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¿Cómo construir una superficie cilíndrica y trazar su gráfica con la ClassPad 330? Prof. Robinson Arcos

INTRODUCCIÓN:

Trataremos en este ¿Cómo…? aspectos sobre:

La construcción de una superficie cilíndrica.

El procedimiento que permite encontrar su ecuación cartesiana.

El procedimiento que permite encontrar sus ecuaciones paramétricas.

El trazado de una porción de su gráfica.

Comencemos estableciendo la siguiente definición:

Se llama superficie cilíndrica a la generada por una recta que se mueve de tal manera que siempre mantiene una dirección fija dada y durante el movimiento, pasa por una curva fija también dada.

Figura 1

La recta que se mueve generando la superficie se llama generatriz y la curva fija dada se llama directriz de la superficie cilíndrica. Si la generatriz es una curva plana, ésta no debe estar en el plano de la directriz.

Estudio de la superficie cilíndrica cuando su directriz es una curva plana contenida en un plano paralelo a uno de los planos coordenados.

En virtud de la definición anterior, en cada punto P que se encuentre sobre la superficie cilíndrica S, pasará una recta paralela a la generatriz y una curva paralela y congruente a la directriz (Figura 1). De modo que, en una superficie cilíndrica estas rectas y curvas son también, respectivamente, generatrices y directrices.

Podemos obtener la ecuación cartesiana de una superficie cilíndrica S cuando la directriz es una curva plana contenida en un plano paralelo a uno de los planos coordenados.

Para fijar ideas, supongamos que de la directriz de la superficie cilíndrica se encuentra contenida en un plano paralelo al plano OYZ, sea un vector director fijo de la generatriz de la superficie cilíndrica (Figura 1).

Supongamos además que la directriz está definida por el par de ecuaciones:

(1)

(2)

donde es la ecuación del plano que contiene a la directriz y representa la relación entre y y z.

Tomemos un punto cualquiera sobre la superficie S, entonces la generatriz que pasa por P corta a

la directriz C en el punto del plano OYZ. Las ecuaciones paramétricas de la generatriz que pasa por Q

y tiene vector director , vienen dadas por:

;

donde , dado que la generatriz no debe ser paralela al plano que contiene a la directriz.

1

Dado que Q pertenece a C, sus coordenadas satisfacen las ecuaciones:

(6)

(7)

Tengamos presente que, por definición de superficie cilíndrica, el punto P pertenece a la superficie S, si y sólo si sus coordenadas satisfacen las ecuaciones (3), (4), (5), (6) y (7). Estas ecuaciones constituyen un sistema de cinco ecuaciones independientes. Eliminando los parámetros u, v, w y t entre estas cinco ecuaciones, encontraremos una ecuación en las variables x, y, z:

(8)

Esta última ecuación constituye la ecuación cartesiana de la superficie cilíndrica S.

De manera general, este procedimiento se lleva a cabo de la siguiente manera:

Sustituyendo (7) en (3) y despejando t, se obtiene la ecuación (9) (recuerde que ). Sustituyendo

ahora (9) en (4) y (5), al despejar v y w se obtienen las ecuaciones (10) y (11).

Finalmente, al sustituir (10) y (11) en (6), obtenemos la ecuación (12). Como puede

observar, esta última ecuación relaciona las tres variables x, y, z, la cual está expresada por la ecuación (8).

