Compe Geometría Trilce.pdf

Dpto. Pedagógico TRILCEDerechos de Edición Asociación Educativa TRILCE

Tercera Edición, 2007.

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7

Geometría

INTRODUCCIÓN

Las matemáticas, con sus grandiosas panorámicas, su apreciación de la belleza y su precepción de nuevas realidades,posee una propiedad adictiva que es menos evidente y saludable, afin en cierto modo a los efectos de algunas drogas.El más nimio problema, aun siendo inmediatamente reconocible como trivial o reiterativo, puede ejercer esta influenciaadictiva. Una de las formas en que podemos vernos arrastrados es comenzar a resolverlos.

Martín Gardner

Las ciencias matemáticas se han desarrollado a través de los milenios y tienen definitivamente su origen en la necesidad delos seres humanos de especificar cantidades y medir figuras. El hecho que las matemáticas sean un medio para describir (y tal vezpara resolver) los problemas del mundo real, descansa en la interacción entre lo concreto y lo abstracto. Es así como la enseñanzade las matemáticas, la manipulación de los números está dividida en lo concreto: Aritmética o cálculos con números, y lo abstracto:Álgebra o cálculo de símbolos. Ahora en la enseñanza de la Geometría se va más allá, involucrando sutilezas, como el distinguirentre la figura concreta, imaginar o crear otras figuras que ayuden a comprender y resolver las anteriores y a otras de formas másabstractas.

Sólo se llegará a desarrollar las destrezas geométricas con una constante práctica que, a su vez, nos dará una mayor visióny fascinación sobre lo que estamos tratando. Este es uno de los objetivos del texto.

A lo largo del desarrollo histórico de la Geometría, se observa la atracción que ella desencadenó en grandes matemáticos,aportando muchos de ellos, teoremas valiosos que, ordenados bajo una secuencia lógica y constructiva, hacen de la Geometría uncurso razonado, elegante y fascinante.

Este texto está dirigido a un nivel secundario y pre-universitario. Primero mostramos un resumen de los contenidos teóricos(definiciones, teoremas, etc.). Luego, presentamos ejercicios y problemas propuestos que se encuentran estructurados en ordencreciente al grado de dificultad. Para ello, hemos utilizado guías de clase, problemas de exámenes de admisión de las diferentesuniversidades del país, terminando con aportes de los profesores del curso y olimpiadas matemáticas.

Los profesores responsables de la elaboración estamos seguros que este texto será una herramienta valiosa para losobjetivos del usuario; pero sobre todo deseamos despertar y desarrollar el gusto y la fascinación por la Geometría.

La Organización TRILCE agradece por anticipado todos los aportes que se hagan llegar a esta primera edición y agradeceinfinitamente a todas las personas que hicieron posible cristalizar este proyecto tan esperado por la familia TRILCE.

8

Geometría

TRILCE

9

Capítulo

ÁNGULOS1Definición :

Es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayos no alineados que tienen el mismo origen.

ºO

A

B

Elementos 1. Vértice : O

2. Lados : OA y OB

Notación : * Ángulo AOB : ) AOB, BOA* Medida del ángulo AOB : m ) AOB = .

Región Interior de un ángulo Región Exterior de un ángulo

Clasificación de los Ángulos por su Medida :

º

0º < < 90ºº

* Ángulo Agudo

º

= 90ºº

* Ángulo Recto

º

* Ángulo Obtuso

90º < < 180ºº

Bisectriz de un ángulo :

º

O

A

Bº

bisectriz

ºº

N

M L

bisectriz

10

Geometría

Ángulos Adyacentes : Ángulos Consecutivos :

ºº

aº bºcº

dº

º

º ºº

º+ º+ º+ º = 180º

Observaciones :

º

º º

ºº

º+ º+ º+ º+ º = 360º

Ángulos Complementarios

aº

bº

aº + bº = 90º

Ángulos Suplementarios

º + º = 180º

º

º

Ángulos Adyacentes Suplementarios :

A C

B

O

Los ángulos AOB y BOC tambiénse les denomina par lineal.

A C

B

O

Las bisectrices de todo par linealson perpendiculares.

TRILCE

11

Ángulos Opuestos por el vértice

ºº

º

º

Observaciones :

Es necesario recordar los siguientes ángulos comprendidos entre rectas paralelas.

º º º

º

º

º

º = º º = º º + º = 180º

* Alternos Internos * Correspondientes * Conjugados

L1

L2

a

b

c

* Si : L1 // L2

L1

L2

aº

bº

* Si : L1 // L2

xº

º+ º+ º+ = aº+bº+cº xº = aº + bº

12

Geometría

01. Si: OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule "xº".

7xº-10º

5xº+40º

A

M

B

O

02. Calcule "xº".

4xº+20º 3xº+50º

03. Calcule : º

2

.

3 º

120º 2 º

3 º

04. Calcule "xº", si : L // L1 2 .

L1

L2

3xº

2xº

80º

05. Si : L // L1 2 , calcule "xº".

L1

L2

4xº80º

60º

3xº

06. Si : L // L1 2 , calcule "xº".

L1

L2

60º

xº

xº

xº

Test de aprendizaje preliminar

TRILCE

13

07. En el gráfico, las medidas de los ángulos AOB y BOC

son suplementarios y la m ) AOC = 80°.

Calcule la m ) AOB.

B C

AO

80º

08. Si : L // L1 2 , calcule : ºººº .

L1

L2

100º

º

º

ºº

09. Si : L // L1 2 , calcule "xº".

L1

L2

60º

100º

xº

10. Calcule "xº".

100º3xº xº

Practiquemos :11. Se tienen los ángulos AOB y BOC consecutivos y miden

20° y 30° respectivamente. Calcule la medida del ánguloque forman sus bisectrices.

12. El doble del complemento de la medida de un ánguloes 120°. ¿Cuánto mide el ángulo?

13. Si un ángulo es el doble de su suplemento, ¿Cuántomide el ángulo?

14

Geometría

14. La diferencia de la medida de dos ángulos consecutivosAOB y BOC es 80°. Calcule la m ) DOB, si : OD esbisectriz del ángulo AOC.

15. ¿Cuánto mide el ángulo formado por las bisectrices dedos ángulos adyacentes y complementarios?

16. Si al complemento de un ángulo se le disminuye 10°,éste resulta ser el suplemento del triple del ángulo.Calcule el complemento de la mitad del ángulo.

17. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD,tal que los ángulos AOC y AOB son complementarios;m ) AOD + m ) AOB = 120°.Calcule la m ) DOC.

18. El doble de la medida un ángulo es mayor que otro en30°. Si los ángulos son conjugados internoscomprendidos entre rectas paralelas, ¿En cuánto sediferencian las medidas de estos ángulos?

19. Se tiene los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD,tal que :m ) AOD = 148° y m ) BOC = 36°.Calcule la medida del ángulo formado por las bisectricesde los ángulos AOB y COD.

20. Se trazan los rayos coplanares y consecutivos OA , OB ,OC y OD , determinándose los ángulos consecutivosAOB, BOC, COD y DOA que miden 90°, 7 , 10 y100°.Calcule el complemento de .

Problemas propuestos

21. Si : L // L1 2 , calcule "xº".

L1

L2160º

xº+aº

40º

3xº

20+aº

a) 18° b) 16° c) 15°d) 10° e) 25°

22. Si : L // L1 2 , calcule .

L1

L2

º º º+100º

130º º º

a) 10° b) 15° c) 25°d) 20° e) 30°

TRILCE

15

23. Si la sexta parte del suplemento del complemento deun ángulo es igual a 1/3 de 9° menos que sucomplemento, calcule la medida del ángulo.

a) 32° b) 16° c) 48°d) 24° e) 30°

24. Un ángulo mide los 2/3 de un ángulo recto y otroángulo los 4/5 de un ángulo recto, calcule elcomplemento de su diferencia.

a) 30° b) 78° c) 18°d) 48° e) 60°

25. Calcule : "xº", si : 21 L//L .

L1

L2

xº

2xº

2xº

a) 80° b) 18° c) 70°d) 20° e) 75°

26. Si : L // L1 2 , calcule "xº".

L1

L2

xº

2º

2º

º

º

a) 90° b) 70° c) 60°d) 40° e) 30°

27. Si : L // L1 2 , calcule "xº".

L1

L2xº

120º

a) 10° b) 20° c) 25°d) 30° e) 45°

28. Si : L // L1 2 , calcule "xº".

L1

L2

5ºº 4º

3º

2º

ººº

xº

º

a) 154° b) 115° c) 130°d) 144° e) 120°

29. En el gráfico, calcule "xº", siendo :

L // L1 2 .

L1

L2

ºº

ºº

4x

3xº

xº

º

a) 35° b) 20° c) 30°d) 45° e) 37°

30. Calcule "xº", si : L // L1 2 .

L1

L2

ºº

º

3xº

2xº

º

a) 18° b) 9° c) 27°d) 30° e) 20°

31. Si : L // L1 2 , calcule "xº".

L2

x

6x

x

º

º

º

a) 15° b) 10° c) 12,5°d) 22° e) 22°30'

16

Geometría

32. Si : L // L1 2 , calcule :a° + b° + c° + d° + e°.

L1

L2

aº dº

bº eº

cº

a) 180° b) 520° c) 480°d) 360° e) 720°

33. Si : L // L1 2 , calcule "xº".

L1

L2

34º

48º

xº

a) 34° b) 48° c) 82°d) 98° e) 49°

34. El doble del complemento de un ángulo sumado conel suplemento de otro ángulo es igual al suplementodel primer ángulo. Calcule la suma de las medidas dedichos ángulos.

a) 100° b) 45° c) 90°d) 180° e) 160º

35. El doble del complemento de un ángulo aumentadoen el triple del suplemento del doble de dicho ángulonos da 480°. Calcule el suplemento de la medida dedicho ángulo.

a) 30° b) 60° c) 120°d) 150° e) 135°

36. La diferencia de las medidas de dos ángulos es 40° y eltriple del suplemento del ángulo doble del primero esigual al duplo del complemento del suplemento delángulo triple del segundo. Calcule la medida de dichosángulos.

a) 60° y 60° b) 30° y 90° c) 45° y 75°d) 70° y 50° e) 40° y 80°

37. Si : L // L1 2 , calcule el máximo valor entero de "xº",siendo el ángulo CAB agudo.

L1

L2 3x

2x

A

BC

º

a) 18° b) 17° c) 16°d) 15° e) 12°

38. Dados los rayos consecutivos : OA1, OA 2 , OA 3 , ....OA n , contenidos en un mismo plano, donde "n"ángulos consecutivos y la suma de 2 ángulosconsecutivos es siempre agudo. Calcule el menor valorentero que puede tener "n"?

a) 6 b) 7 c) 8d)9 e) 10

39. Si : DC//AB , 23

DCQ)mBAQ)m

y

m ) AQC = 100°, calcule el complemento del ánguloDCQ.

B

D

A

Q

C

a) 20° b) 60° c) 50°d) 70° e) 80°

40. Calcule "xº", siendo : L // L1 2 .

L1

L2

xº

a) 60° b) 75° c) 105°d) 135° e) 140°

TRILCE

17

41. Calcule "xº", si : aº + bº = 50° y L // L1 2 .

L1

L2

120º x

80º

b

a

º

º

º

a) 40° b) 50° c) 70°d) 60° e) 65°

42. En el gráfico, el rayo OP es bisecriz del ángulo AOD,siendo : m ) POC - m ) BOP = 20°.

Calcule m ) AOB - m ) COD.

OD

AB

P

C

a) 22° b) 40° c) 25°d) 10° e) 20°

43. En el gráfico, calcule el máximo valor entero de "yº".

xº- 2yº 3yº+ xº

a) 50° b) 35° c) 41°d) 40° e) 52°

44. Si : L // L1 2 y n //m, calcule "xº".

m

39ºx

4x 54ºC

L1

L2

n

a) 20° b) 30° c) 33°d) 35° e) 40°

45. En el gráfico : 78ºº y L // L1 2 , calcule "xº".

xº

L1

L2º

º

º

º

a) 76° b) 78° c) 70°d) 90° e) 82°

46. En el gráfico, calcule el mínimo valor entero de "xº".

xº

a) 46° b) 48° c) 54°d) 56° e) 63°

47. Si : L // L1 2 , calcule "xº".

L1

L2

x

2

3

º

a) 143° b) 127° c) 150°d) 135° e) 165°

48. Si : L // L1 2 , calcule "xº". Si : 220ºº .

L1

L2º

º

xº

3

3

a) 10° b) 20° c) 30°d) 40° e) 50°

18

Geometría

49. Si : L // L1 2 y 110ºº , calcule "xº".

L1

L2

xº

º

º

a) 35° b) 45° c) 40°d) 30° e) 25°

50. Calcule la razón aritmética del máximo y mínimo valorentero que puede tomar "xº", si "" es la medida deun ángulo agudo, en el gráfico L // L1 2 .

L1

L2

xº

83º

a) 90° b) 85° c) 87°d) 88° e) 86°

51. Del gráfico, calcule el valor de la razón aritmética entrex e y, cuando "xº" toma su mínimo valor entero.

xº-yº

2yº+xº5xº

a) 8° b) 3° c) 4°d) 5° e) 6°

52. Si un ángulo mide 180° es dividido en "n" ángulosconsecutivos y congruentes :

1 , 2 , 3 , .... n , calcule la medida del ángulo queforman las bisectrices de 5 y 8 , sabiendo que lasbisectrices de 3 y 2n son perpendiculares.

a) 44° b) 45° c) 48°d) 52° e) 54°

53. Sean : AOB, BOC, COD, DOE y EOF ángulosconsecutivos tales que : m ) AOF = 154° ym ) AOD = m ) BOE = m ) COF..Calcule la m ) BOC, si la medida del ángulo formadopor la bisectriz del ángulo COD y el rayo OE es igual a54°.

a) 23° b) 28° c) 63°d) 36° e) 75°

54. Del gráfico, calcule el máximo valor entero impar de"xº", si " " es la medida de un ángulo agudo..

x

x

º

a) 100° b) 120° c) 130°d) 133° d) 145°

55. Del gráfico, calcule el valor de "" cuando "x" toma sumínimo valor entero par. Si : L // L1 2 .

L1

L2

x

x

x-

º

º

a) 34° b) 32° c) 28°d) 29° e) 30°

56. Según el gráfico, calcule "xº", si : L // L1 2 .

x

L1

L2

121º

44º

a) 66° b) 85° c) 77°d) 70° e) 80°

57. Calcule "xº", si : L // L1 2 L3// y a° - b° = 36°.

aº

xºbº

ºº

L1

L2

L3

a) 54° b) 72° c) 36°d) 63° e) 52°

TRILCE

19

58. Si el suplemento del complemento de la mitad delmayor ángulo que forman la bisectriz del ánguloadyacente a un ángulo "" y el lado no común es140°, calcule "" .

a) 10° b) 12° c) 15°d) 20° e) 30°

59. En el gráfico : L // L1 2 , L // L3 4 , L // L5 6 , calcule :xº+yº.

L2

L1

L3

x

110º

55º

y

L5

L4

L6

a) 170° b) 180° c) 210°d) 235° e) 245°

60. En el gráfico, calcule )x

(

, cuando "x" sea máximo..

Siendo : )aa6(x 2 .

x

a) 0° b) 39° c) 35°d) 36° e) 30°

20

Geometría

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

d

e

d

b

b

c

d

d

b

c

e

e

d

d

a

e

c

d

c

d

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

c

d

b

c

b

a

d

c

a

d

c

e

a

d

d

c

d

d

d

b

21

TRILCE

Definición :

AE

B

F

C H

Elementos

1. Vértices : A, B, C2. Lados : AB, BC y AC

3. Ángulos Interiores :

<)

A, B, C<) <)

Exteriores : EAB, FBC, BCH<) <)

<)

Notación : ABC , ABCT , etc.

Se denomina región triangular a la reunión de los puntosinteriores con el conjunto de puntos de sus lados.

*

Observaciones :

Capítulo

TRIÁNGULOS2

Propiedades Básicas

1.

Aº

Bº

Cº

Aº + Bº + Cº = 180º

2.

eº2

eº3eº1

eº + eº + eº = 360º1 2 3

22

Geometría

3.

yº

xº zº

xº = º + ºyº = º + ºzº = º + º

4.

b c

a

b - c < a < b + c

5.

xº

º

º º

xº = º + º + º

Líneas Notables en el Triángulo

1. Mediana

A

B

CM

BM : mediana

b b

2. Bisectriz

A

B

CI

BI : bisectriz interiorº º

A

B

C

L

L : bisectriz exterior

23

TRILCE

3. Altura

A

B

C

BH : altura

H

A

BC

AF : altura

F

4. Mediatriz

A

B

C

LL : mediatriz de AC

b b

* Ceviana

A

B

CF

BF : ceviana interior

A

B

CE

BE : es ceviana exterior

Relaciones Angulares

1.

Bº

xº2B

90x

2.

Bº

2B

90x

xº

24

Geometría

3.

Bºxº

2B

x

4.

xº

A

B

C

H I

2x

BH : altura

BI : bisectriz

25

TRILCE

01. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero, calcule"xº".

80º

xºA

B

C

02. En el gráfico, calcule "xº".

130º 4x

3x-10


xº

150º

04. En el gráfico, calcule )ºº( .

120º

100º

º

º

05. En el gráfico, calcule "xº", si : AB = BQ = QF = FC.

xº

A

B

Q

CF


100º

xº


26

Geometría

07. En el gráfico, AB = DC, calcule "º" .

ºA

B

C

º º5

D3 º

08. En el gráfico mostrado, ¿cuál de los segmentos es el demenor longitud?

60º 61º59º

63º

B

C

D

EFA60º

60º61º 61º

09. Calcule "xº".

xº

60º

10. Calcule la m ) BDC.

B

CD

A

60º

Practiquemos :11. Calcule el ángulo que forman las perpendiculares

trazadas desde el vértice B de un triángulo ABC a lasbisectrices interiores de los ángulos A y C, si :

m ) B = 110°.

12. Las medidas de los ángulos internos de un triánguloestán en progresión aritmética cuya razón es 10. Calculela medida de cada ángulo.

13. En un triángulo ABC (m ) B>90°), se sabe que : BC = 2 cm y AC = 5 cm. Calcule el valor o valoresenteros que puede adoptar AB.

27

TRILCE

14. En un triángulo acutángulo, dos de sus lados suman30u. Calcule el mayor valor entero que puede tomar laaltura relativa al tercer lado.

15. Los lados de un triángulo isósceles miden 5 u y 13 u.Calcule su perímetro.

16. En un triángulo ABC, m ) A = 2(m ) C), la bisectrizinterior BD prolongada intersecta en "E" a la bisectrizexterior del ángulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE.

17. En un triángulo ABC, la medida del ángulo formadopor la bisectriz interior del ángulo A, y la bisectrizexterior del ángulo C es siete veces la medida del ánguloB. Calcule la medida del ángulo B.

18. Los catetos de un triángulo rectángulo ABC, miden :AB = 16 u, BC = 30 u, se traza la altura BH y lasbisectrices BP , y BQ de los ángulos ABH y HBCrespectivamente. Calcule PQ.

19. En un triángulo ABC, la suma de las medidas de losángulos B y C es 105°. Si la medida del ángulo A excedea la medida del ángulo B en 4°. Calcule la medida delángulo C.

20. En el gráfico, NM = NC y CB es bisectriz del ángulo

ACN. Calcule la m ) BAC.

B

A C

40º

N

M

Problemas propuestos21. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo

son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Calcule lamedida de cada ángulo.

a) 60°, 80° y 100° b) 40°, 60° y 80°c) 30°, 40° y 50° d) 45°, 60° y 75°e) 36°, 48° y 60°

22. Calcule la medida del ángulo formado por la altura y labisectriz que parten del vértice A de un triángulo ABC.Sabiendo que : m ) A + 2(m ) C) = 100°.

a) 20° b) 30° c) 40°d) 50° e) 60°

23. Los catetos de un triángulo rectángulo ABC midenAB = 8 u; BC = 15 u. Se traza la altura BH y lasbisectrices BP y BQ de los ángulos ABH y HBCrespectivamente. Calcule PQ.

a) 2 u b) 4 u c) 5 ud) 6 u e) 3 u

28

Geometría

24. En el gráfico, calcule "xº", si : AD y BC son bisectricesde los ángulos A y C respectivamente.

B

A

D

C

xº 60º

20º

a) 130° b) 100° c) 120°d) 70° e) 110°

25. Calcule la medida de los ángulos de un triángulo ABC,

si: 3(m ) B) = 2(m ) A) y 3(m ) C) = 7(m ) A).

a) 20°, 30°, 130° b) 45°, 30°, 105°c) 48°, 32°, 100° d) 51°, 34°, 195°e) 60°, 40°, 80°

26. Dado el triángulo ABC; si por el vértice C se traza CHperpendicular a AB y también la bisectriz exterior delángulo C y la diferencia de las medidas de los ángulosA y B es 26°. Calcule la medida del ángulo que forma labisectriz y la perpendicular.

a) 110° b) 123° c) 103°d) 77° e) 96°

27. En el triángulo ABC, AD es la altura correspondienteal lado BC y BE es la bisectriz del ángulo B, las cualesse cortan en F. Si : m ) A = 64° y m ) C = 42°.Calcule la medida del ángulo AFB.

a) 127° b) 150° c) 170°d) 132° e) 130°

28. Calcule "x°".

80º

xº

A

B

C

a) 140° b) 130° c) 120°d) 110° e) 125°

29. Sobre el lado BC de un triángulo ABC, se ubica elpunto "D", tal que la medida del ángulo ADC es igual ala semisuma de los ángulos interiores de A y B. CalculeBD, si además :AC = 12 u y BC = 16 u.

a) 14 u b) 10 u c) 8 ud) 4 u e) 6 u

30. Calcule "xº".

xº

130º

a) 15° b) 20° c) 25°d) 30° e) 50°


xº xº

a) 12° b) 18° c) 24°d) 36° e) 60°

32. En un triángulo ABC, m ) A = 2m ) C, AB = 4 u.Calcule el máximo y mínimo valor entero que puedetomar el lado BC .

a) 8 u y 7 u b) 5 u y 4 u c) 5 u y 2 ud) 7u y 6 u e) 5 u y 3 u

33. Si dos lados de un triángulo son 15 u y 18 u, el tercerlado puede ser :

a) 1 u b) 2 u c) 12 ud) 35 u e) 3 u

34. El ángulo CAD es igual a tres veces el ángulo CAB y elángulo BCA es mayor al ángulo CBA. El mayor ladodel triángulo ABC es :

C

DB

A

a) BCb) ABc) ACd) Puede ser AC o BC dependiendo de la forma

del triángulo.e) No se puede determinar los datos.

29

TRILCE

35. Calcule "º" .

60º50º

a) 110° b) 110° c) 90°d) 55° e) 60°

36. Calcule : ººº .

ºº

70º

º

a) 70° b) 100° c) 110°d) 140° e) 130°

37. En el triángulo ABC, m ) A = 80°, m ) B = 60°. Si :

AN y BM son alturas, calcule : "xº".

B

A C

N

M

xº

a) 40° b) 140° b) 120°d) 50° e) 60°

38. Calcule el número de triángulos escalenos que tienentodos los lados enteros y de perímetro 22 cm.

a) 5 b) 6 c) 4c) 7 e) 8

39. En el gráfico, calcule la suma de las medidas de losángulos señalados.

a) 405° b) 180° c) 390°d) 450° e) 360°

40. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BT , si :AB = AT, BC = AC. Calcule el máximo valor entero dela m ) CBT..

a) 36° b) 35° c) 30°d) 45° e) 44°

41. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero.Calcule "xº".

xº

70º

B

AC

a) 10° b) 45° c) 36°d) 72° e) 30°

42. En el gráfico, AB = BC, DEBC y el ángulo BECmide 35°. Calcule "º" .

º

D

C

EAB

a) 32° 30' b) 30° 30' c) 27° 30'd) 20° 15' e) 20° 5'

43. Sea el triángulo ABC en el cual se cumple que :m ) ABC = 64°, m ) ACB = 72° y BM y CP bisectricesde los ángulo ABC y ACB respectivamente; dichasbisectrices se intersectan en el punto I (incentro).Además, se traza la altura BH . Calcule la medida delos ángulos BIC y MBH.

a) 112° y 16° b) 120° y 12° c) 11° y 14°d) 110° y 12° e) 112° y 14°

30

Geometría

44. En el gráfico, BH es altura del triángulo ABC y BD esbisectriz del ángulo ABC. Calcule "xº".

B

A C

xº

DH3

a) 2 b) c) 2/

d) 3/2 e) 3/

45. En el gráfico, calcule el máximo valor entero de .Si : x° + y° + z° > 300°.

º2 º

3 º

yº zºxº

6 º

a) 22° b) 23° c) 24°d) 25° e) 26°

46. En el gráfico, las medidas de los ángulos interiores deltriángulo ABC están dadas en grados sexagesimales.Calcule el menor valor entero (en gradossexagesimales) que puede tomar "bº".

B

A C

2bº-aº

a -bº ºa +bº º

a) 45° b) 46° c) 40°d) 35° e) 36°

47. Calcule "xº".

xº

4xº

a) 18° b) 20° c) 22°d) 25° e) 30°


ºº

xº

º3 3º

xº

a) 60° b) 45° c) 36°d) 72° e) 30°


Si : 50ba .

xºa b

a) 62° b) 66° c) 63°d) 64° e) 65°

50. En el gráfico :x+y+z = 240° y a+b+c = 170°.Calcule : ººº .

º

º

º

c

x

za

by

a) 60° b) 80° c) 100°d) 140° e) 50°

51. La bisectriz de uno de los ángulos de un triánguloescaleno, forma con el lado opuesto dos ángulos queson entre sí como 7 es a 13. Calcule el menor de losángulos del triángulo asumiendo que la medida que lamedida en grados de cada uno de los tres ángulos esun número entero menor que 80º.

a) 24º b) 25º c) 26ºd) 27º e) 28º

31

TRILCE

52. Calcule "xº", si ; AM = NC.

B

M

CAN

60º

20ºxº

80º

a) 40° b) 60° c) 80°d) 90° e) 70°

53. En el gráfico, calcule "x° ".

2

2

xº

60º

a) 45° b) 60° c) 30°d) 90° e) 75°


ºº

º

º

xº

º

º

º40º º

a) 115° b) 125° c) 135°d) 14° e) 140°

55. Dado un triángulo ABC equilátero, se ubica el punto Dexterior al triángulo, tal que el segmento BD intersectaal lado AC .Si m ) ADC > 90°, AD = 8u y CD = 15u. Calcule elmenor perímetro entero del triángulo ABC.

a) 52 u b) 24 u c) 22 ud) 46 u e) 48 u

56. En el gráfico, calcule "xº", AB = BC, EF = FD.

58º

94º

F

C

D

B

EA xº

a) 20° b) 15° c) 30°d) 18° e) 25°

57. En el gráfico : PA = 2 u y BR - RC = 3 u.Calcule PQ.

A

B

R

C

P

Q

2

3

a) 6 u b) 5 u c) 4 ud) 3 u e) 7 u

58. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BM ,si :m ) ACB = º, ººCAB)m y la medida delángulo exterior del ángulo A es "" , donde :AB = 8u, MC =3u. Calcule BC.

a) 10 u b) 11 u c) 12 ud) 13 u e) 14 u

59. En un triángulo ABC se traza la ceviana BP , si :AB = PC.

m ) BAC = 10 º, m ) BCA = 2 º.

m ) CBP = º. Calcule " º".

a) 5º b) 8º c) 9ºd) 10º e) 12º

60. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BT , si :BC = AT y m ) BAC = 60º - 2xº ;m ) CBT = xº, m ) BCA = 2xº.Calcule la m ) CBT..

a) 5º b) 8º c) 10ºd) 12º e) 15º

32

Geometría

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

d

c

a

d

b

c

c

a

a

c

d

c

d

e

b

d

a

a

d

c

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

a

a

e

b

c

b

b

d

e

e

b

c

b

b

a

d

b

b

d

c

TRILCE

33

Definición :

Dos segmentos, dos ángulos o dos figurasgeométricas en general, serán congruentes si tiene la mismaforma y el mismo tamaño. Para la congruencia de dostriángulos, se postulan los siguientes casos :

Postulado (LAL)

Postulado (ALA)

Postulado (LLL)

Postulado (LLA)

CapítuloCONGRUENCIA DE

TRIÁNGULOS3Propiedad de la Bisectriz

O

F

E

H

OHOF

EHEF

Propiedad de la Mediatriz

A

P

Bb b

PA = PB

El APB es isósceles.

Teorema de la Base Media

B

A C

NM

MN : base media

MN // AC

2AC

MN

c a

c a

34

Geometría

Teorema de la Menor Mediana en el TriánguloRectángulo

B

A CM

2AC

BM

b

b b

En el Triángulo Isósceles

*

B

A CE

G

HF

Si : AB = BC

AH = EF + EG

*

B

A

S

C P

H

Q

Si : AB = BC

CH = PQ - PS

TRIÁNGULOS NOTABLES

* De 30° y 60°

60º

30º

2aa

3a

* De 45° y 45°

b2b

45º

45ºb

* De 37° y 53°

53º

37º

3k

5k

4k

* De 2

53

53º/2

n

2n

* De 2

37

37º/2

l

l3

* De 15° y 75°

15º75º

h

a

4a

h

* De 30° y 75°

30º75º

h

b

2b

h

TRILCE

35

01. En el gráfico, calcule AB, si : BC = 15 u.

B

A C45º 37º

02. En el gráfico, calcule "x".

x

10 u

45º

37º

03. En el gráfico, ED = 12u. Calcule AC.

B

AC

E

D30º 15º

04. En el gráfico, calcule "xº". 2BP = PC.

B

A C

P

x

05. En el gráfico, PM es mediatriz de AC . Calcule AB.Si : PC = 8 m.

M

B

A C

2 P

06. En un triángulo ABC, se ubican los puntos medios M yN de AB y BC respectivamente. El segmento que unelos puntos medios de MC y NA mide 2u. Calcule AC.


36

Geometría

07. En el gráfico, calcule QN, si :AC = 10 u y MQ = 4u , AM = MB, BN = NC.

B

A C

M N

Q

08. En el gráfico, calcule PH, si : BH = 36 u.(AP = PM) y (BM = MC).

A

B

HC

M

P

09. Calcule "xº".

x

5 u

6 u

5 u

º

10. En el gráfico, calcule PQ, si :AB = 6 u y AC = 8 u, BQ = QC.

B

A C

Q

P

Practiquemos :

11. En el gráfico : AC = 16 m. Calcule AP. (AB = PC).

B

CA

P

2

5

12. En el gráfico : AB = BC, BM = 1 u, calcule AD.

45º

B

C

DAM

TRILCE

37

13. En el gráfico, calcule : "xº", si los triángulos ABR y PBCson equiláteros.

B

CA

R

xP

14. En el gráfico, calcule el perímetro del triángulo.

12 m

10 m

60º

15. En el gráfico, calcule MN, si :AH = 5 u, BH = 12 u.

A

B

HC

NM

16. En un triángulo ABC, la medida del ) ABC es igual a128°. Las mediatrices de AB y BC cortan a AC enlos puntos R y S, respectivamente. Luego, la suma delas medidas de los ángulos ABR y SBC es :

17. En el gráfico, BM = MC. Calcule "xº".

A

CBM

30º 15º

x

18. En el gráfico, calcule "xº". BP = PC y AM = MP.

B

A C

Px

Q

M18 u

19. En el gráfico : AH = 2 u y HC = 8 u. Calcule AB.

2 A

B

HC

38

Geometría

20. En el gráfico, AM y CN son bisectrices exteriores delA y C, AB = 6 u, BC = 12 u, AC = 16 u. Calcule MN.

A C

M N

B


21. Calcule BD, si : CD = 8 u.

A

B

C

Da) 8 u b) 4 u c) 16 ud) 2 u e) 12 u

22. En el gráfico, AM = MC. Calcule 3º

.

2 45º

B

CAM

a) 10° b) 12° c) 5°d) 15° e) 18°

23. En el gráfico, BC = 18 u, AC = 6 u y "M" es el puntomedio de AB. Calcule MQ.

Q

B

M

AC

a) 10 u b) 12 u c) 13 ud) 14 u e) 15 u

24. En el gráfico, calcule BC, si : HM = 6 u.

A

B

H

CM

a) 9 u b) 12 u c) 15 ud) 18 u e) 24 u

25. En el gráfico, AB = BC. Calcule QC, si :AQ = 8 u; PC = 2 u.

A

B QC

P

a) 4 u b) 8 u c) 3 ud) 6 u e) 12 u

26. En el gráfico, calcule la m ) ABM. Si : AM = MC.

A

B

C

53º2

37º2

M

a) 37° b) 53° c) 45°d) 60° e) 90°

TRILCE

39

27. Sea ABC un triángulo escaleno. La mediatriz de BCcorta a AC en "F" y se cumple que:AB = AF = FC. Calcule la m ) ACB.

a) 53° b) 15° c) 30°d) 37° e) 60°

28. En el gráfico, calcule "xº", si : BC = MC.

x

M

B

A C

2

º

a) 20° b) 25° c) 30°d) 45° e) 37°

29. En el gráfico, calcule "º" .

30º

20º

70º10º º

a) 9° b) 10° c) 15°d) 22,5° e) 30°

30. Se ubica un punto P en el interior de un triángulo ABC,tal que : AP = AB = BC, si :m ) ACP = 30°, m ) CAP = 10°. Calcule la m ) BAP..

a) 20° b) 40° c) 30°d) 10° e) 15°

31. En el gráfico, calcule : "xº", si : AD = DC.

A

B

CD

45º

xº

xº

a) 15° b) 20° c) 25°d) 30° e) 35°

32. En el gráfico, calcule "xº", si : AD = DC.

A

B

CD

30º105º

xº

a) 10° b) 12° c) 15°d) 20° e) 30°

33. En el gráfico, calcule "xº", si : AB = AD + DC.

xº 2xº

xº

B

A C

D

a) 10° b) 12° c) 15°d) 18° e) 36°

34. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD , tal que :CDAB y D está en el lado AC . Además :

m ) ABD = 60° y m ) BAC = 20°. Calcule la m ) BCA.

a) 15° b) 30° c) 25°d) 22° 30' e) 20°

35. En el gráfico, calcule AE.Si : BC = 36 u y EC = 24 u. AB = AC.

2

B E

A C

a) 61 u b) 62 u c) 64 ud) 66 u e) 60 u

36. En el gráfico, AT = 5 u, BC = 10 u.Si : AM = MC. Calcule TB.

B

C

L

T

MA

40

Geometría

a) 11 u b) 12 u c) 13 ud) 14 u e) 15 u

37. En el gráfico mostrado, AB = CD. Calcule : "xº".

xº

A

B C2xºD

a) 9° b) 12° c) 18° 30'd) 14° e) 21° 30'

38. En el gráfico, calcule : "º" . AB = PQ y AQ = QC.

º

6º

2º

B

P

A CQ

a) 10° b) 18° c) 20°d) 30° e) 15°

39. En el gráfico, ABC es un triángulo isósceles (AB = BC).AC//PQ ; PE = 3u; PF = 5u y NQ = 7 u. Calcule QD.

B

D

E

P

FQ

A CN

a) 12 u b) 13 u c) 14 ud) 15 u e) 16 u

40. En el gráfico mostrado, AB = CD. Calcule "x".

A

B

CD

x90º-2x

2x

a) 8° b) 10° c) 12°d) 15° e) 18°

41. En el gráfico, calcule : "xº". Si : AB = BC.

2xº

xº

90+2xº

B

A C

a) 22° 30' b) 20° 30' c) 18° 20'd) 18° 30' e) 20° 18'

42. En el gráfico mostrado : DE = 18 u, FC = 24 u,GC = 16 u. Calcule MN, si : M y N puntos medios deEF y DG , respectivamente.

B

E FM

D

NA

GC53º

a) 16 u b) 15 u c) 12 ud) 17 u e) 18 u

43. En el gráfico, calcule "xº".Si : AB = BR = MC y AM = MC.

2xºxº

B

R

CAM

a) 5° b) 10° c) 12°d) 15° e) 18°

44. En el gráfico, calcule "xº", si : AD = DC.

A

B

CD

2xº

xº30º

a) 30° b) 10° c) 15°d) 18° e) 20°

TRILCE

41

45. En el gráfico, calcule "xº".Si : BP = AC y AD = DP.

xº

2

B

C

D

A

P

a) 90° b) 60° c) 45°d) 120° e) 150°


º

º

º 3º2º

a) 8° b) 10° c) 15°d) 18° e) 20°


3º 5º

2º

5º

3º

a) 9° b) 12° c) 10°d) 15° e) 18°

48. En el gráfico, calcule "xº", si : AB = CD.

xº

xº

30º

B

CAD

a) 9° b) 10° c) 12°d) 15° e) 18°

49. En el gráfico mostrado, AB = CD.

Calcule " º ".

A

B

CD

90º-

º4º

º

a) 10° b) 12° c) 15°d) 20° e) 25°

50. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BF , si :AB = FC, m ) BAC = 30°, m ) FBC = 45°.Calcule m ) BCA.

a) 12º b) 15º c) 20ºd) 30º e) 22º 30'

51. En el gráfico mostrado, calcule "xº".

10º100º

10º

20ºxº

a) 5° b) 8° c) 10°d) 12° e) 15°

52. En el gráfico, calcule "xº", si : AD = BC.

2xº3xº

6xº

A

B

CDa) 10° b) 12° c) 20°d) 15° e) 18°

53. En el gráfico, calcule "xº", si : AD = BC.

A

B

CD

30º-xº

30º+x 30º

a) 12° b) 15° c) 10°d) 18° e) 20°

42

Geometría

54. En el gráfico : BC = AD, calcule "º" .

2º

º

2º

3º

B

C

A D

a) 10° b) 12° c) 15°d) 18° e) 20°

55. En el gráfico, calcule "x", si : AB = DC.

A

B

CD

2x60º+x

x

a) 10° b) 15° c) 20°d) 45°/2 e) 15°/2

56. En el gráfico, calcule "xº". Si : AQ = QC = BC.

2xºxº

B

A C

Q

a) 10° b) 15° c) 18°d) 30° e) 22° 30'

57. Si : M, N y P puntos medios de BC , AB y ACrespectivamente. Calcule "xº", si además :BE = 2u y BD = 4u.

xº

2

2

C

A

PM

E

DB N

a) 30° b) 35° c) 31°d) 36° e) 37°

58. Calcule "xº", en función de : "" .Si : AM = MC.

22

30º

45º+

x

B

A CM

a) 2 b) c) 15

c) 30 e) 60

59. En el gráfico, calcule "xº", si : AB = DC.

A

B

CD

xº

18º48º

a) 10° b) 12° c) 15°d) 18° e) 20°

60. En el gráfico, calcule : "xº", si : AD = BC.

A

B

CD

30º

xº

12º

a) 5° b) 6° c) 9°d) 10° e) 12°

TRILCE

43

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

a

c

b

b

d

e

c

c

b

b

d

e

e

e

e

e

c

e

d

b

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

a

d

b

c

b

c

c

e

d

e

c

d

b

c

d

d

c

c

b

b

44

Geometría

TRILCE

45

Capítulo

POLÍGONOS4Definición :

Sean 1P , 2P , 3P , .... nP una sucesión de "n" puntos

distintos de un plano con n 3. Los segmentos 21 PP ,

32 PP , 43 PP , .... n1n PP , 1n PP ; son tales que ningún par

de segmentos con un extremo común sean colineales y no

exista un par de segmentos que se intersecten en puntos

distintos de sus extremos. Entonces, la reunión de los "n"

segmentos se denomina Polígono.

P1

P2

P3

P4

P5

P6

Pn

Elementos :

1. Vértices : 1P , 2P , 3P , ....

2. Lados : 21 PP , 32 PP , .....

3. Ángulos :

* Internos : ) 1P , ) 2P , ....

* Externos : , ......

4. Diagonal : 53 PP , 64 PP , .....

Los Polígonos se clasifican en :

1. Por el número de lados :

* Triángulo 3 lados* Cuadrilátero 4 "* Pentágono 5 "* Exágono 6 "

(o hexágono)* Heptágono 7 "

* Octógono 8 "* Eneágono 9 "

o nonágono* Decágono 10 "* Endecágono 11 "* Dodecágono 12 "* Pentadecágono 15 "* Icoságono 20 "

2. Por sus lados y ángulos

* Polígono Convexo

* Polígono no Convexo

* Polígono Equilátero

* Polígono Equiángulo

46

Geometría

* Polígono Regular

B C

A D

OO

G H

F I

E J

* Polígono Irregular

PROPIEDADES

I. Máximo número de diagonales trazadas desde 1 vértice.

(n-3) diagonales

II. Número total de diagonales.

2)3n(n

ND

III. En los polígonos convexos, la suma de las medidas delos ángulos internos es de :

)2n(180Si

IV. En todo polígono convexo, la suma de las medidas delos ángulos extenos es de 360°.

Sex = 360º

V. En el polígono equiángulo.

eº

eº

eº

eº

iº

iº

iº iº

iº

n360

Exterior)m

n)2n(180

Interior)m

VI. En el polígono regular.

eº

iº

iº

eº

eº

ºiº

iº

O

: medida del ángulo central.

