineal del tamantildeo de la poblacioacuten previo a una ordenacioacuten a los individuos por su aptitud que permite eliminar solo

los individuos peor adaptados En 2017 Bujok y Tvrdiacutek describen el meacutetodo IDEbd (IDE with Population Size Adaptation) en donde el tamantildeo de la poblacioacuten es adaptado usando un factor calculado en base al nivel de diversidad de la poblacioacuten actual

Combinacioacuten de variantes Debido a la forma de combinar los individuos para crear el vector de prueba de cada una de las variantes de DE estaacutes presentan diferentes capacidades de exploracioacuten y explotacioacuten ademaacutes de que son maacutes efectivas para diferentes tipos de problemas Por ejemplo la variante DErand1 es mejor para explorar el espacio de buacutesqueda pero tiene una velocidad de convergencia lenta y DEbest1 converge maacutes raacutepido hacia soluciones cercanas a la oacuteptima pero solo para problemas con un uacutenico oacuteptimo global (unimodales) Debido a que usar diferentes estrategias de mutacioacuten durante diferentes momentos del proceso evolutivo pueden ser mejor que usar una sola variante durante todo el proceso varios autores se han enfocado en desarrollar estrategias para combinar diferentes variantes de DE y lograr con esto que cooperen en la creacioacuten de un mejor vector objetivo La figura 10 muestra un esquema general de la forma en que se aplican estas estrategias dentro del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial

Esquema general de la estrategia de combinacioacuten de variantes de DE

En 2005 Qin y Suganthan describieron una versioacuten conocida como SADE (Self-Adaptive DE algorithm for numerical optimization) donde introducen un esquema que selecciona de forma alternada una de dos variantes del algoritmo de acuerdo a su tasa de eacutexito dentro del proceso evolutivo En 2009 Das et al presentaron el meacutetodo llamado DEGL (DE with Global and Local Neighborhoods) donde cada nuevo vector mutado se crea combinando dos vectores uno construido usando una vecindad del vector objetivo (vector local) y otro creado usando el mejor

individuo de la poblacioacuten (vector global) En 2011 Mallipeddi et al asignaron a cada individuo de la poblacioacuten el tipo de variante para generar el vector mutado y los valores para F y CR en el meacutetodo EPSDE (Ensemble of mutation strategies and parameters in DE) Tanto el tipo de variante como los valores de los paraacutemetros se escogen aleatoriamente de un grupo de ellos que es previamente definido Dependiendo del eacutexito de la aplicacioacuten de dichos valores eacutestos se pueden cambiar durante el proceso evolutivo Tambieacuten en ese mismo antildeo Wang et al en su meacutetodo CoDE (Composite DE) crean tres vectores para cada vector objetivo Cada vector es construido usando variantes diferentes y con paraacutemetros generados aleatoriamente El mejor de los tres vectores se usa como vector de prueba para aplicar el operador de seleccioacuten Adicionalmente Zhao et al implementaron un meacutetodo muy similar denominado SaDE-MMTS (SaDE with a modified multi-trajectory search) donde el vector mutado se selecciona de entre los vectores generados por tres diferentes variantes del algoritmo pero la seleccioacuten se hace en base a una probabilidad que iterativamente se ajusta en base a la cantidad de vectores mutados que son exitosamente seleccionados En 2017 Ghosh et al propusieron el meacutetodo NRDE (Noise Resilient DE) donde cada individuo puede ser mutado por alguna de dos variantes con igual probabilidad Los valores de F y CR son ajustados para cada individuo basado en un rango preestablecido previamente

Evolucioacuten Diferencial para otros tipos de problemas Aunque DE fue definido originalmente para resolver problemas de optimizacioacuten continua sin restricciones tambieacuten se ha utilizado con eacutexito para resolver otros tipos de problemas como aquellos donde los valores de las variables del problema son discretos donde el espacio de buacutesqueda estaacute limitado por una o maacutes restricciones y aquellos donde se manejan dos o mas objetivos Prado et al describe varias adaptaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial para problemas de optimizacioacuten combinatoria como aquellos que implementan una matriz de permutacioacuten los que obtienen una secuencia ordenada de valores y los que aplican una transformacioacuten de los valores continuos al espacio discreto En el caso de los problemas de optimizacioacuten con restricciones Mezura-Montes et al describen varios enfoques que se han utilizado para aplicar DE en este tipo de problemas como aquellos que utilizan teacutecnicas para eliminar o reparar soluciones infactibles y los que implementan teacutecnicas de penalizacioacuten Finalmente para problemas de optimizacioacuten multi-objetivo Mezura-Montes et al resume las principales teacutecnicas basadas en el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial para manejar dos o maacutes objetivos como los enfoques basados en dominancia de Pareto y en jerarquizacioacuten de Pareto asiacute como los meacutetodos que no se basan en Pareto y los enfoques que combinan diferentes estrategias Hoy en diacutea existen tambieacuten algoritmos basados en descomposicioacuten y en indicadores de desempentildeo

DE en Meacutexico En el paiacutes se tiene mucha actividad en investigacioacuten relacionada con DE particularmente el grupo EVOCINV de CINVESTAV Zacatenco estudia a este algoritmo en optimizacioacuten multi-objetivo y temas afines al manejo de muacuteltiples objetivos como algoritmos basados en indicadores modelos subrogados operadores de seleccioacuten operadores de variacioacuten adaptacioacuten de paraacutemetros entre otros temas

En el Centro de Investigacioacuten en Inteligencia Artificial de la Universidad Veracruzana se desarrolla investigacioacuten en optimizacioacuten con restricciones usando DE aplicaciones de DE en mecatroacutenica y en control automaacutetico DE y buacutesqueda local optimizacioacuten dinaacutemica multi-objetivo DE asistida por subrogados en espacios restringidos entre otras temaacuteticas

Recientemente en el Instituto Tecnoloacutegico de Veracruz se desarrollan aplicaciones de DE en aprendizaje automaacutetico en el Centro de Innovacioacuten y Desarrollo Tecnoloacutegico en Coacutemputo (CIDETEC) del IPN se aplica DE en problemas de mecatroacutenica y en el Centro de Investigacioacuten en Matemaacuteticas se aplica en procesos quiacutemicos

Todas estas menciones soacutelo son representativas pues la DE al ser un algoritmo faacutecil de implementar y que provee resultados competitivos ha sido particularmente atractiva para su estudio y aplicacioacuten en instituciones mexicanas

Conclusiones El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial es un enfoque exitoso para resolver problemas de optimizacioacuten continua sin restricciones Los individuos que evolucionan al aplicar los operadores de este algoritmo tradicionalmente se codifican como secuencias de nuacutemeros reales pero otras representaciones se han utilizado tambieacuten Ademaacutes con la inclusioacuten de diversas estrategias para manejar varios objetivos y conjuntos de restricciones DE se puede aplicar para resolver otro tipo de problemas DE se distingue por depender de la definicioacuten de un menor nuacutemero de paraacutemetros que otros algoritmos evolutivos pero esto tambieacuten lo hace muy sensible a la definicioacuten de los valores para esos paraacutemetros Diversos variantes del algoritmo han sido desarrolladas para mejorar el desempentildeo del algoritmo generando un abanico de alternativas para resolver casi cualquier tipo de problema El estudio del comportamiento de este algoritmo y la definicioacuten de nuevas propuestas de desarrollo sin duda aportaraacute a la resolucioacuten maacutes eficiente de problemas complejos que interesan a la comunidad cientiacutefica

Para saber maacutes Para aquellos lectores que deseen abundar en el tema las siguientes referencias sobre DE pueden ser de intereacutes

bull El libro sobre DE escrito por los autores originales del algoritmo

bull Una revisioacuten muy completa de la literatura de DE y su versioacuten actualizada

bull Otra revisioacuten de la literatura acompantildeada de un estudio experimental

bull Una revisioacuten de estudios teoacutericos sobre DE

bull Un libro editado con temas diversos y recientes sobre DE

bull DE para resolver problemas de optimizacioacuten multi-objetivo

bull DE y su papel importante en espacios restringidos

Algoritmos Geneacuteticos Paralelos Alicia Morales-Reyes

Introduccioacuten Las teacutecnicas evolutivas son aptas para su paralelizacioacuten tanto a nivel algoriacutetmico como a nivel de ejecucioacuten En particular los algoritmos geneacuteticos (AGs) han sido investigados desde esta perspectiva y esquemas paralelos han surgido desde el inicio de su desarrollo La paralelizacioacuten de los AGs persigue la mejora de su desempentildeo algoriacutetmico en teacuterminos de eficiencia y eficacia y la reduccioacuten de tiempos de ejecucioacuten en sus distintos dominios de aplicacioacuten

Una clasificacioacuten general de los Algoritmos Geneacuteticos Paralelos (AGPs) los agrupa por su granularidad en AGPs de grano fino y grueso Los AGPs de grano grueso dividen la poblacioacuten agrupada en panmixia en varias sub-poblaciones permitiendo la migracioacuten de individuos entre 1

eacutestas De esta forma se reduce el nuacutemero de individuos en cada unidad de procesamiento En consecuencia se establece un fuerte viacutenculo entre la algoritmia y la implementacioacuten de estas teacutecnicas Sin embargo utilizar una uacutenica unidad de procesamiento para la evolucioacuten de varias sub-poblaciones ha sido un contexto tambieacuten explorado como un mecanismo de mejora del desempentildeo algoriacutetmico

Los AGPs de grano grueso tambieacuten llamados Algoritmos Geneacuteticos distribuidos (AGds) han permitido la exploracioacuten de nuevas vertientes de la versioacuten estaacutendar de los AGs Tener diferentes paraacutemetros de configuracioacuten para realizar las operaciones geneacuteticas implementar granularidades distintas incorporar el operador de migracioacuten han sido caracteriacutesticas a explorar que pueden culminar en un mejor desempentildeo de los AGs

En la figura 1 se muestra un diagrama de un AG distribuido Cada poblacioacuten es centralizada y se necesitan definir criterios en teacuterminos de tasa y frecuencia de migracioacuten Tambieacuten se necesita definir si la migracioacuten seraacute siacutencrona o asiacutencrona Herrera et al presentaron un esquema de un AGP distribuido con poblaciones heterogeacuteneas Utilizaron la estructura de un hipercubo posicionando en cada veacutertice una sub-poblacioacuten Dependiendo de la ubicacioacuten de cada sub-poblacioacuten la buacutesqueda implica mayor explotacioacuten o exploracioacuten Esto se logra de manera interna viacutea la configuracioacuten de los operadores geneacuteticos De esta forma se procura mantener la diversidad de soluciones de forma global y asiacute mejorar la calidad de las soluciones encontradas

Una poblacioacuten en panmixia es aquella donde todos sus individuos sin restricciones pueden 1

reproducirse entre si

Diagrama poblacional de un AGP distribuido o de grano grueso

La principal diferencia entre los AGP de grano fino con respecto a los AGP distribuidos o de grano grueso es la descentralizacioacuten de su poblacioacuten y en consecuencia la localizacioacuten del proceso de seleccioacuten de individuos En la figura 2 se muestra un esquema poblacional de un AGP de grano fino tambieacuten conocido como AG celular (AGc) De manera comuacuten se utiliza una topologiacutea de malla conectada de forma toroidal como lo muestra la figura Un individuo de la poblacioacuten se ubica en cada cruce de la malla y alrededor de eacutel se define un vecindario cuyas soluciones participan en los procesos de seleccioacuten recombinacioacuten y mutacioacuten para la evolucioacuten de eacuteste En la figura 2 se ilustra un vecindario tipo Moore con 9 individuos

En los AGs celulares cada individuo o solucioacuten interactuacutea con sus vecinos maacutes cercanos logrando de esta forma el esparcimiento suave de las soluciones a traveacutes de la malla debido al traslape de vecindarios En los AGs distribuidos la asociacioacuten entre soluciones se pierde en comparacioacuten con los AGs celulares Esta es otra caracteriacutestica importante de los AGc que permite la exploracioacuten global del espacio de buacutesqueda mientras que localmente los individuos explotan la regioacuten cercana a su ubicacioacuten

Diagrama poblacional del AG celular o de grano fino

La paralelizacioacuten de los algoritmos evolutivos en particular de los algoritmos geneacuteticos persigue distintos objetivos Por ejemplo la evolucioacuten simultaacutenea de sub-poblaciones lo cual permite descubrir nueva rutas para solucionar un problema y en consecuencia reducir el nuacutemero de generaciones para converger a la solucioacuten oacuteptima Aunado a esto los tiempos de procesamiento pueden tambieacuten acortarse La paralelizacioacuten de AGs se puede realizar a distintos niveles Asiacute mismo es posible la combinacioacuten de sub-poblaciones con distintas dinaacutemicas internas Por ejemplo algunas sub-poblaciones podriacutean evolucionar en un esquema de panmixia y otras en un esquema celular Este tipo de esquemas poblacionales se discutiraacuten a detalle en la subseccioacuten 11

Una operacioacuten importante en los procesos evolutivos de los AGs distribuidos es la migracioacuten de los individuos entre sub-poblaciones Durante el proceso de buacutesqueda uno o maacutes individuos son seleccionados para migrar y reemplazar a otros individuos de otras sub-poblaciones Los criterios de migracioacuten requieren no soacutelo de la tasa y la frecuencia de migracioacuten sino tambieacuten de criterios de seleccioacuten y reemplazo de individuos al llegar a las otras sub-poblaciones El proceso de migracioacuten puede realizarse de forma siacutencrona o asiacutencrona La migracioacuten siacutencrona supone que todas las sub-poblaciones estaacuten en el mismo estado de la buacutesqueda y la migracioacuten de individuos entre sub-poblaciones ocurre de manera simultaacutenea Por otro lado la migracioacuten asiacutencrona supone que cada sub-poblacioacuten determina el momento en que los individuos deben migrar En la sub-seccioacuten 24 se aborda el efecto del sincronismo en los mecanismos de migracioacuten

Cantuacute-Paz et al presentoacute un estudio completo en AGs distribuidos tanto desde el punto de vista teoacuterico como del praacutectico Debido al nuacutemero de paraacutemetros que se deben definir en los AGds Cantuacute-Paz et al iniciaron con la solucioacuten de un problema de optimizacioacuten para determinar el tamantildeo adecuado de las sub-poblaciones para alcanzar una cierta calidad de la misma Utilizaron un modelo matemaacutetico considerando la hipoacutetesis de los bloques constructores propuesta por Holland y extendida por Goldberg El estudio se verifica en varios problemas con un grado alto de precisioacuten mostraacutendose una buena respuesta a la escalabilidad

Para determinar escenarios de operacioacuten liacutemite en teacuterminos de eficiencia analizaron la interaccioacuten de las sub-poblaciones y su efecto en la calidad de las soluciones Previamente se ha investigado el cambio en la calidad de las soluciones debido a la forma de interaccioacuten de las sub-poblaciones Tener sub-poblaciones evolucionando de manera independiente con muy poca o nula interaccioacuten entre ellas resulta en soluciones menos precisas mientras mejores soluciones se obtienen viacutea el esquema de panmixia tradicional Sin embargo cuando se definen criterios de migracioacuten adecuados y un cierto nuacutemero de soluciones migran entre sub-poblaciones a una frecuencia media o baja el desempentildeo en general de los AGds mejora alcanzando en un nuacutemero de casos aceleraciones super-lineales y mejor calidad de las soluciones encontradas Se puede inferir entonces la importancia del operador de migracioacuten el cual seraacute analizado en detalle en la sub-seccioacuten 12

AGds homogeacuteneos y heterogeacuteneos Existen distintos escenarios en los que se pueden definir y aplicar AGds con esquemas poblaciones homogeacuteneos y heterogeacuteneos es decir combinaciones de poblaciones centralizadas y descentralizadas A nivel algoriacutetmico se puede definir la misma o una diferente configuracioacuten de operadores geneacuteticos A partir de esas configuraciones distintas diferentes configuraciones de paraacutemetros se pueden determinar para ejecutar la buacutesqueda en cada sub-poblacioacuten Por ejemplo distintas definiciones del operador de recombinacioacuten o bien de las probabilidades de mutacioacuten pueden operar sobre los individuos de cada sub-poblacioacuten La comunidad en el aacuterea ha incluso explorado escenarios donde las soluciones se representan de manera distinta entre sub-poblaciones Por otro lado a nivel de implementacioacuten se han explorado esquemas con sub-poblaciones heterogeacuteneas Por ejemplo Alba et al realizoacute un estudio en distintas plataformas de coacutemputo ejecutando sub-poblaciones en panmixia y celulares

Como se puede apreciar el desarrollo de un esquema de AG paralelos ya sean distribuidos o descentralizados conlleva la definicioacuten de un nuacutemero de paraacutemetros que afectaraacute de manera importante su desempentildeo algoriacutetmico Otro ejemplo es la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten en espacios continuos que se han abordado a traveacutes de un esquema de AGP utilizando una versioacuten mejorada con cromosomas codificados con nuacutemeros reales Para esto se

definioacute una topologiacutea doble con un hipercubo que se comparoacute con una topologiacutea sencilla Las sub-poblaciones ubicadas en sus veacutertices promoviacutean mayor o menor exploracioacuten u explotacioacuten de las regiones viacutea la configuracioacuten de los operadores geneacuteticos La migracioacuten entre las sub-poblaciones afectoacute directamente los tiempos de ejecucioacuten por medio de la reduccioacuten del nuacutemero de evaluaciones La capacidad de buacutesqueda de la topologiacutea doble superoacute a la de la topologiacutea sencilla

Cuando pensamos en paralelizar alguna teacutecnica algoriacutetmica nos viene a la mente acelerar los procesos de ejecucioacuten Sin embargo la paralelizacioacuten de los algoritmos evolutivos podriacutea mejorar tanto los procesos de buacutesqueda algoriacutetmica como los tiempos de ejecucioacuten Es asiacute que a nivel de implementacioacuten se utilizado coacutemputo heterogeacuteneo para la evaluacioacuten de esquemas de AGPs Por ejemplo Alba et al propusieron utilizar una plataforma heterogeacutenea en la cual distintos sistemas operativos con distintas restricciones de ejecucioacuten implementaban un modelo de AGPs distribuidos Las sub-poblaciones se conectaron en un arreglo de anillo unidireccional cada sub-poblacioacuten ejecutaba un modelo poblacional de estado estable A cada generacioacuten se produciacutea un individuo que reemplazaba a la peor solucioacuten obtenida Se establecioacute un esquema de migracioacuten asiacutencrona que demostroacute mejores resultados ver 3 En general se observoacute un mejor desempentildeo de la ejecucioacuten del esquema paralelo en la plataforma heterogeacutenea en comparacioacuten con la homogeacutenea se redujo el nuacutemero de evaluaciones debido a la explotacioacuten de soluciones a distintas tasas de migracioacuten

AGP con topologiacutea poblacional de anillo unidireccional implementada en una plataforma de coacutemputo heterogeacutenea La migracioacuten entre sub-poblaciones es asiacutencrona y responde a una dinaacutemica de estado estable

Migracioacuten en AGPs Como se explicoacute anteriormente la incorporacioacuten de un nuevo operador llamado migracioacuten se hace latente en los esquemas paralelos de los AGs En los esquemas de grano grueso donde se tienen sub-poblaciones de grano fino y grueso evolucionando simultaacuteneamente la migracioacuten se debe considerar como un mecanismo que introduce nuevos individuos y por lo tanto promueve o restaura la diversidad entre sub-poblaciones De forma distinta en los AGs celulares o de grano fino un mecanismo de migracioacuten impliacutecito trabaja durante el proceso de buacutesqueda debido al traslape de vecindarios que permite la difusioacuten de soluciones a lo largo y ancho de la topologiacutea definida para la poblacioacuten Este mecanismo de migracioacuten es inherente a la estructura de los AGs celulares y no requiere de un paraacutemetro de frecuencia o tasa de migracioacuten o ninguacuten otro mecanismo de seleccioacuten y reemplazo

Revisaremos ahora evaluaciones empiacutericas que se han realizado a criterios de migracioacuten definidos para AGPs de grano grueso Aunque estos criterios son definidos para este tipo de esquemas paralelos tambieacuten es posible aplicar un segundo criterio migratorio en AGs celulares ademaacutes del mecanismo natural inherente a estos

Para establecer un criterio de migracioacuten adecuado y mejorar el desempentildeo algoriacutetmico de los AGPs de grano grueso se examinaron los casos liacutemite para aplicar el proceso de migracioacuten Se

sugiere mantener un cierto nivel de aislamiento entre las sub-poblaciones Si la sub-poblacioacuten evoluciona en completo aislamiento las mejoras en diversidad son miacutenimas y por ende la capacidad de buacutesqueda se ve reducida Por otro lado si se aplica el operador de migracioacuten con una frecuencia maacutexima el costo computacional se incrementa de manera significativa Por lo tanto el objetivo de la migracioacuten es evitar el aislamiento entre sub-poblaciones mientras se mantiene un nivel aceptable de comunicacioacuten entre eacutestas

Es posible calcular experimentalmente el nuacutemero adecuado de unidades de procesamiento para minimizar el tiempo de ejecucioacuten de un esquema de AGPs El anaacutelisis considera casos liacutemite en teacuterminos de conectividad entre sub-poblaciones es decir el caso de tener frecuencias de migracioacuten miacutenimas y maacuteximas La conclusioacuten teoacuterica para una poblacioacuten indica que el nuacutemero

oacuteptimo de unidades de procesamiento estaacute dado por donde es el tamantildeo de la

poblacioacuten es el tiempo de coacutemputo de la funcioacuten objetivo de un individuo y es el tiempo promedio de comunicacioacuten para una unidad de procesamiento Esto quiere decir que dividiendo una poblacioacuten en sub-poblaciones distribuidas en muacuteltiples unidades de procesamiento reduce el tiempo global de ejecucioacuten La misma conclusioacuten se logroacute para un esquema de muacuteltiples poblaciones considerando ademaacutes la evaluacioacuten de funciones objetivo separables Esto quiere decir que utilizar un nuacutemero de unidades de procesamiento en un esquema evolutivo paralelo tiene un impacto positivo en la reduccioacuten de los tiempos de ejecucioacuten

Es tambieacuten importante analizar el efecto de los criterios de migracioacuten que se utilizan en esquemas de AGPs de grano grueso El objetivo principal es determinar coacutemo el operador de migracioacuten afecta la presioacuten de seleccioacuten inducida e impliacutecitamente poder explicar las aceleraciones super-lineales que se pueden modelar para este tipo de esquemas La forma en que los individuos se seleccionan para migracioacuten y reemplazo tienen un efecto considerable en la presioacuten de seleccioacuten y se ha observado que tasas altas de migracioacuten producen un incremento en eacutesta Tener una presioacuten de seleccioacuten alta afecta la buacutesqueda al producir una convergencia prematura a un oacuteptimo local

Aunque la operacioacuten de migracioacuten se ha investigado principalmente para esquemas de AGPs de grano grueso tambieacuten se ha revisado su efecto en AGPs de grano fino considerando tanto el mecanismo de migracioacuten impliacutecita viacutea el traslape de vecindarios como la definicioacuten de criterios para migracioacuten de individuos desde y hacia distintas posiciones de la topologiacutea de malla definida para la poblacioacuten Por ejemplo se han utilizado estructuras de aacuterboles binarios para dividir una topologiacutea de malla de dos dimensiones en formaciones conceacutentricas de individuos definiendo para cada formacioacuten criterios de migracioacuten distintos El intercambio de individuos entre estas

OnTf

Tcn

Tf Tc

formaciones definidas por su estructura alenta el proceso de buacutesqueda permitiendo una mayor exploracioacuten Los resultados mostraron un mejor desempentildeo en la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten con restricciones el operador de mutacioacuten se aplica para evitar la presencia de super individuos que pueden dirigir la buacutesqueda al estancamiento conquistando la topologiacutea de malla mucho maacutes raacutepido En la siguiente seccioacuten se abordaraacute el comportamiento de los AG celulares o de grano fino

AGs celulares o de grano fino Los AGs celulares o de grano fino se construyen a partir de poblaciones descentralizadas donde los individuos interactuacutean con otros individuos ubicados dentro de un vecindario definido Es decir interactuacutean con los vecinos maacutes cercanos Usualmente los AGCs se implementan en topologiacuteas de mallas de -dimensionales manteniendo conexiones toroidales entre los cruces de malla utilizando formas comunes como una malla lineal cuadrada o rectangular

El procesamiento de los AG celulares corresponde al de los Autoacutematas Celulares (ACs) Estos determinan una regla global que define un comportamiento especiacutefico que se construye a partir de reglas locales Se han explorado ACs de una dos y tres dimensiones en combinacioacuten con AGs con la finalidad de evolucionar el comportamiento global requerido Esta combinacioacuten de un AC y un AG originoacute el nombre de AG celular con la diferencia de tener una representacioacuten maacutes elaborada en cada cruce de la malla cromosomas Se observoacute que la informacioacuten de las reglas locales o individuos alcanzaba distancias lejanas dentro de la malla definida esto debido al traslape de los vecindarios De esta forma se determinoacute que la informacioacuten se mueve entre vecindarios permitiendo acelerar el proceso de crear nuevos comportamientos ad-hoc al problema que se esteacute solucionando y con una peacuterdida miacutenima de informacioacuten

El pseudocoacutedigo [algCellularGeneticAlgorithmPseudocode] es el estaacutendar de un AG celular En un primer paso se genera una poblacioacuten inicial de forma aleatoria ubicando cada individuo en un cruce de la topologiacutea de malla Esta poblacioacuten inicial se evaluacutea de acuerdo a la funcioacuten objetivo del problema a resolver Posteriormente da inicio el ciclo reproductivo principal Se define un vecindario local con individuos ubicados de forma cercana A partir de eacutestos y del individuo ubicado en el cruce de la malla se seleccionan a los padres para reproducirse Existen distintos meacutetodos de seleccioacuten que se utilizan en los AG celulares Se pueden utilizar los que comuacutenmente se aplican en los AGs con poblaciones centralizadas como el torneo binario ruleta o seleccioacuten determinista Existen tambieacuten otros meacutetodos especiacuteficos a los AG celulares como son la seleccioacuten ceacutentrica o anisotroacutepica Una vez seleccionados los padres se recombinan y los hijos se mutan No hay diferencia entre la aplicacioacuten de los operadores de recombinacioacuten y mutacioacuten con respecto a los AG tradicionales

n

Debido a la descentralizacioacuten de la poblacioacuten el reemplazo de eacutesta puede ocurrir de forma siacutencrona o asiacutencrona El reemplazo asiacutencrono requiere del almacenaje temporal de la poblacioacuten hasta que todos los individuos concluyen su ciclo reproductivo El reemplazo siacutencrono requiere de la definicioacuten del criterio para implementarla Los distintos criterios que se han utilizado para el reemplazo se explicaraacuten en la sub-seccioacuten 24

poblacioacuten inicial evaluacioacuten seleccioacuten de padres vecinario L5 recombinacioacuten mutacioacuten evaluacioacuten reemplazo