De manera análoga, podemos obtener la ecuación de la superficie cilíndrica para los casos en que la directriz se encuentra contenida en un plano paralelo al plano OXZ, o bien, al plano OXY. En la tabla siguiente se presenta un resumen de las ecuaciones a considerar para la obtención de la ecuación cartesiana de la superficie:

Cuando el plano que contiene a la directriz es paralelo al plano OXZ

Cuando el plano que contiene a la directriz es paralelo al plano OXY

Ecuaciones de la directriz::

(1)

(2)

Vector director de la generatriz: con

Ecuaciones paramétricas de la generatriz que pasa por y tiene vector director

, con Q en el plano OXZ:

;

donde las coordenadas de Q satisfacen:

(6)

(7) Ecuación cartesiana de la superficie S que se

obtiene al eliminar los parámetros u, v, w y t entre estas cinco ecuaciones (3), (4), (5), (6) y (7):

(8)

Ecuaciones de la directriz:

(1)

(2)

Vector director de la generatriz: con

Ecuaciones paramétricas de la generatriz que pasa por y tiene vector director

, con Q en el plano OXY:

;

donde las coordenadas de Q satisfacen:

(6)

(7) Ecuación cartesiana de la superficie S que se

obtiene al eliminar los parámetros u, v, w y t entre estas cinco ecuaciones (3), (4), (5), (6) y (7):

(8)

Tabla 1

Desarrollemos el procedimiento descrito anteriormente resolviendo el siguiente problema:

1. Encuentre la ecuación cartesiana de la superficie cilíndrica cuya directriz es la parábola de

2

ecuaciones ; y cuya generatriz tiene vector director .

Solución a la situación problemática planteada:

Las ecuaciones que definen a la directriz C vienen dadas por: (1) ; (2)

Si es un punto cualquiera sobre S, entonces la generatriz que pasa por P corta a la directriz C en el

punto del el plano OYZ. Las ecuaciones paramétricas de la generatriz que pasa por y tiene

vector director vienen dadas por:

;

Las coordenadas de Q deben satisfacer las ecuaciones:

(6)

(7)

Para encontrar la ecuación cartesiana de la superficie cilíndrica, sustituimos (7) en (3) y despejamos t

obteniéndose (8). Sustituyendo ahora (8) en (4) y (5); y despejando v y w se obtienen las ecuaciones:

(9) ; (10). Al sustituir (9) y (10) en (6), después de una simplificación, se obtiene la ecuación

cartesiana de la superficie cilíndrica:

Este proceso se puede desarrollar en la Aplicación Principal de la ClassPad.

En cualquier caso, sólo se requiere plantear primeramente las ecuaciones (3), (4), (5), (6) y (7). Los pasos para hallar la ecuación de la superficie se ejecutan como sigue:

2. Operación con la ClassPad.

(1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre la mesa. Presione [ON/OFF] para encenderla o toque la pantalla.

(2) Toque en el panel de iconos para acceder directamente a la aplicación Principal.

(3) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo.

(4) Toque [Edit] [Eliminar toda variable] [Acep.] para limpiar las variables asignadas y regresar al área de trabajo de la aplicación Principal.

(5) Toque [Formato básico] [Defecto] [Def.] para configurar el formato de trabajo en la aplicación Principal.

3

(6) Oprima [Keyboard] y toque la solapa para activar el teclado de plantillas.

(7) Toque . Toque para acceder al teclado de variables.

(8) En el recuadro de la primera línea de edición del sistema, escriba la ecuación (ecuación (3)).

(9) En el recuadro de la segunda línea de edición, escriba la ecuación (ecuación (4)).

(10) En el recuadro de la tercera línea de edición, escriba la ecuación (ecuación (5)).

(11) En el recuadro que aparece al final toque .

Aparece la solución del sistema en función de la variables u, x, y, z.

(12) Toque ahora la solapa y luego toque .

(13) En la línea de entrada escriba la ecuación (ecuación (6)).

(14) Toque y seguidamente toque (comando Whit).

Ahora registraremos las ecuaciones obtenidas en la solución del sistema:

(15) Seleccione la primera ecuación obtenida en la solución del sistema. Toque para copiar la ecuación en el portapapeles (Figura 3).

(16) Ubique el cursor al lado del comando Whit y toque para pegar la ecuación (Figura 4).

(17) Toque . Seleccione la segunda ecuación obtenida en la solución del sistema. Toque y ubique el cursor a lado del comando Whit y toque

.