Se = 360S

n360

e

n)2n(

180i

TRILCE

47

01. En el octógono regular, calcule " º ".

º

02. Calcule la suma de las medidas de los ángulos interioresen el gráfico.

03. ABCDE es un polígono regular. Calcule "xº".

x

A

E D

C

B º

04. En el polígono mostrado :AB = BC = CD = DE = a, CDAC , DEAD .Calcule el perímetro del polígono mostrado.

C

D

E

B A

05. El gráfico muestra un polígono regular.Calcule : xº - yº.

x

y

º

º

06. En un polígono, la suma de las medidas de sus ángulosinternos es 540°, el número de lados de dicho polígonoes :


48

Geometría

07. En un polígono, la diferencia de la suma de los ángulosinternos y la suma de ángulos externos es igual a 720°.Calcule el número de diagonales de dicho polígono.

08. En un polígono equiángulo, la relación entre lasmedidas de un ángulo interior y otro exterior es como5 a 1.Calcule el número de diagonales del polígono.

09. La medida del ángulo interior de un polígono regulares igual a la medida de su ángulo central. El polígonoes un :

10. En el gráfico, se presenta parte de un polígono regularde "n" lados. Calcule "n".

A

B

CD

E

F

G

164º

Practiquemos :11. Calcule el número de lados de un polígono convexo, si

desde cuatro vértices consecutivos se puede trazar 45diagonales.

12. En un hexágono ABCDEF :BC = 4u, AB = 3u, CD = 6u, DE = 5u.Calcule el perímetro del hexágono equiángulomencionado.

13. Se tiene un octógono equiángulo ABCDEFGH en elcual :AB =2 m; BC = 2 m; CD = 3m. Calcule AD.

14. Cada lado de un polígono regular mide 6 cm y elperímetro equivale al número que expresa el total dediagonales en cm. Calcule la medida de un ángulocentral.

15. Desde 7 vértices consecutivos de un polígono se hantrazado 55 diagonales. Calcule el número de diagonalestotales del polígono.

TRILCE

49

16. En un hexágono convexo ABCDEF :

m ) B = 140º, m ) E = 150º, m ) C + m ) D = 330º.

Calcule la medida del ángulo que forman las rectas AB

y FE al intersectarse.

17. En un polígono equiángulo ABCDEF ... las bisectricesde los ángulos ABC y DEF son perpendiculares. Calculeel número de diagonales de dicho polígono.

18. Si a un polígono se le incrementa el número de ladosen 2, cada ángulo interno aumenta en 15°.El polígono es :

19. Si el número de lados de un polígono regular aumentaen 10, su ángulo interior aumenta en 3°. Calcule elnúmero de lados del polígono original.

20. En un polígono regular, se cumple que la suma de lasmedidas de un ángulo central, un ángulo exterior y unángulo interior es 210°. Calcule el número total dediagonales.

Problemas propuestos21. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos

de un polígono, sabiendo que si se aumenta en tres elnúmero de lados, el número de diagonales aumentaen 27.

a) 1260° b) 1360° c) 1560°d) 1460° e) 1600°

22. En un polígono regular la diferencia de un ángulointerno y un ángulo externo está comprendida entre30° y 40°. Calcule el número de lados de dichopolígono.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 10

23. Se tiene un octágono regular ABC-DEFGH. Calcule lamedida del ángulo formado por las diagonales BE yCH .

a) 30° b) 45° c) 60°d) 90° e) 120°

24. Si un polígono regular tiene "n" lados y se suman elvalor de la suma de sus ángulos internos, externos ycentrales se obtiene (200n)°. Calcule el número dediagonales que tiene dicho polígono.

a) 119 b) 152 c) 104d) 135 e) 170

25. Los ángulos internos B, C y D de un polígono convexomiden 170°, 160° y 150° respectivamente. Calcule lamedida del menor ángulo formado por los lados AB yDE .

a) 50° b) 60° c) 70°d) 80° e) 40°

26. ABCDE es un pentágono regular y BCPQ es uncuadrado interior al pentágono. Calcule la m ) DBP..

a) 6° b) 8° c) 9°d) 10° e) 12°

27. Calcular el número de lados de un polígono equiánguloABCDEF ......, si las mediatrices de AB y EF formanun ángulo cuya medida es 36°.

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

28. Calcule el número de lados del polígono regular cuyoángulo interno es (p+15) veces el ángulo exterior, yademás se sabe que el número de diagonales es 135p.

a) 80 b) 85 c) 90d) 95 e) 100

50

Geometría

29. Dadas las siguientes proposiciones :I. Cada ángulo interior de un hexágono regular mide

120°.II. En el decágono, se pueden trazar 36 diagonales.III. El polígono regular cuyos ángulos exteriores mi-

den 36° es un decágono.

Son verdaderas :

a) Sólo I y III b) Sólo IIc) Sólo I y II d) Sólo IIIe) Sólo II y III

30. Calcule el número de diagonales que se puede trazaren un polígono regular de vértices 1A , 2A , 3A , .....

nA , sabiendo que las mediatrices de 21AA y 43AA

forman un ángulo que mide 30°.

a) 189 b) 230 c) 170d) 275 e) 252

31. Dos números consecutivos, representan los númerosde vértices de dos polígonos convexos. Si la diferenciade los números de diagonales totales es 3. El polígonomayor es :

a) Icoságono b) Nonágonoc) Pentágono d) Eptágonoe) Endecágono

32. Se tiene un polígono regular cuyo semiperímetro es"p" y el número que expresa su número de diagonaleses igual al perímetro.Además su ángulo interior es "p" veces su ánguloexterior.Calcule la longitud del lado del polígono regular.

a) 1/3 b) 1/5 c 1/4d) 1 e) 1/2

33. El polígono, en el que su número de lados es igual a sunúmero de diagonales es :

a) Pentágono b) Hexágonoc) Dodecágono e) Nonágonoe) Octógono

34. Si la suma de las medidas de los ángulos internos dedos polígonos convexos difieren en 720° y sus ánguloscentrales difieren en 7,5°.Indicar si el cociente mayor que la unidad de los ladosde los dos polígonos convexos es igual a :

a) 1,53 b) 1,23 c) 1,13d) 1,43 e) 1,33

35. Si a un polígono se le aumenta un lado, su número dediagonales aumenta en 6. Si se le disminuye un lado,el número de diagonales disminuye en :

a) 6 b) 3 c) 5d) 2 e) 4

36. Si a un polígono se le aumenta 2 lados, el número dediagonales aumenta en 15. Calcule la mitad de lamedida del ángulo externo de dicho polígono.

a) 45° b) 60° c) 40°d) 120° e) 90°

37. En cierto sistema de medida, la suma de las medidas

de los ángulos internos de un triángulo 43

K. Calcule

la suma de las medidas de los ángulos internos en undecágono convexo.

a) 6 K b) 5 K c) 7 Kd) 10 K e) 8 K

38. En el gráfico ABCDE y AFE son regulares, GD = 10u.Calcule la distancia de D a GC .

C

DB

G

F

A E

a) 3 u b) 4 u c) 8 ud) 6 u e) 5 u

39. Se inscribe un rectángulo en un cuadrado, tal que suslados sean paralelos a las diagonales del cuadrado.Calcule la relación entre los perímetros del cuadrado ydel rectángulo.

a) 2 b) 3 c) 2

d) 2 2 e) 4

40. Calcule el número de lados de un polígono equiánguloABCDEF .....; si las mediatrices de AB y EF formanun ángulo de 36°.

a) 15 b) 10 c) 20d) 40 e) 10 ó 40

41. En un polígono equiángulo desde (n-7) ladosconsecutivos se pueden trazar (n-1) diagonales medias.Calcule la medida de un ángulo interior.

a) 130° b) 132° c) 134°d) 135° e) 140°

42. Calcule el número de polígonos equiángulos convexosexisten de modo que la medida de su ángulo internoen grados sexagesimales está representado por unnúmero entero.

a) 24 b) 22 c) 18d) 30 e) 21

TRILCE

51

43. En un polígono convexo de "n" lados. Calcule la sumade las medidas de los ángulos formados al prolongarlos lados del polígono.

a) 180°n b) 360°n c) 90°(n-2)d) 180°(n-4) e) 360°(n-2)

44. El menor ángulo de un polígono mide 139°, y lasmedidas de los otros ángulos forman, con la delprimero, una progresión aritmética de razón 2°.Calcule el número de lados del polígono.

a) 10 b) 9 c) 12d) 15 e) 20

45. Calcule el mayor número de lados de un polígonoequilátero ABCDEF ...... ; si las mediatrices de AB yEF forman un ángulo cuya medida es 36°.

a) 10 b) 12 c) 30d) 14 e) 15

46. En un polígono convexo de "n" lados, desde (n-4)vértices consecutivos se trazan (4n+3) diagonales.Calcule la suma de las medidas de los ángulos interioresdel polígono.

a) 1040° b) 1140° c) 1240°d) 1340° e) 1800°

47. En un hexágono regular ABCDEF, cuyo perímetro esigual a 72u, se traza la bisectriz interior FM en eltriángulo ABF y sobre FD se toma el punto Q, tal que:AF = FQ y BFQM = {P}. Calcule PQ.

a) 4 u b) 8 u c) 10 ud) 12 u e) 16 u

48. Calcule "xº", si ABCDE es un pentágono regular.(ED = DP).

B

A C

E D

42º

xº

P

a) 42° b) 45° c) 48°d) 54° e) 60°

49. De uno de los vértices de un polígono convexo, sepuede trazar (x - 3) diagonales, entonces la suma de lasmedidas de sus ángulos interiores equivale a ......ángulos rectos.

a) 2x b) 2x - 4 c) x + 4d) 2x + 8 e) x

50. En cierto polígono convexo, el menor ángulo internomide 135° y los demás ángulos internos están enprogresión aritmética de razón 3°. Calcule el númerode lados.

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 17

51. En el nonágono regular AB ... HI, las diagonales BD yCF miden "a" y "b" unidades respectivamente.Calcule la distancia del vértice E, a la diagonal BH.

a) 2ba

b) b - a c) 2

2a

d) 2

3be) ab

52. Las medidas de los ángulos interiores de un trapezoideforman una progresión aritmética. Si la medida delcuarto ángulo es nueve veces la del segundo, calcule lamedida del tercer ángulo interior.

a) 81° b) 54° c) 71°d) 27° e) 108°

53. ABCD es un cuadrilátero donde el ángulo A es recto,m ) B = m ) C = 60° y2AB - BC = 6 3 u. Calcule CD.

a) 6 3 u b) 6 u c) 2 3 u

d) 3 2 u e) 3 u

54. Al disminuir en 6° la medida de cada ángulo interno deun polígono regular, resulta otro polígono regular cuyonúmero de diagonales es los 3/5 del número dediagonales del polígono original.Calcule el número de lados del polígono original.

a) 9 b) 10 c) 12d) 15 e) 20

55. En un pentágono ABCDE :m ) B = m ) D = 90° y los ángulos restantescongruentes. Calcule la distancia del vértice A al ladoED , si : BC = 4 cm y CD = 10 cm, AB = 4 3 cm.

a) 3 cm b) 7 cm c) 6 cmd) 8 cm e) 5 cm

56. En un pentágono convexo ABCDE :AB = BC y CD = DE (CD > BC); si :BD = K y m ) B = m ) D = 90°. Calcule la distancia delpunto medio de AE a BD .

a) 2K

b) 2K c) 3K2

d) K e) 3K

52

Geometría

57. Dado el polígono equiángulo PQRST ... tal que lasprolongaciones de PQ y TS se cortan en A. Si elángulo PAS es agudo, calcule el máximo número delados del polígono.

a) 12 b) 13 c) 14d) 10 e) 11

58. Los lados de un polígono regular de "n" lados, n > 4,se prolongan para formar una estrella. El número degrados en cada vértice de la estrella, es :

a) n

360b)

n180)4n(

c) n

180)2n( d)

n90

180

e) n

180

59. El número de diagonales de un polígono convexoexcede en 16 a la diferencia entre el número de ángulosrectos a que equivale la suma de sus ángulos interioresy el número de vértices del polígono. El polígono es :

a) Octógono. b) Decágono.c) Pentágono. d) Exágono.e) N. A.

60. Si la medida de cada ángulo interior de un polígonoregular de "n" lados se disminuye en 5°, su número dediagonales disminuye en (5n-3). Calcule "n".

a) 18 b) 24 c) 30d) 36 e) 42

TRILCE

53

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

a

a

d

d

b

c

d

c

a

e

c

d

a

e

c

a

a

e

c

d

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

d

e

d

c

a

e

d

e

b

d

d

a

a

d

c

a

e

b

a

b

54

Geometría

TRILCE

55

Capítulo

CUADRILÁTEROS5Definición :

Son aquellas figuras determinadas al trazar cuatro rectas secantes y coplanares, que se intersectan dos a dos. Lossegmentos que se determinan son sus lados y los puntos de intersección son sus vértices.

Aº

BºCº

Dº

Convexo

Aº+Bº+Cº+Dº = 360º

º

xºº

º

No Convexo

xº = º + º + º

A

BC

D

B

A

D

C

Clasificación

I. Trapezoides

TrapezoideAsimétrico

TrapezoideSimétrico

B

C

A

D

A

B

C

D

II. Trapecios

BC // AD

Bases

B C

A DT. Escaleno

A

B C

D

T. Isósceles

T. Rectángulo

B C

A D

B C

DA

56

Geometría

III. Paralelogramos

º

º

º

º

B C

DA

AB // CD

BC // AD

= 90º

Romboide Rombo

A

B C

D

A

B

C

D

RectánguloCuadrado

B C

A DA

B C

D

Propiedades Básicas

I. En el Trapecio

a

b

M N

MN : Base media

MN // Bases

b

a

PQ // Bases

* *

MN = a+b2

P QPQ = a - b

2

II. En el Paralelogramo

B C

AD

AO = OCBO = OD

*

a

bn

m a+b = n+m

*

A

BC

DO

TRILCE

57

III. En todo Cuadrilátero

P

Q

R

S

PQRS es un paralelogramo

B

C

A

D

58

Geometría

01. En la prolongación del lado AD de un rectánguloABCD, se ubica el punto E, tal que :m ) ADB = m ) DCE, BD = 4 u y CE = 3 u. CalculeAE.

02. En el gráfico, calcule la m ) BEA, si : ABCD es uncuadrado y BF = 3(AF).

B C

A D

E

F

03. En el gráfico, calcule "xº", si ABCD es un cuadrado.

B C

A D

xx

ºº

04. Calcule "º" en el gráfico, si : ABCD es un cuadrado y"M" y "N" son puntos medios.

B C

A D

N

M

º

05. En un cuadrado ABCD, se prolonga AD hasta "P".Luego se traza la perpendicular AQ hacia PC quecorta a CD en M. Calcule la m ) DPM.

06. Las diagonales de un rombo miden 20 dm y 48 dm.Calcule el perímetro del rombo.

07. Del gráfico, calcule "xº".

x

x

2x

B

C

DA

º

º


TRILCE

59

08. En el gráfico, si : ABCD es un romboide, calcule BF,sabiendo que : BC = 7 u y CD = 5 u.

A

B C

D

F

09. En el gráfico, si : ABCD es un romboide, AD = 8 u;AB = 5u. Calcule DN.

A

B C

D

M

N

10. En el gráfico, se muestran los cuadrados A, B y C. Calcule:

Perímetro de A + Perímetro de BPerímetro de C

A B

C

Practiquemos :11. En los lados BC y CD del cuadrado ABCD, se ubican

los puntos M y P, respectivamente, tal que : CP = PD ym ) APM = 90°. Calcule la m ) AMB.

12. En el gráfico, si : ABCD es un paralelogramo,PQ = 12u, EF = 17 u. Calcule : EL.

A

B C

D

L P

Q

F

E

13. En el gráfico ABCD un trapecio )AD//BC( .

Calcule la m ) ADC.

A

B C

D

4u

8u 6u

14u

14. Las diagonales de un trapecio miden 12 cm y 18 cm.Calcule el máximo valor entero que puede tomar lalongitud de la mediana de dicho trapecio.

60

Geometría

15. En un trapecio rectángulo ABCD.

m ) A = m ) B = 90°, m ) D = 75° ; AD = 2(AB).

Calcule la medida del ángulo BCA.

16. Los lados AB , BC y CD de un trapecio ABCD sonde igual longitud. Si AD es paralela a BC y tiene eldoble de la longitud de BC , la diagonal AC mide :

17. En el gráfico, si : BC // AD y ABCD, es un trapecioisósceles. Calcule : AD, EC = 5 m.

A

B C

D

E30º

30º

18. En un trapecio, la suma entre la mediana y el segmentoque une los puntos medios de las diagonales es 32 cm.Calcule la longitud de la base mayor.

19. Las diagonales de un trapecio son perpendiculares ymiden 6u y 8u. Calcule la longitud de la mediana.

20. La suma de las longitudes de las diagonales de untrapezoide es 20. Calcule el perímetro del cuadriláteroque resulta al unir consecutivamente los puntos mediosde los lados del trapezoide.

Problemas propuestos21. En el gráfico se muestra un trapecio ABCD, de bases

AB y CD , se trazan las bisectrices de los ángulos A yD que se cortan en R, y las bisectrices de los ángulos By C que se cortan en S.Calcule RS, si : AB = 4 u, CD = 12 u, AD = 7 u yBC = 9 u.

D

A B

C

a) 0 b) 8 u c) 19/2 ud) 13/2 u e) 3/2 u

22. En un cuadrilátero convexo ABCD, el ángulom ) A = 9° y m ) B = 4°. Calcule la medida del ánguloformado por las bisectrices de los ángulos C y D.

a) 6° 30' b) 7° 20' c) 7° 55'd) 9° 00' e) 12° 00'

23. En el gráfico, los lados AB y CD son paralelos.Si : AB = 5 u y AC = 12 u, calcule : CD.

A

B

C

D2

a) 15 u b) 16 u c) 18 ud) 17 u e) 10 u

TRILCE

61

24. En el gráfico : BC = PA y AD = BP. Calcule "xº".

xº

B C

A D

P

a) 53° b) 30° c) 60°d) 45° e) 37°

25. En el gráfico, calcule "º" . Si : PL = LM = NM.

P

N

L

M

45º-

º

º

a) 20° b) 10° c) 12°d) 30° e) 15°

26. En el gráfico, calcule "º" , si ABCD es un rombo..MH = 1 u, y D dista de BC 3 u.

A

B

C

D

H

M O

º

º

a) 26° 30' b) 15° c) 18°d) 30° e) 10°

27. En gráfico mostrado, MNOP es un trapecio, si : S puntomedio de OU y QU//RS . Siendo : QU = 12 m, calculeTR.

N O

R S

T

MQ P

U

a) 1 m b) 1,5 m c) 2 md) 3 m e) 4 m

28. En un trapecio ABCD, la base menor AB es igual a laaltura AH ; si :

m ) A = 135° y el ) B = 150°. Calcule el perímetro del

trapecio, si : AB = AH = 20 cm.

a) 195,920 cm b) 200 cmc) 182,920 cm d) 162,920 cme) 170,500 cm

29. En el gráfico, se muestra un romboide ABCD. Si lasdistancias de B, A y D a la recta son 2,4m; 3,6m; 7,9m,respectivamente, calcule la distancia de C a la recta L.

B

CA

D

L

a) 1 m b) 1,5 m c) 1,9 md) 2 m e) 2,5 m

30. Dado un cuadrado, al unir los puntos medios de suslados se obtiene otro cuadrado. Si se efectúa esteprocedimiento cuatro veces más se tendrá un cuadrado.Calcule la razón entre las longitudes de los lados delcuadrado inicial y el último que se obtuvo.

a) 2 b) 4 2 c) 2 2

d) 5 2 e) 3 2

31. En el gráfico ABCD, es un paralelogramo y DX = BY.Si el perímetro del triángulo BCE es : a+2b, el perímetrodel triángulo CDX es : b-2a, y el perímetro del triánguloCFY es p.

Calcule : ab6p2 .

D C

EBA

F

X

Y

a) 22 ba b) 22 b2a3

c) 22 b3a2 d) 22 b9a

e) 22 ba9

62

Geometría

32. El gráfico 1 es un cuadrado de lado 4m, tomando lospuntos medios de los lados AB y BC se construye elgráfico 2. En el segundo paso, tomando los puntosmedios de los segmentos 1AP , 11QP , 11RQ y CR1 seconstruye el gráfico 3. Si se efectúa este procedimiento10 veces, calcule la longitud de la "escalera" que seobtiene.

A B

D C

P1

R1Q1

A

D C

A

D C

fig. 1 fig. 2

fig. 3

a) 24 m b) 210 m c) 240 m

d) 104 m e) 8 m

33. En el gráfico mostrado, se tiene un rectángulo ABCD,en el cual : AD = 2(CD), y donde :

m ) OMA = m ) BPO. Si : MN y PQ se intersectan en

O, de modo que : PO = 2 cm, QO = 4 cm y MO = 5 cm,calcule NO.

B CP

M

N

A DQ

O


34. En el gráfico :ABCD es un cuadrado, y = 20°. Calcule : "º" .

D

C

A

B

º

a) 120° b) 105° c) 115°d) 100° e) 110°

35. En el gráfico, PQ = 12 3 u y 38QR u, calcule :PS + RS.

120º

S

R

P Q

a) 60 u b) 63 u c) 64 ud) 65 u e) 66 u

36. En el gráfico, ABCD es un trapecio CD//BM ; AF = 18cm y FC = 12 cm. Calcule EF.

B C

EF

A DM


37. En un trapecio ABCD, la base mayor es AD . Al trazarselas bisectrices del ángulo B y el ángulo exterior C,intersectan a la base AD y a su prolongación en P y Qrespectivamente.Si : AB + BC = 24 m y CD + AD = 30 m,calcule la longitud del segmento que une los puntosmedios de PC y BQ .

a) 1 m b) 2 m c) 3 md) 4 m e) 5 m

38. Se tiene un paralelogramo ABCD. Se construyenexteriormente los triángulos equiláteros ABM y BCN.Por M se traza la perpendicular MH a ND , calcule lamedida del ángulo HMB, si el ángulo NDC mide 46°.

a) 16° b) 14° c) 18°d) 11° e) 20°

39. En un trapecio ABCD )CD//AB( . Si :AB = 8m; BC = 6m; AD = 10m y CD = 18m; lasbisectrices de los ángulos A y D se intersectan en elpunto M y las bisectrices de los ángulos B y C seintersectan en el punto N. Calcule MN.

a) 4 m b) 5 m c) 6 md) 4,5 m e) 5,5 m

TRILCE

63

40. De las siguientes proposiciones, las verdaderas (V) ofalsas (F) son :

I. Si el trapecio tiene sus diagonales congruentes;entonces, es necesariamente inscriptible a una cir-cunferencia.

II. En un trapecio escaleno, una diagonal puede sertambién altura.

III. Si un polígono equiángulo está escrito en una cir-cunferencia es necesariamente un polígono regu-lar.

a) VVF b) FVF c) VFVd) FFF e) VVV

41. En un romboide ABCD, con AB < BC, se trazan lasbisectrices interiores de sus cuatro ángulos. Dichasbisectrices al intersectarse, forman un :

a) Rombo.b) Cuadrado.c) Rectángulo.d) Trapecio.e) Otros cuadriláteros.

42. En un rombo ABCD, M es punto medio de CD y ladiagonal BD corta a AM en punto R. Si : RM = 5u y

m ) DRM = 53°, calcule BD.

a) 18 u b) 35 u c) 30 ud) 36 u e) 40 u

43. En el rectángulo ABCD de la figura, la longitud de lossegmentos AB y FC son respectivamente 2 m y 4 m.Si los segmentos AE y EM son iguales, calcule elperímetro del rectángulo.

D C

F

M

A

E

B

a) 48 b) 30 c) 36d) 24 e) 28

44. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y D; labase menor AB mide 4 y la mediana ME del trapeciomide 6 (M en AD ) se ubica sobre AD el punto P, talque :

PB = PC y m ) BPC = 90°. Calcule MP..

a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3

45. En un cuadrado ABCD, sobre la recta AD, se ubicanlos puntos P y Q, tal que : P, A, D y Q están en eseorden. Calcule la medida del ángulo formado entre

PC y BQ , siendo el punto medio de AD punto mediode PQ y m ) PCQ = 90°.

a) 75° b) 60° c) 63,5°d) 52,5° e) 67,5°

46. En un cuadrilátero ABCD : m ) B = m ) D = 90° , m ) BCD = 45°, luego setrazan BDAP , BDCQ . Calcule BD, si :AP = 4 m, CQ = 20 m.

a) 16 m b) 24 m c) 30 md) 40 m e) 50 m

47. Es un cuadrado ABCD, por D se traza una recta queinterseca en N a AB . Si la proyección ortogonal de A yC sobre dicha recta son los puntos P y Qrespectivamente, calcule la razón entre PQ y la distanciadel centro del cuadrado a dicha recta.

a) 1 b) 1/2 c) 3

d) 2 e) 2

48. En un trapecio isósceles ABCD ( AD//BC y BC<AD);se construyen exteriormente los triángulos equiláterosCED y ADF; además:AE y BF se intersectan en O. Calcue BO, si: AO = 3u;OE = 4u y OF = 5u.

a) 1 u b) 2,5 u c) 2 ud) 3,5 u e) 4 u

49. En el gráfico, los puntos M, N y R son puntos mediosde los lados AB, BC y CA.Si : MM' + RR' + NN' = 25 u, calcule : BB'.

B

M N

M' B'

R'N'

AR

C

a) 20 u b) 22 u c) 23 ud) 24 u e) 25 u

64

Geometría

50. En un paralelogramo ABCD, se tiene que (AB<BC) yBD = 6u. Se construye exteriormente al triánguloequilátero AMD; en cuyo interior se ubica el punto F,tal que el triángulo AFB es equilátero. Calcule la longituddel segmento que une los puntos medios de FB yMD .

a) 3 u b) 3 3 u c) 3 u

d) 6 u e) 62 u

51. Dado un cuadrado ABCD; se ubica M punto medio deCD y se traza BMCN (N AD ). Calcule : BN/QM;si : Q es la intersección de NC con BM .

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4

52. En un trapecio MNOP )OP//MN( ; NO = 4u, OP = 6u,

m ) M = 30° y m ) O = 120°.Calcule MN.

a) 10 u b) 12 u c) 14 ud) 7 u e) 9 u

53. En un trapezoide MNOP :m ) M = m ) O = 90°. Se trazan NR y PLperpendiculares a MO . Si PL - NR = 3(MO).Calcule la m ) MPO..

a) 10° b) 12° c) 18,5°d) 22,5° e) 30°

54. En el lado CD de un cuadrado ABCD, se ubica elpunto P, tal que :m ) BAP = 75°.Calcule la m ) BQC, siendo Q punto medio de AP .

a) 53° b) 45° c) 75°d) 60° e) 90°

55. En un trapecio ABCD )AD//BC( ; se sabe que :

AD - BC = 2(AB) y m ) ABC = 4m ) ADC.Calcule la m ) BCD.

a) 160° b) 127° c) 143°d) 150° e) 135°

56. En un paralelogramo ABCD, se ubica el punto "F" enAD , de modo que :m ) ABF = m ) BCF; FC = 2DC. Calcule la longituddel segmento que tiene por extremos los puntos mediosde BF y FC , si : BF = 12u.

a) 4 u b) 8 u c) 9 ud) 12 u e) 6 u

57. En el gráfico, ABCD es un rectángulo.(O : intersección de las diagonales).OCFE : es un cuadrado. Si : MB = a. Calcule EL.

B CM

O

AL D F

E

a) a b) 2a

c) 2a3

d) 3a2

e) 3a4

58. En el gráfico, ABCD y EFCR son un paralelogramo yun cuadrado, 2BO u, DE = 1u.(O : intersección de las diagonales del paralelogramo).Calcule la m ) FCD.

B

A

C

RD

E

F45º

O

a) 53°/2 b) 60° c) 37°d) 30° e) 37°/2

59. Se tiene un paralelogramo ABCD, por C se traza laperpendicular a CD , la cual intersecta en E a laprolongación de AD . Si:AD = 8 u y m ) CBD = 2(m ) CED), calcule ED.

a) 16 u b) 8 u c) 22 u

d) 24 u e) 32 u

60. Del gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado.Si : BH = 2 u, ND = 3 u y NP = 11u.Calcule "xº".

P xº

B

C

D

A

H

N

a) 16° b) 30° c) 37°/2d) 26°30' e) 15°

TRILCE

65

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

c

a

d

d

c

d

a

d

c

b

d

e

c

e

a

d

c

a

b

c

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

c

d

d

c

c

a

d

c

e

b

d

c

c

d

d

d

a

a

a

c

66

Geometría

TRILCE

67

Capítulo

CIRCUNFERENCIA6Definición :

Es el lugar geométrico de todos los puntos del planoque equidistan de otro punto de su plano denominadocentro. La distancia mencionada recibe el nombre de radio.

Elementos de la Circunferencia

EF

P

Q

O

B

C

A

L1

L2T

* Centro : O

* Radio : OB

* Diámetro : BC

* Cuerda : EF

* Arco : EB

* Flecha o sagita : PQ

* Secante : 1L

* Tangente : 2L

* Punto de Tangencia : T

* Perímetro : L = Longitud de la circunferencia.

L = 2 r

r radio

phi

r2L

= 3,1415926 .......

Posiciones relativas de dos CircunferenciasCoplanares

* Circunferencias Exteriores

d

d > R + r

* Circunferencias Tangentes Exteriores

d

r

R

d = R + r

* Circunferencias Secantes

d

rR

R - r < d < R + r

* Circunferencias Ortogonales

d

rR

222 rRd

68

Geometría

* Circunferencias Tangentes Interiores

R

r

d

d < R - r

* Circunferencias Interiores

R

rd

d < R - r

* Circunferencias Concéntricas

R

r

d = cero

R

r

Esta región se denomina corona o anillo circular.

Observación : "d" distancia entre los centros.

Propiedades Fundamentales

1.

O r

PL

* P punto de tangencia

* L

OP

rOP

2.

B

A

CO

AB = AC

3.

BA

C

O

Si : ABOC

MBAM

CBAC

M

4.

A

E F

B

AB//EF

FBAE

Si :

TRILCE

69

5.

A

B C

D

DCAB

CDAB

Si :

6.

S

AB

Q

EP T F

PQST

yEFAB

Teorema de Poncelet

A

B

C

r

r : inradio

AB + BC = AC + 2r

Teorema de Pitot

r

AB + CD = BC + AD

* Este teorema es válido para todo polígono circunscrito cuyo número de lados es un número par.

BC

DA

Teorema de Steiner

A

B

C

D

AB - CD = AD - BC

Observaciones

* Q y F puntos de tangenciap semi-perímetro del triángulo ABC.

2cba

p

pAFAQ

A

B

Cp

F

Q

70

Geometría

01. En el gráfico, calcule PA, si : A y B son puntos detangencia.

A

P

B

x +x2

2x+6

02. En el gráfico : AB = 7 cm, CD = 7,5 cm y AD = 4 cm.Calcule BC.

B

C

A D

r

03. En el trapecio isósceles : AD = BC = 8 cm.Calcule la longitud de la mediana del trapecio.

)DC//AB( .

A B

CD

04. Calcule "xº", si "T" es punto de tangencia.AO = OB = BP = 1 u.

xº

T

ABO P

05. Calcule el perímetro del triángulo ABC.

A

B

C

10u

4u

1u

06. Calcule "xº", si "O" es centro. (T : punto de tangencia).

4xº xº

T

A CBO


TRILCE

71

07. La distancia entre los centros de dos circunferenciascoplanares es 5 cm. Si sus radios miden 2,5 cm y 1,5cm, las circunferencias son :

08. Si : AO = EC. Calcule : "º" .

A

D

E

CB

RO

º º

09. Dado el romboide ABCD donde: m ) A=64°, loscentros de las circunferencias inscritas a los triángulosABD y BCD son O y O1 respectivamente. Calcule lam<ODO1.

10. Siendo : P, Q y T puntos de tangencia. Calcule "xº".

RO OQ

P Tx

R1

º

Practiquemos :11. Una circunferencia está inscrita en un trapecio isósceles

ABCD ( AD//BC ).Si : AB = 12 cm. Calcule la longitud de la mediana dedicho trapecio.

12. ¿En qué relación están las longitudes de los radios delas circunferencias inscrita y circunscrita a un triánguloequilátero?

13. En una circunferencia de centro "O", se ubica la cuerdaBC de 80 u de longitud. Si el radio de la circunferenciamide 41 u, calcule la distancia de "O" hacia la cuerda.

14. En el gráfico, calcule : x°.(B y T son puntos de tangencia).

xº

O

B

A TC

72

Geometría

15. En un triángulo ABC, se sabe que :AB = 8 u, BC = 10 u y AC = 12 u, la circunferenciainscrita determina sobre AC el punto "M".Calcule AM.

16. El punto de tangencia de la circunferencia inscrita enun trapecio rectángulo divide al mayor de los lados noparalelos en segmentos que miden 1 u y 9 u. Calcule lalongitud de la mediana del trapecio.

17. En un triángulo ABC acutángulo, la circunferenciainscrita es tangente a AB en N y la circunferencia ex-inscrita relativa a AC es tangente a la prolongación deBA en M.Cacule AC. Si : AN = 3,5 u y AM = 4,5 u.

18. Se tiene un octógono ABCDEFGH circunscrito a unacircunferencia, donde :AB = 1 u, BC = 1 u, CD = 1,5 u; DE = 0,5 u; EF = 2u,FG = 2,7 u; HA = 0,8 u.Calcule GH.

19. Marcar verdadero (V) o falso (F), en las siguientesproposiciones :

I. La recta que contiene los centros de dos circunfe-rencias secantes es perpendicular a la recta quecontiene los puntos comunes a las dos circunfe-rencias.

II. El ángulo central de una circunferencia mide 0°(cero grados).

III. La mediatriz de toda cuerda contiene al centro delcírculo.

IV. Ángulo inscrito es aquel cuyo vértice está sobre lacircunferencia.

20. Las longitudes de dos circunferencias coplanares estánen relación de 7 a 3 y su suma es igual a 20 . Si ladistancia entre sus centros es dos veces la diferencia delas longitudes de sus radios, podemos decir que lascircunferencias son :


21. Los diámetros de dos circunferencias situadas en elmismo plano miden 14 m y 6 m. Si la distancia entresus centros es 10m. Las circunferencias son :

a) Exteriores. b) Interiores.c) Tangentes. d) Secantes.e) Concéntricas.

22. La prolongación de CA de un triángulo ABC intersectaa la circunferencia exinscrita relativa a AB en el puntoP. Siendo :CP = 20 u, calcule el perímetro de la región triangularABC.

a) 20 u b) 40 u c) 30 ud) 60 u e) 50 u

TRILCE

73

23. Calcule la longitud del lado del triángulo equiláteroinscrito en una circunferencia de 8 cm de diámetro.

a) 34 cm b) 38 cm c) 32 cm

d) 28 cm e) 8 cm

24. Si el radio de la circunferencia se aumenta en 1 u, calculela razón de la longitud de la nueva circunferencia aldiámetro es :

a) b) 212

c) 212

d) 2 e) 12

25. Calcule la medida del arco ST, si :

257ºº , si : S, P y T son puntos de tangencia.

O

P

S T

º º

a) 77° b) 80° c) 103°d) 75° e) 90°

26. En el gráfico : A, B y C son puntos de tangencia.Calcule : "xº".

x

9º

A

B

C

a) 20° b) 27° c) 36°d) 54° e) 60°

27. En el gráfico mostrado : AB = 12 dm, BC = 8 dm y

AC = 10 dm. Calcule : )FCEB

( .

EB

AC F

a) 4/3 b) 5/3 c) 3/5d) 2/3 e) 4/7

28. Caclule BC. Si los inradios de los triángulos rectángulosABC y ACD miden r1 y r2.

A D

B C

a) 22

21 rr d) 21 r.r

b) r1+r2 e) 2

rr 21

c) 21

21rrr.r

29. En el gráfico : P, Q, M y N son puntos de tangencia.BP + BQ = 13 u, MN = 6 u.Calcule el inradio del triángulo ABC.

C

B

AM N

P Q

a) 2,5 u b) 3,5 u c) 4,5 ud) 1,5 u e) 5,5 u

30. El perímetro de un triángulo rectángulo es 24 m y suhipotenusa mide 10 m. Calcule el radio de lacircunferencia inscrita.

a) 1 m b) 2 m c) 3 md) 4 m e) 5 m

31. En el gráfico, el triángulo equilátero PQT, inscrito enuna circunferencia. Calcule SN, en función del radio R.Si : PS = ST.

Q

P TS

N

a) R/2 b) R/3 c) R/4

d) 2R e) 3R

74

Geometría

32. En el gráfico, ABCD es un trapecio rectángulo. BC = 10m, OC = 8 m. Calcule la altura del trapecio.

BA

D C

O

a) 4,8 m b) 9,6 m c) 4 md) 8 m e) 10 m

33. Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide15 cm y la distancia del baricentro al ortocentro es 25/3 cm. La altura relativa a la hipotenusa en cm mide :


34. Los diámetros de dos circunferencias coplanares y lasdistancias entre sus centros, están en la relación 13 :10: 1. Estos circunferencias son :

a) Secantes.b) Tangentes interiores.c) Interiores.d) Exteriores.e) Concéntricos.

35. En el gráfico : AB = 3 u y BC = 13 u.Calcule AD.

AB

CD

O

a) 16 u b) 18 u c) 19 ud) 21 u e) 22 u

36. En dos circunferencias ortogonales de radios R y rrespectivamente, se cumple que la distancia d entre suscentros es :

a) rRd)rR(4

b) drR c) 2/)rR(d2/)rR(

d) 222 rRd e) drR

37. El radio de la circunferencia y el perímetro de untriángulo rectángulo circunscrito a dicha circunferenciamiden 3 cm y 50 cm respectivamente. Entonces, el radiode la circunferencia circunscrita al triángulo rectángulomide :


38. Sean O y O' los centros de dos circunferencias tangentesexteriormente cuyos diámetros son 2 u y 6 u respectiva-mente.Calcule el ángulo agudo formado por la recta que unelos centros y la tangente común a las circunferencias.

a) 60° b) 45° c) 30°d) 15° e) 75°

39. En un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mide 48cm, se inscribe una circunferencia de longitud 24 cm.¿Cuál es el perímetro de dicho triángulo?


40. Del gráfico, calcule "R".

R

37º

15u

6u

5u

a) 3 u b) 4 u c) 5 ud) 6 u e) 8 u

41. Calcule "R", si : AB = 9 u y BC = 12 u.(P, Q y T : puntos de tangencia).

P OR

A

B C

Q

T

a) 15 u b) 16 u c) 18 ud) 20 u e) 22 u

TRILCE

75

42. En la gráfico, calcule : R + r, si : AB = 15 u y BC = 8 u.

O

R

C

B

A

r

a) 23 u b) 11,5 u c) 10,5 ud) 13,5 u e) 14 u

43. En el gráfico : R = 3 u y r = 1 u. Calcule BE.

B E C

A D

R

r

a) 3 u b) 4 u c) 5 ud) 6 u e) 7 u

44. En el gráfico, calcule AB, si : CD = 6 cm.

B

E

A

CD


45. Calcule "r", si : AB = 5 u y BC = 12 u.(T, P y Q son puntos de tangencia).

Or

B

CA

T

P

Q

a) 2 u b) 3 u c) 4 ud) 5 u e) 10 u

46. Calcule PT.P y T : puntos de tangencia.

C

B

A

13u6u

PM

T

H

a) 15 u b) 17 u c) 19 ud) 21 u e) 22 u

47. En un cuarto de circunferencia de centro "O" y radiosOA , OB ; se toma el punto "E" y luego : OEAH ;

OEBP (H y P sobre OE ).Calcule EP, si : AH = 15 u y BP = 8 u.

a) 1 u b) 2 u c) 3 ud) 4 u e) 5 u

48. Calcule BR, siendo : r = 4u.

A B

R

r

P

a) 8 u b) 4 u c) 24 u

d) 28 u e) 22 u

49. En la figura : AO = OB = JF = FC.

Calcule "xº", si : AB es diámetro..

x

J

F

CAO B

a) 15° b) 30° c) 45°d) 60° e) 12°

50. Los diámetros de dos circunferencias situadas en elmismo plano están en la relación de 10 a 6 y la distanciaentre sus centros es como 5. Tales circunferencias son:

a) Tangentes interiormenteb) Exterioresc) Interioresd) Tangentes exteriormentee) Secantes

76

Geometría

51. En el gráfico, calcule "xº", si :BC = 6 u, CD = 1 u y EA = 3 u.("O" centro).

xO

C

B

D

AE

º

a) 45° b) 53° c) 55°d) 60° e) 63° 30'

52. En un triángulo rectángulo, calcule la longitud de lahipotenusa, si el radio de la circunferencia inscrita mide5 cm y el radio de la circunferencia exinscrita relativa ala hipotenusa mide 14 cm.


53. En el gráfico, calcule AD.

a

c

b

B C

M

A D

a) a + b - c b) b + c - ac) a . b . c d) a + b + c

e) 3cb2a

54. En el gráfico :p : semiperímetro del triángulo ABC.

Calcule : BF.AE.2

)bp)(ap(R

A

B

F

EC

a) 2 b) 1 c) 1/2d) 2/3 e) 4/3

55. En la figura : AD//BC , mABC = mAD;BC = a y AD = b. Calcule la distancia entre los puntosmedios de las flechas de AB y CD .