Explotacioacutenexploracioacuten por propiedades estructurales Debido a la descentralizacioacuten de la poblacioacuten y la definicioacuten de una topologiacutea de malla las caracteriacutesticas estructurales de los AG celulares tienen un impacto importante en los procesos de buacutesqueda La forma y la dimensioacuten de la topologiacutea el nuacutemero de individuos dentro del vecindario entre otras son caracteriacutesticas de la estructura que necesitan definirse Ademaacutes otras operaciones durante el ciclo evolutivo como el proceso de seleccioacuten local el reemplazo de individuos criterios de migracioacuten entre otras estaacuten tambieacuten asociadas a estas caracteriacutesticas de estructura

La topologiacutea de malla que es comuacutenmente utilizada en los AG celulares se muestra en la figura 2 Se ha reportado que distintas formas de malla en combinacioacuten con distintos tipos de vecindarios inducen una mayor o menor presioacuten de seleccioacuten Para modelar el efecto de ambas estructuras se utiliza un patroacuten de dispersioacuten con puntos (la posicioacuten de cada solucioacuten en la malla) a partir de una posicioacuten central con coordenadas Se calcula la medida de dispersioacuten debido a que otras medidas como el radio de una circunferencia indicariacutea el mismo valor para topologiacuteas distintas La relacioacuten entre el vecindario y la topologiacutea o radii se calcula de la siguiente forma

donde y La razoacuten o radii entre el vecindario y la topologiacutea de

malla estaacute dada por

(x) larr random(x0) (f ) larr evaluat ion(x)(f1 f2) larr seleccion(f fN fE fS fW)(x1 x2) larr seleccion(x xN xE xS xW) (x prime1 x prime2 ) larr recombinacion(x prime1 x prime 2 )

(x1Prime x2Prime) larr mutacion(x prime1 x prime2 ) (fnew) larr evaluacion(x1Prime x2Prime)(f x) larr reemplazo(fnew xnew)

p(x0 y0)

D =sum (xi minus x)2 + sum (yi minus y)2

p

(x ) =sump

i=1 xi

p (y) =sump

i=1 yi

p

Esta medida se conoce como la razoacuten vecindario-malla (RVM) Formas y tamantildeos diferentes de vecindarios y topologiacuteas proporcionan una medida distinta de RVM ver figura 4

Ejemplos de formas de vecindarios y topologiacuteas de malla

NGR =Dvecindario

Dmalla

Razoacuten vecindario-malla para diferentes topologiacuteas de malla y tamantildeos de poblacioacuten con un vecindario L5

[figL5_variableLattice]

Una topologiacutea de malla cuadrada con un vecindario es una configuracioacuten comuacutenmente utilizada en la implementacioacuten de AG celulares En la figura [figL5_variableLattice] la razoacuten vecindario-malla se ilustra para distintos tamantildeos de poblacioacuten con vecindario Tres formas de malla se evaluacutean cuadrada rectangular y lineal Las curvas de la RVM muestran razones altas para mallas cuadradas y razones bajas para topologiacuteas lineales La RVM se asocia a la presioacuten de seleccioacuten inducida en AG celulares debido a sus caracteriacutesticas estructurales Para comprender esto de mejor manera otro concepto importante es necesario el nuacutemero de generaciones que toma al mejor individuo de una poblacioacuten inicial esparcir su solucioacuten en todas las direcciones de la topologiacutea de malla es decir conquistarla a partir de aplicar uacutenicamente el operador de seleccioacuten Un nuacutemero de generaciones alto indica una baja presioacuten de seleccioacuten es decir una buacutesqueda principalmente explorativa Por el contrario un nuacutemero de reducido de generaciones implica una alta presioacuten de seleccioacuten y por tanto una buacutesqueda orientada a la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda

L5

L5

Los AG celulares son teacutecnicas flexibles con un nuacutemero de paraacutemetros que pueden configurarse Por ejemplo es posible pensar en modificar en tiempo de buacutesqueda las topologiacuteas de malla tamantildeos y formas de vecindarios como una forma de control de la presioacuten de seleccioacuten inducida Las modificaciones de la configuracioacuten pueden realizarse de manera constante definiendo un nuacutemero de generaciones o bien de forma adaptativa midiendo generacioacuten a generacioacuten el comportamiento por ejemplo de la diversidad en el espacio de fenotipos y genotipos modificando entonces las configuraciones de estructura de manera que se promueva la exploracioacuten o la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda

Presioacuten de seleccioacuten por caracteriacutesticas estructurales

El matemaacutetico belga Pierre Verhulst en el siglo XIX estudioacute modelos logiacutesticos de crecimiento para describir sistemas bioloacutegicos bajo condiciones de recursos limitados Considerando una poblacioacuten en panmixia de cierto tamantildeo y un nuacutemero de copias del mejor individuo en un tiempo discreto dado por la tasa de crecimiento se expresa a traveacutes del siguiente modelo de recurrencia discreto

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t - 1 right) + p_s tamPob N left(t-1right) left(1 - left(frac1tamPobright) N left(t-1right)right)endaligned$$

donde es la probabilidad de seleccioacuten de un individuo y se puede aproximar por la ecuacioacuten logiacutestica continua

donde es la probabilidad Aunque se obtienen curvas de crecimiento similares el comportamiento en poblaciones estructuradas o descentralizadas no es exponencial sino polinomial como fue sugerido por Spiessen y Manderick in De este modo las caracteriacutesticas estructurales necesitan considerarse en el modelo matemaacutetico de la tasa de crecimiento para AG celulares Si se evaluacutea un caso liacutemite donde el mejor individuo dentro del vecindario se selecciona siempre para reemplazar al individuo actual o central (al vecindario) es decir

tamPobt N(t)

ps N(t)

N(t) =tamPob

1 + ( tamPobN(0) minus 1)eminusαt

α ps

ps = 1

y se define un tamantildeo de poblacioacuten donde determina una topologiacutea de malla cuadrada y un vecindario local con radio La tasa de crecimiento del mejor individuo estaacute dada por

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4r^2t - 2rleft( r+1 right) quad 0 leq t leq fracleft(sqrttamPob-1right)2

N left( t right) = N left( t-1 right) - 4r^2t + 4r sqrttamPob - 2rleft(r+1right) quad t geq fracleft(sqrttamPob-1right)2 notagendaligned$$

que en su forma cerrada queda como

$$beginaligned

N left( t right) = 2r^2t^2 + 2r left(2r + 1 right)t + 1 quad 0 leq t leq fracleft(sqrttamPob-1right)2

N left( t right) = -2r^2t^2 + 2rleft(2sqrttamPob - 3r - 1 right)t + 1 quad t geq fracleft(sqrttamPob-1right)2 notagendaligned$$

En la figura 5 se ilustra la razoacuten de crecimiento para una poblacioacuten de individuos con un vecindario local tipo ver figura 4

Tasa de crecimiento teoacuterica en una topologiacutea de malla toroidal cuadrada y un vecindario local tipo Moore con probabilidad de seleccioacuten

Si se considera la probabilidad variable y cada individuo tiene probabilidades de seleccioacuten distintas probabilidad para el individuo central y para cada individuo dentro de un vecindario tipo El modelado de la recurrencia exacta se vuelve muy complicado Para poder construir un modelo completo se recurre a modelos maacutes simples en donde la tasa de crecimiento se describe como la expansioacuten de un cuadrado rotado con una

tamPob tamPob times tamPobr

81C9

ps = 1

psp0 p1 p2 p3 p4 p8

C9

longitud por lado de y diagonal La tasa de crecimiento de los

individuos con probabilidad variable contenidos dentro del cuadrado rotado estaacute dada por la siguiente recurrencia

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4p_i sqrtfracNleft(t-1right)2 quad N left( t right) leq fractamPob2

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4p_i sqrttamPob - N left( t-1 right) quad N left( t right) gt fractamPob2 notagendaligned$$

Encontrar una forma cerrada de este modelo es una tarea complicada de acuerdo a autores reconocidos del aacuterea En la figura 6 se muestra la tasa de crecimiento probabilista como ejemplo de la dificultad que representa su modelado matemaacutetico

Tasa de crecimiento probabilista para una topologiacutea de malla toroidal cuadrada con vecindario local y probabilidad de seleccioacuten variable

Anaacutelisis empiacuterico

Es posible tener una aproximacioacuten empiacuterica del tiempo para el dominio de la topologiacutea de malla A continuacioacuten se presenta un ejemplo utilizando como meacutetodo de seleccioacuten local torneo binario y ejecuciones por configuracioacuten fueron evaluadas En la figura [figL5_growthRates] se muestran las distintas tasas de crecimiento para la conquista de la malla considerando un tamantildeo de la poblacioacuten de individuos con las siguientes formas de topologiacutea de malla 1)

cuadrada 2) rectangular y 3) lineal La diferencia entre los

tiempos de dominio es evidente Topologiacuteas de malla lineales proveen una difusioacuten maacutes lenta del

s = N(t) d =N(t)

2pi

ps

50

400

400 times 400 10 times40010

4 times400

4

mejor individuo para conquistar la malla y por ende menor presioacuten de seleccioacuten y un comportamiento principalmente explorativo Por otro lado en topologiacuteas de malla cuadradas la solucioacuten del mejor individuo conquista la malla raacutepidamente en un nuacutemero menor de generaciones Es decir tiene un comportamiento con alta presioacuten de seleccioacuten y por ende una buacutesqueda caracterizada por una mayor explotacioacuten del espacio de buacutesqueda Desde este punto de vista se ha investigado tambieacuten la posibilidad de modificacioacuten dinaacutemica de las propiedades estructurales en tiempo de buacutesqueda Se han reportado mejores desempentildeos algoriacutetmicos bajo estos criterios

Tasas de crecimiento promedio del mejor individuo en topologiacuteas de malla cuadrada rectangular y lineal con vecindario La tasa promedio de crecimiento se calcula con base en 50 experimentos y aplicando uacutenicamente el operador de seleccioacuten

[figL5_growthRates]

Aceleracioacuten en AGP Un tema controversial en AGPs son las aceleraciones que esquemas distribuidos y celulares pueden alcanzar El caacutelculo teoacuterico de estas aceleraciones es una medida aceptada para determinar su eficiencia Calcular la razoacuten entre el tiempo promedio de ejecucioacuten de la mejor versioacuten secuencial de un AG y otra teacutecnica de buacutesqueda no evolutiva con respecto al tiempo

L5

promedio de ejecucioacuten de un AG paralelo corriendo en un determinado nuacutemero de procesadores proporciona la aceleracioacuten alcanzada por este uacuteltimo Aceleraciones sub-lineales indican que esta razoacuten es menor que el nuacutemero de procesadores utilizados en la ejecucioacuten del AGP Aceleraciones lineales indican que esta relacioacuten es igual mientras aceleraciones super-lineales indican que la razoacuten es mayor que el nuacutemero de procesadores utilizados

Un medida estricta para medir las aceleraciones de los AGPs involucrariacutea una comparacioacuten con la mejor versioacuten secuencial de un AG lo cual es difiacutecil de determinar Considerar el desempentildeo de un AG secuencial como referencia en conjunto con una condicioacuten de paro que evaluacutee la misma calidad de soluciones en todas las muestras experimentales podriacutea permitir una comparacioacuten justa en teacuterminos de aceleracioacuten entre esquemas paralelos y secuenciales

Los AGPs tienen tres caracteriacutesticas que permiten su aceleracioacuten 1) dividir el espacio de buacutesqueda en diversas aacutereas de exploracioacuten implementadas en distintas unidades de procesamiento 2) reducir la carga de procesamiento por medio de la distribucioacuten de la poblacioacuten en un nuacutemero de unidades de procesamiento y 3) operadores geneacuteticos aplicados a estructuras de datos reducidas

Al analizar comparativamente las tasas de aceleracioacuten de los AG distribuidos con sub-poblaciones en panmixia en comparacioacuten con el desempentildeo de un AG secuencial las aceleraciones calculadas resultan excesivas Sin embargo cuando se considera la distribucioacuten de las sub-poblaciones en un nuacutemero de unidades de procesamiento las tasas de aceleracioacuten son moderadas

Una de las caracteriacutesticas maacutes importantes en los AGPs es el operador de migracioacuten Analizar el comportamiento de este operador bajo distintos criterios como la sincroniacutea o asincroniacutea de migrar individuos entre las sub-poblaciones afecta directamente el desempentildeo de la buacutesqueda Entre los comportamientos con importancia significativa se ha observado que utilizar bajas frecuencias de migracioacuten en combinacioacuten con una comunicacioacuten asiacutencrona entre sub-poblaciones permite una mayor aceleracioacuten Este resultado considera sub-poblaciones en panmixia con la misma configuracioacuten de paraacutemetros

Concepto de sincronismo en AGPs En los AGPs tanto distribuidos como celulares el concepto de sincroniacutea aplica de forma distinta En un AGP distribuido el operador de migracioacuten estaacute directamente relacionado con la comunicacioacuten entre sub-poblaciones y por ende la sincroniacutea con que eacutesta ocurre Por otro lado en AGP de grano fino o celulares la sincroniacutea estaacute relacionada con la actualizacioacuten de soluciones durante el proceso evolutivo Esto se explica a continuacioacuten a mayor detalle

En AGPs distribuidos viacutea migracioacuten

Varios autores han investigado el efecto del sincronismo a traveacutes de la migracioacuten de individuos entre sub-poblaciones Se han considerado varios escenarios tales como tener un conjunto de sub-poblaciones en panmixia y tener sub-poblaciones descentralizadas un tercer escenario que se ha considerado es tener una combinacioacuten de sub-poblaciones en panmixia y descentralizadas Los tres esquemas han sido evaluados no soacutelo a nivel algoriacutetmico sino de implementacioacuten en plataformas de coacutemputo para procesamiento paralelo

Utilizando un esquema de procesamiento de instrucciones muacuteltiples - datos muacuteltiples con un esquema homogeacuteneo de sub-poblaciones se verificoacute el comportamiento de distintas frecuencias de migracioacuten definidas como muacuteltiplos del tamantildeo de la poblacioacuten Esto representa que la migracioacuten es nula cuando la frecuencia es cero lo que implica que la evolucioacuten es independiente de las sub-poblaciones Localmente los operadores geneacuteticos fueron configurados de la misma forma En general los resultados mostraron un mejor desempentildeo cuando la comunicacioacuten entre sub-poblaciones es asiacutencrona y la frecuencia de migracioacuten es baja En este sentido el tener sub-poblaciones descentralizadas permite una mejor eficacia que cuando se tienen sub-poblaciones en panmixia Las tasas de aceleracioacuten tambieacuten se analizaron Bajas frecuencias de migracioacuten reportaron aceleraciones lineales para sub-poblaciones descentralizadas y super-lineales para sub-poblaciones en panmixia

Se ha podido verificar el funcionamiento de los AGPs ampliando la gama de problemas de prueba a aquellos del dominio continuo El uso de un esquema paralelo distribuido con sub-poblaciones en panmixia y un ciclo evolutivo de estado estable donde solamente una solucioacuten se actualiza en cada generacioacuten logroacute obtener soluciones de mejor calidad Ademaacutes de la influencia de la frecuencia con la que se ejecuta la operacioacuten de migracioacuten la seleccioacuten aleatoria de individuos migrantes demostroacute tambieacuten un mejor desempentildeo que la seleccioacuten de los mejores individuos para migrar El mejor desempentildeo continuacutea siendo a partir de la aplicacioacuten de frecuencias de migracioacuten bajas ahora en combinacioacuten con la seleccioacuten aleatoria de soluciones para migrar En problemas de optimizacioacuten en el dominio continuo con oacuteptimos locales engantildeosos en sus espacios de buacutesqueda los esquemas de sub-poblaciones descentralizadas superaron el desempentildeo de aquellos con sub-poblaciones en panmixia ademaacutes de responder mejor a frecuencias de migracioacuten altas Las tasas de aceleracioacuten tambieacuten se relacionan con la operacioacuten de la migracioacuten a frecuencias de migracioacuten alta se obtienen mayores tasas de aceleracioacuten en ambos esquemas poblacionales

Es posible tambieacuten considerar un esquema de AGPs con sub-poblaciones tanto en panmixia como descentralizadas utilizando un esquema de coacutemputo heterogeacuteneo distribuido Las tasas de

aceleracioacuten que se alcanzan en estos caso son super-lineales viacutea el esquema sub-poblacional mixto

En AGP celulares viacutea criterios de actualizacioacuten

En los AGPs de grano fino o celulares el concepto de sincronismo se asocia a los criterios de actualizacioacuten de las soluciones Se consideran diversos escenarios como son 1) barrido liacutenea a liacutenea 2) barrido fijo aleatorio 3) barrido aleatorio 4) seleccioacuten uniforme Cada unos de estos criterios de actualizacioacuten de soluciones se puede ejecutar de manera siacutencrona o asiacutencrona La actualizacioacuten siacutencrona se refiere a que la poblacioacuten completa se genera a partir de los individuos actuales En contraste la actualizacioacuten asiacutencrona quiere decir que los individuos se actualizan despueacutes de su proceso evolutivo a nivel local entonces los individuos en una generacioacuten han evolucionado de hijos generados durante esta

El barrido liacutenea a liacutenea es la forma maacutes sencilla de actualizar soluciones en una topologiacutea de malla con conexioacuten toroidal Haciendo el barrido secuencial de ubicacioacuten de las soluciones por liacutenea o por columna se ejecuta la actualizacioacuten de estas El barrido aleatorio fijo consiste en elegir de forma aleatoria una solucioacuten sin reemplazo con una probabilidad uniforme En cada generacioacuten se determina una distribucioacuten diferente para la actualizacioacuten de los individuos La actualizacioacuten uniforme elige de forma aleatoria con una probabilidad uniforme una solucioacuten con reemplazo Esto quiere decir que una solucioacuten puede ser actualizada maacutes de una vez en un mismo ciclo reproductivo

Tambieacuten se ha buscado modelar formalmente el comportamiento de los distintos criterios de actualizacioacuten de soluciones considerando ambos criterios de sincronismo Los criterios siacutencronos de actualizacioacuten presentan menores tasas de crecimiento de la mejor solucioacuten en la topologiacutea de malla Es decir la buacutesqueda se ejecuta promoviendo la exploracioacuten cuando se sigue un criterio de actualizacioacuten uniforme Aplicar un barrido aleatorio o lineal para la actualizacioacuten de soluciones representa tasas maacutes altas de crecimiento pero no alcanza a aquellas de las poblaciones en panmixia La principal caracteriacutestica que se aprecia es que las poblaciones en panmixia promueven la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda en mayor grado que los AGPs descentralizados o celulares

Finalmente se puede concluir despueacutes de la evaluacioacuten de los criterios siacutencronos y asiacutencronos en una variedad de problemas de optimizacioacuten combinatorios y del dominio continuo que la actualizacioacuten asiacutencrona de soluciones mejora el desempentildeo algoriacutetmico en teacuterminos de eficiencia y eficacia en comparacioacuten con el criterio asiacutencrono en teacuterminos del nuacutemero de generaciones necesarias para converger a la solucioacuten del problema

Discusioacuten En este capiacutetulo se presentaron los distintos esquemas poblaciones que se consideran en la paralelizacioacuten de los AGs Se introdujo el principal operador que distingue a estos esquemas evolutivos el operador de migracioacuten y su efecto en los procesos de buacutesqueda Tambieacuten se introdujeron de manera detallada los esquemas paralelos de AGs de grano fino o celulares y la manera en que las caracteriacutesticas estructurales de estos pueden afectar directamente la exploracioacuten y explotacioacuten del espacio de buacutesqueda Se abordoacute tambieacuten el tema de las aceleraciones que se pueden alcanzar viacutea la paralelizacioacuten de grano fino y grueso de los AGPs Este anaacutelisis incluye los escenarios teoacutericos y reales de las tasas de aceleracioacuten que se pueden alcanzar Finalmente se revisoacute el concepto de sincronismo en ambos esquemas de paralelizacioacuten el cual se observoacute que afecta de manera positiva el desempentildeo algoriacutetmico

Los esquemas paralelos de los algoritmos geneacuteticos permiten obtener un mejor desempentildeo de los procesos de buacutesqueda Sin embargo se debe considerar una serie de paraacutemetros que se necesitan definir y que requeriraacuten la intervencioacuten de un usuario Es importante destacar tambieacuten que la mejora en el desempentildeo se puede apreciar tanto a nivel algoriacutetmico como a nivel de procesamiento Es necesario tambieacuten indicar que la seleccioacuten de la plataforma de coacutemputo paralelo ya sea distribuida o no implicaraacute costos de comunicacioacuten que deben ser considerados para las tasas de aceleracioacuten que se pretendan alcanzar

Investigacioacuten de AGPs en Meacutexico En Meacutexico investigadoras e investigadores en distintas instituciones y centros de investigacioacuten se han dado a la tarea de explorar esquemas evolutivos que utilizan AGPs Por ejemplo esquemas de AGPs de grano fino para solucionar problemas de optimizacioacuten mono-objetivo sin restricciones y problemas combinatorios han sido desarrollados en El objetivo en esos trabajos es el estudio del efecto de las caracteriacutesticas estructurales en las topologiacuteas de poblacioacuten descentralizadas utilizando mallas conectadas de forma toroidal Distintos criterios fueron definidos para modificar en tiempo de buacutesqueda la forma de la topologiacutea y sin incrementar el costo computacional verificar la mejora del desempentildeo algoriacutetmico al evaluar una cama prueba con problemas mono-objetivo sin restricciones y combinatorios Los resultados obtenidos fueron alentadores y a partir de estos se extendioacute el estudio de las propiedades estructurales a manipular tambieacuten la dimensioacuten de la topologiacutea de malla y modificarla en tiempo de buacutesqueda resultados positivos de este estudio fueron reportados en

Debido al costo computacional de los AGs en general la aceleracioacuten de estos utilizando plataformas de coacutemputo especializadas ha sido un aacuterea de investigacioacuten tambieacuten desarrollada en Meacutexico Particularmente el disentildeo e implementacioacuten de un arreglo de procesadores flexible para

la aceleracioacuten de los AGs celulares utilizando dispositivos reconfigurables conocidos como arreglos de compuertas programables en el campo (FPGAs por sus siglas en Ingleacutes) se reportoacute en Este trabajo presenta una forma novedosa de dividir a la poblacioacuten descentralizada en un nuacutemero determinado de unidades de procesamiento especialmente disentildeadas para operadores evolutivos manteniendo las conexiones toroidales entre soluciones La flexibilidad del disentildeo consiste en poder definir de acuerdo a las necesidades de usuario el nuacutemero de unidades de procesamiento De este modo un nuacutemero mayor de unidades de procesamiento permitiraacute acelerar la ejecucioacuten del algoritmo y un nuacutemero menor de estas permitiraacute reducir el uso de recursos de hardware

En el aacutembito de la optimizacioacuten multi-objetivo desde la perspectiva del coacutemputo evolutivo utilizando esquemas poblacionales paralelos investigadores en Meacutexico han desarrollado un esquema con base en algoritmos geneacuteticos utilizando muacuteltiples resoluciones La propuesta algoriacutetmica llamada Algoritmo geneacutetico multi-objetivo con resolucioacuten muacuteltiple (MRMOGA por sus siglas en Ingleacutes) consiste de un conjunto de sub-poblaciones las cuales a nivel representacioacuten de soluciones evolucionan con resoluciones distintas lo cual implica la divisioacuten del espacio de buacutesqueda en regiones acotadas y traslapadas El desempentildeo alcanzado por MRMOGA supera los resultados reportados en esquemas evolutivos paralelos en teacuterminos de convergencia y evidencia la necesidad de profundizar el estudio de la escalabilidad de esquemas evolutivos paralelos

Para saber maacutes Dentro de la comunidad cientiacutefica dedicada a la investigacioacuten en las aacutereas de las teacutecnicas algoriacutetmicas evolutivas que desarrollan el concepto de paralelismo se han generado recursos bibliograacuteficos diversos de entre los cuales destacan

bull Algoritmos geneacuteticos paralelos por Gabriel Luque y Enrique Alba

bull Algoritmos evolutivos estructurados espacialmente por Marco Tomassini

bull Algoritmos geneacuteticos celulares por Bernabeacute Dorronsoro y Enrique Alba

bull Algoritmos geneacuteticos paralelos eficientes y precisos por Erick Cantuacute-Paz

Por otro lado entre los grupos de investigacioacuten que se desarrollan en el aacuterea destaca el liderado por el investigador Enrique Alba de la Universidad de Maacutelaga en Espantildea quien en colaboracioacuten con otros investigadores y estudiantes a puesto a disposicioacuten una serie de recursos relacionados en En particular en la seccioacuten de software se encuentran disponibles herramientas para el

disentildeo e implementacioacuten de algoritmos evolutivos paralelos tanto de grano grueso como de grano fino

Programacioacuten Geneacutetica Mario Graff

Daniela Moctezuma

Eric S Tellez

Sabino Miranda-Jimeacutenez

INFOTEC Centro de Investigacioacuten e Innovacioacuten en Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten Circuito Tecnopolo Sur No 112 Fracc Tecnopolo Pocitos II Aguascalientes

20313 Meacutexico CentroGEO Centro de Investigacioacuten en Ciencias de Informacioacuten Geoespacial Circuito

Tecnopolo Norte No 117 Col Tecnopolo Pocitos II CP Aguascalientes Ags 20313 Meacutexico CONACyT Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologiacutea Direccioacuten de Caacutetedras Insurgentes Sur

1582 Creacutedito Constructor Ciudad de Meacutexico 03940 Meacutexico

Introduccioacuten En este capiacutetulo se presenta una introduccioacuten a Programacioacuten Geneacutetica (PG) asiacute como la descripcioacuten de cada uno de los aspectos que la comprenden las perspectivas de este campo y las aacutereas donde se ha aplicado en Meacutexico PG es un algoritmo de buacutesqueda inspirado en los principios de la evolucioacuten de las especies de Charles Darwin (ver ) Particularmente PG engloba a un conjunto de teacutecnicas de coacutemputo evolutivo las cuales tienen como objetivo solucionar automaacuteticamente problemas partiendo de ejemplos del problema por resolver a traveacutes de expresiones evaluables o programas

La Programacioacuten Geneacutetica ha sido ampliamente utilizada en diferentes dominios siendo capaz de resolver una gran variedad de problemas de alta complejidad muchas veces mejorando las soluciones encontradas por humanos Por ejemplo en la competencia ndashldquoHumies rdquo celebrada 2

anualmente en el marco de la Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO) la cual premia sistemas bio-inspirados que mejoran las soluciones encontradas por humanos a problemas difiacuteciles mdashdesde 2004 y hasta 2017 PG ha sido galardonada con 8 medallas de oro 5 de plata y 1 de bronce En particular en esta competencia y utlizando PG Meacutexico ha obtenido

13

12

13

13

1

2

3

httpwwwhuman-competitiveorg2

constituyen sin lugar a dudas uno de los temas maacutes ricos de investigacioacuten dentro de las metaheurısticas

