Complemento de Numeros
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PREUNIVERSITARIO
Matemática 2014
NÚMEROS
Guía Teórico-Practica COMPLEMENTO DE NÚMERO S
PREUNIVERSITARIO PAIDAGOGOS – O’HIGGINS 1290 CONCEPCION – fono 3211858
1
Mate
máti
cas P
SU
Redondeo y Truncamiento, Aproximación
APROXIMACIONES DE NÚMEROS REALES
Si tenemos un número decimal con infinitas cifras decimales (caso de un decimal periódico o semiperiódico o de un número irracional) no es factible trabajar con todas ellas, de ahí que utilicemos aproximaciones para tales números.
Por ejemplo el número = 3,141592..., tan utilizado en cálculo de longitudes de circunferencias y áreas de círculos, es un número irracional con infinitas cifras no periódicas, hemos de utilizar aproximaciones a su valor real.
3,1 3,14 3,141 3,1416
Cada uno de los números anteriores responde a una aproximación del número (Pi).
Métodos de aproximación
Los métodos de aproximación que vamos a utilizar son:
Truncamiento. (aproximación por defecto) Al aproximar por truncamiento a la enésima cifra decimal, se eliminan, sin más, las cifras a partir de la cifra (n+1), independiente del valor de esta.
Ejemplos2,787 truncado a la segunda cifra decimal (centésima) es igual a 2,786,74 truncado a la primera cifra decimal (decima) es igual a 6,7
Redondeo. Al aproximar por redondeo a la enésima cifra se eliminan las cifras a partir de la posición (n+1), pero teniendo en cuenta que si la primera cifra eliminada es 5 o más de 5, a la última cifra decimal que se deja n se le añade uno.
Ejemplos2,787 redondeado a la segunda cifra decimal (centésima) es igual a 2,796,74 redondeado a la primera cifra decimal (decima) es igual a 6,7
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Aproximación por exceso: Al aproximar de esta forma a la enésima cifra se eliminan las cifras a partir de la posición (n+1), y el decimal en la posición n se aumenta en una unidad.
Ejemplos
2,787 aproximado por exceso a la segunda cifra decimal (centésima) es igual a 2,79
6,74 aproximado por exceso a la primera cifra decimal (decima) es igual a 6,8
Ejercicios propuestos
Número Orden de aproximación
Aproximación por redondeo
Aproximación por
truncamiento
Aproximación por defecto
Aproximación por exceso
0,9876 milésima
12,5483 centésima
milésima
-0,999 decima
0,01199453 diezmilésima
-54,9128237 decima
diezmilésima
-4,99999 centésima
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Ejercicios PSU
1. Al realizar la operación 20 ÷ 3 en una calculadora, ella da como resultado 6,666666667.¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) La calculadora redondea a la novena cifra decimal.
II) La calculadora trunca a la novena cifra decimal.
III) es un número decimal periódico.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
Modelo de Prueba Matemática DEMRE (Proceso de admisión 2015)
2. El resultado de truncado a la décima es:A) 0,1B) 0,2C) 0,3D) 0,8E) 0,7
Modelo de Prueba Matemática DEMRE (Proceso de admisión 2015)
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3. Sea q una aproximación por exceso a la centésima de y p una
aproximación por defecto a la centésima de . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. q=p
II.
III. q= -k , con k un número real positivo
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo II y III
E) Ninguna de ellas
Modelo de Prueba Matemática DEMRE (Proceso de admisión 2015)
4. Se define como “el valor de redondeado a la decima” con a y b números positivos. ¿Cual(es) de las siguientes expresiones da(n) como resultado 0,8?
I.
II.
III.
A) Solo IB) Solo IIC) Solo III
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D) Solo II y IIIE) Ninguna de ellas
5. ¿Cuál de los siguientes números está más cerca de en la recta?
A)
B)
C)
D)
E)
6. Se defina T(a) como el valor de a truncado a la décima, ¿Cuál es el valor de
T +
A)
B)
C)
D)
E)
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Orden de los irracionales ( Raíces y Logaritmos)
Raíces
• Para números reales positivos a y b cualesquiera y n un número natural
mayor que 1, se cumple que a < b ⇔ < . Luego, para ordenar raíces de igual índice y cantidades subradicales positivas, basta comparar las cantidades subradicales.
Ejemplo
Como 2<5 ,entonces , , ;……
• Para números naturales n y p mayores que 1 y a un número real mayor que
1, se cumple que n < p ⇔ < . Luego, para ordenar raíces de igual cantidad subradical e índices naturales , basta comparar los indices.
Ejemplo
Como 2<4<5, entonces ,
• Si se desea comparar raíces de distinto índice y distinta cantidad subradical, una posibilidad es elevar ambas raíces al m.c.m. de sus índices.
Ejemplo:
Para comparar y , se elevan ambas a 6 (m.c.m. entre 2 y 3).
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Como ( )6 = 53 = 125 > ( )6 = 62 = 36, entonces > .