A

B C

D

a) 4b3a

b) 4b3a2

c) 4ba2

d) 4b2a3

e) 2ba

56. En una línea recta, se ubican los puntos consecutivosA, B y C (AB > BC); a un mismo lado de dicha recta setrazan las semicircunferencias de diámetros AB y BCrespectivamente y por C se traza la tangente CT a unade ellas. Calcular la medida del ángulo formado por

BT y la bisectriz del ángulo BCT..

a) 45° b) 30° c) 60°d) 15° e) 37°

57. En el gráfico :AM = 4u; MN = 11u y NB = 5u. Calcule "xº".

A M O N B

FExº

a) 60° b) 113°/2 c) 90°d) 70° e) 67°

58. ABCD es un cuadrado y "T" es punto de tangencia.Calcule "x°".

CD

xº

A B

T

a) 6° b) 8° c) 12°d) 16° e) 18°

TRILCE

77

59. Se tiene un triángulo rectángulo ABC circuncrito a unacircunferencia de centro I; dicha circunferencia estangente a los catetos AB y BC en P y Qrespectivamente. Las prolongaciones de PI y QI cortaa AC en R y L. Las circunferencias inscritas en lostriángulos PAR y LQC son tangentes en M y N a ACrespectivamente. Calcule MN, si los radios de lascircunferencias menores miden 2 u y 3 u.

a) 1 u b) 2,5 u c) 4 ud) 5 u e) 6 u

60. En el gráfico : P y Q son puntos de tangencia.Calcule : m + n.

P

Q

nm

10º

a) 90° b) 100° c) 110°d) 120° e) 130°

78

Geometría

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

d

b

b

a

a

c

c

b

b

b

a

b

d

c

c

d

c

c

a

b

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

c

b

c

d

b

c

b

c

c

e

e

e

d

c

a

a

b

b

d

b

TRILCE

79

CapítuloÁNGULOS EN LA

CIRCUNFERENCIA7* Ángulo Central

O

A

B

º = mAB

* Ángulo Inscrito

B

º = A

C

mBC2

* Ángulo Seminscrito

º = mEFH2

E

H

F

* Ángulo Exinscrito

º = mABC2

A

B

C

* Ángulo Interior

º

º = mAB+mCD2

A

B D

C

* Ángulo Exterior

xº = mAB - mCD2

A

B

D

Cx

xº = mAB - mAC2

A

B

C

x

80

Geometría

º

º + º = 180º

Polígono Inscrito

R

Circunferencia : circunscritaRadio : circunradio

Polígono Circunscrito

r

Circunferencia : inscritaRadio : inradio

CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE

Es aquel cuadrilátero que acepta que se le describauna circunferencia por sus cuatro vértices. Para que estosuceda es necesario y suficiente que el cuadrilátero cumplacon una de las dos condiciones siguientes :

Primera condición :

A

B C

D

ABCD es uncuadriláteroinscriptible

Si : º+ º =180º º

º

Segunda condición :

A

B

C

D

ºº

Si : º = º

ABCD es uncuadriláteroinscriptible

Observaciones :

* Si un cuadrilátero cumple con una de las doscondiciones, entonces se cumplirán las dos a la vez.

* Si un cuadrilátero es inscriptible, entonces la medidade un ángulo interior es igual a la medida del ánguloexterior opuesto.

A

BC

D

ABCD inscriptible

* Dado un triángulo al trazar dos alturas, se observa quese determina un cuadrilátero inscriptible.

B

EF

A C

AEFC : inscriptible

A

P

Q

C

B

APQC : inscriptible

TRILCE

81

01. En el gráfico, TP = 4 u y AB = 6 u, calcule : mTL ,siendo "T" punto de tangencia.

A BO

T L

P

02. En el gráfico, ABC es un triángulo equilátero.

Calcule " º ".

B

D

A C

100º

º

03. En el gráfico, O es centro y CH = 4 u. Calcule CD.

C

A BO

D

H

04. Del gráfico, calcule "xº". Si : P, Q, R, F, S y T, son puntosde tangencia.

40º

x

B

CA

Q

P R

T F

S

º

05. En el gráfico : 1O y 2O son centros de las

circunferencias. Q y T son puntos de tangencia. CalculemPQ.

44º44º

O1O2T

PQ

06. Se tienen 2 circunferencias de manera que la distanciaentre sus centros y los radios de cada una de lascircunferencias están en la relación de 3, 4 y 1respectivamente. Por tanto, las circunferencias serían :


82

Geometría

07. En el gráfico ABCD un romboide. Calcule "x°", B y Dson puntos de tangencia.

15ºxºA

B C

D

08. En el gráfico, calcule : "x°".

100ºxº

09. En el gráfico : AC = BC, m ) ACB = 60°,

calcule "xº".

A

B

NM

C

5

xº

xº

10. En el gráfico, calcule "º" . Si : MF = ME.

B

F

M

CAH E

º

º

Practiquemos :

11. En la circunferencia de centro "O", calcule "º" .

20º50º

OA

B

C

12. Del gráfico, calcule "º" .

2

3

N

M

A BO

R

º

º

TRILCE

83

13. Del gráfico, calcule "xº". (P es punto de tangencia).

P

xº

14. Si : A, B y C son puntos de tangencia. Calcule "xº".

B

A

C

68º

xº

15. En el gráfico, "T" es punto de tangencia MN//AC y lam ) CAB = 20°. Calcule la m ) TFA.A.

M

N

F

TC

A BO

16. Se tiene un trapecio ABCD inscrito en una circunferencia

)AD//BC( .Calcule la m ) BDA, si :mBC + mAD = 100º .

17. Se tiene un triángulo ABC y se traza la bisectriz interiorBD , luego se traza una circunferencia que pasa por elvértice B y es tangente a AC en el punto D, ademáscorta a los lados AB y BC en los puntos E y F, calculela medida del ángulo C, si :mBE = 68°.

18. En el gráfico, P y Q puntos de tangencia,

la m ) ABC = 10° y mPR = 32°.

Calcule la mQS .

Q

B

RP

CA

S

84

Geometría

19. En el gráfico, calcule " º ", si "N" es punto de tangencia.

A

M

O B

N

20. En un triángulo isósceles ABC :(AB = BC) m ) BFE = 32°, siendo E y F los puntos detangencia sobre los lados AB y AC determinados

por la circunferencia inscrita. Calcule la m ) B.


21. En el gráfico, calcule la mTP , si :2(BO) = 3(AB).

A

TM

CB O

P

a) 37° b) 53° c) 30°d) 60° e) 36°

22. Del gráfico mostrado, calcule "xº".

xº

xº4xº

M

a) 20° b) 30° c) 37°d) 22,5° e) 18°

23. En el gráfico, calcule AD, si : BD = 4u y AC = 12u.

A

D

B

E

C

a) 6 u b) 7 u c) 8 ud) 10 u e) 5 u

24. En el gráfico se muestra dos circunferencias tangentesexteriormente en T, y tangentes a dos de los lados deltriángulo rectángulo ABC, siendo los puntos detangencia P, R, S, Q y T. Calcule la medida del ánguloREN.

B

P

E

MQ

CAR S

NT

a) 30° b) 37° c) 45°d) 53° e) 60°

TRILCE

85

25. En el gráfico, mABC = 220º , calcule la m ) QPS.

B

A Q SC

P

a) 30° b) 40° c) 50°d) 35° e) 80°

26. En el gráfico, calcule "xº", si : mAB + mBC =80º .Donde : A y C son puntos de tangencia.

A

C

B

xº

a) 50° b) 40° c) 5°d) 35° e) 30°

27. En el gráfico, el punto "H" es el centro de los dos arcosde circunferencia mostrados. T y P puntos de tangencia

y la m ) HBC = 50°, calcule m ) BTP..

B

T

P

HA C

a) 60° b) 20° c) 40°d) 50° e) 30°

28. En el gráfico, EF = FC. Calcule la mAC.(F y E son puntos de tangencia).

A C

D

B

F

O E

a) 15° b) 18° 30' c) 22°30'd) 26°30' e) 30°

29. En el gráfico : A, B, C y D son puntos de tangencia,

ETNB es un romboide y mCD = 32

(m ) ALB). Calcule

la m ) BNC.

AE T D

C

KB N

L

a) 245

b) 45° c) 135°

d) 37° e) 53°

30. Desde un punto "P" exterior a la circunferencia, se trazanlas tangentes PA y PB ; en PA está el punto "E", talque:OE = EP; la tangente EF determina el arco FB

(mFB = 32º). Calcule la m ) EOP y "O" : centro de lacircunferencia.

a) 16° b) 24° c) 32°d) 48° e) 64°

31. En el gráfico, calcule "xº", siendo F punto medio de

tangencia, m ) AFB = 30°.

70º

x

DP

E

M

AF

B

º

a) 50° b) 45° c) 30°d) 40° e) 35°

32. En el gráfico : mAB =100°.

Calcule la m ) APQ.

EC

D

P

Q

BA

a) 50° b) 60° c) 30°d) 45° e) 55°

86

Geometría

33. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia;sobre AB y BC se ubican los puntos P y Q, tal que :m PB = mBQ. Calcule : m ) BAC + m ) BEQ, siendo:{E} = PQBC .

a) 90° b) 100° c) 120°d) 180° e) 160°

34. En el gráfico, calcule la m ) EPF, si : ºº = 140°, E y

F son puntos de tangencia. Además : AB//EF .

ºP

EF

A B

º

a) 120° b) 140° c) 130°d) 150° e) 125°

35. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se trazan lascevianas AD y BF , que se forman en un punto "E", talque la m ) DAC = 60°. Calcule la m ) ABE, si elcuadrilátero CDEF es inscriptible.

a) 20° b) 60° c) 80°d) 30° e) 5°

36. En el gráfico se muestra un arco de circunferencia ADCB,donde AB es el diámetro del arco de circunferencia secumple que : m ) CAB = 20°, además : DP es paraleloa AC y DP es tangente al arco. Calcule la m ) PDB.

A B

C

D

P

a) 45° b) 55° c) 25°d) 65° e) 35°

37. En el gráfico : 62º , 68º , 50º . En lacircunferencia inscrita, determinados puntos detangencia son E,F, G. Calcule las medidas de los ángulosGEF, EFG y FGE respectivamente.

B

EF

M

A CG

º

º º

a) 65°, 59°, 56° b) 60°, 60°, 60°c) 50°, 62°, 68° d) 68°, 60°, 62°e) 62°, 68°, 60°

38. En el gráfico, calcule la medida del ángulo BFC, si losarcos AB y DEG miden 80° y 100°, respectivamente.

A BC

DG

E

F

a) 20° b) 15° c) 30°d) 10° e) 25°

39. En el gráfico, AB y AC son tangentes a lacircunferencia.Si : m ) BAC = 72º y los arcos BD, DE y EC soncongruentes, calcule la medida del ángulo DBE.

B

D

A

EC

a) 28° b) 36° c) 40°d) 42° e) 48°

40. En el gráfico, la recta PT es tangente común a las doscircunferencias secantes. Si el ángulo ABC mide 38°.Calcule la medida del ángulo MQN.

38ºB

PQ

TM

NA

C

a) 148° b) 142° c) 138°d) 152° e) 128°

41. Del gráfico, calcule mOB .

15º

B

O

a) 20° b) 35° c) 40°d) 30° e) 50°

TRILCE

87

42. En el gráfico la mBC = 40°. Calcule la m ) PQR.

B

C

Q

P

R

D

A

a) 120° b) 150° c) 140°d) 160° e) 135°

43. En el gráfico : mAP - mBP = 28º .

Calcule lam ) AMB, donde : A, P y B, son puntos detangencia.

P

AB

M

a) 28° b) 21° c) 14°d) 7° e) 30°

44. En el gráfico : m AB = 100°.Calcule "xº". (T es punto de tangencia).

xº

B

A

T

a) 25° b) 40° c) 45°d) 50° e) 80°

45. En el gráfico, si : BH = 4 u y HE = 6 u. Calcule BC.

B

CF

A DH

E

a) 2 u b) 3 u c) 4 ud) 5 u e) 6 u

46. En el gráfico : mAB = º y mBC = º.Encuentre la relación correcta :

A B C

a) º2º b) ºº22

c) 90º2º d) 180º2ºe) 270º3º2

47. En el gráfico :mMN = mNP ; mAM = mNB = 40°. Calcule "xº".

x

PR

M N

RA

Bº

a) 20° b) 25° c) 30°d) 35° e) 40°

48. En el gráfico, calcule " º" mAB= 50º ; A y B son puntosde tangencia.

A

B

O

º

a) 85° b) 110° c) 80°d) 100° e) 90°

49. En el gráfico, AB = 12 m y "O" es centro de lacircunferencia. Calcule OH.

O

A

C

H

D

B F

a) 4 u b) 5 u c) 3 ud) 6 u e) 1 u

88

Geometría

50. En el gráfico, calcule "xº", si : A, B, C, D, E; son puntosde tangencia.

º

x

xA

C

B

D O Eº

a) 30° b) 15° c) 22°30'd) 20° e) 25°

51. En el gráfico, calcule la m ) ABC, si : P, Q, R y T sonpuntos de tangencia y además :

m ) PMT = m ) ABC.

B

M

AP

Q R

TC

a) 30° b) 45° c) 50°d) 60° e) 80°

52. En el gráfico : CD//MP y

mAMC + mNB = 160º . Calcule "xº".

xA

MC

N

B

PD

º

a) 80° b) 100° c) 50°d) 65° e) 70°

53. En el gráfico : A, B, C y D son puntos de tangencia.

mAB = 120º y mAE = 110º . Calcule "xº".

xA

E D BC

º

a) 50° b) 40° c) 30°d) 25° e) 20°

54. En el gráfico, mAB = 100º . Calcule "xº".

º

P

B

Q

C

A

x

a) 50° b) 40° c) 60°d) 70° e) 80°

55. En el gráfico, calcule la m ) MSL.

Si : mAP = 100º , mAB = 20º ; (P, S y T son puntos de

tangencia) y 21 L//L .

P SA

B

T

L

M

L1

L2

a) 60° b) 70° c) 80°d) 85° e) 90°

TRILCE

89

56. Del gráfico, calcule "xº".

xº

a) 30° b) 45° c) 60°d) 53° e) 90°

57. En el gráfico, calcule "xº", siendo C y D puntos detangencia.

xºE

FOD

B CA

xº

a) 50° b) 70° c) 60°d) 65° e) 55°

58. En el gráfico : B, C y D son puntos de tangencia. Calcule

la mAB .

AB

C

D

ºº

a) 2

º3b) º2 c) º

d) 2º

º90

e) 2º

90

59. En el gráfico, T y M son puntos de tangencia.Calcule "xº".

100º

x

10º

T

M

a) 20° b) 10° c) 15°d) 40° e) 35°

60. En el gráfico, calcule "xº". A, B, C, D y E son puntos detangencia.

AB

C

D

E

x

a) 30° b) 45° c) 60°d) 90° e) 50°

90

Geometría

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

b

b

c

c

b

a

c

d

c

a

e

a

d

b

b

b

a

d

d

b

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

c

c

a

d

a

d

c

b

d

c

d

a

a

a

c

c

c

b

a

b

TRILCE

91

Capítulo

PUNTOS NOTABLES8Son los puntos de concurrencia de las líneas notables de un triángulo.

I. BARICENTRO : Es el punto de intersección de las 3 medianas de un triángulo.

Propiedad : El baricentro determina en cada mediana dos segmentos que están en la relación de 2 es a 1.

B

A C

QM

G

N

G Baricentro del ABC

BG = 2GN

BN31

GN;BN32

BG

ca

b b

ac

II. INCENTRO : Es el punto de intersección de las 3 bisectrices interiores de un triángulo.

B

A C

Ir r

r

"I" Incentro del ABC

Propiedades :

Primera : El incentro es el centro de la circunferencia inscrita.

Segunda : El incentro equidista de los lados del triángulo. (una distancia r) inradio..

III. ORTOCENTRO : Es el punto de concurrencia de las tres alturas de un triángulo.

1. En un triángulo acutángulo, el ortocentro se encuentra en la región triangular.2. En un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo.3. En un triángulo rectángulo, el ortocentro se encuentra en el vértice del ángulo recto.

92

Geometría

B

A C

ortocentro

A

CB

ortocentro

Acutángulo Obtusángulo

1. 2.

ortocentroB

CAH

Rectángulo

3.

IV. CIRCUNCENTRO : Es el punto de intersección de las mediatrices, de los lados de un triángulo.

O

R

R R

C

B

A

O

R

R R

C

B

A

"O" Circuncentro del ABC

ac

b

a

b

c

a

bc a

b

c

TRILCE

93

O

R

R RC

B

A

c

a

a

c

Propiedades :

1ra. : El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita.2da. : El circuncentro equidista de los vértices del triángulo.(Una distancia R). R circunradio..

V. EXCENTRO : Es el punto de intersección de dos bisectrices exteriores y una bisectriz interior.Nota : Todo triángulo tiene tres excentros.

E

B

AC

E Excentro relativo al lado BC

Ra

RaRa

Propiedades :

1ra. Propiedad : El excentro es el centro de la circunferencia exinscrita.

2da. Propiedad : El excentro equidista de un lado y de las prolongaciones de los otros dos lados, (una distancia aR )

aR Exradio relativo a BC .

94

Geometría

TRIÁNGULOS PARTICULARES

1. TRIÁNGULO MEDIANO : Es el triángulo que se determina al unir los puntos medios de los lados de un triángulo.

B

A C

MN

Q

G

MNQ mediano o complementario del ABC

Propiedad :

Baricentro del ABC

Baricentro del MNQG

ca

b

a

b

c

2. TRIÁNGULO EX-INCENTRAL : Es el triángulo que se determina al unir los tres excentros.

A

B

C

EF

HO

EFH ex-incentral del ABC

Propiedad :

Ortocentro del EFH

Inc

entro del ABCO

3. TRIÁNGULO ÓRTICO O PEDAL : Es el triángulo que se determina al unir los pies de las 3 alturas de un triángulo.

A

B

C

F

H

E

O

EFH es el órtico del ABC

Propiedades :

1ra. Propiedad :

Ortocentro del ABC

In

centro del EFHO

2da. Propiedad :

Siendo : E , F y H los ángulos internos de EFG.

)Am(2180Hm

)Bm(2180Em

)Cm(2180Fm

TRILCE

95

3ra. Propiedad : A, B y C son excentros del EFH.

PROPIEDADES ADICIONALES

1.

A

B

C

H O

Siendo : H Ortocentro

O Circuncentro

=

2. La distancia del ortocentro a un vértice es el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto del vértice considerado.

A

B

C

H O

M

H OrtocentroO Circuncentro

HB = 2 OM

3. El ortocentro, baricentro y circuncentro se encuentran en una misma recta; llamada la Recta de Euler.

A

B

C

H OG Recta de Euler

H

A

B

G

Recta de Euler

H OrtocentroG BaricentroO Circuncentro

* Acutángulo * Obtusángulo

96

Geometría

01. En el gráfico : AD y BM son medianas del triángulorectángulo ABC, y AC = 30 u.Calcule "x" e "y" en metros.

A

M

CB D

x

y

02. Un triángulo ABC se trazan las alturas AE y BF quese intersectan en "D". Si el ángulo ADC mide 125°.Calcule la m ) ABE.

03. En un triángulo ABC, de baricentro G, m ) BGC = 90°,

m ) GBC = 30°; GC = 2m. Calcule AG.

04. En el arco AC de una semicircunferencia de diámetro

AC , se ubica el punto"B", tal que "E" es el excentro deltriángulo ABC relativo a BC , AE interseca al arco BCen "D"; tal que BD = 2u. Calcule CE.


05. En un cuadrilátero ABCD; m ) B = 120°; m ) D = 110°,m ) ABD = 60° y m ) ADB = 40°.Calcule la medida del ángulo que forman susdiagonales.

06. La distancia entre el centro de la circunferenciacircunscrita a un triángulo rectángulo y el punto deintersección de sus tres alturas es igual a :

07. En un triángulo ABC acutángulo la m ) BAC = 72°.Calcule la m ) OBC, siendo "O" su circuncentro..

08. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BR ,tomando como diámetro AR se traza lasemicircunferencia que intersecta a BR en "O". Calculela m ) BCA, si "O" es el circuncentro del triángulo ABC.

09. En un triángulo ABC de circuncentro "K" y excentrorelativo a BC "E".Calcule la m ) BKC, siendo la m ) BEC = 60°.

TRILCE

97

14. En un triángulo ABC de incentro "I" y excentro "E"relativo al lado BC , la diferencia entre el exradio relativoa BC y el inradio es dos veces la distancia del vértice Ca EI , y además la m ) ABC = 30°.Calcule la m ) ACB.

15. En el gráfico, calcule "xº", si : M y N son puntos mediosde CH y AH respectivamente.

60º

RM

xA

C

N H B

16. Calcule "xº", si : I, 1I , 2I son incentros de los triángulos

ABC, AHB y BHC respectivamente.

B

A C

I

I1

I2x

H

10. Se tiene un triángulo ABC de ortocentro "O" ycircuncentro "K", m ) ABC = 60° en el cual se traza laaltura BH .Calcule la m ) KOH, si : m ) AOH = 40°.

Practiquemos :11. En el gráfico, calcule x°, si "E" es el excentro del triángulo

ABC.

A

B E

C

40º25º

xº

12. En un triángulo acutángulo ABC, se cumple que :

m ) AHC = 2m ) AKC, donde "H" es el ortocentro y "K"el es circuncentro del triángulo ABC.

Calcule la m ) B.

13. En un triángulo acutángulo ABC, se ubica el ortocentro"H" y se traza el cuadrado BHGL, G pertenece a BC .Calcule la m ) HGA, si: m ) ABC = 54°.

98

Geometría

17. En el gráfico : BO//PQ , "H" y "O" son ortocentro ycircuncentro del triángulo ABC, respectivamente.Calcule "xº".

B

A C

H

x

Q

O

P

º

18. En el gráfico, "G" es el baricentro de la región triangularABC, calcule BP, si : AG = 12 u y PC = 16 u.("G" es punto de tangencia).

B

AP

G

T C

H

19. Se considera el triángulo ABC de ortocentro H.

Calcule " º ".

H

B

A C2

20. En el gráfico, "O" es el circuncentro del triángulo ABC.Calcule "xº".

xº

B

A C

O

TRILCE

99


21. En el gráfico mostrado, "I" es incentro del triángulo ABC,AM = AN y AI = 3u.Calcule : PQ.

4

B

QM P

A

N C

I

a) 33 u b) 8 u c) 6 u

d) 26 u e) 23 u

22. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, deincentro I, se traza ACIH . Calcule HC si su exradiorelativo a BC mide 4 m.

a) 3 m b) 4 m c) 24 m

d) 2 m e) 34 m

23. En la prolongación de lado AB de un cuadriláteroABCD se marca el punto E, tal que : m ) EBC = 48°,m ) CBD = 78°, m ) BDC = 30°, m ) ADB = 54°.Calcule la m ) BAC.

a) 9° b) 18° c) 36°d) 30° e) 54°

24. Se tiene un triángulo isósceles ABC de base AC ,ortocentro "H" y circuncentro "O".

m ) OAH = m ) OBC. Calcule la m ) ABO..

a) 15° b) 18° c) 18°30'd) 22°30' e) 26°30'

25. Se tiene un triángulo acutángulo ABC, de ortocentro"H" y circuncentro "O". Calcule la m ) HBO, si : m ) BAC - m ) ACB = 40°.

a) 20° b) 30° c) 40°d) 50° e) 60°

26. En el gráfico : "H" es el ortocentro del triángulo ABC,

"O" es el circuncentro y 56

OBHB

.

Calcule la suma de las medidas de los ángulos HCO yOBC.

B

A C

OH

a) 30° b) 37° c) 45°d) 53° e) 60°

27. En un triángulo ABC acutángulo de ortocentro "O", larecta de Euler corta en el punto "F" al lado AC. Calcule

la m ) FDC. Si AF = 2FC = 2OB. ("D" es circuncentrodel triángulo ABC).

a) 53°/2 b) 37°/2 c) 45°d) 30° e) 60°

28. En un triángulo ABC, se ubican los puntos interiores"H" (ortocentro) y "O" (circuncentro), m ) ABC = 60°.Calcule la medida del ángulo que forman las rectasBC y HO .

a) 30° b) 45° c) 60°d) 90° e) 40°

29. En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro "H", larecta de Euler interseca a los lados AB y BC en lospuntos P y Q respectivamente, tal que : PB = BQ. Calculela distancia de P a BC .Si : AH + HC = 18 u.

a) 9 u b) 10 u c) 6 ud) 4,5 u e) 3 u

30. En un triángulo ABC, se tiene que :

BH = BO, m ) ABH = 2m ) HBO. Calcule la m ) HAO,,siendo "H" el ortocentro y "O" su circuncentro.

a) 9° b) 5° c) 10°d) 8° e) 6°

31. Para determinar en un plano la posición de un puntoequidistante de 3 puntos A, B y C (que no pertenecena una línea recta), se busca la intersección de :

a) Las bisectrices de los ángulos ABC y BCA.b) Las mediatrices de AB y AC .c) La bisectriz de ABC y la mediatriz de AC .d) La mediatriz de AB y la bisectriz del ángulo ABC.e) La altura y la mediatriz de AB y BC .

100

Geometría

32. Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia ysean los puntos C', B' y A' los puntos medios de losarcos AB, BC y CA respectivamente. ¿Qué punto notablees el incentro del triángulo ABC para el A'B'C'?

a) Ortocentro. b) Incentro.c) Circuncentro. d) Baricentro.e) Excentro.

33. En un cuadrado ABCD en los lados BC y CD seubican los puntos medios M y N, tal que

}P{BNAM . ¿Qué punto notable es el centro delcuadrado respecto al triángulo NPA?

a) Ortocentro. b) Ex-centro.c) Baricentro. d) Incentro.e) Circuncentro.

34. Las prolongaciones de las alturas en un triánguloacutángulo ABC intersectan a la circunferenciacircunscrita en los puntos M, N y P. ¿Qué punto notablees el ortocentro del triángulo ABC respecto al triánguloMNP?

a) Ortocentro. b) Excentro.c) Baricentro. d) Incentro.e) Circuncentro.

35. En el gráfico, AP = PQ = QC. ¿Qué punto notable es"K" respecto del triángulo ABC?

60º

B

P Q

K

A C

a) Incentro. b) Circuncentro.c) Ortocentro. d) Baricentro.e) Excentro.

36. En el gráfico mostrado, ¿qué punto notable es "O", parael triángulo ABC?(A, B, puntos de tangencia).

O'O

A

B

C

a) Incentro. b) Baricentro.c) Ortocentro. d) Circuncentro.e) Excentro.

37. En el gráfico : P, Q y T puntos de tangencia, ¿Qué puntonotable es "D" para el triángulo OBA?

O

Q

B

D T

P A C

a) Ortocentro. b) Baricentro.c) Incentro. d) Circuncentro.e) Jerabek.

38. Sobre los lados BC y AD de un rectángulo ABCD setoman los puntos M y P respectivamente, tal que :PMCD es un cuadrado de centro O, si :

}Q{}MPAO{ , AB = BQ.Calcule la m ) OAD.

a) 15° b) 26°30' c) 22°30'd) 18°30' e) 30°

39. ¿Qué punto notable es el vértice de un ángulo obtusode un triángulo obtusángulo para su respectivotriángulo pedal?

a) Baricentro. b) Circuncentro.c) Incentro. d) Ortocentro.e) Punto de Gergonne.

40. En un triángulo ABC interiormente se ubica el punto"P" y sobre los lados AC y BC los puntos R y Qrespectivamente, tal que los triángulos APR y BPQ sonequiláteros, además m ) RPQ = 90°. Decir qué puntonotable es "P" del triángulo ABC.

a) Ortocentro. b) Incentro.c) Baricentro. d) Circuncentro.e) Cualquier punto.

41. En un triángulo isósceles ABC, la :m ) B = 120°. Calcule la m ) IEK, siendo :I : incentro y E : excentro relativo al lado BC yK = circuncentro.

a) 15º b) 20º c) 30ºd) 25º e) 35º

42. En un triángulo ABC, se sabe que :m ) A = m ) C = 30° y AC = 69 dm.Calcule la distancia del circuncentro al excentro deltriángulo relativo a BC .

a) 9 dm b) 12 dm c) 18 dmd) 21 dm e) 27 m

TRILCE

101

43. En un triángulo acutángulo ABC por A y C se trazanperpendiculares a AC que intersecta a la recta de Euleren M y N respectivamente. Calcule la longitud delcircunradio.Si : AM = 2 u, CN = 4 u y BH = BO; donde "H" es elortocentro y "O" es el circuncentro del triángulo ABC.

a) 2 u b) 3 u c) 4 ud) 5 u e) 6 u

44. Los lados AB , BC y AC de un triángulo ABC miden7 cm; 8 cm y 10 cm respectivamente. Por el incentro, setrazan paralelas a los lados. Calcule la suma de losperímetros de 2 triángulos entre el tercero formado pordichas paralelas que tienen en común el incentro.

a) 17 cm b) 2 cm c) 5/3 cmd) 17/7 cm e) 3/2 cm

45. En un triángulo acutángulo ABC por A y C se trazan lasperpendiculares a AC que intersecta a la recta de Euleren M y N respectivamente. Calcule BO.Si : AM = a, CN = b y BH = BO, donde : "H" es elortocentro y "O" es el circuncentro del triángulo ABC.

a) 2ba

b) 3ba

c) 2ba

d) a + b e) 2(a+b)

46. Se tiene un triángulo ABC : BC = 48 u y la distancia delincentro al excentro relativo a BC es 50u. Calcule lam ) BAC.

a) 16° b) 32° c) 64°d) 74° e) 106°

47. En un triángulo ABC, de excentro "E" relativo a AB .Calcule la medida del ángulo formado por las bisectricesde los ángulos EAB y ECB.Si : m ) ABC = 36°.

a) 9° b) 18° c) 27°d) 36° e) 5°

48. En un triángulo actuángulo ABC :

m ) A = . Calcule una de las medidas de los ángulosinternos de su triángulo pedal.

a) 90 b) 290

c) 180 d) 2180

e) 2

90

49. En el gráfico, calcule x°, siendo "I" el incentro deltriángulo ABC y además : m PQ + m RS = 60°.

xº

B

A C

IP

R

Q S

a) 60° b) 40° c) 100°d) 90° e) 80°

50. Del gráfico AB es tangente, tal que : AC y DC sondiámetros. Calcule "xº".

xº

B

A CD

a) 30° b) 60° c) 15°d) 37° e) 45°

51. Del gráfico, calcule : x°.

20º

20º

10º20º

xº

a) 10° b) 15° c) 20°d) 5° e) 30°

52. Del gráfico, calcule "x°", siendo :H : ortocentro, K : circuncentro y

36 .

B

A C

H K

x

a) 18° b) 24° c) 5°d) 72° e) 36°

102

Geometría

53. En un triángulo isósceles ABC : la m ) ABC = 120° y AC = 2 3 u. Calcule la distanciadel circuncentro al excentro relativo a BC .

a) 2 u b) 3 u c) 22 u

d) 23 u e) 25,1 u

54. En un triángulo ABC, la m ) BAC = 24°, m ) BCA =30°; se traza la ceviana BF , tal que AB = FC. Calcule lam ) FBC.

a) 60° b) 75° c) 72°d) 84° e) 96°

55. En un triángulo acutángulo ABC, el ortocentro es "H" yel circuncentro es "O". Si la distancia de "O" a AC es 4cm y AC//HO . Calcule la longitud de la altura relativaa AC del triángulo ABC.


56. En el gráfico, calcule "xº", si : = 80° y M, N y P son puntos de tangencia.

º

x

B

M

N

A

C

P

I

º

a) 10° b) 20° c) 30°d) 40° e) 50°

57. En el gráfico, "I" es incentro. Calcule IP, si :AC = 310 u y m ) ABC = 60°.

IO

B

A C

P

a) 5 u b) 10 u c) 20 u

d) 15 u e) 310 u

58. Se tiene una región triangular ABC de baricentro G,

con centro en A y radio AG se traza un arco que

interseca a AB y AC en M y N, respectivamente, de tal

forma que GCMBN . Calcule BC, si el radio del

arco es 4u.

a) 8 u b) 74 u c) 72 u

d) 56 u e) 10 u

59. Se tiene el triángulo ABC inscrito en una circunferencia,sobre el arco BC se toma el punto P, tal que :BP = 4 2 u.Calcule la distancia entre los ortocentros de lostriángulos ABC y APC.

a) 2 u b) 4 u c) 6 ud) 2 2 u e) 4 2 u

60. Si la circunferencia inscrita del triángulo ABC es tangentea los lados BC, CA y AB en P, Q y R, respectivamente,las líneas AP, BQ, CR, son concurrente. El punto deconcurrencia es llamado.

a) Incentro. b) Ortocentro.c) Baricentro. d) Circuncentro.e) Punto de Georgonne.

TRILCE

103

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

c

b

b

d

c

b

a

c

a

e

b

a

d

d

b

d

a

c

c

a

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

c

c

e

e

d

b

c

d

e

e

c

e

c

e

e

c

b

b

e

e

104

Geometría

TRILCE

105

CapítuloPROPORCIONALIDAD

Y SEMEJANZA9TEOREMA DE THALES

Si tres o más rectas paralelas, son intersecadas por dos rectas secantes a las paralelas; entonces, se determinan entrelas rectas paralelas, segmentos proporcionales.

dc

ba

a

b

c

d

L1

L2

L3

m n

Si : L1 L2 L3// //*

* m y n secantes

Propiedad :B

A C

x z

y w

L M N

Si : // ACLwz

yx

Teorema de Thalesen un triángulo.

Propiedad de la Bisectriz

En un triángulo, los lados que forman el vértice de donde se traza la bisectriz son proporcionales a los segmentosdeterminados por dicha bisectriz en el lado opuesto o su prolongación.

B

A C

D

a

m n

* Bisectriz Interior * Bisectriz Exterior

nm

ac

C

a

B

A

E

n

m

nm

ac

106

Geometría

TEOREMA DEL INCENTRO

El incentro determina en cada bisectriz dos segmentos que son proporcionales a la suma de los lados que forman elvértice de donde parte la bisectriz y al tecer lado.

B

A C

D

a

b

I

"I" incentro

bac

IDBI

TEOREMA DE MENELAO

Si se traza una recta transversal a los lados de un triángulo, se determinan sobre dichos lados 6 segmentos, donde elproducto de 3 de ellos no consecutivos es igual al producto de los otros 3 restantes.

E

D

A C F

Bx

m

n

y

q

z

L

L secante

m.n.q = x.y.z

TEOREMA DE CEVA

Si en un triángulo se trazan 3 cevianas interiores concurrentes, se determinan sobre los lados 6 segmentos, donde elproducto de 3 de ellos no consecutivos es igual al producto de los otros 3 restantes.

E

D

A C

F

B

x

m

n

y

z

m.n.q = x.y.zO

q

* AD , BE y CF cevianas* "O" cevacentro

SEMEJANZA

Definción : Dos figuras son semejantes se tienen la misma forma, y tamaños distintos.

Ejm. :

4u 3u

l l

l

l

* *

2 l2

l2

TRILCE

107

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSDos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y sus lados homólogos

respectivamente proporcionales.

Lados Homólogos : Se denomina así a aquellos lados que se oponen a ángulos congruentes en triángulos semejantes

Primer Caso : Dos triángulos serán semejantes si tienen 2 ángulos internos respectivamente de igual medida.

Segundo Caso : Dos triángulos serán semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendidoentre dichos lados congruentes.

a

b

ak

bk

Tercer Caso : Dos triángulos serán semejantes, si sus tres lados son respectivamente proporcionales.

a

b

ak

bk

cck

Observaciones : En dos triángulos semejantes, sus lados homólogos, así como sus elementos homólogos : (alturas,bisectrices, medianas, inradios, circunradios, etc.), son respectivamente proporcionales.

h

B

A C

b

ca

r

H

E

D F

e

fd

r1

Se cumple :

k......Hh

rr

fc

eb

da

1

108

Geometría

01. "O" es centro de la semicircunferencia.CP = 8 u; DP = 2 u; AB = 8u. Calcule PB.

A

D

B

CO

P

02. Calcule el lado del cuadrado, mostrado en la figura, enfunción de la base "b" del triángulo sobre el cualdescansa y de la altura "h" relativa a dicha base.

h

b

03. Según el gráfico : OD//BC y OD = 2AB.Calcule BC. Si : AD = 4u.

O

D

A

C

B

04. En el gráfico, BC = 15 u. Calcule DC, si : G es baricentrodel triángulo ABC y L es paralela a AB .

A

B

C

D

G

L

05. Del gráfico, calcule MQ, si :BC = 25 u y TC = 4AT.M y T : puntos de tangencia.

A

B

CT

M

Q

06. En el gráfico, calcule el radio de la cicunferencia mayordonde : OC = 5 m, BC = 4 m.

O

AB

C


TRILCE

109

07. En el gráfico, se tiene un rectángulo ABCD en el cual :AD = 2CD, y donde :

m ) OMA = m ) BPO. Si : MN y PQ se intersectan enO, de modo que : PO = 2 cm, QO = 4 cm y MO = 5 cm.Calcule NO.

B C

DA

M

P

NO

Q

08. Calcule la medida de la hipotenusa del triángulo ABC.

Si : 20yx 22 u2 ; 8l u.

l

lx yA

B

C

09. RS = 10 u, ES = 5 u, VE = 3 u.Calcule ST.

R

S

TV

E

10. P, Q y T son puntos de tangencia, a y b son los radios delas semicircunferencias. Determinar la distancia de T ala recta PQ .

O O'

ab

PQ

T

Practiquemos :11. En un triángulo ABC, se ubica el incentro "I" sobre la

bisectriz BM , de tal manera que :3IB = 2BM. Calcule AC, si : AB + BC = 24 u.

12. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas interioresAM , BN y CL concurrentes en P, de tal manera que:

5AL = 2AB y 9BM = 5BC. Calcule : )PNPB

( .

13. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF ,luego por F se traza AB//FQ (Q en BC ), la bisectrizdel ángulo FQC intersecta a AC en R.Si : FR = a y RC = b. Calcule AF.

110

Geometría

14. Del punto medio P del cateto AB de un triángulo ABC,recto en B, se traza la perpendicular PH a la hipotenusaAC . De tal manera que : AH = 6 u y HC = 9 u.Calcule PB.

15. Calcule la longitud de la altura de un trapecio rectángulo,cuyas diagonales son perpendiculares entre sí y lasbases miden 6 y 12 unidades.

16. Los lados AB y AC de un triángulo ABC miden 8 my 10 m. Si la distancia del incentro al excentro relativoa BC es "x" y la distancia del incentro al vértice A es5 m. Calcule "xº".

17. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se inscribeun cuadrado PLMN, de modo que el lado PN descansasobre la hipotenusa AC .Calcule AC, si : LM = 12 u y AP - NC = 10 u.

18. Se tiene un triángulo ABC, sobre los lados AB y BCse construyen exteriormente los cuadrados ABPQ yBCMN. Calcule la medida del menor ángulo quedeterminan AN y MQ .

19. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AM y CN ,de modo que :AB = 5 u, NB = 3 u y BC = 6 u. Calcule BM.

20. Se tiene un triángulo ABC, AB = c, BC = a y AC = b;donde la medida del ángulo "A" es dos veces la medida

del ángulo "B". Si : b = 4 y c = 5. Calcule : ba

.

Problemas propuestos21. En un triángulo ABC, se trazan las alturas BH y CN ;

de tal manera que :AN = 12 u, BN = 4 u y AH = 9 u. Calcule HC.

a) 15 u b) 13, 8

u c) 14 u

d) 13,2 u e) 12, 3

u

22. Las longitudes de los lados de un triángulo son 4, 7 y10 cm. Si otro triángulo semejante al primero, tiene unperímetro de 147 cm. Calcule la longitud de su ladomenor.


23. Los lados de un triángulo ABC miden :BC = 6 u, CA = 8 u, AB = 4u, respectivamente.Por un punto M de AB se traza la paralela MN al ladoBC . Calcule la longitud de AM, de modo que elperímetro del triángulo MAN sea igual al perímetro deltrapecio BMNC.

a) 3,5 u b) 2,0 u c) 1,5 ud) 2,5 u e) 3,0 u

24. En un rombo ABCD, de 12 m de lado, se toma el puntomedio M de BC . AM corta a BD en G y DM a ACen H. Calcule GH.

a) 4 m b) 6 m c) 22 m

d) 23 m e) m

TRILCE

111

25. En un triángulo rectángulo, la bisectriz del ángulo rectodivide a la hipotenusa en dos segmentos cuyaslongitudes son 3 y 1, respectivamente. El menor desus ángulos mide :

a) 30º b) 45º c) 18ºd) 60º e) 15º

26. En un triángulo ABC, se cumple que :

m ) BAC = 2m ) BCA; AB = 6 u y AC = 8 u.