Doctor Carlos Artemio Coello Coello

Indice general

Proacutelogo 5

Introduccioacuten 13

El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial 15

Mutacioacuten 16

Cruza 18

Seleccioacuten 20

Estructura del Algoritmo 20

Modificaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial 21

Ajuste de paraacutemetros globales 22

Ajuste de paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten 23

Ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten 26

Combinacioacuten de variantes 27

Evolucioacuten Diferencial para otros tipos de problemas 29

DE en Meacutexico 30

Conclusiones 30

Para saber maacutes 31

Introduccioacuten 32

AGds homogeacuteneos y heterogeacuteneos 35

Migracioacuten en AGPs 37

AGs celulares o de grano fino 39

Explotacioacutenexploracioacuten por propiedades estructurales 40

Presioacuten de seleccioacuten por caracteriacutesticas estructurales 43

Anaacutelisis empiacuterico 45

Aceleracioacuten en AGP 46

Concepto de sincronismo en AGPs 47

En AGPs distribuidos viacutea migracioacuten 48

En AGP celulares viacutea criterios de actualizacioacuten 49

Discusioacuten 50

Investigacioacuten de AGPs en Meacutexico 50

Para saber maacutes 51

Introduccioacuten 53

Proceso evolutivo 55

Representacioacuten 56

Poblacioacuten inicial 58

Operadores Geneacuteticos 59

Recombinacioacuten 59

Mutacioacuten 60

Seleccioacuten 61

Espacio de buacutesqueda 62

Conclusiones 63

Para saber maacutes 63

Introduccioacuten 64

Preservacioacuten de diversidad en algoritmos evolutivos 67

Clasificaciones de mecanismos para promover la diversidad 67

Esquemas claacutesicos para administrar la diversidad 68

Esquemas de reemplazamiento basados en diversidad 69

Diversidad en evolucioacuten diferencial 71

Disentildeo de evolucioacuten diferencial basado en diversidad 72

Evolucioacuten diferencial Conceptos baacutesicos 72

Inicializacioacuten 72

Operador de mutacioacuten 72

Operador de cruza 73

Operador de seleccioacuten 73

Propuesta basada en diversidad 74

Resultados de de-edm 77

Disentildeo de operadores de cruza basados en diversidad 87

Algoritmos evolutivos multi-objetivo 87

Operadores de cruza 89

El operador de cruza basado en simulacioacuten binaria - SBX 89

Implementacioacuten y anaacutelisis del operador sbx 90

Propuesta - dsbx 92

Resultados 93

Anaacutelisis de cada modificacioacuten en el operador sbx 95

Modificacioacuten simultaacutenea de varios componentes 96

Conclusiones y trabajo futuro 97

Para saber maacutes 98

Agradeciemientos 99

Introduccioacuten 100

Fundamentos de las Hiper-heuriacutesticas 102

Hiper-heuriacutesticas que seleccionan heuriacutesticas 103

Hiper-heuriacutesticas que generan nuevas heuriacutesticas 105

Modelos de Hiper-heuriacutesticas 106

Modelos Evolutivos 106

Hiper-Heuriacutesticas basadas en Algoritmos Geneacuteticos 106

Hiper-Heuriacutesticas basadas en Programacioacuten Geneacutetica 107

Modelos Neuronales 109

Un ejemplo 109

El problema 110

Las alternativas 110

La informacioacuten del problema 111

Nuestra primer hiper-heuriacutestica 112

Otras hiper-heuriacutesticas 112

Las hiper-heuriacutesticas como un problema de optimizacioacuten 113

Aspectos Avanzados de las Hiper-heuriacutesticas 115

Hiacuteper-heuriacutesticas para Problemas Multi-objetivo 115

Transformacioacuten de Caracteriacutesticas en Hiper-heuriacutesticas 117

Tendencias Futuras de Hiper-heuriacutesticas 119

Para saber maacutes 121

Conclusiones 122

Evolucioacuten Diferencial una breve introduccioacuten Rafael Rivera Loacutepez

Efreacuten Mezura Montes

En este capiacutetulo se hace una descripcioacuten general del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Este tipo de algoritmo evolutivo representa una excelente alternativa para encontrar soluciones cercanas al oacuteptimo a problemas de optimizacioacuten continua complejos Debido a la simplicidad de su implementacioacuten y sus excelentes habilidades de exploracioacuten y explotacioacuten diversas variantes de este algoritmo se han aplicado para resolver problemas con diferentes caracteriacutesticas En este capiacutetulo se describen los elementos baacutesicos del algoritmo asiacute como las diferentes variantes que se han desarrollado para mejorar su desempentildeo

Introduccioacuten Con el nombre de algoritmos evolutivos se identifica a un grupo de procedimientos que se utilizan para resolver muchos problemas praacutecticos y que se distinguen de otras teacutecnicas porque estaacuten inspirados en las teoriacuteas que sintetizan la evolucioacuten Darwiniana y la herencia geneacutetica descrita por Mendel Los algoritmos evolutivos han probado ser herramientas poderosas para encontrar soluciones aceptables a problemas donde otras teacutecnicas fallan o consumen una excesiva cantidad de tiempo Estos algoritmos se destacan por combinar exitosamente dos mecanismos de buacutesqueda exploracioacuten y explotacioacuten La exploracioacuten permite identificar aacutereas prometedoras del espacio de buacutesqueda y la explotacioacuten lleva a cabo una buacutesqueda especializada dentro de estas aacutereas para encontrar soluciones cercanas al oacuteptimo Su aplicacioacuten se extiende en praacutecticamente todas las aacutereas de la actividad humana como por ejemplo en salud educacioacuten ciencias industria economiacutea y defensa Los algoritmos evolutivos tambieacuten han sido utilizados en aacutereas emergentes como la ciencia de datos la inteligencia de negocios y el big data En estos algoritmos un conjunto de soluciones candidatas evoluciona para alcanzar una solucioacuten cercana al oacuteptimo por la aplicacioacuten de procedimientos que permiten recombinar y alterar sus valores En la jerga de los especialistas del aacuterea una solucioacuten candidata se conoce como individuo al conjunto de soluciones se denomina poblacioacuten y los procedimientos involucrados en el proceso evolutivo se identifican como operadores de seleccioacuten cruzamiento y mutacioacuten Comuacutenmente dos individuos son seleccionados y sus valores son recombinados y algunas veces mutados para crear nuevas soluciones candidatas Los nuevos individuos son considerados parte de una nueva poblacioacuten que sustituye a la anterior Entonces una secuencia de nuevas poblaciones son creadas hasta que una condicioacuten de teacutermino es alcanzada y la mejor solucioacuten de

las uacuteltima poblacioacuten es seleccionada como resultado del algoritmo Este proceso evolutivo es guiado por una funcioacuten de aptitud que determina la calidad de cada individuo en la poblacioacuten La figura 1 muestra el esquema general de un algoritmo evolutivo

Esquema general de un algoritmo evolutivo

A lo largo de su desarrollo histoacuterico varios tipos de algoritmos evolutivos han sido implementados difiriendo en la forma de representar a sus individuos y en la implementacioacuten de sus operadores geneacuteticos Auacuten cuando en los antildeos 50 varios autores introducen los teacuterminos evolucioacuten y proceso evolutivo en sus propuestas para resolver diversos problemas es en los antildeos 60 cuando se sientan las bases del desarrollo de los algoritmos evolutivos con la introduccioacuten de tres teacutecnicas la Programacioacuten Evolutiva las Estrategias Evolutivas y los Algoritmos Geneacuteticos Fogel propone en 1962 la Programacioacuten Evolutiva donde las soluciones candidatas se representan con maacutequinas de estados finitos y Rechenberg y Schwefel en 1965 desarrollan las Estrategias Evolutivas que codifican sus individuos con vectores de nuacutemeros reales Los Algoritmos Geneacuteticos introducidos en 1962 por Holland son sin duda el tipo de algoritmo evolutivo maacutes popular Estos algoritmos tradicionalmente utilizan una cadena binaria para representar a sus individuos aunque tambieacuten se han utilizado cadenas de enteros y secuencias de nuacutemeros reales Desarrollos posteriores a estas teacutecnicas han aportado al eacutexito de los algoritmos evolutivos destacaacutendose la Programacioacuten Geneacutetica los Algoritmos Coevolutivos los Algoritmos Culturales el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial los Algoritmos de Estimacioacuten de Distribuciones la Evolucioacuten Gramatical y la Programacioacuten de Expresioacuten de Genes Cada uno de estos algoritmos tienen sus ventajas y sus propios desafiacuteos y han sido utilizados para resolver diferentes tipos de problemas La figura 2 muestra un esquema del desarrollo histoacuterico de los

algoritmos evolutivos En particular el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial ha demostrado ser muy competitivo y exitoso para resolver problemas numeacutericos complejos en comparacioacuten con otros algoritmos

Liacutenea del tiempo del desarrollo de los algoritmos evolutivos

El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Evolucioacuten Diferencial (DE por sus siglas en ingleacutes) es un tipo de algoritmo evolutivo que fue originalmente disentildeado por Storn y Price en 1995 para resolver problemas de optimizacioacuten continua En particular en este algoritmo cada individuo usualmente se representa con un vector de valores continuos de paraacutemetros Ademaacutes en lugar de implementar los operadores de cruza y mutacioacuten tradicionales el algoritmo crea cada nuevo individuo con una combinacioacuten lineal de los valores de dos o maacutes individuos de la poblacioacuten actual que son seleccionados al azar La forma en que se implementan los operadores de cruza y mutacioacuten se ha utilizado en la literatura para identificar las diferentes variantes del algoritmo DEABC es la notacioacuten comuacutenmente usada para nombrar estas variantes donde A y B determinan el tipo de mutacioacuten implementado y C identifica el tipo de cruza implementado por la variante En particular A representa el procedimiento de seleccioacuten de los individuos para construir el individuo mutado y B es el nuacutemero de vectores diferencia usados para el operador de mutacioacuten DE puede considerarse un proceso de tres pasos que incluye una fase de inicializacioacuten el proceso evolutivo y el paso final que determina el resultado obtenido La fase de inicializacioacuten involucra la seleccioacuten y evaluacioacuten de un grupo de NP individuos que son generados aleatoriamente de un espacio de buacutesqueda finito los cuales se utilizan como poblacioacuten inicial del algoritmo conocido como Si para cada y son los valores miacutenimo y maacuteximo del -eacutesimo paraacutemetro en el valor del -eacutesimo individuo en la poblacioacuten inicial es determinado como sigue

x = (x1 x2 hellip xn) n

Ω sube ℝn

X0 j isin 1 hellip n xminj xmax

jj Ω xi

j i xi

donde es un nuacutemero aleatorio uniformemente distribuido dentro del rango El proceso evolutivo implementa un esquema iterativo para evolucionar la poblacioacuten inicial En cada iteracioacuten de este proceso conocido como una generacioacuten una nueva poblacioacuten de individuos es generada utilizando informacioacuten de la poblacioacuten previamente creada A diferencia de otros algoritmos evolutivos el orden de aplicacioacuten de los operadores geneacuteticos en el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial es diferente Primero se aplica la mutacioacuten despueacutes la cruza y al final se lleva a cabo la seleccioacuten del mejor individuo Para cada en la generacioacuten es obtenido de la poblacioacuten y es utilizado para crear un nuevo vector aplicando los operadores de cruza y mutacioacuten Los vectores y son conocidos como el vector objetivo y el vector de prueba respectivamente Estos vectores son evaluados por el operador de seleccioacuten para actualizar la nueva poblacioacuten Los operadores de mutacioacuten cruza y seleccioacuten son descritos en detalle en los siguientes paacuterrafos En el paso final cuando una condicioacuten de paro es alcanzada el algoritmo devuelve el mejor individuo en la poblacioacuten actual La condicioacuten de paro maacutes comuacutenmente utilizada es comparar el nuacutemero de generaciones construidas contra un valor fijo pero otros criterios pueden ser implementados como aquellos descritos por Zielinski y Laur

Mutacioacuten Un vector mutado es construido al combinar los valores de varios individuos aleatoriamente seleccionados de El nuacutemero de individuos seleccionados para realizar la combinacioacuten depende del operador de mutacioacuten implementado por la variante del algoritmo En alguna de estas variantes el individuo con la mejor aptitud en la poblacioacuten es tambieacuten utilizado por el operador de mutacioacuten Entre los diferentes operadores de mutacioacuten descritos en la literatura destacan los siguientes

$$beginaligned

textDErand1quad v^i amp= x^r_1 + textF big( x^r_2 - x^r_3 big)labeleqmut_1

textDEbest1quad v^i amp= x^textbest + textF big( x^r_1 - x^r_2 big) labeleqmut_2

textDEcurrent-to-best1quad v^i amp= x^i + textF big( x^textbest - x^r_1big) + textF big( x^r_2 - x^r_3 big) labeleqmut_3

xij = xmin

j + r (xmaxj minus xmin

j )

r [0 1]

i isin 1 hellip NP g xi

Xgminus1 ui

xi ui

Xgω

vi xrj

Xgminus1

xbest Xgminus1

textDErand2quad v^i amp= x^r_1 + textF big( x^r_2 - x^r_3 big)+textF big( x^r_4 - x^r_5 big) labeleqmut_4

shortintertexty

textDEbest2quad v^i amp= x^textbest + textF big( x^r_1 - x^r_2 big )+ textF big( x^r_3 - x^r_4 big ) labeleqmut_5 endaligned$$

donde F es un valor definido por el usuario que representa un factor de escala aplicado para controlar la variacioacuten diferencial Storn y Price sentildealan que F puede fijarse entre 0 y 2 pero otros autores recomiendan valores entre 04 y 1 En la figura 3 se presenta un ejemplo de la aplicacioacuten del operador de mutacioacuten DErand1 En este ejemplo = = y = Usando F igual a 05 el vector mutado resultante es =

Ejemplo de la creacioacuten de un vector mutado con el esquema DErand1

La mutacioacuten aporta a las habilidades de explotacioacuten y exploracioacuten del meacutetodo Debido a que al inicio del proceso evolutivo los individuos se encuentran relativamente dispersos en el espacio

xr1 (1056 316) xr2

(253 903) xr3 (56 626) vi

(902 454)

de buacutesqueda la diferencia entre los vectores seleccionados es grande por lo que los vectores mutados pueden ubicarse en diferentes aacutereas del espacio de buacutesqueda pero a medida que el proceso evolutivo avanza las soluciones se vuelven maacutes cercanas y las diferencias entre ellos son maacutes pequentildeas lo que produce que los vectores mutados se encuentran concentrados en aacutereas promisorias del espacio de buacutesqueda

Cruza El operador de cruza se utiliza para combinar la informacioacuten entre el vector objetivo y el vector mutado para construir el vector de prueba Por cada o se seleccionan para construir usando un factor de cruza el cual es tambieacuten un valor especificado por el usuario Dos tipos de cruza se utilizan en este caso cruza binomial y cruza exponencial

Cruza binomial En este operador cada valor asignado a es seleccionado de o de comparando el valor CR con un valor seleccionado al azar Para garantizar que al menos un paraacutemetro de toma un valor de este operador utiliza un valor tambieacuten seleccionado al azar Formalmente la cruza binomial se define como

Tomando el vector mutado = del ejemplo de la figura 3 y un vector objetivo = en la figura 4 se muestra un ejemplo de la creacioacuten de un vector de prueba usando la cruza binomial El vector de prueba generado en este ejemplo es =

xr2 minus xr3

j isin 1 hellip n xij vi

jui CR isin [0 1]

ui vi xi

r isin [0 1] ui

vi l isin 1 hellip n

bin uij =

vij si r le CR or j = l

xij de otra forma

vi (902 454) xi

(406 766)ui (406 454)

Ejemplo de la creacioacuten de un vector de prueba usando la cruza binomial

Cruza exponencial Este operador de cruza asigna una secuencia de valores de a Los valores restantes que son asignados a son obtenidos de El tamantildeo de la secuencia se determina con dos valores 1) un iacutendice que representa la posicioacuten inicial de la secuencia en seleccionado aleatoriamente dentro del rango y 2) el nuacutemero de intentos consecutivos en los cuales determina la posicioacuten final de la secuencia como es definida en la Ec ([eqcr_exp]) La cruza exponencial es similar al operador de cruza de dos puntos introducido por Cavicchio

$$beginaligned

textexpquad u_j^i amp=

begincases

v_j^i amp textsi $ l leq j leq min (l+L-1n)$

vi ui

ui xi

l vi

1 hellip n L le n r le CR

x_j^i amp textde otra forma

endcases labeleqcr_expendaligned$$

Por ejemplo si se tienen dos vectores de cinco paraacutemetros = y = y se aplica el operador de cruza exponencial usando un factor de cruza de 06 entonces se debe obtener el valor de y despueacutes generar una secuencia de valores aleatorios para Si =2 y la secuencia de valores de es 06 03 04 y 06 y el vector de prueba que se construye es =

La cruza ayuda al algoritmo a mantener la diversidad de la poblacioacuten y eventualmente evitar que caiga en oacuteptimos locales El valor de CR es complicado de determinar pero algunos autores sentildealan que su valor puede ajustarse entre 03 y 09

Seleccioacuten Un torneo uno-a-uno es aplicado para determinar cual vector entre y es seleccionado como miembro de la nueva poblacioacuten Este esquema de seleccioacuten permite garantizar que el proceso evolutivo mantenga una mejora continua

Estructura del Algoritmo El Algoritmo [algDE] muestra la estructura de una implementacioacuten claacutesica del algoritmo Eacuteste requiere de tres paraacutemetros para controlar el proceso evolutivo (CR F y NP) y tambieacuten la seleccioacuten de un espacio de buacutesqueda para construir la poblacioacuten inicial y la definicioacuten del tamantildeo de individuo de una funcioacuten objetivo para evaluar cada individuo y de una condicioacuten de paro para finalizar el proceso evolutivo

Entrada Salida Un individuo generado aleatoriamente usando la Ec ([eqinicial]) Vector objetivo obtenido aleatoriamente de Vector mutado generado usando alguna de las Ecs ([eqmut_1])ndash([eqmut_5]) Vector de prueba construido usando alguna de las Ecs ([eqcr_bin])ndash([eqcr_exp])

DE tiene varias ventajas en comparacioacuten con otros algoritmos evolutivos como la simplicidad de su implementacioacuten su habilidad para producir mejores resultados que aquellos obtenidos por los demaacutes y su baja complejidad espacial

vi (24 36 12 78 02) xi

(34 96 12 52 31)l

r l rui (24 96 12 52 02)

xi ui

Xg

g larr 0 Xg larr xi larrXg larr Xg cup (i xi) g larr g + 1 Xg larr xi larr

Xgminus1 vi larrui larrXg larr Xg cup (i ui) Xg larr Xg cup (i xi) xbest

Modificaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Aunque DE requiere de la definicioacuten de un nuacutemero menor de paraacutemetros en comparacioacuten con el nuacutemero de paraacutemetros requeridos por otros algoritmos evolutivos su desempentildeo es sensible a los valores seleccionados de CR F y NP Varios autores sentildealan que los valores adecuados para estos paraacutemetros pueden variar para diferentes problemas y es conocido que la definicioacuten de estos paraacutemetros depende de las caracteriacutesticas propias de cada problema Ademaacutes Lampinen y Zelinka sentildealan que este algoritmo puede presentar el problema de estancamiento debido a una incorrecta seleccioacuten de sus paraacutemetros El estancamiento en un algoritmo se presenta cuando eacuteste no converge a alguna solucioacuten y la poblacioacuten presenta una gran diversidad de individuos Por lo anterior la mayoriacutea de los estudios realizados para mejorar el desempentildeo del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial se relacionan con teacutecnicas para ajustar los valores de sus paraacutemetros (F CR y NP) y para combinar las ventajas de las diferentes variantes del algoritmo usando un subconjunto de ellas en lugar de solamente aplicar una variante En los siguientes paacuterrafos se describen las propuestas para mejorar el desempentildeo del algoritmo que se consideran los maacutes representativos en la literatura especializada Para simplificar su descripcioacuten estas propuestas se agrupan de acuerdo al criterio utilizado Ajuste de paraacutemetros y combinacioacuten de variantes Por un lado debido a que F y CR son los paraacutemetros del algoritmo maacutes estudiados y donde maacutes variantes de mejora han sido desarrolladas estos estudios se agrupan en enfoques que usan paraacutemetros globales y enfoques que usan paraacutemetros para cada individuo Adicionalmente se presentan los enfoques relacionados con el ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten y tambieacuten aquellos donde se modifica la forma que generar los vectores mutados dentro del proceso evolutivo La figura 5 presenta un esquema del desarrollo histoacuterico de estos enfoques

Liacutenea del tiempo de las modificaciones a DE

Ajuste de paraacutemetros globales En estos enfoques los operadores geneacuteticos utilizan los mismos valores para F y CR en todos los individuos de una misma poblacioacuten como se ilustra en la figura 6 Estos valores se actualizan al finalizar cada generacioacuten con el aacutenimo de mejorar las habilidades de exploracioacuten y explotacioacuten del algoritmo Dos enfoques se concentran en ajustar el valor de F manteniendo fijo el valor de CR En 2004 Ali y Toumlrn lo actualizan considerando la aptitud del mejor y del peor individuo en la poblacioacuten y Das et al en 2005 proponen dos enfoques para modificar su valor el primero lo modifica de forma aleatoria y el segundo reduce su valor de forma lineal conforme el proceso evolutivo avanza Por otro lado Liu y Lampinen en 2005 proponen un enfoque diferente al cual denominan FADE (Fuzzy Adaptive DE algorithm) En este algoritmo los valores de F y CR se ajustan usando un sistema de control loacutegico difuso El sistema utiliza las diferencias entre generaciones sucesivas tanto de los valores de los individuos como de sus valores de aptitud Finalmente Dra et al en 2015 proponen una versioacuten alternativa denominada SinDE (Sinusoidal DE) en donde los valores de F y CR se ajustan utilizando foacutermulas trigonomeacutetricas permitiendo cambiar la direccioacuten del vector diferencia dentro del operador de mutacioacuten

Esquema de ajuste de paraacutemetros globales del algoritmo

Ajuste de paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten En este tipo de algoritmos cada individuo de la poblacioacuten tiene asociado su propio conjunto de paraacutemetros como se muestra en la figura 7 Estos paraacutemetros se ajustan de forma independiente dentro del proceso evolutivo como se esquematiza en la figura 8

Paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten

En 2005 Omran et al asocian el valor de F a cada individuo de la poblacioacuten en su meacutetodo denominado SDE (self-adaptive DE) Este meacutetodo actualiza el valor de F combinando los valores de F de tres individuos de la poblacioacuten actual que son seleccionados aleatoriamente En 2006 Brest et al describen su meacutetodo denominado jDE donde los valores de F y CR se pueden modificar en cada iteracioacuten del proceso evolutivo basados en una decisioacuten estocaacutestica utilizando un par de umbrales previamente definidos En 2007 Zhang y Sanderson implementan un meacutetodo conocido como JADE donde F y CR son ajustados utilizando distribuciones normales independientes cuya media es calculada usando el promedio de los vectores mutados mejor adaptados en cada iteracioacuten En 2011 Ghosh et al actualizan los valores de estos paraacutemetros en base al valor de aptitud de los individuos en la poblacioacuten en un meacutetodo denominado FiADE (Fitness-Adaptive DE) Una versioacuten parecida es presentada en 2015 por Tang et al en el meacutetodo llamado IDE (DE with an individual-dependent mechanism) En 2011 Bi y Xiao describen el meacutetodo p-ADE (pbest vector-based self-adaptive DE variant) donde el vector mutado se crea usando el mejor individuo en la poblacioacuten y el mejor de los vectores que se utilizaron para crear al vector objetivo Los valores de F y CR de cada individuo son ajustados usando un factor asociado a las mejores y peores aptitudes de los individuos en la poblacioacuten En 2012 Islam et al introdujeron el meacutetodo llamado MDEpBX (modified DE with p-best crossover) donde se modifica la variante DEcurrent-to-best1 al utilizar el mejor elemento de un grupo de individuos seleccionados aleatoriamente de la poblacioacuten actual en lugar de usar el mejor individuo de la poblacioacuten Los valores de los paraacutemetros se ajustan en base a un par de distribuciones independientes que son actualizadas al final de cada generacioacuten En 2013 Tanabe y Fukunaga implementan el meacutetodo SHADE (Success-History based Adaptive DE) que basaacutendose en JADE actualiza los valores de F y CR usando una memoria de los vectores mutados que han sido exitosamente seleccionados previamente dentro del proceso evolutivo A partir de SHADE

varias versiones se han desarrollado como el meacutetodo L-convSHADE (SHADE using covariance matrix learning with Euclidean Neighborhood) y el meacutetodo LSHADE-SPA (LSHADE with semi parameter adaptation) En 2016 Leon y Xiong introducen una estrategia voraz para actualizar los valores de los paraacutemetros de cada individuo en el meacutetodo llamado GADE (Greedy Adaptive DE) Se utilizan los valores de los paraacutemetros de las soluciones vecinas para ajustar los paraacutemetros del nuevo vector mutado Finalmente Mohamed y Mohamed en 2017 proponen el meacutetodo denominado AGDE (Adaptive guided DE)

Esquema de ajuste de paraacutemetros para cada individuo de la poblacioacuten

Ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten En los enfoques descritos previamente solamente se ajustan los valores de F y CR manteniendo el tamantildeo de la poblacioacuten constante Diversos estudios indican que el tamantildeo de la poblacioacuten tambieacuten afecta al desempentildeo de un algoritmo evolutivo por lo que existen trabajos que se han centrado en ajustar el tamantildeo de la poblacioacuten para garantizar la convergencia del algoritmo Existen algunos enfoques donde se ajusta el tamantildeo de la poblacioacuten y se describiraacuten a continuacioacuten En la figura 9 se muestra el esquema general en que estos enfoques ajustan el tamantildeo de la poblacioacuten durante el proceso evolutivo

Esquema general del ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten en DE

En 2006 Teo describe el meacutetodo DESAP (Differential Evolution with self-adapting populations) donde el tamantildeo de la poblacioacuten se ajusta usando un factor distribuido uniformemente entre 0 y 1 En 2008 Brest y Sepesy Maučec presentan el algoritmo dynNP-DE (DE con NP dinaacutemico) donde van reduciendo a la mitad el tamantildeo de la poblacioacuten conforme el proceso evolutivo progresa Utilizando el nuacutemero total de evaluaciones y un paraacutemetro que indica el nuacutemero de posibles reducciones el algoritmo establece en queacute generaciones el algoritmo reduciraacute el tamantildeo de la poblacioacuten En 2014 Tanabe y Fukunaga presentaron una versioacuten con ajuste de poblacioacuten del meacutetodo SHADE denominada L-SHADE donde se aplica una reduccioacuten lineal del tamantildeo de la poblacioacuten previo a una ordenacioacuten a los individuos por su aptitud que permite eliminar solo

los individuos peor adaptados En 2017 Bujok y Tvrdiacutek describen el meacutetodo IDEbd (IDE with Population Size Adaptation) en donde el tamantildeo de la poblacioacuten es adaptado usando un factor calculado en base al nivel de diversidad de la poblacioacuten actual