(18) Para terminar, toque . Seleccione la tercera ecuación obtenida en la solución del sistema. Toque y ubique el cursor a lado del comando

Whit y toque . Toque .

(19) Toque . Toque y escriba seguidamente la ecuación

(ecuación (7)). Toque .

La ecuación obtenida es la ecuación de la superficie cilíndrica.

Para simplificar esta ecuación se procede como sigue:

(20) Toque [Acción] [Ecuación/ Desigualdad ►] [rewrite] [ans] [Ejec].

Esto transpone los términos del segundo miembro al primero.

(21) Toque .

Esto multiplica por 4 cada miembro de la ecuación.

(22) Toque [Acción] ][Transformación ►] [combine] [ans] [Ejec].

Se obtiene de manera simplificada la ecuación de la superficie:

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

¿Cómo encontrar, a partir de la ecuación cartesiana de una superficie cilíndrica, las ecuaciones de una directriz y un vector director de sus generatrices?

4

Aquí trataremos el problema inverso, a saber, encontrar las ecuaciones de una directriz y un vector director de las generatrices de una superficie cilíndrica, a partir de su ecuación cartesiana.

Observación: Para ello, tenga presente que, por definición de superficie cilíndrica, se deduce que las secciones obtenidas por planos paralelos al plano de la directriz son curvas congruentes con la directriz.

Veamos el siguiente ejemplo:

3. Muestre que la ecuación

representa una superficie cilíndrica y encuentre las ecuaciones de una de sus directrices y un vector director de sus generatrices.


De acuerdo con lo establecido en la observación anterior, las ecuaciones de la familia de las secciones que se obtienen al cortar la superficie cilíndrica por la familia de planos de ecuación , donde k es una constante real, son:

; (1)

Las ecuaciones (1) representan, para cada valor de k, las ecuaciones cartesianas de una directriz situada en el plano de ecuación (paralelo al plano OXY).

Las ecuaciones (1) se pueden escribir en la forma:

; (2)

En consecuencia, (2) representa las ecuaciones de una circunferencia con centro en el punto de radio 1 para cualquier valor de k. Lo que demuestra que estamos en presencia de curvas congruentes (las directrices). En particular si tomamos tenemos la directriz situada en el plano OXY, definida por:

; (3)

El lugar geométrico de los centros de todas las directrices es una recta cuyas ecuaciones paramétricas, de

acuerdo con (2), son: (4) ó bien, vectorialmente: (5).

que representa una recta que pasa por el origen y tiene vector director . Dado que esta recta es

paralela a las generatrices, el vector es un vector director de las mismas.

¿Cómo se realizan estos cálculos en la ClassPad?


(23) En la Aplicación Principal toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar la pantalla.

(24) Active el teclado virtual [mth] y toque [VAR] para activar el teclado de variables.

Para obtener la ecuación cuadrática (2), debemos completar cuadrados en la ecuación cuadrática (1):

(25) En la línea de entrada escriba la ecuación cuadrática (1) en la forma:

.

(26) Seleccione los tres primeros términos de esta ecuación y toque [Interactivo] [Transformación ►] [factor] (Figuras 6 y 7).

(27) Ahora seleccione la ecuación en la línea de salida y arrastre hasta la línea de entrada y suelte.

Figura 6

Figura 7

5

Obtendrá una copia de la ecuación en la línea de entrada (Figura 7).

(28) En la línea de entrada, seleccione los tres últimos términos del primer miembro de la ecuación. Toque [Interactivo] [Transformación ►] [factor].

Se obtiene la ecuación cuadrática (2):

Para hallar el vector director de las generatrices procedemos de la siguiente manera:

(29) Active el teclado 2D y toque . Toque dos veces el botón .

(30) Toque la solapa . En el primer recuadro toque

. En el segundo recuadro toque t en el tercer recuadro

toque . Toque .