Calcule BC .

a) 213 u b) 21 u c) 212 u

d) 142 u e) 143 u

27. En la figura mostrada, el punto "O" es el ortocentro deltriángulo ABC; BN = 2u, MB = 3u.Calcule OC. AB + BC = 10u.

C

A B

O

N

M

a) 8

33 u b) 33

8u c)

338

u

d) 32

27u e)

233 u

28. Si los radios de dos circunferencias miden 3 y 1 m. Lamínima distancia entre los centros es 10 m, entonces ladistancia entre el punto de intersección de las tangentesinteriores y el punto de intersección de las tangentesexteriores comunes a las dos circunferencias es :

a) 14 m b) 7,5 m c) 7 md) 1,2 m e) 6,5 m

29. Por el baricentro G, de un triángulo ABC se traza unarecta que corta a AB en E y a BC en F. Calcule FC.Si : AE = a, EB = b y BF = c.

a) a)ca(b

b) a)ba(c

c) b)ab(c

d) b)ab(c

e) b)ab(

30. En la figura, ABCD es un cuadrado y ED = 23 u.Calcule NC.

B C

A DE

M

N45º

a) 2 u b) 2 u c) 22 u

d) 3 u e) 23 u

31. En un triángulo rectángulo AB recto en B, se trazan las

bisectrices interiores AM y CN , de tal manera que :

5CM1

AN1

. Calcule la longitud del radio de la

circunferencia inscria en el triángulo ABC.

a) 5 u b) 1 u c) 2 u

d) 3 u e) 51

u

32. En la figura, A y B son puntos de tangencia.Si : MN . PQ = 24 2u . Calcule : AM . BP..

N

M

QP

A B

a) 2u24 b) 2u8 c) 2u4

d) 2u28 e) 2u26

33. En la figura mostrada, calcule la relación de losperímetros de los triángulos BAM y BCMrespectivamente.

B

AM

C

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 1/3 e) 3/4

112

Geometría

34. En un triángulo ABC, AB = 3u, BC = 12u.Calcule la longitud de la bisectriz interior BM, si :m ) B = 120°.

a) 2 u b) 2,4 u c) 4 ud) 5 u e) 6 u

35. Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B. Si enAB se ubican los puntos P y Q, tal que :m ) ACP = m ) PCQ = m ) QCB; AP = a y PQ = b.Calcule QB.

a) b2

)ba(a b) b

)ba(a2 c) )ba(

ab

d) )ba2(ab

e) a2

)ba(b

36. En el gráfico : EF = 3u, FG = 2u.Calcule GH, si : "T" es punto de tangencia.

T

HE F G

a) 1 u b) 2 u c) 3 ud) 4 u e) 2,5 u

37. Se tiene un triángulo ABC acutángulo con AC = 12 m.En su interior, desde un punto "F", se trazan lasperpendiculares FD y FE a los lados AB y BCrespectivamente. Si : DE = 4 y BF = 6.Calcule el circunradio del triángulo ABC.

a) 10 m b) 9 m c) 12 md) 15 m e) 20 m

38. Sea ABC un triángulo, donde :AB + BC = 18 dm y el segmento que une el incentrocon el baricentro es paralelo al lado AC . Calcule AC.

a) 6 dm b) 8 dm c) 9 dmd) 12 dm e) 16 dm

39. En un triángulo ABC, se trazan 3 cevianas concurrentesAM , BN y CP ; la prolongación de PM intersecta ala prolongación de AC en Q.Si : AN = a y NC = b. Calcule CQ.

a) ba)ba(a

b) ba)ba(b

c) b2a)ba(b

d) ba2)ba(a

e) 2)ba(b

40. En la figura : P, Q, T son puntos de tangencia.Si : RS = a. Calcule AC.

BS

RP

Q

A

C

T

a) a b) 2a c) 2a

d) a3 e) 0,75 . a

41. Del gráfico, calcule "xº", en función de " º".

º

xºa a2a

a) º b) 2 º c) 3 ºd) 90º - º e) 90º - 2 º

42. Si : P, T y R son puntos de tangencia en la figura.Calcule "xº".

xº40º

B

T

P

AR C

a) 20° b) 30° c) 40°d) 50° e) 60°

TRILCE

113

43. En un paralelogramo, en la prolongación de AB seubica el punto E, ED interseca a BC y a AC en M yN respectivamente.Calcule ED, si : MN = 9 u y ND = 15 u.

a) 20 u c) 16 u d) 40 ud) 25 u e) 31 u

44. En la figura mostrada, el triángulo ABC es isósceles,"O" es el centro de la semicircunferencia MN estangente a la circunferencia.Si : AM = a y NC = b. Calcule AC.

B

CAO

M

N

a) ab b) ab2

c) 22 ba d) ba

ab2

e) ba

ab3

45. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz AE queinterseca al lado BC en "D". Luego, desde los vérticesB, C se trazan las perpendiculares BH , CE a dichabisectriz. Si: HD = 1 u y DE = 2u. Calcule AH.

a) 5 u b) 4 u c) 3 ud) 2 u e) 1 u

46. En un triángulo ABC, se ubican los puntos D, E y Fen AB , BC y EC respectivamente, tal que : DE =EF, DFAE ; ABED , por B se traza una rectaque intersecta perpendicularmente a la prolongaciónde AE en H y a la prolongación de AC en G. Si :

2EH u y AB = BC = 102 u. Calcule BE.

a) 7 u b) 22 u c) 3 u

d) 10 u e) 4 u

47. En un paralelogramo ABCD, por el vértice A se trazala recta secante a la diagonal BD en M, al lado BCen N y a la prolongación de DC en Q. Si : AM = a yMN = b, calcule NQ.

a) b

ba 22 b)

aba 22

c) b

ba 22

d) a

ba 22 e)

bab 22

48. En un triángulo ABC; se traza la mediana AM y sobreella se ubica el punto P, del cual se trazan lasperpendiculares PQ y PR a AB y ACrespectivamente.Calcule PR, si :PQ = 3u, AB = 9 u y AC = 12 u.

a) 9 u b) 9/2 u c) 9/4 ud) 9/5 u e) 3 u

49. Dado un cuadrilatéro ABCD inscriptible, se prolonganlos lados DC y AB , (se cortan en E) y AD y BC (secortan en F). Las bisectrices, los ángulos DFC y BEC secortan en "O" y M y N son los puntos medios de AC y

BD respectivamente.Calcule la m ) MON.

a) 165° b) 160° c) 135°d) 150° e) 180°

50. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas BD y BF ,tal que :

m ) ABD = m ) DBF = 3FBC)m

.

Si : AD = 3 u, DF = 2 u y FC = 10 u.

Calcule la m ) DBF..

a) 45º b) 15º c) 22ºd) 45º/2 e) 37º/2

51. En un trapecio rectángulo ABCD, se tiene que :m ) A = 60°, m ) C = m ) D = 90° y BC = CD. En ACse ubica el punto F y se traza ADFM y ABFN .Calcule : FN, si : FM = 4u.

a) 2 u b) 32 u c) 4 u

d) 34 u e) 8 u

52. En la figura mostrada, calcule MN, si : M, N y P sonpuntos de tangencia.BH = 2 u y AC = 18 u.

M

B

N

A C

H

P

a) 4 u b) 5 u c) 6 ud) 8 u e) 9 u

114

Geometría

53. La circunferencia inscrita del triángulo ABC es tangenteal lado AC en "Q", una recta secante al triángulo estangente a la circunferencia en P, e interseca a los ladosAB y BC en M y N respectivamente.

}F{)PQMC( , MP = 4 u, QC = 8 u y FC = 10 u.Calcule MF.

a) 3 u b) 4 u c) 5 ud) 6 u e) 8 u

54. En un triángulo ABC (recto en B); la m ) BAC = 53°,sea P un punto de la región interior de dicho triángulo,tal que :PA = 15 u, PB = 12u y PC = 20 u.Calcule AC.

a) 11 u b) 554

u

c) 5

3625 u d)

53625

u

e) 312255 u

55. En el gráfico : AB = 7u, BC = 9 u y AC = 8 u.

Calcule : ETEI

.

B

I

T

A CE N

a) 3/5 b) 3/4 c) 2/5d) 2/3 e) 5/6

56. De la figura, calcule : PQ . RM, si :ST . LK = 27 u2.

PS

R

Q T K M

L

a) 25 u2 b) 25/2 u2 c) 27 u2

d) 27/2 u2 e) 9 u2

57. En un trapecio ABCD AD//BC( y )ADBC , por B setraza una paralela a CD , que intersecta a AC en M ypor C se traza una paralela a AB que interseca a BDen N.Calcule la longitud del segmento MN , sabiendo que:BC = 3u, AM = 6u y CM = 4 u.

a) 1,40 u b) 1,50 u c) 1,20 ud) 1,25 u e) 1,35 u

58. Si "I" es el incentro del triángulo ABC, y :3(AH) = 4(RQ) = 6(CT) = 6(TR) = 12 u. Calcule HC.

A

BJ

N

M

I

H C T R Q

a) 1 u b) 2 u c) 3 ud) 4 u e) 4/7 u

59. En el gráfico mostrado :AE = 4 dm, EF = 2 dm, AM = 5 dm y NC = 12 dm.Calcule la diferencia entre FB y MN.

B

A C

F

EH

M N

a) 1 dm b) 2 dm c) 2,5 dmd) 3 dm e) 4 dm

60. En el gráfico, "I" es el incentro del triángulo ABC y BM

es una mediana. Si : 32

IBID

, EB = 6 dm y FM = 4 dm.

Calcular EF.B

A C

IE

F

D M

a) 1 dm b) 1,5 dm c) 2 dmd) 2,5 dm e) 3 dm

TRILCE

115

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

e

a

e

a

a

d

c

b

c

d

e

a

a

b

e

d

b

c

b

c

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

a

c

d

b

c

d

c

c

e

d

b

c

c

e

a

c

c

a

d

c

116

Geometría

TRILCE

117

* PROYECCIONES ORTOGONALES SOBRE UNA RECTA

A' A' B' B' A' B'

A A

BB B

L

Proy. de Asobre

A'

A'B' proyección de AB sobre LL

A

**

m n

ca

h

B

A C

b

m : proyección de AB sobre AC

n : proyección de BC sobre AC

AHB BHC ABC

H

I. Un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre dicha hipotenusa.

m.bccm

bc 2

n.baan

ba 2

II. La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa.

n.mhhn

mh 2

III. La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

222 bac

IV. El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa con la altura relativa a la hipotenusa.

c . a = b . h

CapítuloRELACIONES MÉTRICAS EN UN

TRIÁNGULO RECTÁNGULO10

118

Geometría

V. La suma de los cuadrados de las inversas de los catetos es igual al cuadrado de la inversa de la altura relativa a lahipotenusa.

222 h

1

a

1

c

1

PROPIEDADES

1.

AB

R r r.R2AB

2.

B

A C

r x R

H

"r", "R" y "x" inradios de los triángulos AHB,BHC y ABC respectivamente.

222 Rrx

TRILCE

119

01. Calcule "h".

1520

h

02. En el gráfico, B es punto de tangencia.AF = 6 dm y AC = 18 cm.Calcule "r".

A

B

CF

r

03. La altura de un triángulo rectángulo determina, en lahipotenusa, segmentos de 18u y 32u. Calcule loscatetos.

04. Los radios de los semicírculos miden 2,5 dm y 2 dm.Calcule BH. (T : punto de tangencia).

A

B

CH

T

05. Calcule "r", si : MT = 9 cm: TN = 2 cm.

m ) AOB = 90°. ("T" es punto de tangencia).

O r

AB

NMT

06. Calcule PD, si : BQ = 4,5 cm y QC = 8 cm.

BQ C

P

A D


120

Geometría

07. P y T son puntos de tangencia.r = 5 u y AT = 9 u. Calcule "x".

x

r P

B

AT

08. En un triángulo obtusángulo ABC obtuso en "B", porel punto medio "M" de AC se traza MP perpendiculara BC . Calcule MP, si: AB = 6 u; BP = 3 u y PC = 7 u.

09. En el gráfico : AB = 6 cm y BC = 8 cm.

Calcule la distancia de "O" a AC .

A

B

OC

10. Calcule "AN", si : MN = MP.

H

N

M

A Pb a

Practiquemos :12. Los lados de un triangulo miden 8, 15 y 16 cm. ¿Cuánto

se debe quitar a cada lado para que resulte un triángulorectángulo?

13. La suma de los cuadrados de los lados de un triángulorectángulo es 200 2cm .Calcule la longitud de la hipotenusa.

14. Calcule la longitud de la altura relativa a la hipotenusa,si los catetos del triángulo rectángulo miden 6 y 8 cm.

TRILCE

121

15. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 24 u y18 u. Calcule la longitud de la altura de dicho triángulo.

16. Calcule BD, si : AD = 8 cm y DC = 10 cm.

B

A CD

E

17. Calcule la longitud del inradio de un triángulo isósceles;si su perímetro es igual a 98 cm y su base es igual a 40cm.

18. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado que mide16, siendo "M" punto medio de AD . Calcule la longituddel radio de la circunferencia.

B C

A DM

19. Los lados de un triángulo miden 4 u, 5 u y 6 u. ¿Cuántohay que disminuir a cada lado para que el nuevotriángulo sea triángulo rectángulo?

20. El radio de la circunferencia inscrita en un trapecioisósceles de bases "a" y "b" es :


21. En un triángulo PQR (m ) Q = 90°), los catetos PQ yQR miden 30 m y 20 m respectivamente. Calcule ladistancia del vértice Q a la mediana RM.

a) 8 m b) 9 m c) 10 md) 11 m e) 12 m

22. En una circunferencia de 5 m de radio, se traza unacuerda AB y sobre ésta se ubica un punto M, de modoque :AM = 3m y MB = 5 m. Calcule a qué distancia está Mdel centro.

a) 10 m b) 11 m c) 13 m

d) 15 m e) 3 m

23. Calcule "x", si : R = 16 u y r = 4 u.

r

x

R

a) 16/9 u b) 15/8 u c) 2 ud) 3/2 u e) 8/3 u

122

Geometría

24. El lado de un cuadrado ABCD, inscrito en unacircunferencia, mide 4 u. "M" es un punto del arco AB,de modo que : MD = 5 u. Calcule MB.

a) 6 u b) 5 u c) 22 u

d) 7 u e) 3 u

25. Dado un rectángulo ABCD, AD = 30 cm y AB = 25cm, calcule el radio de la circunferencia tangente a BCy que contiene a A y D.


26. En un triángulo rectángulo de la figura, la suma de laslongitudes BM y MA es igual a la suma de las longitudesBC y CA. Si : BM = x, BC = h y CA = d. Calcule "x".

M

AC

B

d

h

x

a) d - h b) dh2hd

c) 2d

d) hdh 22

e) d2dh

27. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado tiene unalongitud igual a "L". Se traza una circunferencia que,pasando por los vértices B y C, es tangente al ladoAD . Calcule la longitud del radio de la circunferencia.

a) 4L/7 b) 5L/8 c) 3L/5d) 2L/3 e) 8L/10

28. En un pentágono ABCDE, los lados AE y DE miden16 u y 8 u respectivamente y :

m ) A+m ) B+m ) C+m ) D = 480°. Calcule la

distancia del vértice E a la diagonal AD .

a) 34 u b) 8 u c) 10 u

d) 12 u e) 33 u

29. Sea ABC un triángulo rectángulo cuyos catetos miden:AB = 40 u y AC = 30 u. Se traza la altura AD relativaa la hiptenusa. Calcule la diferencia entre los perímetrosde los triángulos ABD y ACD.

a) 24 u b) 30 u c) 48 ud) 20 u e) 26 u

30. Una circunferencia es tangente a dos lados adyacentesde un cuadrado y divide a cada uno de los otros ladosen dos segmentos cuyas longitudes son 2 cm y 23 cm.Calcule la longitud del radio de la circunferencia.


31. Las medianas de un triángulo rectángulo ABC trazadasa partir de los vértices de los ángulos agudos tienenlongitudes de 5 m y 40 m. Calcule la longitud de lahipotenusa.

a) 15,0 m b) 13,58 m c) 12,60 md) 10,1 m e) 7,21 m

32. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza laaltura BH ; de tal manera que : AH = 5 u y HC = 7 u.Calcule las longitudes de los catetos.

a) u152yu132 b) u212yu152

c) u53yu73 d) u72yu52

e) u25yu27

32. En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los doscatetos están en relación de 4 a 5. Calcule la relación dedichos catetos.

a) 52

b) 5

2c) 5

3

d) 5 e) 54

33. En un romboide ABCD, si :BC = 8 u, CD = 5 u y AC = 10 u.Calcule la proyección de BD sobre AC .

a) 1,9 u b) 2,9 u c) 3,9 ud) 4,9 u e) 5,9 u

34. Sea ABC un triángulo rectángulo recto en B, cuyasmedianas BM y CN son perpendiculares entre sí.Calcule el valor de AB , si : BC = 6.

a) 23 dm b) 32 dm c) 26 dm

d) 36 dm e) 8 dm

TRILCE

123

35. En un trapecio ABCD, AD//BC , AB = 5 u,BC = 6 u, CD = 7 u y AD = 10 u.Calcule : 22 BDAC .

a) 192 u2 b) 193 u2 c) 194 u2

d) 195 u2 e) 196 u2

36. Calcule la longitud de la hipotenusa AB de untriángulo rectángulo ABC, sabiendo que : AD = 2dm, CD = 7 dm.m ) DBC = m ) BAD y que D pertenece a AC .

a) 4,5 dm b) 6,5 dm c) 34 dmd) 10 dm e) 12 dm

37. Calcule AD, si :CH = 2 dm y HA = 6 dm.

B C

H

A D


38. En el gráfico, AE = 80 u y FN = 18 u. Calcule AP.

A B

EP

NF

O

a) 100 u b) 2618 u c) 92 u

d) 3315 u e) 82 u

39. AB y CD son dos cuerdas paralelas que seencuentran en una circunferencia de radio "r"; demodo que, la distancia entre dichas cuerdas, es iguala 27 u .Calcule "r", si : AB = 48 u y CD = 30 u.

a) 36 u b) 34 u c) 32 ud) 25 u e) 28 u

40. En el gráfico, calcule BC.Si : AB = 5 u, AD = 13 u, AQ = QD.(C : punto de tangencia).

B C

F

DOQA

a) 24 u b) 25 u c) 26 u

d) 27 u e) 28 u

41. Calcule "R" en el gráfico mostrado.(M : punto de tangencia).

R

9

15M

a) 15 u b) 16 u c) 17 ud) 18 u e) 20 u

42. El segmento perpendicular a un diámetro desde unpunto de la circunferencia mide 12 pulgadas. Si unode los segmentos que se determina, en el diámetro,mide 4 pulgadas. Calcule la longitud del radio de lacircunferencia.

a) 5 pulg b) 20 pulg c) 10 pulgd) 15 pulg e) 25 pulg

43. Dado el cuadrado de lado que mide "a", ¿Cuál debeser el valor de DE, para que el triángulo AEF seaequilátero?

A B

DE

C

F

a) )32(a u b) )13(a u

c) )12(a u d) a31

u

e) )32(a u

124

Geometría

44. Se tiene un triángulo ABC donde la media del ánguloA es dos veces la media del ángulo B.

Si : AC = 4 u y AB = 5 u. Calcule : ACBC

.

a) 32

b) 65

c) 56

d) 23

e)26

45. Dos circunferencias de centros A y B se intersectan enlos puntos C y D. La tangente a la circunferencia decentro A trazada por el punto C pasa por el punto B y latangente trazada por el punto C a la circunferencia decentro B pasa por el punto A. Si los diámetros de lascircunferencias tienen las longitudes de 56 cm y

512 cm.Calcule CD.


46. En el gráfico : EM = 8 u, MC = 25 u y AB = 18 u.

AD//EP . Calcule PD.

B M C

A D

E P

O

a) 212 u b) 12 u c) 292 u

d) 11 u b) 153 u

47. Calcule "x" en el gráfico :

48 cm

52 cmx


48. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza laaltura BH ; de tal manera que:HA = 3 u y HC = AB. Calcule BC.

a) 5 u b) )54(6 u c) 6 u

d) 3 +1u e) 523 u

49. Se tiene el trapecio rectángulo ABCD,

m ) A = m ) B = 90°, AB = 60 u, BC = 62 u yAD = 73 u. Calcule CD.

a) 61 u b) 63 u c) 65 ud) 68 u e) 75 u

50. Las diagonales AC y BD de un trapecio ABCD miden5 u y 7u, respectivamente. Calcular la longitud de lamediana, si: BDAC .

a) 3 u b) 274

u c) 4 u

d) 245

u e) 5 u

51. En el gráfico, calcule AT. (T punto de tangencia).

T

3u

C

A B

a) 6 2 u b) 7

2112u c) 9 2 u

d) 3175

u e) 6,5 2 u

52. Sea ABCD un cuadrado de 16 dm de lado. Con centrosen A y D describa circunferencias congruentes y deradio AD . Luego, el radio de la circunferencia tangenteexteriormente a éstas y al lado BC mide :


TRILCE

125

53. ABCD es un rectángulo.BH = 2 u, HC = 8 u. Calcule "x".

H

A D

xB C

º

a) 30° b) 53°/2 c) 37°/2d) 53° e) 36°

54. En el gráfico, calcule PT.(T, Q y R son puntos de tangencia).

P

T

3u

5u 7u

Q

R

a) 8 u b) 26 u c) 9 u

d) 65 u e) 10 u

55. Se tiene un trapecio isósceles, una de sus diagonalesmide 792 unidades y el producto de las longitudesde sus bases es igual a 216 2u . Calcule la longitud deuno de los lados no paralelos.

a) 79 u b) 12 u c) 26 u

d) 10 u e) 54 u

56. En el gráfico : AB = 8 u. Calcule PM. (AM = MD)

A

B C

D

P

M

a) 1 u b) 56 u c) 55

12u

d) 53 u e) 512 u

57. En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado. CalculeAO, si : DT = 3 m. (P y T punto de tangencia).

DC

PT

O

AB

a) 3 m b) 4 m c) 5 m

d) 25 m e) 23 m

58. Calcule BD, si : OA = OB y el producto de radios es 322m .

O

C

D

BA

rR

a) 6 m b) 4 m c) 9 md) 8 m e) 7 m

59. En el gráfico, ABCD es un romboide, PB = 10 u yPC = 8u . Calcular la longitud de la diagonal BD.

A

B P C

D

a) 12 u b) 28 u c) 15 u

d) 64 u e) 76 u

60. En el gráfico mostrado, calcule : 2

2

2

2

m

b

n

a

a b

n

m

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

126

Geometría

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

e

a

a

d

b

b

b

b

a

c

e

b

b

c

c

a

e

e

d

c

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

c

b

e

d

b

c

e

e

a

b

c

a

b

d

d

c

e

d

e

d

TRILCE

127

CapítuloRELACIONES MÉTRICAS EN

CUALQUIER TRIÁNGULO11I. TEOREMA DE EUCLIDES

Primer Caso )90(

b a

mc

cm2cba 222

Segundo Caso )90(

b

a

cm

cm2cba 222

Observaciones :

De aquí, se deduce la importante relación denominada"Ley de Cosenos", que es válida para todo triángulo.

ba

c

Cos.cb2cba 222

II. TEOREMA DE STEWART

b c

a

x

m n

mnam.cn.ba.x 222

III. TEOREMA DE LA MEDIANA

b c

a

ma

222

2a cb

2a

m2

IV. CÁLCULO DE LA BISECTRIZ

* Interior

a b

x

m n

n.mb.ax2

128

Geometría

* Exterior

ab

y

t

e

b.ae.ty2

V. CÁLCULO DE LA ALTURA(Teorema de Herón)

b c

a

ha

Semiperímetro : p

2cba

p

)cp)(bp)(ap(p.a2

ha

Observaciones

* En todo triángulo

a

ma

mb mc

c a

43

cba

mmm222

2c

2b

2a

* En el rectángulo

b

a

m

n

cualquierpunto

2222 nmba

VI. TEOREMA DE LEONARD EULER

* Válido para todo cuadrilátero.

a

b

c

d

P Q

B

C

A D

PQ : segmento que une los puntos medios de lasdiagonales.

TRILCE

129

01. Calcule HC.

12

B

A C

16

H20

u u

u

02. Calcule HB.

A

CB

H

20

15

10

u

u

u

03. Calcule AH, si : AB = 37 u, BC = 15 u y AC = 44 u.

B

A CH

04. Calcule HA, si : AB = 17 u, BC = 25 u y AC = 12 u.

B

HA

C

05. Calcule la mediana BM.Si : AB = 8 u, BC = 12 u y AC = 6 u.

B

A CM

06. Si : BM = MC, calcule AM.

B

A C

M6 u

12

8

u

u


130

Geometría

07. Calcule BH.

13u

B

A C

15u

H14u

08. Calcule BM.

B

A CM10u

8u12u

09. Calcule BD, si : AB = 4 u, BC = 6 u y AC = 5 u.

B

A CD

10. Calcule BE, si : AB = 4 u, BC = 3 u y AC = 2 u.

º

B

AC

E

º

Practiquemos :11. En el gráfico, calcule BM.

B

A CM7u

5u 6u

12. En el gráfico, calcule BE.

B

A EC

7u6u

5u

TRILCE

131

13. En el gráfico, calcule BF, si :AB = 5 u, BC = 7 u, AF = 4 u y FC = 2 u.

B

A CF

14. Calcule el lado de un rombo, sabiendo que el puntomedio de un lado, dista de los extremos del ladoopuesto 9 cm y 13 cm.

15. En un triángulo ABC de lados : AB = 13 u, BC = 15 uy AC = 14 u, se traza la bisectriz interior del ángulo C.

Calcule AH, siendo BH la perpendicular trazada adicha bisectriz.

16. Calcule "x".

3

2

7

x

17. ¿Para qué valores enteros de "x", el triángulo mostradoes obtusángulo?

x

34

18. Calcule el perímetro de un rombo ABCD, si : MC = 9u,MD = 13 u y M es punto medio de AB .

19. En un triángulo ABC. AB = c, BC = a y AC = b.

bc3cba 222

Calcule la m ) BAC.

20. Los lados AB , AC y BC miden 13 u, 14 u y 15 urespectivamente. Calcule la distancia del punto mediode BC al lado AC .

132

Geometría


21. En un triángulo de lados 9 u, 10 u y 13 u. Calcule elvalor entero de una de las medianas.

a) 8 u b) 9,0 u c) 12 ud) 10 u e) 7,0 u

22. Los lados AB , BC y AC de un triángulo miden 8 u,10 u y 12 u respectivamente. Por "B" se traza unaceviana BE que divide al lado AC en dos segmentos,AE = 9 u y EC = 3 u. Calcule BE.

a) 4 u b) 5 u c) 6 ud) 7 u e) 8 u

23. Los lados de un triángulo rectángulo miden AB = 36m, AC = 48 cm y BC = 60 m, se traza la altura AH y labisectriz BP que corta a la altura en "Q". Calcule AQ.

a) 14 m b) 16 m c) 18 md) 20 m e) 22 m

24. En el gráfico : 7AO1 u y el radio de la circunferenciapequeña mide 3 u. Calcule el radio del cuadrante AOB.

O

A

B M

O1

a) 32 u b) 52 u c) 5 u

d) 6 u e) 53 u

25. Calcule AB, si : AM = a y MC = b. (AB = BC).

B

A CM

45º

a) 22 ba b) ab2

c) a - b d) 2

ba 22

e) abba 22

26. Calcule BM, si : BP//OM .AM = 4 u, MP = 5 u y MN = 3 u.

A MP

O

B

N

a) 29 u b) 5,8 u c) 34 u

d) 6 u e) 34 u

27. Calcule la longitud del segmento que une los puntosmedios de las bases de un trapecio, sabiendo que loslados laterales miden 5 cm y 7 cm y las bases sediferencian en 6 cm.

a) 52 cm b) 72 cm c) 53 cm

d) 73 cm e) 112 cm

28. En un triángulo ABC, se trazan la bisectriz interior BD yla mediana BM, tal que :BD = DM. Calcule AC, si:AB . BC = 144 cm2.


29. Calcule la altura de un trapecio ABCD de basesBC = 5u y AD = 26 u y cuyos lados no paralelosmiden 13 u y 20 u.

a) 8 u b) 10 u c) 12 u

d) 26 u e) 36 u

30. Se ubica un punto "P" de la circunferencia inscrita enun cuadrado ABCD de 4 cm de lado.Calcule : 2222 PDPCPBPA .

a) 40 cm2 b) 36 cm2 c) 48 cm2

d) 60 cm2 e) 70 cm2

31. En el gráfico, calcule "r", si : R = 4 u, 2r1 u.

R r

r1

a) 1 u b) 2/3 u c) 3/2 ud) 2 u e) 1/2 u

32. En un rectángulo ABCD, se ubica un punto exteriorrelativo al lado BC, "P", si :PA = 7 u, PB = 5 u, PD = 6 u. Calcule PC.

a) 23 u b) 3 u c) 33 u

d) 52 u e) 32 u

TRILCE

133

33. En un triángulo ABC, exteriormente relativo a BC , seubica "P", tal que :m ) APB = 90° y m ) BAP = m ) PAC, si :BC = 5 u. Calcule : AB - AC, siendo :

20PCPB 22 u2

a) 7 u b) 15 u c) 10 u

d) 30 u e) 2 u

34. En el gráfico, calcule EP.

E

P

8O

u

a) 6 u b) 22 u c) 5 u

d) 24 u e) 4 u

35. Se tiene el triángulo ABC :m ) A = 2m ) B, AB = 12 u y AC = 8 u. Calcule BC.

a) 10 u b) 28 u c) 154 u

d) 13 u e) 104 u

36. En el gráfico, calcule "r".

r

53

uu

a) 2 u b) 49120

u c) 5 u

d) 1533

u e) 6 u

37. En un triángulo ABC, sobre BC se marcan M y N, talque : BM = MN = NC. Si :AB = 7 u, AC = 8 u y BC = 9u.Calcule : 22 ANAM .

a) 77 u2 b) 66 u2 c) 44 u2

d) 88 u2 e) 55 u2

38. Sobre el lado BC de un rombo ABCD se ubica elpunto medio M, de tal manera que :

40)MD()AM( 22 u2.Calcule el perímetro de la región rombal.

a) 40 u b) 32 u c) 28 ud) 20 u e) 16 u

39. En un triángulo ABC, se traza una paralela por B aAC . La bisectriz interior del ángulo A corta a dichaparalela en E. Calcule AE, si : AB = 5 u, BC = 4 2 u yAC = 7 u.

a) 4 5 u b) 3 5 u c) 5 u

d) 5 5 u e) 2 5 u

40. Si se sabe que las longitudes de los lados de untriángulo ABC, satisfacen la siguiente relación :AC . AB = 22 ACBC . Calcule la m ) BAC, si lam ) ABC = 36°.

a) 36° b) 72° c) 58°d) 49° e) 38°

41. En el gráfico, AB = 12 dm y BC = 5 dm.Calcule PQ.

A

B

P

C Q

a) 1335

dm b) 2932

dm c) 261615

dm

d) 261315

dm e) 111320

dm

42. En el gráfico, se tiene el triángulo equilátero ABC, AB =12 u y BP = 5 u. Calcule MN, siendo N punto mediode BP .

AM

C

P

N

B

a) 87 u b) 2263

u c) 382 u

d) 20 u e) 102 u

134

Geometría

43. En un triángulo ABC, obtuso en "C" :AB = c, BC = a y AC = b.

Calcule la m ) ACB, sabiendo que :

)ba(c2cba 222444

a) 120° b) 150° c) 115°d) 105° e) 135°

44. En un triángulo, dos lados miden 7 dm y 3 dm,las medianas relativas a dichos lados sonperpendiculares entre sí. Calcule la distancia delbaricentro al vértice común de dichos lados.

a) 2 dm b) 2 dm c) 5 dm

d) 234

dm e) 6 dm

45. En el gráfico, AB = 8 dm, calcule "x".(M, N y Q son puntos de tangencia).

AO

B

x

N

Q

M

a) 23

dm b) 2 dm c) 3 dm

d) 334

dm e) 2 dm

46. Sea ABCD un romboide donde :BC = 3(AB) y M es punto medio de BC .Calcule CD, si: AM = 9 dm y DM = 6 dm.

a) 32 dm b) 23 dm c) 24 dm

d) 34 dm e) 26 dm

47. Calcule la longitud de la hipotenusa AP , sabiendoque :PB =11 u, CB = 7 u, BA = 8 u.

BAC

P

a) 16 u b) 17,8 u c) 297 u

d) 295 u e) 19,5 u

48. En el gráfico, calcule la longitud del segmento CD , si :AB es el diámetro de la semicircunferencia.AP = 3 u, PB = 8 u, PQ = 4 u y PM = 6 u.

A BP O

D

C

QM

a) 876 u b) 100921

u c) 935 u

d) 102221

u e) 984 u

49. Sea ABCD un cuadrilátero donde C es recto, AB = 13cm, BC = 20 cm, CD = 10 cm, AD = 17 cm.Calcule la longitud de la proyección de AD sobre larecta que contiene al segmento AB .

a) 1720

cm b 1310

cm c) 1715

cm

d) 1321

cm e) 1320

cm

50. En un triángulo ABC, los lados están representadospor tres números enteros consecutivos y el ángulomayor es doble del menor.Calcule los lados del triángulo.

a) 2u, 3u y 4u b) 7u, 8u y 9uc) 6u, 7u y 8u d) 5u, 6u y 7ue) 4u, 5u y 6u

51. En el tirángulo rectángulo ABC, recto en A, los puntos

1P , 2P , 3P y 4P , dividen a la hipotenusa en cincopartes iguales.

265AP21 u2 y 160AP2

4 u2. ¿Cuánto mide lahipotenusa?

a) 12 u b) 15 u c) 18 ud) 21 u e) 25 u

52. Sea un triángulo ABC de lados AB = AC y BC = 2 u.Si la bisectriz del ángulo B corta al lado opuesto en D yBD = 1 u; entonces, los ángulos A y B miden :

a) 60°, 60° b) 90°, 45°c) 100°, 40° d) 120°, 30°e) 150°, 15°

TRILCE

135

53. En un triaángulo ABC, se cumple que :m ) BAC = 2m ) BCA; AB = 6 u y AC = 8 u.Calcule BC.

a) 213 u b) 21 u c) 212 u

d) 142 u e) 143 u

54. En un trapecio, las bases miden 6 u y 16 u, los otrosdos lados miden 7 u y 9 u. Calcule la longitud delsegmento que une los puntos medios de las bases.

a) 6 u b) 102 u c) 7 u

d) 53 u e) 211

u

55. Calcule "x", si la longitud del lado del cuadrado es 18m.

x

a) 1 m b) 2 m c) 3 md) 4 m e) 6 m

56. Calcule la longitud del circunradio de un triángulo cuyoslados miden 26 dm, 28 dm y 30 dm.

a) 16,125 dm b) 16,25 dmc) 16,89 dm d) 18 dme) 20 dm

57. En el gráfico, calcule "xº", si :

)BC)(AD()AB( 2

26º

B

CAH

x

Dº

a) 34° b) 17° c) 23°d) 26° e) 38°

58. En el gráfico, calcule el lado del cuadrado ABCD. Si :AM = a y BL = b.(M y T son puntos de tangencia).

B C

A DM

L

T

a) 22

2

ab

a

b) 22

2

ba2

a

c) 22

2

ba

a

d)

)ba)(ba(ba2

e) 22 ba

ab

60. Si ABCD es un cuadrado de lado que mide 40u. Calcule PQ.(P y Q : puntos de tangencia).

A

B C

D

P

Q

a) 612 u b) 632 u c) 652 u

d) 692 u e) 772 u

136

Geometría

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

d

c

c

b

d

e

b

c

c

e

b

e

b

d

e

b

a

e

a

b

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

d

b

e

a

c

b

c

b

d

e

e

d

c

b

d

b

e

e

c

c

TRILCE

137

I. TEOREMA DE CUERDAS

n

a

b

m

a.b = m.m

II. TEOREMA DE LAS SECANTES

C B A

E

F AC.AB = AF.AE

III. TEOREMA DE LA TANGENTE

A

B

C

x

AB.ACx2

IV. CUADRILÁTERO INSCRITO

y x

a

b

c

d

xy = ac + bd

bcadcdab

yx

Ptolomeo

Viette

CapítuloRELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA12

138

Geometría

01. Si : AQ = QB; EQ = 4 u y QF = 9 u.Calcule : AB.

A

E

B

FQ

02. Si : AQ = QB; EQ = 12 u y QF = 27 u.Calcule : AB.

E

B

F

Q

A

03. En la figura, calcule AC, si :MC = 2 u, AR = 8 u y PR = 5 u.

A

R

C

M

P

04. En la figura, calcule AC.Si : MC = 4 u, AR = 16 u y PR = 10 u.

A

R

C

M

P

05. Del gráfico : AM = MC. Calcular BQ.Siendo : AP = 4 u, PB = 5 u y QC = 3 u.

A

P

M

B

Q

C

06. Si : AB = 3 u; BC = EF; AD = 2 u; DE = 10 u.Calcule : FG.

AB

D

C

E F

G


TRILCE

139

07. Si : AB, BC y AQ son valores enteros consecutivos.Calcule AQ.Q punto de tangencia.

A

Q

B C

08. Si : AB = BC = CD. Calcule AD, si :R = 9 u y r = 7 u.

AB C D

R

r

09. En la figura, calcule BD, si :AH = 8 u, CH = 6 u y HB = 3 u.

A

C

B

D

H

10. Siendo P y B puntos de tangencia. Calcule CD, si :AB = 4 u y BC = 3 u.

A

P

DCB

Practiquemos :11. Si : CD = DE = 3 u. Calcule AC.

R

ED

A B C

r

12. Si Q es punto de tangencia.MN = 9 u; MF = 16 u y 4EP = EF.Calcule : PQ.

NM F

E

P

Q

140

Geometría

13. Por un punto interior a una circunferencia de radio10u, se trazan las cuerdas cumpliéndose que elproducto de los 4 segmentos determinados es 625.Calcule la distancia entre el punto mencionado haciael centro de la circunferencia.

14. Se tiene una circunferencia de diáemtro AB = 6 m, setraza una cuerda CD que corta al diámetro en E yforma un ángulo de 30° con éste. Si la distancia de Eal centro es de 2 m. ¿Cuánto mide CD?

AE

D

B

C

15. Calcule PC, si : CD = 3 u y AB = 12 u."P" es punto de tangencia.

DC

BA

P

16. En el gráfico, PM = 9 u, MQ = 4 u.Calcule AM.

A

PM

Q

17. En una circunferencia se trazan AB y EF dos cuerdassecantes en Q, de modo que EF biseca a AB . Si EQy EQ miden 8 u y 18 u en ese orden. Calcular el valorde AB .

18. Sobre el arco AB de una circunferencia circunscrita aun triángulo equilátero ABC, se ubica un punto P, talque :AP = 3 u y PB = 5 u. Calcule : AB + PC.

19. En un triángulo acutángulo ABC se trazan las alturasAH y CE , tal que :BE = 2 u, CH = 3 u y BH = 5 u. Calcule AE.

TRILCE

141

20. Se tiene el trapecio ABCD )AD//BC( isósceles, talque : 222 u54CDAC .Calcule el producto de las bases.

Problemas propuestos21. E y F son puntos de tangencia.

Marcar la relación correcta :

F

B

A E

a) 333 BFAEAB

b) 222 BFAEAB

c) BF.AEAB2

d) BFAEBF.AE

AB

e) BFAEBF.AE2

AB

22. En la figura, A es punto de tangencia.AF = BM = MB.Calcule AM, si : FL = 1 u, LG = 8 u.

G

A

FL

M

B

a) 2 u b) 3 u c) 4 ud) 5 u e) 6 u

23. En un triángulo ABC m ) ABC = 60°, cuyo incentroes "I" y AB + BC = 12 u.Calcule OB. (O circuncentro del triángulo AIC).

a) 36 u b) 6 u c) 12 u

d) 4 u e) 34 u

24. En la figura, calcule AB, si :PB = 3 u y BQ = 12 u.(O es centro y C punto de tangencia).

Q

O

B

C

PA

a) 2 u b) 4 u c) 5 ud) 6 u e) 8 u

25. En el gráfico : AP = 8 u, PB = 1u y m ) ABC = 90°.Calcule BT.

B

P T

A C

a) 24 u b) 3 u c) 3,5 u

d) 22 u e) 2 u

26. Indicar el valor de verdad de las siguientes relaciones,)QO( .

O

R

Qd

b

c

a

I.db

ca

II. 4R

dcba2

2222

III. caR2

a) FFF b) VVF c) VVVd) FVV e) FFV

142

Geometría

27. En el gráfico :MC = 12 u y QC = 8 2 u y = 45º. Calcule DM.

A

D M C

BQ

a) 6 u b) 3 u c) 4 ud) 5 u e) 4,5 u

28. En el gráfico, P es punto de tangencia, AB = 1 u, BC = 6 u y CD = 5 u.Calcule : 22 )PC()PB( .

A B

PC

D

a) 40 u2 b) 36 u2 c) 42 u2

d) 46 u2 e) 30 u2

29. En el gráfico MN es diámetro, OP = 2 u yPQ.PS=60 2u . Calcular la longitud del radio de lacircunferencia.

P

O

Q

MR

S

T

Na) 7 u b) 6 u c) 4 ud) 8 u e) 5 u

30. En el gráfico, D es punto de tangencia, DE = 4 u yBF = 2 u. Calcule FG.

B

A

DF

G

E

a) 3 u b) 4 u c) 5 ud) 6 u e) 8 u

31. Se da un cuadrilátero ABCD inscrito en unacircunferencia (como en el gráfico), con diagonalesque se intersectan en P.Calcule el valor de :

PB.PDPC.AP

D

C

BA

a) 1/4 b) 1 c) 1/2d) 1/3 e) 3

32. Según el gráfico :AB = 15 cm, CD = 8 cm. Calcule BC.

A

B

C

D


33. En el gráfico, AB = 5 cm, BC = 4 cm.Calcule CD.

AB

DC

r


TRILCE

143

34. En la figura B y C son puntos de tangencia. Si :AE = 8 u, EC = 4 u. Calcule CD.

60º

B

CEA

D

a) 1 u b) 2 u c) 3 ud) 4 u e) 5 u

35. En el gráfico, calcule QN.("T" punto de tangencia), PT = 9 u, EN = 3 u.

TP

EN

Q M

a) 3 u b) 3,5 u c) 4 ud) 4,5 u e) 5 u

36. En el gráfico, B es punto de tangencia.AB = 6u y AP = 4u. Calcule PQ.

O O1

A

BQ

a) 4 u b) 5 u c) 6 ud) 8 u e) 9 u

37. En la siguiente figura se muestra unasemicircunferencia de centro O y radio R. Siendo MBel lado de un polígono inscrito de 18 lados.AN = MP = R. OP = 5u . Calcule MN en función deR.