Combinacioacuten de variantes Debido a la forma de combinar los individuos para crear el vector de prueba de cada una de las variantes de DE estaacutes presentan diferentes capacidades de exploracioacuten y explotacioacuten ademaacutes de que son maacutes efectivas para diferentes tipos de problemas Por ejemplo la variante DErand1 es mejor para explorar el espacio de buacutesqueda pero tiene una velocidad de convergencia lenta y DEbest1 converge maacutes raacutepido hacia soluciones cercanas a la oacuteptima pero solo para problemas con un uacutenico oacuteptimo global (unimodales) Debido a que usar diferentes estrategias de mutacioacuten durante diferentes momentos del proceso evolutivo pueden ser mejor que usar una sola variante durante todo el proceso varios autores se han enfocado en desarrollar estrategias para combinar diferentes variantes de DE y lograr con esto que cooperen en la creacioacuten de un mejor vector objetivo La figura 10 muestra un esquema general de la forma en que se aplican estas estrategias dentro del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial

Esquema general de la estrategia de combinacioacuten de variantes de DE

En 2005 Qin y Suganthan describieron una versioacuten conocida como SADE (Self-Adaptive DE algorithm for numerical optimization) donde introducen un esquema que selecciona de forma alternada una de dos variantes del algoritmo de acuerdo a su tasa de eacutexito dentro del proceso evolutivo En 2009 Das et al presentaron el meacutetodo llamado DEGL (DE with Global and Local Neighborhoods) donde cada nuevo vector mutado se crea combinando dos vectores uno construido usando una vecindad del vector objetivo (vector local) y otro creado usando el mejor

individuo de la poblacioacuten (vector global) En 2011 Mallipeddi et al asignaron a cada individuo de la poblacioacuten el tipo de variante para generar el vector mutado y los valores para F y CR en el meacutetodo EPSDE (Ensemble of mutation strategies and parameters in DE) Tanto el tipo de variante como los valores de los paraacutemetros se escogen aleatoriamente de un grupo de ellos que es previamente definido Dependiendo del eacutexito de la aplicacioacuten de dichos valores eacutestos se pueden cambiar durante el proceso evolutivo Tambieacuten en ese mismo antildeo Wang et al en su meacutetodo CoDE (Composite DE) crean tres vectores para cada vector objetivo Cada vector es construido usando variantes diferentes y con paraacutemetros generados aleatoriamente El mejor de los tres vectores se usa como vector de prueba para aplicar el operador de seleccioacuten Adicionalmente Zhao et al implementaron un meacutetodo muy similar denominado SaDE-MMTS (SaDE with a modified multi-trajectory search) donde el vector mutado se selecciona de entre los vectores generados por tres diferentes variantes del algoritmo pero la seleccioacuten se hace en base a una probabilidad que iterativamente se ajusta en base a la cantidad de vectores mutados que son exitosamente seleccionados En 2017 Ghosh et al propusieron el meacutetodo NRDE (Noise Resilient DE) donde cada individuo puede ser mutado por alguna de dos variantes con igual probabilidad Los valores de F y CR son ajustados para cada individuo basado en un rango preestablecido previamente

Evolucioacuten Diferencial para otros tipos de problemas Aunque DE fue definido originalmente para resolver problemas de optimizacioacuten continua sin restricciones tambieacuten se ha utilizado con eacutexito para resolver otros tipos de problemas como aquellos donde los valores de las variables del problema son discretos donde el espacio de buacutesqueda estaacute limitado por una o maacutes restricciones y aquellos donde se manejan dos o mas objetivos Prado et al describe varias adaptaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial para problemas de optimizacioacuten combinatoria como aquellos que implementan una matriz de permutacioacuten los que obtienen una secuencia ordenada de valores y los que aplican una transformacioacuten de los valores continuos al espacio discreto En el caso de los problemas de optimizacioacuten con restricciones Mezura-Montes et al describen varios enfoques que se han utilizado para aplicar DE en este tipo de problemas como aquellos que utilizan teacutecnicas para eliminar o reparar soluciones infactibles y los que implementan teacutecnicas de penalizacioacuten Finalmente para problemas de optimizacioacuten multi-objetivo Mezura-Montes et al resume las principales teacutecnicas basadas en el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial para manejar dos o maacutes objetivos como los enfoques basados en dominancia de Pareto y en jerarquizacioacuten de Pareto asiacute como los meacutetodos que no se basan en Pareto y los enfoques que combinan diferentes estrategias Hoy en diacutea existen tambieacuten algoritmos basados en descomposicioacuten y en indicadores de desempentildeo

DE en Meacutexico En el paiacutes se tiene mucha actividad en investigacioacuten relacionada con DE particularmente el grupo EVOCINV de CINVESTAV Zacatenco estudia a este algoritmo en optimizacioacuten multi-objetivo y temas afines al manejo de muacuteltiples objetivos como algoritmos basados en indicadores modelos subrogados operadores de seleccioacuten operadores de variacioacuten adaptacioacuten de paraacutemetros entre otros temas

En el Centro de Investigacioacuten en Inteligencia Artificial de la Universidad Veracruzana se desarrolla investigacioacuten en optimizacioacuten con restricciones usando DE aplicaciones de DE en mecatroacutenica y en control automaacutetico DE y buacutesqueda local optimizacioacuten dinaacutemica multi-objetivo DE asistida por subrogados en espacios restringidos entre otras temaacuteticas

Recientemente en el Instituto Tecnoloacutegico de Veracruz se desarrollan aplicaciones de DE en aprendizaje automaacutetico en el Centro de Innovacioacuten y Desarrollo Tecnoloacutegico en Coacutemputo (CIDETEC) del IPN se aplica DE en problemas de mecatroacutenica y en el Centro de Investigacioacuten en Matemaacuteticas se aplica en procesos quiacutemicos

Todas estas menciones soacutelo son representativas pues la DE al ser un algoritmo faacutecil de implementar y que provee resultados competitivos ha sido particularmente atractiva para su estudio y aplicacioacuten en instituciones mexicanas

Conclusiones El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial es un enfoque exitoso para resolver problemas de optimizacioacuten continua sin restricciones Los individuos que evolucionan al aplicar los operadores de este algoritmo tradicionalmente se codifican como secuencias de nuacutemeros reales pero otras representaciones se han utilizado tambieacuten Ademaacutes con la inclusioacuten de diversas estrategias para manejar varios objetivos y conjuntos de restricciones DE se puede aplicar para resolver otro tipo de problemas DE se distingue por depender de la definicioacuten de un menor nuacutemero de paraacutemetros que otros algoritmos evolutivos pero esto tambieacuten lo hace muy sensible a la definicioacuten de los valores para esos paraacutemetros Diversos variantes del algoritmo han sido desarrolladas para mejorar el desempentildeo del algoritmo generando un abanico de alternativas para resolver casi cualquier tipo de problema El estudio del comportamiento de este algoritmo y la definicioacuten de nuevas propuestas de desarrollo sin duda aportaraacute a la resolucioacuten maacutes eficiente de problemas complejos que interesan a la comunidad cientiacutefica

Para saber maacutes Para aquellos lectores que deseen abundar en el tema las siguientes referencias sobre DE pueden ser de intereacutes

bull El libro sobre DE escrito por los autores originales del algoritmo

bull Una revisioacuten muy completa de la literatura de DE y su versioacuten actualizada

bull Otra revisioacuten de la literatura acompantildeada de un estudio experimental

bull Una revisioacuten de estudios teoacutericos sobre DE

bull Un libro editado con temas diversos y recientes sobre DE

bull DE para resolver problemas de optimizacioacuten multi-objetivo

bull DE y su papel importante en espacios restringidos

Algoritmos Geneacuteticos Paralelos Alicia Morales-Reyes

Introduccioacuten Las teacutecnicas evolutivas son aptas para su paralelizacioacuten tanto a nivel algoriacutetmico como a nivel de ejecucioacuten En particular los algoritmos geneacuteticos (AGs) han sido investigados desde esta perspectiva y esquemas paralelos han surgido desde el inicio de su desarrollo La paralelizacioacuten de los AGs persigue la mejora de su desempentildeo algoriacutetmico en teacuterminos de eficiencia y eficacia y la reduccioacuten de tiempos de ejecucioacuten en sus distintos dominios de aplicacioacuten

Una clasificacioacuten general de los Algoritmos Geneacuteticos Paralelos (AGPs) los agrupa por su granularidad en AGPs de grano fino y grueso Los AGPs de grano grueso dividen la poblacioacuten agrupada en panmixia en varias sub-poblaciones permitiendo la migracioacuten de individuos entre 1

eacutestas De esta forma se reduce el nuacutemero de individuos en cada unidad de procesamiento En consecuencia se establece un fuerte viacutenculo entre la algoritmia y la implementacioacuten de estas teacutecnicas Sin embargo utilizar una uacutenica unidad de procesamiento para la evolucioacuten de varias sub-poblaciones ha sido un contexto tambieacuten explorado como un mecanismo de mejora del desempentildeo algoriacutetmico

Los AGPs de grano grueso tambieacuten llamados Algoritmos Geneacuteticos distribuidos (AGds) han permitido la exploracioacuten de nuevas vertientes de la versioacuten estaacutendar de los AGs Tener diferentes paraacutemetros de configuracioacuten para realizar las operaciones geneacuteticas implementar granularidades distintas incorporar el operador de migracioacuten han sido caracteriacutesticas a explorar que pueden culminar en un mejor desempentildeo de los AGs

En la figura 1 se muestra un diagrama de un AG distribuido Cada poblacioacuten es centralizada y se necesitan definir criterios en teacuterminos de tasa y frecuencia de migracioacuten Tambieacuten se necesita definir si la migracioacuten seraacute siacutencrona o asiacutencrona Herrera et al presentaron un esquema de un AGP distribuido con poblaciones heterogeacuteneas Utilizaron la estructura de un hipercubo posicionando en cada veacutertice una sub-poblacioacuten Dependiendo de la ubicacioacuten de cada sub-poblacioacuten la buacutesqueda implica mayor explotacioacuten o exploracioacuten Esto se logra de manera interna viacutea la configuracioacuten de los operadores geneacuteticos De esta forma se procura mantener la diversidad de soluciones de forma global y asiacute mejorar la calidad de las soluciones encontradas

Una poblacioacuten en panmixia es aquella donde todos sus individuos sin restricciones pueden 1

reproducirse entre si

Diagrama poblacional de un AGP distribuido o de grano grueso

La principal diferencia entre los AGP de grano fino con respecto a los AGP distribuidos o de grano grueso es la descentralizacioacuten de su poblacioacuten y en consecuencia la localizacioacuten del proceso de seleccioacuten de individuos En la figura 2 se muestra un esquema poblacional de un AGP de grano fino tambieacuten conocido como AG celular (AGc) De manera comuacuten se utiliza una topologiacutea de malla conectada de forma toroidal como lo muestra la figura Un individuo de la poblacioacuten se ubica en cada cruce de la malla y alrededor de eacutel se define un vecindario cuyas soluciones participan en los procesos de seleccioacuten recombinacioacuten y mutacioacuten para la evolucioacuten de eacuteste En la figura 2 se ilustra un vecindario tipo Moore con 9 individuos

En los AGs celulares cada individuo o solucioacuten interactuacutea con sus vecinos maacutes cercanos logrando de esta forma el esparcimiento suave de las soluciones a traveacutes de la malla debido al traslape de vecindarios En los AGs distribuidos la asociacioacuten entre soluciones se pierde en comparacioacuten con los AGs celulares Esta es otra caracteriacutestica importante de los AGc que permite la exploracioacuten global del espacio de buacutesqueda mientras que localmente los individuos explotan la regioacuten cercana a su ubicacioacuten

Diagrama poblacional del AG celular o de grano fino

La paralelizacioacuten de los algoritmos evolutivos en particular de los algoritmos geneacuteticos persigue distintos objetivos Por ejemplo la evolucioacuten simultaacutenea de sub-poblaciones lo cual permite descubrir nueva rutas para solucionar un problema y en consecuencia reducir el nuacutemero de generaciones para converger a la solucioacuten oacuteptima Aunado a esto los tiempos de procesamiento pueden tambieacuten acortarse La paralelizacioacuten de AGs se puede realizar a distintos niveles Asiacute mismo es posible la combinacioacuten de sub-poblaciones con distintas dinaacutemicas internas Por ejemplo algunas sub-poblaciones podriacutean evolucionar en un esquema de panmixia y otras en un esquema celular Este tipo de esquemas poblacionales se discutiraacuten a detalle en la subseccioacuten 11

Una operacioacuten importante en los procesos evolutivos de los AGs distribuidos es la migracioacuten de los individuos entre sub-poblaciones Durante el proceso de buacutesqueda uno o maacutes individuos son seleccionados para migrar y reemplazar a otros individuos de otras sub-poblaciones Los criterios de migracioacuten requieren no soacutelo de la tasa y la frecuencia de migracioacuten sino tambieacuten de criterios de seleccioacuten y reemplazo de individuos al llegar a las otras sub-poblaciones El proceso de migracioacuten puede realizarse de forma siacutencrona o asiacutencrona La migracioacuten siacutencrona supone que todas las sub-poblaciones estaacuten en el mismo estado de la buacutesqueda y la migracioacuten de individuos entre sub-poblaciones ocurre de manera simultaacutenea Por otro lado la migracioacuten asiacutencrona supone que cada sub-poblacioacuten determina el momento en que los individuos deben migrar En la sub-seccioacuten 24 se aborda el efecto del sincronismo en los mecanismos de migracioacuten

Cantuacute-Paz et al presentoacute un estudio completo en AGs distribuidos tanto desde el punto de vista teoacuterico como del praacutectico Debido al nuacutemero de paraacutemetros que se deben definir en los AGds Cantuacute-Paz et al iniciaron con la solucioacuten de un problema de optimizacioacuten para determinar el tamantildeo adecuado de las sub-poblaciones para alcanzar una cierta calidad de la misma Utilizaron un modelo matemaacutetico considerando la hipoacutetesis de los bloques constructores propuesta por Holland y extendida por Goldberg El estudio se verifica en varios problemas con un grado alto de precisioacuten mostraacutendose una buena respuesta a la escalabilidad

Para determinar escenarios de operacioacuten liacutemite en teacuterminos de eficiencia analizaron la interaccioacuten de las sub-poblaciones y su efecto en la calidad de las soluciones Previamente se ha investigado el cambio en la calidad de las soluciones debido a la forma de interaccioacuten de las sub-poblaciones Tener sub-poblaciones evolucionando de manera independiente con muy poca o nula interaccioacuten entre ellas resulta en soluciones menos precisas mientras mejores soluciones se obtienen viacutea el esquema de panmixia tradicional Sin embargo cuando se definen criterios de migracioacuten adecuados y un cierto nuacutemero de soluciones migran entre sub-poblaciones a una frecuencia media o baja el desempentildeo en general de los AGds mejora alcanzando en un nuacutemero de casos aceleraciones super-lineales y mejor calidad de las soluciones encontradas Se puede inferir entonces la importancia del operador de migracioacuten el cual seraacute analizado en detalle en la sub-seccioacuten 12

AGds homogeacuteneos y heterogeacuteneos Existen distintos escenarios en los que se pueden definir y aplicar AGds con esquemas poblaciones homogeacuteneos y heterogeacuteneos es decir combinaciones de poblaciones centralizadas y descentralizadas A nivel algoriacutetmico se puede definir la misma o una diferente configuracioacuten de operadores geneacuteticos A partir de esas configuraciones distintas diferentes configuraciones de paraacutemetros se pueden determinar para ejecutar la buacutesqueda en cada sub-poblacioacuten Por ejemplo distintas definiciones del operador de recombinacioacuten o bien de las probabilidades de mutacioacuten pueden operar sobre los individuos de cada sub-poblacioacuten La comunidad en el aacuterea ha incluso explorado escenarios donde las soluciones se representan de manera distinta entre sub-poblaciones Por otro lado a nivel de implementacioacuten se han explorado esquemas con sub-poblaciones heterogeacuteneas Por ejemplo Alba et al realizoacute un estudio en distintas plataformas de coacutemputo ejecutando sub-poblaciones en panmixia y celulares

Como se puede apreciar el desarrollo de un esquema de AG paralelos ya sean distribuidos o descentralizados conlleva la definicioacuten de un nuacutemero de paraacutemetros que afectaraacute de manera importante su desempentildeo algoriacutetmico Otro ejemplo es la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten en espacios continuos que se han abordado a traveacutes de un esquema de AGP utilizando una versioacuten mejorada con cromosomas codificados con nuacutemeros reales Para esto se

definioacute una topologiacutea doble con un hipercubo que se comparoacute con una topologiacutea sencilla Las sub-poblaciones ubicadas en sus veacutertices promoviacutean mayor o menor exploracioacuten u explotacioacuten de las regiones viacutea la configuracioacuten de los operadores geneacuteticos La migracioacuten entre las sub-poblaciones afectoacute directamente los tiempos de ejecucioacuten por medio de la reduccioacuten del nuacutemero de evaluaciones La capacidad de buacutesqueda de la topologiacutea doble superoacute a la de la topologiacutea sencilla

Cuando pensamos en paralelizar alguna teacutecnica algoriacutetmica nos viene a la mente acelerar los procesos de ejecucioacuten Sin embargo la paralelizacioacuten de los algoritmos evolutivos podriacutea mejorar tanto los procesos de buacutesqueda algoriacutetmica como los tiempos de ejecucioacuten Es asiacute que a nivel de implementacioacuten se utilizado coacutemputo heterogeacuteneo para la evaluacioacuten de esquemas de AGPs Por ejemplo Alba et al propusieron utilizar una plataforma heterogeacutenea en la cual distintos sistemas operativos con distintas restricciones de ejecucioacuten implementaban un modelo de AGPs distribuidos Las sub-poblaciones se conectaron en un arreglo de anillo unidireccional cada sub-poblacioacuten ejecutaba un modelo poblacional de estado estable A cada generacioacuten se produciacutea un individuo que reemplazaba a la peor solucioacuten obtenida Se establecioacute un esquema de migracioacuten asiacutencrona que demostroacute mejores resultados ver 3 En general se observoacute un mejor desempentildeo de la ejecucioacuten del esquema paralelo en la plataforma heterogeacutenea en comparacioacuten con la homogeacutenea se redujo el nuacutemero de evaluaciones debido a la explotacioacuten de soluciones a distintas tasas de migracioacuten

AGP con topologiacutea poblacional de anillo unidireccional implementada en una plataforma de coacutemputo heterogeacutenea La migracioacuten entre sub-poblaciones es asiacutencrona y responde a una dinaacutemica de estado estable

Migracioacuten en AGPs Como se explicoacute anteriormente la incorporacioacuten de un nuevo operador llamado migracioacuten se hace latente en los esquemas paralelos de los AGs En los esquemas de grano grueso donde se tienen sub-poblaciones de grano fino y grueso evolucionando simultaacuteneamente la migracioacuten se debe considerar como un mecanismo que introduce nuevos individuos y por lo tanto promueve o restaura la diversidad entre sub-poblaciones De forma distinta en los AGs celulares o de grano fino un mecanismo de migracioacuten impliacutecito trabaja durante el proceso de buacutesqueda debido al traslape de vecindarios que permite la difusioacuten de soluciones a lo largo y ancho de la topologiacutea definida para la poblacioacuten Este mecanismo de migracioacuten es inherente a la estructura de los AGs celulares y no requiere de un paraacutemetro de frecuencia o tasa de migracioacuten o ninguacuten otro mecanismo de seleccioacuten y reemplazo

Revisaremos ahora evaluaciones empiacutericas que se han realizado a criterios de migracioacuten definidos para AGPs de grano grueso Aunque estos criterios son definidos para este tipo de esquemas paralelos tambieacuten es posible aplicar un segundo criterio migratorio en AGs celulares ademaacutes del mecanismo natural inherente a estos

Para establecer un criterio de migracioacuten adecuado y mejorar el desempentildeo algoriacutetmico de los AGPs de grano grueso se examinaron los casos liacutemite para aplicar el proceso de migracioacuten Se

sugiere mantener un cierto nivel de aislamiento entre las sub-poblaciones Si la sub-poblacioacuten evoluciona en completo aislamiento las mejoras en diversidad son miacutenimas y por ende la capacidad de buacutesqueda se ve reducida Por otro lado si se aplica el operador de migracioacuten con una frecuencia maacutexima el costo computacional se incrementa de manera significativa Por lo tanto el objetivo de la migracioacuten es evitar el aislamiento entre sub-poblaciones mientras se mantiene un nivel aceptable de comunicacioacuten entre eacutestas

Es posible calcular experimentalmente el nuacutemero adecuado de unidades de procesamiento para minimizar el tiempo de ejecucioacuten de un esquema de AGPs El anaacutelisis considera casos liacutemite en teacuterminos de conectividad entre sub-poblaciones es decir el caso de tener frecuencias de migracioacuten miacutenimas y maacuteximas La conclusioacuten teoacuterica para una poblacioacuten indica que el nuacutemero

oacuteptimo de unidades de procesamiento estaacute dado por donde es el tamantildeo de la

poblacioacuten es el tiempo de coacutemputo de la funcioacuten objetivo de un individuo y es el tiempo promedio de comunicacioacuten para una unidad de procesamiento Esto quiere decir que dividiendo una poblacioacuten en sub-poblaciones distribuidas en muacuteltiples unidades de procesamiento reduce el tiempo global de ejecucioacuten La misma conclusioacuten se logroacute para un esquema de muacuteltiples poblaciones considerando ademaacutes la evaluacioacuten de funciones objetivo separables Esto quiere decir que utilizar un nuacutemero de unidades de procesamiento en un esquema evolutivo paralelo tiene un impacto positivo en la reduccioacuten de los tiempos de ejecucioacuten

Es tambieacuten importante analizar el efecto de los criterios de migracioacuten que se utilizan en esquemas de AGPs de grano grueso El objetivo principal es determinar coacutemo el operador de migracioacuten afecta la presioacuten de seleccioacuten inducida e impliacutecitamente poder explicar las aceleraciones super-lineales que se pueden modelar para este tipo de esquemas La forma en que los individuos se seleccionan para migracioacuten y reemplazo tienen un efecto considerable en la presioacuten de seleccioacuten y se ha observado que tasas altas de migracioacuten producen un incremento en eacutesta Tener una presioacuten de seleccioacuten alta afecta la buacutesqueda al producir una convergencia prematura a un oacuteptimo local

Aunque la operacioacuten de migracioacuten se ha investigado principalmente para esquemas de AGPs de grano grueso tambieacuten se ha revisado su efecto en AGPs de grano fino considerando tanto el mecanismo de migracioacuten impliacutecita viacutea el traslape de vecindarios como la definicioacuten de criterios para migracioacuten de individuos desde y hacia distintas posiciones de la topologiacutea de malla definida para la poblacioacuten Por ejemplo se han utilizado estructuras de aacuterboles binarios para dividir una topologiacutea de malla de dos dimensiones en formaciones conceacutentricas de individuos definiendo para cada formacioacuten criterios de migracioacuten distintos El intercambio de individuos entre estas

OnTf

Tcn

Tf Tc

formaciones definidas por su estructura alenta el proceso de buacutesqueda permitiendo una mayor exploracioacuten Los resultados mostraron un mejor desempentildeo en la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten con restricciones el operador de mutacioacuten se aplica para evitar la presencia de super individuos que pueden dirigir la buacutesqueda al estancamiento conquistando la topologiacutea de malla mucho maacutes raacutepido En la siguiente seccioacuten se abordaraacute el comportamiento de los AG celulares o de grano fino

AGs celulares o de grano fino Los AGs celulares o de grano fino se construyen a partir de poblaciones descentralizadas donde los individuos interactuacutean con otros individuos ubicados dentro de un vecindario definido Es decir interactuacutean con los vecinos maacutes cercanos Usualmente los AGCs se implementan en topologiacuteas de mallas de -dimensionales manteniendo conexiones toroidales entre los cruces de malla utilizando formas comunes como una malla lineal cuadrada o rectangular

El procesamiento de los AG celulares corresponde al de los Autoacutematas Celulares (ACs) Estos determinan una regla global que define un comportamiento especiacutefico que se construye a partir de reglas locales Se han explorado ACs de una dos y tres dimensiones en combinacioacuten con AGs con la finalidad de evolucionar el comportamiento global requerido Esta combinacioacuten de un AC y un AG originoacute el nombre de AG celular con la diferencia de tener una representacioacuten maacutes elaborada en cada cruce de la malla cromosomas Se observoacute que la informacioacuten de las reglas locales o individuos alcanzaba distancias lejanas dentro de la malla definida esto debido al traslape de los vecindarios De esta forma se determinoacute que la informacioacuten se mueve entre vecindarios permitiendo acelerar el proceso de crear nuevos comportamientos ad-hoc al problema que se esteacute solucionando y con una peacuterdida miacutenima de informacioacuten

El pseudocoacutedigo [algCellularGeneticAlgorithmPseudocode] es el estaacutendar de un AG celular En un primer paso se genera una poblacioacuten inicial de forma aleatoria ubicando cada individuo en un cruce de la topologiacutea de malla Esta poblacioacuten inicial se evaluacutea de acuerdo a la funcioacuten objetivo del problema a resolver Posteriormente da inicio el ciclo reproductivo principal Se define un vecindario local con individuos ubicados de forma cercana A partir de eacutestos y del individuo ubicado en el cruce de la malla se seleccionan a los padres para reproducirse Existen distintos meacutetodos de seleccioacuten que se utilizan en los AG celulares Se pueden utilizar los que comuacutenmente se aplican en los AGs con poblaciones centralizadas como el torneo binario ruleta o seleccioacuten determinista Existen tambieacuten otros meacutetodos especiacuteficos a los AG celulares como son la seleccioacuten ceacutentrica o anisotroacutepica Una vez seleccionados los padres se recombinan y los hijos se mutan No hay diferencia entre la aplicacioacuten de los operadores de recombinacioacuten y mutacioacuten con respecto a los AG tradicionales

n

Debido a la descentralizacioacuten de la poblacioacuten el reemplazo de eacutesta puede ocurrir de forma siacutencrona o asiacutencrona El reemplazo asiacutencrono requiere del almacenaje temporal de la poblacioacuten hasta que todos los individuos concluyen su ciclo reproductivo El reemplazo siacutencrono requiere de la definicioacuten del criterio para implementarla Los distintos criterios que se han utilizado para el reemplazo se explicaraacuten en la sub-seccioacuten 24

poblacioacuten inicial evaluacioacuten seleccioacuten de padres vecinario L5 recombinacioacuten mutacioacuten evaluacioacuten reemplazo