Se obtiene el vector director

Figura 8

Figura 9

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS:

5. En cada uno de los siguientes ejercicios se dan, las ecuaciones de la directriz y el vector director de la generatriz de una superficie cilíndrica. Encuentre en cada caso la ecuación de la superficie cilíndrica:

a) , ; .

b) , ; .

c) , ; .

d) , ; .

e) , ; .

6. En cada uno de los siguientes ejercicios muestre que la ecuación dada representa una superficie cilíndrica encontrando las ecuaciones de una directriz y un vector director de sus generatrices:

a) ; Sugerencia: haga .

b) ; Sugerencia: haga .

c) ; Sugerencia: haga .

7. Encuentre la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia al plano OXY es siempre igual a la mitad del cuadrado de su distancia al eje OY. Construir la superficie.

¿Qué son las coordenadas cilíndricas?

Si las generatrices de una superficie cilíndrica son perpendiculares al plano de su directriz, ésta se llama superficie cilíndrica recta y en caso contrario, se le llama superficie cilíndrica oblicua. Las superficies cilíndricas rectas son de gran importancia.

Por el procedimiento empleado aquí, se puede demostrar que la ecuación cartesiana de una superficie cilíndrica recta, cuyas

6

generatrices son perpendiculares al plano coordenado de su directriz, carece de la variable no medida en ese plano (variable libre). Además, el lugar geométrico plano de esta ecuación es la directriz. Por ejemplo, la ecuación representa una superficie cilíndrica recta cuyas generatrices son perpendiculares al plano OXY y cuya directriz es la circunferencia de ecuaciones

; .

Si la directriz de una superficie cilíndrica es una circunferencia, la superficie se llama circular. De manera semejante, tenemos superficies cilíndricas parabólicas, elípticas e hiperbólicas. Un plano también es una superficie cilíndrica cuya directriz es una recta.

Figura 10

Es propicio tratar aquí la relación entre las coordenadas cartesianas de un punto P en el espacio con sus coordenadas cilíndricas.

Sea P un punto arbitrario en el espacio cuya posición en coordenadas cartesianas o rectangulares es . Este punto, por la discusión anterior, pertenece a una superficie cilíndrica circular recta de radio

cuyo eje es el eje OZ (r representa la distancia de P al eje OZ). La ecuación de esta superficie es por lo tanto:

(1)

En la Figura 10 se muestra parte de esta superficie con en el primer octante. Si por P y el eje OZ hacemos pasar un plano, éste cortará a la superficie en una generatriz cuyo punto de intersección con el plano OXY será el punto Q. De modo que y sea la magnitud del ángulo formado por el segmento y la parte positiva del eje OX. Se obtienen entonces para P, las relaciones:

; ; (2)

Estas relaciones permiten entonces establecer la posición de cualquier punto P del espacio cuando se conocen los tres números . Esta terna de números, listados en ese orden, se llama coordenadas cilíndricas del punto P y se escribe . Para que la terna represente la posición del punto P de manera unívoca, los valores de y deben restringirse, por convención, a los intervalos:

; .

Realizando algunos cálculos podemos establecer lo siguiente:

Las coordenadas rectangulares y las coordenadas cilíndricas de un punto P en el espacio están ligadas por las relaciones:

; ;

Se pueden efectuar transformaciones entre los dos sistemas coordenados por medio de estas ecuaciones para obtener las siguientes relaciones inversas:

; si , si , ; si ,

; para x , y no nulas simultáneamente.

Las variaciones para , , z están dadas por los intervalos:

; ; .

Observación: Debe tenerse presente que cualquier punto sobre el eje OZ está representado en

coordenadas cilíndricas como para cualquier valor de .

7

¿Cómo establecer las ecuaciones paramétricas de una superficie cilíndrica?