O

N

M

AB

PR

a) R

R25 2b) 2R

R25 c) R

R225

d) R

R225 2e)

R2R25 2

38. Graficar a una semicircunferencia de diámetro AB .Trazar las cuerdas AF y BE que se intersectan en"Q". Calcule el valor de FB , sabiendo que :AQ = 8 dm, QF = 4 dm, QE = 6 dm.

a) 632

b) 1134

c) 734

d) 1034

e) 316

39. Los centros de la circunferencia inscrita y circunscritaa un triángulo son I y O en ese orden. La prolongaciónde IO corta a la inscrita en P y a la circunscrita en M,al prolongar OI corta a la inscrita en Q y a lacircunscrita en N. Calcule el valor del inradio, si :PM = a y QN = b.

a) 3ba

b) baab2 c) ab

c) 2

ba 22 e)

2ba 22

40. Calcule : OQ. Si : AP = PS = PQ.

S

B

Q

OAP

R

a) 5

5R b) 3

3R c) )12(R

d) )12(2R

e) )12(2R

41. Calcule : AT, si : m ) ABH = m ) ACB yB = 8. (T es punto de tangencia).

B

AH

CT

a) 4 u b) 6 u c) 8 ud) 12 u e) 16 u

144

Geometría

42. En el gráfico : P y Q son puntos de tangencia.Si : AB = 6 u, BQ = 2 u, BC = 3 u, calcule EB.

PE

Q

B

C

A

a) 0,5 u b) 1 u c) 1,5 ud) 2 u e) 1,2 u

43. En el gráfico, calcule AB, si :AL = 5 u y LC = 4 u.(A y D son puntos de tangencia).

O

L

AC

D

B

a) 18 u b) 20 u c) 25 ud) 30 u e) 35 u

44. En una circunferencia se trazan los diámetrosperpendiculares AB y CD que se cortan en O, luegose trazan las cuerdas BE y BF, las cuales se intersectancon CO y OD en M y N respectivamente. Si el radiode la circunferencia mide 1 u. Calcule :

)BN)(BF(BE)(BM(

a) 1 u b) 2 u c) 2 u

d) 4 u e) 2 2 u

45. Si : AP = 8 u, AM = 6 u y AB es diámetro..Calcule MN.

A

P

NM

HOB

a) 4 u b) 5 u c) 7/3 ud) 10/3 u e) 14/3 u

46. Del gráfico: AO = OB; CD = 3 u; GD= 4 u y FD = 1u.Calcule DE.

O

F E

CA

G

B

a) 2 u b) 2,4 u c) 2,5 ud) 3,5 u e) 3 u

47. En una circunferencia de 16 cm de diámetro se trazauna cuerda TD de 12 cm y por T una tangente TP ala circunferencia, siendo PD una secante que pasapor el centro de la circunferencia. La distancia de P ala circunferencia será en cm.


48. En el gráfico : 21 L//L , AP = 10 u y PC = 8 u.Calcule CQ.

P

A B

QC

L1L2

a) 10 u b) 12 u c) 11 ud) 16 u e) 18 u

49. Grafique al cuadrilátero inscriptible ABCD, de modoque :AB = BD, m ) BCD = 120°, BC = 6 u y CD = 4 u.Calcule BD.

a) 112 u b) 132 u c) 152 u

d) 172 u e) 192 u

TRILCE

145

50. En el gráfico, P y T son puntos de tangencia.Si : AB = a y BD = b, calcule el valor de BC.

P

C

D

A T

B

a) ba2ab b) ab2

ab c) ba

ab2

d) baab e)

ab)ba( 2

51. En un triángulo inscrito en una circunferencia, lassagitas correspondientes a cada lado mide 1 u, 2 u y3 u.Calcule la medida del menor lado del triángulo.

a) 5 u b) 6 u c) 7 ud) 8 u e) 9 u

52. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza laceviana BD = 6u. Si los inradios de los triángulosABD y CBD son iguales, calcular el producto de losexradios relativos a los catetos.

a) 15 2u b) 18 2u c) 24 2u

d) 30 2u e) 36 2u

53. Según el gráfico, calculr "r" en función de "x" e "y".Si : "x" e "y" tienen valores máximos.

AO B

rx

y

a) xy2 b) 2yx

c) xy2

d) xy22 e) 3yx

54. A y B son puntos de tangencia.Si : EP = 6 u y EF = 4 u. Calcule FG.

A

F

E

P

G

B

a) 12 u b) 16 u c) 18 ud) 20 u e) 22 u

55. En el gráfico :NP = 10 u, NO = 15 u, AM = MB = 7 u.Calcule MT, si T es un punto de tangencia.

T

A M B

PN O F

E

a) 5 u b) 10 u c) 12 ud) 15 u e) 16 u

56. De la figura, AO = OB; OP = 1u; PQ = 3u.(M, N y T, puntos de tangencia).Calcule : BQ . QC.

M

A C

T

Q

BNO

P

a) 2u )12( b) )13(2 u2

c) )122(4 u2 d) ( 322 ) u2

e) )12(5 u2

146

Geometría

57. Una cuerda que mide 2m pertenece a unacircunferencia de centro O. Dicha cuerda es divididaen media y extrema razón por un punto M. Calcule elradio de la circunferencia, sabiendo que el punto Mdista 1 m del centro O.

a) m 2

)15( b) 537

544

m

c) )15( m d) )15(2 m

e) 537

5711

m

58. En el gráfico : AH = 12 u, HB = 4 u y BN = 6 u.Calcule ON.

BA

E

F

N

O H

a) 5 u b) 35 u c) 36 u

d) 34 u e) 25 u

59. Calcule MD, si : ME = 6 u y 2(AM) = 3(CM).

M

C

D

BAO E

a) 1 u b) 2 u c) 3 ud) 6 u e) 4 u

60. En el gráfico: A y B son puntos de tangencia.Si : DA = a y EB = b.

A

D

P

E

B

a) 22 baba b) 22 baba

c) 22 b2ab2a d) 22 baba

e) 22 baa

TRILCE

147

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

b

c

e

d

b

d

c

d

d

d

b

d

d

b

d

b

d

c

c

c

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

c

b

d

b

e

c

c

b

e

a

b

e

d

d

d

c

e

e

e

b

148

Geometría

149

TRILCE

Capítulo

13 POLÍGONOS REGULARES

POLÍGONOS REGULARESA

B

C

OR

R

Hl n

l nº

º

º

* Polígono regular ABC......, de n lados* Centro : O

* Circunradio : R

* Arco o : Central) n

º360º

* Lado del polígono inscrito : nl* Apotema: OH* Elemento representativo : AOB

CÁLCULO DEL LADO DE POLÍGONOS REGULARESMÁS USUALES

I. Triángulo Equilátero

3R3 l

= mAB = 120°

A B

OR

60°

3l

C

3R

30°

En AOB:

2

3l

60°

º=120°

II. Cuadrado

2R4 l

= mAB = 90°

AB

O

R

4l

C En el AOB:

R

D4l

=90° 4l

º

III. Hexágono Regular

R6 l

= mAB = 60°A

B

O 60°

C

En el AOB:

R

D

6l

R

E

F

º= 60°

IV. Octógono Regular

A

B

O 45°

En el AOB:

8lR

R

22R

R2R2

45RCos2RR

8

22222

8

2228

l

l

l

° = mAB = 45°

CÁLCULO DEL APOTEMA (Ap)

A

B

O

En el AOB:

R

R

Apotema

22212

4

2n2R42

4

2n22

nR4Ap

Ap

RAp

l

l

l

l n

2nl -

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN MEDIA Y EXTRE-MA RAZÓN

A C Bx

l

(AC>CB)

Por definición :

2)15(

2

x

)x(x

l

ll

entonces, la solución es :

* AC (o sea "x") es la sección áurea de AB .

*2

)15( se le denomina número áureo..

Geometría

150

POLÍGONOS REGULARES

Triángulo

Cuadrado

Hexágono

Pentágono

Octógono

Decágono

DodecágonoRegular

120°

90°

60°

72°

45°

36°

30°

3R3 l

2R4 l

R6 l

52102R

5 l

22R8 l

2/)15(R10 l

32R12 l

Arco o < central) Lado

R : circunradio

Si x es la sección áurea de AB. 2/)15(x lA Bx

l

151

TRILCE

01. Si: "O": centro, "T": punto de tangencia. Calcular: "x".

O

6l

R

AT

C

x

02. Del gráfico, calcular : "x".

O

6l

3lR

x

03. Calcular "x".

8l 5l

x

04. Si:

3AB l ; 6AD l ; 4BC l

A

BC

D

Entonces, CD es:

05. Si: 3AB l ; 10CD l . Entonces, x° mide:

A

B

C

D

Px°

06. Si : R = 6, 3AB l , entonces, OM mide :

O

A

B

R

M


Geometría

152

07. Calcular: x°, si : 4AB l ; 3AD l .

x

A

B

C

D

08. En la figura mostrada se cumple: CD//AB , 14AEC)m y AB es el lado del pentágono

regular inscrito en la circunferencia. Hallar AED)m .

A B

C D

E

09. Hallar : ABC)m .

O 4l

3lA B

C

R

10. Del gráfico, 44 l , calcular el radio de lacircunferencia.

O

4l

R

AB

Practiquemos :11. ¿Cuál es el polígono regular cuyo lado es el doble de

su apotema?

12. Calcular la relación entre el inradio y circunradio deun triángulo equilátero.

13. En un pentágono regular ABCDE, se traza BE y ACque se intersectan en "F". Si: 7EF , calcular el ladodel pentágono.

153

TRILCE

14. En una circunferencia de radio R, se tiene una cuerdaAB que mide 3R . ¿De qué polígono regular elsegmento AB es un lado?

15. Un triángulo equilátero está inscrito en unacircunferencia de radio 6. Hallar el lado del hexágonoregular inscrito en el triángulo.

16. Diga cuánto mide el lado de un hexágono regularcircunscrito a una circunferencia de radio igual a 34 .

17. Un cuadrado y un hexágono regular se inscriben enuna misma circunferencia; la razón de sus apotemases:

18. En una misma circunferencia, el cociente del perímetrodel hexágono regular circunscrito entre el perímetrodel hexágono regular inscrito, es de:

19. Calcular la longitud de una de las diagonales de unpentágono regular cuyo lado mide 2.

20. Si el lado de un pentágono regular mide)15( metros, hallar la suma de las longitudes de

todas sus diagonales.

Problemas propuestos21. En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia,

se tiene que :AB = l3; AC = l4. Calcular la medida del lado BC, sila medida del radio de la circunferencia es 2.

a) 23 b) 26 c) 36

d) 32 e) 32

22. Se tiene un octógono regular inscrito en unacircunferencia de radio igual a 23 . Hallar elperímetro de aquel polígono que se obtiene al unirconsecutivamente los puntos medios de sus lados.

a) 12 b) 18 c) 20d) 24 e) 48

23. Dado un dodecágono regular inscrito en unacircunferencia de radio 4 cm. Hallar el perímetro delpolígono que se obtiene al unir los puntos medios desus lados.


24. Dado un cuadrado de lado "L", a partir de cada vérticey sobre cada lado se toma un segmento "x", de talmanera que al retirarlos y unir los extremos libres seforme un octágono regular. Hallar "x".

a) )22(2L b) )12(2

L c) )12(2L

d) )12(2L e) )22(

2L

Geometría

154

25. En un hexágono regular ABCDEF de lado 13 , lasprolongaciones de la diagonal AC y el lado EF secortan en "P". Hallar PD.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 6,5

26. En un polígono regular ABCDEF... se cumple que

7(m ) BAC) = m ) ABD, AC = 52 . Calcular el

radio de la circunferencia circunscrita a dicho polígono.

a) 5210 b) 32 c) 15

d) 15 e) 5210

27. Un triángulo equilátero está inscrito en unacircunferencia de radio 2m. Calcular la suma de lasalturas del triángulo.

a) 6 m b) 36 m c) 9 m

d) 39 m e) 38 m

28. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la

ceviana BF, tal que : AB = FB, m ) FBC = 60°; y

m322AC . Hallar la longitud FB.

a) 1 m b) 2 m c) 3 md) 2 m e) 22 m

29. Hallar el lado de un polígono regular inscrito en unacircunferencia de radio 5cm, si se sabe que su apotemaes la diferencia del lado del polígono con el radio dela circunferencia circunscrita.


30. Se tiene un cuadrado de lado 28 . Si a partir decada vértice se disminuye una cierta longitud "x" seformarán en cada esquina triángulos rectánguloisósceles. Eliminándolos quedará un polígono de 8lados. Hallar "x" para que el polígono resultante searegular.

a) )22(8 b) )12(8 c) )22(8

d) )12(8 e) )122(8

31. Un polígono regular de n lados, cuyo lado mide Lnestá inscrito en una circunferencia cuyo radio mide R.Calcular la longitud del lado del polígono regular dedoble número de lados que el anterior (L2n), inscritoen la misma circunferencia.

a) 2n

22n2 LR4RR2L

b) 22n

2n2 R4LR4L

c) 2n

22n2 LR4RR2L

d) 2n

2n2 LR4RR2L

e) 2n

2n2 LR3RR2L

32. Una ventana cuadrada de lado 60 cm tiene la formadel diseño dado. Las curvas son arcos decircunferencia. Entonces, la longitud de fierro usadoen la construcción de la ventana, es:

a) )221(120 m b) )22(120 m

c) )21(240 m d) )222(240 m

e) )222(120 m

33. En la figura, el triángulo ABC es equilátero, M es punto

medio del lado BC y D es punto medio del arco AC .

Si x e y representan las longitudes de los segmentosDM y ME respectivamente, hallar x/y..

A

B C

D

E

M

a) 5/3 b) 2 c) 4d) 8/3 e) 7/3

34. Los lados AB y BC de un triángulo ABC miden 2m y

m)15( , respectivamente. Calcular la m ) A, si :

m ) C =18°.

a) 20° b) 45° c) 15°d) 30° e) 72°

35. Si el lado del dodecágono regular ABCDEFGHIJKL

mide m336 , hallar la longitud AE.

a) 1 m b) 2 m c) 3 md) 4 m e) 5 m

155

TRILCE

36. Si el perímetro del rectángulo NELY es 180 cm, indicarel perímetro de la región sombreada.

E

N Y

L

a) cm35 b) 36 cm c) 39 cm

d) 38 cm e) 37 cm

37. Hallar la longitud del lado de un dodecágono regularsabiendo que el radio de la circunferencia inscrita enél mide 1cm.

a) )32( cm b) )32( cm

c) )32( cm d) )32(2 cm

e) )32( cm

38. En la figura "P", divide al diámetro AB en media yextrema razón. Calcular PT, si: 52R .

R

A BP

T

a) 0,5 b) 1 c) 1,5

d) 2 e) 5

39. En un polígono regular ABCDEFG, si: 71

AC1

AD1 .

Calcular AB.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

40. En un eneágono regular ABCDEFGHI se cumple que:AB + BD = 14m. Calcular BG.

a) 3 m b) 7 m c) 11 md) 14 m e) 21 m

41. En un polígono regular de 13 lados ABCDEFGHIJKM.AD = a, AE = b.Calcular JD.

a) a + b b) ba

ab

c) 22 ba

d) abb2 e) aba2

42. ABCD es un cuadrado de lado 2 dm, A, B y D son

centros. Calcular el valor de PQ .

A

B C

D

P

Q

a) 322 dm b) 32 dm

c) 22 dm d) 322 dm

e) )2

15( dm

43. El cateto menor de un triángulo rectángulo mide :

22 , y es igual a la longitud de la bisectriz interna

relativa a la hipotenusa. Hallar la longitud de la

hipotenusa.

a) 1 m b) 2 m c) 3 md) 4 m e) 6 m

44. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 324 .

Calcular la distancia de "F" al punto medio "E" del FD.

A

B C

D

F

E

a) 2 b) 22 c) 6

d) 4 e) 34

45. En un triángulo ABC, donde : m ) A = 45° y

m ) C = 15°, se trazan las alturas AH y CQ .

Hallar: QH, si: AC = 20 m.

a) 10 m b) 25 m c) )15(2 m

d) 5 m e) 2210 m

46. Dado un triángulo ABC obtuso en "A", de tal manera:2AB , 15BC y la 18C)m . Determinar

la B)m .

a) 18° b) 9° c) 27°d) 54° e) 36°

Geometría

156

47. Calcular el lado del polígono regular de 16 lados

circunscrito a una circunferencia de radio

222 .

a) 2224 b) 222

c) 2222 d) 2222

e) 222

48. En un octógono regular ABCDEFGH inscrito en unacircunferencia en el arco BC , se ubica el punto "P" demanera que: PD y PF miden "m" y 2n . Hallar:"PH".

a) 2n + m b) m + n c) 2m - n

d) nmmn e) 2n - m

49. En la figura, calcular AB, si :

BC = 55 . (B, punto de tangencia).

18º

B

A C

a) 2

15 b) 15

c) )15(3 d) )15(5

e) )15(22

50. En la figura, ABCDE es un pentágono regular. CalcularEP, si : MN = 2.

A E

C

B M N

P

D

a) )25(2 b) )15(2

c) )15(4 d) )25(8

e) )15(4

51. Calcular la flecha correspondiente a una cuerda quesubtiende un arco de 144° en una circunferencia de 8unidades de diámetro.

a) )12(2 b) 55 c) 22

d) 15 e) 22

52. Se tiene un polígono regular inscrito en unacircunferencia de radio R, cuyo apotema mide "a"unidades. Calcular el apotema de otro polígonoregular del doble número de lados que el anterior, sicuyos perímetros son iguales.

a) 22 aR b) 2aR

c) Ra

d) 2

aR e) aR2

53. La sección áurea del segmento AB es BC , la secciónde AC es AM , la sección áurea de AM es AF..Si : BC = 4, calcular AF.

a) )15(2 b) )15(2 c) )25(4

d) 15 e) )15(3

54. En un dodecágono regular ABCDEFGHIJKL, AE y

CF se intersectan en P. Calcular PE, si : BC = 2 2 .

a) 1 b) 2 c) 23

d) 3 e) 5

55. En un romboide ABCD, se cumple que BC = AC,

hallar: BD, si: m ) CAD = 30° y m325AD .

a) 2 m b) 32 m c) 23 m

d) 13 m e) 62 m

56. En un triángulo rectángulo ABC, el ángulo "C" mide

11°15' y la hipotenusa AC es igual a m2242 .

Hallar la menor altura del triángulo.

a) 1 m b) 2 m c) 2 m

d) 22 m e) 22 m

57. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 180 cm,hallar el perímetro de la región sombreada.

A

B C

D

157

TRILCE

a) cm53 b) 55 cm c) 56 cm

d) 57 cm e) 58 cm

58. Se tiene un octógono regular ABCDEFGH inscrito enuna circunferencia de radio R. Hallar la distancia de Aal punto medio de ED .

a) 23102R b) 22R2

c) 22R2 d) 2382R

e) 2R2

59. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas CF y

AE cumpliéndose que: 135AEC)mAFC)m y,,

120B)m . Calcular EF, si : AC= 22 .

a) 23 b) 322

c) 32 d) 32

e) 322

60. En la figura, 222OP .

Calcular BC.

O

A

B

C

11°15'P

a) 222 b) 224

c) 22 d) 2222

e) 22

Geometría

158

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

b

d

c

a

d

a

c

a

b

b

c

b

e

d

c

e

d

d

b

d

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

e

d

b

d

a

c

c

e

e

a

b

d

c

b

d

a

a

a

e

d

159

TRILCE

ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR

* Forma Básica

h

b

b

h

2h.bA

* Forma Trigonométrica

a

b

Sen.A2b.a

* Fórmula de Herón

a b

c

p : Semiperímetro

)cp)(bp)(ap(pA

ÁREA EN FUNCIÓN DE LOS RADIOS

* Con el Inradio

Válido para todo polígono circunscrito.

A = p . r

r

p : semiperímetro

* Con el Circunradio

R4c.b.aA

a

c

Rb

* Con los Exradios

rarb

rc

abc

B

A C

c

b

a

r)cp(A

r)bp(A

r)ap(A

cba r.r.r.rA

cr1

br1

ar1

r1

r : Inradio del triángulo ABC.

Capítulo

14ÁREAS DE LAS REGIONES

POLIGONALES Y RELACIONESDE ÁREAS

Geometría

160

CASOS PARTICULARES

* Triángulo Equilátero

l l

l

432

A l

* Triángulo Rectángulo

ba

A = a . b2

A = m.n

nm

ÁREA DE LA REGIÓN CUADRANGULAR

* Paralelogramo

h

b

A = b . h

* Cuadrilátero Inscrito

p : Semiperímetro

a

b

c

d

)dp)(cp)(bp)(ap(A

* Trapecio

h.A2

)bB( h

b

B

* Cualquier cuadrilátero

b

d

b y d longitudes de las diagonales

Sen.A2d.b

RELACIONES DE ÁREAS

Primera Relación

A F C

B

AABFAFBC

= AFFC

Consecuencias :

S 2S

b 2b

3n

5n3A

5A

* *

S

b b

* *

SS S

SSS

S

Observaciones :

A

AA

A

161

TRILCE

Segunda Relación

a

b

A1

A2m

n

Si : º180ó n.mb.a

2A1A

Tercera Relación

h1

h2

A

B

C P R

Q

~

Si : PQR~ABC

22

2

21

2

2

PQR

ABC kh

hPRAC

AA

* Válido para todo par de polígonos semejantes.

Cuarta Relación

En todo cuadrilátero convexo

y

BA

x

A.B = x.y

En todo cuadrilátero

x

A

BC

D

AABCDx = 2

Observaciones :

En el trapecio, se cumple que:

*

A = a.ca

c

*

A

B C

D

M

ACMD= AABCD

2

*

x = yx y

*

P Q P = Q

Geometría

162

01. En la figura, el triángulo ABC es equilátero y AC//MN .Hallar el área de la región triangular ABN, si: AC = 12y AM = 10.

B

A C

M N

02. Hallar el área de la región triangular ACN, si : R = 20y PD = 24.

A B

C

DP

ON

R

03. En la figura se tienen un cuadrado cuyo lado mide 2,si M y N son puntos medios. Hallar el área de la regiónsombreada. (T : punto de tangencia).

A

B CN

D

M

T

04. ABCD es un trapecio cuya área de su región es igual

a 2

)37(3 m2.

Hallar la abscisa del vértice C.

Y

A

B(2;3) C

D60°0 1 X

05. En la figura, el área de la región del triangular OAD esigual a los 5/16 del área del trapecio isósceles OABC.Las coordenadas del punto medio del segmento ABson:

Y

A B

C

D

0 X2 8

10

06. Hallar el área de la región del triángulo ABC, si :AD = 13, AB = 5 y el triángulo BCD es equilátero.

B

C

DA


163

TRILCE

07. La siguiente figura está formada por dos cuadrados

de lado "a". Si el área del triángulo ABC = 2m7

10 .

Calcular el área de la región sombreada.

a/2

a2

a2

AB

C

08. En la siguiente figura, M, N, P, Q; son los puntos mediosde los lados del cuadrado ABCD. Si el lado delcuadrado ABCD es 25 m, calcular el área de la regiónsombreada.

A B

CD

M

Q N

P

09. Hallar el área de la región triangular PQC, si ABCD esun cuadrado y (PQ)(AB)=20.

A

B C

DP

Q

10. En la figura, si el triángulo tiene base "b" y altura "h",entonces, el área de la región del rectángulo inscritoes:

h

b

x

Practiquemos :11. Calcular el área de la región de un triángulo equilátero,

sabiendo que el radio de la circunferencia inscrita mide2.

12. Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados de iguallongitud miden b cm. Para obtener un triángulo conla mayor área posible, el tercer lado debe tener unalongitud de:

13. El triángulo, que puede ser inscrito en unasemicircunferencia de radio "r", tiene una región cuyaárea es máxima y su valor es:

Geometría

164

14. En un triángulo rectángulo de hipotenusa 50u y,donde el cateto es el doble del otro, calcular el área dela región del triángulo.

15. Hallar la razón entre las áreas de una región triangularequilátera y una región cuadrada, si estas regionesson isoperimétricas.

16. El área de la región de un cuadrado es 100 2m ; estáinscrito en una circunferencia. ¿Cuál es el área de laregión del cuadrado que se puede inscribir en la mitadde la misma circunferencia?

17. Se tienen 3 circunferencias tangentes exteriormentedos a dos. Hallar el área de la región del triángulo quese forma al unir sus centros, si se sabe que el productode sus radios es 8 m3 y la suma de sus radios es 6m.

18. Calcular el área de la región de un triángulo equiláteroque tiene por altura el radio de la circunferenciacircunscrita a otro triángulo equilátero de 18 m2 deárea de su región.

19. En un triángulo ABC, isósceles con BCAB , la alturaque parte de B mide 8 m y el perímetro 32 m. El áreade la región triangular es:

20. Si en un triángulo las alturas miden 12cm, 15cm y20cm, entonces, el área de su región en cm2 es:


21. Los radios de las circunferencias exinscritas relativasa los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 y 8.Hallar el área de la región del triángulo.

a) 100 b) 12 c) 32d) 80 e) 16

22. En un triángulo, sus exradios valen 2u, 3u y 6u. Hallarel área de la región triangular.

a) 12 2u b) 2 2u c) 6 2ud) 16 2u e) 8 2u

23. Tres lados de un cuadrilátero convexo valen 3u, 4u y3u. ¿Cuál de los siguientes valores puede ser el áreade la región cuadrangular?

a) 13 2u b) 14 2u c) 15 2u

d) 18 2u e) 26 2u

24. En un semicírculo, se encuentra inscrito un cuadrado"S" de 120 cm2 de área. Determinar el área de la regióndel cuadrado inscrito en todo el círculo.

S

a) 240 cm2 b) 300 cm2 c) 600 cm2

d) 220 cm2 e) 150 cm2

165

TRILCE

25. En un triángulo ABC se traza la circunferencia ex-inscrita relativo al lado BC , tangente en M y P lasprolongaciones de los lados AB y ACrespectivamente, siendo "O" centro de dichacircunferencia. Si : AB = 10, BC = 17 y AC = 21.Hallar el área de la región triangular OMP.

a) 47,6 b) 57,6 c) 67,6d) 77,6 e) 71,2

26. En un triángulo ABC, se sabe que AB = 8, BC = 9.¿Para qué valor de AC el área de la región triangularABC será máxima?

a) 16 b) 17 c) 145

d) 135 e) 115

27. En un triángulo isósceles, la base mide 15 y la alturarelativa a uno de los lados iguales mide 12. Calcularel área de la región triangular.

a) 50 b) 75 c) 90d) 100 e) 150

28. Los lados de un triángulo miden 26 , 18 y 20 .Calcular el área de esta región triangular.

a) 6 b) 9 c) 12d) 15 e) 18

29. La longitud del lado de un cuadrado ABCD es 6 cm.Se construye exteriormente el triángulo equiláteroCED y se traza AE . Calcular el área de la regióntriangular AED.

a) 6 cm2 b) 9 cm2 c) 12 cm2

d) 8 cm2 e) 10 cm2

30. La base de un triángulo isósceles es 2 . Si lasmedianas trazadas hacia los lados congruentes secortan perpendicularmente, entonces, el área de laregión triangular es :

a) 2 b) 3 c) 1,5d) 2,5 e) 3,5

31. En un triángulo ABC, se conoce que la altura BH y lamediana BM trisecan al ángulo ABC. Calcular el áreade la región triangular ABC, si: HM = 1m.

a) 22 m2 b) 24 m2 c) 32 m2

d) 34 m2 e) 38 m2

32. Las alturas de un triángulo miden 6u, 8u y 12u. Hallarel área de la región triangular.

a) 524 2u b) 5532 2u c) 5

316 2u

d) 4552u e) 15

564 2u

33. En un hexágono regular de lado L, se unen los puntosmedios de cuatro lados opuestos dos a dos. Luego,se unen los puntos medios de los lados del rectánguloque se formó, obteniéndose un cuadrilátero. Hallar elárea de la región limitada por este cuadrilátero.

a) 2L)8/3( b) 2L)4/33( c) 2L)8/33(

d) 2L)4/3( e) 2L)2/3(

34. Desde el vértice de uno de los ángulos agudos de unrombo se trazan perpendiculares de 2 cm de longitudhacia las prolongaciones de los lados opuestos. Si ladistancia entre los pies de dichas perpendiculares es3cm. Hallar el área de la región limitada por el rombo.

a) 7332

b) 730

c) 7235

d) 6536

e) 6239

35. El área de la región triangular es de 150m2. Además,se sabe que el segmento que une el punto deintersección de las medianas con el punto deintersección de las bisectrices es paralelo a uno de loscatetos. Calcular los catetos.

a) 60 m y 5 m b) 25 m y 12 mc) 15 m y 20 m d) 30 m y 10 me) 50 m y 6 m

36. ABCD es un cuadrado. E está en AD y F está en laprolongación de DC , de modo que FBEB . Si elárea de la región ABCD es 256 y el área de la regióntriangular EBF es 200, determinar CF.

a) 3/325 b) 9 c) 3/320

d) 12 e) 3/217

37. De todos los rectángulos de perímetro 24 ydimensiones enteras, las dimensiones del rectángulode área máxima:

a) Son 5 y 7.b) Son 8 y 4.c) Son 9 y 3.d) No pueden determinarse.e) 6 y 6.

38. Sobre los catetos de un triángulo rectángulo ABC, delongitudes 5 y 7 respectivamente, construimos dostriángulos rectángulos isósceles ADB y BEC, tomandoAB y BC por hipotenusas. Calcular el área de laregión del polígono resultante.

a) 30 b) 26 c) 28d) 36 e) 45

Geometría

166

39. En un triángulo rectángulo, cuyos catetos tienen unalongitud de 50 m y 120 m, se inscribe un rectánguloque tiene dos de sus lados contenidos por los catetosy uno de sus vértices está en la hipotenusa. Determinarel área máxima de dicha región rectangular.

a) 1200 m2 b) 1500 m2 c) 1750 m2

d) 2000 m2 e) 2500 m2

40. Sobre los lados de un cuadrado ABCD, de lado iguala "L" se localizan, a igual distancia de los vértices, lospuntos P, Q, R y S, que al unirse determinan elcuadrilátero PQRS tal como se muestra en la figura.Entonces, los valores de x que hacen que la regiónPQRS tenga área mínima y máxima, sonrespectivamente.

A B

CD

R

Q

S

Px

x

x

x

L

a) L/3, L/2 b) L/2, L/4 c) 0, L/2d) L/5, L e) L/2, 0

41. Hallar el área de la región de un polígono regularinscrito en una circunferencia de radio R, sabiendoque el doble de su perímetro es igual al perímetro delpolígono regular del mismo número de lados, perocircunscrito a la circunferencia dada.

a) 243 R3 b) 2

32 R3 c) 2

54 R2

d) 2R2 e) 256 R2

42. En el gráfico, hallar el área de la región sombreada, si:PO = 16. (Q, R, O punto de tangencia).

AD C

RO

P

Q

a) 256 b) 135 c) 128d) 144 e) 121

43. Sobre cada uno de los lados de un triángulo equiláterose construyen exteriormente cuadrados, cuyosperímetros son iguales a 16 unidades.Calcular el área de la región triangular cuyos vérticesson los centros de los cuadrados.

a) 16 b) )332(2 c) )332(4

d) )332(8 e) )23(4

44. Siendo ABCD un cuadrado de lado "a"; hallar el áreade la región sombreada, si A y C son centros de losarcos BD.

A B

CD

a) 4

72a b) 2

142a c) 3

142a

d) 8

72a e) 4

212a

45. Según el gráfico, calcular el área de la regiónsombreada; si TB = a.("T" es punto de tangencia).

AT

B

C

M75° 30°

a) a2/2 b) a2/4 c) 4

32a

d) a2 e) 2

32a

46. Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles)90B)m( . Exteriormente, construya el cuadrado

ACDE. BE y BD cortan a AC en los puntos "M" y"N" en ese orden. Si el área de la región triangularMBN es de "S" cm2. Calcular el área de la regióncuadrada ACDE.

a) 6.S cm2 b) 8.S cm2 c) 10.S cm2

d) 12.S cm2 e) 24.S cm2

47. En una circunferencia, de centro "O" y diámetro AB ,se ubica el punto "P", tal que: AP = PB; se trazan lascuerdas PS y PR y que intersecan a AB en lospuntos M y N, se traza RH perpendicular a AB , si :AM = 4; NH = 2 y HB =1. Además:m ) SOR = 90º.Calcular el área de la región triangular MNR.

a) 22115 u b) 136 u2 c) 2

113 u2

d) 2171 u2 e) 3

172 u2

167

TRILCE

48. Se tiene un cuadrado ABCD, sobre BC y CD seubican los puntos M y N respectivamente.Si : BM = 3u; ND = 2u, calcular el área de la regióntriangular MCN, si la 45MAN)m .

a) 24 u2 b) 12 u2 c) 6 u2

d) 15 u2 e) 25 u2

49. Las áreas de las regiones del octágono regular y deldodecágono regular inscritos en una mismacircunferencia están en la relación de :

a) 3/2 b) 2/23 c) 3/22

d) 4/2 e) 4/23

50. Un triángulo ABC, se encuentra inscrito en unacircunferencia de radio R; se traza la altura AH yluego las perpendiculares HP y HQ y hacia los ladosAB y AC (en ese orden). Si : PQ = a, calcular el áreade la región triangular ABC.

a) 2aR b) 4)Ra( c) aR

d) Ra2 e) (a+R)2

51. En la figura, AB = 7 y BC = 6 y AC = 11. Calcular elárea de la región sombreada, si "I" es incentro deltriángulo ABC.(T, P y R, puntos de tangencia).

A

B

C

I

T

P

a) 106 b) 68 c) 510

d) 312 e) 24

52. Del gráfico, si I1 e I2 son los incentros de los triángulosABH y HBC, respectivamente, hallar el área de laregión "Sx" en función de S1 y S2.

A

B

C

I1I2

S2S1Sx

H

a) S1+S2 b) 2

2S1S c) 21SS

d) 22

21 SS e)

2S1S2S1S

53. Si los radios de los círculos son 3 y 4, hallar el área dela región sombreada.

a) 50 b) 51,12 c) 53,6d) 56,9 e) 56,4

54. Exteriormente a los lados del triángulo ABC seconstruyen los triángulo rectángulo APB, BQC y ALC,tal que : ABPC , AQBC y BLAC . Hallar elárea de la región triangular ABC si el área de losregiones triangulares APB, BQC y ALC son 1, 2 y 3u2, respectivamente.

a) 72 2u b) 13 2u c) 27 2ud) 14 2u e) 213 2u

55. El área de la región triangular ABC es 5m2; se tieneuna recta exterior al triángulo a la cual se trazara lasperpendiculares AP , BQ y CR . Hallar el área de laregión triangular que se forma al unir los puntosmedios de : AP , BQ y CR.

a) 10 2m b) 3 2m c) 3,5 2m

d) 2 2m e) 2,5 2m

56. Si la altura de un trapecio rectángulo es 6 y susdiagonales son perpendiculares, hallar el área mínimade la región limitada por el trapecio.

a) 12 b) 72 c) 36d) 24 e) 8

57. En la figura mostrada, calcular el área de la regiónsombreada, siendo: m22AB y AB = BC.

A

B

C

E

15°

a) 2m26 b) )13( m2 c) 22 m2

d) )136( m2 e) 32 m2

Geometría

168

58. En la figura, si ABCD es un cuadrado, CM = MD,calcular el área de la región sombreada, siendo:AB = 4m. (T : punto de tangencia).

A

B C

D

MT

Q

a) 2 m2 b) 4 m2 c) 5 m2

d) 6 m2 e) 7 m2

59. Del gráfico mostrado, hallar el área de la regiónsombreada, si : BE = a, EC = b, a2+b2+ab = 5.ABCD : cuadrado.

A

B C

D

E

a) 5 b) 5/2 c) 5/3d) 25 e) 35

60. En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia decentro "O", se trazan los diámetros AD , CF y BE ,las áreas de las regiones triangulares BDC, AFB yAEC miden 5, 3 y 4m2 respectivamente. Calcular elárea de la región triangular ABC.

a) 10 m2 b) 12 m2 c) 14 m2

d) 18 m2 e) 15 m2

169

TRILCE

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

c

c

a

b

b

c

b

b

b

c

c

b

c

a

c

d

a

d

b

e

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

a

c

b

d

a

d

a

c

b

c

a

d

e

d

e

c

b

c

b

b

Geometría

170

RELACIÓN DE ÁREAS DEREGIONES POLIGONALES

01. Si el área del triángulo ABC es de 90 dm2, calcular elárea de la región sombreada.

A

B

Cn 2n

02. El área de la región sombreada es de 12dm2. Calcularel área de la región triangular ABC.

A

B

C

03. ¿Qué fracción del área de la región del triangular ABC,representa el área de la región sombreada?

A

B

C

04. Si el área del paralelogramo ABCD es de 24cm2,calcular el área de la región sombreada.

A

B C

D

Q

M

05. El área de la región cuadrangular ABCD es de 48dm2. Calcular el área de la región sombreada.

A

B

C

D

06. Si el área de la región del triángulo ABC es 36 2u ,calcular el área de la región sombreada.

B

CA3a

a

2b

b

2c cP

171

TRILCE

07. Calcular el área de la región del trapecio mostrado.

B C

DA

4

16

08. El área de la región triangular ABC es 24 2m .Calcular el área de la región sombreada.

B

CAP Q

c a

b b b

c a

09. Si el área de la región del triángulo ABC es 40 2u ,calcular el área de la región sombreada.

ca

3a

B

CAb

c

b

10. En la figura, ABCD es un paralelogramo.

Calcular xS .

S1

S2

SxP

B C

DA

Practiquemos :

11. En un trapecio cuyas bases miden 3m y 1m, se trazauna paralela a las bases para dividirlo en dos figurasequivalentes. ¿Cuál es la longitud de dicha paralela?

12. En un cuadrilátero convexo ABCD, se toma el puntomedio M de la diagonal AC . Calcular el área de laregión triangular MBD, sabiendo que las áreas de laregión de los triángulos ABD y BDC miden 40 y 60m2, respectivamente.

13. Sea un cuadrilátero ABCD; los puntos medios de suslados determinan el paralelogramo PQRS; los puntosmedios de los lados de éste determinan otroparalelogramo MNLT. Si los puntos medios de esteúltimo determinan un rombo que limita una regiónde 72m2, entonces, el área de la región del cuadriláteroABCD, es :

Geometría

172

14. En un triángulo ABC, se traza el segmento BD con D

sobre el lado AC . También trazamos el segmento

CE con E sobre el lado AB . Si sabemos que:

3613

ACAB y

512

AECD , hallar :

)AEC(Área

)BDC(Área

.

15. Dado un triángulo equilátero cuya área de su regiónes 2u39 . Se traza dos rectas paralelas a la base, quedividen al triángulo en tres regiones equivalentes.¿Cuál es la longitud de la paralela más cercana a labase?

16. Dado un triángulo ABC, cuya área de su región es 182m , se traza la altura BH . Si la mediatriz de AC

interseca a BC en N, calcular el área de la regióncuadrangular ABNH.

17. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AH y CP .Calcular la razón entre el área de la región triangularPBH y el área de la región cuadrangular APHC, siademás : m ) ABC = 53º.

18. Hallar el área de las región de un triángulo isóscelesABC, sabiendo que :AB = BC = 30 cm, y que la perpendicular a BC ensu punto medio M, corta a AB en E y que :

51

EBAE

19. Las diagonales de un trapecio dividen a éste en cuatrotriángulos. Hallar el área del trapecio, si las áreas delos triángulos adyacentes a las bases son iguales a1,69 2cm y 1,21 2cm .

20. Se tiene un cuadrilátero ABCD, siendo "O" punto dela intersección de sus diagonales.Sabiendo que :OA = x, OB = 2x, OC = 8x, OD = 5x, y que el área dela región triangular BOC es igual a 48 2m ; el área dela región del cuadrilátero, en 2m , será :

173

TRILCE

Problemas propuestos21. En la figura, 2AB = AC = CD = DE y las rectas

horizontales son paralelas. Sea :x = área de la región triangular ABH y sea: z = áreadel cuadrilátero FGCE. Luego,

zx es:

F E

A

B

C

D

G

H

a) 1/16 b) 5/72 c) 1/14d) 1/32 e) 3/32

22. La figura ABCD es un cuadrado de lado "a". El vérticeA se une con los puntos medios de los lados BC yCD ; luego se traza el segmento que une los puntosmedios de AB y AD . Hallar el área de la regióntriangular ARQ.

A B

CD

M NR

QS

T

a) a2/9 b) 3a2/8 c) a2/24

d) a2/6 e) a2/12

23. Se tiene un triángulo ABC inscrito en unacircunferencia. La tangente en A, a la circunferencia,corta en P a la prolongación de CB ; si:3AC.CP = AB.AP y el área de la región triangularAPC es "k" unidades cuadradas. Hallar el área de laregión triangular APB.

a) 23K u b) 5

K2 u2 c) 7K u2

d) 5K u2 e) 4

3 K u2

24. Dos circunferencias se encuentran separadas y ladistancia entre sus centros, A y B es 8 cm, siendo susdiámetros de 4 y 10 cm, respectivamente. De A, setraza una secante que corta en R y S a la otracircunferencia, donde RS = 6 cm. Si P es la proyecciónde R sobre AB , calcular el área de la región triangularRPB.

a) 2cm)3418( b) )( 83724 cm2

c) )( 83712 cm2 d) )( 4

3520 cm2

e) )( 43428 cm2

25. El área de la región del triángulo ABC es "S".Si : AM = MB y AE = EF = FC, hallar el área de laregión sombreada.

A

B

M

E F C

a) 20S b) S

203

c) 10S

d) 8S e)

20S7

26. Dado un cuadrado ABCD sobre los lados BC y CDse toman los puntos M y N respectivamente tal que:

45MAN)m ; BD interseca a AM y AN en lospuntos P y Q respectivamente.Si : F}MQ{}PN{ ; si la prolongación de AF cortaa MN en "k", tal que: AF=10 y FK=2. Hallar el áreade la región triangular MCN.

a) 12 b) 24 c) 20d) 40 e) 42

27. Del gráfico : 60TPQ)m , mTM=mAM, AN = NQ. Calcular el

área de la región sombreada en función de R.