Explotacioacutenexploracioacuten por propiedades estructurales Debido a la descentralizacioacuten de la poblacioacuten y la definicioacuten de una topologiacutea de malla las caracteriacutesticas estructurales de los AG celulares tienen un impacto importante en los procesos de buacutesqueda La forma y la dimensioacuten de la topologiacutea el nuacutemero de individuos dentro del vecindario entre otras son caracteriacutesticas de la estructura que necesitan definirse Ademaacutes otras operaciones durante el ciclo evolutivo como el proceso de seleccioacuten local el reemplazo de individuos criterios de migracioacuten entre otras estaacuten tambieacuten asociadas a estas caracteriacutesticas de estructura

La topologiacutea de malla que es comuacutenmente utilizada en los AG celulares se muestra en la figura 2 Se ha reportado que distintas formas de malla en combinacioacuten con distintos tipos de vecindarios inducen una mayor o menor presioacuten de seleccioacuten Para modelar el efecto de ambas estructuras se utiliza un patroacuten de dispersioacuten con puntos (la posicioacuten de cada solucioacuten en la malla) a partir de una posicioacuten central con coordenadas Se calcula la medida de dispersioacuten debido a que otras medidas como el radio de una circunferencia indicariacutea el mismo valor para topologiacuteas distintas La relacioacuten entre el vecindario y la topologiacutea o radii se calcula de la siguiente forma

donde y La razoacuten o radii entre el vecindario y la topologiacutea de

malla estaacute dada por

(x) larr random(x0) (f ) larr evaluat ion(x)(f1 f2) larr seleccion(f fN fE fS fW)(x1 x2) larr seleccion(x xN xE xS xW) (x prime1 x prime2 ) larr recombinacion(x prime1 x prime 2 )

(x1Prime x2Prime) larr mutacion(x prime1 x prime2 ) (fnew) larr evaluacion(x1Prime x2Prime)(f x) larr reemplazo(fnew xnew)

p(x0 y0)

D =sum (xi minus x)2 + sum (yi minus y)2

p

(x ) =sump

i=1 xi

p (y) =sump

i=1 yi

p

Esta medida se conoce como la razoacuten vecindario-malla (RVM) Formas y tamantildeos diferentes de vecindarios y topologiacuteas proporcionan una medida distinta de RVM ver figura 4

Ejemplos de formas de vecindarios y topologiacuteas de malla

NGR =Dvecindario

Dmalla

Razoacuten vecindario-malla para diferentes topologiacuteas de malla y tamantildeos de poblacioacuten con un vecindario L5

[figL5_variableLattice]

Una topologiacutea de malla cuadrada con un vecindario es una configuracioacuten comuacutenmente utilizada en la implementacioacuten de AG celulares En la figura [figL5_variableLattice] la razoacuten vecindario-malla se ilustra para distintos tamantildeos de poblacioacuten con vecindario Tres formas de malla se evaluacutean cuadrada rectangular y lineal Las curvas de la RVM muestran razones altas para mallas cuadradas y razones bajas para topologiacuteas lineales La RVM se asocia a la presioacuten de seleccioacuten inducida en AG celulares debido a sus caracteriacutesticas estructurales Para comprender esto de mejor manera otro concepto importante es necesario el nuacutemero de generaciones que toma al mejor individuo de una poblacioacuten inicial esparcir su solucioacuten en todas las direcciones de la topologiacutea de malla es decir conquistarla a partir de aplicar uacutenicamente el operador de seleccioacuten Un nuacutemero de generaciones alto indica una baja presioacuten de seleccioacuten es decir una buacutesqueda principalmente explorativa Por el contrario un nuacutemero de reducido de generaciones implica una alta presioacuten de seleccioacuten y por tanto una buacutesqueda orientada a la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda

L5

L5

Los AG celulares son teacutecnicas flexibles con un nuacutemero de paraacutemetros que pueden configurarse Por ejemplo es posible pensar en modificar en tiempo de buacutesqueda las topologiacuteas de malla tamantildeos y formas de vecindarios como una forma de control de la presioacuten de seleccioacuten inducida Las modificaciones de la configuracioacuten pueden realizarse de manera constante definiendo un nuacutemero de generaciones o bien de forma adaptativa midiendo generacioacuten a generacioacuten el comportamiento por ejemplo de la diversidad en el espacio de fenotipos y genotipos modificando entonces las configuraciones de estructura de manera que se promueva la exploracioacuten o la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda

Presioacuten de seleccioacuten por caracteriacutesticas estructurales

El matemaacutetico belga Pierre Verhulst en el siglo XIX estudioacute modelos logiacutesticos de crecimiento para describir sistemas bioloacutegicos bajo condiciones de recursos limitados Considerando una poblacioacuten en panmixia de cierto tamantildeo y un nuacutemero de copias del mejor individuo en un tiempo discreto dado por la tasa de crecimiento se expresa a traveacutes del siguiente modelo de recurrencia discreto

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t - 1 right) + p_s tamPob N left(t-1right) left(1 - left(frac1tamPobright) N left(t-1right)right)endaligned$$

donde es la probabilidad de seleccioacuten de un individuo y se puede aproximar por la ecuacioacuten logiacutestica continua

donde es la probabilidad Aunque se obtienen curvas de crecimiento similares el comportamiento en poblaciones estructuradas o descentralizadas no es exponencial sino polinomial como fue sugerido por Spiessen y Manderick in De este modo las caracteriacutesticas estructurales necesitan considerarse en el modelo matemaacutetico de la tasa de crecimiento para AG celulares Si se evaluacutea un caso liacutemite donde el mejor individuo dentro del vecindario se selecciona siempre para reemplazar al individuo actual o central (al vecindario) es decir

tamPobt N(t)

ps N(t)

N(t) =tamPob

1 + ( tamPobN(0) minus 1)eminusαt

α ps

ps = 1

y se define un tamantildeo de poblacioacuten donde determina una topologiacutea de malla cuadrada y un vecindario local con radio La tasa de crecimiento del mejor individuo estaacute dada por

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4r^2t - 2rleft( r+1 right) quad 0 leq t leq fracleft(sqrttamPob-1right)2

N left( t right) = N left( t-1 right) - 4r^2t + 4r sqrttamPob - 2rleft(r+1right) quad t geq fracleft(sqrttamPob-1right)2 notagendaligned$$

que en su forma cerrada queda como

$$beginaligned

N left( t right) = 2r^2t^2 + 2r left(2r + 1 right)t + 1 quad 0 leq t leq fracleft(sqrttamPob-1right)2

N left( t right) = -2r^2t^2 + 2rleft(2sqrttamPob - 3r - 1 right)t + 1 quad t geq fracleft(sqrttamPob-1right)2 notagendaligned$$

En la figura 5 se ilustra la razoacuten de crecimiento para una poblacioacuten de individuos con un vecindario local tipo ver figura 4

Tasa de crecimiento teoacuterica en una topologiacutea de malla toroidal cuadrada y un vecindario local tipo Moore con probabilidad de seleccioacuten

Si se considera la probabilidad variable y cada individuo tiene probabilidades de seleccioacuten distintas probabilidad para el individuo central y para cada individuo dentro de un vecindario tipo El modelado de la recurrencia exacta se vuelve muy complicado Para poder construir un modelo completo se recurre a modelos maacutes simples en donde la tasa de crecimiento se describe como la expansioacuten de un cuadrado rotado con una

tamPob tamPob times tamPobr

81C9

ps = 1

psp0 p1 p2 p3 p4 p8

C9

longitud por lado de y diagonal La tasa de crecimiento de los

individuos con probabilidad variable contenidos dentro del cuadrado rotado estaacute dada por la siguiente recurrencia

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4p_i sqrtfracNleft(t-1right)2 quad N left( t right) leq fractamPob2

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4p_i sqrttamPob - N left( t-1 right) quad N left( t right) gt fractamPob2 notagendaligned$$

Encontrar una forma cerrada de este modelo es una tarea complicada de acuerdo a autores reconocidos del aacuterea En la figura 6 se muestra la tasa de crecimiento probabilista como ejemplo de la dificultad que representa su modelado matemaacutetico

Tasa de crecimiento probabilista para una topologiacutea de malla toroidal cuadrada con vecindario local y probabilidad de seleccioacuten variable

Anaacutelisis empiacuterico

Es posible tener una aproximacioacuten empiacuterica del tiempo para el dominio de la topologiacutea de malla A continuacioacuten se presenta un ejemplo utilizando como meacutetodo de seleccioacuten local torneo binario y ejecuciones por configuracioacuten fueron evaluadas En la figura [figL5_growthRates] se muestran las distintas tasas de crecimiento para la conquista de la malla considerando un tamantildeo de la poblacioacuten de individuos con las siguientes formas de topologiacutea de malla 1)

cuadrada 2) rectangular y 3) lineal La diferencia entre los

tiempos de dominio es evidente Topologiacuteas de malla lineales proveen una difusioacuten maacutes lenta del

s = N(t) d =N(t)

2pi

ps

50

400

400 times 400 10 times40010

4 times400

4

mejor individuo para conquistar la malla y por ende menor presioacuten de seleccioacuten y un comportamiento principalmente explorativo Por otro lado en topologiacuteas de malla cuadradas la solucioacuten del mejor individuo conquista la malla raacutepidamente en un nuacutemero menor de generaciones Es decir tiene un comportamiento con alta presioacuten de seleccioacuten y por ende una buacutesqueda caracterizada por una mayor explotacioacuten del espacio de buacutesqueda Desde este punto de vista se ha investigado tambieacuten la posibilidad de modificacioacuten dinaacutemica de las propiedades estructurales en tiempo de buacutesqueda Se han reportado mejores desempentildeos algoriacutetmicos bajo estos criterios

Tasas de crecimiento promedio del mejor individuo en topologiacuteas de malla cuadrada rectangular y lineal con vecindario La tasa promedio de crecimiento se calcula con base en 50 experimentos y aplicando uacutenicamente el operador de seleccioacuten

[figL5_growthRates]

Aceleracioacuten en AGP Un tema controversial en AGPs son las aceleraciones que esquemas distribuidos y celulares pueden alcanzar El caacutelculo teoacuterico de estas aceleraciones es una medida aceptada para determinar su eficiencia Calcular la razoacuten entre el tiempo promedio de ejecucioacuten de la mejor versioacuten secuencial de un AG y otra teacutecnica de buacutesqueda no evolutiva con respecto al tiempo

L5

promedio de ejecucioacuten de un AG paralelo corriendo en un determinado nuacutemero de procesadores proporciona la aceleracioacuten alcanzada por este uacuteltimo Aceleraciones sub-lineales indican que esta razoacuten es menor que el nuacutemero de procesadores utilizados en la ejecucioacuten del AGP Aceleraciones lineales indican que esta relacioacuten es igual mientras aceleraciones super-lineales indican que la razoacuten es mayor que el nuacutemero de procesadores utilizados

Un medida estricta para medir las aceleraciones de los AGPs involucrariacutea una comparacioacuten con la mejor versioacuten secuencial de un AG lo cual es difiacutecil de determinar Considerar el desempentildeo de un AG secuencial como referencia en conjunto con una condicioacuten de paro que evaluacutee la misma calidad de soluciones en todas las muestras experimentales podriacutea permitir una comparacioacuten justa en teacuterminos de aceleracioacuten entre esquemas paralelos y secuenciales

Los AGPs tienen tres caracteriacutesticas que permiten su aceleracioacuten 1) dividir el espacio de buacutesqueda en diversas aacutereas de exploracioacuten implementadas en distintas unidades de procesamiento 2) reducir la carga de procesamiento por medio de la distribucioacuten de la poblacioacuten en un nuacutemero de unidades de procesamiento y 3) operadores geneacuteticos aplicados a estructuras de datos reducidas

Al analizar comparativamente las tasas de aceleracioacuten de los AG distribuidos con sub-poblaciones en panmixia en comparacioacuten con el desempentildeo de un AG secuencial las aceleraciones calculadas resultan excesivas Sin embargo cuando se considera la distribucioacuten de las sub-poblaciones en un nuacutemero de unidades de procesamiento las tasas de aceleracioacuten son moderadas

Una de las caracteriacutesticas maacutes importantes en los AGPs es el operador de migracioacuten Analizar el comportamiento de este operador bajo distintos criterios como la sincroniacutea o asincroniacutea de migrar individuos entre las sub-poblaciones afecta directamente el desempentildeo de la buacutesqueda Entre los comportamientos con importancia significativa se ha observado que utilizar bajas frecuencias de migracioacuten en combinacioacuten con una comunicacioacuten asiacutencrona entre sub-poblaciones permite una mayor aceleracioacuten Este resultado considera sub-poblaciones en panmixia con la misma configuracioacuten de paraacutemetros

Concepto de sincronismo en AGPs En los AGPs tanto distribuidos como celulares el concepto de sincroniacutea aplica de forma distinta En un AGP distribuido el operador de migracioacuten estaacute directamente relacionado con la comunicacioacuten entre sub-poblaciones y por ende la sincroniacutea con que eacutesta ocurre Por otro lado en AGP de grano fino o celulares la sincroniacutea estaacute relacionada con la actualizacioacuten de soluciones durante el proceso evolutivo Esto se explica a continuacioacuten a mayor detalle

En AGPs distribuidos viacutea migracioacuten

Varios autores han investigado el efecto del sincronismo a traveacutes de la migracioacuten de individuos entre sub-poblaciones Se han considerado varios escenarios tales como tener un conjunto de sub-poblaciones en panmixia y tener sub-poblaciones descentralizadas un tercer escenario que se ha considerado es tener una combinacioacuten de sub-poblaciones en panmixia y descentralizadas Los tres esquemas han sido evaluados no soacutelo a nivel algoriacutetmico sino de implementacioacuten en plataformas de coacutemputo para procesamiento paralelo

Utilizando un esquema de procesamiento de instrucciones muacuteltiples - datos muacuteltiples con un esquema homogeacuteneo de sub-poblaciones se verificoacute el comportamiento de distintas frecuencias de migracioacuten definidas como muacuteltiplos del tamantildeo de la poblacioacuten Esto representa que la migracioacuten es nula cuando la frecuencia es cero lo que implica que la evolucioacuten es independiente de las sub-poblaciones Localmente los operadores geneacuteticos fueron configurados de la misma forma En general los resultados mostraron un mejor desempentildeo cuando la comunicacioacuten entre sub-poblaciones es asiacutencrona y la frecuencia de migracioacuten es baja En este sentido el tener sub-poblaciones descentralizadas permite una mejor eficacia que cuando se tienen sub-poblaciones en panmixia Las tasas de aceleracioacuten tambieacuten se analizaron Bajas frecuencias de migracioacuten reportaron aceleraciones lineales para sub-poblaciones descentralizadas y super-lineales para sub-poblaciones en panmixia

Se ha podido verificar el funcionamiento de los AGPs ampliando la gama de problemas de prueba a aquellos del dominio continuo El uso de un esquema paralelo distribuido con sub-poblaciones en panmixia y un ciclo evolutivo de estado estable donde solamente una solucioacuten se actualiza en cada generacioacuten logroacute obtener soluciones de mejor calidad Ademaacutes de la influencia de la frecuencia con la que se ejecuta la operacioacuten de migracioacuten la seleccioacuten aleatoria de individuos migrantes demostroacute tambieacuten un mejor desempentildeo que la seleccioacuten de los mejores individuos para migrar El mejor desempentildeo continuacutea siendo a partir de la aplicacioacuten de frecuencias de migracioacuten bajas ahora en combinacioacuten con la seleccioacuten aleatoria de soluciones para migrar En problemas de optimizacioacuten en el dominio continuo con oacuteptimos locales engantildeosos en sus espacios de buacutesqueda los esquemas de sub-poblaciones descentralizadas superaron el desempentildeo de aquellos con sub-poblaciones en panmixia ademaacutes de responder mejor a frecuencias de migracioacuten altas Las tasas de aceleracioacuten tambieacuten se relacionan con la operacioacuten de la migracioacuten a frecuencias de migracioacuten alta se obtienen mayores tasas de aceleracioacuten en ambos esquemas poblacionales

Es posible tambieacuten considerar un esquema de AGPs con sub-poblaciones tanto en panmixia como descentralizadas utilizando un esquema de coacutemputo heterogeacuteneo distribuido Las tasas de

aceleracioacuten que se alcanzan en estos caso son super-lineales viacutea el esquema sub-poblacional mixto

En AGP celulares viacutea criterios de actualizacioacuten

En los AGPs de grano fino o celulares el concepto de sincronismo se asocia a los criterios de actualizacioacuten de las soluciones Se consideran diversos escenarios como son 1) barrido liacutenea a liacutenea 2) barrido fijo aleatorio 3) barrido aleatorio 4) seleccioacuten uniforme Cada unos de estos criterios de actualizacioacuten de soluciones se puede ejecutar de manera siacutencrona o asiacutencrona La actualizacioacuten siacutencrona se refiere a que la poblacioacuten completa se genera a partir de los individuos actuales En contraste la actualizacioacuten asiacutencrona quiere decir que los individuos se actualizan despueacutes de su proceso evolutivo a nivel local entonces los individuos en una generacioacuten han evolucionado de hijos generados durante esta

El barrido liacutenea a liacutenea es la forma maacutes sencilla de actualizar soluciones en una topologiacutea de malla con conexioacuten toroidal Haciendo el barrido secuencial de ubicacioacuten de las soluciones por liacutenea o por columna se ejecuta la actualizacioacuten de estas El barrido aleatorio fijo consiste en elegir de forma aleatoria una solucioacuten sin reemplazo con una probabilidad uniforme En cada generacioacuten se determina una distribucioacuten diferente para la actualizacioacuten de los individuos La actualizacioacuten uniforme elige de forma aleatoria con una probabilidad uniforme una solucioacuten con reemplazo Esto quiere decir que una solucioacuten puede ser actualizada maacutes de una vez en un mismo ciclo reproductivo

Tambieacuten se ha buscado modelar formalmente el comportamiento de los distintos criterios de actualizacioacuten de soluciones considerando ambos criterios de sincronismo Los criterios siacutencronos de actualizacioacuten presentan menores tasas de crecimiento de la mejor solucioacuten en la topologiacutea de malla Es decir la buacutesqueda se ejecuta promoviendo la exploracioacuten cuando se sigue un criterio de actualizacioacuten uniforme Aplicar un barrido aleatorio o lineal para la actualizacioacuten de soluciones representa tasas maacutes altas de crecimiento pero no alcanza a aquellas de las poblaciones en panmixia La principal caracteriacutestica que se aprecia es que las poblaciones en panmixia promueven la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda en mayor grado que los AGPs descentralizados o celulares

Finalmente se puede concluir despueacutes de la evaluacioacuten de los criterios siacutencronos y asiacutencronos en una variedad de problemas de optimizacioacuten combinatorios y del dominio continuo que la actualizacioacuten asiacutencrona de soluciones mejora el desempentildeo algoriacutetmico en teacuterminos de eficiencia y eficacia en comparacioacuten con el criterio asiacutencrono en teacuterminos del nuacutemero de generaciones necesarias para converger a la solucioacuten del problema

Discusioacuten En este capiacutetulo se presentaron los distintos esquemas poblaciones que se consideran en la paralelizacioacuten de los AGs Se introdujo el principal operador que distingue a estos esquemas evolutivos el operador de migracioacuten y su efecto en los procesos de buacutesqueda Tambieacuten se introdujeron de manera detallada los esquemas paralelos de AGs de grano fino o celulares y la manera en que las caracteriacutesticas estructurales de estos pueden afectar directamente la exploracioacuten y explotacioacuten del espacio de buacutesqueda Se abordoacute tambieacuten el tema de las aceleraciones que se pueden alcanzar viacutea la paralelizacioacuten de grano fino y grueso de los AGPs Este anaacutelisis incluye los escenarios teoacutericos y reales de las tasas de aceleracioacuten que se pueden alcanzar Finalmente se revisoacute el concepto de sincronismo en ambos esquemas de paralelizacioacuten el cual se observoacute que afecta de manera positiva el desempentildeo algoriacutetmico

Los esquemas paralelos de los algoritmos geneacuteticos permiten obtener un mejor desempentildeo de los procesos de buacutesqueda Sin embargo se debe considerar una serie de paraacutemetros que se necesitan definir y que requeriraacuten la intervencioacuten de un usuario Es importante destacar tambieacuten que la mejora en el desempentildeo se puede apreciar tanto a nivel algoriacutetmico como a nivel de procesamiento Es necesario tambieacuten indicar que la seleccioacuten de la plataforma de coacutemputo paralelo ya sea distribuida o no implicaraacute costos de comunicacioacuten que deben ser considerados para las tasas de aceleracioacuten que se pretendan alcanzar

Investigacioacuten de AGPs en Meacutexico En Meacutexico investigadoras e investigadores en distintas instituciones y centros de investigacioacuten se han dado a la tarea de explorar esquemas evolutivos que utilizan AGPs Por ejemplo esquemas de AGPs de grano fino para solucionar problemas de optimizacioacuten mono-objetivo sin restricciones y problemas combinatorios han sido desarrollados en El objetivo en esos trabajos es el estudio del efecto de las caracteriacutesticas estructurales en las topologiacuteas de poblacioacuten descentralizadas utilizando mallas conectadas de forma toroidal Distintos criterios fueron definidos para modificar en tiempo de buacutesqueda la forma de la topologiacutea y sin incrementar el costo computacional verificar la mejora del desempentildeo algoriacutetmico al evaluar una cama prueba con problemas mono-objetivo sin restricciones y combinatorios Los resultados obtenidos fueron alentadores y a partir de estos se extendioacute el estudio de las propiedades estructurales a manipular tambieacuten la dimensioacuten de la topologiacutea de malla y modificarla en tiempo de buacutesqueda resultados positivos de este estudio fueron reportados en

Debido al costo computacional de los AGs en general la aceleracioacuten de estos utilizando plataformas de coacutemputo especializadas ha sido un aacuterea de investigacioacuten tambieacuten desarrollada en Meacutexico Particularmente el disentildeo e implementacioacuten de un arreglo de procesadores flexible para

la aceleracioacuten de los AGs celulares utilizando dispositivos reconfigurables conocidos como arreglos de compuertas programables en el campo (FPGAs por sus siglas en Ingleacutes) se reportoacute en Este trabajo presenta una forma novedosa de dividir a la poblacioacuten descentralizada en un nuacutemero determinado de unidades de procesamiento especialmente disentildeadas para operadores evolutivos manteniendo las conexiones toroidales entre soluciones La flexibilidad del disentildeo consiste en poder definir de acuerdo a las necesidades de usuario el nuacutemero de unidades de procesamiento De este modo un nuacutemero mayor de unidades de procesamiento permitiraacute acelerar la ejecucioacuten del algoritmo y un nuacutemero menor de estas permitiraacute reducir el uso de recursos de hardware

En el aacutembito de la optimizacioacuten multi-objetivo desde la perspectiva del coacutemputo evolutivo utilizando esquemas poblacionales paralelos investigadores en Meacutexico han desarrollado un esquema con base en algoritmos geneacuteticos utilizando muacuteltiples resoluciones La propuesta algoriacutetmica llamada Algoritmo geneacutetico multi-objetivo con resolucioacuten muacuteltiple (MRMOGA por sus siglas en Ingleacutes) consiste de un conjunto de sub-poblaciones las cuales a nivel representacioacuten de soluciones evolucionan con resoluciones distintas lo cual implica la divisioacuten del espacio de buacutesqueda en regiones acotadas y traslapadas El desempentildeo alcanzado por MRMOGA supera los resultados reportados en esquemas evolutivos paralelos en teacuterminos de convergencia y evidencia la necesidad de profundizar el estudio de la escalabilidad de esquemas evolutivos paralelos

Para saber maacutes Dentro de la comunidad cientiacutefica dedicada a la investigacioacuten en las aacutereas de las teacutecnicas algoriacutetmicas evolutivas que desarrollan el concepto de paralelismo se han generado recursos bibliograacuteficos diversos de entre los cuales destacan

bull Algoritmos geneacuteticos paralelos por Gabriel Luque y Enrique Alba

bull Algoritmos evolutivos estructurados espacialmente por Marco Tomassini

bull Algoritmos geneacuteticos celulares por Bernabeacute Dorronsoro y Enrique Alba

bull Algoritmos geneacuteticos paralelos eficientes y precisos por Erick Cantuacute-Paz

Por otro lado entre los grupos de investigacioacuten que se desarrollan en el aacuterea destaca el liderado por el investigador Enrique Alba de la Universidad de Maacutelaga en Espantildea quien en colaboracioacuten con otros investigadores y estudiantes a puesto a disposicioacuten una serie de recursos relacionados en En particular en la seccioacuten de software se encuentran disponibles herramientas para el

disentildeo e implementacioacuten de algoritmos evolutivos paralelos tanto de grano grueso como de grano fino

Programacioacuten Geneacutetica Mario Graff

Daniela Moctezuma

Eric S Tellez

Sabino Miranda-Jimeacutenez

INFOTEC Centro de Investigacioacuten e Innovacioacuten en Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten Circuito Tecnopolo Sur No 112 Fracc Tecnopolo Pocitos II Aguascalientes

20313 Meacutexico CentroGEO Centro de Investigacioacuten en Ciencias de Informacioacuten Geoespacial Circuito

Tecnopolo Norte No 117 Col Tecnopolo Pocitos II CP Aguascalientes Ags 20313 Meacutexico CONACyT Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologiacutea Direccioacuten de Caacutetedras Insurgentes Sur

1582 Creacutedito Constructor Ciudad de Meacutexico 03940 Meacutexico

Introduccioacuten En este capiacutetulo se presenta una introduccioacuten a Programacioacuten Geneacutetica (PG) asiacute como la descripcioacuten de cada uno de los aspectos que la comprenden las perspectivas de este campo y las aacutereas donde se ha aplicado en Meacutexico PG es un algoritmo de buacutesqueda inspirado en los principios de la evolucioacuten de las especies de Charles Darwin (ver ) Particularmente PG engloba a un conjunto de teacutecnicas de coacutemputo evolutivo las cuales tienen como objetivo solucionar automaacuteticamente problemas partiendo de ejemplos del problema por resolver a traveacutes de expresiones evaluables o programas

La Programacioacuten Geneacutetica ha sido ampliamente utilizada en diferentes dominios siendo capaz de resolver una gran variedad de problemas de alta complejidad muchas veces mejorando las soluciones encontradas por humanos Por ejemplo en la competencia ndashldquoHumies rdquo celebrada 2

anualmente en el marco de la Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO) la cual premia sistemas bio-inspirados que mejoran las soluciones encontradas por humanos a problemas difiacuteciles mdashdesde 2004 y hasta 2017 PG ha sido galardonada con 8 medallas de oro 5 de plata y 1 de bronce En particular en esta competencia y utlizando PG Meacutexico ha obtenido