Si S es una superficie cilíndrica y C es una de sus directrices, cualquier otra directriz C´ se obtiene a partir de C por medio de una traslación definida por un vector paralelo al vector director de sus generatrices. Este hecho nos da una manera de encontrar una parametrización para una superficie cilíndrica S:

Sea S una superficie cilíndrica y C una de sus directrices. Supongamos que C está definida por una función vectorial , donde I es un intervalo y dada por para . Entonces C tiene las siguientes ecuaciones paramétricas:

(1)

Sea un vector director de sus generatrices, entonces la función vectorial definida por:

para y

es una parametrización de la superficie S.

Las ecuaciones paramétricas de S vienen dadas por:

(2)

Observaciones:

Para cada valor fijo que asuma la variable t ( ) y todos los valores de s variando en I, los puntos

representan una copia C´ de la directriz C de la superficie cilíndrica S. Es decir, C´ es

una traslación de la directriz C en la dirección, sentido y tamaño del vector . Al variar continuamente

se obtiene copias sucesivas de C que constituirán la superficie S; es decir, S es el lugar geométrico de todas estas traslaciones (observe la Figura 1).

Por otra parte, para cada valor fijo que asuma la variable s ( ) y todos los valores de t variando en los

números reales, los puntos representa una generatriz de la superficie S. Al variar

continuamente se obtienen rectas paralelas, es decir, S es el lugar geométrico de la familia de todas

sus generatrices (observe la Figura 1). En particular, si para cada , éstas

directrices y generatrices conforman un sistema de posicionamiento para cualquier punto P sobre S. P se

encuentra siempre en la intersección de una directriz y una generatriz, ( ).

En realidad sólo podemos trazar una porción de la superficie cilíndrica. De modo que los parámetros s y t tomarán valores en intervalos cerrados y acotados: y . Además, en muchos problemas de trazado de la superficie, conviene utilizar, en la parametrización de S, un vector director unitario

de las generatrices, esto es, (longitud unitaria). De manera que para

cada valor de t, el vector sea un múltiplo de t ( ), de este modo si entonces la longitud del segmento generatriz será . Veamos esto en un ejemplo:

8. Establezca las ecuaciones paramétricas de la superficie cilíndrica S con las siguientes condiciones:

Su directriz C, es la curva de ecuaciones ; para .

Sus generatrices tienen longitud de 2 unidades.

Un vector director de las generatrices es .


8

Encontremos primeramente una parametrización de la directriz C. De acuerdo con la primera condición, de la relación funcional entre las variables y, z, tenemos que:

Tomemos ahora el vector director unitario . De manera que si las

generatrices tienen longitud 2 unidades, entonces el parámetro t del vector de traslación en la parametrización de S, satisface . Con esto, la familia de directrices se formará empezando con la directriz C y las demás siguen la dirección del vector . En consecuencia, las ecuaciones paramétricas de S vienen dadas por:

.

¿Cómo se traza, en la ClassPad, la gráfica de una superficie cilíndrica definida por sus ecuaciones paramétricas?

La Aplicación Gráficos 3D del menú de Aplicaciones Incorporadas de la ClassPad 330 permite trazar la gráfica de una superficie definida por sus ecuaciones paramétricas:

para en un rectángulo .

Utilicemos esta aplicación para trazar la gráfica de la superficie cilíndrica del ejemplo precedente:


(31) Con el lápiz táctil toque en el panel de iconos y luego toque para activar la Aplicación Gráficos 3D.

Aparecerá una pantalla dividida presentando la ventana del editor de gráficos 3D (ventana superior) y la ventana de gráficos 3D (ventana inferior).

(32) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar las ventanas de la aplicación.

(33) Toque [Formato 3D]. En el cuadro de diálogo toque [Defecto] [Def.].

Esta es la configuración por defecto del formato 3D (Figura 3).

(34) En la barra de herramientas toque el botón para activar en el editor la modalidad paramétrica.

El botón cambia a anunciando que se ha pasado de la Figura 11

9

representación rectangular a representación en ecuaciones

paramétricas (Figura 12).