AB

M

N

P

T

O

Q

R

a) 287 R3 b) 3 R2 c) 5 R2

d) 537 R2 e)

5718 R2

Geometría

174

28. En un triángulo ABC, se trazan BP y BQperpendiculares a las bisectrices exteriores de losángulos A y C respectivamente. Luego, se traza IMperpendicular a AC (I: incentro del triángulo ABC).Calcular el área de la región triangular ABC, si el áreade la región PIQM 64 u2.

a) 64 u2 b) 32 u2 c) 16 u2

d) 128 u2 e) 24 u2

29. Graficar el cuadrilátero ABCD y ubicar M y N puntosmedios de BD y AC respectivamente. En MN ,ubicar el punto P. Si las áreas de las regionestriangulares DAP, APB, CPD y CPB son S1, S2, S3 y S4respectivamente, hallar la relación que cumplen S1,S2, S3 y S4.

a) 4231 S.SS.S b) 4321 SSSS

c) 4332 S.SS.S d) 4132 SSSS

e) 4S3S

2S1S

30. La figura muestra al cuadrado ABCD dondeDQPC . Indicar la relación correcta entre las áreas

de las regiones sombreadas.

A

B C

D Q

PA2

A3

A1

a) A3 = A2-A1 b) 21A2A

3A

c) 11

22

23 AAA d) 2

1A2A3A

e) )A)(A()A( 122

3

31. En la figura: 5BT= 3AT. Calcular la razón de las áreasde las regiones triangulares BCF y ADE.(T, E y F puntos de tangencia).

A

B

C

D

E

T

F

a) 3/5 b) 1/3 c) 1/2d) 9/25 e) 5/8

32. En la figura, A, B y C representan las áreas de lasregiones sombreadas. Determinar la relación correctaentre dichas regiones.

A

B

C

a) ACB b) C = A+B c) ABC d) B =4ABC e) A = 2C-B

33. Si ABCD es un cuadrado, encontrar la relación entreA, B y C.

A

B C

D

A

B

C

a) A + B = C b) B + C = A c) B + C = 2Ad) A + C = B e) A + C = 2B

34. Si ABCD es romboide, hallar la relación de las áreas :

S1, S2, S3 y S4; si : AB//MP .

A

B C

D

S1S2

S3S4

P

M

a) S1 + S2 = S3 + S4 b) S1 + S4 = S2 + S3c) S1 + S3 = S2 + S4 d) S1 . S2 = S3 . S4

e) S1 . S3 = S2 . S4

35. Si "G" es el baricentro del triángulo ABC y además(PQ)2+(PR)2+(QR)2 = 3, hallar la suma de las áreasde las regiones de los cuadrados mostrados.

A

B

C

N

SQ

P

T

G

R

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

175

TRILCE

36. Exteriormente a una recta, se marca el punto "O" y setraza los rayos OA , OB , OC y OD (A, B, C, D estánsobre la recta y forman una cuaterna armónica) sobreOA y OC se toman los puntos E y F..Si: M}OB{}EF{ y OD//EF . Hallar:

FOM ulodel triáng ÁreaEOM ulodel triáng Área

a) 1 b) 1/2 c) 1/3d) 1/4 e) 1/5

37. Si T, P y Q son puntos de tangencia, hallar la relaciónentre S1, S2 y S3.

S1

S2 S3

P

T

Q

a) S2 = S1+S3 b) 3S3 = 2(S1+S2)

c) 2S2 = 3S1-S2 d) 3S1 = S2+S3

e) 2S1 = S2+S3

38. Si: (AM).(ND)=(BM).(CN); hallar "X" en función de Ay B.

A

B

C

D

N

MX

A

B

a) A+2B b) 2A+B c) 2(A+B)d) A+B e) 3(A+B)/2

39. En un triángulo ABC, el segmento que une el incentroy el baricentro es paralelo a la base AC y el inradiomide 2. Calcular el área de la región triangular ABC,si: AC = 8.

a) 21 b) 24 c) 18d) 16 e) 12

40. Los lados de un triángulo miden 15u, 20u y 25u.Calcular el área de la región triangular formada por elincentro, baricentro y circuncentro del triángulo.

a) 5 b) 2,5 c) 5/3d) 10/3 e) 25/12

41. Calcular el área de la región triangularcorrespondiente a un triángulo isósceles, en el cual labase mide 16 cm y el circunradio 10 cm, siendo eltriángulo obtusángulo.

a) 32 2cm b) 16 2cm c) 48 2cmd) 30 2cm e) 34 2cm

42. Hallar el área de la región del hexágono regularcircunscrito a una circunferencia, sabiendo que el áreade la región del hexágono regular inscrito en la mismacircunferencia es 540.

a) 840 b) 720 c) 650d) 600 e) 540

43. Se tiene un hexágono regular de 4m de lado, seconstruyen circunferencias de 2m de radio, tangentesexteriores a cada lado en su punto medio. ¿Cuál es elárea de la región del hexágono obtenido al unir loscentros de la circunferencia?

a) 369 b) 3218

c) 32436 d) 31827

e) 33045

44. En un triángulo ABC, los lados AB , BC y AC , miden13u, 14u y 15u, respectivamente. Se trazan las alturasAD y CE , hallar el área de la región cuadrangularEBDO, siendo "O" el circuncentro del triángulo ABC.

a) 4

375b)

8375

c) 16375

d) 32

375e) 21

45. Las diagonales de un rombo son proporcionales a 2y 3, respectivamente. Calcular la diagonal menor, si elárea de la región romboidal es 48 2m .

a) 12 m b) 8 m c) 10 md) 6 m e) 9 m

46. Calcular el área de la región que encierra un hexágonoregular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

a) 2cm318 b) 224 cm2 c) 20 cm2

d) 324 cm2 e) 716 cm2

47. Se tiene un rectángulo de 60 2cm de área. Si los ladosson números enteros en (cm), el perímetro mínimoposible en cm, es :


Geometría

176

48. En un cuadrado ABCD, se traza interiormente lasemicircunferencia de diámetro AD , luego, se trazala tangente CP a dicha semicircunferencia (P es puntode tangencia).Hallar el área de la región cuadrangular ACBP.Si : AD = 10.

a) 50 b) 45 c) 35d) 40 e) 30

49. En un rombo ABCD, las proyecciones de lasdiagonales BD y AC sobre AD , tiene comolongitudes "m" y "K", respectivamente. Hallar el áreade la región limitada por el rombo.

a) Km)2

mK(

b) Km)2

mK(

c) Km)3

mK(

d) )Km()2

mK(

e) (K+m)(Km)

50. En un cuadrado ABCD por el vértice B se traza la recta

1L , no secante al cuadrado y por el vértice D, se trazala recta 2L que interseca al lado AB en Q, de modoque :

L1 y L2 se intersecan perpendicularmente en P,,

PB = b y la distancia del vértice A a la recta 2L es "a".Hallar el área de la región cuadrada ABCD.

a) 22 aab2b2 b) 22 bab2a2

c) 2)ba2( d) 2)b2a(

e) 2)ba(

51. Dado un triángulo equilátero de 3m de lado, se dividenen tres segmentos iguales a los lados del triángulo yse unen los puntos de división formándose unaestrella, como se muestra en la figura.Calcular el área de la estrella.

a) 2m345

b) )31( m2 c) )13( m2

d) 3 m2 e) 347 m2

52. En el trapecio ABCD, las diagonales determinan los

triángulos AOD y BOC, de áreas 49 2m y

25 2m , respectivamente. Hallar el área del trapecio..

O

B C

A D

a) 135 2m b) 140 m2 c) 144 m2

d) 148 m2 e) 180 m2

53. Hallar el área de la región sombreada, si el radio de lacircunferencia es 6, el segmento BF = 2 y ABCD esun rectángulo.

D C

A BOF

a) 12,1 2m b) 12,3 m2 c) 15,6 m2

d) 16,4 m2 e) 14,3 m2

54. En una circunferencia de radio "r", se desea inscribirun rectángulo, tal que este rectángulo circunscriba aotra circunferencia. Hallar el área de la región delrectángulo.

a) 2r2 b) 2r c) 2r3

d) 2r3 2

e) 2r2

55. Hallar el área de la región triangular OB'C', si :

AB = 4 = BC, 41OM1 AB, AC = 6.

1M y 2M son puntos medios de AC y BC ,

respectivamente.

'OC//AC y 'C'B//BC ; 'OCAO .

CC'

M1 B'O

A B

M2

a) 7)3/29( b) 7)6/29(

c) 7)7/29( d) 7)2/29(

e) 7)24/29(

177

TRILCE

56. Sobre una recta se toman tres puntos : A, B, C (en eseorden), tales que :AB = a, BC = b. Con dos puntos D y E exteriores a larecta y a un mismo lado, con respecto a ella seconstruyen dos triángulos ABD y BCE.Hallar el área cuadrangular ADEC.

a) )abba(23 22

b) )abba(43 22

c) )ba(43 22

d) )abba(33 22

e) )abba(23 22

57. El ancho de una finca rectangular es 1/4 del largo. Sise prolongase ésta 5 m y aquélla 3 m, la finca tendríaun aumento de 185 m2.¿Qué dimensiones tiene dicha finca?

a) 10 m y 40 m. b) 20 m y 80 m.c) 15 m y 60 m. d) 10 m y 45 m.e) 10 m y 80 m.

58. Sean dos circunferencias tangentes exteriormente deradios 10 dm y 30 dm.Determinar el área del triángulo isósceles circunscritoa las dos circunferencias.

a) 2dm31800 b) 31200 dm2

c) 3900 dm2 d) 3180 dm2

e) 32700 dm2

59. Sea A el área de un triángulo , 1A el área del

triángulo 1 obtenido uniendo los puntos mediosde los lados del triángulo ; análogamente sea

2A elárea del triángulo

2 , obtenido uniendo los puntosmedios de los lados del triángulo

1 ; y asísucesivamente.Entonces, la suma de las áreas :

:es,.....AAA 21

a) A43

b) A34

c) A

d) A23

e) 2A

60. Se tiene un círculo de centro "O" y un punto "A" externoa él (ver figura).Sean : PQ = RS = 16 m; el área de la región triangularOPQ = 48 2m y OA = 157 m.Calcular el área de la región del triángulo AOR.

QP

OA

RS

a) 48 2m b) 36 2m c) 24 2m

d) 9 2m e) 12 2m

Geometría

178

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

d

c

a

b

b

b

a

d

d

d

d

b

d

c

a

a

a

d

b

e

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

a

b

c

c

b

d

d

d

b

b

d

c

e

a

e

b

a

e

b

d

179

TRILCE

I. SECTOR CIRCULAR

º

R

Rº360

RAs2O

II. SEGMENTO CIRCULAR

O

A

B

S S =

III. FAJA O ZONA CIRCULAR

E F

A B

O

Si : AB//EF

IV. CORONA O ANILLO CIRCULAR

R r

S

22 rRS

)rR(S 22

V. TRAPECIO CIRCULAR

Rr

x

x =

PROPIEDAD DE LAS FIGURAS SEMEJANTES

A

A A1

2

3

Fig. 2

Fig. 1

Fig. 3

Si : fig. 1 ~ fig. 2 ~ fig. 3

213 AAA

Capítulo

ÁREAS DE REGIONES CURVAS15

Geometría

180

Caso Particular :

xy

z

z = x + y

TEOREMA DE LAS LÚNULAS DE HIPÓCRATES

P

X

Q

X = P + Q

Observaciones :

* En la corona circular

A BH

ROr

r

OHB :2

22

2ABrR

4ABrR

222

2)AB(4

Área

* En el triángulo rectángulo

x

y

B

A C

A = y - xABC

181

TRILCE

01. Calcular el área de la región sombreada, si :AB = 20 cm. Además, ABCD es un cuadrado.

A B

CD

02. En la figura, calcular el área de la región sombreada,si : AB = 2m, siendo ABCD un cuadrado.

A B

CD

03. Hallar el área de la región sombreada, si :

m ) AOB = 60º y OA = OB = 12.

A

BO

04. Si el área del círculo es 2cm9 , ¿cuál es la suma delas áreas de las regiones cuadradas I y II?

I

II

3cm

05. Si : C1, C2 y C3 son semicírculos de radios iguales,entonces, el área de la figura sombreada en funciónde lado L del cuadrado, es:

C1C2C3

06. En la figura, el área de la región sombreada es:(ABCD: cuadrado).

A

B C

D

R


Geometría

182

07. En la figura, AC//MN ; )AM(32

BN ;

BM = 12, CN = 32 y O, O1 son centros de las

respectivas semicircunferencias.

Hallar el área de la región sombreada.

A

B

C

M

O1

O

N

08. Hallar el área de la región sombreada, siendo AC eldiámetro. AB = 15 y BC = 20.

AH

B

C

09. En el círculo mayor, el diámetro es 4m. M, N, P y Qson puntos medios. Hallar el área de la regiónsombreada.

A

B

C

D

P

Q

M

N

O

10. En el gráfico: AE = EB = 6 dm, calcular el área de laregión sombreada, si además: BC = AC =12 dm.

A

B

C

E

Practiquemos :11. Un sector circular tiene un ángulo de 60° y 15m de

radio. Hallar el área del círculo inscrito en el sectorcircular.

12. Si el área de un círculo se duplica al aumentar suradio en )12( ; hallar el radio original.

13. Un triángulo equilátero cuyo lado mide 4m; su regióntiene igual área que un círculo cuyo radio mide R.¿Cuál es el valor de R?

183

TRILCE

14. Hallar el área limitada por dos circunferenciastangentes interiormente sabiendo que la distanciaentre sus centros es de 10u y la suma de sus longitudeses de 100u.

15. Las áreas que limitan dos circunferencias concéntricasson 78,5 m2 y 28,26 m2 respectivamente; se traza unacuerda a la circunferencia mayor que es tangente a lamenor, entonces la longitud de esa cuerda es:(considerar que 14,3 ).

16. Un sector circular tiene un área igual a 2cm25 yrepresenta el 4% del área del círculo. El 5% de lalongitud de la circunferencia correspondiente enmetros es:

17. Dado un triángulo equilátero ABC, de 4 cm de lado,hallar el área de la región comprendida entre lacircunferencia circunscrita y la circunferencia inscrita adicho triángulo.

18. Sean las regiones A1 y A2 limitadas por lascircunferencias iguales tal que el área de 21 AA es100m2 y el área de 21 AA es 400m2. Entonces, elradio de las circunferencias iguales es:

19. Los vértices de un hexágono regular son los centrosde 6 circunferencias congruentes y tangentes, (segúnmuestra la figura). Calcular el área de la regiónsombreada en función de lado "a" del hexágono.

20. Hallar el área de faja circular cuyas bases son el ladodel hexágono regular y del triángulo equiláteroinscritos, respectivamente, además el radio del círculoes 6R .

Problemas propuestos21. Dado los círculos C1 y C2, con áreas a1 y a2,

respectivamente, si la longitud de la circunferencia C2es igual al diámetro de C1, el área a2 será:

a) 21a u

b)

21a

c) 2

21a

d) 21a

e)

1a

22. En la figura, AC es diámetro. Hallar el área de laregión sombreada. Si : BH = 6.

AH

B

C

a) 6 b) 9 c) 12 d) 18 e) 20

Geometría

184

23. Hallar la diferencia de las áreas de las regionessombreadas, si el lado del cuadrado ABCD mide 4.

A

B C

D

a) 83 b) )83(2 c) 86

d) 86 e) )16(2

24. En la figura, hallar el área de la región sombreada,comprendida entre el triángulo ABC, recto en B, y lasemicircunferencia, sabiendo que el arco BT es de120°. (T : punto de tangencia).

A B

C

T

O

L

a) 2633 L)( b) 2

632 L)( c) 2

43 L)(

d) 26

3 L)( e) 24

1 L)(

25. En la figura, hallar el área de la región sombreada, si:AP = 3 y QC = 4. P y Q : puntos de tangencia.

A

B

C

QP

a) 32 b) 12 c) 24

d) 34 e) 18

26. Hallar el área de la región sombreada comprendidaentre dos circunferencias de centro "O" y un cuadradocon un vértice en "O" y lado 10 m.

O

a) 24 m)1(50 b) )2545( 4

c) 30 d) )50( e) 50

27. Calcular el área de la región sombreada.

a a a

a) 3

2a b) 23

2a a3

c) 223

3a)( d) 2

23

32 a)(

e) 23

2 a)3(

28. Si: C, D y E son puntos de tangencia, hallar el área dela región sombreada.

O

RE

C60°

D

a) 18/R2 b) 9/R2 c) 12/R2

d) 16/R2 e) 8/R2

29. En el rectángulo ABCD, AD y BC son diámetros.Hallar el área de la región sombreada, si : 34AB y AD=8.

A B

CD

a) 32 b) 34 c) 8

d) 324 e) 38

185

TRILCE

30. En la figura mostrada, si: mAB=72° y mBC=54° ,

hallar el área de la región sombreada. Si : 5R .

A

B

C

R

a) b) 2 c) 3 d) 4 e) /3

31. Hallar el área máxima del círculo, si :AO = OB = 10.

A

B

O

T

a) b) 2 c) 3

d) 2 e) 3

32. Hallar el área de la región sombreada, si el triánguloABC es equilátero y 3BE . (A, E, P son puntoscolineales).

A

B

C

PE

a) 23

3 b)

43

3 c)

23

6

d) 43

6 e)

63

3

33. Si : BT = 24 y BF = 36, hallar la diferencias de lasáreas sombreadas. (T : punto de tangencia).

T

B

F

a) 169 b) 85 c) 85 d) 69 e) 69

34. Hallar el área de la región sombreada, si: AB esdiámetro, OA = OB.FH = 2. (O : punto de tangencia).

AO H

B

F

a) 12 b) 14 c) 44 d) 82 e) 84

35. Hallar el área de la región sombreada, si:AO = OB = R. ( AB : diámetro).

AO

B

a) )36(82R b) )338(

242R

c) )312(48

2R d) )5318(36

2R

e) )35(R2

36. ¿Cuál debe ser la relación de R1, R2 y R3 para que lasáreas del círculo A1 (interior) y los dos anillos A2 y A3,respectivamente, sean iguales entre sí?

A2

R2

R3

R1

A1

A3

a) 33R

22R

1R b) 322R

31R R

c) 33R

22R

1R d) 53R

42R

21R

e) 73R

52R

31R

Geometría

186

37. En la figura P, Q y O son centros de los semicírculos, siel rectángulo ABCD tiene perímetro 24 cm, el área dela región sombreada será de:

B P Q

DO

A

C

a) 2cm)632( b) )626(

c) )239( d) )3212(

e) )932(

38. La figura muestra un cuarto de círculo y un semicírculoAM = MO = 32 . Calcular el área de la regiónsombreada.

A

BO

M N

a) 335 b) 324 c) 365

d) 5 e) 355

39. En el gráfico: es diámetro. Si: S1, S2 y S3 representanlas áreas de las regiones sombreadas. ¿Qué relaciónexiste entre S1, S2 y S3?

S1S2

S3T

B

A

a) 2S3 = S2+S1 b) S3 - S2 = S1c) S1. S2 = S3 d) S2 + S3 = 2S1e) 2S1+S2=S3

40. Calcular el área de la región sombreada, si: 3NO y EH = 3. (T, P y N : puntos de tangencia).

O

H

P

T

E

N

r

a) )(43

3 b) )(

43

3 c) )(

22

43

d) )2(43 e) )(

22

4

41. Un jardín circular de 12 m de diámetro está sembradode pasto; pero es atravesado por un caminopavimentado recto de 3m de ancho, de modo queuno de sus bordes pasa por el centro. En consecuencia,el área sembrada, en metros cuadrados, es :

a) 3935 b) 3930

c) 3935 d) 3930

e) 3630

42. Los vértices de un rombo, de lado igual a una de susdiagonales son los centros de cuatro circunferenciascongruentes y tangentes. Calcular el área de la regiónsombreada en función de radio R.

R

R RR

RRR

R

a) )3(R2 2 b) )3(R2

c) 22 R33R2 d) )32(R2

e) )3(22R

43. Hallar el área de la región sombreada indicada en lafigura, si se sabe que la medida del ángulo AOB y ladel ángulo A'O'B' es 60°, los segmentos A'O , B'Oson tangentes a la circunferencia con centro O y radioR, y los segmentos 'A"O , 'B"O son tangentes a lacircunferencia de centro O'.

187

TRILCE

O

O'

A B

O"A' B'

a) )31210(R2 b) )31210(92R

c) )31210(92R d) )31210(

272R

e) )31210(27

2R

44. La siguiente figura es un cuadrado de lado "a". Lascurvas son arcos de circunferencias de radio a/2 concentro en los puntos A, B y en el centro C del cuadrado.¿Cuál es el área de la región sombreada?

A

B

C

a) 42a b)

32a2 c)

32a

d) 4

2a3 e) 22a

45. Hallar el área sombreada de la figura, donde " " estáexpresado en radianes, CO'D y AOB son sectorescirculares y OAO'C es un paralelogramo.

A

B C

D

O

O'

L

l

a) )LSen( l b) )LLSen( ll

c) )LSen( ll d) )LSen( l

e) LSen31 l

46. En el gráfico, se tienen semicírculos. Si :S1 = 9m2 y S2= 4m2, hallar : S3.

S1

S3

S2

a) 7 m2 b) 9 c) 10d) 12 e) 14

47. Hallar el área de la región sombreada si ABCD es uncuadrado de lado "a" y PQ es tangente al arco AC (decentro D), en su punto medio.

A B

CD

P

Qa

a) 24

828 a][ b) 24

828 a][

c) 24

628 a][ d) 23

828 a][

e) 24

828 a][

48. ABC es un triángulo obtusángulo con 22AB ,102BC , AC = 8. C1 es una circunferencia

circunscrita a ABC; C2 y C3 son dos circunferenciasconcéntricas con C1, siendo AB tangente a C2 y ACtangente a C3. Determinar el área del anillo circularlimitado por C2 y C3.

a) 10 b) 13 c) 14 d) 16 e) 20

49. Dadas tres circunferencias de radio 2 , tangente entresí dos a dos. Calcular el área comprendida entre lastres circunferencias.

a) 2 b) 23 c) 23

d) 32 e) 32

Geometría

188

50. Tomando como diámetro la altura de un triánguloequilátero de lado "4a", se traza una circunferencia.Calcular el área común que encierran ambas figuras.

a) )33)((22a b) )3)((

22a

c) )332(a2 d) )233)((22a

e) )3(a2

51. En la figura dada, hallar el área de la región sombreadaen función de R.

R

a) 7/R2 b) 6/R2 c) 8/R2

d) 9/R2 e) 10/R2

52. Si : A+B = k, calcular : x + y.

A

B

x

y

a) K b) 2K c) 3Kd) K/2 e) K/3

53. Hallar A+B, si : AOB es un cuadrante y NA = 2K yMB = K. Si "Q" es punto de tangencia.

A

B

Q

M

A

N

O

B

a) 236

185 k b) 2144

185 k c) 236

285 k

d) 236037 k e) 2

12 k

54. Se muestra la circunferencia de centro "O" inscrita enel cuadrado ABC. Calcular el área de la regiónsombreada.

A

OB

C

D 5O

O'

a) 54 b) 3

4 c) 23

d) )(2

4 e) )4(2

55. Calcular el área de la región sombreada. Si : r1 = 3m,r2 = 4m, r3 = 5m.

r1r2

r3

a) 27 b) 28 c) 30 d) 32 e) 36

56. En el gráfico : mEO=120° , R=6. Calcular el área dela región sombreada, si G, F y E son puntos detangencia.

R

G

F

E

O

a) 35

3 b)

43

32 c) 3

d) 234 e)

462

189

TRILCE

57. Del gráfico : AM = MN = NB, AB = 2R.Calcular el área de la región sombreada.

A B

O

M N

a) 2249 R b) 2

3681 R c) 2

57649 R

d) 21301

6 R e) 225

74 R

58. Calcular el área de la región sombreada, si:AC = 20m; AB = 16m, AB , BC y AC , sondiámetros de las circunferencias.

A

B

C

a) 2m)9650( b) )7648(

c) )5096( d) )4850(

e) )6948(

59. En el gráfico, OM = MB y OA = OB = R.Calcular el área de la región sombreada.

AO M

B

a) )338(24R2

b) )358(12R2

c) )337(16R2

d) )133(R2

e) )358(6

R2

60. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada,si: ML = 9 y LO = 3. Además: "O1" y "O" son centros.

A

B

C

ML OO1

a) 2u20 b) 52 c) 81

d) 28 e) 24

Geometría

190

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

d

b

b

a

b

e

c

a

b

a

a

b

e

c

c

c

e

c

b

b

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

d

d

d

e

d

c

e

c

e

d

c

a

b

d

d

b

c

a

a

c

191

TRILCE

GEOMETRÍA DEL ESPACIO - DIEDROS

PLANO :........................................................................................................................................................................................................

P

Q

AXIOMA :

DETERMINACIÓN DEL PLANO :

I.

A

B

C

II.

III.

IV.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS FIGURAS EN ELESPACIO

I. DOS PLANOS

I.a.

A y B secantesI.b.

A y C paralelos

I.c.

Q y ABC son coincidentes

Capítulo

16

Geometría

192

II. UN PLANO Y UNA RECTA

a)

a

Q y a son secantes

b)

m y R son paralelos

m

c)

a

a está contenida en Q

III. DOS RECTAS a)

l1

l 2

l1 l 2y son rectas secantes

b)

ab

a y b son rectas paralelas

c)

n

m

m y n son rectas alabeadas

TEOREMA DE THALES..........................................................................................................................................................................................................

Si : A // B // C.

E P M

F Q N

G R L

kNLMN

QRPQ

FGEF

ÁNGULO ENTRE RECTAS ALABEADAS

a

b

.....................................................................................................

.....................................................................................................

.....................................................................................................

.....................................................................................................

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO

Definición :...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

a

Condición :...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

193

TRILCE

a

b

l

Si :

y

TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES

.....................................................................................................

.....................................................................................................

.....................................................................................................

l1B

E Fa

aBF

aEF

Q1

lSi :

y

DISTANCIA ENTRE RECTAS ALABEADAS

a

E

F

b

a y b alabeados

EF : es la menor distancia

entre a y b

ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO

.....................................................................................................

.....................................................................................................

.....................................................................................................

ÁNGULO DIEDRO

Definición :...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

A

B

Caras : P y R

Arista : AB

Notación : Diedro AB

ó P - AB - R

* Se denomina ángulo plano o ángulo rectilíneo deángulo diedro, al ángulo formado por dos rayos perpendi-culares a la arista en uno de sus puntos y situados uno encada cara del diedro.

M

N

<) MON : ángulo rectilíneo

O

* Comúnmente, a la medida del ángulo MON se ledenomina ángulo diedro o ángulo entre plano y plano.

PLANOS PERPENDICULARES

Definición :...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Geometría

194

A y B son perpendiculares

D

D y E son oblicuos

ÁNGULO POLIEDRO

Es aquella figura geométrica determinada al trazar desde unmismo punto tres o más rayos no alineados ni coplanares.Dicho punto vendrá a ser el vértice, los rayos sus aristas y losángulos planos que determinan sus caras.Se denomina ángulo triedro, ángulo tetraedro, ángulopentaedro, etc. Según el número de cara sea: 3, 4, 5, etc.;respectivamente.

ÁNGULO POLIEDRO CONVEXO

Vértice

Arista

Diedro

Cara

A

B

C

O

O

ÁNGULO POLIEDRO NO CONVEXO

ÁNGULO TRIEDRO

a° b°c°

A

B

C

°° °

O

ELEMENTOS :

I. Vértice : O

II. Aristas : OA , OB, OC

III. Caras: BOC) , AOC) y AOB)

IV. Diedros : , y (Medidas)

PROPIEDADES :

I. Suma de Medidas de las Caras

0°<a°+b°+c°<360°

Es válido para cualquier ángulo poliedro.

II. Desigualdad entre las Caras

b° - c°<a°<b°+c°aº - cº<b°<a°+c°aº - bº<c°<a°+b°

III. Suma de las Medidas de los Ángulos Diedros.

180°< °+ °+ °<540º

195

TRILCE

CLASIFICACIÓN :

I. Triedro Escaleno

cba ; c

II. Triedro Isósceles

cba ;

III. Triedro Isoedro o Equilátero

cba ;

IV. Triedro Unirectángulo

V. Triedro Birectángulo

VI. Triedro Trirectángulo

Geometría

196

01. En el gráfico, PB es perpendicular al plano R,AH = 2u, HC = 8u, PB = 3u. Calcular el área de laregión APC.

A

B

C

P

RH

02. En el gráfico; 30RHS)m ; OH=5, 35PH .Calcular el área de la región PSR.

S

RH

P

O

03. En el gráfico, PH es perpendicular al plano Q,PH = 12, AP = BP = 13 y AB = 8. Calcular HL.

A

B

C

P

H

L

Q

04. En el gráfico, BF es perpendicular al plano delcuadrado ABCD.Si : AB = BF = BC = a y "M" es punto medio de CD ,hallar el área de la región sombreada.

A

B C

D

F

M

05. En el gráfico, ABC es un triángulo equilátero deortocentro M, MD perpendicular al plano deltriángulo. Calcular la medida del diedro formado porABC y ABD. (MD = 27 , AC = 6).

A

B

C

M

D

06. En la figura, hay un triedro cuyas caras sonmutuamente ortogonales y la longitud de sus aristases : PA = PB = PC = 6m.Hallar el área de la región triangular ABC.

A

B

C

P


197

TRILCE07. En la figura ABCD es un cuadrado y ABE es un

triángulo equilátero, situados en planosperpendiculares. Si : AB = 2cm, AM = ME y "O" escentro del cuadrado. Hallar el área del triángulo MOD.

A

B C

D

O

E

M

08. Hallar la menor distancia entre EC y AB en la figuramostrada.

A

C

D

E

F

4cmB

3cm

09. La figura representa una caja; en el punto H sobre lacara ABFE se encuentra una hormiga, y en el punto Isobre la cara EFGK se encuentra su comida. Hallar lamínima distancia recorrida por la hormiga para llegara I.

A

B C

DG

K

H F

E

I

6

7 8

10. Calcular la medida del diedro formado por lossemicírculos de radio "R". Si el área de la región PCD

es 2

R2, además : AB//CD , mCD = 90º . (P punto

máximo del semicírculo).

O

A

B

CR

P

D

Practiquemos :11. Las proyecciones de un segmento de recta AB sobre

un plano y sobre una recta perpendicular al planomiden, respectivamente 12cm, 5cm.¿Cuánto mide el segmento AB ?

12. La distancia de un punto P a una recta contenida enun plano es de 13 cm. La distancia de la recta al pie dela perpendicular que va de P al plano es de 12cm.¿Cuál es la distancia del punto al plano?

13. Un segmento de recta de 26 cm, une el punto A delplano "x" con el punto B del plano y, x e y son planosparalelos la proyección de AB sobre x o y mide 24m.La distancia entre x e y es:

Geometría

198

14. Se han determinado como máximo 45 planosutilizando "n" rectas secantes. Calcular "n".

15. Tres planos paralelos determinan sobre una rectasecante L1, los segmentos AE y EB y sobre otra L2,secante, los segmentos CF y FD . Si : AB = 8m,CD = 12m y FD-EB = 1m. Calcular CF.

16. El radio de la circunferencia circunscrita a un triánguloregular ABC mide 32 dm. Por "B" se levanta BFperpendicular al plano del triángulo. Si BF mide 2dm,calcular el área de la región triangular AFC.

17. Dado un triángulo rectángulo AOB isósceles, siendom6OBAO , en el vértice O se eleva una

perpendicular al plano AOB y se toma un punto Msobre esta perpendicular, uniendo M con los vérticesA y B. Calcular el valor de OM para que el diedroAB mida 60°.

18. En un triángulo ABC, recto en B, los lados midenAB = 6 y BC = 8. Por el vértice B, se traza BFperpendicular al plano ABC tal que BF = 4,8. Hallarla medida del ángulo diedro que forman los planosABC y AFC.

19. Dado un triángulo rectángulo AOB, siendo :OA = OB = 2a; en O, se levanta una perpendicular alplano AOB, sobre la que se toma M, 6aOM yluego se une M con los puntos A y B.Calcular la medida del diedro AB.

20. Graficar al triángulo ABC y levante BQ perpendicularal plano ABC. Si :BQ = 4,8 dm, AB = 6 dm, BC = 8 dm y AC = 10 dm.Calcular el valor del ángulo diedro AC .

Problemas propuestos21. Dos puntos A y B, situados a uno y otro lado de un

plano X, distan de dicho plano, 6cm y 9cm,respectivamente. Si la proyección del segmento ABsobre el plano es 30 cm. Hallar la distancia entre lospuntos A y B.

a) 515 cm b)15 c) 312d) 512 e) 12

22. Sean L1 y L2 dos rectas alabeadas que forman unángulo de medida igual a 60°. En L1 se marcan lospuntos "A" y "B", en L2 se marcan los puntos "P" y"Q" de modo que: AP sea la mínima distancia entreellas y AB = PQ = 2(PA).Calcular la relación de QB y AP.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

23. Los planos que contienen a los rectángulos ABCD yBCEF forman un ángulo diedro recto, tal que :BC = 8 y BF = 6, entonces, la longitud del segmentoque une los puntos medios de FD y AB es:

a) 4 b) 4,5 c) 5d) 5,5 e) 6

199

TRILCE

24. Sea ABC un triángulo equilátero se levanta CFperpendicular al plano del triángulo ABC de modoque BACF . Calcular la medida del ángulo diedroque forman los planos ABC y AFB.

a) 30° b) 7

72ArcSen

c) 77ArcSen d)

773ArcSen

e) 36ArcSen

25. Uno de los catetos de un triángulo isósceles estácontenida en el plano "P" y el otro forma con dichoplano un ángulo de 45°. Calcular el ángulo que formasu hipotenusa con el plano "P".

a) 45° b) 30° c) 60°

d) 51ArcSen e)

42ArcCos

26. La recta I de intersección de dos planos x e y,perpendiculares entre sí, es paralela a una recta R delplano "x" y a una recta S del plano y si la distanciaentre I y R es de 16 cm, y la distancia entre I y S es de12 cm. ¿Cuál es la distancia entre R y S?

a) 14 cm b) 25 c) 284

d) 310 e) 20

27. Calcular el máximo valor entero de las caras de untriedro si las otras dos miden 100° y 120°.

a) 100° b) 112° c) 139°d) 140° e) 141°

28. Calcular el máximo valor de una cara de un triedroequilátero.

a) 100° b) 110° c) 130°d) 119° e) 141°

29. A-BCD es un triedro trirectángulo de modo quem6ADACAB . Si O es la proyección de A

sobre el plano BCD, entonces la distancia que hayentre O y la arista AB es:

a) 8 m b) 34 c) 26

d) 22 e) 32

30. Calcular el máximo número de planos que determinan8 rectas paralelas y 6 puntos en el espacio.

a) 48 b) 72 c) 84d) 96 e) 106

31. Si un plano es paralelo a una recta:

a) Toda perpendicular a la recta será paralela al pla-no.

b) Toda recta paralela al plano será paralela a larecta dada.

c) Todo plano perpendicular al plano dado seráparalelo a la recta dada.

d) Toda recta que es perpendicular al plano tendráque ser perpendicular a la recta.

e) Ninguna de las afirmaciones anteriores es co-rrecta.

32. Si una recta es perpendicular a tres rectas dadas :

a) Las tres rectas dadas tienen que ser paralelas.b) Las tres rectas dadas tienen que estar en un mis-

mo plano que contenga la perpendicular.c) Por las tres rectas pueden pasar tres planos para-

lelos entre sí.d) Por las tres rectas dadas no pueden pasar planos

paralelos entre sí.e) Ninguna de las afirmaciones anteriores es co-

rrecta.

33. Cuando dos planos son perpendiculares :

a) Todo plano perpendicular a uno de ellos lo estambién al otro.

b) Toda recta perpendicular a la intersección deambos debe estar contenida en uno de ellos.

c) Todas las rectas de uno de ellos son perpendicu-lares al otro.

d) No siempre se cortan.e) Todo plano perpendicular a su interacción es

perpendicular a ambos.

34. Se tienen los segmentos alabeados AB y CDortogonales: AB = 4 y CD = 6. Hallar la longitud delsegmento que une los puntos medios de AC y BD.

a) 3 b) 4 c) 13

d) 11 e) 15

35. Dado un triángulo rectángulo isósceles AOB, siendo

OA = OB = 7a, en O se levanta una perpendicular al

plano: AOB, sobre lo que se toma: 66a7OM y, se

une el punto M con los vértices A y B. Se pide calcular

el valor o medida del diedro AB .

a) 15° b) 18° c) 30°d) 40° e) 45°

36. El área de la proyección de un cuadrado sobre unplano que al pasar por su diagonal forma un ángulode 60° con el plano del cuadrado, es 18,2 centiáreas.El área del cuadrado, en centiáreas es:

a) 36,4 b) 21,3 c) 18,2d) 9,1 e) 31,6

Geometría

200

37. El punto A está 8 cm encima de un plano horizontal yel punto B está 4cm encima del mismo plano. Laproyección de AB sobre el plano mide 9 cm. Calcularla longitud en cm del menor camino de A a B pasandopor un punto del plano.

a) 15 b) 17 c) 14d) 21 e) 13

38. Un triángulo se encuentra en un plano que forma unángulo de 45° con otro plano P. Si la proyección deltriángulo sobre el plano P tiene 20cm2 de área,encontrar en cm2 el área del triángulo del espacio.

a) 20 2 b) 18 2 c) 24 2d) 24 e) 30

39. Una hoja de papel de forma rectangular ABCD, tienecomo dimensiones: m)15(8AB , BC = 3m. Porlos puntos medios de AB y CD , se dobla la hoja depapel de manera que el ángulo diedro formado es de72°. Hallar la distancia mínima que existe entre laarista del diedro y el segmento que une el centro desus caras.

a) 2 cm b) 3 c) 4

d) m)15( e) 5210

40. En una circunferencia de diámetro AB = 10 cm, seescoge un punto P sobre dicha circunferencia; sihacemos girar la circunferencia sobre su diámetrola nueva ubicación de P es P'. Hallar AP para que elperímetro del triángulo PMP' sea máximo, siendo Mla proyección de P sobre AB .

a) 5 cm b) 10 c) 25

d) 210 e) 35

41. Un triángulo isósceles ABC, donde :AB = AC = a, está inscrito en un círculo de radio a. EnA, se levanta una perpendicular AD al plano deltriángulo y se une el punto D con los vértices, B y C.Calcular la longitud del segmento DB para que eldiedro D-BC-A mida 30°.

a) 3

13a b) 1213a c) 3

132a

d) 132a e) 13a

42. Dado un triedro S-ABC, si SC forma con la bisectrizde la cara opuesta un ángulo igual a la mitad de dichacara, calcular el diedro C, si:diedro A + diedro B = 120°.

a) 90° b) 45° c) 135°d) 60° e) 120°

43. Sea "C" un círculo de centro "O" y un cuadrado ABCDque se encuentran contenidos en planosperpendiculares (sea AB una cuerda de "C").