13

12

13

13

1

2

3

httpwwwhuman-competitiveorg2

Indice general

Proacutelogo 5

Introduccioacuten 13

El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial 15

Mutacioacuten 16

Cruza 18

Seleccioacuten 20

Estructura del Algoritmo 20

Modificaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial 21

Ajuste de paraacutemetros globales 22

Ajuste de paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten 23

Ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten 26

Combinacioacuten de variantes 27

Evolucioacuten Diferencial para otros tipos de problemas 29

DE en Meacutexico 30

Conclusiones 30

Para saber maacutes 31

Introduccioacuten 32

AGds homogeacuteneos y heterogeacuteneos 35

Migracioacuten en AGPs 37

AGs celulares o de grano fino 39

Explotacioacutenexploracioacuten por propiedades estructurales 40

Presioacuten de seleccioacuten por caracteriacutesticas estructurales 43

Anaacutelisis empiacuterico 45

Aceleracioacuten en AGP 46

Concepto de sincronismo en AGPs 47

En AGPs distribuidos viacutea migracioacuten 48

En AGP celulares viacutea criterios de actualizacioacuten 49

Discusioacuten 50

Investigacioacuten de AGPs en Meacutexico 50

Para saber maacutes 51

Introduccioacuten 53

Proceso evolutivo 55

Representacioacuten 56

Poblacioacuten inicial 58

Operadores Geneacuteticos 59

Recombinacioacuten 59

Mutacioacuten 60

Seleccioacuten 61

Espacio de buacutesqueda 62

Conclusiones 63

Para saber maacutes 63

Introduccioacuten 64

Preservacioacuten de diversidad en algoritmos evolutivos 67

Clasificaciones de mecanismos para promover la diversidad 67

Esquemas claacutesicos para administrar la diversidad 68

Esquemas de reemplazamiento basados en diversidad 69

Diversidad en evolucioacuten diferencial 71

Disentildeo de evolucioacuten diferencial basado en diversidad 72

Evolucioacuten diferencial Conceptos baacutesicos 72

Inicializacioacuten 72

Operador de mutacioacuten 72

Operador de cruza 73

Operador de seleccioacuten 73

Propuesta basada en diversidad 74

Resultados de de-edm 77

Disentildeo de operadores de cruza basados en diversidad 87

Algoritmos evolutivos multi-objetivo 87

Operadores de cruza 89

El operador de cruza basado en simulacioacuten binaria - SBX 89

Implementacioacuten y anaacutelisis del operador sbx 90

Propuesta - dsbx 92

Resultados 93

Anaacutelisis de cada modificacioacuten en el operador sbx 95

Modificacioacuten simultaacutenea de varios componentes 96

Conclusiones y trabajo futuro 97

Para saber maacutes 98

Agradeciemientos 99

Introduccioacuten 100

Fundamentos de las Hiper-heuriacutesticas 102

Hiper-heuriacutesticas que seleccionan heuriacutesticas 103

Hiper-heuriacutesticas que generan nuevas heuriacutesticas 105

Modelos de Hiper-heuriacutesticas 106

Modelos Evolutivos 106

Hiper-Heuriacutesticas basadas en Algoritmos Geneacuteticos 106

Hiper-Heuriacutesticas basadas en Programacioacuten Geneacutetica 107

Modelos Neuronales 109

Un ejemplo 109

El problema 110

Las alternativas 110

La informacioacuten del problema 111

Nuestra primer hiper-heuriacutestica 112

Otras hiper-heuriacutesticas 112

Las hiper-heuriacutesticas como un problema de optimizacioacuten 113

Aspectos Avanzados de las Hiper-heuriacutesticas 115

Hiacuteper-heuriacutesticas para Problemas Multi-objetivo 115

Transformacioacuten de Caracteriacutesticas en Hiper-heuriacutesticas 117

Tendencias Futuras de Hiper-heuriacutesticas 119

Para saber maacutes 121

Conclusiones 122

Evolucioacuten Diferencial una breve introduccioacuten Rafael Rivera Loacutepez

Efreacuten Mezura Montes

En este capiacutetulo se hace una descripcioacuten general del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Este tipo de algoritmo evolutivo representa una excelente alternativa para encontrar soluciones cercanas al oacuteptimo a problemas de optimizacioacuten continua complejos Debido a la simplicidad de su implementacioacuten y sus excelentes habilidades de exploracioacuten y explotacioacuten diversas variantes de este algoritmo se han aplicado para resolver problemas con diferentes caracteriacutesticas En este capiacutetulo se describen los elementos baacutesicos del algoritmo asiacute como las diferentes variantes que se han desarrollado para mejorar su desempentildeo

Introduccioacuten Con el nombre de algoritmos evolutivos se identifica a un grupo de procedimientos que se utilizan para resolver muchos problemas praacutecticos y que se distinguen de otras teacutecnicas porque estaacuten inspirados en las teoriacuteas que sintetizan la evolucioacuten Darwiniana y la herencia geneacutetica descrita por Mendel Los algoritmos evolutivos han probado ser herramientas poderosas para encontrar soluciones aceptables a problemas donde otras teacutecnicas fallan o consumen una excesiva cantidad de tiempo Estos algoritmos se destacan por combinar exitosamente dos mecanismos de buacutesqueda exploracioacuten y explotacioacuten La exploracioacuten permite identificar aacutereas prometedoras del espacio de buacutesqueda y la explotacioacuten lleva a cabo una buacutesqueda especializada dentro de estas aacutereas para encontrar soluciones cercanas al oacuteptimo Su aplicacioacuten se extiende en praacutecticamente todas las aacutereas de la actividad humana como por ejemplo en salud educacioacuten ciencias industria economiacutea y defensa Los algoritmos evolutivos tambieacuten han sido utilizados en aacutereas emergentes como la ciencia de datos la inteligencia de negocios y el big data En estos algoritmos un conjunto de soluciones candidatas evoluciona para alcanzar una solucioacuten cercana al oacuteptimo por la aplicacioacuten de procedimientos que permiten recombinar y alterar sus valores En la jerga de los especialistas del aacuterea una solucioacuten candidata se conoce como individuo al conjunto de soluciones se denomina poblacioacuten y los procedimientos involucrados en el proceso evolutivo se identifican como operadores de seleccioacuten cruzamiento y mutacioacuten Comuacutenmente dos individuos son seleccionados y sus valores son recombinados y algunas veces mutados para crear nuevas soluciones candidatas Los nuevos individuos son considerados parte de una nueva poblacioacuten que sustituye a la anterior Entonces una secuencia de nuevas poblaciones son creadas hasta que una condicioacuten de teacutermino es alcanzada y la mejor solucioacuten de

las uacuteltima poblacioacuten es seleccionada como resultado del algoritmo Este proceso evolutivo es guiado por una funcioacuten de aptitud que determina la calidad de cada individuo en la poblacioacuten La figura 1 muestra el esquema general de un algoritmo evolutivo

Esquema general de un algoritmo evolutivo

A lo largo de su desarrollo histoacuterico varios tipos de algoritmos evolutivos han sido implementados difiriendo en la forma de representar a sus individuos y en la implementacioacuten de sus operadores geneacuteticos Auacuten cuando en los antildeos 50 varios autores introducen los teacuterminos evolucioacuten y proceso evolutivo en sus propuestas para resolver diversos problemas es en los antildeos 60 cuando se sientan las bases del desarrollo de los algoritmos evolutivos con la introduccioacuten de tres teacutecnicas la Programacioacuten Evolutiva las Estrategias Evolutivas y los Algoritmos Geneacuteticos Fogel propone en 1962 la Programacioacuten Evolutiva donde las soluciones candidatas se representan con maacutequinas de estados finitos y Rechenberg y Schwefel en 1965 desarrollan las Estrategias Evolutivas que codifican sus individuos con vectores de nuacutemeros reales Los Algoritmos Geneacuteticos introducidos en 1962 por Holland son sin duda el tipo de algoritmo evolutivo maacutes popular Estos algoritmos tradicionalmente utilizan una cadena binaria para representar a sus individuos aunque tambieacuten se han utilizado cadenas de enteros y secuencias de nuacutemeros reales Desarrollos posteriores a estas teacutecnicas han aportado al eacutexito de los algoritmos evolutivos destacaacutendose la Programacioacuten Geneacutetica los Algoritmos Coevolutivos los Algoritmos Culturales el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial los Algoritmos de Estimacioacuten de Distribuciones la Evolucioacuten Gramatical y la Programacioacuten de Expresioacuten de Genes Cada uno de estos algoritmos tienen sus ventajas y sus propios desafiacuteos y han sido utilizados para resolver diferentes tipos de problemas La figura 2 muestra un esquema del desarrollo histoacuterico de los

algoritmos evolutivos En particular el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial ha demostrado ser muy competitivo y exitoso para resolver problemas numeacutericos complejos en comparacioacuten con otros algoritmos

Liacutenea del tiempo del desarrollo de los algoritmos evolutivos

El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Evolucioacuten Diferencial (DE por sus siglas en ingleacutes) es un tipo de algoritmo evolutivo que fue originalmente disentildeado por Storn y Price en 1995 para resolver problemas de optimizacioacuten continua En particular en este algoritmo cada individuo usualmente se representa con un vector de valores continuos de paraacutemetros Ademaacutes en lugar de implementar los operadores de cruza y mutacioacuten tradicionales el algoritmo crea cada nuevo individuo con una combinacioacuten lineal de los valores de dos o maacutes individuos de la poblacioacuten actual que son seleccionados al azar La forma en que se implementan los operadores de cruza y mutacioacuten se ha utilizado en la literatura para identificar las diferentes variantes del algoritmo DEABC es la notacioacuten comuacutenmente usada para nombrar estas variantes donde A y B determinan el tipo de mutacioacuten implementado y C identifica el tipo de cruza implementado por la variante En particular A representa el procedimiento de seleccioacuten de los individuos para construir el individuo mutado y B es el nuacutemero de vectores diferencia usados para el operador de mutacioacuten DE puede considerarse un proceso de tres pasos que incluye una fase de inicializacioacuten el proceso evolutivo y el paso final que determina el resultado obtenido La fase de inicializacioacuten involucra la seleccioacuten y evaluacioacuten de un grupo de NP individuos que son generados aleatoriamente de un espacio de buacutesqueda finito los cuales se utilizan como poblacioacuten inicial del algoritmo conocido como Si para cada y son los valores miacutenimo y maacuteximo del -eacutesimo paraacutemetro en el valor del -eacutesimo individuo en la poblacioacuten inicial es determinado como sigue

x = (x1 x2 hellip xn) n

Ω sube ℝn

X0 j isin 1 hellip n xminj xmax

jj Ω xi

j i xi

donde es un nuacutemero aleatorio uniformemente distribuido dentro del rango El proceso evolutivo implementa un esquema iterativo para evolucionar la poblacioacuten inicial En cada iteracioacuten de este proceso conocido como una generacioacuten una nueva poblacioacuten de individuos es generada utilizando informacioacuten de la poblacioacuten previamente creada A diferencia de otros algoritmos evolutivos el orden de aplicacioacuten de los operadores geneacuteticos en el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial es diferente Primero se aplica la mutacioacuten despueacutes la cruza y al final se lleva a cabo la seleccioacuten del mejor individuo Para cada en la generacioacuten es obtenido de la poblacioacuten y es utilizado para crear un nuevo vector aplicando los operadores de cruza y mutacioacuten Los vectores y son conocidos como el vector objetivo y el vector de prueba respectivamente Estos vectores son evaluados por el operador de seleccioacuten para actualizar la nueva poblacioacuten Los operadores de mutacioacuten cruza y seleccioacuten son descritos en detalle en los siguientes paacuterrafos En el paso final cuando una condicioacuten de paro es alcanzada el algoritmo devuelve el mejor individuo en la poblacioacuten actual La condicioacuten de paro maacutes comuacutenmente utilizada es comparar el nuacutemero de generaciones construidas contra un valor fijo pero otros criterios pueden ser implementados como aquellos descritos por Zielinski y Laur

Mutacioacuten Un vector mutado es construido al combinar los valores de varios individuos aleatoriamente seleccionados de El nuacutemero de individuos seleccionados para realizar la combinacioacuten depende del operador de mutacioacuten implementado por la variante del algoritmo En alguna de estas variantes el individuo con la mejor aptitud en la poblacioacuten es tambieacuten utilizado por el operador de mutacioacuten Entre los diferentes operadores de mutacioacuten descritos en la literatura destacan los siguientes

$$beginaligned

textDErand1quad v^i amp= x^r_1 + textF big( x^r_2 - x^r_3 big)labeleqmut_1

textDEbest1quad v^i amp= x^textbest + textF big( x^r_1 - x^r_2 big) labeleqmut_2

textDEcurrent-to-best1quad v^i amp= x^i + textF big( x^textbest - x^r_1big) + textF big( x^r_2 - x^r_3 big) labeleqmut_3

xij = xmin

j + r (xmaxj minus xmin

j )

r [0 1]

i isin 1 hellip NP g xi

Xgminus1 ui

xi ui

Xgω

vi xrj

Xgminus1

xbest Xgminus1

textDErand2quad v^i amp= x^r_1 + textF big( x^r_2 - x^r_3 big)+textF big( x^r_4 - x^r_5 big) labeleqmut_4

shortintertexty

textDEbest2quad v^i amp= x^textbest + textF big( x^r_1 - x^r_2 big )+ textF big( x^r_3 - x^r_4 big ) labeleqmut_5 endaligned$$

donde F es un valor definido por el usuario que representa un factor de escala aplicado para controlar la variacioacuten diferencial Storn y Price sentildealan que F puede fijarse entre 0 y 2 pero otros autores recomiendan valores entre 04 y 1 En la figura 3 se presenta un ejemplo de la aplicacioacuten del operador de mutacioacuten DErand1 En este ejemplo = = y = Usando F igual a 05 el vector mutado resultante es =

Ejemplo de la creacioacuten de un vector mutado con el esquema DErand1

La mutacioacuten aporta a las habilidades de explotacioacuten y exploracioacuten del meacutetodo Debido a que al inicio del proceso evolutivo los individuos se encuentran relativamente dispersos en el espacio

xr1 (1056 316) xr2

(253 903) xr3 (56 626) vi

(902 454)

de buacutesqueda la diferencia entre los vectores seleccionados es grande por lo que los vectores mutados pueden ubicarse en diferentes aacutereas del espacio de buacutesqueda pero a medida que el proceso evolutivo avanza las soluciones se vuelven maacutes cercanas y las diferencias entre ellos son maacutes pequentildeas lo que produce que los vectores mutados se encuentran concentrados en aacutereas promisorias del espacio de buacutesqueda

Cruza El operador de cruza se utiliza para combinar la informacioacuten entre el vector objetivo y el vector mutado para construir el vector de prueba Por cada o se seleccionan para construir usando un factor de cruza el cual es tambieacuten un valor especificado por el usuario Dos tipos de cruza se utilizan en este caso cruza binomial y cruza exponencial

Cruza binomial En este operador cada valor asignado a es seleccionado de o de comparando el valor CR con un valor seleccionado al azar Para garantizar que al menos un paraacutemetro de toma un valor de este operador utiliza un valor tambieacuten seleccionado al azar Formalmente la cruza binomial se define como

Tomando el vector mutado = del ejemplo de la figura 3 y un vector objetivo = en la figura 4 se muestra un ejemplo de la creacioacuten de un vector de prueba usando la cruza binomial El vector de prueba generado en este ejemplo es =

xr2 minus xr3

j isin 1 hellip n xij vi

jui CR isin [0 1]

ui vi xi

r isin [0 1] ui

vi l isin 1 hellip n

bin uij =

vij si r le CR or j = l

xij de otra forma

vi (902 454) xi

(406 766)ui (406 454)

Ejemplo de la creacioacuten de un vector de prueba usando la cruza binomial

Cruza exponencial Este operador de cruza asigna una secuencia de valores de a Los valores restantes que son asignados a son obtenidos de El tamantildeo de la secuencia se determina con dos valores 1) un iacutendice que representa la posicioacuten inicial de la secuencia en seleccionado aleatoriamente dentro del rango y 2) el nuacutemero de intentos consecutivos en los cuales determina la posicioacuten final de la secuencia como es definida en la Ec ([eqcr_exp]) La cruza exponencial es similar al operador de cruza de dos puntos introducido por Cavicchio

$$beginaligned

textexpquad u_j^i amp=

begincases

v_j^i amp textsi $ l leq j leq min (l+L-1n)$

vi ui

ui xi

l vi

1 hellip n L le n r le CR

x_j^i amp textde otra forma

endcases labeleqcr_expendaligned$$

Por ejemplo si se tienen dos vectores de cinco paraacutemetros = y = y se aplica el operador de cruza exponencial usando un factor de cruza de 06 entonces se debe obtener el valor de y despueacutes generar una secuencia de valores aleatorios para Si =2 y la secuencia de valores de es 06 03 04 y 06 y el vector de prueba que se construye es =

La cruza ayuda al algoritmo a mantener la diversidad de la poblacioacuten y eventualmente evitar que caiga en oacuteptimos locales El valor de CR es complicado de determinar pero algunos autores sentildealan que su valor puede ajustarse entre 03 y 09

Seleccioacuten Un torneo uno-a-uno es aplicado para determinar cual vector entre y es seleccionado como miembro de la nueva poblacioacuten Este esquema de seleccioacuten permite garantizar que el proceso evolutivo mantenga una mejora continua

Estructura del Algoritmo El Algoritmo [algDE] muestra la estructura de una implementacioacuten claacutesica del algoritmo Eacuteste requiere de tres paraacutemetros para controlar el proceso evolutivo (CR F y NP) y tambieacuten la seleccioacuten de un espacio de buacutesqueda para construir la poblacioacuten inicial y la definicioacuten del tamantildeo de individuo de una funcioacuten objetivo para evaluar cada individuo y de una condicioacuten de paro para finalizar el proceso evolutivo

Entrada Salida Un individuo generado aleatoriamente usando la Ec ([eqinicial]) Vector objetivo obtenido aleatoriamente de Vector mutado generado usando alguna de las Ecs ([eqmut_1])ndash([eqmut_5]) Vector de prueba construido usando alguna de las Ecs ([eqcr_bin])ndash([eqcr_exp])

DE tiene varias ventajas en comparacioacuten con otros algoritmos evolutivos como la simplicidad de su implementacioacuten su habilidad para producir mejores resultados que aquellos obtenidos por los demaacutes y su baja complejidad espacial

vi (24 36 12 78 02) xi

(34 96 12 52 31)l

r l rui (24 96 12 52 02)

xi ui

Xg

g larr 0 Xg larr xi larrXg larr Xg cup (i xi) g larr g + 1 Xg larr xi larr

Xgminus1 vi larrui larrXg larr Xg cup (i ui) Xg larr Xg cup (i xi) xbest

Modificaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial Aunque DE requiere de la definicioacuten de un nuacutemero menor de paraacutemetros en comparacioacuten con el nuacutemero de paraacutemetros requeridos por otros algoritmos evolutivos su desempentildeo es sensible a los valores seleccionados de CR F y NP Varios autores sentildealan que los valores adecuados para estos paraacutemetros pueden variar para diferentes problemas y es conocido que la definicioacuten de estos paraacutemetros depende de las caracteriacutesticas propias de cada problema Ademaacutes Lampinen y Zelinka sentildealan que este algoritmo puede presentar el problema de estancamiento debido a una incorrecta seleccioacuten de sus paraacutemetros El estancamiento en un algoritmo se presenta cuando eacuteste no converge a alguna solucioacuten y la poblacioacuten presenta una gran diversidad de individuos Por lo anterior la mayoriacutea de los estudios realizados para mejorar el desempentildeo del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial se relacionan con teacutecnicas para ajustar los valores de sus paraacutemetros (F CR y NP) y para combinar las ventajas de las diferentes variantes del algoritmo usando un subconjunto de ellas en lugar de solamente aplicar una variante En los siguientes paacuterrafos se describen las propuestas para mejorar el desempentildeo del algoritmo que se consideran los maacutes representativos en la literatura especializada Para simplificar su descripcioacuten estas propuestas se agrupan de acuerdo al criterio utilizado Ajuste de paraacutemetros y combinacioacuten de variantes Por un lado debido a que F y CR son los paraacutemetros del algoritmo maacutes estudiados y donde maacutes variantes de mejora han sido desarrolladas estos estudios se agrupan en enfoques que usan paraacutemetros globales y enfoques que usan paraacutemetros para cada individuo Adicionalmente se presentan los enfoques relacionados con el ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten y tambieacuten aquellos donde se modifica la forma que generar los vectores mutados dentro del proceso evolutivo La figura 5 presenta un esquema del desarrollo histoacuterico de estos enfoques

Liacutenea del tiempo de las modificaciones a DE

Ajuste de paraacutemetros globales En estos enfoques los operadores geneacuteticos utilizan los mismos valores para F y CR en todos los individuos de una misma poblacioacuten como se ilustra en la figura 6 Estos valores se actualizan al finalizar cada generacioacuten con el aacutenimo de mejorar las habilidades de exploracioacuten y explotacioacuten del algoritmo Dos enfoques se concentran en ajustar el valor de F manteniendo fijo el valor de CR En 2004 Ali y Toumlrn lo actualizan considerando la aptitud del mejor y del peor individuo en la poblacioacuten y Das et al en 2005 proponen dos enfoques para modificar su valor el primero lo modifica de forma aleatoria y el segundo reduce su valor de forma lineal conforme el proceso evolutivo avanza Por otro lado Liu y Lampinen en 2005 proponen un enfoque diferente al cual denominan FADE (Fuzzy Adaptive DE algorithm) En este algoritmo los valores de F y CR se ajustan usando un sistema de control loacutegico difuso El sistema utiliza las diferencias entre generaciones sucesivas tanto de los valores de los individuos como de sus valores de aptitud Finalmente Dra et al en 2015 proponen una versioacuten alternativa denominada SinDE (Sinusoidal DE) en donde los valores de F y CR se ajustan utilizando foacutermulas trigonomeacutetricas permitiendo cambiar la direccioacuten del vector diferencia dentro del operador de mutacioacuten

Esquema de ajuste de paraacutemetros globales del algoritmo

Ajuste de paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten En este tipo de algoritmos cada individuo de la poblacioacuten tiene asociado su propio conjunto de paraacutemetros como se muestra en la figura 7 Estos paraacutemetros se ajustan de forma independiente dentro del proceso evolutivo como se esquematiza en la figura 8

Paraacutemetros asociados a cada individuo de la poblacioacuten

En 2005 Omran et al asocian el valor de F a cada individuo de la poblacioacuten en su meacutetodo denominado SDE (self-adaptive DE) Este meacutetodo actualiza el valor de F combinando los valores de F de tres individuos de la poblacioacuten actual que son seleccionados aleatoriamente En 2006 Brest et al describen su meacutetodo denominado jDE donde los valores de F y CR se pueden modificar en cada iteracioacuten del proceso evolutivo basados en una decisioacuten estocaacutestica utilizando un par de umbrales previamente definidos En 2007 Zhang y Sanderson implementan un meacutetodo conocido como JADE donde F y CR son ajustados utilizando distribuciones normales independientes cuya media es calculada usando el promedio de los vectores mutados mejor adaptados en cada iteracioacuten En 2011 Ghosh et al actualizan los valores de estos paraacutemetros en base al valor de aptitud de los individuos en la poblacioacuten en un meacutetodo denominado FiADE (Fitness-Adaptive DE) Una versioacuten parecida es presentada en 2015 por Tang et al en el meacutetodo llamado IDE (DE with an individual-dependent mechanism) En 2011 Bi y Xiao describen el meacutetodo p-ADE (pbest vector-based self-adaptive DE variant) donde el vector mutado se crea usando el mejor individuo en la poblacioacuten y el mejor de los vectores que se utilizaron para crear al vector objetivo Los valores de F y CR de cada individuo son ajustados usando un factor asociado a las mejores y peores aptitudes de los individuos en la poblacioacuten En 2012 Islam et al introdujeron el meacutetodo llamado MDEpBX (modified DE with p-best crossover) donde se modifica la variante DEcurrent-to-best1 al utilizar el mejor elemento de un grupo de individuos seleccionados aleatoriamente de la poblacioacuten actual en lugar de usar el mejor individuo de la poblacioacuten Los valores de los paraacutemetros se ajustan en base a un par de distribuciones independientes que son actualizadas al final de cada generacioacuten En 2013 Tanabe y Fukunaga implementan el meacutetodo SHADE (Success-History based Adaptive DE) que basaacutendose en JADE actualiza los valores de F y CR usando una memoria de los vectores mutados que han sido exitosamente seleccionados previamente dentro del proceso evolutivo A partir de SHADE

varias versiones se han desarrollado como el meacutetodo L-convSHADE (SHADE using covariance matrix learning with Euclidean Neighborhood) y el meacutetodo LSHADE-SPA (LSHADE with semi parameter adaptation) En 2016 Leon y Xiong introducen una estrategia voraz para actualizar los valores de los paraacutemetros de cada individuo en el meacutetodo llamado GADE (Greedy Adaptive DE) Se utilizan los valores de los paraacutemetros de las soluciones vecinas para ajustar los paraacutemetros del nuevo vector mutado Finalmente Mohamed y Mohamed en 2017 proponen el meacutetodo denominado AGDE (Adaptive guided DE)

Esquema de ajuste de paraacutemetros para cada individuo de la poblacioacuten

Ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten En los enfoques descritos previamente solamente se ajustan los valores de F y CR manteniendo el tamantildeo de la poblacioacuten constante Diversos estudios indican que el tamantildeo de la poblacioacuten tambieacuten afecta al desempentildeo de un algoritmo evolutivo por lo que existen trabajos que se han centrado en ajustar el tamantildeo de la poblacioacuten para garantizar la convergencia del algoritmo Existen algunos enfoques donde se ajusta el tamantildeo de la poblacioacuten y se describiraacuten a continuacioacuten En la figura 9 se muestra el esquema general en que estos enfoques ajustan el tamantildeo de la poblacioacuten durante el proceso evolutivo

Esquema general del ajuste del tamantildeo de la poblacioacuten en DE

En 2006 Teo describe el meacutetodo DESAP (Differential Evolution with self-adapting populations) donde el tamantildeo de la poblacioacuten se ajusta usando un factor distribuido uniformemente entre 0 y 1 En 2008 Brest y Sepesy Maučec presentan el algoritmo dynNP-DE (DE con NP dinaacutemico) donde van reduciendo a la mitad el tamantildeo de la poblacioacuten conforme el proceso evolutivo progresa Utilizando el nuacutemero total de evaluaciones y un paraacutemetro que indica el nuacutemero de posibles reducciones el algoritmo establece en queacute generaciones el algoritmo reduciraacute el tamantildeo de la poblacioacuten En 2014 Tanabe y Fukunaga presentaron una versioacuten con ajuste de poblacioacuten del meacutetodo SHADE denominada L-SHADE donde se aplica una reduccioacuten lineal del tamantildeo de la poblacioacuten previo a una ordenacioacuten a los individuos por su aptitud que permite eliminar solo

los individuos peor adaptados En 2017 Bujok y Tvrdiacutek describen el meacutetodo IDEbd (IDE with Population Size Adaptation) en donde el tamantildeo de la poblacioacuten es adaptado usando un factor calculado en base al nivel de diversidad de la poblacioacuten actual