(35) Oprima y toque la solapa .

Observe que en la barra de herramientas aparecen los botones y . Estos botones se usan para editar las ecuaciones paramétricas de la superficie.

(36) Registre en el recuadro de la línea de edición Xst1: la expresión .

Toque .

(37) Registre en el recuadro de la línea de edición Yst1: la expresión .

Toque .

(38) Registre en el recuadro de la línea de edición Zst1: la expresión

. Toque .

De esta manera han quedado almacenadas las ecuaciones paramétricas.

Figura 12

Figura 13

Antes de trazar la gráfica de la superficie, es necesario configurar los parámetros de la Ventana de Visualización. Para configurar estos parámetros es necesario tener una idea de la extensión que ocupa en el espacio la superficie que queremos trazar.

(39) En la barra de herramientas toque el botón para acceder directamente a la ventana de visualización.

(40) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:

; ;

; ;

Con estos parámetros declaramos un intervalo de visualización para la variable x y un intervalo de visualización para la variable y. Observe que estos intervalos son mayores a los intervalos de variación de ambas variables. Esto define un rectángulo base de visualización en el plano OXY. Los valores de rejilla indican que la superficie debe dibujarse con 10 directrices y 10 generatrices.

(41) En el mismo cuadro de diálogo configure los parámetros:

;

Con estos parámetros se indica un intervalo de visualización de la variable z mayor que el intervalo de variación (Figura 14).

(42) A la derecha de la ventana de visualización deslice la barra de desplazamiento hasta el final y configure los siguientes parámetros:

; ; ;

Con estos parámetros estamos indicando los intervalos de variación de las variables s y t, respectivamente.

(43) Toque [Acep.].

(44) En la barra de herramientas toque para trazar la gráfica de la

superficie. Toque para maximizar la ventana.

Figura 14

Figura 15

10

Aparece la gráfica de la superficie cilíndrica.

(45) Toque varias veces el botón para realizar alejamientos.

(46) Toque varias veces el botón para realizar acercamientos.

Estas funciones de alejamiento y acercamiento de la gráfica de la

superficie pueden realizarse oprimiendo, respectivamente, las teclas

y del teclado físico de la calculadora.

(47) En la barra de menús toque [Zoom].

En el menú desplegable aparecen los comandos [Aumentar] y [Reducir] que realizan las mismas funciones de acercamiento y alejamiento.

(48) Toque [Visualización inicial] para regresar la gráfica de la superficie a los parámetros iniciales.

Realicemos modificaciones en los parámetros del Formato 3D para visualizar las direcciones de los ejes coordenados, las etiquetas de los ejes y las flechas del controlador de gráfico.

(49) Toque [Formato 3D]. Aparece el cuadro de diálogo. A la derecha en

el recuadro [Ejes], toque el botón y seleccione la opción [on] para activar las direcciones de los ejes de coordenadas.

(50) De manera análoga, en el recuadro [Etiquetas], toque el botón y seleccione la opción [on] para activar las etiquetas de los ejes.

(51) En la parte inferior del cuadro de diálogo toque el recuadro de verificación para activar el [controlador G].

(52) Toque [Def.] para confirmar los cambios introducidos y regresar a la ventana de gráficos 3D.

Aparecen en pantalla los ejes coordenados, las etiquetas de los ejes y la flechas del controlador de gráfico (▲, ►, ▼, ◄) (Figura 17).

(53) En la barra de menús toque [Rotar ►] [IzquierdaDerecha].

Observe la gráfica de la superficie rotando de izquierda a derecha.

(54) En el panel de iconos toque para detener la rotación.

(55) De igual manera active las demás rotaciones del submenú [Rotar ►].

(56) Toque [Zoom] [Visualización inicial].

Las flechas del controlador de gráfico (▲, ►, ▼, ◄) que se encuentran a cada lado de la ventana de gráficos 3D, permiten rotar manualmente la gráfica de la superficie cada vez que reciben un toque.