Se marca "M" en DC , de modo que : 3DM = 5MC,AB = 8dm y OA = 5dm.Calcular la distancia de "M" a OB .

a) 41/5 dm b) 34 c) 42/5d) 40/7 e) 40/3

44. Por el circuncentro "O" del triángulo equilátero ABC,se traza OP perpendicular al plano del triángulo..Marque "H" ortocentro del triángulo APB y calcular lamedida del ángulo entre AP y HC .(AC = AD).

a) 37° b) 45° c) 60°d) 53°/2 e) 90º

45. Un triángulo equilátero ABC está en un planoperpendicular a un cuadrado ABDE. El segmento derecta que une el punto medio de lado AC con elpunto medio del lado BD del cuadrado mide 1m.¿Cuál es la longitud del lado del triángulo o delcuadrado?

a) 2 b) 3 c) 1,5d) 1 e) 2

46. Dado un triángulo ABC, equilátero se traza AE ,perpendicular al plano del triángulo. Si : AE = BC,calcular la medida del ángulo con que se cruzan EBy AC .

a) 75° b) 90° c) 120°

d) 150° e) )(ArcCos42

47. Dado un triángulo ABC. AB = 15; BC = 8 y AC = 17.Por el incentro "I" se eleva ID , perpendicular al planoABC, siendo: 247ID . Calcular la medida delángulo DAB.

a) 37° b) 53° c) 60°d) 45° e) 75°

48. Sobre una circunferencia de centro "O" y radio cuyalongitud es 10m, se ubican los puntos "A" y "B", talque: mAB=127° . Por "B" se levanta BP ,perpendicular al plano del círculo, siendo: BP=24m.Calcular el área de la región triangular AOP.

a) 1032 b) 1045 c) 1038

d) 1040 e) 1042

201

TRILCE

49. Dados dos planos no paralelos se toma un segmentoAD perteneciente a uno de los planos. Si BC es laproyección de AD sobre el otro plano, hallar la

distancia AB , sabiendo que: 2

AB3

DC6

BC y el área

del cuadrilátero ABCD es de 60m2.

a) 1 m b) 2 c) 3d) 4 e) 5

50. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, cuyocateto AB = 3m. Se traza la mediana BM ; luego, porB se levanta un segmento BH perpendicular al planodel triángulo ABC. Si el área de BHM es 2m55 y elárea de su proyección sobre el plano determinadopor BHC es de 10m2, hallar la medida de la hipotenusaAC.

a) m33 b) 34 c) 55

d) 52 e) 53

51. Dados los planos secantes P y Q, en P está contenidoel triángulo ABC y en Q su proyección, el triánguloA1B1C1. Si : 11CBBC , 90ACB)m ,

30BAC)m y 45CBA)m 111 , calcular elcoseno del ángulo diedro formado por los planossecantes P y Q.

a) 2/3 b) 2/2 c) 3/3

d) 4/6 e) 1/2

52. Las caras de un ángulo diedro son cortadas en lospuntos M y N por una recta; siendo A la proyecciónortogonal de estos puntos sobre la arista, la mitad delángulo diedro es igual a la semidiferencia de losángulos ANM, AMN ; y si estos últimos están en larelación de 3 a 1. ¿Cuál es el valor del ángulo diedro?

a) 30° b) 40° c) 50°d) 60° e) 70°

53. En el plano P, se tiene el triángulo ABC, cuyo ánguloA mide 60°. Se tiene un punto S fuera del plano P. Silas distancias, de S al punto A es igual a 25cm, de S allado AC igual a 20cm, y de S al lado AB igual a7cm. Hallar la distancia de S al plano P.

a) 37 cm b) 39 c) 38

d) 6 e) 31

54. En una mesa, se coloca perpendicularmente unalámina rectangular apoyada sobre su base. Si la alturay la base de la lámina miden "a" cm y "b" cm,respectivamente, ¿qué relación debe existir entre estaslongitudes de tal manera que si la lámina empieza agirar sobre su base, la proyección sobre la mesa enalgún momento sea un cuadrado?

a) a<b b) a = b c) a>bd) b2a e) a2b

55. Los vectores OG , OC y OH son mutuamenteperpendiculares y son de igual longitud(|OG|=|OC|=|OH|=a). Sea P el baricentro del

CGH . Hallar la suma de las distancias trazadasdesde P a los tres planos formados por los trestomados dos a dos.

a) 2a b) 3a c) a32

d) a e) a23

56. Se tiene un cuadrado ABCD de lado igual a 2 cm.Un semicírculo de diámetro OC es perpendicular alplano del cuadrado y se traza la tangente AP . Hallarel área del triángulo APB siendo "O" centro delcuadrado.

a) 5 cm2 b) 52 c) 25

d) 2

53 e) 35

57. Por el vértice "A" de un triángulo ABC, se levanta laperpendicular AM al plano del triángulo. Se trazanlas perpendiculares AP y AQ a MB y MCrespectivamente. Si : MQ = 5cm; PB = 6cm;MP = 4cm y 30BMC)m , hallar el área de laregión triangular BMC.

a) 10 cm2 b) 15 c) 18d) 20 e) 30

58. Un triángulo se encuentra en un plano que forma unángulo de 45° con otro plano "P". Si la proyección deltriángulo sobre "P" tiene 20cm2 de área, hallar el áreadel triángulo.

a) 10 cm2 b) 210 c) 20

d) 220 e) 230

59. Por el vértice "B" de un cuadrado ABCD, se traza unaperpendicular BP al plano del cuadrado, "M" espunto medio de AD ; si la distancia de "P" a la rectaque contiene al vértice "C" y "M" es 64 u y ladistancia de "P" al plano del cuadrado es 4u, entoncesel lado del cuadrado es:

a) 8 b) 9 c) 10d) 12 e) 15

60. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en "B",AB = 15u y BC = 20u, por un punto "P" exterior alplano ABC, se construyen diedros congruentes AB,BC y AC. Si la distancia de "P" al plano mide 12u,hallar la distancia de "P" al lado AC.

a) 13 u b) 15 c) 14d) 16 e) 18

Geometría

202

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

a

d

c

b

b

e

c

d

e

d

e

c

e

c

c

a

a

a

c

c

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

b

d

a

e

d

e

b

d

d

e

c

d

a

d

c

e

b

d

a

a

203

TRILCE

Capítulo

17 POLIEDROSPOLIEDROS REGULARES

POLIEDROS

Convexocara vértice

No Convexo

vértice

Arista

TEOREMA DE EULER

C = 5V = 5A = 8

C + V = A + 2C = 7V = 10A = 15

5 + 5 = 8 + 2 7 + 10 = 15 + 2

TEOREMA

Sic = suma de los ángulos internos de todas las caras.

Sic = 360º (A - C) = 360º(V - 2)

Sean : n1, n2, n3, n4, .......Los números de lados de las caras del sólido.

2...nnnn 4321

*

Aristas =

A : número de aristasV : número de vérticesC : número de lados

Geometría

204

POLIEDROS REGULARES

Sólo existen cinco poliedros regulares.

Tetraedro R. Hexaedro R. Dodecaedro R

Octaedro R Icosaedro R

Poliedro Regular

Tetraedro

Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

CFormaCara

V A

4 4 6

6 8 12

8 6 12

12 20 30

20 12 30

205

TRILCE

01. En todo poliedro convexo, el número de aristas esigual a :

02. La suma de los ángulos internos de todas las caras deun poliedro convexo de "V" vértices; "C" caras y "A"aristas es igual a :

03. ¿Cuántos poliedros regulares existen?

04. En todo poliedro convexo el número de caras es iguala :

05. ¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera?Las caras del dodecaedro regular, son :

06. En un hexaedro regular, el ángulo que forman lasdiagonales de una cara es :

07. Un octaedro regular se llama así, porque tiene:

08. ¿Cuál es el área de la proyección de una cara de untetraedro regular sobre otra cara cualquiera, si la aristadel tetraedro mide 32 m?

09. En este orden : número de caras, número de vértices,número de aristas y número de lados de cada cara, seenumeran los datos correspondientes a un tetraedro.¿Cuál es la enumeración correcta?

10. ¿Cuál de las siguientes enumeracionescorrespondientes a un hexaedro regular es la correcta?El primer número corresponde al número de caras, elsegundo al número de vértices, y el tercero al númerode aristas y el último, al número de lados de cadacara.


Geometría

206

Practiquemos :11. La superficie total de un cubo es igual al cuadrado de

la diagonal mayor multiplicado por :

12. Se dan 6 segmentos de recta de 10 cm de longitudcada uno. ¿Cuál es el mayor número de triángulosequiláteros de 10 cm de lado que pueden formarse ala vez con los segmentos de recta dadas?

13. La suma de las caras del ángulo poliedro que se formaen cada vértices en un icosaedro regular es igual a :

14. El ángulo formado por dos diagonales cualesquierade un octaedro regular vale :

15. Encontrar el área de la sección hecha en un tetraedroregular de 10 cm de arista, por un plano de simetríaque pasa por una de las aristas.

16. En un cubo de un metro de arista, la distancia delcentro de una cara a cualquiera de los vértices de lacara opuesta mide :

17. El número de caras, el número de vértices, el númerode aristas y el número de lados de cada cara de unoctaedro regular, son respectivamente :

18. Si se corta un octaedro regular en dos poliedros,mediante un plano paralelo a una de sus caras, seobtiene como sección, un polígono regular de :

19. Si partiendo de un cierto vértice de un cubo se trazanlas diagonales de dos caras vecinas, ¿cuánto mediráel ángulo que así se forma?

20. Calcular el área total de un hexaedro regular, sabiendoque la distancia de uno de los vértices al centro deuna cara opuesta es de 2 m.

207

TRILCE


21. ¿Cuántos poliedros cuyas caras son triángulosequiláteros existen?

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

22. Si la arista de un icosaedro regular mide 4 3 m,calcular el área de su superficie.

a) 15 2m b) 9 c) 13

d) 6 e) 36

23. Las aristas de un cubo miden 15 cm cada una. Si unamosca puede desplazarse sólo sobre las aristas y partede uno de los vértices, el máximo recorrido que puedehacer para volver a su punto de partida, sin pasar dosveces por la misma arista es:

a) 1,80 m b) 0,60 c) 0,75d) 0,90 e) 1,20

24. Hallar el área total de un tetraedro regular, siendo lasuma de las longitudes de sus aristas 36 cm.

a) 36 2cm b) 36 c) 24

d) 336 e) 324

25. Se tiene un poliedro convexo formado por 10regiones cuadrangulares. Calcular el número de aristasde dicho poliedro.

a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 20

26. Calcular el número de aristas de aquel poliedro, cuyonúmero de caras y el número de aristas están en larelación de 2 a 3. Además, la suma de las medidas delos ángulos internos de todas sus caras es igual a3600º.

a) 20 b) 24 c) 28d) 30 e) 32

27. ¿Cuántas diagonales tiene aquel poliedro convexoque está limitado por 6 regiones cuadrangulares y 8regiones triangulares.

a) 38 b) 36 c) 34d) 32 e) 30

28. En un tetraedro regular, si el segmento que une lospuntos medios de dos aristas opuestas es MN . Ellado del tetraedro, será:

a) 3MN b) 22MN c) 2MN

d) 23MN e) MN

32

29. Considerando como vértices los puntos donde secortan las dos diagonales de cada cara de un hexaedroregular, se obtiene un octaedro, también regular.Si las aristas del hexaedro mide "a" cm, las caras deloctaedro medirán :

a) 22cm3

8a b)

4a2

c) 8

a 2

d) 8a3 2

e) 4a3 2

30. En un cubo, las caras opuestas son ABCD y EFGH,siendo las aristas que las conectan AE , BF , CG yDH . El ángulo que forma BE con AH mide :

a) 30º b) 45º c) 60ºd) 75º e) 90º

31. Dado el hexaedro regular ABCD-EFGH de aristaslaterales AE , BF , CG y DH . Los puntos M y N sonpuntos medios de las aristas EH y HG . Hallar lamedida del ángulo diedro entre el plano MNB y elplano EFGH.

a) )32(ArcTan b) )

322(ArcTan

c) )2

23(ArcTan d) )153(ArcCos

e) )172(ArcCos

32. En un octaedro regular, la distancia de un vértice albaricentro de la cara opuesta a dicho vértice mide Lunidades(u).Calcular el área de la superficie total del octaedro.

a) 22 u3L3 b) 3L4 2

c) 3L2 2 d) 3

3L4 2

e) 2

3L5 2

Geometría

208

33. Dado un tetraedro regular de arista "a", calcular elárea de la sección determinada por un plano desimetría que pasa por una de las aristas.

a) 2

2a2b)

32a2

c) 4

2a2

d) 5

2a2e)

62a2

34. En un tetraedro OABC, se cumple que los ángulosCOB = 60º, AOB = 45º, AOC = 45º. Entonces, elvalor del ángulo diedro correspondiente a la aristaOA vale:

a) 45º b) 60º c) 75ºd) 90º e) 120º

35. Un poliedro que tiene 12 vértices y 21 aristas estáformado por "2p" triángulos, "c" cuadriláteros y "p"pentágonos, todos convexos. Entonces, "p" y "c" son,respectivamente :

a) 1 y 8 b) 3 y 2 c) 2 y 5d) 3 y 4 e) 4 y 1

36. Un paralelepípedo rectángulo cuyas dimensiones sona, b, c (siendo "c" la altura). Sea : a = c = 4 cm.Suponiendo que el área total es igual a 4 veces el áreade uno de los rectángulos diagonales "verticales",entonces, dicha área total, en 2cm , es :

a) 76 b) 78 c) 80d) 82 e) 84

37. En un tetraedro PQRS, el ángulo diedrocorrespondiente a la arista PQ es recto, y los ángulosQPR y QPS miden 45º. Entonces, el ángulo RPS, mide:

a) 30º b) 45º c) 60ºd) 72º e) 75º

38. Se tiene un hexágono regular ABCDEF de lado "a" enun plano "P", CDL es un triángulo equiláteroperpendicular a dicho plano. El área del triángulo ALFequivale al área total de un tetraedro regular de arista:

a) 215a2

b) 415a2

c) 615a2

d) 12

5a2

e) 12

15a2

39. Se tiene un cubo de arista "a", hallar el área deltriángulo PQR, si P es centro, Q y R son puntos medios.

Q

P

R

a) 4

3a2b)

83a2

c) 2

3a2

d) 6

3a2e)

33a2

40. En un triedro trirectángulo O-ABC se sabe que :OA = 1 cm; OB = 2 cm y OC = 3 cm.Hallar la distancia de "O" a la sección plana ABC.

a) 5/7 b) 6/7 c) 1d) 4/7 e) 5/8

41. Se tiene un tetraedro regular de arista "a". Hallar elvolumen del tetraedro regular que se forma al unir losbaricentros de las caras.

a) 27

2a3b)

812a3

c) 162

2a3

d) 216

2a3e)

3242a3

42. En un tetraedro ABCD, se tiene que :AC = AD y BC = BD. Hallar la medida del ánguloque forman las aristas AB y CD .

a) 45º b) 60º c) 90ºd) 30º e) 120º

43. Se tiene un triedro trirectángulo O-ABC, se trazaOH perpendicular a la sección plana ABC. Hallar elárea de la cara BOC, si las áreas de las caras ABC yBHC miden 20 y 10 2cm , respectivamente.

a) 2cm210 b) 5 c) 25

d) 215 e) 10

44. La longitud del segmento que une los puntos mediosde dos aristas opuestas de un tetraedro regular es de

2 cm. ¿Cuál es la longitud de la arista?

a) 1 cm b) 2 c) 3

d) 2 e) 22

209

TRILCE

45. Se tiene un cubo ABCD-EFGH y un punto interior"P". Si :

2222 a)PB()PC()PA( , hallar PD.

a) a b) 2a c) 2a

d) 2a3

e) 3a

46. En el triedro isósceles :O-ABC : bº = cº = 60º, y aº = 90º.Sobre OA , OB y OC se ubican los puntos M, N y L,respectivamente, tal que :

28OLON y m ) LMN = 90º. Calcular lalongitud de OM .

a) 28 b) 8 cm c) 16 cm

d) 24 e) 4 cm

47. "O" es el centro de un hexaedro regular ABCD-EFGH;M y N son los puntos medios de CD y CG ,respectivamente. Si el área de la región triangular OMNes S, calcular el área total del hexaedro regular.

a) 3S8 b) 3S16 c) 3S24

d) 2S12 e) 6S9

48. En el octaedro regular E-ABCD-F, M es punto medio

de EC . Calcular el ángulo formado por AM y DF .

a) 55ArcCos b)

510ArcCos

c) 10

5ArcCos d) 1010ArcCos

e) 10

5ArcCos

49. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

* En los vértices de todo poliedro regular se for-man ángulos diedros.

* El icosaedro regular tiene 100 diagonales.* En un dodecaedro hay 20 vértices.* Las diagonales de un octaedro regular son per-

pendiculares.

a) FVFV b) VVVV c) FFFVd) VFVF e) FFFF

50. Dado el cubo ABCD-EFGH de arista "a", M y N sonpuntos medios de AE y CG . Siendo "O" el centro dela cara CDHG, hallar la distancia del punto deintersección entre OF y el plano que contiene aMBNH, a la cara EFGH.

a) 5a2

b) 5a3

c) 4a

d) 8a3

e) 5a

51. En el gráfico, se muestra un dodecaedro regular,siendo: P, Q, M y N puntos medios de las aristasrespectivas. Calcular la medida del ángulo entre PQy MN .

P Q

M N

a) 18º b) 36º c) 54ºd) 72º e) 45º

52. En un tetraedro regular ABCD, M y N son puntosmedios de AD y BC , respecti-vamente. Si la distanciaentre MN y AC es 23 u, calcular el área de lasuperficie del poliedro conjugado del tetraedro inscritoen él.

a) 2u34 b) 32 c) 16 3

d) 36 e) 35

53. En un octaedro regular P-ABCD-Q, M y N, son centrosde las caras PCD y ABQ, respectivamente. Si ladistancia entre DN y MR (R es punto medio de PA )

es : u)11

223( .

Calcular el volumen del octaedro.

a) 3u29 b) 63

c) 197 d) 17

e) 65

Geometría

210

54. En la figura, se muestra un icosaedro regular. Calcularla medida del ángulo entre MN y BC .

N

B

M

C

a) 90º b) 60º c) 53ºd) 72º e) 37º

55. En un octaedro regular E-ABCD-F, se traza la secciónplana determinada por los puntos medios de las aristasAF y ED y por el punto B. Si la arista del octaedro esde 2 unidades, calcular la distancia de B a la recta deintersección de la sección con la cara ADF.

a) 3 b) 33111

c) 134532

d) 117315

e) 1

56. En un tetraedro P-ABC trirectángulo en P :PA = PB = PC = 23 . Calcular la diagonal de cuboinscrito en el tetraedro, donde uno de los ángulossólidos del cubo es P.

a) 3 b) 6 c) 4

d) 32 e) 6

57. Se tiene el hexaedro regular ABCD-EFGH, cuyasaristas mide 7 unidades. Calcular la menor distanciaentre las rectas AC y MG, siendo "M" punto medio dela arista AD.

a) 9 b) 3 c) 3

d) 37

e) 2

58. Calcular la medida del ángulo diedro formado pordos caras adyacentes de un tetraedro regular.

a) )26(ArcTan b) 90º

c) 60º d) )3

22(ArcSen

e) )23(ArcSen

59. En un hexaedro ABCD-EFGH, "O" es el centro de lacara ABCD, P de AG ; de tal manera que :

m ) OPA = 90º y OF = 52 .

Calcular : 22 )AP()PG( .

a) 200 b) 180 c) 160d) 140 e) 120

60. El volumen de un octaedro regular es igual a 3u6 .

Calcular la distancia del centro del octaedro a una desus caras.

a) 2 b) 33 c) 1

d) 22 e)

66

211

TRILCE

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

b

a

e

d

e

d

e

c

a

c

b

c

c

d

c

c

c

e

b

b

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

e

c

a

b

a

d

b

e

b

a

b

c

a

b

c

b

d

d

e

d

Geometría

212

213

TRILCE

PRISMA - CILINDRO

PRISMA

Aristalateral

Altura

Cara lateral

vérticebase

El nombre del prisma depende del polígonode la base. Los gráfi-cos muestran a un pris-ma triangular y a otro hexagonal.

Clasificación

I. Prisma Recto

Altura oaristalateral

su desarrollo lateral)LateralArista(.)P2(A BASEL

BASELT A2AA

altura.)A(V BASE

II. Prisma Oblicuo

secciónrecta

)LateralArista(.)P2(A R.SL

)LateralArista(.)A(V R.SAltura.)A(V BASE ( )

Capítulo

PRISMA - CILINDRO - TRONCOS18

Geometría

214

III. ParalelepípedoLas caras opuestas son paralelogramos congruentes y de planos paralelos.

h

Paralelepípedo rectangular(Rectoedro y ortoedro)

*

Área = 2(ab+bc+ac)

Volumen = abc

D2 = a2 + b2 + c2

V = (A ) . AlturaBASE

a

c

b

D

CILINDRO

base

generatriz oaltura (g)

2 Rg)R2(AL

)Rg(R2AT

)R(S 2

R

su desarrollo lateral

g

g

R

Generatriz (g)

Sección recta

Cilindro oblicuo obtenido al cortara un cilindro recto mediante dosplanos paralelos entre sí; pero in-clinados respecto de la base.

Base elíptica

hR

)Altura()A(V

)generatriz(.)A(VA2AA

)generatriz)(P2(A

BASE

R.S

BASELT

R.SL

Sección recta

215

TRILCE

TRONCOS DE PRISMA Y CILINDRO

TRONCO DE PRISMA TRIANGULAR RECTO

ac

bs

ac

s s

a

)cba(3S

V )ca(3S

V 3S.a

V

b = 0 b = 0

c = 0

TRONCO DE PRISMA TRIANGULAR OBLICUO

secciónrecta

EG

F

AB

C

secciónrecta

F

E

G

CB

A

)CGBFAE(3

)R.As(V

)C GA E(3

)R.A s(V

E G

C

BA

h1

h2 h3

s

)hhh(3s

V 321

Geometría

216

TRONCO DE CILINDRO CIRCULAR RECTO

elipse

2gg

eje:OO mM1

eje.RV

AAAeje)R2(A

2BASESLT

L

elipse

gm= 0RO

gmO1

O1

RO

gM

gM

A : Área LateralL

TRONCO DE CILINDRO OBLICUO

O2

O1

sección recta R

)eje()R.As(V

AAAeje)R2(A

BASESLT

L

sección recta

O1

O2

Eje = gM + gm

2

gm = 0

217

TRILCE

01. Un cilindro recto cuya altura es igual al diámetro de labase, tiene un área total de 12 . Calcular su volumen.

02. Las tres dimensiones de un rectoedro están enprogresión aritmética y suman 45 unidades. Calcularel volumen, si su área total es igual a 1332 2u .

03. Calcular el volumen de un prisma cuadrangularregular, si la diagonal del desarrollo de la superficielateral mide 37 unidades y la arista lateral de dichoprisma mide 35 unidades.

04. Calcular el área lateral de un cilindro recto; cuyageneratriz mide 12 unidades y su área de base esigual a 16 2u .

05. La diagonal de un paralelepípedo rectangular es iguala 70 unidades. Calcular el volumen, si dos de susdimensiones de dicho paralelepípedo son 3 y 5unidades.

06. Calcular el volumen de un ortoedro, cuyas diagonalesde sus caras miden 74 , 130 y 106 unidades.

07. Dos cilindros circulares rectos semejantes y de áreastotal de 18 dm2 y 50 dm2. ¿En qué relación estánsus volúmenes?

08. En un paralelepípedo rectangular las diagonales delas caras miden 34 , 58 y 74 cm.El volumen del paralelepípedo, en 3m , será :

09. En un prisma triangular regular, se inscribe un cilindro.¿Qué relación existe entre las áreas laterales de estosdos cuerpos?


Geometría

218

10. Un cilindro contiene las tres cuartas partes de suvolumen con agua. Si se inclina como se muestra enla figura, ¿cuánto debe medir " " para que el agua nose derrame?

R

2R

Practiquemos :

11. En una piscina de 40 m de largo, 12 m de ancho y 3,5m de alto, se introducen 720000 litros de OH2

.¿A qué distancia del borde llega el OH2

?

12. Calcular el volumen de un cilindro generado por larotación de un rectángulo alrededor de un lado, si elárea del rectángulo generador es igual a 16 y lalongitud de la circunferencia que describe el punto deintersección de las diagonales es igual a 2 .

13. Calcular la altura de un prisma pentagonal regular de440 m2 de área total, si el área de la base es 50 m2 yel apotema del pentágono mide 5 m.

14. Sea ABC-PQR un prisma triangular regular cuya aristabásica mide 6 dm. Se traza un plano secante que pasapor PB y corta a RC en E. Si : EC = 4 dm y ER = 6dm, calcular el volumen del sólido ABC-PBE.

15. Las bases de un paralelepípedo recto son romboscuyas regiones tienen áreas igual a 1S . Las áreas delas secciones determinadas por los planos diagonalesson iguales a 2S y 3S , respectivamente. Calcular elvolumen de dicho paralelepípedo.

16. Calcular el volumen de un rectoedro, cuyasdimensiones son congruentes, a las aristas básicas deun prisma recto triangular de volumen "V", cuya alturaes igual al duplo del diámetro de la circunferenciacircunscrita a su base.

17. El área de una de las caras de un prisma triangular esde 24 2u y la arista opuesta dista de dicha cara en 10unidades. Calcular el volumen de dicho prisma.

18. Calcular el volumen de un cilindro recto circunscrito aun prisma triangular regular, cuyas caras laterales soncuadradas y el área de la base dicho prisma es de

33 u2.

219

TRILCE

19. Calcular el volumen de un prisma triangular regularcircunscrito a una esfera de 6 unidades de diámetro.

20. Calcular el área total de un cilindro recto circunscrito auna esfera de 12 unidades de radio.

Problemas propuestos21. La base de un paralelepípedo recto es un rombo,

cuya área es igual a S.Las áreas de las secciones diagonales son iguales a

1S y 2S . Hallar el volumen del paralelepípedo..

a) 2

S.S.S 21 b) 4

S.S.S 21

c) 3

S.S.S 21 d) 5

S.S.S 21

e) 6

S.S.S 21

22. En un cubo de arista L, a una distancia de "x" unidadesde cada vértice sobre la arista, se efectúan cortes comoindica la figura (pirámide triangular). Si la suma de losvolúmenes de estas pirámides es igual a la quintaparte de lo que queda, la razón x/L, es :

L

x

a) 1/6 b) 1/5 c) 1/4d) 1/3 e) 1/2

23. La base de una pirámide triangular regular de 24unidades cúbicas de volumen, descansa sobre unamesa, frente a la cual está un espejo en posición vertical.Si las imágenes de los vértices de dicha base distan7,7 y 13 unidades de la superficie del espejo, ¿cuál esla altura de la pirámide?

a) 35 b) 6 b) 34

d) 32 e) 33

24. Se tiene un tronco de prisma recto de bases planasABCD y D' C' B' A'. La primera base es un cuadradode 7 cm de lado y la segunda es un paralelogramo.Hallar el volumen del sólido, sabiendo que las aristasAA' = 4 cm; BB' = 5 cm y CC' = 10 cm.

a) 228 cm3 b) 268 c) 286d) 300 e) 343

25. Hallar el volumen del sólido formado al unir lospuntos medios de las aristas de hexaedro regular, cuyaarista mide 8 cm.

a) 512 cm3 b) 1024/3 d) 1280/3d) 1160/3 e) 1536/3

26. Se tiene un tetraedro regular ABCD cuya arista mida"a" y tal que sus vértices se encuentran sobre lasuperficie de un cilindro recto que tiene por generatrizla arista AB. Hallar el volumen del cilindro.

a) 25

a4 3 b) 16

a3 3 c) 28

a5 3

d) 32a9 3 e)

40a7 3

27. Se tiene un tronco de cilindro circular recto en el quesu volumen es numéricamente igual al valor de suárea lateral. Si la diferencia entre las generatricesmáxima y mínima del tronco de cilindro es , hallarla longitud de la elipse que constituye su base superior.

a) 5 b) 7 c) 52

d) 72 e) 4

28. Una chimenea de 3m de altura tiene forma prismáticahexagonal regular. Hallar su espesor, si el volumende fábrica es igual al volumen interior. El lado delhexágono interior 2 .

a) 2m)22(23 b) )23(

23

c) )22(22 d) )21(

23

e) )33(23

Geometría

220

29. Calcular el volumen de un cilindro oblicuo, si lasección recta es un círculo de 4 cm2 de área y formacon el plano de la base un diedro de 45º, además ladistancia de pie de la altura a la generatriz cuyoextremo se traza la altura es 32 cm.

a) 216 b) 38 c) 212

d) 316 e) 216

30. Hallar el volumen de un tronco de cilindro recto derevolución en donde la generatriz mayor es "a" y lamenor es nula, las bases forman un diedro de 45º.

a) 3a b) 3a2 c) 8a3

d) 2

a3 e) 3a3

31. En un tronco de cilindro circular recto, la diferencia dela generatriz máxima y la mínima es de dm. Si elvolumen es numéricamente igual al área lateral,calcular el perímetro de la base elíptica.

a) 5 dm b) 510 c) 52

d) 34 e) 22

32. Calcular el volumen de un tronco cilindro oblicuo,conociendo que la sección recta es un círculo y formacon la base mayor un diedro de 45º; además, el áreade la base mayor es de 60 u2 y las generatrices máximay mínima miden 10 dm y 4 dm en ese orden.

a) 3dm6240 b) 3160c) 2210 d) 3190e) 2220

33. Hallar el volumen de un tronco de cilindro rectocircunscrito a una esfera de radio 2. El diámetro de labase mide 6 y la generatriz mínima del tronco es nula.

a) 60 b) 45 c) 12 d) 36 e) 40

34. La base de un prisma recto, cuya altura es igual a 1 m;es un rombo con lados iguales a 2 cm y ángulo agudode 30º. Por un lado de la base se traza un planosecante entre él y el plano de la base, forman unángulo igual a 60º. Hallar el área de la sección.

a) 3

38 b) 233 c)

334

d) 3

32 e) 3

33

35. Hallar el área lateral de un cilindro de revolución,sabiendo que una sección perpendicular a la basetiene área 2m2 y determinar, en ellas arcos, de medida90º?

a) 2cm2 b) c) 2

d) 22 e) 2

36. Una población tiene 500 habitantes que consumenen promedio por persona 12 litros de aguadiariamente. Determinar el radio de un pozo cilíndricoque abastezca a la población y que tenga capacidadpara una reserva de 25% del consumo diario y talque la altura sea 4 veces el diámetro.

a) 3 25 b) 3 50

c) 3 75

d) 3 2521

e) 3 7521

37. Sea ABC-FED un tronco de prisma triangular recto,donde la base recta es el triángulo rectángulo isóscelesABC de hipotenusa AC = 3 2 . La otra base FED esun triángulo equilátero y cuya cara lateral es unrectángulo cuya altura es una arista lateral y mide 6dm. Calcular el volumen de dicho tronco.

a) 33,6 dm3 b) 41,5 c) 30,6d) 631,5 e) 45,7

38. En un tronco de cilindro circular recto, la generatrizmínima es nula y las bases forman un diedro deángulo rectilíneo igual a 60º. Calcular el volumen delsólido, si la suma de las áreas de las bases es 48 dm2.

a) 695,32 3dm b) 965,23

c) 895,32 d) 348,23

e) 665,32

39. ABCD-AEFD es un tronco de prisma recto, donde labase recta ABCD es un trapecio isósceles cuyas basesBC y AD miden 10 dm y 20 dm, en ese orden. SiAB mide 13 dm y las bases forman un diedro de60º, calcular el área de la base AEFD.

a) 460 dm2 b) 260 c) 360d) 480 e) 370

40. En un tronco de cilindro circular recto, se encuentrainscrita una esfera de radio igual a 6 dm. El eje mayorde la elipse forma un ángulo de 37º con la generatrizmáxima. Determinar el volumen de dicho tronco.

a) 576 b) 496 c) 136 d) 468 e) 586

221

TRILCE

41. Un tronco de cilindro oblicuo tiene como sección rectaa un círculo de 8 dm de perímetro. Las generatricesmáxima y mínima miden 14 dm y 4 dm, en ese orden.Calcular la relación entre el volumen y la generatrizmayor del tronco.

a) 2dm

772 b)

562

c) 827

d) 547

e) 6

73

42. Grafique al triángulo ABC, de modo que :AB = 6 dm, BC = 8 dm, y AC = 10 dm.Perpendicularmente a su plano se levanta AE , BF yCH que miden 2 dm, 8 dm y 4 dm en ese orden.Calcular el volumen del sólido ABC-EFH.

a) 112 3dm b) 168 c) 336d) 224 e) 102

43. En un tronco de cilindro circular recto, las generatricesmáxima y mínima miden 10 dm y 4 dm en ese orden.Si el diámetro de la base circular es congruente al ejedel sólido, calcular el área lateral del sólido.

a) 3dm48 b) 72 c) 49

d) 94 e) 98

44. La figura muestra a un tronco de cilindro recto, dondeel área de la sección ABCD es de 18 dm2 y la distanciade "O" a DC es de 3,6 dm. Calcular el volumen deltronco de cilindro recto.

O

D

C

A B

a) 3dm14 b) 24 c) 9

c) 18 e) 21

45. En un tronco de prisma recto (cuya sección recta esun triángulo), se inscribe una pirámide cuya base esla misma del tronco y cuyo vértice es el punto deintersección de las medianas de la otra base. Calcularla relación de volúmenes de estos sólidos.

a) 91

b) 31

c) 21

d) 92

e) 32

46. El lado de un cuadrado ABCD, mide 2 dm; selevantan las perpendiculares AE y CF la plano delcuadrado ABCD.Si : AE = 6 dm y CF = 9 dm, calcular el volumen delsólido de la base ABCD, aristas laterales AE y CF .( EF es un arista de la parte superior del sólido).

a) 5 3dm b) 10 c) 12d) 8 e) 9

47. Calcular el área total de un tronco de prisma regular,cuya base es un cuadrado de 3 dm de lado. Las basesforman un ángulo de 45º y dos aristas lateralesopuestas son congruentes y de longitud igual a 8 dm.

a) 117,69 b) 123,42 c) 107,82d) 217,69 e) 171,69

48. Se tiene un prisma recto triangular ABC-DEF inscritoen un cilindro equilátero, de modo que :AB = 6 3 ; BC = 6 y AC = 12.Calcular la longitud de menor recorrido sobre lasuperficie lateral del cilindro para ir de B a un puntode la generatriz AD y luego hacia F.

a) 2546 b) 12

c) 25123 d) 225362

e) 15

49. En la base de un cilindro de revolución se inscribe unhexágono regular ABCDEF, luego se trazan lasgeneratrices Al, BM, DN y EO. Calcular la razón de losvolúmenes del cilindro y del sólido ABDE-LMNO.

a) b) 2

c) 6

d) 3

e) 5

50. Un cilindro recto contiene agua hasta cierto nivel. Sesuelta un tetraedro regular metálico y el nivel del aguasube en 2 2 unidades. Calcular la altura del tetraedro,,si el área de la base del cilindro es de 9 2u .

a) 32 b)

62c) 6

123

d) 343

e) 2

Geometría

222

51. Los puntos A y B son los extremos de una mismageneratriz de un cilindro de revolución, cuyo radio debase mide 3 unidades y su altura es de 5 unidades.Calcular la mínima longitud de la curva para ir de A aB, dando una vuelta sobre la superficie lateral delcilindro.

a) 6 b) 21850

c) 353 d) 23625

e) 9

52. Calcular el volumen de un cilindro recto, si el desarrollode su superficie lateral tiene un área de 180 2u y ladistancia entre los centros de las bases de dichocilindro mide 15 unidades.

a) 540 3u b) 480 c) 440

d) 560 e) 380

53. El área total de un prisma triangular regular es

2u)2

361(32 . Calcular el volumen del prisma,

cuya arista lateral es el triple de la arista básica.

a) 12 3u b) 36 c) 623

d) 312 e) 18 3

54. Las aristas básicas de un prisma recto triangular miden20, 21 y 29 unidades, respectivamente. Calcular elvolumen del prisma, cuya arista lateral es igual al tripledel inradio de la base de dicho prisma.

a) 2100 3u b) 1200 3 c) 3780

d) 21800 e) 4200

55. AE y BF son las generatrices menor y mayor,,respectivamente, de un tronco de cilindro recto, cuyodiámetro AB de la base mide 54 unidades. BE esperpendicular a EF , de modo que : EB = 12.Calcular el volumen de dicho tronco.

a) 3u260 b) 6100 c) 280

d) 3120 e) 300

56. Se tiene un tronco de cilindro recto, cuya generatrizmenor es nula y su área lateral es igual a "S". Calcularel volumen de dicho tronco; si su área de base circulares "B".

a) 3BS b)

B2S

c) SB

d) 2BS e) 2

SB

57. Se tiene un tronco de cilindro oblicuo, cuyasgeneratrices menor y mayor miden "a" y "b" unidades,respectivamente. Calcular el área lateral de dichotronco, si el área de su sección recta es "S".

a) S)ba( b) )ba(S

c) aSb

d) bSa

e) )2

ba(S

58. Calcular el volumen de un tronco de prisma rectotriangular, cuya base es un triángulo rectánguloisósceles de perímetro igual a )21(4 unidades ylas aristas laterales de dicho tronco miden 7, 9 y 11unidades respectivamente.

a) 3u624 b) 36 c) 30 3u

d) 330 e) 232

59. Se tiene un tronco de prisma oblicuo triangular, cuyasección recta es un triángulo rectángulo isósceles decateto igual a 6 unidades de longitud y la distanciaentre los baricentros de las bases es igual a 16unidades. Calcular el área lateral de dicho tronco.

a) 2u)22(90 b) 224

c) )62(90 d) )31(120

e) 288

60. Por los vértices B y C de un triángulo equilátero ABC,se levantan las perpendiculares BE y CF al plano deltriángulo, de tal manera que :BE = 11, CF = 4 y BC = 6.Calcular el volumen del sólido ABC-EFA.

a) 3u60 b) 345 c) 72

d) 630 e) 90

223

TRILCE

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

a

e

d

e

b

d

c

c

d

c

c

c

d

c

d

b

d

a

c

a

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

a

b

b

b

b

b

c

d

d

a

d

a

c

c

a

b

b

b

e

b

Geometría

224

225

TRILCE

PIRÁMIDE

Elementos :

* Vértice : O

* Base : ABCD

* Altura : H

* Arista laterales : OA , OB , ......

Notación :

Pirámide : O - ABCD

H

O

AD

B C

Pirámide Regular:

O

B C

H

A

M

D

h Ap

ap

* Apotema de la pirámide : AP* Apotema de la base : ap* Semiperímetro de la base : PBASE

* Área Lateral : (AL)

AL = PBASE . AP

* Área Total : (AT)

AT = PBASE (AP+aP)

* Volumen : (V)

V = 31 . SBASE . h

en cualquier pirámide

CONO DE REVOLUCIÓN

h

O

HA r

g

* Generatriz : g* Radio de la base : r

* Desarrollo del Área Lateral (AL)

A A

Og g

2 r

°

* Área Lateral (AL)

AL = rg

* Área Total (AT)

AT = r (g+r)

* Volumen (V)

V = 31 r2 h

Capítulo

PIRÁMIDE - CONO - TRONCOS19

Geometría

226

TRONCO DE PIRÁMIDE Y CONO

Sección paralela a la base de una pirámide y de uncono recto :

H

O

R

PQ

A

C

B

h

g'

gr'

r

h

H

Propiedades :

1.2

2

2

2

2

2

T

T

L

L

ABPQ

OAOP

Hh

ABCOAPQROA

ABCOAPQROA

2

2

2

2

2

2

T

T

L

L

Hh

r'r

g'g

A'A

A'A

2. 3

3

3

3

3

3

O

O

BCQR

OBOQ

Hh

ABCVPQRV

3

3

3

3

3

3

Hh

r'r

g'g

V'V

* V' = volumen del cono sombreado.* V = volumen del cono mayor.

TRONCO DE PIRÁMIDE

h

S1

S2

* Volumen (V)

)SS.SS(V 22113h

TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR

* Apotemas de las bases: a' p, y ap.* Apotema del tronco: Ap* Semiperímetro de las bases: p' y p.

S 1

S 2

O' a'pN

Aph

O ap M


Ap).p'p(AL

* Área Total (AT)

21LT SSAA

* Volumen (V)

)SS.SS(V 22113h

TRONCO DE CONO O DE REVOLUCIÓN

* Radios de las bases: R y r* Generatriz del tronco: g

B O'

A R O

r

hg


AL = (r + R)g = g(r+R)

* Área Total (AT)

AT = AL + r2 + R2

* Volumen (V)

)RRrr(V 22223h

)RRrr(V 223h

227

TRILCE

01. En el cono recto, hallar:* Área lateral* Área total* Volumen

10

6

02. Hallar el volumen de un cono de revolución de árealateral igual a "m". La distancia del centro de la base auna de sus generatrices es 2n.

03. Calcular el volumen de un cono de revolución en elcual el desarrollo de su superficie lateral se muestra.

R=8

04. Calcular la medida del ángulo del desarrollo que seobtiene, al desarrollar la superficie lateral del conomenor, si tiene una generatriz paralela a la generatrizmayor, 15h ; R = 1.

R

h

05. Calcular la longitud de la altura de una pirámidecuadrangular regular, si el lado de la base mide "a" y

el área de dicha base es los 94 del área total.

06. Se tiene una pirámide V-ABCD tal que ABCD es unparalelogramo cuyas diagonales miden AC=10 yBD=8. Hallar el valor de:

2222 )VD()VB()VC()VA(E


Geometría

228

07. En la figura, calcular la distancia "P" a la base superior,si el cilindro recto mostrado es equivalente a 18 conosde revolución como el que se indica en su parteinterior, la altura de dicho cono mide 8 cm.

P

08. Calcular el volumen de una pirámide cuyas caraslaterales son triángulos equiláteros y cuya base es uncuadrado de lado "a".

09. Se tiene un cono recto de altura 40 y radio 30, seinscribe una esfera en el cono, cuya línea de tangencialo ha dividido en dos sólidos. Calcular el volumendel cono superior.

10. En una pirámide hexagonal regular, su altura mide18 y la arista de la base mide 12. Calcular a quédistancia del vértice se debe trazar un plano paraleloa la base para que la sección resultante tenga un áreade 372 .

Practiquemos :11. Una pirámide cuadrangular regular tiene como arista

básica 5dm y es cortado mediante un plano paraleloa la base a 6dm de su vértice. Si la sección que sedetermina es de 4dm2 de área, hallar el volumen deltronco de pirámide que se determina.

12. La altura de un cono recto se divide en tres segmentoscongruentes por dos puntos, por dichos puntos setrazan planos paralelos a las bases. Calcular elvolumen de la parte mayor, si el volumen del cono esde 27m3.

13. En una pirámide cuya base es un triángulo equilátero,su altura es igual al radio del círculo circunscrito a labase. A una distancia igual a la medida del inradio dela base, se traza un plano paralelo a ésta que determinaun tronco de pirámide cuyo volumen se pide calcularen función del circunradio R de la base.