Combinacioacuten de variantes Debido a la forma de combinar los individuos para crear el vector de prueba de cada una de las variantes de DE estaacutes presentan diferentes capacidades de exploracioacuten y explotacioacuten ademaacutes de que son maacutes efectivas para diferentes tipos de problemas Por ejemplo la variante DErand1 es mejor para explorar el espacio de buacutesqueda pero tiene una velocidad de convergencia lenta y DEbest1 converge maacutes raacutepido hacia soluciones cercanas a la oacuteptima pero solo para problemas con un uacutenico oacuteptimo global (unimodales) Debido a que usar diferentes estrategias de mutacioacuten durante diferentes momentos del proceso evolutivo pueden ser mejor que usar una sola variante durante todo el proceso varios autores se han enfocado en desarrollar estrategias para combinar diferentes variantes de DE y lograr con esto que cooperen en la creacioacuten de un mejor vector objetivo La figura 10 muestra un esquema general de la forma en que se aplican estas estrategias dentro del algoritmo de Evolucioacuten Diferencial

Esquema general de la estrategia de combinacioacuten de variantes de DE

En 2005 Qin y Suganthan describieron una versioacuten conocida como SADE (Self-Adaptive DE algorithm for numerical optimization) donde introducen un esquema que selecciona de forma alternada una de dos variantes del algoritmo de acuerdo a su tasa de eacutexito dentro del proceso evolutivo En 2009 Das et al presentaron el meacutetodo llamado DEGL (DE with Global and Local Neighborhoods) donde cada nuevo vector mutado se crea combinando dos vectores uno construido usando una vecindad del vector objetivo (vector local) y otro creado usando el mejor

individuo de la poblacioacuten (vector global) En 2011 Mallipeddi et al asignaron a cada individuo de la poblacioacuten el tipo de variante para generar el vector mutado y los valores para F y CR en el meacutetodo EPSDE (Ensemble of mutation strategies and parameters in DE) Tanto el tipo de variante como los valores de los paraacutemetros se escogen aleatoriamente de un grupo de ellos que es previamente definido Dependiendo del eacutexito de la aplicacioacuten de dichos valores eacutestos se pueden cambiar durante el proceso evolutivo Tambieacuten en ese mismo antildeo Wang et al en su meacutetodo CoDE (Composite DE) crean tres vectores para cada vector objetivo Cada vector es construido usando variantes diferentes y con paraacutemetros generados aleatoriamente El mejor de los tres vectores se usa como vector de prueba para aplicar el operador de seleccioacuten Adicionalmente Zhao et al implementaron un meacutetodo muy similar denominado SaDE-MMTS (SaDE with a modified multi-trajectory search) donde el vector mutado se selecciona de entre los vectores generados por tres diferentes variantes del algoritmo pero la seleccioacuten se hace en base a una probabilidad que iterativamente se ajusta en base a la cantidad de vectores mutados que son exitosamente seleccionados En 2017 Ghosh et al propusieron el meacutetodo NRDE (Noise Resilient DE) donde cada individuo puede ser mutado por alguna de dos variantes con igual probabilidad Los valores de F y CR son ajustados para cada individuo basado en un rango preestablecido previamente

Evolucioacuten Diferencial para otros tipos de problemas Aunque DE fue definido originalmente para resolver problemas de optimizacioacuten continua sin restricciones tambieacuten se ha utilizado con eacutexito para resolver otros tipos de problemas como aquellos donde los valores de las variables del problema son discretos donde el espacio de buacutesqueda estaacute limitado por una o maacutes restricciones y aquellos donde se manejan dos o mas objetivos Prado et al describe varias adaptaciones al algoritmo de Evolucioacuten Diferencial para problemas de optimizacioacuten combinatoria como aquellos que implementan una matriz de permutacioacuten los que obtienen una secuencia ordenada de valores y los que aplican una transformacioacuten de los valores continuos al espacio discreto En el caso de los problemas de optimizacioacuten con restricciones Mezura-Montes et al describen varios enfoques que se han utilizado para aplicar DE en este tipo de problemas como aquellos que utilizan teacutecnicas para eliminar o reparar soluciones infactibles y los que implementan teacutecnicas de penalizacioacuten Finalmente para problemas de optimizacioacuten multi-objetivo Mezura-Montes et al resume las principales teacutecnicas basadas en el algoritmo de Evolucioacuten Diferencial para manejar dos o maacutes objetivos como los enfoques basados en dominancia de Pareto y en jerarquizacioacuten de Pareto asiacute como los meacutetodos que no se basan en Pareto y los enfoques que combinan diferentes estrategias Hoy en diacutea existen tambieacuten algoritmos basados en descomposicioacuten y en indicadores de desempentildeo

DE en Meacutexico En el paiacutes se tiene mucha actividad en investigacioacuten relacionada con DE particularmente el grupo EVOCINV de CINVESTAV Zacatenco estudia a este algoritmo en optimizacioacuten multi-objetivo y temas afines al manejo de muacuteltiples objetivos como algoritmos basados en indicadores modelos subrogados operadores de seleccioacuten operadores de variacioacuten adaptacioacuten de paraacutemetros entre otros temas

En el Centro de Investigacioacuten en Inteligencia Artificial de la Universidad Veracruzana se desarrolla investigacioacuten en optimizacioacuten con restricciones usando DE aplicaciones de DE en mecatroacutenica y en control automaacutetico DE y buacutesqueda local optimizacioacuten dinaacutemica multi-objetivo DE asistida por subrogados en espacios restringidos entre otras temaacuteticas

Recientemente en el Instituto Tecnoloacutegico de Veracruz se desarrollan aplicaciones de DE en aprendizaje automaacutetico en el Centro de Innovacioacuten y Desarrollo Tecnoloacutegico en Coacutemputo (CIDETEC) del IPN se aplica DE en problemas de mecatroacutenica y en el Centro de Investigacioacuten en Matemaacuteticas se aplica en procesos quiacutemicos

Todas estas menciones soacutelo son representativas pues la DE al ser un algoritmo faacutecil de implementar y que provee resultados competitivos ha sido particularmente atractiva para su estudio y aplicacioacuten en instituciones mexicanas

Conclusiones El algoritmo de Evolucioacuten Diferencial es un enfoque exitoso para resolver problemas de optimizacioacuten continua sin restricciones Los individuos que evolucionan al aplicar los operadores de este algoritmo tradicionalmente se codifican como secuencias de nuacutemeros reales pero otras representaciones se han utilizado tambieacuten Ademaacutes con la inclusioacuten de diversas estrategias para manejar varios objetivos y conjuntos de restricciones DE se puede aplicar para resolver otro tipo de problemas DE se distingue por depender de la definicioacuten de un menor nuacutemero de paraacutemetros que otros algoritmos evolutivos pero esto tambieacuten lo hace muy sensible a la definicioacuten de los valores para esos paraacutemetros Diversos variantes del algoritmo han sido desarrolladas para mejorar el desempentildeo del algoritmo generando un abanico de alternativas para resolver casi cualquier tipo de problema El estudio del comportamiento de este algoritmo y la definicioacuten de nuevas propuestas de desarrollo sin duda aportaraacute a la resolucioacuten maacutes eficiente de problemas complejos que interesan a la comunidad cientiacutefica

Para saber maacutes Para aquellos lectores que deseen abundar en el tema las siguientes referencias sobre DE pueden ser de intereacutes

bull El libro sobre DE escrito por los autores originales del algoritmo

bull Una revisioacuten muy completa de la literatura de DE y su versioacuten actualizada

bull Otra revisioacuten de la literatura acompantildeada de un estudio experimental

bull Una revisioacuten de estudios teoacutericos sobre DE

bull Un libro editado con temas diversos y recientes sobre DE

bull DE para resolver problemas de optimizacioacuten multi-objetivo

bull DE y su papel importante en espacios restringidos

Algoritmos Geneacuteticos Paralelos Alicia Morales-Reyes

Introduccioacuten Las teacutecnicas evolutivas son aptas para su paralelizacioacuten tanto a nivel algoriacutetmico como a nivel de ejecucioacuten En particular los algoritmos geneacuteticos (AGs) han sido investigados desde esta perspectiva y esquemas paralelos han surgido desde el inicio de su desarrollo La paralelizacioacuten de los AGs persigue la mejora de su desempentildeo algoriacutetmico en teacuterminos de eficiencia y eficacia y la reduccioacuten de tiempos de ejecucioacuten en sus distintos dominios de aplicacioacuten

Una clasificacioacuten general de los Algoritmos Geneacuteticos Paralelos (AGPs) los agrupa por su granularidad en AGPs de grano fino y grueso Los AGPs de grano grueso dividen la poblacioacuten agrupada en panmixia en varias sub-poblaciones permitiendo la migracioacuten de individuos entre 1

eacutestas De esta forma se reduce el nuacutemero de individuos en cada unidad de procesamiento En consecuencia se establece un fuerte viacutenculo entre la algoritmia y la implementacioacuten de estas teacutecnicas Sin embargo utilizar una uacutenica unidad de procesamiento para la evolucioacuten de varias sub-poblaciones ha sido un contexto tambieacuten explorado como un mecanismo de mejora del desempentildeo algoriacutetmico

Los AGPs de grano grueso tambieacuten llamados Algoritmos Geneacuteticos distribuidos (AGds) han permitido la exploracioacuten de nuevas vertientes de la versioacuten estaacutendar de los AGs Tener diferentes paraacutemetros de configuracioacuten para realizar las operaciones geneacuteticas implementar granularidades distintas incorporar el operador de migracioacuten han sido caracteriacutesticas a explorar que pueden culminar en un mejor desempentildeo de los AGs

En la figura 1 se muestra un diagrama de un AG distribuido Cada poblacioacuten es centralizada y se necesitan definir criterios en teacuterminos de tasa y frecuencia de migracioacuten Tambieacuten se necesita definir si la migracioacuten seraacute siacutencrona o asiacutencrona Herrera et al presentaron un esquema de un AGP distribuido con poblaciones heterogeacuteneas Utilizaron la estructura de un hipercubo posicionando en cada veacutertice una sub-poblacioacuten Dependiendo de la ubicacioacuten de cada sub-poblacioacuten la buacutesqueda implica mayor explotacioacuten o exploracioacuten Esto se logra de manera interna viacutea la configuracioacuten de los operadores geneacuteticos De esta forma se procura mantener la diversidad de soluciones de forma global y asiacute mejorar la calidad de las soluciones encontradas

Una poblacioacuten en panmixia es aquella donde todos sus individuos sin restricciones pueden 1

reproducirse entre si

Diagrama poblacional de un AGP distribuido o de grano grueso

La principal diferencia entre los AGP de grano fino con respecto a los AGP distribuidos o de grano grueso es la descentralizacioacuten de su poblacioacuten y en consecuencia la localizacioacuten del proceso de seleccioacuten de individuos En la figura 2 se muestra un esquema poblacional de un AGP de grano fino tambieacuten conocido como AG celular (AGc) De manera comuacuten se utiliza una topologiacutea de malla conectada de forma toroidal como lo muestra la figura Un individuo de la poblacioacuten se ubica en cada cruce de la malla y alrededor de eacutel se define un vecindario cuyas soluciones participan en los procesos de seleccioacuten recombinacioacuten y mutacioacuten para la evolucioacuten de eacuteste En la figura 2 se ilustra un vecindario tipo Moore con 9 individuos

En los AGs celulares cada individuo o solucioacuten interactuacutea con sus vecinos maacutes cercanos logrando de esta forma el esparcimiento suave de las soluciones a traveacutes de la malla debido al traslape de vecindarios En los AGs distribuidos la asociacioacuten entre soluciones se pierde en comparacioacuten con los AGs celulares Esta es otra caracteriacutestica importante de los AGc que permite la exploracioacuten global del espacio de buacutesqueda mientras que localmente los individuos explotan la regioacuten cercana a su ubicacioacuten

Diagrama poblacional del AG celular o de grano fino

La paralelizacioacuten de los algoritmos evolutivos en particular de los algoritmos geneacuteticos persigue distintos objetivos Por ejemplo la evolucioacuten simultaacutenea de sub-poblaciones lo cual permite descubrir nueva rutas para solucionar un problema y en consecuencia reducir el nuacutemero de generaciones para converger a la solucioacuten oacuteptima Aunado a esto los tiempos de procesamiento pueden tambieacuten acortarse La paralelizacioacuten de AGs se puede realizar a distintos niveles Asiacute mismo es posible la combinacioacuten de sub-poblaciones con distintas dinaacutemicas internas Por ejemplo algunas sub-poblaciones podriacutean evolucionar en un esquema de panmixia y otras en un esquema celular Este tipo de esquemas poblacionales se discutiraacuten a detalle en la subseccioacuten 11

Una operacioacuten importante en los procesos evolutivos de los AGs distribuidos es la migracioacuten de los individuos entre sub-poblaciones Durante el proceso de buacutesqueda uno o maacutes individuos son seleccionados para migrar y reemplazar a otros individuos de otras sub-poblaciones Los criterios de migracioacuten requieren no soacutelo de la tasa y la frecuencia de migracioacuten sino tambieacuten de criterios de seleccioacuten y reemplazo de individuos al llegar a las otras sub-poblaciones El proceso de migracioacuten puede realizarse de forma siacutencrona o asiacutencrona La migracioacuten siacutencrona supone que todas las sub-poblaciones estaacuten en el mismo estado de la buacutesqueda y la migracioacuten de individuos entre sub-poblaciones ocurre de manera simultaacutenea Por otro lado la migracioacuten asiacutencrona supone que cada sub-poblacioacuten determina el momento en que los individuos deben migrar En la sub-seccioacuten 24 se aborda el efecto del sincronismo en los mecanismos de migracioacuten

Cantuacute-Paz et al presentoacute un estudio completo en AGs distribuidos tanto desde el punto de vista teoacuterico como del praacutectico Debido al nuacutemero de paraacutemetros que se deben definir en los AGds Cantuacute-Paz et al iniciaron con la solucioacuten de un problema de optimizacioacuten para determinar el tamantildeo adecuado de las sub-poblaciones para alcanzar una cierta calidad de la misma Utilizaron un modelo matemaacutetico considerando la hipoacutetesis de los bloques constructores propuesta por Holland y extendida por Goldberg El estudio se verifica en varios problemas con un grado alto de precisioacuten mostraacutendose una buena respuesta a la escalabilidad

Para determinar escenarios de operacioacuten liacutemite en teacuterminos de eficiencia analizaron la interaccioacuten de las sub-poblaciones y su efecto en la calidad de las soluciones Previamente se ha investigado el cambio en la calidad de las soluciones debido a la forma de interaccioacuten de las sub-poblaciones Tener sub-poblaciones evolucionando de manera independiente con muy poca o nula interaccioacuten entre ellas resulta en soluciones menos precisas mientras mejores soluciones se obtienen viacutea el esquema de panmixia tradicional Sin embargo cuando se definen criterios de migracioacuten adecuados y un cierto nuacutemero de soluciones migran entre sub-poblaciones a una frecuencia media o baja el desempentildeo en general de los AGds mejora alcanzando en un nuacutemero de casos aceleraciones super-lineales y mejor calidad de las soluciones encontradas Se puede inferir entonces la importancia del operador de migracioacuten el cual seraacute analizado en detalle en la sub-seccioacuten 12

AGds homogeacuteneos y heterogeacuteneos Existen distintos escenarios en los que se pueden definir y aplicar AGds con esquemas poblaciones homogeacuteneos y heterogeacuteneos es decir combinaciones de poblaciones centralizadas y descentralizadas A nivel algoriacutetmico se puede definir la misma o una diferente configuracioacuten de operadores geneacuteticos A partir de esas configuraciones distintas diferentes configuraciones de paraacutemetros se pueden determinar para ejecutar la buacutesqueda en cada sub-poblacioacuten Por ejemplo distintas definiciones del operador de recombinacioacuten o bien de las probabilidades de mutacioacuten pueden operar sobre los individuos de cada sub-poblacioacuten La comunidad en el aacuterea ha incluso explorado escenarios donde las soluciones se representan de manera distinta entre sub-poblaciones Por otro lado a nivel de implementacioacuten se han explorado esquemas con sub-poblaciones heterogeacuteneas Por ejemplo Alba et al realizoacute un estudio en distintas plataformas de coacutemputo ejecutando sub-poblaciones en panmixia y celulares

Como se puede apreciar el desarrollo de un esquema de AG paralelos ya sean distribuidos o descentralizados conlleva la definicioacuten de un nuacutemero de paraacutemetros que afectaraacute de manera importante su desempentildeo algoriacutetmico Otro ejemplo es la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten en espacios continuos que se han abordado a traveacutes de un esquema de AGP utilizando una versioacuten mejorada con cromosomas codificados con nuacutemeros reales Para esto se

definioacute una topologiacutea doble con un hipercubo que se comparoacute con una topologiacutea sencilla Las sub-poblaciones ubicadas en sus veacutertices promoviacutean mayor o menor exploracioacuten u explotacioacuten de las regiones viacutea la configuracioacuten de los operadores geneacuteticos La migracioacuten entre las sub-poblaciones afectoacute directamente los tiempos de ejecucioacuten por medio de la reduccioacuten del nuacutemero de evaluaciones La capacidad de buacutesqueda de la topologiacutea doble superoacute a la de la topologiacutea sencilla

Cuando pensamos en paralelizar alguna teacutecnica algoriacutetmica nos viene a la mente acelerar los procesos de ejecucioacuten Sin embargo la paralelizacioacuten de los algoritmos evolutivos podriacutea mejorar tanto los procesos de buacutesqueda algoriacutetmica como los tiempos de ejecucioacuten Es asiacute que a nivel de implementacioacuten se utilizado coacutemputo heterogeacuteneo para la evaluacioacuten de esquemas de AGPs Por ejemplo Alba et al propusieron utilizar una plataforma heterogeacutenea en la cual distintos sistemas operativos con distintas restricciones de ejecucioacuten implementaban un modelo de AGPs distribuidos Las sub-poblaciones se conectaron en un arreglo de anillo unidireccional cada sub-poblacioacuten ejecutaba un modelo poblacional de estado estable A cada generacioacuten se produciacutea un individuo que reemplazaba a la peor solucioacuten obtenida Se establecioacute un esquema de migracioacuten asiacutencrona que demostroacute mejores resultados ver 3 En general se observoacute un mejor desempentildeo de la ejecucioacuten del esquema paralelo en la plataforma heterogeacutenea en comparacioacuten con la homogeacutenea se redujo el nuacutemero de evaluaciones debido a la explotacioacuten de soluciones a distintas tasas de migracioacuten

AGP con topologiacutea poblacional de anillo unidireccional implementada en una plataforma de coacutemputo heterogeacutenea La migracioacuten entre sub-poblaciones es asiacutencrona y responde a una dinaacutemica de estado estable

Migracioacuten en AGPs Como se explicoacute anteriormente la incorporacioacuten de un nuevo operador llamado migracioacuten se hace latente en los esquemas paralelos de los AGs En los esquemas de grano grueso donde se tienen sub-poblaciones de grano fino y grueso evolucionando simultaacuteneamente la migracioacuten se debe considerar como un mecanismo que introduce nuevos individuos y por lo tanto promueve o restaura la diversidad entre sub-poblaciones De forma distinta en los AGs celulares o de grano fino un mecanismo de migracioacuten impliacutecito trabaja durante el proceso de buacutesqueda debido al traslape de vecindarios que permite la difusioacuten de soluciones a lo largo y ancho de la topologiacutea definida para la poblacioacuten Este mecanismo de migracioacuten es inherente a la estructura de los AGs celulares y no requiere de un paraacutemetro de frecuencia o tasa de migracioacuten o ninguacuten otro mecanismo de seleccioacuten y reemplazo

Revisaremos ahora evaluaciones empiacutericas que se han realizado a criterios de migracioacuten definidos para AGPs de grano grueso Aunque estos criterios son definidos para este tipo de esquemas paralelos tambieacuten es posible aplicar un segundo criterio migratorio en AGs celulares ademaacutes del mecanismo natural inherente a estos

Para establecer un criterio de migracioacuten adecuado y mejorar el desempentildeo algoriacutetmico de los AGPs de grano grueso se examinaron los casos liacutemite para aplicar el proceso de migracioacuten Se

sugiere mantener un cierto nivel de aislamiento entre las sub-poblaciones Si la sub-poblacioacuten evoluciona en completo aislamiento las mejoras en diversidad son miacutenimas y por ende la capacidad de buacutesqueda se ve reducida Por otro lado si se aplica el operador de migracioacuten con una frecuencia maacutexima el costo computacional se incrementa de manera significativa Por lo tanto el objetivo de la migracioacuten es evitar el aislamiento entre sub-poblaciones mientras se mantiene un nivel aceptable de comunicacioacuten entre eacutestas

Es posible calcular experimentalmente el nuacutemero adecuado de unidades de procesamiento para minimizar el tiempo de ejecucioacuten de un esquema de AGPs El anaacutelisis considera casos liacutemite en teacuterminos de conectividad entre sub-poblaciones es decir el caso de tener frecuencias de migracioacuten miacutenimas y maacuteximas La conclusioacuten teoacuterica para una poblacioacuten indica que el nuacutemero

oacuteptimo de unidades de procesamiento estaacute dado por donde es el tamantildeo de la

poblacioacuten es el tiempo de coacutemputo de la funcioacuten objetivo de un individuo y es el tiempo promedio de comunicacioacuten para una unidad de procesamiento Esto quiere decir que dividiendo una poblacioacuten en sub-poblaciones distribuidas en muacuteltiples unidades de procesamiento reduce el tiempo global de ejecucioacuten La misma conclusioacuten se logroacute para un esquema de muacuteltiples poblaciones considerando ademaacutes la evaluacioacuten de funciones objetivo separables Esto quiere decir que utilizar un nuacutemero de unidades de procesamiento en un esquema evolutivo paralelo tiene un impacto positivo en la reduccioacuten de los tiempos de ejecucioacuten

Es tambieacuten importante analizar el efecto de los criterios de migracioacuten que se utilizan en esquemas de AGPs de grano grueso El objetivo principal es determinar coacutemo el operador de migracioacuten afecta la presioacuten de seleccioacuten inducida e impliacutecitamente poder explicar las aceleraciones super-lineales que se pueden modelar para este tipo de esquemas La forma en que los individuos se seleccionan para migracioacuten y reemplazo tienen un efecto considerable en la presioacuten de seleccioacuten y se ha observado que tasas altas de migracioacuten producen un incremento en eacutesta Tener una presioacuten de seleccioacuten alta afecta la buacutesqueda al producir una convergencia prematura a un oacuteptimo local

Aunque la operacioacuten de migracioacuten se ha investigado principalmente para esquemas de AGPs de grano grueso tambieacuten se ha revisado su efecto en AGPs de grano fino considerando tanto el mecanismo de migracioacuten impliacutecita viacutea el traslape de vecindarios como la definicioacuten de criterios para migracioacuten de individuos desde y hacia distintas posiciones de la topologiacutea de malla definida para la poblacioacuten Por ejemplo se han utilizado estructuras de aacuterboles binarios para dividir una topologiacutea de malla de dos dimensiones en formaciones conceacutentricas de individuos definiendo para cada formacioacuten criterios de migracioacuten distintos El intercambio de individuos entre estas

OnTf

Tcn

Tf Tc

formaciones definidas por su estructura alenta el proceso de buacutesqueda permitiendo una mayor exploracioacuten Los resultados mostraron un mejor desempentildeo en la solucioacuten de problemas de optimizacioacuten con restricciones el operador de mutacioacuten se aplica para evitar la presencia de super individuos que pueden dirigir la buacutesqueda al estancamiento conquistando la topologiacutea de malla mucho maacutes raacutepido En la siguiente seccioacuten se abordaraacute el comportamiento de los AG celulares o de grano fino

AGs celulares o de grano fino Los AGs celulares o de grano fino se construyen a partir de poblaciones descentralizadas donde los individuos interactuacutean con otros individuos ubicados dentro de un vecindario definido Es decir interactuacutean con los vecinos maacutes cercanos Usualmente los AGCs se implementan en topologiacuteas de mallas de -dimensionales manteniendo conexiones toroidales entre los cruces de malla utilizando formas comunes como una malla lineal cuadrada o rectangular

El procesamiento de los AG celulares corresponde al de los Autoacutematas Celulares (ACs) Estos determinan una regla global que define un comportamiento especiacutefico que se construye a partir de reglas locales Se han explorado ACs de una dos y tres dimensiones en combinacioacuten con AGs con la finalidad de evolucionar el comportamiento global requerido Esta combinacioacuten de un AC y un AG originoacute el nombre de AG celular con la diferencia de tener una representacioacuten maacutes elaborada en cada cruce de la malla cromosomas Se observoacute que la informacioacuten de las reglas locales o individuos alcanzaba distancias lejanas dentro de la malla definida esto debido al traslape de los vecindarios De esta forma se determinoacute que la informacioacuten se mueve entre vecindarios permitiendo acelerar el proceso de crear nuevos comportamientos ad-hoc al problema que se esteacute solucionando y con una peacuterdida miacutenima de informacioacuten

El pseudocoacutedigo [algCellularGeneticAlgorithmPseudocode] es el estaacutendar de un AG celular En un primer paso se genera una poblacioacuten inicial de forma aleatoria ubicando cada individuo en un cruce de la topologiacutea de malla Esta poblacioacuten inicial se evaluacutea de acuerdo a la funcioacuten objetivo del problema a resolver Posteriormente da inicio el ciclo reproductivo principal Se define un vecindario local con individuos ubicados de forma cercana A partir de eacutestos y del individuo ubicado en el cruce de la malla se seleccionan a los padres para reproducirse Existen distintos meacutetodos de seleccioacuten que se utilizan en los AG celulares Se pueden utilizar los que comuacutenmente se aplican en los AGs con poblaciones centralizadas como el torneo binario ruleta o seleccioacuten determinista Existen tambieacuten otros meacutetodos especiacuteficos a los AG celulares como son la seleccioacuten ceacutentrica o anisotroacutepica Una vez seleccionados los padres se recombinan y los hijos se mutan No hay diferencia entre la aplicacioacuten de los operadores de recombinacioacuten y mutacioacuten con respecto a los AG tradicionales

n

Debido a la descentralizacioacuten de la poblacioacuten el reemplazo de eacutesta puede ocurrir de forma siacutencrona o asiacutencrona El reemplazo asiacutencrono requiere del almacenaje temporal de la poblacioacuten hasta que todos los individuos concluyen su ciclo reproductivo El reemplazo siacutencrono requiere de la definicioacuten del criterio para implementarla Los distintos criterios que se han utilizado para el reemplazo se explicaraacuten en la sub-seccioacuten 24

poblacioacuten inicial evaluacioacuten seleccioacuten de padres vecinario L5 recombinacioacuten mutacioacuten evaluacioacuten reemplazo