(57) Toque varias veces cada una de las flechas del controlador y observe cada uno de los movimientos que realiza la gráfica de la superficie.

También puede visualizarse la gráfica de la superficie desde un punto situado en el semieje positivo OX.

(58) Toque [Zoom] [Visualización x].

(59) Toque [Zoom] [Visualización y].

Se visualiza la gráfica de la superficie desde un punto situado en el semieje positivo OY.

(60) Toque [Zoom] [Visualización z].

Se visualiza la gráfica de la superficie desde un punto situado en el semieje positivo OZ.


(62) Toque [Formato 3D]. Aparece el cuadro de diálogo. A la derecha en

el recuadro [Ejes], toque el botón y seleccione la opción [cuadro] y

Figura 16

Figura 17

Figura 18

11

luego toque [Def.] para situar la superficie dentro de la caja rectangular.

(63) Oprima varias veces la tecla y toque la flecha ► (Figura 18).

En esta caja puede apreciarse la dirección del vector que siguen las generatrices.

(64) Toque [Zoom] [Visualización z].

Se visualiza la gráfica de la superficie desde un punto situado en el semieje positivo OZ, observe aquí también la dirección que siguen las generatrices.


(66) Realice alejamientos para visualizar completamente la caja de visualización.

(67) Toque el botón . Realice los siguientes ajustes:

ángulo : 40 ; ángulo : 70

Estos son los ángulos de visualización. Obtendrá una pantalla como la mostrada en la Figura 20. Esta es la posición como generalmente se presentan las gráficas de las superficies en los textos de cálculo.

Figura 19

Figura 20

10. Trace la gráfica del cilindro circular oblicuo cuya base es la curva de ecuaciones ; y cuya altura es de 5 unidades. Las generatrices siguen la dirección del vector .


La curva de ecuaciones ; es la generatriz C de la superficie cilíndrica S. La primera ecuación

puede escribirse de manera equivalente como , lo que constituye una suma de cuadrados igual a la

unidad, de manera que para cualquier punto de coordenadas en la directriz, existe un ángulo de

magnitud s tal que ; ; o bien, ; ; con .

Luego, las ecuaciones paramétricas de C vienen dadas por:

con .

Por otra parte, la traslación de la directriz para cualquier valor de t, en la dirección del vector

12

viene dada por . Dado que la altura del cilindro, medida verticalmente, debe ser de 5 unidades,

si nos encontraremos en la directriz C, Para encontrarnos sobre la directriz a la altura de 5 unidades sobre el

plano OXY, la tercera coordenada debe ser igual a 5, esto es, o equivalentemente, . En

consecuencia las ecuaciones paramétricas de S son:

para y .

Trazado de la gráfica del cilindro:


(68) Toque para activar la ventana del editor de gráficos 3D.

(69) Oprima y toque la solapa . En la parte inferior de este

teclado toque para acceder al teclado trigonométrico. Toque .

(70) Registre en el recuadro de la línea de edición Xst2: la expresión

. Toque .

(71) Registre en el recuadro de la línea de edición Yst2: la expresión

. Toque .

(72) Registre en el recuadro de la línea de edición Zst2: la expresión .

Toque .

Configuremos ahora los parámetros de la ventana de visualización: Observe que al variar y , el cilindro se encontrará

en el primer octante, en la caja definida por .

(73) En la barra de herramientas toque el botón para acceder directamente a la ventana de visualización.


; ;

; ;

;

Esto configura la caja de visualización (Figura 22).

(75) Configure ahora los siguientes parámetros:

; ; ;

Esto configura los intervalos de variación de las variables s y t (Fig. 23).

Figura 21

Figura 22

13

(76) Configure los parámetros: ángulo : 20 ; ángulo : 70 y toque [Acep.].