14. ¿A qué distancia del vértice de una pirámide cuyaaltura mide 8 cm, se debe trazar un plano paralelo a labase para que se determine dos sólidos equivalentes?

229

TRILCE

15. El área lateral de un cono de revolución mide "M" y ladistancia del centro de la base a una de sus generatricesmide "N". Entonces el volumen de dicho, cono es:

16. Dado una pirámide regular hexagonal, la arista de labase es "b". Si la arista lateral mide "3b", hallar ladistancia del pie de la altura a una arista lateral.

17. En una pirámide cuadrangular regular, la arista lateralforma 37° con el plano base. Calcular el valor delángulo diedro que forma la cara lateral con la base.

18. Calcular el área lateral de un cono de revolución dealtura "h", si la porción de perpendicular trazada auna generatriz por un punto de la circunferencia basee interceptada por la prolongación de la altura mide"a".

19. La generatriz de un cono mide 12dm y la superficielateral desarrollada forma un semicírculo. Calcular elvolumen de dicho cono.

20. Los volúmenes que genera un triángulo rectángulocuando gira alrededor de sus catetos son de 3dm3 y4dm3. Calcular el volumen que genera el triángulocuando gira alrededor de la hipotenusa.

Problemas propuestos21. Determinar el volumen de un tronco de cono de

revolución, cuyas bases tienen como áreas 2dm16y 2dm81 . Además, el área total del tronco es de

2dm266 .

a) 3dm352 b) 432 c) 502

d) 532 e) 842

22. Calcular el volumen de un tronco de cilindro recto,conociendo que la sección recta es un círculo y formacon una base mayor un diedro de 45°; además elárea de la base mayor es 60u y las generatrices máximay mínima son 10 y 4u, respectivamente.

a) 3u2210 b) 2180 c) 2220

d) 2240 e) 2190

23. En un tronco de pirámide cuadrangular las bases distanu32 , la arista básica menor mide 2u y las caras

laterales están inclinadas con respecto a la base unángulo diedro cuya medida es 60°. Calcular el áreade la superficie total.

a) 116 u2 b) 96 c) 104d) 102 e) 100

24. El volumen de un tronco de cono de revolución es336 cm3 la altura mide 4cm y el radio de la basemayor es el doble del radio de la base menor. Hallarel radio de la base mayor.

a) 12 cm b) 6 c) 8

d) 5 e) 24

25. Una cuerda del círculo base de un cono circular rectode 8m de altura, mide 16m. La distancia de la cuerdaal centro del círculo de la base es de 4m. Calcular elárea lateral del cono.

a) 12 2m b) 548 c) 96

d) 596 e) 48

Geometría

230

26. Sea F-ABCD una pirámide donde las aristas lateralesson congruentes y miden dm25 . AB y BC miden8dm y 6dm en ese orden. Calcular el volumen delsólido, sabiendo además que la base es un rectángulo.

a) 80/3 dm3 b) 40 c) 80d) 90 e) 50/3

27. En un cono recto de revolución, el punto medio deuna generatriz dista de la base 6dm. Si el radio es de4dm, calcular la capacidad de dicho cono.

a) 3dm32 b) 64 c) 46

d) 54 e) 60

28. Se inscribe una esfera en un cono cuya base tieneuna longitud de dm10 y una altura de 12dm.Calcular el área de la sección que determina los puntosde tangencia de la esfera y la superficie lateral delcono.

a) 2169

1600 dm b) 19160 c) 19

1060

d) 1491200 e)

201600

29. En una pirámide S-ABC, la base ABC y la cara SBCson triángulos equiláteros. Si : AS = 4 y BC = 6,calcular el volumen de la pirámide S-ABC.

a) 234 b) 262 c) 233

d) 26 e) 265

30. Calcular el volumen de una pirámide cuya base es untrapecio rectángulo de diagonales perpendiculares ybase mayor igual a 16m. Además, se sabe que el piede la altura de la pirámide coincide con el punto deintersección de las diagonales de la base y que losángulos diedros cuyas aristas son las bases mayor ymenor del trapecio rectángulo; miden 45° y 53°,respectivamente.

a) 482 m3 b) 506 c) 512d) 525 e) 600

31. Se da una pirámide regular de base cuadrada S-ABCDcon el vértice S, por los puntos A y B y el punto mediode la arista SC se ha trazado un plano. ¿En quérelación el plano divide al volumen de la pirámide?

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/2d) 3/4 e) 3/5

32. Se construye un cono circular recto de 10dm de alturay se le inscribe una esfera de 8dm de diámetro, ¿cuáles el volumen del cono?

a) 33

400 dm b) 3800 c) 3

500

d) 3700 e)

3100

33. En un cono de revolución, se inscribe dos esferas deradios 2dm y 6dm. Calcular el volumen del cono.

a) 3dm190 b) 810 c) 790

d) 840 e) 648

34. En un cono recto de revolución de vértice "O" ydiámetro AB , en la base, se trazan AP y BQ cuerdassecantes, que forman un ángulo de 45. Hallar

POQ)m , si la altura del cono es igual al radio de labase.

a) 45 b) 90 c) 60d) 120 e) 75

35. Hallar el volumen de un cono recto de altura 3m,sabiendo que el plano que pasa por el vérticedetermina en la base una cuerda que subtiende unarco de 120° y que la sección determinada por dichoplano es un triángulo rectángulo.

a) 9 b) 12 c) 18 d) 24 e) 36

36. Se tiene una pirámide cuadrangular regular en la cualuna arista lateral y la altura forman un ángulo cuyamedida es 30°. Calcular la medida del ángulo diedroque forma el plano de la base y un planoperpendicular a una arista lateral.

a) 45° b) 53° c) 2ArcCtg

d) 5ArcTg e) 30°

37. Por el incentro del triángulo ABC cuyos lados miden5m, 6m y 7m, se traza la perpendicular al plano dedicho triángulo. Si : IO = 22 , hallar la suma de lasáreas de las caras laterales de la pirámide O-ABC.

a) 144 b) 614 c) 612

d) 66 e) 618

38. La base de una pirámide es un triángulo equilátero ylas caras laterales son triángulos isósceles rectángulos.Si las aristas laterales miden 4 dm, calcular el áreatotal de la pirámide.

a) 2m)326(4 b) )332(2

c) )333(4 d) )324(3

e) )326(5

39. Hallar el volumen de una pirámide irregular O-ABCD,sabiendo que su base ABCD es un cuadrado de lado"a", su cara lateral AOB es un triángulo rectángulo(recto en "O") y su cara lateral COD es un triánguloequilátero.

231

TRILCE

a) 12/3a3 b) 4/3a3

c) 3/3a2 3 d) 12/2a3

e) 4/2a3

40. De una lámina de lata circular de radio "R", se extraeun sector circular de 120º, como se muestra en lafigura, uniendo los extremos OA y OB se construyaun embudo. Calcular la capacidad de dicho embudo.

120º

OA

B

R

R

a) 3R2

812 b)

3R394

c) 3R2

272 d)

3R2872

e) 3R3

275

41. Se tienen dos conos rectos congruentes tangentes porsus generatrices y cuyos vértices coinciden, si susalturas son "h" y el radio de bases es "r"; entonces elárea de la región triangular cuyos vértices son loscentros de las bases y el vértice común de los conoses:

a) 2hr b) hrr

c) 22 hrh d) 2h2r

3hr

e) 2r2h

3rh

42. La altura y el diámetro de la base de un cono rectomiden 18 y 24 unidades respectivamente. En el cono,se inscribe un cilindro recto cuya área total es

2u260 . Calcular el volumen del cono parcial cuyabase es la base superior del cilindro.

a) 500 u3 b) 480 c) 440 d) 420 e) 400

43. En un tronco de pirámide regular cuadrangular, elplano que pasa por un lado de la base mayor y ellado opuesto de la base menor forma con la basemayor un ángulo de 60°. Calcular el volumen de dichosólido si los lados de las bases miden 3 y 33 .

a) 26 3 b) 30 3 c) 60d) 70 e) 39

44. Las bases de un tronco de pirámide regular hexagonaltienen 4u2 y 9u2 de áreas respectivamente; y su alturaes igual a la arista de un hexaedro regular equivalente.Calcular el volumen de dicho tronco.

a) 3319 u b) 193 c) 3

193

d) 319

319 e) 3

19

45. Calcular el volumen de una pirámide de basetriangular en la que dos de sus caras son triángulosequiláteros cuyo lado mide L y las otras dos sontriángulos rectángulos isósceles.

a) 12

23L b) 10

23L c) 8

23L

d) 12

53L e) 8

53L

46. Un tronco de pirámide equivalente a un hexaedroregular tiene como altura a la arista del hexaedroregular. Hallar el área total del hexaedro conociendoque el tronco de pirámide tiene por bases 1m2 y 4m2.

a) 13 m2 b) 9 c) 14d) 15 e) 16

47. Hallar el volumen de un tronco de cono de revolución,cuyo desarrollo del área lateral es un trapecio circularde área 30 , si la altura y la generatriz del troncomiden 3 y 5u respectivamente.

a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 36

48. Dos bases de un tronco de cono circular son doscírculos de radios que miden 3 y 6m. Si la generatrizmide 6m, hallar la longitud del radio de la esferacircunscrita.

a) 3 m b) 4 c) 5d) 6 e) 8

49. Calcular el volumen de un tronco de cono derevolución, donde los radios de las bases miden a y3a. Además, el área lateral es igual a la suma de lasáreas de sus bases.

a) 3a5,5 b) 3a5,3 c) 3a5,4

d) 3a5,6 e) 3a7

Geometría

232

50. Calcular el volumen de un tronco de pirámidecircunscrito a una esfera, cuyas bases son regionescuadradas y una cara lateral es perpendicular a lasbases. Además, la suma y el producto de las longitudesde dos aristas básicas diferentes es igual a "S" y a "P"respectivamente.

a) )PS( 22P b) )PS( 2

S3P2

c) )SP( 23S d) )P12S( 2

SP

e) )S2P( 2PS

51. En un tronco de pirámide triangular regular, la aristalateral se encuentra inclinada 45° respecto de la basemayor. Calcular la relación entre el apotema del troncoy su altura.

a) 23 b)

26 c)

45

d) 25 e)

332

52. En un tronco de pirámide cuadrangular regular, lasaristas básicas miden 4m y 2dm. Si la altura del sólidomide h dm, calcular la capacidad del sólido.

a) 34

27 dmh b) h5

28 c) h3

28

d) h3

82 e) h3

14

53. Calcular el volumen de un tronco de cono recto, cuyosradios de las bases miden 3 dm y 9 dm. Además, elárea lateral del sólido es de 2dm120 .

a) 3dm324 b) 312 c) 336d) 360 e) 348

54. El lado de la base mayor de un tronco de pirámideregular cuadrangular mide m26 y su altura 3m; lasaristas laterales forman ángulos de 45° con el planode la base mayor. Calcular su volumen.

a) 216 m3 b) 621 c) 162d) 136 e) 126

55. En un tronco de cono circular de bases paralelas, losradios de sus bases miden 5dm y 2dm. Si el árealateral es de 2dm35 , calcular el ángulo central deldesarrollo lateral.

a) rad75 b) 3

4 c) 32

d) 2 e) 5

6

56. Calcular la altura de un tronco de pirámide regularcuadrangular ABCD-EFGH, si el área de la secciónplana BFHD es B1 y el área de la sección determinadaen el sólido por un plano equidistante a sus bases esB2.

a) 2B2

21B

b) 2B

21B

c) 1B

22B

d) 2B1B

2B1B e) 21 BB

57. Las áreas de las bases elípticas de un tronco de conooblicuo son de 2dm32 y 2dm72 . Determinar elvalor de la altura de dicho tronco, sabiendo que suvolumen es de 3dm304 .

a) 12 dm b) 9 c) 26d) 6 e) 63

58. En una pirámide triangular regular O-ABC

trirectángulo en "O", el volumen es 3u23 ,

calcular la distancia del centro de la base a la aristalateral?

a) u32 b)

23 c)

26

d) 36 e)

25

59. Calcular el volumen de un tronco de cilindro circularrecto, en el cual se inscribe una esfera, además lageneratriz mayor y menor miden 4u y 1u.

a) 3u4,1 b) 6,1 c) 8,1d) 2,2 e) 4,2

60. Las bases de un tronco de cono circular son loscírculos de radios 3u y 6u. Si la generatriz mide 6u,¿cuál es la longitud del radio de la esfera circunscrita?

a) 6 u b) 5 c) 8d) 9 e) 10

233

TRILCE

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

d

a

c

b

b

c

b

a

a

c

e

b

e

c

c

e

c

a

a

a

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

d

a

e

d

a

c

b

d

d

b

d

c

b

e

e

a

d

d

b

a

Geometría

234

235

TRILCE

SUPERFICIE ESFÉRICA

Es la superficie que genera la rotación de unasemicircunferencia alrededor de su diámetro.

OR

Circunferencia máxima

Diámetro = 2RÁrea = 2R4

HUSO ESFÉRICO

Es la porción de superficie esférica limitada por doscircunferencias que tienen el mismo diámetro.

OR

RM

N

B

A

AB = diámetro

R

O

M

NR

= Sector circular

Área =º90

R2

ZONA ESFÉRICA

Es la porción de una superficie esférica comprendidaentre dos planos paralelos a la esfera.

HRO

h = altura entre los planos secantes.

Área = 2 RH

CASQUETE ESFÉRICO

Es la porción de superficie esférica que se encuentraa un lado de un plano secante a la esfera.

RO

H

Área = 2 RH

Observaciones :En la figura, existen dos casquetes esféricos.

TEOREMA DE PAPPUS

360º

LA B

Eje

LAB2SG

Observaciones :

"A" = Centro de gravedad de la curva."L" = Longitud de la curva.

Capítulo

ESFERA I20

Geometría

236


01. Calcular el volumen de una esfera, si el área de sucírculo mayor es igual a 2u36 .

02. Hallar el área de la superficie esférica en la cual el áreade uno de sus círculos máximos es 100 m2.

03. Se inscribe un cubo en una esfera de radio m3 .Calcular su arista.

04. Hallar el radio de la esfera inscrita en un conoequilátero de altura 9.

05. Hallar el área de la esfera inscrita a un cubo, si el áreade la esfera circunscrita es 180.

06. Si el área lateral de un cilindro recto es 9m2, hallar elárea de la esfera inscrita.

07. Hallar la relación entre las áreas de un hexaedroregular y de la superficie esférica circunscrita alhexaedro.

08. Hallar el área de la superficie esférica inscrita a uncono de revolución de radio 3u y altura 4u.

09. Hallar la relación entre las áreas totales entre uncilindro equilátero y la esfera circunscrita al cilindro.

10. ¿A qué distancia del centro de una esfera es 17m deradio debe pasar un plano secante para que laintersección tenga 8m de radio?

237

TRILCE

Practiquemos :11. Determinar la superficie de una esfera inscrita a un

cubo, que a su vez está inscrita a una esfera cuyasuperficie es 18u2.

12. Se tienen 3 bolas idénticas de volumen 36m3. Calcularla altura del cilindro más pequeño que contenga lasbolas.

13. Una esfera tiene 3m de radio. ¿A qué distancia delcentro debe trazarse un plano secante para que lasección obtenida sea 1/3 del área de un círculomáximo?

14. Se tiene un alambre de 2m2 de sección transversal,con el que se forma un ovillo esférico de 3m de radio.Calcular la longitud del alambre.

15. El área de un círculo máximo de una esfera mide2dm16 . Se traza un plano secante por el centro,,

determinando dos semiesferas. Calcular el área deuna de estas semiesferas.

16. Se tienen dos esferas metálicas de radios "a" y "2a".Dichas esferas se funden y se construye un cilindrorecto cuya altura es "3a". Calcular el radio de la basedel cilindro.

17. Hallar el área de la esfera inscrita en un tronco decono de revolución de volumen 810u3 y de área totalde 486 u2.

18. Calcular los radios de las esferas inscrita y circunscritaen un tetraedro regular cuya arista es 64 .

19. Determinar el área del casquete esférico que produceun plano secante a una esfera de 18u2, de área, trazadaa una distancia del centro igual a la mitad de la longituddel radio.

20. El área del huso de 20° es 2m50 . Hallar la longitud

del radio de la esfera.

Geometría

238


21. ¿Cuánto mide la cuerda de un arco generador de uncasquete esférico cuya área es 36 ?

a) 3 b) 4 c) 6d) 9 e) 12

22. Determinar la altura de una zona esférica de una base,en una esfera de radio 8u de modo que el área deesta zona aumentada en el área de su base es igual alos 7/16 del área de la esfera.

a) 2 u b) 3 c) 4d) 5 e) 1

23. Una esfera, cuya superficie tiene una área de 2u36 ,está inscrita en un prisma recto de base triangularrectangular.Calcular el volumen del prisma mencionado sabiendoque la hipotenusa en su base mide 7u.

a) 150 u3 b) 120 c) 180d) 140 e) 160

24. Calcular el área de la zona esférica de dos bases, cuyosradios de base miden 6 y 8 unidades y se encuentrana uno y otro lado del centro de la esfera que contienea dicha zona. Además, se sabe que la altura es de 14unidades de longitud.

a) 2u140 b) 2120 c) 148

d) 3100 e) 280

25. Dadas tres esferas de radio R; tangentes exteriormentedos a dos y apoyados a un plano. Hallar el radio de laesfera tangente a las tres esferas y al plano.

a) R/2 b) R/4 c) R/3d) 2R/5 e) R/6

26. Calcular el volumen de una cuña esférica; cuyo ángulodiedro es de 45° y el área del huso esféricocorrespondiente es igual a 2u18 .

a) 3u24 b) 32 c) 36

d) 42 e) 618

27. Tres esferas de radios 9u, 16u u 25u son tangentesexteriormente entre sí. Un plano tangente a las tresesferas determina 3 puntos de tangencia que son losvértices de un triángulo, cuyo perímetro se deseaconocer.

a) 83 u b) 96 c) 94d) 86 e) 85

28. Una esfera de centro "O" se encuentra inscrita en un

ángulo diedro AB de 60º. Si : 32BO y el ánguloABO mide 30º, calcular el área de la esfera.

a) b) 2 c) 3d) 4 e) 5

29. El área de una esfera es de 2dm400 . Dicha esferaes tangente a todos los lados de un rombo. Ladistancia del centro de la esfera al plano del rombo esde 4dm. Calcular el área de dicho rombo, si la longitudde su lado es de "L" dm.

a) 22dmL12 b) L212 c) 2L8

d) 2L28 e) L214

30. Dado un tetraedro O-ABC, trirectángulo en "O".Si : OA = 6u, OB = 12u y OC = 18u. Calcular lalongitud del radio de la esfera inscrita al tetraedro.

a) 2 u b) 2,5 c) 3d) 2,8 e) 4

31. En una esfera de radio 10u, a qué distancia del centrohay que trazar un plano secante para que las áreas delos dos casquetes formados estén en la relación de 2a 3.

a) 1 u b) 1,5 c) 2,5d) 2 e) 3

32. En una esfera de radio "r", un casquete esférico dealtura igual a 4

r , es equivalente a un huso esférico,,cuyo ángulo diedro determinado por sus caras lateralesmide " ". Calcular " ".

a) 90° b) 60° c) 53°d) 45° e) 30°

33. Hallar el radio de la esfera circunscrita al octaedroregular de arista "l".

a) 22l b)

32l c)

42l

d) 52l e)

62l

34. Hallar el área del casquete generado por un arcocuyos extremos son los de una cuerda de longitud"a".

a) 22a b)

32a2 c) 2a

d) 2

2a3 e) 2a2

239

TRILCE

35. Se tiene una esfera en la que el área del círculo máximoes "S". Hallar el área total de dos semiesferas queresultan al partir a la esfera.

a) 4 S b) 5 S c) 6 Sd) 8 S e) 9 S

36. Determinar la altura de una zona de un base de unaesfera de 8u de radio, de modo que la superficie deesta zona aumentada en la superficie de su base seaigual a los 7/16 de la superficie de la esfera.

a) 1 u b) 2 c) 3d) 4 e) 5

37. Calcular el área de la superficie esférica de una esferainscrita en un cono equilátero de 3u648 devolumen.

a) 2u184 b) 178 c) 164 d) 158 e) 144

38. Sobre un plano reposan cuatro esferas iguales de radio"R". Tres de ellas hacen contacto entre sí de dos endos y la cuarta tiene contacto con dos de estas tres.Sobre estas esferas se colocaron dos esferas igualesde menor diámetro que hacen contacto una con laotra y con tres de las esferas dadas inicialmente. Hallarla relación entre los radios de las esferas grande ypequeña.

a) u2 b) 3 c) 6

d) 5 e) 7

39. En un cono de revolución cuya generatriz mide 5u, seinscribe una esfera tal que el plano que contiene a lacircunferencia tangencial determina un cono deficientede 2u de generatriz. Calcular el área del casquetemenor formado.

a) 25

6 u b) 57 c) 5

8

d) 59 e) 2

40. En el gráfico, calcular el área de la superficie generadapor el rectángulo PQRS al girar 360° en torno a L.Si : 3PQ = 2PS = 3NS = 6u.

P

Q R

S

L

N

a) 2u40 b) 50 c) 60

d) 70 e) 75

41. En un cono equilátero, se inscribe una esfera de radio"r". Hallar el volumen del cono parcial que determinael plano que contiene los puntos de tangencia de laesfera; con las generatrices del cono.

a) 6

3r b) 3

3r c) 8

3r3

d) 9

3r4 e) 3

3r2

42. Dado un octaedro regular de volumen 3u29 , hallarel área de la superficie esférica inscrita al octaedro.

a) 2u3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9

43. Un semicírculo de diámetro AB, gira alrededor de sudiámetro en un ángulo de 60°. Calcular el volumendel sólido generado si : AB = 6u.

a) 3u6 b) 9 c) 63

d) 36 e) 12

44. Hallar la relación entre las áreas de un hexaedroregular y de la superficie esférica circunscrita alhexaedro.

a) 3/ b) 4/ c) 5/ d) 2/ e) 3/2

45. Hallar el área de la superficie esférica inscrita a uncono de revolución de radio 3u y altura 4u.

a) 2u8 b) 9 c) 12

d) 7 e) 6

46. Hallar la relación entre las áreas de las superficiesdeterminadas al trazar un plano secante que seencuentra a una distancia igual a la tercera parte delradio de la superficie esférica.

a) 1/3 b) 2/3 c) 3/4d) 1/2 e) 1/4

47. Dada una superficie esférica de radio 3u circunscrita aun cono de revolución de altura 4u y el plano tangentea la esfera en un punto de la base del cono. Hallar ladistancia del vértice del cono al punto en que el eje deéste, encuentra al plano.

a) 15 u b) 13 c) 11d) 9 e) 12

48. Se tiene un tetraedro regular de arista "l". Calcular elradio de la esfera que es tangente a todas las aristas.

a) 22l b)

32l c)

42l

d) 52l e)

62l

Geometría

240

49. Una superficie esférica es dividida por dos planos endos casquetes y una zona. Hallar la altura de la zona,si el área de la zona es los 3/5 de la suma de las áreasde los casquetes y el radio de la superficie esférica es8R.

a) 4R b) 6R c) 3Rd) 5R e) 2R

50. En un cono de revolución, está inscrita una esferacuya superficie es igual al área de la base del cono.¿En qué relación se divide el área lateral del cono porla línea de tangencia de ambas figuras?

a) 4/25 b) 4/21 c) 3/22d) 3/25 e) 3/26

51. Calcular la superficie de una esfera circunscrita a unortoedro, cuyas dimensiones son 2 ; 3 y 2unidades, respectivamente.

a) 3u6 b) 29 c) 12

d) 215 e) 9

52. Calcular el área de la superficie esférica de una esfera,si la distancia en un punto de la proyección de lacircunferencia máxima sobre un plano tangenteparalelo al plano de dicha circunferencia máxima, alcentro de la esfera es igual a 6 unidades.

a) 2u72 b) 75 c) 84

d) 260 e) 348

53. Calcular el área de una esfera, sabiendo que las áreasde dos círculos menores paralelos distantes 3u ysituados a un mismo lado del centro, tienen áreas de

2u y 2u16 .

a) 2u34 b) 48 c) 68

d) 72 e) 48

54. El área de la esfera inscrita al tronco de cilindro rectoes de 2dm16 . Si la generatriz máxima mide 8 dm,calcular el volumen del tronco.

R

a) 3dm25 b) 28 c) 30

d) 36 e) 48

55. Calcular el área de la superficie esférica, de una esferainscrita en un tetraedro regular de 3u218 devolumen.

a) 2u26 b) 62 c) 33

d) 6 e) 6

56. En un cilindro recto, se inscriben dos esferas tangentesexteriores ubicados uno sobre otro. Calcular elvolumen del cilindro, si dichas esferas tiene volúmenesiguales a 3u34 .

a) 3u312 b) 314 c) 18

d) 24 e) 610

57. Calcular el volumen de una esfera equivalente a uncono equilátero de 2u4 de área de base.

a) 3u16 b) 338 c) 18

d) 23 e) 15

58. Calcular el volumen de la esfera inscrita en unhexaedro regular cuya diagonal mide 12 unidades.

a) 3u60 b) 332 c) 630

d) 48 e) 236

59. En una esfera de radio R, está inscrito un conoequilátero. ¿A qué distancia del centro de la esfera sedebe trazar un plano paralelo a la base del cono demodo que la diferencia de las áreas que determina elplano en la esfera y el cono sea igual al área de la basedel cono?

a) R/5 b) R/4 c) R/3d) R/2 e) 3R/4

60. Calcular el volumen de la esfera inscrita en un cilindroequilátero de 3u54 de volumen.

a) 3u45 b) 48 c) 54

d) 60 e) 36

241

TRILCE

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

c

c

c

e

c

c

c

c

e

a

d

d

a

c

c

d

e

a

d

d

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

c

d

a

d

b

d

e

c

b

b

e

a

c

d

e

a

b

b

e

e

Geometría

242

243

TRILCE

ESFERA SÓLIDA

Es el sólido generado por un semicírculo cuando gira unarevolución completa alrededor de su diámetro.

A

B

h = 2R

V = 4 R 33

CUÑA ESFÉRICA

Es una porción de la esfera sólida limitado por 2 semicírcu-los que tienen el mismo diámetro.

A

B

O

R

3R34º360

Cuña

º360

.R34

Cuña

3

270

3RCuñaV

SEGMENTO ESFÉRICO

Es el volumen determinado por la zona esférica y dos círcu-los paralelos en la esfera.

R1

R2

R H

)RR3

H(2HV 2

221

2

SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE

Parte de la esfera limitada por el casquete esférico y su círcu-lo menor correspondiente.

R

H

O

R1

)R3

H(2HV 2

12

Capítulo

ESFERA II21

Geometría

244

ANILLO ESFÉRICO

Es el sólido generado por la rotación de un segmento circu-lar cuando gira alrededor de un eje coplanar que pasa por elcentro de la circunferencia a que pertenece el segmento cir-cular.

B

AR

O

B

A

a hR

h.AB61Anillo

2

SECTOR ESFÉRICO

Es el sólido generado por un sector circular cuando giraalrededor de un eje coplanar que pasa por su vértice.

A

B

O

R

h O

hRV 232

TEOREMA DE PAPPUS GULDING

Ax

CG

l

Eje

A = área de la región plana.CG = centro de gravedad del área "A".x = distancia del centro de gravedad del área "A" al eje.V = 2xA.

245

TRILCE

01. Hallar el volumen de la esfera circunscrita a un conode revolución que tiene 6u de radio y 8u de altura.

02. Hallar el volumen de una esfera circunscrita a uncilindro de revolución que tiene 96 3u de volumeny además la relación entre el radio de la base y laaltura es de 2 a 3.

03. Si el volumen de un cono de revolución equilátero es"V", hallar el volumen de la esfera inscrita.

04. Hallar el volumen de un cono equilátero inscrito enuna esfera de volumen 3u96 .

05. Hallar el volumen de la esfera inscrita en un cilindrocircular recto de 3m90 de volumen.

06. Un triángulo equilátero cuyo lado mide "a" metros,gira alrededor de uno de sus lados. Hallar el volumendel sólido engendrado.

07. Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro. Si elárea de la esfera más el área total del cilindro es 90 2u ,hallar el volumen de la esfera.

08. El volumen de una cuña esférica de 45º es 3u332 .

Calcular el área total de la cuña.

09. En la figura mostrada, calcular la razón de volúmenesde los cilindros de revolución, si el volumen de laesfera de mayor radio es igual a la suma de losvolúmenes de las otras dos esferas de menor radio.

R


Geometría

246

10. Calcular el volumen de una cuña esférica, si el áreadel huso esférico de 30º es de 108 2u .

Practiquemos :11. Calcular el volumen del sólido formado por un círculo

de radio igual a 1u, cuando gire alrededor de unarecta tangente a dicho círculo.

12. Determinar la distancia del centro de gravedad de uncuarto de círculo AOB hacia OB , siendo :AO = OB = 6 u.

13. Calcular el volumen que genera el cuadrado de ladocuya longitud es 6 u al girar 360º alrededor del eje.Dato : º = 15º.

º

B

A

D

C

14. Hallar el volumen del sólido generado por el segmentocircular, cuando gira 360º alrededor de la recta "L" yR = 2u.

L

B

xA R O

15. Hallar el volumen de una cuña esférica de 30º, si suárea total es 12 .

16. Calcular el volumen generado por la regiónsombreada al girar 360º alrededor de "L".

R

3R

L

247

TRILCE

17. Calcular la relación de volúmenes que hay entre lossólidos generados cuando el trapecio (región) gira360º alrededor de AC y CD .

60º

4 BA

D C8

18. Al rotar la región sombreada un ángulo de 360ºalrededor de la recta "L", se obtiene un sólido cuyovolumen es :

5

5

3L

19. Un hexágono regular de lado "a" gira 360º alrededorde uno de sus lados.El volumen del sólido que se genera es :

20. Hallar el volumen de una esfera inscrita en un octaedroregular cuya arista mide "a".


21. El volumen de un tetraedro regular es 27 3u .Calcular el volumen comprendido entre la esferainscrita y circunscrita al tetraedro.

a) 24 2 b) 28 2 c) 32 2

d) 439

2 e) 339

22. Hallar el volumen de una cuña esférica trazada parauna esfera de 24 3m de volumen y con ángulo quemide 30º.

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

23. Se tiene una cuña esférica de 36 3u y 45º de ángulodiedro. Hallar el radio de dicha cuña.

a) 4 u b) 9 u c) 6 ud) 8 u e) 3 u

24. Hallar el volumen de un segmento esférico de unabase, si su altura es 1 u y el área de su casquete mide

2u2 .

a) 3u

54 b)

32

c) 136

d) 135 e)

132

25. En la figura, el volumen del cono es 18 3cm . Calcularel volumen de la semiesfera.

rr

a) 36 3cm b) 42 c) 72 d) 120 e) 144

26. Calcular el volumen de una esfera cuya diferencia deáreas entre la superficie esférica y el círculo máximoes 9 2u .

a) 18 3u b) 4 3 c) 12

d) 6 3 e) 8

Geometría

248

27. En un recipiente cónico (circular recto), lleno de aguase introducen una esfera de radio 3m y otra dediámetro 24 m, quedando exactamente la mitad deésta fuera del cono. Las esferas son tangentes entre síy quedan ajustados a la superficie lateral del cono.Calcular el volumen de agua que aún queda en elrecipiente.

a) 150 b) 330 c) 312 d) 348 e) 300

28. En un cesto, se han colocado tres pelotas de igual

radio y el volumen de una de ellas es )332( . Hallar el

volumen del cesto.

a) 16 b) 22 c) 48 d) 30 e) 32

29. Del gráfico, calcular la relación de volúmenes quegenera al rotar 360º el área de la región sombreadasobre los ejes "y", "x".

xR R

y

a) /2 b) /3 c) /4

d) /6 e) /8

30. Cuatro esferas del mismo radio de longitud "r" estánen un plano, de manera que están en contacto unacon otra. Una quinta esfera del mismo radio se colocasobre ellas en el centro. Hallar la distancia entre elpunto superior de la quinta esfera y el plano.

a) r)22( b) r)22( c) r)21(

d) r)21( e) r2

31. En la figura : AB = PC = 6.El volumen del sólido de revolución que se obtieneal rotar el triángulo ABC alrededor de la recta "L" es :

A

C

B

P

a) 108 b) 72 c) 60 d) 27 e) 24

32. En la figura, OT//AB , 3RAB , el volumen de laesfera es 332 . Calcular el volumen del conoequilátero. (T es punto de tangencia).

A B Q

OT

R

a) 18 3 b) 3 3 c) 9 3

d) 12 3 e) 15 3

33. Se tiene un cono equilátero de altura 4 u, tomandocomo diámetro dicha altura se construye una esfera.Calcular el volumen del segmento esférico mayordeterminado.

a) 8 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

34. Los lados de un triángulo miden 13, 14 y 15. Calcularel volumen del sólido generado por dicha regióntriangular al rotar 360º, sobre el lado intermedio.

a) 564 b) 672 c) 720 d) 620 e) 648

35. Hallar el volumen de un segmento esférico de unasola base conociendo que el área de su casqueteesférico es cuatro veces el área de la base y además elradio de la esfera es u34 .

a) 3u3230 b) 3140

c) 3225 d) 3216e) 3245

249

TRILCE

36. Se tiene un cubo, inscrito en una cuña, de tal formaque dos de sus caras consecutivas están contenidasen los semicírculos máximo que limitan la cuña.Calcular la razón de las áreas de la superficie esféricainscrita en dicho cubo y el huso esféricocorrespondiente a la cuña.

a) 3/2 b) 5/3 c) 9/4d) 6/5 e) 7/3

37. Calcular el volumen del anillo esférico limitado por lasuperficie lateral de un cilindro de revolución inscritoen una esfera y por la superficie de la esfera. Sabiendo,además que el cilindro y el anillo esférico son sólidosequivalentes. El área de la superficie esférica es 48

2u .

a) 3u350,11 b) 548,13

c) 552,11 d) 222,13

e) 328,12

38. Calcular el volumen de una esfera tangente a las aristasde un tetraedro regular de arista 8u.

a) 3u2

376 b) 2

349

c) 23

64 d) 23

61

e) 23

56

39. En un plano, se encuentran tres esferas iguales deradio R; cada una de las cuales hace contacto con otrade ellas. Una cuarta esfera hace contacto con cadauna de las tres esferas dadas y con el plano. Hallar elradio de la cuarta esfera.

a) 2R

b) 3R

c) 4R

d) 5R2 e)

6R

40. Hallar el volumen de la esfera inscrita en un octavo deesfera, cuyo radio mide u)13(2 .

R

R

a) 16 b) 32 c) 3

16

d) 332

e) 3

64

41. Hallar la longitud de lugar geométrico de losbaricentros de las secciones de una esfera por planosque pasan por una recta "L", la cual es tangente a laesfera de radio "R".

a) R b) R2 c) 2R

d) 2R3 e) 3 R

42. Hallar la razón del volumen de una esfera al volumendel cono recto circunscrito a esta esfera, si la superficietotal del cono es "n" veces la superficie de la esfera.

a) n1

b) n2

c) n43

d) n34

e) n56

43. Se tiene un tetraedro ABCD, en donde el volumen es100 3u ; el área total es 130 2u y el área de la caraABC es 15 2u . Hallar el volumen de la esfera ex-inscrita relativa a la cara ABC.

a) 3u32 b) 25 c) 3

28

d) 36 e) 64

44. Un semicírculo de diámetro 12u gira 120º alrededordel diámetro. Hallar el volumen de la cuña esférica.

a) 3u84 b) 96 c) 104d) 78 e) 80

45. La altura y diámetro de un cono de revolución soniguales al radio de una esfera de 3u4 de volumen.Calcular el volumen del cono.

a) 3u

31

b) 41

c) 52

d) 51

e) 32

46. Se tiene una región hexagonal regular de perímetroigual a 24. Calcular el máximo volumen generado algirar dicha región sobre una recta coplanar quecontiene uno de sus vértices.

a) 3120 b) 3172 c) 3192

d) 3148 e) 3162

47. Calcular el volumen de la semiesfera inscrita en untronco de cilindro recto, de modo que la base circulardel tronco de cilindro coincide con el círculo máximode la semiesfera. Además, se sabe que la generatrizmenor y el volumen de dicho tronco es 4 unidades y120 3u , respectivamente.

a) 3u632 b) 64 c) 324

d) 72 e) 336

Geometría

250

48. Determinar la medida del ángulo "" de modo queel volumen generado al rotar la región cuadrada entorno del "L", sea el mayor posible.

º

B

C

D

A

Eje "L"

a) 15º b) 30º c) 45ºd) 60º e) 90º

49. Una esfera de radio igual 1,5 u tiene el mismo volumenque un cono circular recto, cuyo radio de la base es0,75u. Hallar la altura del cono.

a) 24 u b) 18 c) 15d) 10 e) 12

50. Hallar la relación de los volúmenes entre las esferasinscrita y circunscrita en un mismo hexaedro regular.

a) 63 b)

36 c)

93

d) 26 e)

96

51. Hallar la longitud del radio de la semiesfera inscritaen el tetraedro regular cuya arista mide 1 m.

a) 93 b)

33 c)

96

d) 36 e)

23

52. Una esfera de área 144 2u es cortada por 2 planosque forman entre sí un ángulo diedro de 60º, de modoque la recta de intersección de los planos es tangentea la esfera y el plano bisectriz contiene un diámetro dela esfera. Hallar el volumen de la parte de la esferacomprendida en el ángulo diedro.

a) 3u288 b) 198 c) 243d) 126 e) 264

53. En una circunferencia de diámetro igual a 4 3 dm,se traza la cuerda BC de modo que : mBC = 120º.Calcular el volumen del anillo esférico que se obtieneal girar 360º, el segmento circular BC, alrededor deun eje diametral paralelo a BC .

a) 3dm36 b) 27 c) 12

d) 32 e) 72

54. Calcular el volumen de la esfera tangente a las aristasPA, PB y PC de un tetraedro regular P-ABC, en losvértices A, B y C, respectivamente, siendo : 2u33 elárea total del tetraedro.

a) 3u6 b) 32 c) 6

d) 9 e) 23

55. Una alambre se enrolla de modo que forma una esfera,si la sección del alambre es de 2mm y el radio de laesfera formado es de 10 cm. Hallar la longitud delalambre, si el porcentaje de vacíos de la esfera es del10%.

a) 1,2 km b) 3 c) 1d) 1,6 e) 2,4

56. Se tiene una pirámide hexagonal regular por el centrode la base de dicha pirámide, se ha trazado un planoparalelo a una cara lateral. Hallar la relación entre elárea de la sección determinada y el área lateral de lapirámide.

a) 45

b) 65

c) 710

d) 32

e) 245

57. Se funde una bola de plomo de radio 5 cm, paraobtener bolas cuyo radio sean de 1 cm cada una.¿Cuántas bolas de plomo se obtendrán en el proceso?

a) 50 b) 100 c) 150d) 175 e) 125

58. Hallar el volumen generado, al rotar la siguiente

superficie alrededor del eje l .

l

R

a) 2R32 b)

32R23 c)

3R53

d) 3R

74 e)

3R32

251

TRILCE

59. Hallar el volumen del sólido generado al girar eltriángulo equilátero ABC, alrededor de L.

A C

B

L

360º

a

a) 2

3a3 b) 4

3a3 c) 3

3a3

d) 3

6a3 e) 2

6a3

60. Según el gráfico, siendo :AB = 5 y 12)PB()AP( 22 . Calcular el volumendel sólido generado por la región sombreada al girar360º en torno a la recta AB.

C

A

P

B

a) 5 b) 12 c) 10 d) 9 e) 25

Geometría

252

Claves Claves 21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

e

d

c

b

e

b

c

c

e

a

b

c

c

b

d

c

c

c

b

d

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

a

a

b

b

b

c

a

c

a

c

c

b

a

a

a

a

e

b

b

c

253

TRILCE

Í N D I C E

Capítulo 1

Ángulos ...................................................................................................................................................................... 9

Capítulo 2

Triángulos ................................................................................................................................................................ 21

Capítulo 3

Congruencia de Triángulos ..................................................................................................................................... 33

Capítulo 4

Polígonos ................................................................................................................................................................... 45

Capítulo 5

Cuadriláteros ............................................................................................................................................................ 55

Capítulo 6

Circunferencia............................................................................................................................................................ 67

Capítulo 7

Angulos en la Circunferencia .................................................................................................................................. 79

Capítulo 8

Puntos Notables ........................................................................................................................................................ 91

Capítulo 9

Proporcionalidad y Semejanza ................................................................................................................................ 105

Capítulo 10

Relaciones Métricas en un Triángulo Rectángulo ................................................................................................ 117

Capítulo 11

Relaciones Métricas en Cualquier Triángulo ........................................................................................................ 127

Capítulo 12

Relaciones Métricas en la Circunferencia .............................................................................................................. 137

Capítulo 13

Polígonos Regulares ................................................................................................................................................. 149

Capítulo 14

Áreas de las Regiones Poligonales y Relaciones de Áreas ................................................................................... 159

Capítulo 15

Áreas de Regiones Curvas ....................................................................................................................................... 179

Capítulo 16

Geometría del Espacio Perpendicular - Diedro - Triedro ................................................................................... 191

Geometría

254

Capítulo 17

Poliedros - Poliedros Regulares ............................................................................................................................... 203

Capítulo 18

Prisma - Cilindro - Tronco ......................................................................................................................................... 213

Capítulo 19

Pirámide - Cono - Troncos ......................................................................................................................................... 225

Capítulo 20

Esfera I ....................................................................................................................................................................... 235

Capítulo 21

Esfera II ......................................................................................................................................................................... 243

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