Explotacioacutenexploracioacuten por propiedades estructurales Debido a la descentralizacioacuten de la poblacioacuten y la definicioacuten de una topologiacutea de malla las caracteriacutesticas estructurales de los AG celulares tienen un impacto importante en los procesos de buacutesqueda La forma y la dimensioacuten de la topologiacutea el nuacutemero de individuos dentro del vecindario entre otras son caracteriacutesticas de la estructura que necesitan definirse Ademaacutes otras operaciones durante el ciclo evolutivo como el proceso de seleccioacuten local el reemplazo de individuos criterios de migracioacuten entre otras estaacuten tambieacuten asociadas a estas caracteriacutesticas de estructura

La topologiacutea de malla que es comuacutenmente utilizada en los AG celulares se muestra en la figura 2 Se ha reportado que distintas formas de malla en combinacioacuten con distintos tipos de vecindarios inducen una mayor o menor presioacuten de seleccioacuten Para modelar el efecto de ambas estructuras se utiliza un patroacuten de dispersioacuten con puntos (la posicioacuten de cada solucioacuten en la malla) a partir de una posicioacuten central con coordenadas Se calcula la medida de dispersioacuten debido a que otras medidas como el radio de una circunferencia indicariacutea el mismo valor para topologiacuteas distintas La relacioacuten entre el vecindario y la topologiacutea o radii se calcula de la siguiente forma

donde y La razoacuten o radii entre el vecindario y la topologiacutea de

malla estaacute dada por

(x) larr random(x0) (f ) larr evaluat ion(x)(f1 f2) larr seleccion(f fN fE fS fW)(x1 x2) larr seleccion(x xN xE xS xW) (x prime1 x prime2 ) larr recombinacion(x prime1 x prime 2 )

(x1Prime x2Prime) larr mutacion(x prime1 x prime2 ) (fnew) larr evaluacion(x1Prime x2Prime)(f x) larr reemplazo(fnew xnew)

p(x0 y0)

D =sum (xi minus x)2 + sum (yi minus y)2

p

(x ) =sump

i=1 xi

p (y) =sump

i=1 yi

p

Esta medida se conoce como la razoacuten vecindario-malla (RVM) Formas y tamantildeos diferentes de vecindarios y topologiacuteas proporcionan una medida distinta de RVM ver figura 4

Ejemplos de formas de vecindarios y topologiacuteas de malla

NGR =Dvecindario

Dmalla

Razoacuten vecindario-malla para diferentes topologiacuteas de malla y tamantildeos de poblacioacuten con un vecindario L5

[figL5_variableLattice]

Una topologiacutea de malla cuadrada con un vecindario es una configuracioacuten comuacutenmente utilizada en la implementacioacuten de AG celulares En la figura [figL5_variableLattice] la razoacuten vecindario-malla se ilustra para distintos tamantildeos de poblacioacuten con vecindario Tres formas de malla se evaluacutean cuadrada rectangular y lineal Las curvas de la RVM muestran razones altas para mallas cuadradas y razones bajas para topologiacuteas lineales La RVM se asocia a la presioacuten de seleccioacuten inducida en AG celulares debido a sus caracteriacutesticas estructurales Para comprender esto de mejor manera otro concepto importante es necesario el nuacutemero de generaciones que toma al mejor individuo de una poblacioacuten inicial esparcir su solucioacuten en todas las direcciones de la topologiacutea de malla es decir conquistarla a partir de aplicar uacutenicamente el operador de seleccioacuten Un nuacutemero de generaciones alto indica una baja presioacuten de seleccioacuten es decir una buacutesqueda principalmente explorativa Por el contrario un nuacutemero de reducido de generaciones implica una alta presioacuten de seleccioacuten y por tanto una buacutesqueda orientada a la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda

L5

L5

Los AG celulares son teacutecnicas flexibles con un nuacutemero de paraacutemetros que pueden configurarse Por ejemplo es posible pensar en modificar en tiempo de buacutesqueda las topologiacuteas de malla tamantildeos y formas de vecindarios como una forma de control de la presioacuten de seleccioacuten inducida Las modificaciones de la configuracioacuten pueden realizarse de manera constante definiendo un nuacutemero de generaciones o bien de forma adaptativa midiendo generacioacuten a generacioacuten el comportamiento por ejemplo de la diversidad en el espacio de fenotipos y genotipos modificando entonces las configuraciones de estructura de manera que se promueva la exploracioacuten o la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda

Presioacuten de seleccioacuten por caracteriacutesticas estructurales

El matemaacutetico belga Pierre Verhulst en el siglo XIX estudioacute modelos logiacutesticos de crecimiento para describir sistemas bioloacutegicos bajo condiciones de recursos limitados Considerando una poblacioacuten en panmixia de cierto tamantildeo y un nuacutemero de copias del mejor individuo en un tiempo discreto dado por la tasa de crecimiento se expresa a traveacutes del siguiente modelo de recurrencia discreto

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t - 1 right) + p_s tamPob N left(t-1right) left(1 - left(frac1tamPobright) N left(t-1right)right)endaligned$$

donde es la probabilidad de seleccioacuten de un individuo y se puede aproximar por la ecuacioacuten logiacutestica continua

donde es la probabilidad Aunque se obtienen curvas de crecimiento similares el comportamiento en poblaciones estructuradas o descentralizadas no es exponencial sino polinomial como fue sugerido por Spiessen y Manderick in De este modo las caracteriacutesticas estructurales necesitan considerarse en el modelo matemaacutetico de la tasa de crecimiento para AG celulares Si se evaluacutea un caso liacutemite donde el mejor individuo dentro del vecindario se selecciona siempre para reemplazar al individuo actual o central (al vecindario) es decir

tamPobt N(t)

ps N(t)

N(t) =tamPob

1 + ( tamPobN(0) minus 1)eminusαt

α ps

ps = 1

y se define un tamantildeo de poblacioacuten donde determina una topologiacutea de malla cuadrada y un vecindario local con radio La tasa de crecimiento del mejor individuo estaacute dada por

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4r^2t - 2rleft( r+1 right) quad 0 leq t leq fracleft(sqrttamPob-1right)2

N left( t right) = N left( t-1 right) - 4r^2t + 4r sqrttamPob - 2rleft(r+1right) quad t geq fracleft(sqrttamPob-1right)2 notagendaligned$$

que en su forma cerrada queda como

$$beginaligned

N left( t right) = 2r^2t^2 + 2r left(2r + 1 right)t + 1 quad 0 leq t leq fracleft(sqrttamPob-1right)2

N left( t right) = -2r^2t^2 + 2rleft(2sqrttamPob - 3r - 1 right)t + 1 quad t geq fracleft(sqrttamPob-1right)2 notagendaligned$$

En la figura 5 se ilustra la razoacuten de crecimiento para una poblacioacuten de individuos con un vecindario local tipo ver figura 4

Tasa de crecimiento teoacuterica en una topologiacutea de malla toroidal cuadrada y un vecindario local tipo Moore con probabilidad de seleccioacuten

Si se considera la probabilidad variable y cada individuo tiene probabilidades de seleccioacuten distintas probabilidad para el individuo central y para cada individuo dentro de un vecindario tipo El modelado de la recurrencia exacta se vuelve muy complicado Para poder construir un modelo completo se recurre a modelos maacutes simples en donde la tasa de crecimiento se describe como la expansioacuten de un cuadrado rotado con una

tamPob tamPob times tamPobr

81C9

ps = 1

psp0 p1 p2 p3 p4 p8

C9

longitud por lado de y diagonal La tasa de crecimiento de los

individuos con probabilidad variable contenidos dentro del cuadrado rotado estaacute dada por la siguiente recurrencia

$$beginaligned

N left( 0 right) = 1 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad notag

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4p_i sqrtfracNleft(t-1right)2 quad N left( t right) leq fractamPob2

N left( t right) = N left( t-1 right) + 4p_i sqrttamPob - N left( t-1 right) quad N left( t right) gt fractamPob2 notagendaligned$$

Encontrar una forma cerrada de este modelo es una tarea complicada de acuerdo a autores reconocidos del aacuterea En la figura 6 se muestra la tasa de crecimiento probabilista como ejemplo de la dificultad que representa su modelado matemaacutetico

Tasa de crecimiento probabilista para una topologiacutea de malla toroidal cuadrada con vecindario local y probabilidad de seleccioacuten variable

Anaacutelisis empiacuterico

Es posible tener una aproximacioacuten empiacuterica del tiempo para el dominio de la topologiacutea de malla A continuacioacuten se presenta un ejemplo utilizando como meacutetodo de seleccioacuten local torneo binario y ejecuciones por configuracioacuten fueron evaluadas En la figura [figL5_growthRates] se muestran las distintas tasas de crecimiento para la conquista de la malla considerando un tamantildeo de la poblacioacuten de individuos con las siguientes formas de topologiacutea de malla 1)

cuadrada 2) rectangular y 3) lineal La diferencia entre los

tiempos de dominio es evidente Topologiacuteas de malla lineales proveen una difusioacuten maacutes lenta del

s = N(t) d =N(t)

2pi

ps

50

400

400 times 400 10 times40010

4 times400

4

mejor individuo para conquistar la malla y por ende menor presioacuten de seleccioacuten y un comportamiento principalmente explorativo Por otro lado en topologiacuteas de malla cuadradas la solucioacuten del mejor individuo conquista la malla raacutepidamente en un nuacutemero menor de generaciones Es decir tiene un comportamiento con alta presioacuten de seleccioacuten y por ende una buacutesqueda caracterizada por una mayor explotacioacuten del espacio de buacutesqueda Desde este punto de vista se ha investigado tambieacuten la posibilidad de modificacioacuten dinaacutemica de las propiedades estructurales en tiempo de buacutesqueda Se han reportado mejores desempentildeos algoriacutetmicos bajo estos criterios

Tasas de crecimiento promedio del mejor individuo en topologiacuteas de malla cuadrada rectangular y lineal con vecindario La tasa promedio de crecimiento se calcula con base en 50 experimentos y aplicando uacutenicamente el operador de seleccioacuten

[figL5_growthRates]

Aceleracioacuten en AGP Un tema controversial en AGPs son las aceleraciones que esquemas distribuidos y celulares pueden alcanzar El caacutelculo teoacuterico de estas aceleraciones es una medida aceptada para determinar su eficiencia Calcular la razoacuten entre el tiempo promedio de ejecucioacuten de la mejor versioacuten secuencial de un AG y otra teacutecnica de buacutesqueda no evolutiva con respecto al tiempo

L5

promedio de ejecucioacuten de un AG paralelo corriendo en un determinado nuacutemero de procesadores proporciona la aceleracioacuten alcanzada por este uacuteltimo Aceleraciones sub-lineales indican que esta razoacuten es menor que el nuacutemero de procesadores utilizados en la ejecucioacuten del AGP Aceleraciones lineales indican que esta relacioacuten es igual mientras aceleraciones super-lineales indican que la razoacuten es mayor que el nuacutemero de procesadores utilizados

Un medida estricta para medir las aceleraciones de los AGPs involucrariacutea una comparacioacuten con la mejor versioacuten secuencial de un AG lo cual es difiacutecil de determinar Considerar el desempentildeo de un AG secuencial como referencia en conjunto con una condicioacuten de paro que evaluacutee la misma calidad de soluciones en todas las muestras experimentales podriacutea permitir una comparacioacuten justa en teacuterminos de aceleracioacuten entre esquemas paralelos y secuenciales

Los AGPs tienen tres caracteriacutesticas que permiten su aceleracioacuten 1) dividir el espacio de buacutesqueda en diversas aacutereas de exploracioacuten implementadas en distintas unidades de procesamiento 2) reducir la carga de procesamiento por medio de la distribucioacuten de la poblacioacuten en un nuacutemero de unidades de procesamiento y 3) operadores geneacuteticos aplicados a estructuras de datos reducidas

Al analizar comparativamente las tasas de aceleracioacuten de los AG distribuidos con sub-poblaciones en panmixia en comparacioacuten con el desempentildeo de un AG secuencial las aceleraciones calculadas resultan excesivas Sin embargo cuando se considera la distribucioacuten de las sub-poblaciones en un nuacutemero de unidades de procesamiento las tasas de aceleracioacuten son moderadas

Una de las caracteriacutesticas maacutes importantes en los AGPs es el operador de migracioacuten Analizar el comportamiento de este operador bajo distintos criterios como la sincroniacutea o asincroniacutea de migrar individuos entre las sub-poblaciones afecta directamente el desempentildeo de la buacutesqueda Entre los comportamientos con importancia significativa se ha observado que utilizar bajas frecuencias de migracioacuten en combinacioacuten con una comunicacioacuten asiacutencrona entre sub-poblaciones permite una mayor aceleracioacuten Este resultado considera sub-poblaciones en panmixia con la misma configuracioacuten de paraacutemetros

Concepto de sincronismo en AGPs En los AGPs tanto distribuidos como celulares el concepto de sincroniacutea aplica de forma distinta En un AGP distribuido el operador de migracioacuten estaacute directamente relacionado con la comunicacioacuten entre sub-poblaciones y por ende la sincroniacutea con que eacutesta ocurre Por otro lado en AGP de grano fino o celulares la sincroniacutea estaacute relacionada con la actualizacioacuten de soluciones durante el proceso evolutivo Esto se explica a continuacioacuten a mayor detalle

En AGPs distribuidos viacutea migracioacuten

Varios autores han investigado el efecto del sincronismo a traveacutes de la migracioacuten de individuos entre sub-poblaciones Se han considerado varios escenarios tales como tener un conjunto de sub-poblaciones en panmixia y tener sub-poblaciones descentralizadas un tercer escenario que se ha considerado es tener una combinacioacuten de sub-poblaciones en panmixia y descentralizadas Los tres esquemas han sido evaluados no soacutelo a nivel algoriacutetmico sino de implementacioacuten en plataformas de coacutemputo para procesamiento paralelo

Utilizando un esquema de procesamiento de instrucciones muacuteltiples - datos muacuteltiples con un esquema homogeacuteneo de sub-poblaciones se verificoacute el comportamiento de distintas frecuencias de migracioacuten definidas como muacuteltiplos del tamantildeo de la poblacioacuten Esto representa que la migracioacuten es nula cuando la frecuencia es cero lo que implica que la evolucioacuten es independiente de las sub-poblaciones Localmente los operadores geneacuteticos fueron configurados de la misma forma En general los resultados mostraron un mejor desempentildeo cuando la comunicacioacuten entre sub-poblaciones es asiacutencrona y la frecuencia de migracioacuten es baja En este sentido el tener sub-poblaciones descentralizadas permite una mejor eficacia que cuando se tienen sub-poblaciones en panmixia Las tasas de aceleracioacuten tambieacuten se analizaron Bajas frecuencias de migracioacuten reportaron aceleraciones lineales para sub-poblaciones descentralizadas y super-lineales para sub-poblaciones en panmixia

Se ha podido verificar el funcionamiento de los AGPs ampliando la gama de problemas de prueba a aquellos del dominio continuo El uso de un esquema paralelo distribuido con sub-poblaciones en panmixia y un ciclo evolutivo de estado estable donde solamente una solucioacuten se actualiza en cada generacioacuten logroacute obtener soluciones de mejor calidad Ademaacutes de la influencia de la frecuencia con la que se ejecuta la operacioacuten de migracioacuten la seleccioacuten aleatoria de individuos migrantes demostroacute tambieacuten un mejor desempentildeo que la seleccioacuten de los mejores individuos para migrar El mejor desempentildeo continuacutea siendo a partir de la aplicacioacuten de frecuencias de migracioacuten bajas ahora en combinacioacuten con la seleccioacuten aleatoria de soluciones para migrar En problemas de optimizacioacuten en el dominio continuo con oacuteptimos locales engantildeosos en sus espacios de buacutesqueda los esquemas de sub-poblaciones descentralizadas superaron el desempentildeo de aquellos con sub-poblaciones en panmixia ademaacutes de responder mejor a frecuencias de migracioacuten altas Las tasas de aceleracioacuten tambieacuten se relacionan con la operacioacuten de la migracioacuten a frecuencias de migracioacuten alta se obtienen mayores tasas de aceleracioacuten en ambos esquemas poblacionales

Es posible tambieacuten considerar un esquema de AGPs con sub-poblaciones tanto en panmixia como descentralizadas utilizando un esquema de coacutemputo heterogeacuteneo distribuido Las tasas de

aceleracioacuten que se alcanzan en estos caso son super-lineales viacutea el esquema sub-poblacional mixto

En AGP celulares viacutea criterios de actualizacioacuten

En los AGPs de grano fino o celulares el concepto de sincronismo se asocia a los criterios de actualizacioacuten de las soluciones Se consideran diversos escenarios como son 1) barrido liacutenea a liacutenea 2) barrido fijo aleatorio 3) barrido aleatorio 4) seleccioacuten uniforme Cada unos de estos criterios de actualizacioacuten de soluciones se puede ejecutar de manera siacutencrona o asiacutencrona La actualizacioacuten siacutencrona se refiere a que la poblacioacuten completa se genera a partir de los individuos actuales En contraste la actualizacioacuten asiacutencrona quiere decir que los individuos se actualizan despueacutes de su proceso evolutivo a nivel local entonces los individuos en una generacioacuten han evolucionado de hijos generados durante esta

El barrido liacutenea a liacutenea es la forma maacutes sencilla de actualizar soluciones en una topologiacutea de malla con conexioacuten toroidal Haciendo el barrido secuencial de ubicacioacuten de las soluciones por liacutenea o por columna se ejecuta la actualizacioacuten de estas El barrido aleatorio fijo consiste en elegir de forma aleatoria una solucioacuten sin reemplazo con una probabilidad uniforme En cada generacioacuten se determina una distribucioacuten diferente para la actualizacioacuten de los individuos La actualizacioacuten uniforme elige de forma aleatoria con una probabilidad uniforme una solucioacuten con reemplazo Esto quiere decir que una solucioacuten puede ser actualizada maacutes de una vez en un mismo ciclo reproductivo

Tambieacuten se ha buscado modelar formalmente el comportamiento de los distintos criterios de actualizacioacuten de soluciones considerando ambos criterios de sincronismo Los criterios siacutencronos de actualizacioacuten presentan menores tasas de crecimiento de la mejor solucioacuten en la topologiacutea de malla Es decir la buacutesqueda se ejecuta promoviendo la exploracioacuten cuando se sigue un criterio de actualizacioacuten uniforme Aplicar un barrido aleatorio o lineal para la actualizacioacuten de soluciones representa tasas maacutes altas de crecimiento pero no alcanza a aquellas de las poblaciones en panmixia La principal caracteriacutestica que se aprecia es que las poblaciones en panmixia promueven la explotacioacuten del espacio de buacutesqueda en mayor grado que los AGPs descentralizados o celulares

Finalmente se puede concluir despueacutes de la evaluacioacuten de los criterios siacutencronos y asiacutencronos en una variedad de problemas de optimizacioacuten combinatorios y del dominio continuo que la actualizacioacuten asiacutencrona de soluciones mejora el desempentildeo algoriacutetmico en teacuterminos de eficiencia y eficacia en comparacioacuten con el criterio asiacutencrono en teacuterminos del nuacutemero de generaciones necesarias para converger a la solucioacuten del problema

Discusioacuten En este capiacutetulo se presentaron los distintos esquemas poblaciones que se consideran en la paralelizacioacuten de los AGs Se introdujo el principal operador que distingue a estos esquemas evolutivos el operador de migracioacuten y su efecto en los procesos de buacutesqueda Tambieacuten se introdujeron de manera detallada los esquemas paralelos de AGs de grano fino o celulares y la manera en que las caracteriacutesticas estructurales de estos pueden afectar directamente la exploracioacuten y explotacioacuten del espacio de buacutesqueda Se abordoacute tambieacuten el tema de las aceleraciones que se pueden alcanzar viacutea la paralelizacioacuten de grano fino y grueso de los AGPs Este anaacutelisis incluye los escenarios teoacutericos y reales de las tasas de aceleracioacuten que se pueden alcanzar Finalmente se revisoacute el concepto de sincronismo en ambos esquemas de paralelizacioacuten el cual se observoacute que afecta de manera positiva el desempentildeo algoriacutetmico

Los esquemas paralelos de los algoritmos geneacuteticos permiten obtener un mejor desempentildeo de los procesos de buacutesqueda Sin embargo se debe considerar una serie de paraacutemetros que se necesitan definir y que requeriraacuten la intervencioacuten de un usuario Es importante destacar tambieacuten que la mejora en el desempentildeo se puede apreciar tanto a nivel algoriacutetmico como a nivel de procesamiento Es necesario tambieacuten indicar que la seleccioacuten de la plataforma de coacutemputo paralelo ya sea distribuida o no implicaraacute costos de comunicacioacuten que deben ser considerados para las tasas de aceleracioacuten que se pretendan alcanzar

Investigacioacuten de AGPs en Meacutexico En Meacutexico investigadoras e investigadores en distintas instituciones y centros de investigacioacuten se han dado a la tarea de explorar esquemas evolutivos que utilizan AGPs Por ejemplo esquemas de AGPs de grano fino para solucionar problemas de optimizacioacuten mono-objetivo sin restricciones y problemas combinatorios han sido desarrollados en El objetivo en esos trabajos es el estudio del efecto de las caracteriacutesticas estructurales en las topologiacuteas de poblacioacuten descentralizadas utilizando mallas conectadas de forma toroidal Distintos criterios fueron definidos para modificar en tiempo de buacutesqueda la forma de la topologiacutea y sin incrementar el costo computacional verificar la mejora del desempentildeo algoriacutetmico al evaluar una cama prueba con problemas mono-objetivo sin restricciones y combinatorios Los resultados obtenidos fueron alentadores y a partir de estos se extendioacute el estudio de las propiedades estructurales a manipular tambieacuten la dimensioacuten de la topologiacutea de malla y modificarla en tiempo de buacutesqueda resultados positivos de este estudio fueron reportados en

Debido al costo computacional de los AGs en general la aceleracioacuten de estos utilizando plataformas de coacutemputo especializadas ha sido un aacuterea de investigacioacuten tambieacuten desarrollada en Meacutexico Particularmente el disentildeo e implementacioacuten de un arreglo de procesadores flexible para

la aceleracioacuten de los AGs celulares utilizando dispositivos reconfigurables conocidos como arreglos de compuertas programables en el campo (FPGAs por sus siglas en Ingleacutes) se reportoacute en Este trabajo presenta una forma novedosa de dividir a la poblacioacuten descentralizada en un nuacutemero determinado de unidades de procesamiento especialmente disentildeadas para operadores evolutivos manteniendo las conexiones toroidales entre soluciones La flexibilidad del disentildeo consiste en poder definir de acuerdo a las necesidades de usuario el nuacutemero de unidades de procesamiento De este modo un nuacutemero mayor de unidades de procesamiento permitiraacute acelerar la ejecucioacuten del algoritmo y un nuacutemero menor de estas permitiraacute reducir el uso de recursos de hardware

En el aacutembito de la optimizacioacuten multi-objetivo desde la perspectiva del coacutemputo evolutivo utilizando esquemas poblacionales paralelos investigadores en Meacutexico han desarrollado un esquema con base en algoritmos geneacuteticos utilizando muacuteltiples resoluciones La propuesta algoriacutetmica llamada Algoritmo geneacutetico multi-objetivo con resolucioacuten muacuteltiple (MRMOGA por sus siglas en Ingleacutes) consiste de un conjunto de sub-poblaciones las cuales a nivel representacioacuten de soluciones evolucionan con resoluciones distintas lo cual implica la divisioacuten del espacio de buacutesqueda en regiones acotadas y traslapadas El desempentildeo alcanzado por MRMOGA supera los resultados reportados en esquemas evolutivos paralelos en teacuterminos de convergencia y evidencia la necesidad de profundizar el estudio de la escalabilidad de esquemas evolutivos paralelos

Para saber maacutes Dentro de la comunidad cientiacutefica dedicada a la investigacioacuten en las aacutereas de las teacutecnicas algoriacutetmicas evolutivas que desarrollan el concepto de paralelismo se han generado recursos bibliograacuteficos diversos de entre los cuales destacan

bull Algoritmos geneacuteticos paralelos por Gabriel Luque y Enrique Alba

bull Algoritmos evolutivos estructurados espacialmente por Marco Tomassini

bull Algoritmos geneacuteticos celulares por Bernabeacute Dorronsoro y Enrique Alba

bull Algoritmos geneacuteticos paralelos eficientes y precisos por Erick Cantuacute-Paz

Por otro lado entre los grupos de investigacioacuten que se desarrollan en el aacuterea destaca el liderado por el investigador Enrique Alba de la Universidad de Maacutelaga en Espantildea quien en colaboracioacuten con otros investigadores y estudiantes a puesto a disposicioacuten una serie de recursos relacionados en En particular en la seccioacuten de software se encuentran disponibles herramientas para el

disentildeo e implementacioacuten de algoritmos evolutivos paralelos tanto de grano grueso como de grano fino

Programacioacuten Geneacutetica Mario Graff

Daniela Moctezuma

Eric S Tellez

Sabino Miranda-Jimeacutenez

INFOTEC Centro de Investigacioacuten e Innovacioacuten en Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten Circuito Tecnopolo Sur No 112 Fracc Tecnopolo Pocitos II Aguascalientes

20313 Meacutexico CentroGEO Centro de Investigacioacuten en Ciencias de Informacioacuten Geoespacial Circuito

Tecnopolo Norte No 117 Col Tecnopolo Pocitos II CP Aguascalientes Ags 20313 Meacutexico CONACyT Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologiacutea Direccioacuten de Caacutetedras Insurgentes Sur

1582 Creacutedito Constructor Ciudad de Meacutexico 03940 Meacutexico

Introduccioacuten En este capiacutetulo se presenta una introduccioacuten a Programacioacuten Geneacutetica (PG) asiacute como la descripcioacuten de cada uno de los aspectos que la comprenden las perspectivas de este campo y las aacutereas donde se ha aplicado en Meacutexico PG es un algoritmo de buacutesqueda inspirado en los principios de la evolucioacuten de las especies de Charles Darwin (ver ) Particularmente PG engloba a un conjunto de teacutecnicas de coacutemputo evolutivo las cuales tienen como objetivo solucionar automaacuteticamente problemas partiendo de ejemplos del problema por resolver a traveacutes de expresiones evaluables o programas

La Programacioacuten Geneacutetica ha sido ampliamente utilizada en diferentes dominios siendo capaz de resolver una gran variedad de problemas de alta complejidad muchas veces mejorando las soluciones encontradas por humanos Por ejemplo en la competencia ndashldquoHumies rdquo celebrada 2

anualmente en el marco de la Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO) la cual premia sistemas bio-inspirados que mejoran las soluciones encontradas por humanos a problemas difiacuteciles mdashdesde 2004 y hasta 2017 PG ha sido galardonada con 8 medallas de oro 5 de plata y 1 de bronce En particular en esta competencia y utlizando PG Meacutexico ha obtenido

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