(77) Toque para maximizar la ventana de gráficos 3D.

Aparece la gráfica de la superficie cilíndrica dentro de la caja.

(78) Oprima varias veces la tecla para realizar alejamientos.

Podemos apreciar el cilindro circular oblicuo en la dirección del vector .

Para verificar la altura del cilindro podemos utilizar el comando [Trazo].

(79) En la barra de menús toque [Análisis] [Trazo].

Aparece un cursor en forma de cruz sobre la superficie cilíndrica. En la parte inferior de la pantalla se muestran las coordenadas x, y, z del punto donde se ubica el cursor sobre la superficie y los valores correspondientes a los parámetros s y t.

(80) Toque varias veces la flecha ▲ del controlador de gráficos hasta ubicar el cursor en la última directriz. Observará que el valor mostrado para la coordenada z es 5 (Figura 23).

(81) Toque para desactivar la modalidad de trazo.

Figura 23

Figura 23

Podemos trazar la gráfica de una superficie cilíndrica cuya directriz C no es una curva plana. Si se conocen las ecuaciones paramétricas de C y la dirección de las generatrices podemos utilizar las ecuaciones paramétricas de S expuestas aquí. La única restricción en este caso, es que las generatrices no debe seguir una dirección que obligue a la superficie a cortarse a si misma (debe ser para cada ), dado que este hecho hace perder a S su condición de superficie cilíndrica.

Veamos el siguiente ejemplo:

12. Trace la gráfica de la superficie cilíndrica cuya directriz tiene las siguientes ecuaciones paramétricas:

para .

La dirección de las generatrices está determinada por el vector , tome .


De acuerdo a los datos las ecuaciones paramétricas de la superficie cilíndrica S vienen dadas por:

para y

14

Trazado de la gráfica de S:


(82) Toque para activar la ventana del editor de gráficos 3D.

(83) Oprima y toque la solapa . En la parte inferior de este

teclado toque para acceder al teclado trigonométrico.

(84) Registre en la ventana del editor de gráficos 3D las ecuaciones paramétricas de la superficie S:

(85) En la barra de herramientas toque el botón para acceder a la ventana de visualización.


; ;

; ;

;

Esto configura la caja de visualización .

(87) Configure los parámetros de visualización:

ángulo : 20 ; ángulo : 70

(88) Configure los siguientes parámetros:

; ; ;

Esto configura los intervalos de variación de las variables s y t.

(89) Toque [Acep.].

(90) Toque para maximizar la ventana de gráficos 3D.

Aparece la gráfica de la superficie cilíndrica dentro de la caja.

(91) Toque varias veces el botón para realizar alejamientos.

(92) En la barra de menús toque [Rotar ►] [IzquierdaDerecha].

Esto activa automáticamente la rotación de la gráfica de la superficie de izquierda a derecha.

(93) En el panel de iconos toque para detener la rotación.

(94) De igual manera active las demás rotaciones del submenú [Rotar ►]

(95) Toque para detener la rotación.

Figura 24

Figura 25

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS:

14. Trace la gráfica de cada una de las siguientes superficies cilíndricas con las condiciones dadas y con los parámetros de visualización que se indican. Active la modalidad de rotación automática para visualizar la superficie:

15

a) Condiciones:

Su directriz C es la curva de ecuaciones ; para .



Sugerencia: Use para C las ecuaciones paramétricas con .

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

b) Condiciones:

Su directriz C es la curva de ecuaciones ; .



; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

c) Condiciones:

Su directriz C es la curva de ecuaciones ; para .



; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

d) Condiciones:

Las ecuaciones paramétricas de la directriz son:

para .

Sus generatrices tienen longitud 4 unidades.


; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

e) Condiciones:


para .


16


; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

f) Condiciones:


para .



; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

g) Condiciones:


para .



; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

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Cómo-construir-una-superficie-cilíndrica-y-trazar-su-gráfica-con-la-ClassPad-330

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