Logaritmos
• Para números reales positivos a y b cualesquiera y n un número real mayor
que 1, se cumple que a < b ⇔ .Luego, para ordenar logaritmos de igual base y argumentos positivos, basta comparar los argumentos.
Ejemplo:Como 4 < 7, entonces log 4 < log 7 ; log3 4 < log3 7 ; log8 4 < log8 7
• Para números reales positivos n y p mayores que 1 y a un número real mayor que 1, se cumple que n < p ⇔ logn a > logp a. Luego, para ordenar logaritmos de igual argumento y bases mayores que 1, basta comparar las bases.
Ejemplo:Como 3 < 5 < 6 … , entonces... log6 2 < log5 2 < log3 2
Si se desea comparar logaritmos de distinta base y distinto argumento, una posibilidad es cambiar las expresiones a una base común y aplicar propiedades. Recordar el cambio de base
⇒ , con a y m positivos distintos de 1 y b positivo.Ejemplo:
Para comparar log4 3 y log8 5 se cambian ambas expresiones a base 2. Luego,
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Al comparar los argumentos, se elevan las raíces a 6 (m.c.m. entre 2 y 3).
Como ( )6 = 33 = 27 > ( )6 = 52 = 25, entonces > , lo que significa
que: , y por ende que log4 3 > log8 5
Ejercicios
1. Si se ordenan de menor a mayor los siguientes números: , ,
y , entonces el término del medio es
A) B) C) D)
E)
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2. Si x es un número real tal que , ¿cuál(es) de los siguientes valores podría(n) tomar x?
I
II
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III
A) Solo II D) Solo II y IIIB) Solo III E) I, II y IIIC) Solo I y II
3. Si p = , q = y r = , entonces el orden correcto entre ellos es
A) q < r < p D) q < p < rB) r < p < q E) p < r < qC) p < q < r
4. Si x es un número natural tal que log4 500 < x < log4 1.500, entonces el valor de x es
A) 3 D) 6B) 4 E) no se puede determinar.C) 5
5.¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) correcta(s)?
I) II) log7 5 < log8 5
III) log3 4 < log9 15
A) Solo I D) Solo I y IIIB) Solo II E) Solo II y IIIC) Solo I y II
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Aproximación de irracionales ( Raíces y Logaritmos)Para aproximar el valor de un número irracional a conociendo el valor aproximado de un número irracional b, es necesario expresar a en términos de b utilizando propiedades, y luego reemplazar el valor conocido.
Ejemplo:
Si es aproximadamente 2,236, entonces es, aproximadamente:
Si log 3 es aproximadamente 0,477, entonces log 90 es, aproximadamente:
log 90 = log (10 · 9) = log (10 · 32) = log 10 + log 32 = 1 + 2 · log 3 = 1 + 2 · 0,477 = 1,954
Ejercicio
1. Si es aproximadamente 1,7320, entonces aproximado por redondeo a la centésima es
A) 0,50 D) 0,05B) 0,51 E) ninguno de los valores anteriores.C) 0,52
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Ejercitación
1. La expresión redondeada a la décima es . Entonces, de
los siguientes valores, el más aproximado a esA) 2B) 2,5C) 3D) 3,5E) 4
2. Si log 70 es aproximadamente 1,845, entonces log 49 redondeado a la centésima es igual a
A) 0,37 D) 0,71B) 1,69 E) 1,29C) 1,43
3. Si log15 3 es aproximadamente , ¿cuál de los siguientes valores es el más cercano a log15 45?
A)
B)
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C) 6D) 3
E)
4. Sean p, q y r números mayores que 1. Si log5 p > log4 q > log3 (2r), entonces se cumple que
A) p > q > rB) r > p > qC) r > q > pD) q > p > rE) p > r > q5. Si x = log125 200, y = log25 40 y z = log5 6, ¿cuál de las siguientes desigualdades es correcta?
A) x < z < y D) z < x < yB) z < y < x E) y < x < zC) x < y < z
6. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones tiene(n)un valor que está entre 3 y 4?
I) log2 10II) log5 200III) log10 350
A) Solo II D) Solo I y IIIB) Solo III E) I, II y IIIC) Solo I y II
7. Si es aproximadamente 2,236, entonces aproximado por redondeo a la centésima es
A) 2,88 D) 2,90B) 2,89 E) 2,95C) 2,98
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8. Si es aproximadamente 3,79 redondeado a la centésima, entonces
aproximado por redondeo a la centésima es
A) 0,30 D) 0,91B) 0,32 E) 0,40C) 0,37
9. Para que la expresión b corresponda a un número racional, el valor de b puede ser
I)
II) 6 2
III)
A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) Solo II y III
10. Sabiendo que es aproximadamente 3,141592653… , entonces si m es igual a aproximado por exceso a la centésima, n es igual a aproximado por defecto a la centésima y p es igual a aproximado por redondeo a la centésima, entonces el orden correcto entre ellos es
A) m=n=pB) m p nC) p n mD) p m nE) n p m
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